Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Lieovy algebry}
Předpokládáme konečnou dimenzi.
\Def{
\textbf{Podalgebra} $\h$ Lieovy algebry $\g$ je vektorový podprostor v $\g$ splňující $[ \h, \h ] \subset \h$.
}
\Pzn{
Pro $\mathfrak{a},\mathfrak{b}\subset\subset \g$, značíme $[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]=\mathrm{span}\{[X,Y]|X\in \mathfrak{a}, Y \in \mathfrak{b} \}$.
}
\Prl{
V~Lorentzově algebře generátory boostů komutují na rotace, tedy netvoří podalgebru. Rotace podalgebru tvoří.
}
\Def{
$\h$ podprostor $\g$ je \textbf{ideál} $\Leftrightarrow [\h ,\g] \subset \h$.
}
\Prl{
V~Lorentzově algebře $[M^{\mu\nu},P^\alpha] \sim P^\xi$, tedy translace tvoří ideál.
}
\Def{
\textbf{Faktoralgebra} podle ideálu $\h$ je $\g /\h=\{g+\h |g \in \g \}$, $[g_1+\h ,g_2 +\h]:=[g_1 , g_2]+\h$.
}
\Def{
Lieova algebra $\g$ je
\begin{itemize}
\item \textbf{Abelovská} $\quad\Leftrightarrow\quad$ $[\g,\g]=0$,
\item \textbf{prostá} $\quad\Leftrightarrow\quad$ $\dim \g >1$ a jediné ideály v~$\g$ jsou $0$ a $\g$,
\item \textbf{poloprostá} $\quad\Leftrightarrow\quad$ jediný Abelovský ideál v~$\g$ je $0$.
\end{itemize}
}
\Def{
Lieova algebra $\g$ je direktním součtem ideálů $\g_1,\ \g_2 \Leftrightarrow \g=\g_1 \oplus \g_2$ jako vektorové prostory, tj. $0 \neq \g_1,\g_2 \subset\subset \g,\ [\g_1 ,\g_1] \subset \g_1,\ [\g_2 ,\g_2] \subset \g_2,\ [\g_1 ,\g_2] = 0,$.
}
\Pzn{
Dále budeme direktní součet vektorových prostorů značit $V = V_1 \dotplus V_2$.
}
\Def{
Lieovu algebru $\g$ nazveme \textbf{rozložitelná} $\Leftrightarrow \exists \g_1 , \g_2 \neq 0$, $\g=\g_1 \oplus \g_2$. Jinak $\g$ \textbf{nerozložitelná}.
}
\Prl{
\begin{align*}
\gl(n) &= \mfrk{a}(1) \oplus \mfrk{sl}(n),\qquad \mfrk{a}(1)=\mrm{span}\{ \mathbb{1} \} \\
\mfrk{u}(n) &= \mfrk{a}(1) \oplus \mfrk{su}(n),\qquad \mfrk{a}(1)=\mrm{span}_\R\{ i\mathbb{1} \} \\
\mfrk{so}(4) &= \mfrk{so}(3) \oplus \mfrk{so}(3)
\end{align*}
}
\subsection{Charakteristické série ideálů}
\Def{
\textbf{Centrum} Lieovy algebry $\g$ je maximální ideál $\zeta^1$ s~vlastností $[\g ,\zeta^1]=0$, tj. $\zeta^1=\{x\in \g |[x,\g]=0 \}$, značíme $\Zs (\g)=\zeta(\g)=\zeta^1 (\g) =\zeta^1$.
}
\Def{
Charakteristické série ideálů v~$\g$:
\begin{itemize}
\item \textbf{derivovaná série}: $\g^{(0)}=\g,\ \g^{(k)}=[\g^{(k-1)},\g^{(k-1)}],\ \forall k \in \N$. Pokud $\exists n \in \N,\ \g^{(n)} = 0$, algebra $\g$ se nazývá \textbf{řešitelná}.
\item \textbf{dolní centrální série}: $\g^{1}=\g,\ \g^{k}=[\g^{k-1},\g],\ \forall k > 1$. Pokud $\exists n \in \N,\ \g^n = 0$, algebra $\g$ se nazývá \textbf{nilpotentní}.
\item \textbf{horní centrální série}: $\zeta^1=\Zs(\g),\ \zeta^k=\{x\in \g | [x,\g]\subset \zeta^{k-1} \},\ \forall k > 1,\ (\zeta^{k-1} \subset \zeta^k)$.
\end{itemize}
}
\Pzn{
$\g^2=\g^{(1)}$, $\g^{(k)}\subset \g^{k+1}$, tj. každá nilpotentní $\g$ je řešitelná.
}
\Vet{
$\g$ je nilpotentní $\quad\Leftrightarrow\quad$ $\lim_{k \to +\infty} \zeta^k = \g$.
}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow)$] $\g$ nilpotentní$\rimpl \exists k \leq \dim \g,\ \g^k = 0 \rimpl \g^{k-1} \subset \Zs(\g) = \zeta^1$. Indukcí ukážeme, že platí $\g^{k - j} \subset \zeta^{j}$. Pro $j=1$ zřejmé, $j \to j+1$:
\begin{align*}
\left[ \g^{k - j - 1},\g \right] = \g^{k - j} \subset \zeta^j \rimpl \g^{k - j - 1} \subset \zeta^{j+1}.
\end{align*}
\item[$\Leftarrow)$] $\exists k,\ \zeta^k = \g$. Indukcí ukážeme, že platí $\zeta^{k-j+1} \supset \g^j$. Pro $j=1$ zřejmé, $j \to j+1$:
\begin{align*}
\g^j \subset \zeta^{k-j+1} \rimpl \left[ \g^j,\g \right] = \g^{j+1} \subset \zeta^{k-j+1-1} = \zeta^{k-j}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \g^k \subset \zeta^1 = \Zs(\g) \rimpl \g^{k+1} = 0$.
