02LIAG:Kapitola8: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Cartanova kritéria} \Vet{ $\g$ podalgebra $\g (V)$ a $\forall X,Y \in \g$ je $\Tr (XY)=0$, potom $\g$ je řešitelná.…“) |
|||
Řádka 107: | Řádka 107: | ||
&&&&& && \lambda_k (H) \\ | &&&&& && \lambda_k (H) \\ | ||
&&&&& &&& \ddots | &&&&& &&& \ddots | ||
− | \end{pmatrix}\,, | + | \end{pmatrix} \,, |
\end{align*} | \end{align*} | ||
% \end{small} | % \end{small} |
Verze z 27. 2. 2016, 12:05
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 20:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 06:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 14:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 19:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 17:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 01:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 15:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 12:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 20:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 03:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Cartanova kritéria} \Vet{ $\g$ podalgebra $\g (V)$ a $\forall X,Y \in \g$ je $\Tr (XY)=0$, potom $\g$ je řešitelná. } Následující věty umožňují rozhodnout, zda je $\g$ řešitelná nebo poloprostá pouze na základě znalosti $K$ a $\g^2$. Nazývají se \textbf{Cartanova kritéria}. \Vet{ $\g$ řešitelná $\Leftrightarrow$ $K(X,Y)=0$ $\forall X \in \g$, $\forall Y \in \g^{(1)}$. ($\g^{(1)}=\g^2$) } \Vet{ $\g$ poloprostá $\Leftrightarrow$ $K$ je nedegenerovaná. } \Pzn{ Pro konečněrozměrné vektorové prostory je bilineární formy $\omega$ degenerovaná $\Leftrightarrow$ $\det \omega =0$. \\ ($\omega$ značí v~tomto případě zároveň i matici formy.) } Připomeňme $\ii^\perp=\{X \in \g | K(X,Y)=0, \forall Y \in \ii \}$. %\Pzn{ % Integrabilní podvariety $M$, $N$, pro které $M \cap N \neq \emptyset$ lze navazovat, tj. vytvářet podvariety postupem $O=M \cup N$. % } \Vet{ Poloprostou $\g$ lze rozložit na přímý součet prostých ideálů. } \Vet{ Všechny derivace poloprosté $\g$ jsou vnitřní. } \Def{ \emph{Normalizátor} podprostoru $V$ v~$\g$ je $\Norm_\g (V)=\{X \in \g |(\forall Y \in V)([X,Y] \in V) \}$. } \Pzn{ Pro $\h$ podalgebry $\g$ je $\h \subset \Norm_\g (\h)$. Pro ideál $\ii$ je $\Norm_\g (\ii )=\g$. } \Def{ \emph{Cartanova podalgebra} $\g$ je nilpotentní podalgebra, která je rovna svému normalizátoru. } \Pzn{ Cartanova podalgebra je pro algebry nad $\C$ určena jednoznačně až na automorfismus. Nad $\R$ to obecně neplatí. } \Def{ $X \in \g$, $\g_\lambda (X) := \{Y \in \g | (\exists k \in \N)((\ad_X-\lambda)^k Y=0 )\}$. } \begin{itemize} \item Pro libovolný $X \in \g$ je $\g= \dot{{\sum}}_{\lambda \in \C} \g_\lambda (X)$. \item $\dim \g_0 (X) \ge 1$, protože $\ad_X X =[X,X]=0$ a tedy $X \in \g_0 (X)$.\footnote{ Pro $X=0$ je zřejmě $\g_0(0)=\g$. } \item $\dim \g_0(X)$ se nazývá \emph{nulita prvku $X$}. \end{itemize} \Def{ $X \in \g$ je \emph{regulární} $\Leftrightarrow$ $\dim \g_0(X)=\min_{Y \in \g} \dim \g_0(Y)$ \\ (Tj. nulita je nejmenší možná.) } \Pzn{ \emph{Skoro všechny} prvky $X \in \g$ jsou regulární.