|
|
| (Není zobrazeno 14 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.) |
| Řádka 1: |
Řádka 1: |
| | %\wikiskriptum{02KVANCV} | | %\wikiskriptum{02KVANCV} |
| | | | |
| − | \begin{cvi} Napište rozdìlovací funkci Gaussova pravdìpodobnostního rozdìlení. Interpretujte význam jejích parametrù. Vypoèítejte jeho momenty. Napište vzorec pro | + | \chapter{Klasická mechanika a statistická fyzika} |
| | + | |
| | + | \begin{cvi} |
| | + | Napište rozdělovací funkci Gaussova pravděpodobnostního rozdělení. Interpretujte význam jejích parametrů. Vypočítejte jeho momenty. Napište vzorec pro |
| | \[ I(n,a,b):=\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-ax^2+bx}dx,\ n\in\integer,\ a,b\in\complex,\ {\rm Re}\ a>0. \] | | \[ I(n,a,b):=\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-ax^2+bx}dx,\ n\in\integer,\ a,b\in\complex,\ {\rm Re}\ a>0. \] |
| | (Zapamatujte si jej pro n=0,1,2!) | | (Zapamatujte si jej pro n=0,1,2!) |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod Rozdìlovací funkce $$\rho(x)=N e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} $$
| |
| − | Normalizace: $\int_{-\infty}^{\infty} \rho(x) dx = N \sqrt{2 \pi} \sigma = 1 $, tj. $ N = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} $
| |
| − | (k výpoètu integrálu je vhodné poèítat jeho kvadrát pøechodem do polárních souøadnic)
| |
| − | \\ Momenty: definice
| |
| − | $$ \langle (x-\alpha)^{n} \rangle_{\rho} = N \int_{-\infty}^{\infty} (x-\alpha)^{n} e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} dx$$
| |
| − | Výsledky se liší pro $n$ liché, resp. sudé:
| |
| − | $$\langle (x-\alpha)^{2n+1} \rangle_{\rho} =0, \; \langle (x-\alpha)^{2n} \rangle_{\rho} = \sigma^{2n} (2n-1)!! $$
| |
| − | Hledaný vzorec:
| |
| − | $$ I(n,a,b) = \frac{\partial^n}{\partial b^n} I(0,a,b) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{\partial^n}{\partial b^n} e^{\frac{b^2}{4a}}$$
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi}
| |
| − | Jaká je hustota pravdìpodobnosti nalezení klasického jednorozmìrného oscilátoru
| |
| − | s energií $E$ v intervalu $(x,x+dx)$ ? Co potøebujeme znát, chceme-li tento pravdìpodobnostní výrok zmìnit v deterministickou pøedpovìï?
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod $\rho(x) dx = \frac{doba \, stravena \, v \, intervalu \langle x,x+dx \rangle}{pulperioda} = \frac{\frac{dx}{|v(x)|}}{T/2} = \frac{2 dx}{\frac{2 \pi}{\omega} \sqrt{2(E-V(x))/m}} = { \frac{dx}{\pi \sqrt{\frac{2 E}{m \omega^2} - x^2}}}$, je vhodné si ovìøit normalizaci $\int_{-\sqrt{\frac{2 E}{m \omega^2}}}^{\sqrt{\frac{2 E}{m \omega^2}}} \rho(x) dx =1$. K deterministické pøedpovìdi potøebujeme znát polohu (nebo rychlost èi hybnost) v jednom èasovém okamžiku (tj. poèáteèní podmínku).
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Popište jednorozmìrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou
| |
| − | formulací klasické mechaniky. Napište a vyøešte pohybové rovnice.
| |
| − | Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální
| |
| − | velièiny jsou urèeny?
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod $H(p,q)=\frac{1}{2} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2})$ \\
| |
| − | Pohybové rovnice
| |
| − | $$ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \; \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} $$
| |
| − | tj.
| |
| − | $$ \dot{q}=\frac{p}{m}, \; \dot{p}= - m \omega^2 q$$
| |
| − | øešení: $q(t)=A \sin ( \omega t + \alpha) $, $p(t)= A \omega m \cos ( \omega t + \alpha)$, \\
| |
| − | Rovnice pro fázové trajektorie -- získáme vylouèením èasu z pohybových rovnic, jsou urèeny hodnotou energie
| |
| − | $$ \frac{p^2}{2 A^2 \omega^2 m^2}+\frac{q^2}{2A^2}=1$$
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi}Spoètìte charakteristickou dobu života elektronu v
| |
| − | atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou èástici
| |
| − | pohybující se po kruhové dráze o (Bohrovì) polomìru
| |
| − | $a\approx 10^{-10}$ m. (viz skripta Štoll, Tolar {\em Teoretická fyzika}, pøíklad 9.52)
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod viz skripta Štoll, Tolar {\em Teoretická fyzika}, pøíklad 9.52
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Nech statistická rozdìlovací funkce stavù klasického mechanického oscilátoru je dána Gibbsovou formulí
| |
| − | \[ w(p,q) = a\ e^{-\frac{E(p,q)}{kT} }. \]
| |
| − | %kde $a$ je normovací konstanta a $E$ je energie stavu $(p,q)$.
| |
| − | Spoètìte støední hodnotu energie.
| |
| | \end{cvi} | | \end{cvi} |
| | \navod | | \navod |
| − | Energie mechanického oscilátoru
| + | Rozdělovací funkce |
| − | $$E(p,q) = \frac{1}{2} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2})$$
| + | |
| − | Normalizace: $\int_{-\infty }^{\infty} \int_{-\infty }^{\infty } a {e^{\frac{1}{2 k T} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq}=1$, tj. $a={\frac {\omega}{2 \pi k T }}$ \\
| + | |
| − | Støední hodnota energie: $$ \int_{-\infty }^{\infty} \int_{-\infty }^{\infty} \frac{a}{2} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2}) {e^{\frac{1}{2 k T} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq} = { k T }$$
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záøení, jehož
| + | |
| − | zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace
| + | |
| − | \[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
| + | |
| − | v klidu?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Ze zákona zachování energie je energie fotonu rovna $E = m_{e} c^2 = 0.511 {\rm MeV } $,
| + | |
| − | vlnová délka pak je $ \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{c h}{m_{e} c^2} = 0.24\, 10^{-11} {\rm m}.$
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Urèete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu
| + | |
| − | kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro èástici o hmotnosti 10
| + | |
| − | $\mu$g pohybující se rychlostí zvuku.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Kyslík: $E = \frac{3}{2} k T \dot{=} 6,2 \, 10^{-21} J \; (T = 300 K), \; p = \sqrt{2 m_{O_2} E}= \ldots,$ z de Broglieho vztahù pak plyne $\lambda = \frac{h}{p} = 2,58 \cdot 10^{-11} {\rm m}$.
