02LIAG:Kapitola11: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
| Řádka 2: | Řádka 2: | ||
\section{Dynkinovy diagramy} | \section{Dynkinovy diagramy} | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
\Def{ | \Def{ | ||
| − | \ | + | \textbf{Dinkinův diagram} je graf sestrojen následovně: |
| + | \begin{itemize} | ||
| + | \item vrcholy\dots kořeny $\Delta^p = \{ \alpha_j \}_{j=1}^l$, kde $l = \dim_\C \g_0$, | ||
| + | \item hrany\dots $\alpha_j,\alpha_k$ jsou spojeny $a_{jk}a_{kj}$ hranami (maximálně $3$ hrany). Pokud je hran více, zakreslíme šipku směrem k~většímu kořenu (ve smyslu normy indukované $\braket{\cdot , \cdot}$). | ||
| + | \end{itemize} | ||
| + | } | ||
| + | \Pzn{ | ||
| + | Pokud $a_{jk}a_{kj} > 1 \rimpl$BÚNO $a_{jk} = -1,\ a_{kj} < -1$: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | 1\geq \frac{a_{kj}}{a_{jk}} = \frac{\braket{\alpha_k,\alpha_k}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}} = \frac{\norm{\alpha_k}^2}{\norm{\alpha_j}^2} \rimpl \norm{\alpha_k}=\sqrt{-a_{kj}}\norm{\alpha_j} \rimpl \norm{\alpha_k}=\sqrt{2}\norm{\alpha_j} \lor \norm{\alpha_k}=\sqrt{3}\norm{\alpha_j} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | } | ||
| + | \Pzn{ | ||
| + | Z Dinkinova diagramu je možné zrekonstruovat Cartanovu matici. | ||
} | } | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
| − | + | Mějme $\g,\ \g_0,\ \Delta$. Pokud $\Delta = \Delta_1 \cup \Delta_2,\ \Delta_1 \cap \Delta_2 = \emptyset,\ \braket{ \alpha , \beta}=0,\ \forall \alpha \in \Delta_1,\ \forall \beta \in \Delta_2$, pak $\g_0 = \g_0^{(1)} \oplus \g_0^{(2)},\ \g = \g^{(1)} \oplus \g^{(2)}$, kde $\g^{(1)} = \g_0^{(1)} \dotplus \dot{\bigplus}_{\alpha\in\Delta_1}\g_\alpha,\ \g^{(2)} = \g_0^{(2)} \dotplus \dot{\bigplus}_{\beta\in\Delta_2} \g_\beta$. \\ | |
| − | + | $\left(\g_0^{(1)} = \mrm{span}_\R \{ H_\alpha \}_{\alpha\in\Delta_1},\ \g_0^{(2)} = \mrm{span}_\R \{ H_\beta \}_{\beta\in\Delta_2},\ [\g_1,\g_2]=0,\ K(\g_1,\g_2)=0 \right)$ \\ | |
| + | Tj. souvislé komponenty Dynkinova diagramu odpovídají prostým algebrám. | ||
} | } | ||
| + | \begin{proof} | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | K(H_\alpha,H_\beta) = \braket{\alpha,\beta} = \alpha(T_\beta)\frac{\braket{\beta,\beta}}{2} = 0,\qquad \forall H_\alpha \in \g_0^{(1)},\ H_\beta \in \g_0^{(2)} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | $\Rightarrow\quad \g_0 = \g_0^{(1)} \oplus \g_0^{(2)}$ a platí $\alpha(T_\beta) = a_{\alpha\beta} = 0,\ [H_\alpha,E_\beta] = \beta(H_\alpha)E_\beta = 0$. Zároveň $\forall \alpha \in \Delta_1,\ \forall \beta \in \Delta_2,\ [E_\alpha,E_\beta] = N_{\alpha\beta}E_{\alpha+\beta}$ pokud $\alpha + \beta \in \Delta$. BÚNO, nechť $\alpha + \beta \in \Delta_1 \rimpl \braket{ \alpha + \beta, \beta } = \braket{ \beta,\beta } \neq 0$, spor. Tj. $\forall \alpha \in \Delta_1,\ \beta \in \Delta_2,\ \alpha + \beta \notin \Delta \rimpl [E_\alpha,E_\beta] = 0$. \\ | ||
| + | |||
| + | $\g^{(1)}$ je podalgebra: Nechť $\alpha,\beta \in \Delta_1,\ \alpha+\beta \in \Delta$. Kdyby $\alpha + \beta \in \Delta_2$, pak $\braket{ \alpha+\beta,\beta } = \braket{ \beta,\beta } \neq 0$, spor.$\rimpl \alpha+\beta \in \Delta^{(1)}$. | ||
| + | \end{proof} | ||
| + | \Dsl{ | ||
| + | Nesouvislé Dinkinovy diagrami odpovídají poloprostým neprostým algebrám. | ||
| + | } | ||
| + | \Pzn{ | ||
Jednoduše řečeno máme kořeny rozděleny na nezávislé části, které spolu nijak neinteragují, takže i $\g$ je rozdělena na nezávislé části, které se komutováním nepromíchávají. | Jednoduše řečeno máme kořeny rozděleny na nezávislé části, které spolu nijak neinteragují, takže i $\g$ je rozdělena na nezávislé části, které se komutováním nepromíchávají. | ||
| + | } | ||
\lemma{ | \lemma{ | ||
| − | Nechť $\ | + | Nechť $\alpha_j,\alpha_k \in \Delta^p,\ j \neq k,\ \norm{\alpha_j} \leq \norm{\alpha_k}$. Potom počet hran spojujících $\alpha_j$ a $\alpha_k$ je $\# \{n \in \Z | \alpha_k+n \alpha_j \in \Delta \}-1$. |
} | } | ||
| − | + | \begin{proof} | |
| − | Definujeme $ | + | Počet hran mezi $\alpha_j,\alpha_k$ je $q =\frac{4|\braket{\alpha_j,\alpha_k}|^2}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}\braket{\alpha_k,\alpha_k}} \in \{ 1,2,3 \} \rimpl \frac{2\braket{\alpha_j,\alpha_k}}{\braket{\alpha_k,\alpha_k}} = -1,\ \frac{2\braket{\alpha_j,\alpha_k}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}} = -q = a_{kj} \rimpl \alpha_k + \alpha_j,\dots,\alpha_k - \frac{2\braket{\alpha_j,\alpha_k}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}\alpha_j = \alpha_k + q \alpha_j$ protože $\{ \alpha_k + n\alpha_j\}_{n=p}^q \subset \Delta$, kde $p=0$ díky $\alpha_j,\alpha_k \in \Delta^p$. Pokud $q = 0 \rimpl \braket{\alpha_j,\alpha_k} = 0 \rimpl \alpha_k + n \alpha_j \notin \Delta, \forall n \neq 0$. Takže $q = \# \{n \in \Z | \alpha_k+n \alpha_j \in \Delta \}-1$. |
