02LIAG:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Souvislost Lieových grup a algeber } \Def{ Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá právě tehdy, když \begin{…“) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02LIAG} | %\wikiskriptum{02LIAG} | ||
− | |||
\Def{ | \Def{ | ||
Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá právě tehdy, když | Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá právě tehdy, když |
Verze z 27. 2. 2016, 11:57
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 20:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 06:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 14:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 19:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 17:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 01:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 15:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 12:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 20:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 03:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \Def{ Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá právě tehdy, když \begin{align*} &(\forall \gamma \in \Cs^0(\langle 0,1 \rangle, M) ), \gamma (0)=\gamma (1) ) \\ &(\exists \phi \in \Cs^0(\langle 0,1 \rangle^{\times 2}, M)\text{, splňující }\phi (t,0)=\gamma (t)\; \& \; \phi (t,1)=\phi (0,s)=\phi(1,s)=\gamma (0) \,, \forall t,s \in \langle 0,1 \rangle ). \end{align*} } To znamená, že libovolnou uzavřenou křivku $\gamma$ lze spojitě kontrahovat do bodu. \Def{ Buďte $M$, $\overline{M}$ souvislé variety. $\overline{M}$ je \emph{nakrytí} $M$ právě, když $\exists$ $\pi : \overline{M} \to M$ splňující \begin{itemize} \item $\forall p \in M$, $\exists U(p)$, $\pi^{(-1)}(U(p))=\bigcup_{\alpha \in \mathcal{I}_p}U_\alpha$, $U_\alpha = U_{\alpha}^\circ \subset \overline{M}$, $U_\alpha \cap U_\beta = \emptyset$, \item $\left. \pi \right\rvert_{U_\alpha}: U_\alpha \to U(p)$ je difeomorfismus. \end{itemize} } Pojem nakrytí je podrobněji rozebrán ve Feckovi, kapitola 13.3. \Def{ Nakrytí $\overline{M}$ variety $M$ je \emph{univerzální} právě, když $\overline{M}$ je jednoduše souvislá. } \Pzn{ Protože je nakrytí lokální difeomorfismus platí pro Lieovy grupy $G$ a nakrytí $\overline{G}$ vztah $\g \simeq \overline{\g}$. } Návod na vytvoření univerzálního nakrytí viz poznámky, pomocí definice tříd ekvivalence křivek lze toto nakrytí vždy zkonstruovat.\footnote{ (Velmi hrubě řečeno a možná i špatně... ): K~libovolnému bodu z~$M$ (mohu pro jednoduchost volit $e_G$ v~Lieově grupě, v~obecné varietě k~dispozici nemám) zkonstruuji třídu množinu všech křivek z~něj vycházejícího. Křivky $\gamma_1$, $\gamma_2$ nazvu ekvivalentní, pokud dráhu $\gamma_1 \dot{+} \gamma_2$ lze kontrahovat do bodu. Tímto postupem odliším křivky, které \emph{by šly po různých stranách kolem nějaké díry}. Dále je potřeba ověřit, že lze na vytvořené množině vytvořit strukturu hladké variety a následně Lieovy grupy homomorfní s~původní strukturou. } \Vet{ Ke každé konečněrozměrné $\g$ existuje právě jedna souvislá a jednoduše souvislá $G$ splňující $\g =T_{e_G}G$. Pro libovolnou $\tilde{G}$ s~$T_{e_{\tilde{G}}}\tilde{G}=\g$ platí $\tilde{G} \simeq G/D$, $D \unlhd G$, $\# D \le \# \N$.\\ (To znamená, že $\tilde{G}$ je nakrývána $G$.) } Z~podmínky normality a diskrétnosti máme pro pevně zvolený $d_0 \in D$, $G_{d_0}=\{gd_0 g^{-1}|G \in G \}$ zobrazení $\phi$, $\phi (g)=gd_0 g^{-1}$, je hladké. $G_{d_0}$ je proto souvislá a zároveň je podmnožinou diskrétní $D$, takže $G_{d_0}=\{d_0\}$, tj. $gd_0 g^{-1}=d_0$, $\forall g \in G$. \Pzn{ $D$ nutně leží v~$\Zs (G)$. } Pomocí předchozích vět máme vyřešen problém všech souvislých $G$ se stejnou $\g$. Teoreticky můžu vždy nalézt univerzální nakrytí a následně ho faktorizovat podle možných $D$ a tím získám všechny $G$. \Pzn{ ??? Reprezentaci $\g$ lze vyintegrovat na reprezentaci $\rho_G$ jednoduše souvislé $G$. Pro $G/D$ může nastat \begin{itemize} \item $\rho_G (D) =(\vec{1})$ a máme tedy reprezentaci $G/D$, \item nebo $\rho_G (D) \neq (\vec{1})$ a reprezentaci nemáme (víceznačná reprezentace). \end{itemize} }