| + | |
| − | Èástice: obdobnì $\lambda = 2 \cdot 10^{-28} {\rm m}$.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Podle \db ovy hypotézy urèete ohyb zpùsobený prùletem tenisového míèku ($m=0.1$ kg) rychlostí 0,5 m/s obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozmìrech $1\times 1.5$ m.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Z Vlnìní, optiky \ldots je známo $\theta\dot{=} \lambda /L$, kde L je šíøka štìrbiny, po dosazení $1.3 \cdot 10^{-32} \,{\rm rad}$, resp. $9 \cdot 10^{-33} \,{\rm rad}$.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Na jakou rychlost je tøeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové møíži s charakteristickou vzdáleností atomù 0.1 nm?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Z podmínky $\lambda \dot{=} 0,1 {\rm nm}$ nalezneme pøibližnì $v=7,3 \cdot 10^{6} {\rm m s^{-1}}$.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Èemu je úmìrná pravdìpodobnost nalezení èástice popsané
| + | |
| − | \db ovou vlnou
| + | |
| − | \be \psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A
| + | |
| − | e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et)},
| + | |
| − | \ll{dbvlna}\ee
| + | |
| − | v oblasti
| + | |
| − | $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Protože $|\psi(\vec{x},t)|^2=|A|^2=konst.$, je pravdìpodobnost nalezení èástice popsané
| + | |
| − | \db ovou vlnou úmìrná objemu uvažované oblasti.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Nech $\psi(x,y,z,t)$ je øešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
| + | |
| − | \[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]
| + | |
| − | je øešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním poli se zrychlením $g$.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Dosaïte do \sv y \rc e a proveïte èasovou derivaci.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Nech $V(\vec x)=0$ (volná èástice). Pomocí Fourierovy
| + | |
| − | transformace urèete øešení \sv y
| + | |
| − | \rc e, které v èase $t_0$ má tvar
| + | |
| − | %Nech stav èástice je zadán funkcí
| + | |
| − | \be \psi(\vec x,t_0)=g(\vec x)=C\exp[-Ax^2+\vec B\vec x]
| + | |
| − | \ll{mvb}\ee
| + | |
| − | %(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
| + | |
| − | kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$.
| + | |
| − | \ll{ex:vlnbal}
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Pøi øešení používáme Fourierovu transformaci (FT)
| + | |
| − | $$\tilde\psi(\vec{p},t)=\frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{i \vec{p}\cdot\vec{x}} \psi(\vec{x},t) d^3 x,$$
| + | |
| − | která pøevede \sv u \rc i na obyèejnou diferenciální rovnici 1. øádu v èase
| + | |
| | $$ | | $$ |
| − | \frac{\partial \tilde{\psi}}{\partial t} = -i\hbar \frac{p^2}{2m}\tilde{\psi}. | + | \rho(x)=N e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} . |
| | $$ | | $$ |
| − | Øešení této rovnice je
| + | Normalizace: |
| | $$ | | $$ |
| − | \tilde{\psi}(\vec{p},t) = e^{-\frac{i\hbar}{2m}p^2(t-t_0)}\tilde{\psi}(\vec{p},t_0), | + | \int\limits_\mathds{R} \rho(x) dx = N \sqrt{2 \pi} \sigma = 1 ,\quad \mathrm{tj.}\quad N = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}. |
| | $$ | | $$ |
| − | kde $\tilde{\psi}(\vec{p},t_0)$ je FT poèáteèní podmínky $\psi(\vec x,t_0)$, tj.
| + | Momenty: definice |
| | $$ | | $$ |
| − | \tilde{\psi}(\vec{p},t_{0}) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{i \vec{p}\cdot\vec{x}} \psi(\vec{x},t_0) d^3 x = \frac{C}{\left(\sqrt{2 A}\right)^3} e^\frac{(\vec{B}+i\vec{p})^2}{4 A} | + | \langle (x-\alpha)^{n} \rangle_{\rho} = N \int\limits_\mathds{R} (x-\alpha)^{n} e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} dx. |
| | $$ | | $$ |
| − | Øešení v promìnné $\vec{x}$ získáme inverzní FT
| + | Výsledky se liší pro $n$ liché, resp. sudé: |
| | $$ | | $$ |
| − | \psi(\vec{x},t) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{-i \vec{p}\cdot\vec{x}} \tilde{\psi}(\vec{p},t) d^3 p = | + | \langle (x-\alpha)^{2n+1} \rangle_{\rho} =0, \quad \langle (x-\alpha)^{2n} \rangle_{\rho} = \sigma^{2n} (2n-1)!! |
| − | C\chi(t)^{-3/2}e^{\frac{\vec B^2}{4A}}
| + | |
| − | e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}},
| + | |
| | $$ | | $$ |
| − | kde $\chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0)$.
| + | Hledaný vzorec: |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Èemu je úmìrná hustota pravdìpodobnosti pro øešení
| + | |
| − | \be {\LARGE \psi(\vec x,t)=C\chi(t)^{-3/2}e^{\frac{\vec
| + | |
| − | B^2}{4A}}
| + | |
| − | e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}
| + | |
| − | } \ll{mvbt}\ee
| + | |
| − | \[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
| + | |
| − | z pøíkladu \ref{ex:vlnbal}
| + | |
| − | pro $A>0$?
| + | |
| − | Jak se mìní poloha jejího maxima s èasem? Èemu je
| + | |
| − | rovna její støední kvadratická odchylka? Jak se mìní s èasem?
| + | |
| − | Za jak dlouho se zdvojnásobí "šíøka" vlnového balíku
| + | |
| − | pro elektron lokalisovaný s pøesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotì 1 gram
| + | |
| − | jehož tìžištì je lokalisováno s pøesností $10^{-6}$m?
| + | |
| − | \ll{ex:pstvb}
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Je zapotøebí poèítat $| \psi(x,t) |^2 \sim |e^{\frac{\vec
| + | |
| − | B^2}{4A}}
| + | |
| − | e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}|^2$ (nezajímá nás èasový vývoj normalizace, i v dalším poèítání je vhodné vynechávat celkové faktory nezávisející na $x$). Odvoïte si a využijte $|e^{z}|^2 = e^{2 {\rm Re} z}$. Pro urèení støední kvadratická odchylky atd. porovnejte výsledek s tvarem Gaussovy rozdìlovací funkce a najdete
| + | |
| − | $$ \vec{x}_0 = \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 A} + \frac{{\rm Im} \vec{B} \hbar}{m} t, \; \sigma(t)^2 = \frac{1+4 \frac{A^2 \hbar^2}{m^2} (t-t_0)^2}{4 A}.$$
| + | |
| − | Zdvojnásobení: pro elektron cca $ 3 \, {\rm s}$, pro hmotný bod cca $10^{12} \, {\rm let}$.
| + | |
| − | | + | |
| − | %\newpage
| + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Jaká je hustota pravdìpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve
| + | |
| − | vzdálenosti $r$ od jádra, je-li popsán vlnovou funkcí
| + | |
| − | $$ \psi(x,y,z)=A\exp\left(-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}\right),$$
| + | |
| − | kde $a_0=0.53\times10^{-8}$ cm je tzv. Bohrùv polomìr?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Pøeveïte do sférických souøadnic (nezapomeòte, že nestaèí jen pøepsat vzorec pro hustotu pravìpodobnosti, také tam pøispìje Jakobián transformace), pak integrujte pøes úhlové promìnné. Výsledek je úmìrný $r^2 e^{-\frac{2 r}{a_0}}$, nakreslete si graf.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | %%\newpage
| + | |
| − | %\begin{cvi}
| + | |
| − | %Je funkce $g$ z pøíkladu \rf{ex:vlnbal}
| + | |
| − | %kvadraticky integrovatelná?
| + | |
| − | %\ll{ex:hilbspvb}
| + | |
| − | %\end{cvi}
| + | |
| − | %\newpage
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Naleznìte vlastní hodnoty energie kvantové èástice pohybující se v jednorozmìrné konstantní "nekoneènì hluboké potenciálové jámì" t.j. v potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$. Naleznìte pøíslušné vlastní vektory.