| + | \end{proof} | ||
| + | |||
| + | \Pzn{ | ||
| + | Definujeme $e_j:=\frac{\alpha_j}{\norm{\alpha_j}},\ \forall \alpha_j \in \Delta^p$, tj. $\{ e_j \} = \Delta^p_{(N)}$ normovaná báze $\h^*$. Označíme $n_{jk} = a_{jk}a_{kj}$ počet hran spojujících $\alpha_j$ a $\alpha_k$. Pak platí $\braket{e_j, e_k}=-\frac{1}{2}\sqrt{n_{jk}}$. Pro libovolný $x=\sum_j x_je_j$, tedy máme | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
\norm{x}= | \norm{x}= | ||
| − | \sum_j x_j^2+2 | + | \sum_j x_j^2+2 \sum_{j < k} x_j x_k \braket{e_j,e_k} = \sum_j x_j^2 - \sum_{j < k} x_j x_k \sqrt{n_{jk}} >0 \,. |
| − | + | ||
\end{align} | \end{align} | ||
| − | + | % Tuto podmínku použijeme pro zjištění přípustných grafů, výsledky shrnuje následující lemma. | |
| + | } | ||
| + | \Def{ | ||
| + | Graf nazýváme přípustný, pokud jim určené konstanty $n_jk$ definují pozitivně definitní skalární součin | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \braket{x,x} = \sum_j x_j^2 - \sum_{j < k} x_j x_k \sqrt{n_{jk}} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | } | ||
\lemma{ | \lemma{ | ||
| − | + | Přípustné grafy splňují: | |
| − | \begin{ | + | \begin{enumerate} |
| − | \item | + | \item neobsahují uzavřené smyčky, |
| − | \item | + | \item v~každém vrcholu se setkávají nejvýše tři hrany, |
| − | \item | + | \item nahradíme-li dvojici vrcholů spojených jednou hranou jediným vrcholem dostaneme opět přípustný graf. |
| − | + | \end{enumerate} | |
| − | + | Tj., nejsou přípustné: \begin{LARGE}$ \equiv \! \cdot - $\end{LARGE}, \begin{LARGE}$ > \! \cdot \! - \! \cdot \! < $\end{LARGE}, \begin{LARGE}$ =\! \cdot \! - \! \cdot \! = $\end{LARGE}, \begin{LARGE}$= \! \cdot \! - \! \cdot \! <$\end{LARGE}. \\ | |
| − | + | Pro diagram na obr. \ref{diag_1} označíme $x=\sum_{j=1}^{p-1}je_j$, $y=\sum_{j=1}^{q-1}jf_j$, $z=\sum_{j=1}^{r-1}jg_j$ platí | |
| − | + | } | |
| + | \begin{proof} | ||
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item Nechť $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ odpovídají zmyčce bez podsmyčky. Vezmeme $x = \sum_{j=1}^k e_j$, tj. $\braket{e_j,e_{j+1}} \neq 0,\ \braket{e_k,e_1} \neq 0,\ \braket{e_i,e_j} = 0,\ \forall i < j-1$. | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \braket{x,x} = \sum_{j=1}^k 1 - \sum_{\substack{j=1 \\ k+1 \equiv 1}} \sqrt{n_{j,j+1}} \leq k - k = 0 | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | $\Rightarrow \quad$ nepřípustný graf, spor. | ||
| + | \item Nechť $e \in \Delta^p_{(N)}$ vrchol spojený hranami s $\{ e_j \}_{j=1}^k$, tj. $x = e - \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}e_j \neq 0,\ \braket{e_i,e_j} = 0,\ \forall i \neq j \in \{1,\dots,k\}$. | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | &\braket{x,x} = 1 + \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}^2 - \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}\braket{e,e_j} = 1 - \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}^2 > 0 \\ | ||
| + | &1 > \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}^2 = \sum_{j=1}^k \underbrace{\frac{\braket{\alpha,\alpha_j}^2}{\braket{\alpha,\alpha}\braket{\alpha_j,\alpha_j}}}_{\frac{1}{4}\#\{\text{hrany spoj. }\alpha\text{ a }\alpha_j\}} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | $\Rightarrow\quad 4 > $ počet hran na vrcholu $\alpha$, resp. $e$. | ||
| + | \item Nechť $\alpha_1,\alpha_2$ jsou spojené hranou. Pro libovolné $x = \sum_j^l x^j e_j$ platí: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \braket{x,x} = \left(x^1\right)^2 + \left(x^2\right)^2 - x^1x^2 + p_1\left(x^3,\dots,x^l\right)x^1 + p_2\left(x^3,\dots,x^l\right)x^2 + p_3\left(x^3,\dots,x^l\right). | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | Vrcholy $e_1,e_2$ nahradíme jediným vrcholem $e_{12}$, tj do $x$ dosadíme $x^1=x^2=x^{12}$. Dostávame tak $y := x^{12}e_{12} + \sum_{j=3}^l x^j e_j$ a dosazením do $\braket{x,x}$: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \braket{y,y} = \left( x^{12} \right)^2 + \left( p_1\left(x^3,\dots,x^l\right) + p_2\left(x^3,\dots,x^l\right)\right) x^{12} + p_3\left(x^3,\dots,x^l\right) | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | $\rimpl$máme pozitivně definitní skalární součin odpovídající sloučenému grafu. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| − | + | \end{proof} | |
