Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Klasifikace pomocí kořenů}
Nadále se budeme zabývat pouze \textbf{komplexními poloprostými} algebrami.
\lemma{
$\g_\alpha \perp_K \g_\beta,\ \forall \alpha, \beta \in \Delta \cup \{0\},\, \alpha +\beta \neq 0$.
%OG vzhledem ke Killingově formě
}
\begin{proof}
Díky $\ad$-invarianci Killingovy formy, pro libovolné $X_\alpha \in \g_\alpha,\ X_\beta \in \g_\beta,\ H \in \g_0$ platí:
\begin{align*}
(\alpha + \beta)(H)K\left( X_\alpha,X_\beta \right) = \left( \alpha(H) + \beta(H) \right) K\left( X_\alpha,X_\beta \right) = K \left( [H,X_\alpha],X_\beta \right) + K \left( X_\alpha,[H,X_\beta] \right) = 0
\end{align*}
Protože $\alpha + \beta \neq 0 \rimpl \exists H \in \g_0,\ (\alpha+\beta)(H) \neq 0 \rimpl K(X_\alpha,X_\beta) = 0$
\end{proof}
\lemma{
$\zuz{K}{\g_0}=\zuz{K}{\g_0 \times \g_0}$ je nedegenerovaná a $\forall \alpha \in \Delta,\ \exists_1 H_\alpha \in \g_0,\ \forall H \in \g_0:\alpha (H)=K(H,H_\alpha )$, tj. máme vyjádření $\alpha (\cdot )=K(\cdot , H_\alpha )$.
}
\begin{proof}
$K$ je na $\g$ nedegenerovaná$\rimpl \forall H \in \g_0,\ H \neq 0,\ \exists X \in \g,\ K(H,X) \neq 0$, zároveň $\g_0\perp\g_\alpha,\ \forall \alpha \in \Delta \rimpl \forall H \in \g_0,\ \exists X \in \g_0,\ K(H,X) \neq 0 \rimpl K$ je nedegenerovaná na $\g_0 \rimpl H \to K(\cdot,H)$ je izomorfismus $\g_0$ a $\g_0^* \rimpl \exists_1 H_\alpha$ a pro ztotožnení $\g_0$ a $\g_0^*$ lze použít $\alpha(\cdot) = K(\cdot,H_\alpha)$.
\end{proof}
\lemma{
Buď $\alpha \in \Delta$. Potom $-\alpha \in \Delta$ a $\forall X_\alpha \in \g_\alpha,\ \forall X_{-\alpha} \in \g_{-\alpha},\ [X_\alpha,X_{-\alpha}]=K(X_\alpha,X_{-\alpha})H_\alpha$.
}
\begin{proof}
$\alpha \in \Delta \rimpl \g_\alpha \neq \{0\} \rimpl\forall \mu \in \Delta \cup \{0\} \setminus \{ -\alpha \},\ \g_\mu \perp \g_\alpha$. Kdyby $-\alpha \notin \Delta$, tj. $\g_{-\alpha} = \{0\} \rimpl \g_\alpha \perp \g \rimpl \g_\alpha = \{0\}$, spor. Takže $\g_{-\alpha} \neq \{0\}$ a $\forall X \in \g_\alpha,\ \forall X_{-\alpha} \in \g_{-\alpha},\ \forall H \in \g_0$ platí:
\begin{align*}
K\big([X_\alpha,X_{-\alpha}] - K(X_\alpha,X_{-\alpha})H_\alpha,H \big) = K\big( [X_\alpha,X_{-\alpha}],H \big) - K(X_\alpha,X_{-\alpha})\underbrace{K(H_\alpha,H)}_{\alpha(H)} = \\
= -K \big( X_\alpha,\underbrace{[H,X_{-\alpha}]}_{ -\alpha(H)X_{-\alpha}} \big) -K(X_\alpha,X_{-\alpha})\alpha(H) = \big( \alpha(H) - \alpha(H) \big)K(X_\alpha,X_{-\alpha}) = 0
\end{align*}
$\Rightarrow\quad [X_\alpha,X_{-\alpha}] - K(X_\alpha,X_{-\alpha})H_\alpha = 0$.