| + | |
| − | \\Návod: Pøedpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
| + | |
| − | \label{jama}
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Uvnitø ``jámy'' má vlnová funkce tvar vlnové funkce pro volnou èástici.
| + | |
| − | Z podmínek na okrajích $\psi(-a)=0=\psi(a)$ dostáváme soustavu homogenních rovnic, požadavek nulovosti jejího determinantu dává rovnici pro energii, výsledek je $$E_n = \frac{1}{2m}\left(\frac{n \pi \hbar}{2 a}\right)^2, \; n \in \mathds{N}.$$
| + | |
| − | Vlastní vektory jsou (vèetnì normalizace)
| + | |
| − | $$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{2a}(x-a)\right).$$
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Naleznìte vlastní hodnoty energie kvantové èástice pohybující se v jednorozmìrné konstantní potenciálové jámì t.j. v potenciálu $V(x)=-V_0<0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
| + | |
| − | \\Návod: Pøedpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $\forall x\in \real$.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Nejprve si ukažte, že pro potenciály ve tvaru sudé funkce lze z libovolné vlastní funkce Hamiltoniánu $\psi(x)$ sestavit (ne nezbytnì rùznou) vlastní funkci $\psi(-x)$ a odvoïte, že vlastní funkce lze v tomto pøípadì volit sudé a liché. Využijte podmínek navázání (spojitost a spojitost 1. derivací) vlnových funkcí pro volnou èástici v bodì $x=a$ (tím je díky symetrii splnìna i podmínka v $x=-a$, jinak bychom mìli 4 rovnice pro 4 konstanty)
| + | |
| − | Výsledkem jsou následující vztahy pro sudý
| + | |
| − | $$ \eta = \xi \tan\xi$$
| + | |
| − | a lichý pøípad
| + | |
| − | $$ \eta = -\xi \cot\xi,$$
| + | |
| − | kde jsme oznaèili
| + | |
| | $$ | | $$ |
| − | \xi = a \frac{\sqrt{2 m (E+V_{0})}}{\hbar},\quad \eta = \frac{\sqrt{-2m E}}{\hbar}
| + | I(n,a,b) = \frac{\partial^n}{\partial b^n} I(0,a,b) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{\partial^n}{\partial b^n} e^{\frac{b^2}{4a}} |
| − | $$
| + | |
| − | Pro promìnné $\xi$ a $\eta$ navíc platí
| + | |
| − | $$
| + | |
| − | \xi^2 + \eta^2 = \frac{2m}{\hbar} V_0 a^2 = \beta^2 = {\rm konst.}
| + | |
| − | $$
| + | |
| − | Energie èástice v koneèné potenciálové jámì jsou tedy urèeny prùseèíky kružnice $\xi^2 + \eta^2 = \beta^2$ a grafù $\eta = \xi \tan\xi$, $\eta = -\xi \cot\xi$. Poèet øešení $n$ je dán polomìrem kružnice, tj. hloubkou a šíøkou potenciálové jámy. Platí vztah
| + | |
| − | $$
| + | |
| − | \frac{n-1}{2}\pi < \sqrt{2mV_0}\frac{a}{\hbar}\leq \frac{n}{2} \pi. | + | |
| | $$ | | $$ |
| | | | |
| − | | + | \begin{cvi} Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou |
| − | \begin{cvi} Najdìte ortonormální basi v $\complex^2$, jejíž prvky jsou | + | formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. |
| − | vlastními vektory matice
| + | Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální |
| − | \[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc} 0&1\\1&0 \end{array} \right)\]
| + | veličiny jsou určeny? |
| | \end{cvi} | | \end{cvi} |
| − | \vysl Vlastní èísla $\pm 1$, normalizované vlastní vektory | + | \navod $H(p,q)=\frac {p^2}{2M} + \frac{1}{2}M \omega^{2}{q}^{2}$ \\ |
| − | $$\psi_+ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right),\qquad \psi_- = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right).$$
| + | Pohybové rovnice |
| − | | + | $$ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \; \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}, $$ |
| − | \begin{cvi} Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též zpùsobem | + | tj. |
| − | \be | + | $$ \dot{q}=\frac{p}{M}, \; \dot{p}= - M \omega^2 q.$$ |
| − | \ll{herpol2} | + | Řešení: $q(t)=A \sin ( \omega t + \alpha) $, $p(t)= A \omega M \cos ( \omega t + \alpha)$, \\ |
| − | H_n(z):=(-1)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}
| + | Rovnice pro fázové trajektorie -- získáme vyloučením času z pohybových rovnic, jsou určeny hodnotou energie |
| − | \ee | + | $$ \frac{p^2}{2 A^2 \omega^2 M^2}+\frac{q^2}{2A^2}=1.$$ |
| − | Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2}) splòuje rovnici
| + | |
| − | \be u''=2 z u' -2n u \ll{hermrce}\ee | + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Po dosazení zadaného tvaru $H_n(z)$ do $u''=2 z u' -2 n u $ využijte vhodnì Lebnizova pravidla na $(n+1)$-ní derivaci souèinu $2z.e^{-z^2} \, (= -\frac{{\rm d} }{{\rm d} z} e^{-z^2})$ a upravte. Shodnost definic pak plyne z vìty o jednoznaènosti øešení diferenciálních rovnic (ještì porovnejte koeficient u nejvyšší mocniny $z$, aby bylo zaruèeno splnìní stejné poèáteèní podmínky).
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} \ll{cvvytvfce}Ukažte, že | + | |
| − | \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp[x^2-(x-\xi)^2] \]
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Ovìøte, že $(-1)^n e^{x^2}(\frac{d}{dx})^n e^{-x^2} = \frac{\partial^n}{\partial \xi^n}\exp[x^2-(x-\xi)^2] |_{\xi=0}, \; \forall n $.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Použitím vytvoøující \fc e ze cvièení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
| + | |
| − | \[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \]
| + | |
| − | Ukažte, že odtud plyne ortonormalita vlastních funkcí harmonického oscilátoru.
| + | |
| − | \end{cvi} | + | |
| − | \navod | + | |
| − | \begin{eqnarray}
| + | |
| − | \nonumber \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx & = & \frac{\partial^n}{\partial \xi^n} \frac{\partial^m}{\partial \rho^m} \int_{-\infty}^\infty e^{x^2-(x-\xi)^2} e^{x^2-(x-\rho)^2} e^{-x^2}dx |_{\xi,\rho=0}\\
| + | |
| − | \nonumber & = & \frac{\partial^n}{\partial \xi^n} \frac{\partial^m}{\partial \rho^m} \sqrt{\pi} e^{2 \xi \rho} |_{\xi,\rho=0}.
| + | |
| − | \end{eqnarray}
| + | |
| | | | |
| | \begin{cvi} | | \begin{cvi} |
| − | Jaká je hustota pravdìpodobnosti nalezení \qv ého jednorozmìrného oscilátoru | + | Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení klasického jednorozměrného oscilátoru |
| − | s energií $\hbar\omega(n+\half)$ v | + | s energií $E$ v intervalu $(x,x+dx)$ ? Co potřebujeme znát, chceme-li tento pravděpodobnostní výrok změnit v deterministickou předpověď? |
| − | bodì $x$ ? Spoèítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,...$ a srovnejte je s hustototu pravdìpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místì.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \vysl \begin{trivlist} \item $n=0: \; |\psi_0(x)|^2= |A_0|^2 e^{-\xi^2}$,
| + | |
| − | \item $n=1: \; |\psi_1(x)|^2= 4 |A_1|^2 \xi^2 e^{-\xi^2}$,
| + | |
| − | \item $n=2: \; |\psi(x)|^2= 4 |A_2|^2 (2 \xi^2-1)^2 e^{-\xi^2}$.