\end{itemize}
\end{proof}
\Prl{
Heisenbergova algebra $\h (n)=\{X_i,P_i,\mathbb{1}| [X_i,P_j]=\delta_{ij}\mathbb{1},\ i,j \in \hat{n} \}$ je nilpotentní:
\begin{align*}
\left(\h(n)\right)^2 = \mrm{span}\{ \mathbb{1} \} \rimpl \left(\h(n)\right)^3 = 0
\end{align*}
}
\Prl{
Striktně horní trojúhelníkové matice $\mrm{str}(n) = \left\{ \left(\begin{smallmatrix}
0 & & ? \\
\vdots & \ddots & \\
0 & \dots & 0
\end{smallmatrix} \right) \in \R^{n,n}\right\}$ jsou nilpotentní.
}
\Prl{
Horní trojúhelníkové matice $\mrm{tr}(n)= \left\{ \left(\begin{smallmatrix}
? & & ? \\
& \ddots & \\
0 & & ?
\end{smallmatrix} \right) \in \R^{n,n}\right\}$:
\begin{align*}
\left[ \mrm{tr}(n),\mrm{tr}(n) \right] = \mrm{str}(n),\quad \left[ \mrm{tr}(n), \mrm{str}(n) \right] = \mrm{str}(n)
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$je řešitelná, ale není nilpotentí.
}
\Def{
Maximální řešitelný ideál v~$\g$ se nazývá \textbf{radikál} a maximální nilpotentní ideál se nazývá \textbf{nilradikál}.
}
\Pzn{
Nechť $\rr$ je radikál algebry $\g$. Uvažujme $\g / \rr$ a v ní abelovksý ideál $\h / \rr \subset \g / \rr$, tj. $\rr \subset \h \subset g,\ [\h,\h] \subset \rr \rimpl \h^{(1)} \subset \rr$ a současně $\exists k,\ \rr^{(k)} = 0$, tj. $\rr$ je řešitelná$\rimpl \h^{(k+1)} \subset \rr^{(k)} = 0 \rimpl$podle předpokladu maximality $\rr$ je $\h = \rr \rimpl \g / \rr$ nemá netriviální abelovský ideál$\rimpl \g / \rr$ je poloprostá.
}
Platí dokonce ješte silnější tvrzení:
\Vet{(Levi)
Každou Lieovu algebru $\g$ lze rozložit na (polopřímý) součet poloprosté algebry $\mathfrak{s}$ a radikálu $\mathfrak{r}$
\begin{align*}
\g=\s \dotplus \rr ,\ [\s,\s]\subset \s ,\ [\s,\rr]\subset \rr ,\ [\rr,\rr]\subset \rr ,
\end{align*}
přičemž $\s$ je určena až na izomorfii. $\s$ nebo $\rr$ může být rovna $0$. Bez důkazu.
}
\subsection{Vlastnosti ideálů (cvičení)}
\Vet{
$ \h_1, \h_2$ ideály v~$\g \rimpl [ \h_1,\h_2 ],\ \h_1+\h_2,\ \h_1 \cap \h_2$ ideály v $\g$
}
\begin{proof}
\begin{gather*}
\left[ [\h_1,\h_2] , \g \right] = \left[ \h_1,[\h_2 ,\g] \right] + \left[ [ \h_1,\g ], \h_2 \right] \subset [\h_1,\h_2] \\
[ \h_1 + \h_2, \g ] = [ \h_1, \g ] + [ \h_2, \g ] \subset h_1 + h_2 \\
[ \h_1 \cap \h_2,\g ] \subset \h_1\quad \land \quad [ \h_1 \cap \h_2,\g ] \subset \h_2 \rimpl [ \h_1 \cap \h_2,\g ] \subset \h_1 \cap \h_2
\end{gather*}
\end{proof}
\Dsl{
$\h$ ideál v~$\g \rimpl \h^k,\h^{(k)}$ ideály v~$\g$
}
\Vet{
$\h_1,\h_2$ řešitelné ideály v~$\g \rimpl \h_1+\h_2$ řešitelný ideál.
}
\begin{proof}
\begin{gather*}
(\h_1+\h_2)^{(1)} = [\h_1+\h_2,\h_1+\h_2] = [\h_1,\h_1] + [\h_1,\h_2] + [\h_2,\h_1] + [\h_2,\h_2] = \h_1^{(1)} + \underbrace{[\h_1,\h_2]}_{\subset \h_1 \cap \h_2} + \h_2^{(1)} \\
\dim{(\h_1+\h_2)} + \dim{(\h_1 \cap \h_2)} = \dim{\h_1} + \dim{\h_2} \rimpl (\h_1 + \h_2) / \h_1 \cong \h_2 / (\h_1 \cap \h_2)\\
\h_2 \text{ řešitelný} \rimpl \h_2 / (\h_1 \cap \h_2) \text{ řešitelný} \rimpl (\h_1 + \h_2) / h_1 \text{ řešitelný} \rimpl (\h_1 + \h_2) \text{ řešitelný}
\end{gather*}
\end{proof}
\Vet{
$\h_1, \h_2$ nilpotentní ideály v~$\g \rimpl \h_1+\h_2$ nilpotentní ideál.
}
\begin{proof}
Chceme ukázat, že $\exists n \in \N,\ \forall X_1,\dots,X_n \in \h_1 \cup \h_2,\ [X_1,[X_2,\dots,[X_{n-1},X_n]]] = 0$.\\
$\h_1,\h_2$ nilpotentní $\Leftrightarrow \exists k \in \N,\ \h_1^k =0,\ \h_2^k = 0$, vezmeme tedy $n = 2k \rimpl$BÚNO aspoň $k$ z~$X_1,\dots,X_n$ je z $\h_1$:
\begin{align*}
X \in \h_1^j,\ Y \in \h_1 \rimpl [X,Y] \in \h_1^{j+1},&& X \in \h_1^j,\ Y \in \h_2 \rimpl [X,Y] \in \h_1^j
\end{align*}
$\Rightarrow \quad [X_1,[X_2,\dots,[X_{n-1},X_n]]] \in \h_1^k = \{ 0\}$.
\end{proof}
\subsection{Derivace}
\Def{
Derivace Lieovy algebry $\g$ je lineární zobrazení $D:\g \to \g$ splňující $D([x,y])=[Dx,y]+[x,Dy]$, $\forall x,y \in \g$.