\end{proof}
\lemma{
$\forall \alpha \in \Delta,\ \alpha(H_\alpha)=K(H_\alpha , H_\alpha ) \neq 0$.
}
\begin{proof}
$\g_{-\alpha}\perp\g_\beta,\ \forall \beta \in (\Delta \cup \{0\})\setminus\{\alpha\}$ a $\g_{-\alpha}\notperp\g \rimpl \exists X_{-\alpha} \in \g_{-\alpha},\ X_\alpha \in \g_\alpha,\ K(X_{-\alpha},X_\alpha) = 1 \rimpl [X_\alpha,X_{-\alpha}] = H_\alpha$. Uvažujme $\g_{\beta\alpha} = \dot{\bigplus}_{k \in \Z}\g_{\beta+k\alpha} \rimpl \ad_{X_\alpha},\ \ad_{X_{-\alpha}},\ \ad_{H_\alpha}$ ponechávají $\g_{\beta\alpha}$ invariantní.
\begin{align*}
\zuz{\Tr}{\g_{\beta\alpha}}\ad_{H_\alpha} &= \zuz{\Tr}{\g_{\beta\alpha}}\left[ \ad_{X_\alpha}, \ad_{X_{-\alpha}} \right] = 0 \\
&= \sum_{k \in \Z}(\beta + k\alpha)(H_\alpha)\dim \g_{\beta + k\alpha} = \beta(H_\alpha)\dim\g_{\beta\alpha} + \alpha(H_\alpha)\sum_{k\in\Z}k\dim\g_{\beta+k\alpha} = 0.
\end{align*}
Pokud $\alpha(H_\alpha) = 0 \rimpl \beta(H_\alpha) = 0,\ \forall \beta \in \Delta \rimpl H_\alpha = 0$, spor s předpokladem $\alpha \in \Delta\ (\alpha(H) = K(H,H_\alpha),\ \forall H \in \g_0) \rimpl \alpha(H_\alpha) \neq 0$.
\end{proof}
\Def{
$\forall \alpha \in \Delta$ definujeme $T_\alpha := \frac{2}{K(H_\alpha , H_\alpha )}H_\alpha,\ a_{\beta \alpha}:=\beta (T_\alpha )=\frac{2K(H_\beta , H_\alpha )}{K(H_\alpha , H_\alpha )}$.
}
Nalezněme $X_{\pm\alpha}\in \g_{\pm \alpha}$ splňující $K(X_\alpha ,X_{-\alpha})=\frac{2}{\alpha (H_\alpha )}$. Pak platí:
\begin{align}
[X_\alpha ,X_{-\alpha}]= K(X_\alpha,X_{-\alpha})H_\alpha = T_\alpha, \\
[T_\alpha,X_{\pm\alpha}]= \pm 2 X_{\pm\alpha} \,.
\end{align}
To jsou komutační relace $\mathfrak{sl}(2,\C )$, konkrétně pro
$H=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)$,
$X_+=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)$,
$X_-=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$.
\lemma{
$V$ nad $\C,\ \dim V < +\infty$, nechť $T,X_{\pm}\in \mathcal{L}(V)$ splňuje $[X_+ ,X_-]= T,\, [T ,X_\pm]= \pm 2 X_{\pm}$ a působí na $V$ ireducibilně. Potom $\exists \{v_j \}_{j=0}^{\dim V -1}$ báze splňující $T v_j =(r-2j)v_j$, $X_-v_j=v_{j+1},\ X_+v_j = j(r-j+1)v_{j-1}$, kde $r=\dim V-1$.