| + | |
| − | \end{trivlist}
| + | |
| − | V grafech je poèet maxim roven stupni pøíslušného Hermiteova polynomu $+1$.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Spoèítejte komutátory
| + | |
| − | \be [\hat L_j,\hat X_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\
| + | |
| − | \ll{loper1}\ee
| + | |
| − | kde
| + | |
| − | \be \hat L_j:=\epsilon_{jkl}\hat X_k\hat P_l \ll{loper}\ee
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \vysl $[\hat L_j,\hat X_k]= i \hbar \epsilon_{jkl}\hat X_l$, $[\hat L_j,\hat P_k]= i \hbar \epsilon_{jkl}\hat P_l$, $[\hat L_j,\hat L_k]= i \hbar \epsilon_{jkl}\hat L_l$, tj. operátory $ \hat{\vec{X}}, \hat{\vec{P}}, \hat{\vec{L}}$ jsou tzv. vektorové operátory (kvantová analogie vektorù $\vec{x},\vec{p},\vec{l}$, tj. objektù se správnými transformaèními vlastnostmi vzhledem ke grupì rotací prostoru $SO(3)$).
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Ukažte, že vzájemnì komutují operátory
| + | |
| − | $\hat H \equiv \half\hat P^2/m+V(|\vex|),\ \hat L_3\equiv \hat L_z$ a
| + | |
| − | \be \hat L^2 \equiv \hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2, \ll{lkvad}\ee
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Pøejdìte do sférických souøadnic.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}\label{komut} Jak vypadají operátory $\hat X_j,\
| + | |
| − | \hat P_j,\ \hat L_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souøadnicích?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Operátory $\hat X_j$ vzniknou dosazením definice sférických souøadnic, napø. $ \hat X_1= r \cos \phi \sin \theta$.
| + | |
| − | Pro výpoèet operátorù $\hat P_j$ je vhodné využít pravidla pro derivaci složené funkce $\frac{\partial \psi}{\partial x_j}=\frac{\partial \psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x_j}$ a dosadit za $\frac{\partial r}{\partial x_j}$ atd. z definice sférických souøadnic. Výsledek je
| + | |
| − | $$ \hat P_1 = -i \hbar(\cos \phi \sin \theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin \phi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}+\frac{\cos \theta \cos \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}), \hat P_2 = \ldots $$
| + | |
| − | $$ \hat P_3 = - i \hbar (\cos \theta \frac{\partial}{\partial r}- \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}) $$
| + | |
| − | výsledky pro $\hat L_j$ jsou uvedeny ve ``slabikáøi''. Nezapomínejte na správný postup pøi skládání operátorù (napø. $x \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} x - {\bf id} \neq \frac{\partial}{\partial x} x$), pro názornost si lze na konci všech operátorových identit pøedstavit vlnovou funkci, a pak postupovat jako pøi derivování složené funkce.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} S použitím vzorcù pro jednotlivé složky momentu hybnosti ukažte, že operátor
| + | |
| − | $\hat L^2$ má ve sférických souøadnicích tvar
| + | |
| − | \be \hat L^2=
| + | |
| − | -\hbar^2[(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+
| + | |
| − | \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
| + | |
| − | (\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})]
| + | |
| − | \ll{lkvadsfer}\ee
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Nauète se skládat (násobit) operátory !
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} "Kvantové tuhé tìleso" (napø. dvouatomová molekula) s momentem setrvaènosti $I$ volnì rotuje v rovinì. Najdìte její možné hodnoty energie.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod $\hat H=-\frac{\hbar^2}{2 I} \frac{d^2}{d \phi^2}$ (viz princip korespondence a klasickou kinetickou energii $\frac{1}{2} I \dot{\phi}^2$). Øešením stacionární Schr\"odingerovy rovnice nalezneme øešení ve tvaru $\psi(\phi)=A e^{i \alpha \phi} + B e^{-i \alpha \phi}, \; \alpha=\ldots$ a z požadavku jednoznaènosti $\psi(\phi)=\psi(\phi+2 \pi)$ najdeme možné hodnoty energie $E_m= \frac{m^2 \hbar^2}{2 I}, \; m \in \mathds{Z}$.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Odvoïte pravdìpodobnosti nalezení èástice v daném prostorovém úhlu
| + | |
| − | pro stavy $s, p, d$.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \vysl \begin{description}
| + | |
| − | \item[$l=0: \;$]$|Y_{0,0}|^2=C_{0,0}$
| + | |
| − | \item[$l=1: \;$]$|Y_{1,-1}|^2=C_{1,-1} \sin^2 (\theta)$, $|Y_{1,0}|^2=C_{1,0} \cos^2 (\theta)$, $|Y_{1,1}|^2=C_{1,1} \sin^2 (\theta)$,
| + | |
| − | \item[$l=2: \;$]$|Y_{2,-2}|^2=C_{2,-2} \sin^4 (\theta)$, $|Y_{2,-1}|^2=C_{2,-1} \sin^2 (\theta) \cos^2 (\theta)$, \\
| + | |
| − | $|Y_{2,0}|^2 =
| + | |
| − | C_{2,0} (\frac{3}{2} \cos^2 (\theta)-\frac{1}{2})^2$, $|Y_{2,1}|^2=C_{2,1} \sin^2 (\theta) \cos^2 (\theta)$, \\
| + | |
| − | $|Y_{2,2}|^2=C_{2,2} \sin^4 (\theta)$
| + | |
| − | \end{description}
| + | |
| − | Nakreslete si grafy (nejlépe trojrozmìrné na poèítaèi).
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Napište všechny vlnové \fc e harmonického oscilátoru pro stavy s energiemi
| + | |
| − | $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou souèasnì vlastní funkce $\hat L^2, \hat L_z $.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Viz slabikáø, nezapomeòte na degeneraci energie.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Napište operátor $\hat L^2$ vyjádøený pomocí posunovacích operátorù $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \vysl $\hat{L}^{2}= \hat L_{+} \hat L_{-}+\hat{L}^2_{3}-\hbar \hat{L}_{3} = \hat L_{-} \hat L_{+}+\hat{L}^2_{3}+\hbar \hat{L}_{3} $
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Posunovací operátory momentu hybnosti pùsobí na kulové funkce zpùsobem \be \hat L_\pm Y_{lm}=\alpha^\pm_{lm}Y_{l,m\pm 1}, \ee
| + | |
| − | Spoèítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Snadno lze nalézt s využitím pøedchozího cvièení $|\alpha^\pm_{lm}|^2$ (obložte pøedchozí výsledek $(Y_{lm},$ a $Y_{lm})$ a uvìdomte si, že kulové funkce jsou vlastní funkce $\hat L^2$, $L_{3}$). Výsledek je
| + | |
| − | $$|\alpha^{+}_{lm}|^2=\hbar^2 [l(l+1)-m(m+1)] , \; |\alpha^{-}_{lm}|^2= \hbar^2 [l(l+1)-m(m-1)].$$ Fáze $\alpha^\pm_{lm}$ neplyne z algebry operátorù, závisí na konkrétní volbì fází $Y_{l,m}$, pro standartní volbu uvedenou ve ``slabikáøi'' jsou $\alpha^\pm_{lm}$ reálné.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Kreaèní a anihilaèní operátory pùsobí na vlastní funkce operátoru energie harmonického oscilátoru zpùsobem
| + | |
| − | \be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ee
| + | |
| − | Spoèítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$. Ukažte, že pro kreaèní a anihilaèní operátory energie harmonického oscilátoru platí
| + | |
| − | \[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n \]
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Obložte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_-\hat a_+ - \frac{1}{2}) $, resp. $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ vlastní funkcí harmonického oscilátoru (obdobnì jako v pøedchozím cvièení), výsledek:
| + | |
| − | $$\alpha^+_n = \sqrt{n+1}, \; \alpha^-_n = \sqrt{n}.$$ Ohlednì fáze platí stejný komentáø jako výše. V druhé èásti využijte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ a právì spoèítané koeficienty $\alpha^\pm_n$.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Najdìte vlastní vektory anihilaèního operátoru jednorozmìrného harmonického oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ (koherentní stavy).
