02LIAG:Kapitola17

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
 
\section{Cvičení}
\Prl{
	$\mfrk{so}(3,\C)\sim\mfrk{sl}(2,\C): [L_3,L_\pm]=\pm L_\pm,\ [L_+,L_-] = 2L_3$,
	\begin{align*}
		&\rho(L_3) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, && 
		\rho(L_+) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, && 
		\rho(L_-) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\
		&\rho(L_3)\ket{\uparrow} = \frac{1}{2}\ket{\uparrow}, && \rho(L_3)\ket{\downarrow} = -\frac{1}{2}\ket{\downarrow}, && \text{váhy: } \lambda = \pm\frac{1}{2},
		\end{align*}
	$\rho:\mfrk{sl}(2,\C) \to \gl\left(D^{1/2}\right),\ D^{1/2} = \mrm{span}\left\{ \ket{\uparrow},\ket{\downarrow} \right\}$	.
	Tenzorový součin $\rho$ se sebou samou:
	\begin{align*}
		(\rho\otimes\rho)(L_3) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
		\end{align*}
	\begin{align*}
		&(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\uparrow\uparrow} = \ket{\uparrow\uparrow} && 
		(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\uparrow\downarrow} = \frac{1}{2}\ket{\uparrow\downarrow} -\frac{1}{2}\ket{\uparrow\downarrow} = 0 \\
		&(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\downarrow\downarrow} = -\ket{\downarrow\downarrow} && 
		(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\downarrow\uparrow} = 0 \\
		\\
		&(\rho\otimes\rho)(L_-)\ket{\uparrow\uparrow} = \ket{\downarrow\uparrow} + \ket{\uparrow\downarrow} && (\rho\otimes\rho)(L_-)\big(\ket{\downarrow\uparrow} - \ket{\uparrow\downarrow}\big) = \ket{\downarrow\downarrow} - \ket{\downarrow\downarrow}  = 0\\
		&(\rho\otimes\rho)(L_-)\ket{\downarrow\downarrow} = 0 && \\
		\\
		& (\rho\otimes\rho)(L_+) \dots 
		\end{align*}	
	Váhy: $\pm 2\lambda,0;\ n_{\pm 2\lambda} = 1,\ n_0 = 2$.			
		}
\Prl{
	$A_l = \mfrk{sl}(l+1,\C)$, kořeny: $\alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ \alpha_i(T_j) = a_{ij}$,
	\begin{align*}
		a =\begin{pmatrix}
			2 & -1 & \\
			-1 & \ddots & \ddots \\
			& \ddots & \ddots & -1 \\
			& & -1 & 2
			\end{pmatrix}, && 
		\phi_i \begin{pmatrix}
			\lambda_1 \\
			& \ddots \\
			& & \lambda_{l+1}
			\end{pmatrix} = \lambda_i.
		\end{align*}
	$\alpha_i(T_j) = a_{ij} = t_{j,i} - t_{j,i+1} \neq 0 \text{ pro } i = j-1,j,j+1:$ 
		\end{align*}	
	\begin{align*}
		\left.\begin{array}{rl}
			\alpha_{j-1}(T_j) &= t_{j,j-1} - t_{j,j} = -1 \\
			\alpha_j(T_j) &= t_{j,j} - t_{j,j+1} = 2 \\
			\alpha_{j+1}(T_j) &= t_{j,j+1} - t_{j,j+2} = -1 \\
			\end{array} \right\} \rimpl T_j = 	\begin{array}{cc}
				\left(\begin{array}{cccccc}
				\ddots \\
				& 0 \\
				& & 1 & \dots & \dots & \dots \\
				& & & -1 \\
				& & & & 0 \\
				& & & & & \ddots \\
				\end{array}\right) &
				\begin{array}{c}
					\\ \\ j \\ \\ \\ \\  
					\end{array}	
				\end{array}
		\end{align*}	
	Fundamentální váhy, $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$:
	\begin{align*}
		&\lambda_1 \begin{pmatrix}
			1 \\
			& -1 \\
			& & 0 \\
			& & & \ddots \\
			& & & & 0
			\end{pmatrix} = 1, && 
		\lambda_1 \begin{pmatrix}
			\ddots \\
			& 0 \\
			& & 1 \\
			& & & -1 \\
			& & & & 0 \\
			& & & & & \ddots \\
			\end{pmatrix} = 0 && \rimpl \lambda_1 = \phi_1 \\
		&\lambda_2\begin{pmatrix}
			1 \\
			& -1 \\
			& & 0 \\
			& & & \ddots \\
			& & & & 0
			\end{pmatrix} = 0, && 
		\lambda_2\begin{pmatrix}
			0 \\
			& 1 \\
			& & -1 \\
			& & & 0 \\
			& & & & \ddots \\
			\end{pmatrix} = 1, \\
		&\lambda_2 \begin{pmatrix}
			\ddots \\
			& 0 \\
			& & 1 \\
			& & & -1 \\
			& & & & 0 \\
			& & & & & \ddots \\
			\end{pmatrix} = 0 &&\rimpl \lambda_2 = \phi_2 + \phi_1
		\end{align*}	
	$\Rightarrow\quad \lambda_i = \phi_1 + \dots + \phi_i$. Je vidět že pak platí $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$.
 
