Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Klasifikace pomocí kořenů}
Nadále se budeme zabývat pouze \textbf{komplexními poloprostými} algebrami.
\lemma{
$K(X,H)=0$, $\forall H \in \g,\; \forall X \in \g_\lambda (H),\, \lambda \neq 0$.
}
\lemma{
$\g$ poloprostá $H \in \g_0$, potom $(\lambda (H)=0, \forall \lambda \in \Delta ) \Rightarrow (H=0)$.\\
(Tj. $\mathrm{span}\{\Delta \}=\g_0^*$.)
}
\Pzn{
$\Norm_\g (\g_0)=\g_0$ a tedy $\g_0$ je Cartanova podalgebra.
}
\Def{
Cartanova podalgebra poloprosté $\g$ je maximální Abelovská podalgebra $\g_0$, splňující $\ad_H$ je poloprostý $\forall H \in \g_0$.
}
\lemma{
$(\g_\alpha \perp_K \g_\beta ) (\forall \alpha,\, \beta \in \Delta,\, \alpha +\beta \neq 0)$.
%OG vzhledem ke Killingově formě
}
\lemma{
$\zuz{K}{\g_0}$ je nedegenerovaná. \\ $\forall \alpha \in \Delta$, $\exists_1 H_\alpha \in \g_0$ splňující $\forall H \in \g$: $\alpha (H)=K(H,H_\alpha )$. \\
($\zuz{K}{\g_\alpha}=\zuz{K}{\g_\alpha\times \g_\alpha}$. Máme vyjádření $\alpha (\cdot )=K(\cdot , H_\alpha )$.)
}
\Pzn{
$\g_0$ je sama Abelovská grupa, tedy je její Killingova forma nulová.
}
\lemma{
Buď $\alpha \in \Delta$. Potom $-\alpha \in \Delta$ a $(\forall X \in \g_\alpha, \, \forall Y \in \g_{-\alpha} )([X,Y]=K(X,Y)H_\alpha)$.
}
\lemma{
$\alpha(H_\alpha)=K(H_\alpha , H_\alpha ) \neq 0$.
}
\Def{
$T_\alpha := \frac{2}{K(H_\alpha , H_\alpha )}H_\alpha$, $a_{\beta \alpha}=\beta (T_\alpha )=\frac{2K(H_\beta , H_\alpha )}{K(H_\alpha , H_\alpha )}$.
}
Nalezněme $X_{\pm\alpha}\in \g_{\pm \alpha}$ splňující $K(X_\alpha ,X_{-\alpha})=\frac{2}{\alpha (H_\alpha )}$. Pak platí
\begin{align}
[X_\alpha ,X_{-\alpha}]= T_\alpha ,&&
[X_{\pm\alpha} ,T_\alpha]= \pm 2 X_{\pm\alpha} \,.
\end{align}
To jsou komutační relace $\mathfrak{sl}(2,\C )$ (konkrétně pro
$H=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)$,
$X_+=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)$,
$X_-=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$).
\lemma{
$V$ nad $\C$, $\dim V < +\infty$, $(T,X_{\pm}\in \mathscr{B}(V),\, [X_+ ,X_-]= T,\, [T ,X_\pm]= \pm 2 X_{\pm})$ působí na $V$ ireducibilně. \\
Potom $\exists \{v_j \}_{j=0}^{\dim V -1}$ báze splňující $T v_j =(r-2j)v_j$, $X_+v_j=v_{j+1}$, $r=\dim V-1$.
}
\lemma{. \label{lemma_Koreny}
\begin{enumerate}
\item $(\forall \alpha ,\beta \in \Delta)(\exists p,q \in \Z, p\le 0 \le p)(\{\beta +n \alpha \}_{n=p}^q \text{ je nepřerušená posloupnost kořenů, případně 0})$. Navíc žádné jiné kořeny tvaru $\beta +m \alpha$ neexistují
%($m$ CELOČÍSLENÉ NEBO LIBOVOLNÉ???)
a platí \begin{align}
\beta (T_\alpha ) =
2\frac{\beta (H_\alpha )}{\alpha (H_\alpha )}=
\frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}=
-(p+q) \,.
\end{align}
\label{posloupnost korenu}
\item $\alpha \in \Delta$, $\dim \g_\alpha =1$. Potom $(\beta \in \Delta \cap \mrm{span}\{\alpha\}) \Rightarrow \; \beta =\pm \alpha$.
\item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\alpha +\beta \neq 0$. Potom $[\g_\alpha , \g_\beta]=\g_{\alpha +\beta}$. \\
(Pokud $\alpha+\beta \notin \Delta \cup \{ 0\}$, je $\g_{\alpha +\beta}=\{ 0\}$.)
\item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\epsilon = -\mrm{sgn}(p+q)$. Potom $\beta -\epsilon \alpha,\, \beta -2\epsilon \alpha,\dots , \beta +(p+q) \alpha$ jsou kořeny (ne nutně všechny z~rozsahu).
\end{enumerate}
}
\Def{
$a_{\beta \alpha}=\beta (T_\alpha ) =\frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}=-(p+q)$ nazýváme \emph{Cartanova celá čísla}.
}
Na základě těchto poznatků lze libovolnou komplexní poloprostou algebru $\g$ zapsat ve tvaru tzv. \textbf{Weyl-Chevalleyho normální formy}.
\Vet{
V~$\g$ existuje báze $\{H_i\}_{i=1}^{\dim \g_0}\cup \{E_\alpha \}_{\alpha \in \Delta}$, $\g_\alpha =\mrm{span}\{E_\alpha\}$, $H_i \in \g_0$ splňující
\begin{itemize}
\item $(\forall H \in \g_0)([H,E_\alpha]=\alpha(H)E_\alpha)$,
\item $[E_\alpha,E_\beta]=N_{\alpha \beta}E_{\alpha + \beta}$, $N_{\alpha \beta} \neq 0$ pro $\alpha, \beta , \alpha +\beta \in \Delta$,
\item $[E_\alpha,E_{-\alpha}]\in \g_0$.
\end{itemize}
(Navíc lze volit $E_\alpha$ aby $N_{\alpha \beta} \in \Z$, $N_{\alpha \beta}=-N_{(-\alpha)(-\beta)}=\pm(-p+1)$, $p\le 0$ nejmenší číslo splňující $\alpha + p \beta \in \Delta$, volba $\pm$ je částečně daná strukturou $\g$ a částečně záleží na nás...)
}
Protože víme, že komutační relace určují $\g$ jednoznačně (až na izomorfismus), můžeme tak klasifikovat všechny poloprosté komplexní algebry.