\\(Ve smyslu: Nechť $\{e_j\}_{j=1}^n$ báze $\g$ a $X=\alpha^i e_i$, potom $\mu (\{\{\alpha^i\}_{i=1}^n \in \C^n | \text{$X$ není regulární} \})=0$)%, $\mu$ je Lebesgueova míra na $\C^n$.) } \Vet{ Buď $H \in \g$ regulární, $\g$ poloprostá. Potom $\g_0(H)$ je Cartanova podalgebra $\g$. } \Prl{Různé volby $\g_0$ pro algebru $\mfrk{sl}(2)=\mrm{span}\{H,X_+,X_-\}$. } Regulární prvky jsou např. $H$ a $X_++X_-$.\footnote{ Tady je vidět, že vlastnost regularity není lineární, protože $X_+$ ani $X_-$ regulární nejsou. } Definujeme souřadnicové funkcionály: \begin{align*} X=\phi (X)H+\phi_+(X)X_++\phi_-(X)X_-\,. \end{align*} Můžeme tak nalézt dva rozklady \begin{small} \begin{align*} \g_0&=\g_0(H)=\mrm{span}\{H \}, & \g_{\lambda_1} &=\mrm{span}\{X_+\}, & \g_{-\lambda_1} &=\mrm{span}\{X_-\}\,; \\ \g_0&=\g_0(X_++X_-)=\mrm{span}\{X_++X_- \}, & \g_{\lambda_2} &=\mrm{span}\{H-X_++X_-\}, & \g_{-\lambda_2} &=\mrm{span}\{-H-X_++X_-\}\,, \end{align*} \end{small} $\lambda_1=2\phi$, $\lambda_2=2(\phi_++\phi_-)$. \Pzn{ $\left(\ad_X-(\lambda+\mu ) \right)^n[A,B]=\sum_{j=0}^n {n\choose j}[(\ad_X-\lambda)^j A,(\ad_X-\mu )^{n-j}B]$, $\forall X,A,B \in \g$,\\ $[\g_\lambda(H),\g_\mu (H)]\subset \g_{\lambda+\mu}(H)$\\ (protože pro dostatečně vysoké $n$ nebo $(n-j)$ bude jeden člen komutátorů v $\sum$ vždy $0$). } \lemma{ $H_0$ je regulární. Potom $\g_0(H_0)$ je nilpotentní podalgebra $\g$. } \Dsl{ $\left. \ad_{\g_0(H_0)}\right\rvert_{\g}$ je maticová reprezentace $\g_0(H_0)$, tj. maticová nilpotentní algebra nad $\C$. } Z~Engelovy věty víme, že existují $\{\lambda_i \}\subset (\g_0(H_0))^*$ takové, že $\forall H \in \g_0(H_0)$ (poloprostá algebra) je % \begin{small} \begin{align*} % \setcounter{MaxMatrixCols}{15} \ad_H = \begin{pmatrix} \lambda_1 (H) & \cdots & \cdot\\ & \ddots & \vdots \\ && \lambda_1 (H) \\ % &&& \lambda_1 (H) \\ % &&&& \lambda_2 (H) & \xi^{(\lambda_2)}_{1,2} & \cdots & \xi^{(\lambda_2)}_{1,{m_2}} \\ % &&&& & \ddots & \cdots & \vdots \\ % &&&& && \lambda_2 (H) & \xi^{(\lambda_2)}_{(m_2-1),m_2} \\ % &&&& &&& \lambda_2 (H) \\ &&&& \ddots \\ &&&&& \lambda_k (H) & \cdots & \cdot \\ &&&&& & \ddots & \vdots \\ &&&&& && \lambda_k (H) \\ &&&&& &&& \ddots \end{pmatrix} \,, \end{align*} % \end{small} mezi $\lambda_i$ je určitě i nulový funkcionál (odpovídá $H \in \g_0(H_0)$). \Def{ Nenulové $\lambda_i$ z~rozkladu $\ad_H$ nazvu \emph{kořeny}. Množinu všech kořenů značíme $\Delta$. } Pro kořeny definujeme příslušné vlastní podprostory \Def{ \emph{Kořenový podprostor} příslušející k~$\lambda$ je $\g_{\lambda}=\{X\in \g |(\forall H \in \g_0)(\ad_H X=\lambda(H) X)\}$. Vektor $X_\lambda \in \g_\lambda$ nazvu \emph{kořenový vektor}. } Tento rozklad je výhodný pouze pro \emph{poloprosté} algebry, protože tam vždy $\g_\lambda$ odpovídá celému zobecněnému podprostoru ($\lambda=0$ Cartanově podalgebře) a tak lze rozložit celou algebru \begin{align} \g= \dot{\sum_{\lambda \in \Delta \cup 0}}\g_\lambda \,. \end{align} Pro nepoloprosté algebry to zaručeno není, protože pro zobecněné podprostory není zaručena existence vlastních vektorů v~nezobecněném smyslu a tedy ani příslušných funkcionálů $\lambda$.