Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Kořenové diagramy, Cartanova matice}
Tyto diagramy nám pomohou znázornit strukturu algebry a určit tak, které algebry jsou izomorfní.
\Def{
$\h := \mrm{span}_\R \{H_\alpha\}_{\alpha \in \Delta}$, $\h^\# :=\mrm{span}_\R\{\alpha\}_{\alpha \in \Delta}$
}
\Pzn{
$\braket{\cdot , \cdot}: \h^\# \times \h^\# \to \R : \braket{\alpha , \beta}=K(H_\alpha , H_\beta)$ je skalární součin.
}
\begin{proof}
Protože $a_{\beta\alpha} = \beta(T_\alpha) \in \Z,\ a_{\alpha\alpha} =\alpha(T_\alpha) = 2$, platí
\begin{align*}
K(H_\alpha , H_\beta) = \Tr \left(\ad_{H_\alpha}\circ \ad_{H_\beta} \right) = \sum_{\tilde{\alpha} \in \Delta} \tilde{\alpha}(H_\alpha)\tilde{\alpha}(H_\beta) = \Bigg( \frac{1}{4}\sum_{\tilde{\alpha} \in \Delta}a_{\tilde{\alpha}\alpha}\underbrace{a_{\tilde{\alpha}\beta}}_{\in\Z} \Bigg) K(H_\alpha,H_\alpha) K(H_\beta,H_\beta)
\end{align*}
\begin{align*}
\alpha(H_\alpha) = K(H_\alpha,H_\alpha) = \frac{\left(\alpha(H_\alpha)\right)^2}{4}\sum_{\tilde{\alpha}\in\Delta}a_{\tilde{\alpha}\alpha}^2 \rimpl \alpha(H_\alpha) = \frac{4}{\sum_{\tilde{\alpha}\in\Delta}a_{\tilde{\alpha}\alpha}^2} > 0
\end{align*}
$\Rightarrow\quad K(H_\alpha,H_\alpha) \in \R$, tj. $\zuz{K}{\h}$ je reálná symetrická bilineární forma. Pro $H\in\h,\ H=\sum_\alpha c_\alpha H_\alpha,\ c_\alpha \in \R$ máme:
\begin{align*}
&K(H,H) = \sum_{\tilde{\alpha} \in \Delta}\tilde{\alpha}(H)\tilde{\alpha}(H) = \sum_{\tilde{\alpha} \in \Delta} \tilde{\alpha}(H)^2 > 0 \\
&\tilde{\alpha}(H) = c_\alpha \underbrace{\tilde{\alpha}(H_\alpha)}_{\in\R}\in\R
\end{align*}
Takže pokud $K(H,H) = 0 \rimpl \forall\tilde{\alpha} \in \Delta,\ \tilde{\alpha}(H) = 0 \rimpl H=0$. K tedy definuje skalární součin na $\h$.
\end{proof}
\Pzn{
$H \in \h \rimpl iH \notin \h$ neboť $K(iH,iH) = - K(H,H) \rimpl \h_\C = \g_0 \rimpl \dim_\R \h =\dim_\C \g_0$
}
\Def{
\textbf{Kořenový diagram} je zakreslení $\Delta$ v~Euklidově prostoru $\R^l$, kde $l = \dim_\C \g_0$.
}
\Def{
\textbf{Zrcadlení podle nadroviny kolmé k~$\alpha$} je $S_\alpha : \h^\# \to \h^\#:S_\alpha(\lambda ) =\lambda - 2\frac{\braket{\alpha,\lambda}}{\braket{\alpha ,\alpha}}\alpha = \lambda-\lambda(T_\alpha)\alpha$.
}
\Pzn{
$S_\alpha\left( S_\alpha(\lambda) \right) = S_\alpha \left( \lambda - \lambda(T_\alpha)\alpha \right) = \lambda -\lambda(T_\alpha)\alpha - \lambda(T_\alpha)(\alpha - 2 \alpha) = \lambda \rimpl S_\alpha^2 = \mathbb{1}$
}
\Pzn{
Podle 4. bodu lemmatu \ref{lemma_Koreny} je pro $\forall \alpha ,\beta \in \Delta,\ S_\alpha(\beta ) \in \Delta$. Proto lze uvažovat $S_\alpha: \Delta \to \Delta,\ \forall \alpha \in \Delta$.
}
\Def{
\textbf{Weylova grupa} $\Ws$ kořenového systému $\Delta$ je grupa lineárních zobrazení generovaná $S_\alpha,\ \forall \alpha \in \Delta$.
}
\Pzn{
Weylova grupa je konečná protože je obsažena v~grupě permutací $S_{\# \Delta}$.
}
Volbou libovolného $H_0 \in \h$ máme $\forall \alpha \in \Delta$, $\alpha(H_0)\neq 0 \in \R$. Můžeme tak rozdělit kořeny na kladné a záporné. $H_0$ považujeme dále za pevně zvolené.
\Def{
$\Delta^\pm :=\{\alpha \in \Delta | \alpha (H_0) \gtrless 0 \}$, na $\Delta$ definujeme uspořádaní $\alpha \gtreqqless \beta \Leftrightarrow \alpha (H_0) \gtreqqless \beta (H_0)$.
