Verze z 14. 6. 2016, 22:12

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Akce grupy na varietě}
 
\Def{
	\textbf{(Levá) akce Lieovy grupy} $G$ na varietě $M$ je hladké zobrazení $\phi : G \times M \to M$ vyhovující
	\begin{itemize}
		\item $\phi (g_1 g_2 , m) = \phi (g_1, \phi(g_2 ,m)) $, $\forall g_1,g_2 \in G$, $\forall m \in M$,
		\item $\phi (e,m)=m$, $\forall m \in M$.
	\end{itemize}
	}
\Pzn{
	Obdobně \textbf{pravá akce}:
	\begin{itemize}
		\item $\phi (m,g_1g_2) = \phi(\phi (m,g_1),g_2),\ \forall g_1,g_2 \in G,\ \forall m \in M$,
		\item $\phi (m,e)=m$, $\forall m \in M$.
		\end{itemize} 
	Pravá akce lze vyjádřit pomocí levé akce záměnou $g \to g^{-1}$.
	}
\Def{
	Pro uzavřenou (v~topolgii $G$) podgrupu $H$ Lieovy grupy $G$. Definujeme \textbf{levé cosety} $gH=\{gh|h \in H \}$. ($gH=\mathcal{O}_g$ jsou tedy orbity pravé akce $H$ na $G$.) Množinu levých cosetů označíme $G/H$, tj. $G/H=\{gH | g \in G\}$.
	}
\Pzn{
	Pro $H=\overline{H} \le G$ lze na $G/H$ zavést právě jednu hladkou strukturu takovou, že $(G,G/H ,\pi ; H)$, $\pi : G \to G/H$, $\pi (g) =gH$, je fibrovaný prostor.  
	}		
\Def{
	Akce $\phi : G \times M \to M$ je \textbf{tranzitivní} $\Leftrightarrow$
	$(\forall m_1,m_2 \in M ) (\exists g \in G )(m_2 =\phi (g, m_1))$.
	}
\Def{
	Nechť $\phi$ tranzitivní $x_0 \in M$. Grupa izotropie (nebo také grupa stability nebo malá grupa) bodu $x_0$ je
	\begin{align}
	H_{x_0}=\{g \in G | \phi (g,x_0 )=x_0 \} \,.
	\end{align}
	}
\Pzn{
	Protože pro libovolné $x \in M,\ \exists g_x \in G$ takové, že $x=\phi(g_x ,x_0)$, tedy $\forall g_0 \in H_{x_0},\ \phi(g_xg_og_x^{-1},x) = \phi(g_x, \phi(g_0, \phi(g_x^{-1},x))) = x$, platí $H_x=g_x H_{x_0} g^{-1}_x$, tj. všechny grupy izotropie jsou konjugované, totožné v~případě normálních $H_x$. 
	}
\Dsl{
	Pro tranzitivní $\phi$ je $M \simeq G/H_{x_0}$ a volba nezávisí na $x_0$, protože $\forall g_x \in G,\ \phi(g_xH_{x_0},x_0) = \phi(g_x,x_0) = x$, máme tedy korespondenci $G/H_{x_0} \ni g_xH_{x_0} \leftrightarrow x \in M$.
	}
\Def{
	Variety, která lze zapsat ve tvaru $M \simeq G/H_{x_0}$ pro nějakou Lieovu grupu $G$ s~tranzitivní akcí nazveme \textbf{homogenní prostor}.
	}