}
\Def{
$G$ Lieova grupa a $\g$ její algebra.
\begin{itemize}
\item \textbf{Adjugovaná akce} Lieovy drupy $G$ na $G$ je $\phi$, $\phi (g,h)=\phi_g(h)=ghg^{-1}$, ($\phi_g=L_g \circ R_{g^{-1}}$, $\phi_{g_1}\circ \phi_{g_2}=\phi_{g_1g_2}$),
\item \textbf{adjugovaná reprezentace Lieovy grupy} $G$ na $\g$ je $\Ad: G \to GL(\g)$, $\Ad (g)=\phi_{g*}|_e=L_{g*} \circ R_{g^{-1}*}$,
\item \textbf{adjugovaná reprezentace Lieovy algebry} $\g$ na $\g$ je $\ad :\g \to \gl (\g),\ \forall X \in \g,\ \ad_X = \Ad_*(X)$, tj. $\ad_X Y = \Ad_*(X)Y = \zuz{\td{}{t}}{t=0}\Ad (\e^{tX})Y$.
\end{itemize}
}
\Pzn{
Adjugovanou reprezentaci lze ekvivalentně zavést požadavkem $g \e^X g^{-1}=\e^{\Ad (g)X}$. Pro maticové grupy lze $\Ad (g)X$ vypočítat jednoduše vztahem
\begin{align}
\Ad(g)X=gXg^{-1},\qquad \forall g\in G, \forall X \in \g \,.
\end{align}
Podobně se zjednoduší výpočet $\ad$.
}
\Vet{
$\ad_X Y=[X,Y]$.
}
\begin{proof}
Pro $\forall X \in g$ máme $X(f)(p) = \zuz{\td{}{s}}{s=0}\left( f\circ\phi_s^X \right)(p) = \zuz{\td{}{s}}{s=0}f(p\e^{sX}),\ \forall f \in \Cs^\infty(G)$ a zároveň $\e^{\phi_*(X)} = \phi\left( \e^X \right),\ \forall \phi$ homomorfismus.
\begin{gather*}
\zuz{\ad_X(Y)f}{p} = \zuz{\td{}{t}}{t=0}\zuz{\Ad_{\e^{tX}}(Y)f}{p} = \zuz{\td{}{t}}{t=0}\zuz{\phi_{\e^{tX}*}(Y)f}{p} = \zuz{\td{}{s}}{s=0}\zuz{\td{}{t}}{t=0}\zuz{f\circ R_{\e^{s\phi_{\e^{tX}*}(Y)}}}{p} = \\
= \zuz{\td{}{s}}{s=0}\zuz{\td{}{t}}{t=0}f\left( p\e^{s\phi_{\e^{tX}*}(Y)}\right) = \zuz{\td{}{s}}{s=0}\zuz{\td{}{t}}{t=0}f\left( p\phi_{\e^{tX}}\left( \e^{sY}\right)\right) = \zuz{\td{}{s}}{s=0}\zuz{\td{}{t}}{t=0}\underbrace{f\left( p\e^{tX}\e^{sY}\e^{-tX}\right)}_{:= F(t,s,-t)} = \\
= \zuz{\td{}{s}}{s=0}\zuz{\td{}{t}}{t=0}F(t,s,0) - \zuz{\td{}{s}}{s=0}\zuz{\td{}{t}}{t=0}F(0,s,t) = \zuz{\td{}{s}}{s=0}\zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( f\left( p\e^{tX}\e^{sY}\right) - f\left( p\e^{sY}\e^{tX}\right)\right) = \\
= \zuz{\td{}{t}}{t=0}Yf(p\e^{tX}) - \zuz{\td{}{s}}{s=0}Xf(p\e^{sY}) = X(Yf)(p) - Y(Xf)(p) = [X,Y]f(p)
\end{gather*}
$\Rightarrow\quad \ad_X(Y) = [X,Y]$.
\end{proof}
\Pzn{
Pro matice je to ihned: $\td{}{t}\e^{tX}Y\e^{-tX} = XY -YX = [X,Y]$.
}
% Pomocí tohoto vztahu sestavíme matice zobrazení $\ad_{e_j}$ v~bázi $\Es$ a z~linearity pro $X=\alpha^i X_i$
% \begin{align}
% (\tensor[^\Es]{\ad}{_{e_j}})_{kl}=\T{c}{^k_{jl}} \,, && (\tensor[^\Es]{\ad}{_X})_{kl}=\alpha^j \T{c}{^k_{jl}} \,.
% \end{align}
\Dsl{
Díky Jacobiho identitě je $\ad_X$ derivace.
}
\Def{
Derivace $D$ je \textbf{vnitřní}, právě když $(\exists X \in \g )(D=\ad_X)$. Všechny ostatní se nazývají \textbf{vnější}.
}
\subsection{Vztah reálných a komplexních algeber}
\Def{
Pro $\g$ reálnou Lieovu algebru existuje jediná komplexní Lieova algebra $\g_\C$, nazývaná \textbf{komplexifikace} $\g$, kterou definujeme jako $\g_\C=\g +\cu \g=\C \otimes \g$, tj.:
\begin{align*}
[x+\cu y ,u+ \cu v] &=[x,u]-[y,v]+\cu ([y,u]+[x,v]) \\
(x+\cu y)(u+\cu v) &=(xu-yv)+\cu (yu+xv)
\end{align*}
}
\Pzn{
Pro každou komplexní Lieovu algebru $\g$ můžeme jednoznačně zkonstruovat $\g_\R$ pomocí libovolné báze $\{ x_j \}_{j=1}^n \subset \g$ a doplněním na $\mathrm{span}_\R \{x_j ,\ \cu x_j \}_{j=1}^n$. (Strukturní konstanty jsou pak reálné a komplexní části původních.)
}
\Pzn{
Pro $\g$ z~předchozích definic platí $\dim_\C \g_\C = \dim_\R \g$ a $\dim \g_\R=2\dim \g$.
}
\Def{
\textbf{Reálná forma} komplexní $\g$ je libovolná reálná $\tilde{\g}$ splňující $\g=\tilde{\g}_\C$.
