02LIAG:Kapitola8

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
 
\section{Cartanova kritéria}
\Vet{
	$\g$ podalgebra $\g (V)$ a $\forall X,Y \in \g$ je $\Tr (XY)=0$, potom $\g$ je řešitelná. 
	}
	Následující věty umožňují rozhodnout, zda je $\g$ řešitelná nebo poloprostá pouze na základě znalosti $K$ a $\g^2$. Nazývají se \textbf{Cartanova kritéria}.
\Vet{
	$\g$ řešitelná $\Leftrightarrow$ $K(X,Y)=0$ $\forall X \in \g$, $\forall Y \in \g^{(1)}$. ($\g^{(1)}=\g^2$) 
	}
\Vet{
	$\g$ poloprostá $\Leftrightarrow$ $K$ je nedegenerovaná.
	}
\Pzn{
	Pro konečněrozměrné vektorové prostory je bilineární formy $\omega$ degenerovaná $\Leftrightarrow$ $\det \omega =0$. \\
	($\omega$ značí v~tomto případě zároveň i matici formy.)
	}
 
 
	Připomeňme $\ii^\perp=\{X \in \g | K(X,Y)=0, \forall Y \in \ii \}$.
%\Pzn{
%	Integrabilní podvariety $M$, $N$, pro které $M \cap N \neq \emptyset$ lze navazovat, tj. vytvářet podvariety postupem $O=M \cup N$.
%	}	
\Vet{
	Poloprostou $\g$ lze rozložit na přímý součet prostých ideálů.
	}
\Vet{
	Všechny derivace poloprosté $\g$ jsou vnitřní.
	}
\Def{
	\emph{Normalizátor} podprostoru $V$ v~$\g$ je $\Norm_\g (V)=\{X \in \g |(\forall Y \in V)([X,Y] \in V) \}$. 
	}
\Pzn{
	Pro $\h$ podalgebry $\g$ je $\h \subset \Norm_\g (\h)$. Pro ideál $\ii$ je $\Norm_\g (\ii )=\g$. 
	}
\Def{
	\emph{Cartanova podalgebra} $\g$ je nilpotentní podalgebra, která je rovna svému normalizátoru. 
	}
\Pzn{
	Cartanova podalgebra je pro algebry nad $\C$ určena jednoznačně až na automorfismus. Nad $\R$ to obecně neplatí.
	}
 