}
\begin{proof}
$T \in \mathcal{L}(V) \rimpl \exists v \in V,\ v \neq 0,\ \widetilde{\lambda} \in \C,\ Tv=\widetilde{\lambda}v$
\begin{align*}
T(X_+v) = [T,X_+]v + X_+Tv = 2X_+v + \widetilde{\lambda}X_+v = (\widetilde{\lambda}+2)X_+v
\end{align*}
$\Rightarrow\quad X_+v = 0 \quad\lor\quad \widetilde{\lambda}+2 \in \sigma(T) \rimpl$po konečně mnoho krocích získame $v_0 \in V,\ v_0 \neq 0,\ Tv_0 = \lambda v_0,\ X_+v_0 = 0$ a položíme $v_j = X_-^jv_0,\ \forall j \in \N$.
\begin{align*}
Tv_j = [T,X_-]X_-^{j-1}v_0 + X_-TX_-^{j-1}v_0 = -2X_-X_-^{j-1}v_0 + X_-TX_-^{j-1}v_0 = \dots = (\lambda -2j)X_-^jv_0 = (\lambda -2j)v_j
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$ pokud $v_j \neq 0$ pak jsou to vlastní vektory $T$ příslušné různým vlastním číslům$\rimpl \exists k \in \N \cup \{0\}: v_k \neq 0,\ v_{k+1} = 0 \rimpl \mrm{span}\{v_0,\dots,v_k\}$ je podprostor $V$ uzavřený vůči $T,X_-$. Indukcí ukážeme že $X_+v_j = j(\lambda-j+1)v_{j-1}$:
\begin{align*}
X_+v_1 &= X_+X_-v_0 = [X_+,X_-]v_0 + X_-X_+v_0 = Tv_0 = \lambda v_0 \\
X_+v_2 &= X_+X_-v_1 = Tv_1 + X_-X_+v_1 = (\lambda - 2)v_1 + \lambda v_1 = (2\lambda - 2)v_1 \\
&\vdots \\
X_+v_j &= X_+X_-v_{j-1} = Tv_{j-1} + X_-(j-1)(\lambda - j + 2)v_{j-2} = \\
&=\big( (\lambda - 2j +2) + (j-1)(\lambda - j + 2 )\big)v_{j-1} = \big( j(\lambda - j + 2) - j \big) = j(\lambda-j+1)v_{j-1}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \mrm{span}\{v_0,\dots,v_k\}$ je uzavřený i vůči $X_+ \rimpl$ je to invariantní podprostor ireducibilní reprezentace$\rimpl V = \mrm{span}\{v_0,\dots,v_k\},\ k=r,\ X_+v_{r+1} = (r+1)(\lambda - r)v_r = 0$, přičemž $v_r \neq 0 \rimpl \lambda = r$.
\end{proof}
\lemma{\label{lemma_Koreny}
Nechť $\g$ poloprostá Lieova algebra, $\g_0$ její Cartanova podalgebra, $\Delta$ množina kořenů, pak:
\begin{enumerate}
\item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta,\ \exists p,q \in \Z, p\leq 0 \leq q,\ \{\beta +k \alpha \}_{k=p}^q$ je nepřerušená posloupnost kořenů, případně $0$. Navíc žádné jiné kořeny tvaru $\beta +k \alpha$ neexistují a platí \begin{align}
a_{\beta\alpha} = \beta (T_\alpha ) =
2\frac{\beta (H_\alpha )}{\alpha (H_\alpha )}=
\frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}=
-(p+q) \,.
\end{align}
\label{posloupnost korenu}
\item $\alpha \in \Delta$. Potom $\dim \g_\alpha =1$ a $\beta \in \Delta \cap \mrm{span}\{\alpha\} \Leftrightarrow \beta =\pm \alpha$.
\item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\alpha +\beta \neq 0$. Potom $[\g_\alpha , \g_\beta]=\g_{\alpha +\beta}$. (Pokud $\alpha+\beta \notin \Delta \cup \{ 0\}$, je $\g_{\alpha +\beta}=\{ 0\}$.)
\item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\epsilon = \mrm{sgn}a_{\beta\alpha}$. Potom $\beta -\epsilon \alpha,\, \beta -2\epsilon \alpha,\dots , \beta - a_{\beta\alpha} \alpha$ jsou kořeny.