| + | |
| | \end{cvi} | | \end{cvi} |
| | \navod | | \navod |
| − | Vlastní vektory jsou øešení rovnice
| |
| − | $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x + \frac{d}{dx}\right)\psi_\alpha(x) = \alpha \psi_\alpha(x).$$
| |
| − | Øešení existuje pro každé $\alpha\in\mathds{C}$ a má tvar
| |
| − | $$\psi_\alpha(x) = \pi^{-1/4} e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}}.$$
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Spoètìte støední hodnoty složek hybnosti kvantové èástice
| |
| − | v Coulombovì poli s energií $-\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ a nulovým
| |
| − | momentem hybnosti (elektron v atomu vodíku ve stavu 1s).
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod Využijte tvar $\hat{P}_{i}$ ve sférických souøadnicích (viz cvièení \ref{komut}) a spoèítejte $\langle \hat{P}_{i} \rangle_\psi=(\psi,\hat{P}_{i} \psi )/(\psi,\psi)$. Výsledek je $\langle \hat{P}_{i} \rangle_\psi=0$ (jak lze ostatnì oèekávat ze symetrie vlnové funkce).
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi}\label{shpmvb} Spoètìte støední hodnoty složek polohy kvantové èástice
| |
| − | popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}).
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \vysl $\langle \hat{X}_{i} \rangle_\psi = \frac{{\rm Re} B_i}{2 {\rm Re} A}$
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi}\label{shhmvb} Spoètìte støední hodnoty složek hybnosti kvantové èástice
| |
| − | popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}). Napište tvar vlnové \fc e \rf{mvb})
| |
| − | popisující vlnový balík se støední hodnotou hybnosti
| |
| − | $\vec p_0$, který má v èase $t_0$ støední hodnotu polohy $\vec x_0$.
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \vysl $\langle \hat{P}_{i} \rangle_\psi = - i \hbar (B_i - A \frac{{\rm Re} B_i}{{\rm Re} A}) \stackrel{A \in {\real}}{=} \hbar {\rm Im} B_i$ \\
| |
| − | Vlnový balík: $$\psi(x,t) = C \chi(t)^{-\frac{3}{2}} e^{-\frac{\vec{B}^2}{4 A}} e^{-A\frac{(\vec{x}- \frac{\vec{B}}{2 A})^2}{\chi(t)}},$$
| |
| − | kde $\vec{B} = 2 A \vec{x}_0 + \frac{i}{\hbar} \vec{p}_0 $.
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Urèete pravdìpodobnostní rozdìlení hybností èástice popsané
| |
| − | vlnovou \fc í \be \psi(x)=C e^{-\vec x^2 + \frac{i}{\hbar} \vec{p}_0\cdot \vec{x}}. \ll{cvi3}\ee Èemu je rovna pravdìpodobnost nalezení hybnosti v intervalu $J = (a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$? Jaká je støední hodnota hybnosti èástice?
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \vysl
| |
| − | Rozdìlení hybností èástice ve stavu $\psi$ je dáno vztahem
| |
| | $$ | | $$ |
| − | w_\psi(\vec{p}) = \frac{|(\psi_{\vec{p}},\psi)|^2}{(\psi,\psi)},
| + | \rho(x) dx = \frac{\hbox{doba strávená v intervalu $\langle x,x+dx \rangle$}}{\hbox{půlperioda}} = \frac{\frac{dx}{|v(x)|}}{T/2} = { \frac{dx}{\pi \sqrt{\frac{2 E}{M \omega^2} - x^2}}}. |
| | $$ | | $$ |
| − | kde $\psi_{\vec{p}}$ jsou zobecnìné vlastní funkce operátoru hybnosti normované k $\delta$-funkci. Výsledkem je Gasussovo rozdìlení
| + | Je vhodné si ověřit normalizaci |
| | $$ | | $$ |
| − | w_\psi(\vec{p}) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\hbar\right)^3}e^{-\frac{(\vec{p}-\vec{p}_0)^2}{2\hbar^2}}.
| + | \int\limits_{-x_0}^{x_0} \rho(x) dx = 1, \quad x_0 = \sqrt{\frac{2 E}{M \omega^2}}. |
| | $$ | | $$ |
| − | Pravdìpodobnost namìøení hybnosti èástice v intervalu $J$ je rovna integrálu z hustoty pravdìpodobnosti pøes daný interval. Støední hodnota hybnosti je $\vec{p}_0$.
| + | K deterministické předpovědi potřebujeme znát polohu a rychlost či hybnost v jednom časovém okamžiku (tj. počáteční podmínku). |
| | | | |
| − | | + | \begin{cvi} Nechť statistická rozdělovací funkce stavů klasického mechanického oscilátoru je dána Gibbsovou formulí |
| − | \begin{cvi} Èástice s hmotností $M$ je v poli jednorozmìrného harmonického | + | \[ w(p,q) = \frac 1 Z \ e^{-\frac{H(p,q)}{kT} }. \] |
| − | oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Její stav je popsán vlnovou | + | Spočtěte střední hodnotu energie. |
| − | \fc í | + | |
| − | \be \psi(x)=C e^{-x^2 + ix}. \ee
| + | |
| − | S jakou pravdìpodobností namìøíme hodnoty její energie rovné
| + | |
| − | $\half\hbar\omega$ resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod S využitím znalosti vlastních funkcí harmonického oscilátoru a definice pravdì-podobnosti pøechodu do pøísl. vlastních stavù lze snadno spoèítat
| + | |
| − | $$P_{E=\frac{1}{2} \hbar \omega}=\frac{2\sqrt{2}}{3} e^{-\frac{1}{3}}, \; P_{E=\frac{3}{2} \hbar \omega}=\frac{4\sqrt{2}}{27} e^{-\frac{1}{3}},$$ energii $\hbar \omega$ nelze namìøit (není ve spektru).