| − | \end{ | + | \lmma{ |
| + | Graf\begin{LARGE}$\ \underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! = \! \underset{\text{\normalsize $3$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $4$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $5$}}{\cdot}\ $\end{LARGE}není přípustný. | ||
} | } | ||
| − | + | \begin{proof} | |
| − | \begin{ | + | $x = \sum_{j=1}^5 x^je_j$ |
| − | \item | + | \begin{align*} |
| − | \ | + | Q(x)= \braket{x,x} = \sum_{j=1}^5 \left( x^j \right)^2 - x^1x^2 - \sqrt{2}x^2x^3 - x^3x^4 - x^4x^5 |
| − | \ | + | \end{align*} |
| − | \ | + | Extrém je určen rovnicemi $\pd{Q}{x^j} = 0$: |
| − | \ | + | \begin{align*} |
| − | + | &1:\qquad 2x^1 - x^2 = 0 \\ | |
| − | + | &2:\qquad 2x^2 - x^1 -\sqrt{2}x^3 = 0 \\ | |
| + | &3:\qquad 2x^3 - \sqrt{2}x^2 - \x^4 = 0 \\ | ||
| + | &4:\qquad 2x^4 - x^3 - x^5 = 0 \\ | ||
| + | &5:\qquad 2x^5 - x^4 = 0 | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | $\Rightarrow\quad x = \left( \sqrt{2},2\sqrt{2},3,2,1 \right) \neq 0$ a zároveň $\braket{x,x} = 0 \rimpl$diagram není přípustný. | ||
| + | \end{proof} | ||
| + | \lmma{ | ||
| + | Uvažujme diagram tvaru: \begin{align*} \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $e_1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $e_2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $e_{p-2}$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $e_{p-1}$}}{\cdot} \!\!\! - \! | ||
| + | \overset{ \substack{ \text{\LARGE $\cdot$} \\ | \\ \overset{\vdots}{\ } \\ \overset{\ }{|} \\ \text{\LARGE$\cdot$} \\ |}}{\underset{\text{\normalsize $\psi$}}{\cdot}} \! | ||
| + | \overset{\substack{\text{\normalsize$\!\!\!\! g_1$} \\ \vspace{42pt} \\ \text{\normalsize $g_{r-1}$} \\ \vspace{3pt} }}{-} \!\!\!\! | ||
| + | \underset{\text{\normalsize $f_{q-1}$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $f_{q-2}$}}{\cdot} \!\!\! - \cdots - \! \underset{\text{\normalsize $f_2$}}{\cdot} \! - \underset{\text{\normalsize $f_1$}}{\cdot} $ } | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | kde $\norm{\psi} = \norm{e_j} = \norm{f_j} = \norm{g_j} = 1,\ p \geq q \geq r \geq 2$. Pak platí: | ||
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item Definujeme-li $x = \sum_{j=1}^{p-1}je_j,\ y = \sum_{j=1}^{q-1}jf_j,\ z = \sum_{j=1}^{r-1}jg_j$, pak $\braket{x,y} = \braket{x,z} = \braket{y,z} = 0,\ \braket{x,x} = \frac{p(p-1)}{2},\ \braket{y,y} = \frac{q(q-1)}{2},\ \braket{z,z} = \frac{r(r-1)}{2}$. | ||
| + | \begin{proof} | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \braket{x,x} = \sum_{j=1}^{p-1}j^2 - \sum_{j=1}^{p-2}j(j+1) = (p-1)^2 - \sum_{j=1}^{p-2}j = (p-1)^2 - \frac{(p-1)(p-2)}{2} =\frac{p(p-1)}{2} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \end{proof} | ||
| + | \item $\theta_x.\theta_y,\theta_z$ úhly mezi $x,y,z$ a $\psi \rimpl \cos^2\theta_x + \cos^2\theta_y + \cos^2\theta_z < 1$. | ||
| + | \begin{proof} | ||
| + | \begin{gather*} | ||
| + | \psi - \sum_{u \in \{x,y,z\}}\frac{\braket{\psi,u}}{\norm{u}}u \neq 0 \rimpl 1 > \sum_{u \in \{x,y,z\}}\frac{|\braket{\psi,u}|^2}{\braket{u,u}} = \sum_{u \in \{x,y,z\}}cos^2\sphericalangle(\psi,u) | ||
| + | \end{gather*} | ||
| + | \end{proof} | ||
| + | \item Platí $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$. | ||
| + | \begin{proof} | ||
| + | \begin{gather*} | ||
| + | \frac{|\braket{\psi,x}|^2}{\braket{x,x}} = \frac{|\braket{\psi,(p-1)e_{p-1}}|^2}{\braket{x,x}} = \frac{(p-1)^2}{\frac{p(p-1)}{2}}\underbrace{|\braket{\psi,e_{p-1}}|^2}_{=\frac{1}{4}} = \frac{(p-1)}{2p}\\ | ||
| + | 1 > \sum_{u \in \{x,y,z\}}\frac{|\braket{\psi,u}|^2}{\braket{u,u}} = \frac{p-1}{2p} + \frac{q-1}{2q} + \frac{r-1}{2r} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\left( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} \right) | ||
| + | \end{gather*} | ||
| + | $\Rightarrow\quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ | ||
| + | \end{proof} | ||
| + | \item Přípustné možnosti jsou: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | r = 2 \quad \left\{ \begin{array}{l} | ||
| + | q = 2 \ \dots \ p \geq 2 \\ | ||
| + | q = 3 \ \dots \ p = 3,4,5 | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \end{enumerate} | ||
| + | } | ||
| + | \Pzn{ | ||
| + | Je dobré si uvědomit, že kořenové vektory pozitivních kořenů společně s $\g_0$ tvoří řešitelnou podalgebru $\g$. | ||
| + | } | ||
| + | \Vet{ | ||