}
\Prl{
$\mfrk{su}(2)_\C = \mfrk{sl}(2,\C) = \mfrk{sl}(2,\R)_\C,\qquad \mfrk{so}(1,3)_\C = \mfrk{so}(4) = \mfrk{so}(4,\R)_\C$
}
\subsection{Zobrazení Lieových algeber nad stejným tělesem}
\Def{ Lineární zobrazení $\phi : \g \to \h$:
\begin{itemize}
\item $\phi $ je \textbf{homomorfismus} $\quad\Leftrightarrow\quad$ $[\phi (X),\phi (Y)]=\phi ([X,Y])$, $\forall x,y \in \g$,
\item homomorfismus $\phi$ je \textbf{endomorfismus} $\quad\Leftrightarrow\quad \h=\g$,
\item homomorfismus $\phi$ je \textbf{izomorfismus} $\quad\Leftrightarrow\quad \ker \phi = \{0\},\ \phi (\g) =\h$,
\item izomorfismus $\phi$ je \textbf{automorfismus} $\quad\Leftrightarrow\quad \h=\g$.
\end{itemize}
}
\Prl{
$\forall g \in G$ je $\Ad_g: \g \to \g$ automorfismus. $\forall X \in \g,\ \ad_X : \g \to \g$ není homomorfismus, protože $\ad_X[Y,Z] = [\ad_XY,Z] + [Y,\ad_XZ]$, ale $\ad : \g \to \gl(\g)$ je homomorfismus.
}
\subsection{Killingova forma}
\Def{
Symetrická bilineární forma $\omega$ na $\g$ je:
\begin{itemize}
\item \textbf{invariantní vůči automorfismům} $\g \quad\Leftrightarrow\quad \omega (\phi (X) ,\phi (Y))=\omega (X,Y)$, $\forall \phi \in \Aut (\g )$,
\item \textbf{$\ad$-invariantní (invariantní)}$\quad\Leftrightarrow\quad \omega ([X,Y],Z) + \omega(Y,[X,Z]) = 0,\ \forall X,Y,Z \in \g$.
\end{itemize}
}
\Pzn{
$\omega$ invariantní vůči automorfismům, pak $\forall X,Y,Z \in \g$ platí
\begin{align*}
&\omega\left( \Ad_{\e^{tX}}Y, \Ad_{\e^{tX}}Z \right) = \omega(Y,Z) \quad \left/ \zuz{\td{}{t}}{t=0} \right. \\
&\omega\left( \ad_XY, Z \right) + \omega\left( Y, \ad_XZ \right) = 0
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \omega$ je $\ad$-invariantní (naopak neplatí).
}
\Prl{
$[X,Y] = 0,\ \forall X,Y \in \g \rimpl$libovolná $\omega$ je $\ad$-invariantní.
}
\Def{
\textbf{Killingova forma} je $K: \g \times \g \to T : K(X,Y)=\Tr(\ad_X \circ \ad_Y)$, kde $T$ je těleso.
}
\Pzn{
$\ad_{\phi(X)}: \g \to \g.\ \phi$ automorfismus:
\begin{align*}
\ad_{\phi(X)}Y = [ \phi(X),Y ] = \left[ \phi(X),\phi \left( \phi^{-1}(Y) \right) \right] = \phi \left( \left[ X,\phi^{-1}(Y) \right] \right) = \left( \phi \circ \ad_X \circ \phi^{-1}\right)(Y)
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \ad_{\phi(X)} = \phi \circ \ad_X \circ \phi^{-1}$. Pro Killingovu formu tedy platí :
\begin{align*}
K\left( \phi(X),\phi(Y) \right) = \Tr \left( \phi \circ \ad_X \circ \phi^{-1} \circ \phi \circ \ad_Y \circ \phi^{-1}\right) = \Tr \left( \ad_X \circ \ad_Y\right) = K(X,Y),
\end{align*}
tj. je invariantní vůči všem automorfismům.
}
\Pzn{
Explicitně $K$ $\ad$-invariantní:
\begin{align*}
K\left( [X,Y],Z \right) + K\left( Y,[X,Z] \right) &= K\left( \ad_XY,Z \right) + K\left( Y,\ad_XZ \right) = \Tr\left( \ad_{\ad_XY}\circ\ad_Z + \ad_Y\circ\ad_{\ad_XZ} \right) =\\
&= \Tr\left( \ad_X\ad_Y\ad_Z - \ad_Y\ad_X\ad_Z + \ad_Y\ad_X\ad_Z - \ad_X\ad_Y\ad_Z \right) = 0
\end{align*}
}
\Vet{
$\h \subset \g$ ideál$\rimpl K_\h= \zuz{K_\g}{\h \times \h}$.
}
\begin{proof}
Bázi $\h,\ \{ e_i \}_{i=1}^{\dim \h}$, doplníme na bázi $\g,\ \varepsilon = \{ e_i\}_{i=1}^{\dim \g}$. Pak $\forall X,Y \in \h,\ \ad_X : \g \to \h, \\ \ad_Y : \g \to \h$, tj.:
\begin{gather*}
(\ad_X)_\varepsilon = \left(\begin{array}{ccc}
A&|&B \\\hline
&\mathbb{O}&
\end{array}\right)\begin{array}{l}
\big\}\dim \h \\
\\
\end{array}, \qquad (\ad_Y)_\varepsilon = \left(\begin{array}{ccc}
\widetilde{A}&|&\widetilde{B} \\\hline
&\mathbb{O}&
\end{array}\right)\begin{array}{l}
\big\}\dim \h \\
\\
\end{array},\\
K(X,Y) = \Tr\left( \left(\begin{array}{ccc}
A&|&B \\\hline
&\mathbb{O}&
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}
\widetilde{A}&|&\widetilde{B} \\\hline
&\mathbb{O}&
\end{array}\right)\right) = \Tr\left( A\cdot\widetilde{A}\right) = \Tr\left( \zuz{\ad_X}{\h},\zuz{\ad_Y}{\h} \right) = K_\h(X,Y).