\end{enumerate}
}
\begin{proof}
$\alpha,\beta \in \Delta \rimpl \exists X_\beta \in \g_\beta,\ X_\alpha \in \g_\alpha,\ X_{-\alpha} \in \g_{-\alpha}$ nenulové a platí $[X_\alpha,X_{-\alpha}] = T_\alpha,\ [T_\alpha,X_{\pm\alpha}] = \pm 2X_{\pm \alpha}$. Označíme $V:=\mrm{span}\left\{ \left(\ad_{X_{\alpha}} \right)^j \left(\ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta \ \middle|\ j,k \in \Z \right\} \subset \g_{\beta\alpha} = \dot{bigplus}_{k \in \Z}\g_{\beta+k\alpha}$ a máme $\ad_{T_\alpha} X_\beta = \beta(T_\alpha) X_\beta$, takže
\begin{align*}
\ad_{T_\alpha} \left( \ad_{X_\alpha} \right)^j \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta = \left( \beta(T_\alpha) + 2j - 2k \right)\left(\ad_{X_{\alpha}}\right)^j \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta.
\end{align*}
$\Rightarrow\quad V$ uzavřený vůči $\ad_{T_\alpha},\ \ad_{X_{\pm\alpha}}: \ad_{T_\alpha} = \left[ \ad_{X_\alpha},\ad_{X_{-\alpha}} \right]$.
\begin{align*}
0 = \zuz{\Tr}{V}\ad_{T_\alpha} = \sum_{j,k}\left( \beta(T_\alpha) + 2j - 2k \right) \dim \mrm{span}\left\{ \left(\ad_{X_{\alpha}} \right)^j \left(\ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta \right\}
\end{align*}
\begin{align*}
\left( \ad_{X_\alpha} \right)^{j+1} \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^{k+1} X_\beta &= \left( \ad_{X_\alpha} \right)^j \left[ \ad_{X_\alpha},\ad_{X_{-\alpha}} \right] \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta +
\left( \ad_{X_\alpha} \right)^j \ad_{X_{-\alpha}} \ad_{X_\alpha} \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta = \\
&= \left( \ad_{X_\alpha} \right)^j \ad_{T_\alpha} \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta + \dots \quad \in \mrm{span}\left\{ \left(\ad_{X_{\alpha}} \right)^j \left(\ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta \right\}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$ pro každé získané vlastní číslo $\ad_{T_\alpha}$ na $V$ máme $1$ vlastní vektor$\rimpl$ protože je to ireducibilní reprezentace, dle předchozího lemmatu platí $r = \dim V - 1,\ \sigma\left( \zuz{\ad_{T_\alpha}}{V} \right) = \{ r,r-2,\dots,-r \} \rimpl \left\{ \beta(T_\alpha) + 2k \right\}_{k=p}^q \subset \{ r,r-2,\dots,-r \}$, tedy
\begin{align*}
\left. \begin{array}{l}
\beta(T_\alpha) + 2q = r \\
\beta(T_\alpha) + 2p = -r
\end{array} \right\} \rimpl \beta(T_\alpha) = -(p+q).
\end{align*}
Dále označíme $\widetilde{V} := \mrm{span}\{ X_{-\alpha} \} \dotplus \dot{\bigplus}_{k\in\N_0} \g_{k\alpha}$, takže $\widetilde{V}$ je invariantní vzhledem k $\ad_{X_\alpha},\ \ad_{T_\alpha}$.
\begin{align*}
0 = \zuz{\Tr}{\widetilde{V}}\ad_{T_\alpha} = \zuz{\Tr}{\widetilde{V}}\left[ \ad_{X_\alpha}, \ad_{X_{-\alpha}} \right] = -\underbrace{\alpha(T_\alpha)}_{=\,2} + \sum_{k \in \N}k\underbrace{\alpha(T_\alpha)}_{=\,2}\dim\g_{k\alpha}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \sum_{k\in\N}k\dim\g_{k\alpha} = 1 \rimpl \g_\alpha =1,\ \g_{k\alpha} = 0,\ \forall k \geq 2,\ k \in \N \rimpl k\alpha \notin \Delta,\ \forall k \geq 2,\ k \in \N$. Použitím $\frac{\alpha}{k}$ místo $\alpha$ dostaneme $\frac{\alpha}{k}\notin \Delta,\ \forall k \geq 2,\ k \in \N$.
