Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Význam kompaktních Lieových grup}
Mějme $X_j$ bázi $\g,\ \sigma^k \in \Gamma(T^*G)$, tedy $\forall g,h \in G$ platí:
\begin{align*}
L_{g*}\left(\zuz{X_j}{h}\right) &= \zuz{X_j}{gh} \\
\sigma^j\left(\zuz{X_k}{g}\right) &= \delta^j_{\ k} \\
L_g^*\left(\zuz{\sigma^j}{gh}\right) &= \zuz{\sigma^j}{h} \\
L_g^*\left(\zuz{\sigma^j}{gh}\right)\left(\zuz{X_k}{h}\right) &= \zuz{\sigma^j}{gh}\big( \underbrace{L_{g*}\left(\zuz{X_k}{h}\right)}_{\zuz{X_k}{gh}}\big) = \delta^j_{\ k}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \omega = \sigma^1\land\dots\land\sigma^n,\ n = \dim \g$, objemový element na $G$, je levoinvariantní, tj. $L_g^*\omega = \omega$.
\Vet{
Nechť $G$ je kompaktní. Pak $R_g^*\omega=\omega$.
}
\begin{proof}
Sporem: Nechť $R_{g^{-1}}^*\omega \neq \omega$ (BÚNO $\g \to \g^{-1}$), $\omega(X_1,\dots,X_n) = 1$, a nechť $\zuz{R_{g^{-1}}^*\omega(X_1,\dots,X_n)}{h} = c > 1$ pro zvolené $g,h$.
\begin{align*}
\left[L_{g*},R_{h*}\right] = 0 \rimpl L_h^*\left( R_{g^{-1}}^* \omega \right) = R_{g^{-1}}^*\big( \underbrace{L_h^* \omega}_{\omega} \big) = R_{g^{-1}}^* \omega
\end{align*}
$\Rightarrow\quad R_{g^{-1}}^*\omega$ je levoinvariantní$\rimpl$ na bodě $h$ nezáleží, výsledek je stejný $\forall h$, vezmeme tedy $h = e$. Prodože $\Ad_g = L_{g*}\circ R_{g^{-1}*} : T_eG \to T_eG \equiv \g$, máme:
\begin{align*}
c &= \zuz{L_g^* R_{g^{-1}}^* \omega (X_1,\dots,X_n)}{e} = \omega \left( L_{g*}R_{g^{-1}*}\left( \zuz{X_1}{e} \right) ,\dots, L_{g*}R_{g^{-1}*}\left( \zuz{X_n}{e} \right) \right) = \\
&= \omega\left( \Ad_g \left( \zuz{X_1}{e} \right) ,\dots, \Ad_g \left( \zuz{X_n}{e} \right) \right) = \det \Ad_g \cdot \underbrace{\omega \left( \left( \zuz{X_1}{e} \right),\dots,\left( \zuz{X_n}{e} \right) \right)}_{=1} = \det \Ad_g
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \forall g \in G,\ R_{g^{-1}}^*\omega\left(X_1,\dots,X_n \right) = \det \Ad_g =: F(g)$, přičemž pro zvolené $g$ je $F(g) > 1$.
