02LIAG:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m
Řádka 13: Řádka 13:
 
%\Pzn{ ??? Tedy například integrální křivky jsou integrální podvariety dimenze 1. }
 
%\Pzn{ ??? Tedy například integrální křivky jsou integrální podvariety dimenze 1. }
 
\Def{
 
\Def{
Distribuce $\Delta_k$ je (úplně) integrabilní právě tehdy, když $\forall p \in M$ existují na okolí $U$ bodu $p$ souřadnice $\left( x^1,\dots x^k, y^1,\dots,y^{n-k}\right)$ takové, že rovnice $y^j = konst_j,\forall j \in \widehat{n-k}$ definují $k$-rozměrné integrabilní podvariety distribuce $\Delta_k$. Takové $(x,y)$ se nazývá Frobeniova mapa.
+
Distribuce $\Delta_k$ je (úplně) integrabilní právě tehdy, když $\forall p \in M$ existují na okolí $U$ bodu $p$ souřadnice $\left( x^1,\dots x^k, y^1,\dots,y^{n-k}\right)$ takové, že rovnice $y^j = konst_j,\forall j \in \widehat{n-k}$ definují $k$-rozměrné integrální podvariety distribuce $\Delta_k$. Takové $(x,y)$ se nazývá Frobeniova mapa.
 
}
 
}
 
\Vet{(Frobeniova)
 
\Vet{(Frobeniova)

Verze z 17. 7. 2016, 19:04

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Nástin teorie integrabilních distribucí}
 
\Def{
	$k$-rozměrná distribuce na varietě $M$, $\dim M =n \ge k$, je hladké zobrazení, které každému $p \in M$ přiřazuje $k$-rozměrný podprostor v~$T_pM$. Značíme $\Delta_k (p) \subset T_pM$, $\dim \Delta_k(p)=k$.
	}
\Pzn{
	Hladkost z předcházející definice chápeme ve smyslu: $\forall p \in M,\ \exists U=U^\circ,\ X_1,\dots,X_k \in \Xs(U)$ tak, že $\Delta_k(q) = \mrm{span}\left\{\zuz{X_1}{q},\dots,\zuz{X_k}{q}\right\},\ \forall q \in U$.
	}
\Def{
	Integrální podvarieta dimenze $l$ distribuce $\Delta_k$ je vložená podvarieta $N$ dimenze $l$ taková, že $\forall p \in N$ je $T_pN \subset \Delta_k (p)$.
	}
%\Pzn{	??? Tedy například integrální křivky jsou integrální podvariety dimenze 1.	}	
\Def{
	Distribuce $\Delta_k$ je (úplně) integrabilní právě tehdy, když $\forall p \in M$ existují na okolí $U$ bodu $p$ souřadnice $\left( x^1,\dots x^k, y^1,\dots,y^{n-k}\right)$ takové, že rovnice $y^j = konst_j,\forall j \in \widehat{n-k}$ definují $k$-rozměrné integrální podvariety distribuce $\Delta_k$. Takové $(x,y)$ se nazývá Frobeniova mapa.
	}
\Vet{(Frobeniova)
	$\Delta_k$ je úplně integrabilní $\Leftrightarrow$ $[\Delta_k , \Delta_k] \subset \Delta_k$, to znamená \\
	$(\forall U=U^\circ \subset M )(\forall X,Y \in \Xs (U))(\forall p \in U)((X(p), Y(p) \in \Delta_k(p)) \Rightarrow 
	(\forall q \in U)([X,Y](q) \in \Delta_k(q))$.
	(Používá se zápisu $([X,Y]\in \Delta_k) \;\Leftrightarrow\; (\forall q \in U)([X,Y](q) \in \Delta_k(q))$.)
	}
\Pzn{
	$[\Delta_k,\Delta_k](p) = \mrm{span}\left\{ \zuz{[X_1,X_2]}{p} \middle| X_1,X_2 \in \Xs(U), p\in U = U^{\circ},\forall q \in U : \zuz{X_i}{q} \in \Delta(q)\right\}$
	}
\Pzn{
	Integrabilní podvariety $M$, $N$, pro které $M \cap N \neq \emptyset$ lze navazovat, tj. vytvářet podvariety postupem $O=M \cup N$.
	}	
\Def{
	Sjednocením ntegrabilních podvariet získáme listy distribuce $\Delta_k$. \textbf{Maximální list} je takový, ke kterému už nelze přidat žádnou integrální podvarietu. Maximální listy tvoří tzv. foliaci variety danou integrabilní distribucí.
	}
\Pzn{
	Nejedná se obecně o vložení, protože se vloženost může narušit nekonečným sjednocením (viz příklad s~$T^2$).
	}
\Vet{(Chevalley)
	Maximální listy integrabilní distribuce je prostě vnořené podvariety.
	}
 
\Dsl{
	Pro Lieovu grupu $G$ a algebru $\g$ a podalgebru $\h \subset \g$, splňující $[\h ,\h] \subset \h$ je podvarieta $H$ z~poznámky~\ref{Veta} maximální list integrabilní distribuce určené $\h$ procházející $e$. $H$ je podgrupa, protože díky levoinvariantnosti $\h$ je $gH$ opět maximální list. Ten je z definice buď totožný s původním nebo s ním má prázdný průnik. Ale pokud $g \in H \rimpl ge = g \in H \rimpl gH = H$. Obdobně $g \in H \rimpl g^{-1}H = H$, protože $g^{-1}g = e \in H \rimpl g^{-1} \in H$.
	}