	Mějme definující reprezentaci v standardní bázi $(e_j),\ D \in \g_0,\ \ De_j = \left(\begin{smallmatrix} d_1 \\ & \ddots \\ && d_{l+1} \end{smallmatrix} \right) e_j = d_je_j$, její váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_{l+1} \},\ \phi_{l+1} = -(\phi_1 + \dots + \phi_l)$, lze zapsat jako $\{ \phi_1, \phi_1 - \alpha_1, \phi_1 - \alpha_1 - \alpha_2, \dots,\phi_1 - \alpha_1 - \dots - \alpha_l \}$. Nejvyšší váha je $\phi_1 = \lambda_1$, násobnosti $1$, $\dim\rho_1 = l+1$. $\rho_1 \land \rho_1$:
	\begin{align*}
		(\rho_1 \land \rho_1)(e_i \land e_j) &= (D \otimes \mathbb{1} + \mathbb{1} \otimes D)(e_i \otimes e_j - e_j \otimes e_i) = \\
		&= d_ie_i \otimes e_j - d_je_j \otimes e_i + e_i \otimes d_je_j - e_j \otimes d_ie_i = (d_i+d_j)(e_i \land e_j),
		\end{align*}
	váhy: $\{ \phi_i + \phi_j | i \neq j \},\ \dim \rho\land\rho = \binom{l+1}{2}$, nejvyšší je $\phi_1 + \phi_2$.
 
	Pro $\rho^{\land j}$ jsou váhy $\left\{ \phi_{i_1} + \dots + \phi_{i_j} \middle| i_1 < \dots < i_j \right\},\ \dim\rho^{\land j} = \binom{l+1}{j}$, nejvyšší váha $\lambda_j = \phi_1 + \dots + \phi_j$.
 
