02KVAN:Kapitola9: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze od 2 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
\section{Potenciálový rozptyl, tunelový jev}\ll{potrozptyl}
+
\chapter{Předpovědi výsledků měření}
 +
\ll{Vysledkymereni}
  
%\section{Potenciálový rozptyl}
+
V této kapitole detailně probereme, jakým způsobem kvantová mechanika předpovídá výsledky měření fyzikálních veličin na částici, která je ve stavu popsaném vektorem $\psi$. V postulátu \ref{post:poz} jsme řekli, že možné výsledky měření dané pozorovatelné patří tvoří spektrum příslušného operátoru. Z diskuse v kapitole \ref{kap:priprava} víme, že předpovědi mají až na vyjímky pravděpodobnostní charakter - můžeme určit pouze pravděpodobnost daného výsledku měření, ale ne přesný výsledek jednoho měření.  
Rozptylový experiment je obvykle uspořádán tak, že proud částic s dobře určenými vlastnostmi (hmota, energie, hybnost, \ldots) dopadá na nějaký objekt (tenká folie) či dokonce se sráží s jiným proudem \cc{} a měří se charakteristiky rozptýlených \cc. Klasický popis takovýchto experimentů se provádí pomocí výpočtu drah daných pohybovými rovnicemi (viz např. Rutherfordův rozptyl v \cite{sto:tf} kap 3.4). V této kapitole popíšeme nejjednodušší popis rozptylu metodami kvantové mechaniky.
+
  
První předpoklad je, že dosah vzájemné interakce \cc{} je mnohem menší než jsou charakteristické vzdálenosti
+
\section{Pravděpodobnosti výsledků měření}
částic v terčovém objektu, takže problém rozptylu lze redukovat na interakci dvou \cc{} se známou interakcí
+
popsanou potenciálem $V(\vex_1-\vex_2)$ s konečným dosahem. Dále předpokládáme, že terč je dost tenký,
+
takže nemusíme uvažovat vícenásobnou interakci.
+
To nám umožňuje převést problém rozptylu na \'ulohu o pohybu jedné \cc e (s redukovanou hmotou) v potenciálu $V(\vex)$.
+
  
Dopadající
+
V postulátu \ref{proj:post} jsme uvedli, že pravděpodobnost naměření hodnoty $a_j$ pozorovatelné $A$ na částici ve stavu popsaném normovaným vektorem $\psi$, je dána vztahem
%jakož i rozptýlenou
+
\begin{equation}
\cc i můžeme popsat vlnovým balíkem $\psi_{in}$ a s grupovou rychlostí ve směru dopadu. Kvantově mechanický popis rozptylu pak spočívá
+
\label{pravd:1}
především ve výpočtu pravděpodobnosti nalezení \cc e v oblasti prostoru vymezené prostorovým \'uhlem $d\Omega$.
+
P_{\psi,(A=a_j)} = \|\hat P_j \psi|\|^2,
%přechodu ze stavu $\psi_{in}$ do stavu $\psi_{out}$
+
\end{equation}
%Rigor\'ozně bychom měli dále postupovat tak, že nalezneme
+
kde $\hat P_j$ je projektor na podprostor odpovídající vlastní hodnotě $a_j$.
  
\special{src: 17 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\subsection{Operátor s prostým  čistě bodovým spektrem}
  