| + | Buď $\g$ komplexní prostá Lieova algebra, $\g_0$ její Cartanova podalgebra, $\Delta$ systém kořenů, $\Delta^p \subset \Delta$. Pak její Dinkinův diagram má jednu z následujícíh podob: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \text{klasické série algeber}&\left\{\begin{array}{lllll} | ||
| + | A_l: &&\ \ \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-1$}}{\cdot} \!\!\! - \underset{\text{\normalsize $l$}}{\cdot} $} && \mfrk{sl}(l+1,\C),\ l\ge 1 \vspace{5pt} \\ | ||
| + | B_l: &&\ \ \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-2$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-1$}}{\cdot} \!\!\! \Leftarrow \! \underset{\text{\normalsize $l$}}{\cdot} $} &&\mfrk{so}(2l+1,\C),\ l\ge 2 \vspace{5pt} \\ | ||
| + | C_l: &&\ \ \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-2$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-1$}}{\cdot} \!\!\! \Rightarrow \! \underset{\text{\normalsize $l$}}{\cdot} $} &&\mfrk{sp}(2l,\C),\ l\ge 3 \vspace{5pt} \\ | ||
| + | D_l: &&\ \ \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-3$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-2$}}{\cdot} \!\!\! < \!\!\! \text{\small $ \begin{array}{ll} | ||
| + | \text{\LARGE $\cdot$} & \text{\normalsize $\!\!\! l-1$}\\ | ||
| + | \text{\LARGE $\cdot$} & \text{\normalsize $\!\!\! l$} | ||
| + | \end{array}$} $} &&\mfrk{so}(2l,\C),\ l\ge 4 | ||
| + | \end{array}\right. \\ | ||
| + | \text{výjimečné algebry}&\left\{\begin{array}{lllll} | ||
| + | E_6: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! - \! \overset{\substack{\text{\LARGE $\cdot$} \\ |}}{\cdot} \! - \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\ | ||
| + | E_7: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! - \! \cdot \! - \! \overset{\substack{\text{\LARGE $\cdot$} \\ |}}{\cdot} \! - \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\ | ||
| + | E_8: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! - \! \cdot \! - \! \cdot \! - \! \overset{\substack{\text{\LARGE $\cdot$} \\ |}}{\cdot} \! - \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\ | ||
| + | F_4: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! \Rightarrow \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\ | ||
| + | G_2: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! \Rrightarrow \! \cdot $}\end{array} && \\ | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | } | ||
| + | \begin{proof} | ||
| + | Výše jsme ukázali, že toto jsou všechny možné diagramy, existence příslušných algeber byla dokázána jejich zkonstruovaním, jednoznačnost plyne z Weyl-Chevalleyho normální formy. | ||
| + | \end{proof} | ||
| + | \Pzn{ | ||
| + | Přehled Cartanových matic jednotlivých sérií (kořeny uspořádány standardně, 0 vynechány) | ||
% \begin{small} | % \begin{small} | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
| Řádka 83: | Řádka 212: | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
% \end{small} | % \end{small} | ||
| + | } | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
Pro rychlé určení směru šipky (od menšího k~většímu) se hodí vztah | Pro rychlé určení směru šipky (od menšího k~většímu) se hodí vztah | ||
| Řádka 95: | Řádka 225: | ||
\item[$A_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$,\\ | \item[$A_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$,\\ | ||
nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{l+1}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V$, atd. | nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{l+1}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V$, atd. | ||
| − | + | ||
\item[$B_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_{l-1}=\sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i ,\, \lambda_l=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\ | \item[$B_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_{l-1}=\sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i ,\, \lambda_l=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\ | ||
reprezentace poslední nelze vytvořit tenzorovými součiny: \emph{spinorová reprezentace}. | reprezentace poslední nelze vytvořit tenzorovými součiny: \emph{spinorová reprezentace}. | ||
| − | + | ||
\item[$C_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$, \\ | \item[$C_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$, \\ | ||
nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{2l}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V = \C^{l(2l-1)}$, atd. | nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{2l}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V = \C^{l(2l-1)}$, atd. | ||
| − | + | ||