\end{gather*}
\end{proof}
\Def{
\textbf{Ortogonální doplněk ideálu} $\h$ vzhledem ke Killingově formě $K$ na $\g$ je \\
$\h^\perp=\{X \in \g | K(X,Y)=0, \forall Y \in \h \}$.
}
\Pzn{ $\h$ ideál$\rimpl \h^\perp$ ideál.}
\begin{proof}
Pro libovolné $X \in \h^\perp,\ Y \in \g,\ Z \in \h$ platí:
\begin{align*}
K\big( [X,Y],Z \big) = -K\big([Y,X],Z \big) = K\big( X,[Y,Z] \big) = -K\big( X, \underbrace{[Z,Y]}_{\in \h} \big) = 0 \rimpl [X,Y] \in \h^\perp.
\end{align*}
\end{proof}
%\Pzn{ $\g$ je prostá $\Leftrightarrow$ $\ad_{\g}$ ireducibilní.}
\subsection{Nilpotentní a řešitelné algebry}
\Vet{
$\phi: \g \to \widetilde{g}$ homomorfismus, $\h \subset \g$ podalgebra$\rimpl \left(\phi (\h) \right)^{(k)} = \phi(\h^{(k)}), \\ \left( \phi(\h) \right)^k = \phi \left( \h^k \right)$.
}
\begin{proof}
Indukcí:
\begin{gather*}
\left( \phi(\h) \right)^{(0)} = \phi(\h) = \phi \left( \h^{(0)} \right) \\
\left( \phi(\h) \right)^{(k)} = \left[ \phi(\h)^{(k-1)}, \phi(\h)^{(k-1)} \right] = \left[ \phi\left( \h^{(k-1)} \right), \phi \left( \h^{(k-1)} \right)\right] = \phi \left( \left[ \h^{(k-1)},\h^{(k-1)} \right] \right) = \phi\left( \h^{(k)} \right)
\end{gather*}
\begin{gather*}
\left( \phi(\h) \right)^1 = \phi(\h) = \phi \left( \h^1 \right) \\
\left( \phi(\h) \right)^k = \left[ \phi(\h)^{k-1}, \phi(\h)^{k-1} \right] = \left[ \phi\left( \h^{k-1} \right), \phi \left( \h^{k-1} \right)\right] = \phi \left( \left[ \h^{k-1},\h^{k-1} \right] \right) = \phi\left( \h^{k} \right)
\end{gather*}
\end{proof}
\Dsl{
Je-li původní algebra řešitelná (resp. nilpotenti), pak $\mrm{Ran}\,\phi$ je řešitelná (resp. nilpotentní).
}
\Pzn{
$\phi$ homomorfismus$\rimpl \ker\phi$ je ideál.
}
\begin{proof}
$X \in \g,\ Y \in \ker\phi \rimpl \phi\left( [X,Y] \right) = \left[ \phi(X),\phi(Y) \right] = 0 \rimpl [X,Y] \in \ker\phi$
\end{proof}
\Vet{
Je-li $\h$ ideál v~$\g$ a $\h ,\g / \h$ řešitelné. Pak $\g$ je řešitelná.
}
\begin{proof}
$\g / \h$ řešitelná$\quad\Leftrightarrow\quad \exists n \in \N,\ (\g / \h)^{(n)} = 0\,\mrm{mod}\,\h \quad\Leftrightarrow\quad \g^{(n)} \subset \h$ a protože $\h$ je řešitelný, $\exists k \in \N,\ \h^{(k)} = 0 \rimpl \g^{(n+k)} \subset \h^{(k)} = 0 \rimpl \g$ je řešitelná.
\end{proof}
\Dsl{
Máme-li $\phi : \g \to \h$ homomorfismus, $\mrm{Ran}\,\phi$ a $\ker\phi$ řešitelné$\rimpl \g$ je řešitelná, protože $\mrm{Ran}\,\phi \cong \g / \ker\phi$.
}
\Vet{
Je-li $\h \subset \Zs(\g)$ a $\g / \h$ nilpotentní. Pak $\g$ je nilpotentní.
}
\begin{proof}
$\g / \h$ nilpotentní$\quad\Leftrightarrow\quad \exists n \in \N,\ (\g / \h)^n = 0\,\mrm{mod}\,\h \rimpl \g^n \subset \h \rimpl \g^{n+1} \subset [\g,\h] = 0$.
\end{proof}
\Dsl{
$\ad_\g = \{\ad_X | X \in \g \} \subset \gl(\g)$
\begin{itemize}
\item $\g$ řešitelná$\quad\Leftrightarrow\quad \ad_\g$ řešitelná.
\item $\g$ nilpotentní$\quad\Leftrightarrow\quad \ad_\g$ nilpotentní.
\end{itemize}
}
\begin{proof}
$\ker\ad = \left\{ X\in \g \middle| [X,Y] = 0,\ \forall Y \in \g \right\} = \Zs(\g) \rimpl \ker\ad$ je Abelovská algebra.
\end{proof}
\subsection{Vlastnosti konečněrozměrných operátorů}
\Def{
$A \in \gl (V)$ je \textbf{diagonalizovatelný (poloprostý)} $\quad\Leftrightarrow\quad \exists$ báze $V$ tvořená vl. vektory operátoru $Ae_i = \lambda_ie_i$.\\
Soubor operátorů $\{ A_\alpha \}_{\alpha \in \Is}$ je \textbf{současně diagonalizovatelný} $\quad\Leftrightarrow\quad \exists$ $\{e_i \}_{i=1}^{\dim V}$ báze tvořená společnými vlastními vektory, $A_\alpha e_i = \lambda_i^{(\alpha )}e_i$.
}
\Def{
$A \in \gl (V)$ je \textbf{nilpotentní}$\quad\Leftrightarrow\quad \exists$ $n \in \N$, $A^n=0$.
}
\Vet{(Jordanův rozklad)
$A \in \gl(V),\ V$ nad $\C \rimpl \exists_1 S,N \in \gl (V)$ splňující
\begin{itemize}
\item $A=S+N$,
\item $S$ je diagonalizovatelný, $N$ nilpotentní,
\item $[S,N]=0$.
\end{itemize} Bez důkazu.