Nechť $\beta = c\alpha,\ c \notin \Z$, BÚNO $c > 0$ (jinak $\alpha \to -\alpha$), pak
\begin{align*}
\beta(T_\alpha) = c \alpha(T_\alpha) = 2c = b \in \Z \rimpl c = \frac{b}{2},\ b\in\N \rimpl \left\{ \beta + k\alpha \right\}_{k=p}^q = \left\{ \left( \frac{b}{2} + k\right)\alpha \right\}_{k=p}^q.
\end{align*}
Zároveň $b = -(p+q),\ p \leq 0 \leq q \rimpl -p \geq b$, takže
\begin{align*}
\frac{\alpha}{2} = \bigg( \frac{b}{2} + \underbrace{\left( -\frac{b}{2} + \frac{1}{2} \right)}_{\geq p} \bigg) \alpha \in \Delta
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$ spor s tím, že $\frac{\alpha}{2} \notin \Delta$. Tím je dokázan bod 2., zbytek bodu 1. dokážeme sporem: Nechť $\exists \widetilde{\beta} = \beta + n \alpha,\ n < p \lor n > q$, zkonstruujeme posloupnost z $\widetilde{\beta} \in \Delta$ a přepíšeme ji zpátky pomocí $\{ \beta + k \alpha \}_{k=\widetilde{p}}^{\widetilde{q}}$. Díky tomu, že $\dim \g_\alpha = 1,\ \forall \alpha \in \Delta$, musí být $\{p,\dots,q\}\cap \{\widetilde{p},\dots,\widetilde{q}\} = \emptyset \rimpl \widetilde{p} > q \lor \widetilde{q} < p$. Analogicky máme taky $a_{\beta\alpha} = - (\widetilde{p}+\widetilde{q})$, takže
\begin{align*}
\widetilde{p}+\widetilde{q} < \widetilde{p} + p < 2p \leq p+q &&(\text{BÚNO }\widetilde{q}<p)
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \alpha_{\alpha\beta}<\alpha_{\alpha\beta}$, spor. Tím je bod 1 dokázan. Bod 3. plyne z ireducibility konstruované na $V$. Zbýva tedy už jen bod 4. BÚNO $a_{\beta\alpha} > 0,\ -a_{\beta\alpha} = (p+q) \rimpl p \leq -a_{\beta\alpha} \leq q \rimpl \beta - a_{\beta\alpha}\alpha \in \Delta$.
\end{proof}
\Def{
$a_{\beta \alpha}=\beta (T_\alpha ) =\frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}=-(p+q)$ nazýváme \textbf{Cartanova celá čísla}.
}
% Na základě těchto poznatků lze libovolnou komplexní poloprostou algebru $\g$ zapsat ve tvaru tzv. \textbf{Weyl-Chevalleyho normální formy}.
\Vet{(\textbf{Weyl-Chevalleyho normální forma})
Buď $\g$ komplexní poloprostá Lieova algebra, $\g_0$ její Cartanova podalgebra, $\Delta$ systém kořenů. Pak $\g$ je direktním součtem $\g_0$ a jednorozměrných kořenových podprostorů $\g_\alpha =\mrm{span}\{E_\alpha\}$ a platí:
\begin{itemize}
\item $[H,E_\alpha]=\alpha(H)E_\alpha,\ \forall H \in \g_0$,
\item $[E_\alpha,E_{-\alpha}]\in \g_0,\ \forall \alpha \in \Delta$,
\item $[E_\alpha,E_\beta]=N_{\alpha \beta}E_{\alpha + \beta}$, $N_{\alpha \beta} \neq 0$ pro $\alpha, \beta , \alpha +\beta \in \Delta$.
\end{itemize}
(Navíc lze volit $E_\alpha$ tak, aby $N_{\alpha \beta} \in \Z$, $N_{\alpha \beta}=-N_{(-\alpha)(-\beta)}=\pm(-p+1)$, kde $p\le 0$ je nejmenší číslo splňující $\beta + p \alpha \in \Delta$, volba $\pm$ je částečně daná strukturou $\g$ a částečně záleží na nás...)
}
\begin{proof}
Plyne z předchozího lemmatu.
\end{proof}
\Pzn{
Protože víme, že komutační relace určují $\g$ jednoznačně (až na izomorfismus), můžeme tak klasifikovat všechny poloprosté komplexní algebry.
}
