Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Souvislost Lieových grup a algeber}
\Pzn{
Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá$\quad \Leftrightarrow \quad$všechny uzavřené křivky lze hladce zdeformovat do bodu, tj. na konstantní zobrazení $S^1 \to x_0 \in M$.
}
\Def{
Buďte $M$, $\overline{M}$ souvislé variety. $\overline{M}$ je \textbf{nakrytí} $M$ právě, když $\exists$ $\pi : \overline{M} \to M$ splňující
\begin{itemize}
\item $\forall x \in M,\ \exists U = U^\circ,\ \pi^{(-1)}(U)=\bigcup_{\alpha \in \mathcal{I}}U_\alpha,\ U_\alpha = U_{\alpha}^\circ \subset \overline{M},\ U_\alpha \cap U_\beta = \emptyset,\ \forall \alpha\neq\beta$,
\item $\left. \pi \right\rvert_{U_\alpha}: U_\alpha \to U$ je difeomorfismus.
\end{itemize}
}
\Pzn{
Pojem nakrytí je podrobněji rozebrán ve Feckovi, kapitola 13.3.
}
\Prl{
$M=S^1,\ \overline{M}=S^1,\ \Pi(\e^{i\varphi})=\e^{2i\varphi}$
}
\Prl{
$M=S^1,\ \overline{M}=\R,\ \Pi(\varphi)=\e^{i\varphi}$
}
\Def{
Nakrytí $\overline{M}$ variety $M$ je \textbf{univerzální} právě, když $\overline{M}$ je jednoduše souvislá.
}
%\Pzn{ Protože je nakrytí lokální difeomorfismus platí pro Lieovy grupy $G$ a nakrytí $\overline{G}$ vztah $\g \simeq \overline{\g}$. }
\Pzn{
Všechna univerzální nakrytí souvislé variety jsou izomorfní.
}
\subsection{Konstrukce univerzálního nakrytí}
\Pzn{
Pro křivky $\gamma_1:\langle 0,1 \rangle \to M,\ \widetilde{\gamma} : \langle 0,1 \rangle \to M,\ \gamma_1(1) = \widetilde{\gamma}(0)$ definujeme:
\begin{align*}
\gamma_1 \circ \widetilde{\gamma}: \langle 0,1 \rangle \to M:\gamma_1 \circ \widetilde{\gamma}(t) &= \gamma _1(2t) & 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\
&= \widetilde{\gamma}(2t) & \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \\
\gamma^{-1}(t) : \langle 0,1 \rangle \to M : \gamma^{-1}(t) &= \gamma(1-t) & 0 \leq t \leq1
\end{align*}
}
$x_0 \in M$ fixní, pak $\overline{M} = \left\{ [\gamma] \middle| \gamma:\langle 0,1 \rangle \to M,\ \gamma(0) = x_0 \right\},\ \gamma \sim \widetilde{\gamma} \Leftrightarrow \left( \gamma(1) = \widetilde{\gamma}(1) \land \gamma \circ \widetilde{\gamma}^{-1}\right.$ je možno deformovat do $\gamma(t) =x_0 \left. \right)$. Vezmeme jednoduše souvislé okolí $x \in M,\ U_x = U_x^\circ \rimpl \forall y \in U,\ \exists \gamma_{xy}:\langle 0,1 \rangle \to M:\ \gamma_{xy}(0)=x,\ \gamma_{xy}(1) = y,\ \gamma_{xy}(t) \in U_x,\ \forall t \in \langle 0,1 \rangle$. Všechny takové $\gamma_{x,y}$ spojující $x$ a $y$ uvnitř jednoduše souvislého okolí jsou ekvivalentní. Definujeme $\overline{U} \in \overline{M}$ okolí $[\gamma]$ jako $\overline{U} = \left\{ [\gamma \circ \gamma_{xy}] \middle| y \in U_x \right\}$ . Platí tedy $\gamma\circ\gamma_{xy}(0) = x_0,\ \gamma\circ\gamma_{xy}(1) = y. \rimpl$Definujeme-li $\Pi([\gamma]) = \gamma(1) \in M$, pak takto definované $\overline{U}$ je homeomorfní $U_x$.