	Pro $\rho^{\land l}$ jsou váhy $\left\{ \sum_{i\neq 1}\phi_i,\dots,\sum_{i\neq l+1}\phi_i \right\} = \{ -\phi_1,\dots,-\phi_{l+1} \} \overset{l\neq 1}{\neq} \{ \phi_1,\dots,\phi_{l+1} \}$. Když $l=1$, pak $\rho^{\land l=1} \simeq \rho$, tj. $\rho^{\land l=1}$ je izomorfní definující reprezentaci.
	}	
\Pzn{
	Nechť $\rho$ reprezentace $\g$ na $V$, definujeme $\rho^T: \rho^T(X) = (-\rho(X))^T \rimpl \rho^{\land l} = \rho^T$.
	}	
\Prl{
	$C_l = \mfrk{sp}(2l,\C),\ D \in \g_0,\ \phi_i(D) = d_i,\ \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ i \leq l-1,\ \alpha_l = 2\phi_l,\ \alpha_i(T_j) = a_{ij}$:
	\begin{align*}
		D = \begin{pmatrix}
			d_1 \\
			& \ddots \\
			&& d_l \\
			&&& -d_1 \\
			&&&& \ddots \\
			&&&&& -d_l 
		\end{pmatrix} && (a_{ij}) = \begin{pmatrix}
			2 & -1 \\
			-1 & \ddots & \ddots \\
			& \ddots & \ddots & \ddots \\
			& & -1 & 2 & -1 \\
			& & & -2 & 2
			\end{pmatrix} 
		\end{align*}
	\begin{align*}		
		T_j &= \begin{array}{cc}
			\left(\begin{array}{ccccccccccc}
			\ddots \\
			& 0 \\
			&& 1 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
			&&& -1 \\
			&&&& 0 \\
			&&&&& \ddots \\
			&&&&&& 0 \\
			&&&&&&& 1 & \dots & \dots & \dots  \\
			&&&&&&&& -1 \\
			&&&&&&&&& 0 \\
			&&&&&&&&&& \ddots \\
			\end{array}\right) &			
		\begin{array}{c}
			\\
			\\
			j \\
			\\
			\\
			\\
			\\
			\\
			l+j \\
			\\
			\\
			\\
			\end{array}		
		\end{array},\ pro j \leq l-1
		\end{align*}
	\begin{align*}
		\left .\begin{array}{rl}
				\alpha_i(T_l) &= 0,\ i < l-1 \\
				\alpha_{l-1}(T_l) &= -1 \\
				\alpha_l(T_l) &= 2 
				\end{array} \right\} \rimpl T_l = \begin{array}{cc}
					\left(\begin{array}{ccccccc}
						\ddots \\
						& 0 \\
						&& 1 & \dots & \dots & \dots & \dots \\
						&&& 0 \\
						&&&& \ddots \\
						&&&&& 0 \\
						&&&&&& 1 \\
						\end{array}\right) &
					\begin{array}{c}
						\\
						\\
						l \\
						\\
						\\
						\\
						\\
						\end{array}
					\end{array}\\
		\end{align*}	
	$\lambda_i(T_j) = \delta_{ij} \rimpl \lambda_i = \phi_1 + \dots + \phi_i,\ i \in \hat{l}$. Definující reprezentace má váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_l,\phi_{-1},\dots,\phi_{-l} \},\ \dim = 2l$, nejvyšší váha je $\phi_1$.	
	}	
\Prl{
	$D_l = \mfrk{so}(2l,\C)$.
	\begin{align*}
		H = \begin{pmatrix}
			d_1\sigma_2 \\
			& \ddots \\
			&& d_l\sigma_2
			\end{pmatrix} = H(d_1,\dots,d_l) &&
		(a_{ij}) = \begin{pmatrix}
			2 & -1 \\
			-1 & \ddots & \ddots \\
			& \ddots & 2 & -1 & -1 \\
			& & -1 & 2 & 0 \\
			& & -1 & 0 & 2
			\end{pmatrix}
			\end{align*}
		\begin{align*}				
			 &\phi_i(H) = d_i && \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ i \leq l-1 \\
			 &T_i = H(0,\dots,0,\underset{i}{1},\underset{i+1}{-1},0,\dots,0),\ i \leq l-1 && \alpha_l = \phi_{l-1}+\phi_l
		\end{align*}
	$T_l$:
	\begin{align*}
		\left .\begin{array}{rll}
			\alpha_{l-2}(T_l) &= -1 &= d_{l-2} - d_{l-1} \\
			\alpha_{l-1}(T_l) &= 0 &= d_{l-1} - d_l \\
			\alpha_l(T_l) &= 2 &= \phi_{l-1}(T_l) + \phi_l(t_l) = d_{l-1} + d_l
			\end{array}\right\} \rimpl T_l = H(0,\dots,0,1,1)
		\end{align*}	
	$\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$:
	\begin{align*}
		\lambda_1 &= \phi_1 \\
		\lambda_i &= \phi_1 + \dots + \phi_i,\ i \leq l-2 \\
		\lambda_{l-1} &= \frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_{l-1} - \phi_l) \\
		\lambda_l &= \frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_l)
		\end{align*}	
	Definující reprezentace má váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_l,-\phi_1,\dots, -\phi_l \}$.	
	}	
\Prl{
	$B_l = \mfrk{so}(2l + 1)$.
	\begin{align*}
		H = \begin{pmatrix}
			d_1\sigma_2 \\
			& \ddots \\
			&& d_l\sigma_2 \\
			&&& 0
			\end{pmatrix} &&
			(a_{ij}) = \begin{pmatrix}
			2 & -1 \\
			-1 & \ddots & \ddots \\
			& \ddots & \ddots & -1 \\
			& & \ddots & 2 & -2 \\
			& &  & -1 & 2
			\end{pmatrix}
		\end{align*}
	\begin{align*}
		&\phi_i(H) = d_i && \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ i \leq l-1 \\
		&T_i = H(0,\dots,0,\underset{i}{1},\underset{i+1}{-1},0,\dots,0) && \alpha_l = \phi_l 
		\end{align*}	
	$T_l$:
	\begin{align*}
		\left.\begin{array}{rl}
			\alpha_{l-1}(T_l) &= -2 \\
			\alpha_l(t_l) &= 2
			\end{array}\right\} \rimpl T_l = H(0,\dots,0,2)
		\end{align*}	
	$\lambda_i(T_j)=\delta_{ij}$:
	\begin{align*}
		\lambda_i &= \phi_1 + \dots + \phi_i,\ i \leq l-1 \\
		\lambda_l &= \frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_l)
		\end{align*}	
	}