\item[$D_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, | \item[$D_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, | ||
\lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, | \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, | ||
Verze z 3. 7. 2016, 03:07
| [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
| PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
| ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
| součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:54 | ||
| Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 07:04 | ||
| Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 22:12 | header.tex | |
| Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 22:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
| Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
| Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
| Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 15:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
| Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 20:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
| Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
| Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 19:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
| Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 02:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
| Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
| Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
| Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 16:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
| Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
| Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
| Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
| Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 13:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
| Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
| Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 22:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
| Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 04:42 | LIAG_Kapitola17.tex | |
Vložené soubory
| soubor | název souboru pro LaTeX |
|---|---|
| Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
| Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
| Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
| Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
| Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
| Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
| Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Dynkinovy diagramy} \Def{ \textbf{Dinkinův diagram} je graf sestrojen následovně: \begin{itemize} \item vrcholy\dots kořeny $\Delta^p = \{ \alpha_j \}_{j=1}^l$, kde $l = \dim_\C \g_0$, \item hrany\dots $\alpha_j,\alpha_k$ jsou spojeny $a_{jk}a_{kj}$ hranami (maximálně $3$ hrany). Pokud je hran více, zakreslíme šipku směrem k~většímu kořenu (ve smyslu normy indukované $\braket{\cdot , \cdot}$). \end{itemize} } \Pzn{ Pokud $a_{jk}a_{kj} > 1 \rimpl$BÚNO $a_{jk} = -1,\ a_{kj} < -1$: \begin{align*} 1\geq \frac{a_{kj}}{a_{jk}} = \frac{\braket{\alpha_k,\alpha_k}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}} = \frac{\norm{\alpha_k}^2}{\norm{\alpha_j}^2} \rimpl \norm{\alpha_k}=\sqrt{-a_{kj}}\norm{\alpha_j} \rimpl \norm{\alpha_k}=\sqrt{2}\norm{\alpha_j} \lor \norm{\alpha_k}=\sqrt{3}\norm{\alpha_j} \end{align*} } \Pzn{ Z Dinkinova diagramu je možné zrekonstruovat Cartanovu matici. } \Vet{ Mějme $\g,\ \g_0,\ \Delta$. Pokud $\Delta = \Delta_1 \cup \Delta_2,\ \Delta_1 \cap \Delta_2 = \emptyset,\ \braket{ \alpha , \beta}=0,\ \forall \alpha \in \Delta_1,\ \forall \beta \in \Delta_2$, pak $\g_0 = \g_0^{(1)} \oplus \g_0^{(2)},\ \g = \g^{(1)} \oplus \g^{(2)}$, kde $\g^{(1)} = \g_0^{(1)} \dotplus \dot{\bigplus}_{\alpha\in\Delta_1}\g_\alpha,\ \g^{(2)} = \g_0^{(2)} \dotplus \dot{\bigplus}_{\beta\in\Delta_2} \g_\beta$. \\ $\left(\g_0^{(1)} = \mrm{span}_\R \{ H_\alpha \}_{\alpha\in\Delta_1},\ \g_0^{(2)} = \mrm{span}_\R \{ H_\beta \}_{\beta\in\Delta_2},\ [\g_1,\g_2]=0,\ K(\g_1,\g_2)=0 \right)$ \\ Tj. souvislé komponenty Dynkinova diagramu odpovídají prostým algebrám. } \begin{proof} \begin{align*} K(H_\alpha,H_\beta) = \braket{\alpha,\beta} = \alpha(T_\beta)\frac{\braket{\beta,\beta}}{2} = 0,\qquad \forall H_\alpha \in \g_0^{(1)},\ H_\beta \in \g_0^{(2)} \end{align*} $\Rightarrow\quad \g_0 = \g_0^{(1)} \oplus \g_0^{(2)}$ a platí $\alpha(T_\beta) = a_{\alpha\beta} = 0,\ [H_\alpha,E_\beta] = \beta(H_\alpha)E_\beta = 0$. Zároveň $\forall \alpha \in \Delta_1,\ \forall \beta \in \Delta_2,\ [E_\alpha,E_\beta] = N_{\alpha\beta}E_{\alpha+\beta}$ pokud $\alpha + \beta \in \Delta$. BÚNO, nechť $\alpha + \beta \in \Delta_1 \rimpl \braket{ \alpha + \beta, \beta } = \braket{ \beta,\beta } \neq 0$, spor. Tj. $\forall \alpha \in \Delta_1,\ \beta \in \Delta_2,\ \alpha + \beta \notin \Delta \rimpl [E_\alpha,E_\beta] = 0$. \\ $\g^{(1)}$ je podalgebra: Nechť $\alpha,\beta \in \Delta_1,\ \alpha+\beta \in \Delta$. Kdyby $\alpha + \beta \in \Delta_2$, pak $\braket{ \alpha+\beta,\beta } = \braket{ \beta,\beta } \neq 0$, spor.