}
Volba závisí na $H_0$, ale při zakreslení tato klasifikace znamená pouze pootočení nákresu a nemá tak na výsledek podstatný vliv.
\Pzn{
$\forall \alpha \in \Delta^+:\; -\alpha \in \Delta^-$, a $\forall \alpha, \beta \in \Delta^+: \alpha + \beta \in \Delta \Rightarrow \alpha + \beta \in \Delta^+$.
}
\Def{
Při zvoleném rozdělení $\Delta = \Delta^+ \cup \Delta^-$ definujeme prosté kořeny $\Delta^p =\{\alpha \in \Delta^+ | \forall \beta , \gamma \in \Delta^+,\ \beta +\gamma \neq \alpha \}$.
}
%Omezení vlastností kořenového diagramu
\lemma{
Vlastnosti kořenového diagramu.
\begin{enumerate}
\item $\forall \alpha \in \Delta^+,\ \alpha=\sum_{\beta \in \Delta^p}c_\beta \beta$, kde $c_\beta \in \N_0$.
\item $\forall \alpha, \beta \in \Delta^p, \alpha \neq \beta:\braket{\alpha , \beta } \leq 0$.
\item $\Delta^p$ tvoří bázi $\h^\#$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $\alpha \in \Delta^+ \setminus \Delta^p \rimpl \exists \beta,\gamma \in \Delta^+,\ \beta + \gamma = \alpha \rimpl \alpha > \beta, \gamma$. Postup lze opakovat pro $\beta,\ \gamma$ atd., dokud nedostaneme prosté kořeny$\rimpl$ po konečně mnoha krocích máme součet prostých kořenů. Mohou se opakovat z různých větví výpočtu, dostávame tedy celočíselné nezáporné koeficienty.
\item Nechť $\alpha,\beta \in \Delta^p,\ \braket{\alpha,\beta} > 0 \rimpl \alpha(T_\beta),\beta(T_\alpha) > 0 \rimpl \alpha - \beta, \beta - \alpha \in \Delta$ přičemž jeden z nich je kladný, druhý záporný. BÚNO $\alpha - \beta \in \Delta^+ \rimpl \alpha = (\alpha - \beta) + \beta \rimpl \alpha \notin \Delta^p$, spor.
\item Vezmeme $X \in \h^*$ splňující
\begin{align*}
x = \sum_{\alpha_i \in \Delta^p}x_i \alpha_i = \sum_{j\in J}p_j\alpha_j - \sum_{k \in K}n_k\alpha_k = 0,\text{ kde } J \cap K = \emptyset,\ p_j \geq 0,\ n_k \geq 0.
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$protože $\braket{\alpha_j,\alpha_k} \leq 0,\ \forall j \in J,\ \forall k \in K$, platí:
\begin{align*}
\widetilde{x} = \sum_{j \in J}\underbrace{p_j}_{\geq\,0}\underbrace{ \alpha_j }_{>\,0}= \sum_{k \in K} n_k \alpha_k \geq 0 \qquad \land \qquad \braket{\widetilde{x},\widetilde{x}} = \sum_{\substack{j \in J \\ k \in K}}p_j n_k \underbrace{\braket{\alpha_j,\alpha_k}}_{\leq\, 0} \leq 0
\end{align*}
$\Rightarrow\quad p_j = n_k = 0,\ \forall j \in J,\ \forall k \in K \rimpl \{ \alpha_i \} \in \Delta^p$ jsou LN.
\end{enumerate}
\end{proof}
}
\Pzn{
To znamená, že $\Delta^p$ tvoří tedy i bázi $\g_0^*$ a zakreslujeme do $\#\Delta^p$-dimenzionálního prostoru. Úhel mezi prostými kořeny je tupý. $\Delta^+$ získáváme celočíselnými kombinacemi prostých kořenů.
Strategie při kreslení kořenového diagramu je tedy začít prostými kořeny a aplikací operací zrcadlení a celočíselných součtů kořenů získávat další kořeny, přičemž kladné získáme pouze nezápornou kombinací kladných. Navíc se může hodit tvrzení \ref{posloupnost korenu} lemmatu \ref{lemma_Koreny}. %Kořenové diagramy není jednoduché zakreslit ve vícerozměrném prostoru.
}
\Def{
\textbf{Cartanova matice} je $a_{ij}=\frac{2\braket{\alpha_i ,\alpha_j}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}},\ \alpha_i , \alpha_j \in \Delta^p$.
}
\Pzn{ Vlastnosti Cartanovy matice $a$:
\begin{itemize}
\item $a_{ii}=2$, $a_{ij}\le 0$ pro $i \neq j$,
\item $a_{ij}a_{ji} = \frac{4|\braket{\alpha_i,\alpha_j}|^2}{\braket{\alpha_i,\alpha_i}\braket{\alpha_j,\alpha_j}} = 4 \underbrace{\cos^2\sphericalangle(\alpha_i,\alpha_j)}_{<\, 1\text{ díky LN}} \rimpl a_{ij}a_{ji} \in \{ 0,1,2,3 \} \rimpl \\
\rimpl \cos\sphericalangle(\alpha_i,\alpha_j) \in \left\{ 0,-\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{\sqrt{3}}{2} \right\} \rimpl \sphericalangle(\alpha_i,\alpha_j) \in \left\{ \frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6} \right\}$.
\end{itemize}
}