}
\Dsl{
$S$ a $N$ jsou polynomy v $A$.
}
\subsection{Věty Lieova a Engelova}
\Def{
$X \in \g$ je \textbf{$\ad$-nilpotentní}$\quad\Leftrightarrow\quad \exists n \in \N$, $(\ad_X )^n=0$.
}
\Pzn{\label{nilpotentni poznamka}
$\g$ je nilpotentní$\quad\Leftrightarrow\quad \exists n \in \N,\ \forall X_1,\dots,X_n \in \g,\ \ad_{X_1}\circ\dots\circ\ad_{X_n} = 0 \rimpl \forall X \in \g,\ \left( \ad_X \right)^n = 0$
}
\lmma{\label{Lemma1:Lie-Engel}
$X \in \gl(V)$ je nilpotentní$\rimpl X$ je $\ad$-nilpotentní v $\gl(V)$.
}
\begin{proof}
Indukcí ukážeme že platí:
\begin{align*}
\left( \ad_X \right)^kY = \sum_{j = 0}^{k}(-1)^{k-j}\binom{k}{j}X^jYX^{k-j}
\end{align*}
$k=1$ zřejmé, $k-1 \to k$:
\begin{align*}
\left( \ad_X \right)^kY = \ad_X \sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{k-1-j}\binom{k-1}{j}X^jYX^{k-1-j} = \\
= \sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{k-1-j}\binom{k-1}{j}X^{j+1}YX^{k-1-j} - \sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{k-1-j}\binom{k-1}{j}X^{j}YX^{k-j} = \\
= \sum_{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\left( \binom{k-1}{j-1} + \binom{k-1}{j} \right) X^jYX^{k-j} = \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j}X^jYX^{k-j}
\end{align*}
Je-li $X^n = 0$ pro nějaké $n \in N$, pak v každém sčítanci $\left(\ad_X\right)^{2n}$ je nula.
\end{proof}
\lmma{\label{Lemma2:Lie-Engel}
$\h$ ideál v~$\g \subset \gl (V)$, $W= \bigcap_{X \in \h}\ker X = \{v \in V | Xv=0, \forall X \in \h \}$. Pak $\g W \subset W$, tj. $W$ je invariantní podprostor.
}
\begin{proof}
$\forall X \in \h,\ \forall Y \in \g,\ X(YW) = [X,Y]W + Y(XW) = 0 \rimpl YW \subset \ker X,\ \forall X \in \h,\ \forall Y \in \g \rimpl YW \subset W,\ \forall Y \in \g \rimpl \g W \subset W$
\end{proof}
\lmma{\label{Lemma3:Lie-Engel}
Buď $\g \subset\subset \gl(V)$ takové, že všechny elementy $\g$ jsou nilpotentní. Pak existuje $v \in V,\ v \neq 0,\ \forall X \in \g,\ Xv = 0$.
}
\begin{proof}
Indukcí na $\dim\g$:
\begin{align*}
\dim\g = 1 \rimpl \g = \mrm{span}\{ X\},\ X^n = 0 \rimpl 0 \in \sigma(X) \rimpl \exists v \in V,\ Xv = 0
\end{align*}
$\dim\g = n-1 \to n$: Vezmeme vlastní podalgebru maximální dimenze $\h$ a definujeme reprezentaci $\h$ na $\g / \h$:
\begin{align*}
\phi(X)(Y+\h) = \ad_XY + \h,\qquad \forall X \in \h,\ Y\in \g
\end{align*}
$\forall X \in \h,\ X$ nilpotentní$\quad\xRightarrow{Lemma\ \ref{Lemma1:Lie-Engel}}\quad X\ \ad$-nilpotentní$\rimpl \phi(X)$ nilpotentní$\rimpl \phi(\h)$ splňuje předpoklady a má dimenzi ostře menší než $n \rimpl $ dle indukčního předpokladu proto
\begin{align*}
\exists Z \in \g: Z + \h \in \g / \h,\ Z + \h \neq \h,\ \phi(X)(Z + \h) = \h,\ \forall X \in \h \rimpl Z \notin \h,\ [X,Z] \in \h,\ \forall X \in \h
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \mrm{span}\{ Z \} + \h$ je podalgebra $\g$, její $\dim = \dim \h +1$ a z maximality $\h$ plyne, že je to celé $\g$.
Z indukcního předpokladu rovnež $\exists v \in V,\ \h v = 0$, tzn. $W := \bigcap_{X \in \h}\ker X \neq \{ 0 \}$ a $\h$ je ideál, neboť $[\g,\h] = [\mrm{span}\{ Z \} + \h, \h] \subset \h \quad\xRightarrow{Lemma\ \ref{Lemma2:Lie-Engel} }\quad W$ je invariantní podprostor $\g.$ A protože $Z$ je nilpotentní, je taky $\zuz{Z}{W}: W \to W$ nilpotentní, tedy
\begin{align*}
\exists w \in W,\ Zw = 0 \rimpl \g w = \left( \mrm{span}\,Z + \h \right)w = 0.
\end{align*}
\end{proof}
\lmma{\label{Lemma4:Lie-Engel}
Buď $\g \subset \gl(V),\ \forall X \in \g$ nilpotenti, tj Lieova algebra nilpotentních operátorů. Pak $\exists \varepsilon = \{ e_i \}$ báze taková že $Xe_i \in \mrm{span}\{ e_1,\dots,e_{i-1} \},\ \forall X \in \g$, tj. $\forall X \in \g,\ X_\varepsilon$ ostře horní trojúhelníková matice, tj. $\g$ je nilpotentní algebra.
}
\begin{proof}
Dle $Lemma\ \ref{Lemma3:Lie-Engel},\ \exists e_1 \in \bigcap_{X \in \g}\ker X$, položíme $V_1 = \mrm{span}\{ e_1 \}$ a definujeme akci $\g$ na $V / V_1$:
\begin{align}
\phi(X)\left( v + V_1 \right) = Xv + V_1,\qquad \forall X \in \g,\ \forall v \in V.