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Nech èástice s hmotností $M$ v potenciálu harmonického
| + | |
| − | oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou
| + | |
| − | \fc í
| + | |
| − | \be \psi(x)=C e^{-\vec x^2 + i x_1} .\ll{cvic3}\ee
| + | |
| − | S jakou pravdìpodobností namìøíme hodnoty její energie rovné
| + | |
| − | $\frac{5}{2}\hbar\omega$?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Nezapomeòte, že energie $\frac{5}{2}\hbar\omega$ tøírozmìrného harmonického oscilátoru je degenerovaná, musíte spoèítat pravdìpodobnosti pøechodu do jednotlivých ortogonálních vlastních stavù pøíslušných k této energii a pak je seèíst. Výsledná pravdìpodobnost: $e^{-\frac{1}{3}} \frac{32 \sqrt{2}}{243} $.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Èástice s hmotností $M$ v poli jednorozmìrného harmonického
| + | |
| − | oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v koherentním stavu s amplitudou $\alpha$. S jakou pravdìpodobností namìøíme hodnotu její energie rovnu $(n+1/2)\hbar\omega$?
| + | |
| − | \label{koh:2}
| + | |
| | \end{cvi} | | \end{cvi} |
| | \navod | | \navod |
| − | Pravdìpodobnost namìøení hodnoty $(n+1/2)\hbar\omega$ je dána výrazem $P_n = |\langle\alpha|n\rangle|^2$. S použitím vztahu $|n\rangle = \frac{\hat{a}^\dagger}{\sqrt{n!}}|0\rangle$ dostaneme pro amplitudu pravdìpodobnosti
| + | Normalizace: |
| − | $$\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\langle 0|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\pi^{-1/2}\int_\mathds{R} e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}} dx = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\frac{\alpha^2}{2}}$$
| + | |
| − | takže pravdìpodobnost namìøení $(n+1/2)\hbar\omega$ je
| + | |
| − | $$P_n = \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} e^{-|\alpha|^2}.$$
| + | |
| − | Pravdìpodobnost je tedy dána Poissonovým rozdìlením s parametrem $\lambda = |\alpha|^2$. S použitím výsledku pro $\langle\alpha|n\rangle$ mùžeme rozepsat koherentní stav do báze vlastních vektorù hamiltoniánu
| + | |
| − | $$|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.$$
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Nech èástice je ve stavu popsaném vlnovou
| + | |
| − | \fc í
| + | |
| − | \be \psi=(4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\theta+\cos\theta )g(r).\ee
| + | |
| − | Jaké hodnoty $L_z$ mùžeme namìøit a s jakou pravdìpodobností? Jaká je støední hodnota $L_z$ v tomto stavu?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Uvìdomte si, že vlastní funkce $\hat L^2, \hat L_z$ mají tvar $f(r) Y_{lm}(\theta,\phi)$ pro libovolnou funkci $f(r)$.
| + | |
| − | Lze tedy uvažovat napøíklad $f(r)=g(r)$.
| + | |
| − | Výsledek: $P_{11} = \frac{2}{3}, \, P_{10} = \frac{1}{3}$, ostatní pravdìpodobnosti pak musí být rovny nule. Lze namìøit $L_z=0, \, L_z = \hbar $. Støední hodnota $L_z$ je $\frac{2 \hbar}{3} $.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} %{\bf 3006:}
| + | |
| − | Nech \cc e je popsána vlnovou \fc í
| + | |
| − | \[ \psi= (x+y+2z)\exp (-\alpha\sqrt{x^2+y^2+z^2}), \]
| + | |
| − | Jaká je \pst{} nalezení \cc e v prostorovém úhlu $(\theta,\theta+d\theta)\times(\phi,\phi+d\phi)$, kde $\theta, \phi$ jsou polární, respektive azimutální úhel?
| + | |
| − | Jaké hodnoty kvadrátu momentu hybnosti mùžeme namìøit?
| + | |
| − | Jaká je støední hodnota z-ové složky momentu hybnosti?
| + | |
| − | Jaká je \pst{} namìøení z-ové složky momentu hybnosti $L_z=+\hbar$?
| + | |
| − | Návod: zapište $\psi$ pomocí kulových \fc í.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Pøeveïte vlnovou funkci do sférických souøadnic. Pravdìpodobnost nalezení v prostorovém úhlu $d \Omega$ lze pak snadno nalézt
| + | |
| − | \begin{eqnarray} \nonumber P_{d \Omega} & = & K (\sin \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi +2 \cos \theta )^2 d \Omega \\ \nonumber & = & K \sin \theta (\sin \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi +2 \cos \theta )^2 d \theta d \phi, \; (K= \frac{1}{8 \pi}). \end{eqnarray}
| + | |
| − | Pro další výpoèet rozložte $\psi$ do kulových funkcí (ukažte, že je lineární kombinací $Y_{1,-1}$, $Y_{1,0}$ a $Y_{1,1}$ ), je tedy vlastním vektorem kvadrátu momentu hybnosti pøíslušným $l=1$, dále dopoèítejte støední hodnotu z-ové složky momentu hybnosti (výsledek je $0$) a \pst{} namìøení z-ové složky momentu hybnosti $L_z=+\hbar$ (výsledek je $\frac{1}{6}$).
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} \ll{dpx}Spoètìte støední kvadratické odchylky složek polohy a
| + | |
| − | hybnosti kvantové èástice pøi mìøení na stavu
| + | |
| − | popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}), kde $A>0$. Ukažte, že pro tento stav platí
| + | |
| − | \be \Delta_{\psi}(\hat X_{\underline k})\Delta_{\psi}(\hat P_{\underline k})=\hbar/2
| + | |
| − | \ll{dxdp}\ee\end{cvi}
| + | |
| − | \navod Spoèítejte $\langle \hat X_j \rangle_\psi = \frac{{\rm Re} B_j}{2 A}$, $\langle \hat X_j^2 \rangle_\psi = \frac{({\rm Re} B_j)^2+A}{4 A^2}$ a po dosazení do patøièného vzorce $\Delta_\psi(\hat X_j)= \sqrt{\frac{1}{4 A }}$. Obdobnì najdete
| + | |
| − | $\Delta_\psi(\hat P_j)= \hbar \sqrt{A} $.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Ukažte, že v jednorozmìrném pøípadì podmínka
| + | |
| − | \be [\hat A - <\hat A>_{\psi} - i\alpha(\hat B -<\hat
| + | |
| − | B>_{\psi})]\psi=0 \ll{rovnost}\ee
| + | |
| − | pro operátory $\hat A = \hat
| + | |
| − | X,\hat B =\hat P$ je integrodiferenciální rovnicí, jejímiž jedinými
| + | |
| − | øešeními jsou funkce %\rf{mvb})
| + | |
| − | \[ \psi( x)=C\exp[-Ax^2+B x]. \]
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod
| + | |
| − | Prozatím si oznaète $\langle \hat X \rangle_{\psi}={\bf x}, \, \langle \hat P \rangle_{\psi}={\bf p}$ a najdìte øešení patøièné diferenciální rovnice
| + | |
| − | $$x \psi - {\bf x} \psi - i \alpha ( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi - {\bf p} \psi)=0 .$$
| + | |
| − | Na závìr urèete vztah mezi $\alpha$, integraèní konstantou a ${\bf x,p}$ nalezením støedních hodnot $\langle \hat X \rangle_{\psi}$, $\langle \hat P \rangle_{\psi}$ a jejich porovnáním s ${\bf x,p}$ (mùžete využít výsledek cvièení \ref{shpmvb}, \ref{shhmvb}).