$\rimpl \alpha+\beta \in \Delta^{(1)}$. \end{proof} \Dsl{ Nesouvislé Dinkinovy diagrami odpovídají poloprostým neprostým algebrám. } \Pzn{ Jednoduše řečeno máme kořeny rozděleny na nezávislé části, které spolu nijak neinteragují, takže i $\g$ je rozdělena na nezávislé části, které se komutováním nepromíchávají. } \lemma{ Nechť $\alpha_j,\alpha_k \in \Delta^p,\ j \neq k,\ \norm{\alpha_j} \leq \norm{\alpha_k}$. Potom počet hran spojujících $\alpha_j$ a $\alpha_k$ je $\# \{n \in \Z | \alpha_k+n \alpha_j \in \Delta \}-1$. } \begin{proof} Počet hran mezi $\alpha_j,\alpha_k$ je $q =\frac{4|\braket{\alpha_j,\alpha_k}|^2}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}\braket{\alpha_k,\alpha_k}} \in \{ 1,2,3 \} \rimpl \frac{2\braket{\alpha_j,\alpha_k}}{\braket{\alpha_k,\alpha_k}} = -1,\ \frac{2\braket{\alpha_j,\alpha_k}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}} = -q = a_{kj} \rimpl \alpha_k + \alpha_j,\dots,\alpha_k - \frac{2\braket{\alpha_j,\alpha_k}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}\alpha_j = \alpha_k + q \alpha_j$ protože $\{ \alpha_k + n\alpha_j\}_{n=p}^q \subset \Delta$, kde $p=0$ díky $\alpha_j,\alpha_k \in \Delta^p$. Pokud $q = 0 \rimpl \braket{\alpha_j,\alpha_k} = 0 \rimpl \alpha_k + n \alpha_j \notin \Delta, \forall n \neq 0$. Takže $q = \# \{n \in \Z | \alpha_k+n \alpha_j \in \Delta \}-1$. \end{proof} \Pzn{ Definujeme $e_j:=\frac{\alpha_j}{\norm{\alpha_j}},\ \forall \alpha_j \in \Delta^p$, tj. $\{ e_j \} = \Delta^p_{(N)}$ normovaná báze $\h^*$. Označíme $n_{jk} = a_{jk}a_{kj}$ počet hran spojujících $\alpha_j$ a $\alpha_k$. Pak platí $\braket{e_j, e_k}=-\frac{1}{2}\sqrt{n_{jk}}$. Pro libovolný $x=\sum_j x_je_j$, tedy máme \begin{align} \norm{x}= \sum_j x_j^2+2 \sum_{j < k} x_j x_k \braket{e_j,e_k} = \sum_j x_j^2 - \sum_{j < k} x_j x_k \sqrt{n_{jk}} >0 \,. \end{align} % Tuto podmínku použijeme pro zjištění přípustných grafů, výsledky shrnuje následující lemma. } \Def{ Graf nazýváme přípustný, pokud jim určené konstanty $n_jk$ definují pozitivně definitní skalární součin \begin{align*} \braket{x,x} = \sum_j x_j^2 - \sum_{j < k} x_j x_k \sqrt{n_{jk}} \end{align*} } \lemma{ Přípustné grafy splňují: \begin{enumerate} \item neobsahují uzavřené smyčky, \item v~každém vrcholu se setkávají nejvýše tři hrany, \item nahradíme-li dvojici vrcholů spojených jednou hranou jediným vrcholem dostaneme opět přípustný graf. \end{enumerate} Tj., nejsou přípustné: \begin{LARGE}$ \equiv \! \cdot - $\end{LARGE}, \begin{LARGE}$ > \! \cdot \! - \! \cdot \! < $\end{LARGE}, \begin{LARGE}$ =\! \cdot \! - \! \cdot \! = $\end{LARGE}, \begin{LARGE}$= \! \cdot \! - \! \cdot \! <$\end{LARGE}. \\ Pro diagram na obr. \ref{diag_1} označíme $x=\sum_{j=1}^{p-1}je_j$, $y=\sum_{j=1}^{q-1}jf_j$, $z=\sum_{j=1}^{r-1}jg_j$ platí } \begin{proof} \begin{enumerate} \item Nechť $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ odpovídají zmyčce bez podsmyčky. Vezmeme $x = \sum_{j=1}^k e_j$, tj. $\braket{e_j,e_{j+1}} \neq 0,\ \braket{e_k,e_1} \neq 0,\ \braket{e_i,e_j} = 0,\ \forall i < j-1$. \begin{align*} \braket{x,x} = \sum_{j=1}^k 1 - \sum_{\substack{j=1 \\ k+1 \equiv 1}} \sqrt{n_{j,j+1}} \leq k - k = 0 \end{align*} $\Rightarrow \quad$ nepřípustný graf, spor. \item Nechť $e \in \Delta^p_{(N)}$ vrchol spojený hranami s $\{ e_j \}_{j=1}^k$, tj. $x = e - \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}e_j \neq 0,\ \braket{e_i,e_j} = 0,\ \forall i \neq j \in \{1,\dots,k\}$. \begin{align*} &\braket{x,x} = 1 + \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}^2 - \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}\braket{e,e_j} = 1 - \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}^2 > 0 \\ &1 > \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}^2 = \sum_{j=1}^k \underbrace{\frac{\braket{\alpha,\alpha_j}^2}{\braket{\alpha,\alpha}\braket{\alpha_j,\alpha_j}}}_{\frac{1}{4}\#\{\text{hrany spoj. }\alpha\text{ a }\alpha_j\}} \end{align*} $\Rightarrow\quad 4 > $ počet hran na vrcholu $\alpha$, resp. $e$. \item Nechť $\alpha_1,\alpha_2$ jsou spojené hranou. Pro libovolné $x = \sum_j^l x^j e_j$ platí: \begin{align*} \braket{x,x} = \left(x^1\right)^2 + \left(x^2\right)^2 - x^1x^2 + p_1\left(x^3,\dots,x^l\right)x^1 + p_2\left(x^3,\dots,x^l\right)x^2 + p_3\left(x^3,\dots,x^l\right). \end{align*} Vrcholy $e_1,e_2$ nahradíme jediným vrcholem $e_{12}$, tj do $x$ dosadíme $x^1=x^2=x^{12}$. Dostávame tak $y := x^{12}e_{12} + \sum_{j=3}^l x^j e_j$ a dosazením do $\braket{x,x}$: \begin{align*} \braket{y,y} = \left( x^{12} \right)^2 + \left( p_1\left(x^3,\dots,x^l\right) + p_2\left(x^3,\dots,x^l\right)\right) x^{12} + p_3\left(x^3,\dots,x^l\right) \end{align*} $\rimpl$máme pozitivně definitní skalární součin odpovídající sloučenému grafu. \end{enumerate} \end{proof} \lmma{ Graf\begin{LARGE}$\ \underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! = \! \underset{\text{\normalsize $3$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $4$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $5$}}{\cdot}\ $\end{LARGE}není přípustný. } \begin{proof} $x = \sum_{j=1}^5 x^je_j$ \begin{align*} Q(x)= \braket{x,x} = \sum_{j=1}^5 \left( x^j \right)^2 - x^1x^2 - \sqrt{2}x^2x^3 - x^3x^4 - x^4x^5 \end{align*} Extrém je určen rovnicemi $\pd{Q}{x^j} = 0$: \begin{align*} &1:\qquad 2x^1 - x^2 = 0 \\ &2:\qquad 2x^2 - x^1 -\sqrt{2}x^3 = 0 \\ &3:\qquad 2x^3 - \sqrt{2}x^2 - \x^4 = 0 \\ &4:\qquad 2x^4 - x^3 - x^5 = 0 \\ &5:\qquad 2x^5 - x^4 = 0 \end{align*} $\Rightarrow\quad x = \left( \sqrt{2},2\sqrt{2},3,2,1 \right) \neq 0$ a zároveň $\braket{x,x} = 0 \rimpl$diagram není přípustný. \end{proof} \lmma{ Uvažujme diagram tvaru: \begin{align*} \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $e_1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $e_2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $e_{p-2}$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $e_{p-1}$}}{\cdot} \!\!\! - \! \overset{ \substack{ \text{\LARGE $\cdot$} \\ | \\ \overset{\vdots}{\ } \\ \overset{\ }{|} \\ \text{\LARGE$\cdot$} \\ |}}{\underset{\text{\normalsize $\psi$}}{\cdot}} \! \overset{\substack{\text{\normalsize$\!\!\!\! g_1$} \\ \vspace{42pt} \\ \text{\normalsize $g_{r-1}$} \\ \vspace{3pt} }}{-} \!\!\!\! \underset{\text{\normalsize $f_{q-1}$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $f_{q-2}$}}{\cdot} \!\!\! - \cdots - \! \underset{\text{\normalsize $f_2$}}{\cdot} \! - \underset{\text{\normalsize $f_1$}}{\cdot} $ } \end{align*} kde $\norm{\psi} = \norm{e_j} = \norm{f_j} = \norm{g_j} = 1,\ p \geq q \geq r \geq 2$. Pak platí: \begin{enumerate} \item Definujeme-li $x = \sum_{j=1}^{p-1}je_j,\ y = \sum_{j=1}^{q-1}jf_j,\ z = \sum_{j=1}^{r-1}jg_j$, pak $\braket{x,y} = \braket{x,z} = \braket{y,z} = 0,\ \braket{x,x} = \frac{p(p-1)}{2},\ \braket{y,y} = \frac{q(q-1)}{2},\ \braket{z,z} = \frac{r(r-1)}{2}$. \begin{proof} \begin{align*} \braket{x,x} = \sum_{j=1}^{p-1}j^2 - \sum_{j=1}^{p-2}j(j+1) = (p-1)^2 - \sum_{j=1}^{p-2}j = (p-1)^2 - \frac{(p-1)(p-2)}{2} =\frac{p(p-1)}{2} \end{align*} \end{proof} \item $\theta_x.\theta_y,\theta_z$ úhly mezi $x,y,z$ a $\psi \rimpl \cos^2\theta_x + \cos^2\theta_y + \cos^2\theta_z < 1$. \begin{proof} \begin{gather*} \psi - \sum_{u \in \{x,y,z\}}\frac{\braket{\psi,u}}{\norm{u}}u \neq 0 \rimpl 1 > \sum_{u \in \{x,y,z\}}\frac{|\braket{\psi,u}|^2}{\braket{u,u}} = \sum_{u \in \{x,y,z\}}cos^2\sphericalangle(\psi,u) \end{gather*} \end{proof} \item Platí $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$. \begin{proof} \begin{gather*} \frac{|\braket{\psi,x}|^2}{\braket{x,x}} = \frac{|\braket{\psi,(p-1)e_{p-1}}|^2}{\braket{x,x}} = \frac{(p-1)^2}{\frac{p(p-1)}{2}}\underbrace{|\braket{\psi,e_{p-1}}|^2}_{=\frac{1}{4}} = \frac{(p-1)}{2p}\\ 1 > \sum_{u \in \{x,y,z\}}\frac{|\braket{\psi,u}|^2}{\braket{u,u}} = \frac{p-1}{2p} + \frac{q-1}{2q} + \frac{r-1}{2r} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\left( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} \right) \end{gather*} $\Rightarrow\quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ \end{proof} \item Přípustné možnosti jsou: \begin{align*} r = 2 \quad \left\{ \begin{array}{l} q = 2 \ \dots \ p \geq 2 \\ q = 3 \ \dots \ p = 3,4,5 \end{array}\right. \end{align*} \end{enumerate} } \Pzn{ Je dobré si uvědomit, že kořenové vektory pozitivních kořenů společně s $\g_0$ tvoří řešitelnou podalgebru $\g$. } \Vet{ Buď $\g$ komplexní prostá Lieova algebra, $\g_0$ její Cartanova podalgebra, $\Delta$ systém kořenů, $\Delta^p \subset \Delta$. Pak její Dinkinův diagram má jednu z následujícíh podob: \begin{align*} \text{klasické série algeber}&\left\{\begin{array}{lllll} A_l: &&\ \ \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-1$}}{\cdot} \!