\Def{
	$X \in \g$, $\g_\lambda (X) := \{Y \in \g | (\exists k \in \N)((\ad_X-\lambda)^k Y=0 )\}$.
	}
\begin{itemize}
	\item Pro libovolný $X \in \g$ je $\g= \dot{{\sum}}_{\lambda \in \C} \g_\lambda (X)$.
	\item $\dim \g_0 (X) \ge 1$, protože $\ad_X X =[X,X]=0$ a tedy $X \in \g_0 (X)$.\footnote{
		Pro $X=0$ je zřejmě $\g_0(0)=\g$.
	}
	\item $\dim \g_0(X)$ se nazývá \emph{nulita prvku $X$}.
\end{itemize}
\Def{
	$X \in \g$ je \emph{regulární} $\Leftrightarrow$ $\dim \g_0(X)=\min_{Y \in \g} \dim \g_0(Y)$ \\
	(Tj. nulita je nejmenší možná.)
	}
\Pzn{
	\emph{Skoro všechny} prvky $X \in \g$ jsou regulární.\\(Ve smyslu: Nechť $\{e_j\}_{j=1}^n$ báze $\g$ a $X=\alpha^i e_i$, potom $\mu (\{\{\alpha^i\}_{i=1}^n \in \C^n | \text{$X$ není regulární} \})=0$)%, $\mu$ je Lebesgueova míra na $\C^n$.)
	}	
\Vet{
	Buď $H \in \g$ regulární, $\g$ poloprostá. Potom $\g_0(H)$ je Cartanova podalgebra $\g$.
	}
\Prl{Různé volby $\g_0$ pro algebru $\mfrk{sl}(2)=\mrm{span}\{H,X_+,X_-\}$.
	}
	Regulární prvky jsou např. $H$ a $X_++X_-$.\footnote{
		Tady je vidět, že vlastnost regularity není lineární, protože $X_+$ ani $X_-$ regulární nejsou.	
	} Definujeme souřadnicové funkcionály:
	\begin{align*}
	X=\phi (X)H+\phi_+(X)X_++\phi_-(X)X_-\,.
	\end{align*}
	Můžeme tak nalézt dva rozklady
	\begin{small}
	\begin{align*}
	\g_0&=\g_0(H)=\mrm{span}\{H \}, & \g_{\lambda_1} &=\mrm{span}\{X_+\}, & \g_{-\lambda_1} &=\mrm{span}\{X_-\}\,; \\
	\g_0&=\g_0(X_++X_-)=\mrm{span}\{X_++X_- \}, & \g_{\lambda_2} &=\mrm{span}\{H-X_++X_-\}, & \g_{-\lambda_2} &=\mrm{span}\{-H-X_++X_-\}\,,
	\end{align*}	
	\end{small}
	$\lambda_1=2\phi$, $\lambda_2=2(\phi_++\phi_-)$.	
\Pzn{
	$\left(\ad_X-(\lambda+\mu ) \right)^n[A,B]=\sum_{j=0}^n  {n\choose j}[(\ad_X-\lambda)^j A,(\ad_X-\mu )^{n-j}B]$, $\forall X,A,B \in \g$,\\
	$[\g_\lambda(H),\g_\mu (H)]\subset \g_{\lambda+\mu}(H)$\\
	(protože pro dostatečně vysoké $n$ nebo $(n-j)$ bude jeden člen komutátorů v $\sum$ vždy $0$).
	}
\lemma{
	$H_0$ je regulární. Potom $\g_0(H_0)$ je nilpotentní podalgebra $\g$.
	}
\Dsl{
	$\left. \ad_{\g_0(H_0)}\right\rvert_{\g}$ je maticová reprezentace $\g_0(H_0)$, tj. maticová nilpotentní algebra nad $\C$.
	}
Z~Engelovy věty víme, že existují $\{\lambda_i \}\subset (\g_0(H_0))^*$ takové, že $\forall H \in \g_0(H_0)$ (poloprostá algebra) je
%	\begin{small}
	\begin{align*}
%	\setcounter{MaxMatrixCols}{15}
	\ad_H =	
	\begin{pmatrix}
	\lambda_1 (H) & \cdots & \cdot\\
	& \ddots & \vdots  \\
	&& \lambda_1 (H) \\
%	&&& \lambda_1 (H)   \\
%	&&&& \lambda_2 (H) & \xi^{(\lambda_2)}_{1,2} & \cdots & \xi^{(\lambda_2)}_{1,{m_2}} \\
%	&&&& & \ddots & \cdots & \vdots  \\
%	&&&& && \lambda_2 (H) & \xi^{(\lambda_2)}_{(m_2-1),m_2}  \\
%	&&&& &&& \lambda_2 (H)  \\
	&&&&  \ddots \\
	&&&&& \lambda_k (H) &  \cdots & \cdot \\
	&&&&& & \ddots & \vdots  \\
	&&&&& && \lambda_k (H)   \\
	&&&&& &&& \ddots
	\end{pmatrix} \,,
	\end{align*}
%	\end{small}
mezi $\lambda_i$ je určitě i nulový funkcionál (odpovídá $H \in \g_0(H_0)$).
\Def{
	Nenulové $\lambda_i$ z~rozkladu $\ad_H$ nazvu \emph{kořeny}. Množinu všech kořenů značíme $\Delta$.
	}
	Pro kořeny definujeme příslušné vlastní podprostory
\Def{
	\emph{Kořenový podprostor} příslušející k~$\lambda$ je $\g_{\lambda}=\{X\in \g |(\forall H \in \g_0)(\ad_H X=\lambda(H) X)\}$. Vektor $X_\lambda \in \g_\lambda$ nazvu \emph{kořenový vektor}.
	}	
	Tento rozklad je výhodný pouze pro \emph{poloprosté} algebry, protože tam vždy $\g_\lambda$ odpovídá celému zobecněnému podprostoru ($\lambda=0$ Cartanově podalgebře) a tak lze rozložit celou algebru
		\begin{align}
		\g= \dot{\sum_{\lambda \in \Delta \cup 0}}\g_\lambda \,.
		\end{align}			
	Pro nepoloprosté algebry to zaručeno není, protože pro zobecněné podprostory není zaručena existence vlastních vektorů v~nezobecněném smyslu a tedy ani příslušných funkcionálů $\lambda$.