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Nech Hamiltonián kvantového systému má èistì bodové spektrum. Na systé-mu byla namìøena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má èistì bodové spektrum a $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravdìpodobnost, že namìøíme stejnou hodnotu, budeme-li mìøení opakovat po èase $t$?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Rozložíme--li $\psi_{a} = \psi(0) = \sum_{k} c_{k} \psi_{{k}}$, kde $\psi_{{k}}$ jsou vlastní funkce hamiltoniánu odpovídající energii $E_{k}$, pak s využitím znalosti èasového vývoje vlastních funkcí hamiltoniánu
| + | |
| − | najdeme
| + | |
| − | $$ P_{A=a}(t)=|(\psi(0),\psi(t))|^2= | \sum_{k} |c_{k}|^2 e^{-\frac{i}{\hbar} E_{k} t} |^{2} =\sum_{j,k} |c_{k}|^{2} |c_{j}|^2 e^{-\frac{i}{\hbar}(E_{k}-E_{j})t}.$$
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Nech èástice s hmotností $M$ v jednorozmìrné nekoneènì hluboké potenciálo-vé jámì šíøky $2a$ je v èase $t=0$ popsána vlnovou \fc í, (která je superposicí stacionárních stavù)
| + | |
| − | \[ \psi(x,0)=0,\ {\rm pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left(\frac{\pi}{2a}(x-a)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{a}(x-a)\right),\ {\rm pro} \ |x|<a.\]
| + | |
| − | Jaká je pravdìpodobnost, že \cc e se v èase $t\geq 0$ bude nacházet v intervalu $(-a,0)$? V jakém èase je tato pravdìpodobnost minimální, resp. maximální.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod $\psi(x,0)$ je superpozice stacionárních stavù, viz. pøíklad \ref{jama}
| + | |
| − | $$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1(x) + \psi_2(x)).$$
| + | |
| − | Snadno naleznete èasový vývoj $\psi(x,t)$, pak staèí prointegrovat $|\psi(x,t)|^2$ pøes $(-a,0)$ a normovat. Výsledek je
| + | |
| − | \begin{eqnarray}
| + | |
| − | \nonumber P_{(-a,0)}(t) & = & \frac{1}{2}-\frac{4}{3\pi}\cos\left(\frac{3}{8M}\frac{\pi^2\hbar t}{a^2}\right),\\
| + | |
| − | \nonumber t_{min} & = & 0 ,\ P_{min} = \frac{3 - 8\pi}{6 \pi},\qquad t_{max}=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar} ,\ P_{max}=\frac{3 + 8\pi}{6 \pi}.
| + | |
| − | \end{eqnarray}
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Èástice s hmotností $M$ je v poli jednorozmìrného harmonického
| + | |
| − | oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. V èase $t=0$ je v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$. V jakém stavu je v libovolném èase $t>0$?
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod
| + | |
| − | Z výsledku pøíkladu (\ref{koh:2}) plyne
| + | |
| − | $$|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.$$
| + | |
| − | Èasový vývoj vlastních vektorù hamiltoniánu známe a pro koherentní stav tak dostaneme
| + | |
| − | $$|\alpha(t)\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}e^{-i\omega t(n+1/2)}|n\rangle = e^{-\frac{i}{2}\omega t} |\alpha e^{-i\omega t}\rangle.$$
| + | |
| − | Stav tedy zùstává koherentní, s èasem se pouze mìní fáze jeho amplitudy $\alpha(t) = \alpha e^{-i \omega t}$.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi}
| + | |
| − | Urèete èasový vývoj støední hodnoty polohy a hybnosti èástice, která je v poli jednorozmìrného harmonického oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Èástice je v èase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$.(Návod: rozepište $\hat{X}$ a $\hat{P}$ pomocí kreaèního a anihilaèního operátoru)
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod
| + | |
| − | Z pøedchozího pøíkladu víme že $|\alpha(t)\rangle = |\alpha e^{-i\omega t}\rangle$ (globální fáze je irelevantní).
| + | |
| − | $\hat{X}$ a $\hat{P}$ zapsané pomocí kreaèního a anihilaèního operátoru:
| + | |
| − | $$\hat{X} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}^\dagger+\hat{a}\right),\quad \hat{P} = i\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}^\dagger-\hat{a}\right)$$
| + | |
| − | Pro støední hodnotu $\hat{X}$ dostaneme
| + | |
| − | $$\langle\hat{X}\rangle_\alpha(t) = \sqrt{2}\alpha\cos{(\omega t)}.$$
| + | |
| − | Analogicky støední hodnota $\hat{P}$ je
| + | |
| − | $$\langle\widehat{P}\rangle_\alpha = \sqrt{2}\hbar\alpha\sin{(\omega t)}.$$
| + | |
| − | Støední hodnoty tedy sledují klasickou trajektorii.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Naleznìte operátor rychlosti pro \cc i v elektromagnetickém poli.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod $\hat{\dot{\vec{Q}}} = \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat{\vec{Q}}] = \ldots$, výsledek odpovídá dle principu korespondence (nikoliv pøekvapivì) výsledku v klasické mechanice.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Ukažte, že vlastní èísla operátoru $\hat{\vec\mu}\cdot\vec B$ jsou
| + | |
| − | $\pm \mu_0|\vec B|$. Najdìte vlastní \fc e.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Využijte toho, že po nalezení vlastních èísel již víte, že rovnice pro odpovídající vlastní vektory má netriviální øešení, tj. øádky matice soustavy jsou lineárnì závislé a tím pádem neøešíte soustavu, ale jednu rovnici pro 2 neznámé konstanty.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{cvi} Ukažte že $\hat{\vec S}^2=\frac{3}{4}\hbar^2\unit$.
| + | |
| − | Porovnejte tento výsledek s $\hat{\vec L}^2$.
| + | |
| − | \end{cvi}
| + | |
| − | \navod Pro výpoèet je vhodné použít komutaèní a antikomutaèní relace pro Pauliho matice
| + | |
| | $$ | | $$ |
| − | [\sigma_i,\sigma_j] = 2i \varepsilon_{ijk}\sigma_k,\qquad \{\sigma_i,\sigma_j\} = 2\delta_{ij} I,
| + | \frac{1}{Z} \int\limits_{\mathds{R}^2} {e^{-\frac{1}{k T} (\frac {{p}^{2}}{2M} + \frac{1}{2}M \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq}=1, \qquad \mathrm{tj.}\quad Z={\frac {2 \pi k T } {\omega}} |
| | $$ | | $$ |
| − | ze kterých plyne vztah
| + | |
| | + | Střední hodnota energie: |
| | $$ | | $$ |
| − | \sigma_i\sigma_j = \frac{1}{2}\left(\frac{}{}[\sigma_i,\sigma_j] + \{\sigma_i,\sigma_j\}\right) = \delta_{ij} I + i \varepsilon_{ijk}\sigma_k.
| + | \frac{1}{Z}\int\limits_{\mathds{R}^2} \left(\frac {{p}^{2}}{2M} + \frac{1}{2}M \omega^{2} {q}^{2}\right) {e^{-\frac{1}{2 k T} (\frac {{p}^{2}}{M}+M \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq} = { k T } |
| | $$ | | $$ |
| − | Porovnání s $\hat{\vec L}^2$ - odpovídající $l$ pro spin je $\frac{1}{2}$, tj. spin elektronu je ``poloèíselný''.