\end{align}
$\phi(\g)$ je tvořena nilpotentními operátory$\rimpl \exists e_2 \in V,\ e_2 \notin V_1,\ \phi(X)\left( e_2 + V_1 \right) = V_1,\ \forall X \in \g$, tj. $Xe_2 \in V_1,\ \forall X \in \g$. Položíme $V_2 = \mrm{span}\{ e_1, e_2 \}$ a postup opakujeme. Indukcí tedy získáváme kompoziční řadu $\{ 0 \} \subset V_1 \subset V_2 \subset \dots \subset V_n = V$ splňující $\dim V_i / V_{i-1} = 1,\ \g V_i \subset V_{i-1} \rimpl$v bázi tvořené elementy $e_i \in V_i$ jsou matice operátorů $X \in \g$ horní trojúhelníkové s nulovou diagonálou.
\end{proof}
\Vet{(Engelova)
Lieova algebra $\g$ je nilpotentní$\quad\Leftrightarrow\quad \forall X \in \g,\ X$ je $\ad$-nilpotentní. Dále každá komplexní maticová nilpotentní Lieova algebra $\g$ má ve vhodné bázi tvar:
\begin{align*}
X = \begin{pmatrix}
A_1(X) & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & A_n(X)
\end{pmatrix},\text{ kde } A_i(X) = \begin{pmatrix}
\lambda_i(X) & & ? \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_i(X)
\end{pmatrix} ,\ \lambda \in \g^*,\ \forall X \in \g.
\end{align*}
}
\begin{proof}
$\ad_\g = \left\{ \ad_X \middle| X \in \g \right\}$ je tvořena nilpotentními operátory$\quad\xRightarrow{Lemma\ \ref{Lemma4:Lie-Engel}}\quad \ad_\g$ je nilpotentní maticová algebra$\rimpl \g$ je nilpotentní. Opačná implikace plyne z poznámky \zref{nilpotentni poznamka}.
Dále libovolné $V$ nad $\C$ lze rozložit jako
\begin{align*}
V=\bigoplus_{\lambda \in \sigma(X)}\lim_{n \to +\infty}\ker(X - \lambda\mathbb{1})^n,\qquad \forall X \in \gl(V).
\end{align*}
Indukcí ukážeme:
\begin{align*}
\left( X - \lambda \mathbb{1} \right) ^k Y = \sum_{j=0}^k\binom{k}{j}\left( \ad_X \right)^j Y \left( X - \lambda \mathbb{1} \right)^{k-j},\qquad \forall X,Y \in \gl(V).
\end{align*}
$k=1$ zřejmé, $k-1 \to k$:
\begin{align*}
\left( X - \lambda \mathbb{1} \right) ^k Y = \left( X - \lambda \mathbb{1} \right) \sum_{j=0}^{k-1}\binom{k-1}{j}\left( \ad_X \right)^{j} Y \left( X - \lambda \mathbb{1} \right)^{k-1-j} = \\
= \sum_{j=0}^{k-1}\binom{k-1}{j}\left( X \left( \ad_X \right)^{j} Y - \lambda \left( \ad_X \right)^{j} Y\right) \left( X - \lambda \mathbb{1} \right)^{k-1-j} = \\
= \sum_{j=0}^{k-1}\binom{k-1}{j}\left( \left( \ad_X \right)^{j+1} Y + \left( \ad_X \right)^{j} YX - \lambda \left( \ad_X \right)^{j} Y\right) \left( X - \lambda \mathbb{1} \right)^{k-1-j} = \\
= \sum_{j=0}^{k-1}\binom{k-1}{j}\left( \left( \ad_X \right)^{j+1} Y + \left( \ad_X \right)^{j} Y (X- \lambda\mathbb{1}) \right) \left( X - \lambda \mathbb{1} \right)^{k-1-j} = \\
= \sum_{j=0}^{k}\left(\binom{k-1}{j-1} + \binom{k-1}{j} \right)\left( \ad_X \right)^{j} Y \left( X - \lambda \mathbb{1} \right)^{k-1-j} = \sum_{j=0}^k\binom{k}{j}\left( \ad_X \right)^j Y \left( X - \lambda \mathbb{1} \right)^{k-j}
\end{align*}
Nechť $\g$ nilpotentní podalgebra $\gl(V),\ V$ nad $\C,\ X \in \g$, označíme $W_\lambda^X := \lim_{n \to +\infty}\ker(X-\lambda\mathbb{1})^n$, kde $\lambda \in \sigma(X)$, tedy platí:
\begin{align*}
\left( X - \lambda \mathbb{1} \right) ^k Y W_{\lambda}^X= \sum_{j=0}^k\binom{k}{j}\left( \ad_X \right)^j Y \left( X - \lambda \mathbb{1} \right)^{k-j}W_\lambda^X \quad \xrightarrow{k \to +\infty} \quad 0,\qquad \forall Y \in \g.
\end{align*}
Protože pro dostatečně velké $k$ je buď $(\ad_X)^jY = 0$ nebo $(X - \lambda\mathbb{1})^{k-j}W_\lambda^X = 0 \rimpl YW_\lambda^X \subset W_\lambda^X$, tj. $W_\lambda^X$ je invariantní podprostor.
\end{proof}
\lmma{\label{Lemma5:Lie-Engel}
Buď $V$ nad $\C,\ \g \subset \gl(V)$ řešitelná. Pak $\exists v \in V, \ v \neq 0,\ \lambda \in g^*,\ \forall X \in \g,\ Xv = \lambda(X)v$.
}
\begin{proof}
Indukcí na $\dim \g$: $\dim \g =1$ zřejmé. \\
$\dim \g = k-1 \to k$: $\g$ řešitelná, $\dim \g = k \rimpl \g^{(1)} = [\g,\g] \subsetneqq \g$, vezmeme $\h$ podprostor $\g,\ \g^{(1)} \subset \h,\ \dim \h = k-1 \rimpl \h$ je ideál, protože $[\h,\g] \subset \g^{(1)} \subset \h$ a protože $\h$ je řešitelný splňuje indukční předpoklad$\rimpl \exists v_0 \in V,\ v \neq 0,\ Xv_0 = \lambda_0(X)v_0,\ \forall X \in \h$.
