02KVANCV:Kapitola2

\chapter{de Broglieova vlna}

\begin{cvi} Určete vlnovou délku elektromagnetického záření, jehož zdrojem je elektron - pozitronová anihilace v klidu $$ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma. $$ \end{cvi} \navod Ze zákona zachování energie je energie fotonu rovna $E = m_{e} c^2 = 0.511\,{\rm MeV } $, vlnová délka pak je $ \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{c h}{m_{e} c^2} = 0.24\, 10^{-11}\,{\rm m}.$

\begin{cvi} Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10 $\mu$g pohybující se rychlostí zvuku. \end{cvi} \navod Kyslík: $E = \frac{5}{2} k T \dot{=} 1{,}04 \cdot 10^{-20}\,{\rm J} \; (T = 300\,{\rm K}), \; p = \sqrt{2 m_{\rm O_2} E}= \ldots,$ z \db ho vztahů pak plyne $\lambda = \frac{h}{p} = 2{,}04 \cdot 10^{-11}\,{\rm m}$. Perioda \db ho vlny je $T = \frac h E = 6{,}41 \cdot 10^{-14}\,{\rm s}$, odtud $f = \frac 1 T = 1{,}56 \cdot 10^{13}\,{\rm Hz}$. Částice: obdobně $\lambda = 1{,}95 \cdot 10^{-28}\,{\rm m}$, $f = 8{,}71 \cdot 10^{29}\,{\rm Hz}$.

\begin{cvi} Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) rychlostí 0,5 m/s oknem o rozměrech $1\times 1.5$ m. \end{cvi} \navod Z Vlnění, optiky \ldots je známo $\theta\dot{=} \lambda /L$, kde L je šířka štěrbiny, po dosazení $1{,}3 \cdot 10^{-32} \,{\rm rad}$, resp. $9 \cdot 10^{-33} \,{\rm rad}$.

\begin{cvi} Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony, aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm? \end{cvi} \navod Z podmínky $\lambda \dot{=} 0{,}1\,{\rm nm}$ nalezneme přibližně $v=7{,}3 \cdot 10^{6}\,{\rm m s^{-1}}$.

\begin{cvi} Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané \db ovou vlnou $$ \psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et)}, $$ v oblasti $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ? \end{cvi} \navod Protože $|\psi(\vec{x},t)|^2=|A|^2=konst.$, je pravděpodobnost nalezení částice popsané \db ovou vlnou úměrná objemu uvažované oblasti.