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi}
| |
| − | Jakým vektorem mùžeme popsat spin elektronu, jestliže víme, že prošel horním ramenem Stern-Gerlachova pøístroje orientovaném ve smìru $$\vec{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$$
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod
| |
| − | Hledáme vlastní vektor operátoru
| |
| − | $$\vec{n}\cdot\vec{\sigma} = \left( \begin{array}{cc}
| |
| − | \cos\theta & \sin\theta e^{-i\varphi} \\
| |
| − | \sin\theta e^{i\varphi} & -\cos\theta \\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)$$
| |
| − | s vlastním èíslem $+1$. Øešení je (vèetnì normalizace)
| |
| − | $$\psi_+(\theta,\varphi) = \left(
| |
| − | \begin{array}{c}
| |
| − | \cos{\theta/2} \\
| |
| − | e^{i\varphi}\sin{\theta/2} \\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right).$$
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Nech pro volnou \cc i se spinem je namìøena hodnota z--ové složky spinu
| |
| − | $s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápìtí mìøíme hodnotu spinu ve smìru, který se z--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké mùžeme namìøit hodnoty a s jakou pravdìpodobností?
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod Najdìte si nìjaký operátor spinu svírajícího se z--ovou osou úhel $\Theta$ (napø. $\frac{\hbar}{2}\left( \cos(\Theta) \sigma_3 + \sin(\Theta) \sigma_1 \right) $ ), pøíslušné pravdìpodobnosti získáte patøiènými skalárnímy souèiny vlastních vektorù, výsledky jsou
| |
| − | $$P_+=\frac{1}{2}(1 + \cos \Theta),\qquad P_-=\frac{1}{2}(1 - \cos \Theta).$$
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Uvažujte systém (tzv. supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2(\real,dx) \otimes {\complex}^2$ hamiltoniánem
| |
| − | $$ \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes {\bf 1} + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes {\bf 1} + \frac{\hbar \omega}{2} {\bf 1} \otimes \sigma_{3}.$$
| |
| − | Dále je dán operátor
| |
| − | $$ \hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}).$$
| |
| − | Naleznìte $\hat{Q}^{\dagger}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádøete pomocí operátorù $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké omezení lze vyvodit z tìchto relací na spektrum hamiltoniánu (~tj. zda je shora èi zdola omezené a èím~)? (~Postaèí uvažovat bodovou èást spektra.~)
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod $\hat Q^{\dagger}=\hat Q, \, \hat Q^2 = \frac{1}{2} \hat H, \, [\hat H, \hat Q]=0$. Omezení na spektrum získáme ze vztahu $\hat H = 2 \hat Q^{\dagger} \hat Q$ (pozitivní operátor).
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Ukažte, že pokud výraz $\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]$
| |
| − | definujeme pomocí øady
| |
| − | \be \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec
| |
| − | a\cdot\vec\sigma)^n}{n!}, \ll{defexp}\ee
| |
| − | pak platí
| |
| − | \be \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]=\cos (|\vec a|)+i\frac{\vec
| |
| − | a\cdot\vec\sigma}{|\vec a|}\sin(|\vec a|) \ee
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod Spoètìte nejprve $(\vec a\cdot\vec\sigma)^2$ a povšimnìte si, že je to násobek jednotkové matice, pak sumu rozdìlte na souèet pøes sudé a liché indexy.
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Èástice se spinem $1/2$ je umístìna v konstantním magnetickém poli \\ $\vec{B}=(B,0,0)$. V èase $t=0$ byla namìøena hodnota její z-ové složky spinu $+\hbar/2$. S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším èase hodnotu její y-ové složky spinu $+\hbar/2$?
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \vysl
| |
| − | $$P_{S_y=\frac{\hbar}{2}} = \frac{1}{2} \left(1 + \sin\left(\frac{2\mu_0}{\hbar} B t\right) \right) .$$
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v poli Coulombova potenciálu s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$.
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod Protože $\hat H$ je ve spinovém prostoru diagonální, bude mít základní stav stejnou energii, jako když spin neuvažujeme, a odpovídající vlastní vektor má tvar $\psi = \left( \begin{array}{c} \alpha e^{-\frac{r}{a}} \\ \beta e^{-\frac{r}{a}}\end{array} \right)$. Konstanty $\alpha, \beta$ urèíme tak, aby to byl souèasnì vlastní vektor odpovídající složky spinu.
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Najdìte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, respektive $\half$ v poli harmonického oscilátoru.
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \vysl \\
| |
| − | Spin $0$: \begin{enumerate} \item základní stav $E = 3 \hbar \omega$, nedegenerovaný
| |
| − | \item 1. excitovaný stav $E=4 \hbar \omega$, 3 lineárnì nezávislé stavy \end{enumerate}
| |
| − | Spin $\frac{1}{2}$: \begin{enumerate} \item základní stav $E = 3 \hbar \omega$, nedegenerovaný
| |
| − | \item 1. excitovaný stav $E=4 \hbar \omega$, 12 lineárnì nezávislých stavù \end{enumerate}
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Atom uhlíku má ètyøi valenèní elektrony (pøesvìdète se). Mùžeme na nìj tedy nahlížet jako na systém ètyø elektronù ve sféricky symetrickém poli. Jaká je pak degenerace jeho základního stavu?
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \vysl 15.
| |
| − |
| |
| − | \begin{cvi} Najdìte v 1. øádu poruchové teorie energii základního stavu atomu helia.
| |
| − | \end{cvi}
| |
| − | \navod \\
| |
| − | Neporušený systém $\ldots$ 2 elektrony v poli jádra, \\
| |
| − | porucha $\ldots$ elektrostatická interakce mezi elektrony $\hat H'={\tilde e}^2/|{\vec x}^{(1) }- {\vec x}^{(2)}|$, \\
| |
| − | základní stav neporušeného $\hat H_0$ (zdùvodnìte a ovìøte normalizaci)
| |
| − | $$\phi({\vec x}^{(1)},{\vec x}^{(2)}, \xi^{(1)}, \xi^{(2)}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \psi^{(1)}_0({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \psi^{(-1)}_0({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) - \left( ({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \leftrightarrow ({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) \right) \right),$$
| |
| − | kde
| |
| − | $$ \psi^{(\alpha)}_0({\vec x},\xi) = \pi^{-1/2} (Z/a)^{3/2} \exp(-Zr/a) \delta_{\xi,\alpha}, \quad \xi=\pm 1. $$
| |
| − | Pøi výpoètu $E_0^{(1)}=\langle \phi | \hat H' | \phi \rangle$ využijte (viz Formánek: úvod do kvantové teorie)
| |
| − | $$ \frac{1}{|{\vec x} - {\vec y}|} = \frac{1}{R} \sum_{l=0}^{\infty} (\frac{r}{R})^l P^0_l(\cos \theta), \qquad r<R, r=|\vec x|, R=|\vec y|, \, {\vec x}{\vec y}=rR\cos \theta $$
| |
| − | a
| |
| − | $$ P^0_l({\vec n}_1 {\vec n}_2) = \frac{4 \pi}{ 2 l +1} \sum_{m=-l}^{l} Y_{lm}^*({\vec n}_1) Y_{lm}({\vec n}_2), \quad \forall {\vec n}_j: |{\vec n}_j|=1 . $$
| |
| − | Integrály pro $m \neq 0$, resp. $l \neq 0$ vymizí (proè?), zbývá provést triviální integraci pøes úhly a per partes v $r_1,r_2$. Výsledek:
| |
| − | $$E_0^{(1)}= \frac{5 {\tilde e}^2}{4 a}, \quad E_0=E_0^{(0)}+E_0^{(1)}+\ldots \simeq -74,8 {\rm eV}.$$
| |