\begin{align*}
F(g_1g_2) = \det\Ad_{g_1g_2} = \det \Ad_{g_1}\Ad_{g_2} = \det\left(\Ad_{g_1}\right) \det\left(\Ad_{g_2}\right) = F(g_1)F(g_2),\qquad \forall g_1,g_2 \in G
\end{align*}
$\Rightarrow\quad F(g^n) = c^n $ a pro $n \to +\infty$ máme $g^n \in G,\ F(g^n) \to + \infty$. Ale $F$ je hladká funkce na $G$ a $G$ je kompaktní, tj. $F$ nabývá maxima a minima, spor$\rimpl c=1.$
\end{proof}
\Pzn{
\begin{align*}
\begin{array}{lll}
\text{algebra:} && \text{reálné formy:} \\\hline
A_l && \mfrk{sl}(l+1,\R) \\
&& \mfrk{su}(l+1) \\
&& \mfrk{su}(p+q),\ p+q=l+1 \\
&& \mfrk{su}^*(2k) = \left\{ \left(\begin{smallmatrix} A_1 & A_2 \\ \overline{A}_2 & \overline{A}_1 \end{smallmatrix} \right) \middle| A_1,A_2 \in C^{k,k} \right\},\ \Tr A_1 + \Tr \overline{A}_1 = 2 \mrm{Re}\Tr A = 0,\ 2k = l+1 \\\hline
B_l,D_l && \text{podobně} \\\hline
C_l\ \dots\ \mfrk{sp}(2l,\C) && \mfrk{sp}(p,q) = \mfrk{sp}(2l,\C) \cap \left\{ X \in \mfrk{sp}(2l,\C) \middle| X^+J_{pq} + J_{pq}X = 0 \right\},\ p+q = 2l \\
&& \mfrk{sp}_u(2l) = \mfrk{sp}(2l,\C) \cap \mfrk{u}(2l)
\end{array}
\end{align*}
}
\Pzn{
$G$ kompaktní$\rimpl \int\limits_G \omega \in \R$. Protože Lieova grupa je vždy orientovatelná, lze výběrem orientace volit $+\infty > \int\limits_{G}\omega > 0 $.
}
\Dsl{
\begin{enumerate}
\item $\forall f \in C^\infty(G),\ \int\limits_G f\omega = \int\limits_G \left( f \circ L_g \right) \omega = \int\limits_G \left( f \circ R_g \right) \omega$, protože
\begin{align*}
\int\limits_G \left( f \circ L_g \right) \omega = \int\limits_G \left( L_g^* f \right)\left( L_g^* \omega \right) = \int\limits_{L_g(G)}f\omega = \int\limits_G f\omega.
\end{align*}
Analogicky pro $R_g$.
\item Pro $\rho: G \to GL(V),\ \dim V < +\infty$ a jakýkoliv skalární součin $\braket{\cdot,\cdot}$ na $V$, zavedeme $\braket{u,v}_G := \int\limits_G \braket{\rho(g)u,\rho(g)v}\underbrace{\omega(g)}_{\text{míra}}$. Pak
\begin{align*}
\braket{\rho(\widetilde{g})u,\rho(\widetilde{g})v}_G &= \int\limits_G \braket{\rho(g)\rho(\widetilde{g})u,\rho(g)\rho(\widetilde{g})v}\omega(g) = \int\limits_G \braket{\rho(g\widetilde{g})u,\rho(g\widetilde{g})v}\omega(g) = \\
&= \int\limits_G R_{\widetilde{g}}^*\braket{\rho(g)u,\rho(g)v}\underbrace{\omega(g)}_{=\left( R_{\widetilde{g}}^*\omega \right)(g)} = \int\limits_{R_{\widetilde{g}}(G)}\braket{\rho(g)u,\rho(g)v}\omega(g) = \braket{u,v}_G.
\end{align*}
Vzhledem k takto definovanému skalárnímu součinu $\braket{\cdot,\cdot}_G$ je $\rho$ unitární (ortogonální, dle tělesa V) reprezentace kompaktní grupy $G$ na $V$.
\end{enumerate}
Závěr: Konečněrozměrné reprezentace Lieovy grupy $G$ jsou unitární (ortogonální) vůči vhodně zvolenému skalárnímu součinu, tj. jsou úplně reducibilní.
}
\Vet{(Weyl)
Konečněrozměrné reprezentace komplexní poloprosté Lieovy algebry $\g$ jsou úplně reducibilní.
}
\begin{proof}
Pro $\rho : \g \to \g$ najdeme $\g_\text{komp}: (\g_\text{komp})_\C = \g,\ \zuz{\rho}{\g_\text{komp}}:\g_\text{komp} \to \gl(V) $, máme tedy i reprezentaci příslušné Lieovy grupy $G$, ta je úplně reducibilní, tj máme ireducibilní invariantní podprostory pro $G_\text{komp},\ \g_\text{komp},\ \g$.
\end{proof}