$\Pi$ definujeme jako hladké zobrazení, pomocí $\left( \zuz{\Pi}{\overline{U}} \right)^{-1}$ přeneseme hladkou strukturu a ukážeme že tímto lze definovat hladkou strukturu na $\overline{M}$. O $M$ lze pak dokázat, že je jednoduše souvislé.
Je-li $G$ souvislá Lieova grupa, pak na $\overline{G}$ můžeme definovat strukturu Lieovy grupy následovně: $x_0 \equiv e,\ \forall g \in G,\ \gamma_g: \langle 0,1 \rangle \to G,\ \gamma_g(1) = g$,
\begin{itemize}
\item $\left[ \gamma_g \right] \cdot \left[ \gamma_h \right] \equiv \left[ \gamma_g \cdot L_g(\gamma_h) \right], \ \forall g,h \in G$, kde $L_g(\gamma_h)(t) = g \cdot \gamma_h(t),\ \forall t$
\item $\overline{e} = \left[ \gamma_e \right],\ \gamma_e(t) = e,\ \forall t$
\item $\left[ \gamma_g \right]^{-1} = \left[ L_{g^{-1}} \left( \gamma_g^{-1} \right) \right]$
\item $\Pi \left( \left[ \gamma_g \right] \cdot \left[ \gamma_h \right] \right) = g \cdot h$, tj. $\Pi$ je homomorfizmus grup
\end{itemize}
$\Rightarrow \quad \g \simeq \overline{\g}$, protože okolí počátků jsou difeomorfní.
\Vet{(Ado)
Pro libovolnou konečněrozměrnou Lieovu algebru $\g$ existuje její věrná konečněrozměrná reprezentace $\rho : \g \to \gl(V),\ \dim V < +\infty,\ \g \simeq \rho(\g) \subset\subset \gl(V)$. Bez důkazu.
}
\Dsl{
Ke každé Lieově algebře existuje příslušná souvislá Lieova grupa $G \subset\subset GL(V)$. Dále ke $G$ můžeme najít jednoduše souvislou $\overline{G}$ (nikoliv již uvnitř $GL(V)$).
}
\Vet{
Ke každé konečněrozměrné Lieově algebře $\g$ existuje právě jedna souvislá a jednoduše souvislá Lieova grupa $G$ taková, že $\g$ je její Lieova algebra. Všechny ostatní souvislé Lieovy grupy s touto algebrou $g$ jsou nakrývány $G$ a mohou být proto zapsány jako $G/D$, kde D je diskrétní normální podgrupa. Bez důkazu.
}
\Pzn{
$D$ normální $\Leftrightarrow gDg^{-1} = D,\ \forall g \in G \rimpl$ pro pevně zvolené $d_0 \in D$ a $\phi : G \to D \subset G : \phi(g) = g d_0 g^{-1} \in D$, je $\phi(G)$ souvislá díky tomu, že $G$ je souvislá a $\phi$ hladké. A protože $D$ je diskrétní podmnožina $G \rimpl \phi(g) = d_0,\ \forall g \in G \rimpl gd_0 = d_0g,\ \forall g \in G \rimpl D \subset \Zs (G) = \left\{ h \in G \middle| hg = gh,\ \forall g \in G \right\} \rimpl D$ je Abelovská.
}
\Pzn{
$\rho$ reprezentace $\g$ na $V,\ \mrm{dim}\,V < +\infty \rimpl \rho$ je reprezentace jednoduše souvislé grupy $G$. Zároveň ale pokud $\rho(D) \neq \{ \mathbb{1} \}$, pak nelze skonstruovat $\rho : G/D \to GL(V)$, tj.:
\begin{itemize}
\item $\rho (D) = \{ \mathbb{1} \}$ a máme tedy reprezentaci $G/D$,
\item nebo $\rho (D) \neq \{ \mathbb{1} \}$ a reprezentaci nemáme (víceznačná reprezentace).
\end{itemize}
}
\Pzn{
Pomocí předchozích vět máme vyřešen problém všech souvislých $G$ se stejnou $\g$. Teoreticky můžeme vždy nalézt univerzální nakrytí $\overline{G}$ a následně ho faktorizovat podle možných $D$ a tím získám všechny $G$.
}
\Prl{
Pro $su(2)$ existují právě 2 souvislé Lieovy grupy $SU(2)$ a $SO(3) = SU(2)/_{\{ \mathbb{-1}, \mathbb{1} \}}$.
}
