02KVANCV:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 57: | Řádka 57: | ||
$$ | $$ | ||
K deterministické předpovědi potřebujeme znát polohu a rychlost či hybnost v jednom časovém okamžiku (tj. počáteční podmínku). | K deterministické předpovědi potřebujeme znát polohu a rychlost či hybnost v jednom časovém okamžiku (tj. počáteční podmínku). | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\begin{cvi} Nechť statistická rozdělovací funkce stavů klasického mechanického oscilátoru je dána Gibbsovou formulí | \begin{cvi} Nechť statistická rozdělovací funkce stavů klasického mechanického oscilátoru je dána Gibbsovou formulí |
Verze z 29. 8. 2013, 15:09
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Klasická mechanika a statistická fyzika} \begin{cvi} Napište rozdělovací funkci Gaussova pravděpodobnostního rozdělení. Interpretujte význam jejích parametrů. Vypočítejte jeho momenty. Napište vzorec pro \[ I(n,a,b):=\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-ax^2+bx}dx,\ n\in\integer,\ a,b\in\complex,\ {\rm Re}\ a>0. \] (Zapamatujte si jej pro n=0,1,2!) \end{cvi} \navod Rozdělovací funkce $$ \rho(x)=N e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} . $$ Normalizace: $$ \int\limits_\mathds{R} \rho(x) dx = N \sqrt{2 \pi} \sigma = 1 ,\quad \mathrm{tj.}\quad N = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}. $$ Momenty: definice $$ \langle (x-\alpha)^{n} \rangle_{\rho} = N \int\limits_\mathds{R} (x-\alpha)^{n} e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} dx. $$ Výsledky se liší pro $n$ liché, resp. sudé: $$ \langle (x-\alpha)^{2n+1} \rangle_{\rho} =0, \quad \langle (x-\alpha)^{2n} \rangle_{\rho} = \sigma^{2n} (2n-1)!! $$ Hledaný vzorec: $$ I(n,a,b) = \frac{\partial^n}{\partial b^n} I(0,a,b) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{\partial^n}{\partial b^n} e^{\frac{b^2}{4a}} $$ \begin{cvi} Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny? \end{cvi} \navod $H(p,q)=\frac {p^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^{2}{q}^{2}$ \\ Pohybové rovnice $$ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \; \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}, $$ tj. $$ \dot{q}=\frac{p}{m}, \; \dot{p}= - m \omega^2 q.$$ Řešení: $q(t)=A \sin ( \omega t + \alpha) $, $p(t)= A \omega m \cos ( \omega t + \alpha)$, \\ Rovnice pro fázové trajektorie -- získáme vyloučením času z pohybových rovnic, jsou určeny hodnotou energie $$ \frac{p^2}{2 A^2 \omega^2 m^2}+\frac{q^2}{2A^2}=1.$$ \begin{cvi} Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení klasického jednorozměrného oscilátoru s energií $E$ v intervalu $(x,x+dx)$ ? Co potřebujeme znát, chceme-li tento pravděpodobnostní výrok změnit v deterministickou předpověď? \end{cvi} \navod $$ \rho(x) dx = \frac{\hbox{doba strávená v intervalu $\langle x,x+dx \rangle$}}{\hbox{půlperioda}} = \frac{\frac{dx}{|v(x)|}}{T/2} = { \frac{dx}{\pi \sqrt{\frac{2 E}{m \omega^2} - x^2}}}. $$ Je vhodné si ověřit normalizaci $$ \int\limits_{-x_0}^{x_0} \rho(x) dx = 1, \quad x_0 = \sqrt{\frac{2 E}{m \omega^2}}. $$ K deterministické předpovědi potřebujeme znát polohu a rychlost či hybnost v jednom časovém okamžiku (tj. počáteční podmínku). \begin{cvi} Nechť statistická rozdělovací funkce stavů klasického mechanického oscilátoru je dána Gibbsovou formulí \[ w(p,q) = \frac 1 Z \ e^{-\frac{H(p,q)}{kT} }. \] %kde $a$ je normovací konstanta a $E$ je energie stavu $(p,q)$. Spočtěte střední hodnotu energie. \end{cvi} \navod Normalizace: $$ \frac{1}{Z} \int\limits_{\mathds{R}^2} {e^{-\frac{1}{k T} (\frac {{p}^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq}=1, \qquad \mathrm{tj.}\quad Z={\frac {2 \pi k T } {\omega}} $$ Střední hodnota energie: $$ \frac{1}{Z}\int\limits_{\mathds{R}^2} \left(\frac {{p}^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^{2} {q}^{2}\right) {e^{-\frac{1}{2 k T} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq} = { k T } $$