\!\! - \underset{\text{\normalsize $l$}}{\cdot} $} && \mfrk{sl}(l+1,\C),\ l\ge 1 \vspace{5pt} \\ B_l: &&\ \ \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-2$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-1$}}{\cdot} \!\!\! \Leftarrow \! \underset{\text{\normalsize $l$}}{\cdot} $} &&\mfrk{so}(2l+1,\C),\ l\ge 2 \vspace{5pt} \\ C_l: &&\ \ \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-2$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-1$}}{\cdot} \!\!\! \Rightarrow \! \underset{\text{\normalsize $l$}}{\cdot} $} &&\mfrk{sp}(2l,\C),\ l\ge 3 \vspace{5pt} \\ D_l: &&\ \ \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-3$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-2$}}{\cdot} \!\!\! < \!\!\! \text{\small $ \begin{array}{ll} \text{\LARGE $\cdot$} & \text{\normalsize $\!\!\! l-1$}\\ \text{\LARGE $\cdot$} & \text{\normalsize $\!\!\! l$} \end{array}$} $} &&\mfrk{so}(2l,\C),\ l\ge 4 \end{array}\right. \\ \text{výjimečné algebry}&\left\{\begin{array}{lllll} E_6: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! - \! \overset{\substack{\text{\LARGE $\cdot$} \\ |}}{\cdot} \! - \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\ E_7: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! - \! \cdot \! - \! \overset{\substack{\text{\LARGE $\cdot$} \\ |}}{\cdot} \! - \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\ E_8: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! - \! \cdot \! - \! \cdot \! - \! \overset{\substack{\text{\LARGE $\cdot$} \\ |}}{\cdot} \! - \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\ F_4: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! \Rightarrow \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\ G_2: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! \Rrightarrow \! \cdot $}\end{array} && \\ \end{array}\right. \end{align*} } \begin{proof} Výše jsme ukázali, že toto jsou všechny možné diagramy, existence příslušných algeber byla dokázána jejich zkonstruovaním, jednoznačnost plyne z Weyl-Chevalleyho normální formy. \end{proof} \Pzn{ Přehled Cartanových matic jednotlivých sérií (kořeny uspořádány standardně, 0 vynechány) % \begin{small} \begin{align*} a^{A_l}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & -1 & 2 & -1 \\ & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} , && a^{B_l}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & -1 & 2 & -1 & \\ & & & -1 & 2 & -2 \\ & & & & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}\,, \\ a^{C_l}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & -1 & 2 & -1 & \\ & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & -2 & 2 \\ \end{pmatrix} , && a^{D_l}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & -1 & 2 & -1 & -1 \\ & & & -1 & 2 & \\ & & & -1 & & 2 \\ \end{pmatrix} \,. \end{align*} % \end{small} } \Pzn{ Pro rychlé určení směru šipky (od menšího k~většímu) se hodí vztah \begin{align} \frac{\norm{\alpha_i}}{\norm{\alpha_j}}=\sqrt{\frac{\braket{\alpha_i,\alpha_i}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_ji}} && \Rightarrow && \norm{\alpha_i}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_{ji}}} \norm{\alpha_j}\,. \end{align} } \Pzn{ Přehled vztahů mezi souřadnicovými funkcionály v~definující reprezentaci klasických sérií $\varphi \in \g_0^*$ (zavedeny na cvikách) a fundamentálními kořeny (viz další kapitola). } \begin{itemize} \item[$A_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$,\\ nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{l+1}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V$, atd. \item[$B_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_{l-1}=\sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i ,\, \lambda_l=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\ reprezentace poslední nelze vytvořit tenzorovými součiny: \emph{spinorová reprezentace}. \item[$C_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$, \\ nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{2l}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V = \C^{l(2l-1)}$, atd. \item[$D_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_{l-2}=\sum_{i=1}^{l-2}\varphi_i ,\, \lambda_{l-1}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i -\varphi_l \right),\, \lambda_{l}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\ takže máme 2 spinorové reprezentace. \end{itemize} % JEŠTĚ SEM PŘIJDE ČÁST O DYNKINOVÝCH DIAGRAMECH, KTERÁ NENÍ SLOŽITÁ A PAK KLASIFIKACE