Vezmeme libovolné $Z \in \g \setminus \h$, tedy $\g = \h + \mrm{span}\{ Z \}$, a definujeme $v_{j+1} = Zv_j,\ j \in \N_0,\ W = \mrm{span}\{ v_j \}_{j=0}^{+\infty}$. Platí ale $\dim W \leq \dim V < +\infty \rimpl \exists p \in \N,\ W = \mrm{span}\{ v_j \}_{j=0}^p,\ ZW \subset W$. Pro libovolné $X \in \h$ platí:
\begin{align*}
Xv_0 &= \lambda(X)v_0 \\
Xv_1 &= XZv_0 = ZXv_0 + \overbrace{[X,Z]}^{\in \h}v_0 = \lambda(X)Zv_0 + \lambda([X,Z])v_0 \\
&= \lambda(X)v_1 + \lambda([X,Z])v_0 \\
Xv_2 &= ZXv_1 + [X,Z]v_1 = \lambda(X)v_2 + 2\lambda([X,Z])v_1 + \lambda([[X,Z],Z])v_0 \\
&\vdots \\
Xv_j &= \lambda(X)v_j + \underbrace{\dots}_{\in\, \mrm{span}\{ v_0,\dots,v_{j-1}\}}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \Tr \zuz{X}{W} = \dim W \cdot \lambda(X)$, když teda $\dim W \neq 0$:
\begin{align*}
\lambda([X,Z]) = \frac{1}{\dim W}\Tr\zuz{[X,Z]}{W} = \frac{1}{\dim W}\left( \Tr \zuz{XZ}{W} - \Tr \zuz{ZX}{W} \right) = 0,\qquad \forall X \in \h
\end{align*}
$\rimpl Xv_1 = \lambda(X)v_1,\ \forall X \in \h \rimpl$ indukcí dostáváme $Xv_j = \lambda(X) v_j,\ \forall X \in \h \rimpl \forall X \in \h$ jsou současně diagonální na $W$. A protože $ZW \subset W \rimpl \exists v \in W,\ v \neq 0 : Zv = \lambda v$, je už lemma dokázáno.
\end{proof}
\Vet{(Lieova)
Buď $\g$ podalgebra $\gl (V)$, $V$ nad $\C$. Potom je $\g$ řešitelná právě tehdy, když je možno $\forall X \in \g$ převést současně na horní trojúhelníkový tvar.
}
\begin{proof}
$\g$ tvoří horní trojúhelníkové matice$\rimpl \g$ řešitelná.
Naopak, mějme řešitelnou algebru $\g\subset \gl(V),\ V$ nad $\C \quad \xRightarrow{Lemma\ \ref{Lemma5:Lie-Engel} }\quad \exists v_1 \in V,\ v_1 \neq 0,\ \lambda_1 \in \g^*,\ \forall X \in \g,\ Xv_1 = \lambda_1(X)v_1$. Definujeme $V_1 := \mrm{span}\{ v_1 \}$ a reprezentaci $\g$ na $V/V_1$:
\begin{align*}
\phi(X)\left( v + V_1 \right) = Xv + V_1,\qquad \forall X \in \g, v \in V.
\end{align*}
$\phi(\g)$ je opět řešitelná maticová algebra $\quad\xRightarrow{Lemma\ \ref{Lemma5:Lie-Engel}}\quad \exists v_2 \in V,\ v_2 \notin V_1,\ \widetilde{\lambda}_2 \in \phi(\g)^*$:
\begin{align*}
\phi(X) \left(v_2 + V_1 \right) &= Xv_2 + V_1 \\
&= \widetilde{\lambda}_2(\phi(X))\left( v_2 + V_1 \right) = \widetilde{\lambda}_2(\phi(X))v_2 + V_1, \qquad \forall X \in \g.
\end{align*}
Položíme tedy $\lambda_2 := \widetilde{\lambda}\circ\phi \rimpl Xv_2 = \lambda_2(X) v_2$. Definujeme $V_2 = \mrm{span}\{ v_1,v_2 \}$ a pokračujeme indukcí. Získáme bázi $V$ ve tvaru $\{ v_1,v_2,\dots \}$ s vlastností
\begin{align*}
Xv_j=\lambda_j(X)v_j\,\mrm{mod}\,[v_1,\dots,v_{j-1} ]_\lambda,\qquad \forall X \in \g.
\end{align*}
$\Rightarrow \quad$ v této bázi jsou všechny $X \in \g$ horní trojúhelníkové matice.
\end{proof}
\Dsl{
Lieova algebra $\g$ je řešitelná $\quad\Leftrightarrow\quad \g^2 = \g^{(1)}$ je nilpotentní.
}
\begin{proof}
Pro reálnou algebru máme:
\begin{align*}
\left( \g_\C \right)^k = \left(\g^k\right)_\C,\qquad \left( \g_\C \right)^{(k)} = \left(\g^{(k)}\right)_\C
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$platí proto: $\quad\g_\C$ je řešitelná (resp. nilpotentí)$\quad\Leftrightarrow\quad \g$ je řešitelná (resp. nilpotentní).
Stačí tedy ukázat platnost pro $V$ nad $\C$: \\
$\Leftarrow)\ \g / \g^2$ je Abelovská, tj. řešitelná, $\g^2$ je řešitelná$\rimpl \g$ je řešitelná. \\
$\Rightarrow)\ \g$ řešitelná$\quad \Leftrightarrow \quad \ad_\g \subset \gl(\g)$ je řešitelná$\quad\Leftrightarrow\quad$ ve vhodné bázi $\g$ je $\ad_\g$ vyjádřeno pomocí horních trojúhelíkových matic$\rimpl \forall X,Y \in \g,\ Z = [X,Y]: \ad_Z = \left[ \ad_X,\ad_Y \right]$ je horní trojúhelníková matice s nulovou diagonálou, tj. všechna $\ad_Z \in \ad_{\g^2}$ jsou striktně horní trojúhelníkové matice$\rimpl \ad_{\g^2}$ je nilpotentní algebra$\rimpl \g^2$ je nilpotentní algebra.
\end{proof}