Proces rozptylu lze v \qv é \mi ce popsat časovým vývojem stavu daného počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{in}$, přičemž v čase $t_0$ je interakce částic nulová.
+
Pokud příslušný operátor $\hat A$ má prosté čistě bodové spektrum (tj. všechna vlastní čísla mají násobnost jedna), pak projektory můžeme zapsat (s použitím bra-ketového formalismu) ve tvaru
Je tedy třeba nalézt řešení časové \sv y rovnice s počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{in}$.
+
$$
% a pak spočítat \pst{} přechodu $W_{\psi(t)\-> \psi_{out}}$
+
\hat P_j = \ketbra{j}{j},
%pro $t\gg t_0$.
+
$$
Nalézt příslušné řešení \sv y rovnice se však obvykle nepodaří a je třeba se uchýlit k aproximativním metodám.
+
kde kety $\ket{j}$ jsou normované vlastní vektory $\hat A$
%Lze ukázat (viz \cite{for:ukt} kap 3.7)
+
$$
Ukážeme, že výše popsanou nestacionární \'ulohu lze převést na \'ulohu stacionární a některé důležité charakteristiky rozptylu lze získat ze znalosti zobecněných stacionárních stavů odpovídajících danému potenciálu.
+
\hat A\ket{j} = a_j \ket{j}.
 +
$$
 +
Vztah (\ref{pravd:1}) se pak zjednoduší do tvaru
 +
\be
 +
\label{pst:1}
 +
\fbox{\LARGE $P_{\psi,(A=a_j)} = |\braket{j}{\psi}|^2$} \ .
 +
\ee
 +
Ukažme, že takto zavedené předpovědi výsledků měření jsou v souladu s teorií pravděpodobnosti. Využijeme toho, že kety $\ket{j}$ tvoří ortonormální bázi $\Hil$
 +
$$
 +
\braket{i}{j} = \delta_{i,j},\quad \sum_{j=0}^\infty \ketbra{j}{j} = \hat I.
 +
$$
 +
Vektor $\ket{\psi}$ můžeme rozložit do báze vlastních vektorů $\hat A$ způsobem
 +
$$
 +
\ket{\psi} = \sum\limits_{j=0}^\infty \braket{j}{\psi}\ket{j}.
 +
$$
 +
Z Parsevalovi rovnosti pak plyne
 +
$$
 +
\braket{\psi}{\psi} = 1 = \sum\limits_{j=0}^\infty |\braket{j}{\psi}|^2,
 +
$$
 +
tedy $|\braket{j}{\psi}|^2$ jsou nezáporná reálná čísla, jejichž součet je jedna, a můžeme je interpretovat jako pravděpodobnosti nějakého jevu. Protože ve stavu $\ket{j}$ má pozorovatelná $A$ jednoznačně určenou hodnotu $a_j$, má smysl postulovat, že $|\braket{j}{\psi}|^2$ je pravděpodobnost naměření hodnoty $a_j$ na částici ve stavu $\ket{\psi}$.
  
\special{src: 27 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Nechť je lineární harmonický oscilátor ve stavu popsaném vlnovou \fc í
 +
  \be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee
 +
  S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie oscilátoru rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?
 +
\ec
  
%V dalším se omezíme na
+
Připomeňme, že podle postulátu \ref{proj:post} je stav částice po měření $A$ s výsledkem $a_j$ popsán vlastním vektorem $\ket{j}$. Výraz $|\braket{j}{\psi}|^2$ pak můžeme interpretovat jako pravděpodobnost přechodu ze stavu $\ket{\psi}$ do stavu $\ket{j}$. Obecněji v kvantové mechanice postulujeme, že pravděpodobnost přechodu ze stavu $\psi$ do stavu ${\phi}$, které jsou popsány normovanými vektory $\ket{\psi},\ket{\phi},$ je rovna
\subsection{Rozptyl \cc{} na přímce}\ll{rnap}
+
\be
Začněme s nejjednodušším případem rozptylu bezspinových částic na přímce, kde jsou jen dva možné úhly rozptylu totiž 0 a 180 stupňů. Po redukci \'ulohy dvou těles vede tento případ na problém časového vývoje vlnové \fc e v jednorozměrném potenciálu, pro který navíc budeme předpokládat že má konečný dosah, tzn. $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
+
  \fbox{\LARGE $ P_{\psi\to\phi} = |\braket{\phi}{\psi}|^2$} \ .
Dopadající částici lokalizovanou v čase $t_0$ v okolí $x_0<-a$
+
  \ll{pstprech}
%pohybující "vpravo", tj. s hybností$p_0>$
+
\ee
můžeme dobře posat vlnovým balíkem
+
Skalární součin $\braket{\phi}{\psi}$ má význam amplitudy pravděpodobnosti přechodu $\psi\rightarrow\phi$.
\be \psi_{in}(x)=\psi_{x_0,p_0,\sigma_0}(x)= Ce^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma_0^2} + i\frac{p_0}{\hbar}x}, \ee
+
kde $p_0>0$ a $\sigma_0$ je střední kvadratická odchylka souřadnice, která s časem roste (viz cvičení \ref{casvmvb}). %způsobem
+
%\be \sigma(t)^2=\sigma_0^2+\left[
+
%\frac{\hbar(t-t_0)}{2m\sigma_0}\right]^2\ee
+
Čas počátku interakce $t_1$, tj. čas kdy "okraj vlnového balíku" dospěje do oblasti interakce, lze definovat způsobem
+
\be x_0 +2\sigma(t_1)+\frac{p_0}{M}(t_1-t_0)=-a.\ee
+
Pro $t\in(t_0,t_1)$ se částice pohybuje téměř jako volná, přesněji, časový vývoj vlnového balíku se příliš neliší od
+
\be \psi_0(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(p)e^{i\frac{p}{\hbar}x-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}(t-t_0)}dp, \ll{psi0xt}\ee
+
kde
+
\be F(p)=(2\pi\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\frac{p}{\hbar}x'} \psi(x',t_0)dx'= Ce^{-\sigma^2\frac{(p-p_0)^2}{\hbar^2} - i\frac{p}{\hbar}x_0}, \ee
+
%Funkce $F(p)$ se podstatně liší od nuly pouze v okolí $p_0$.
+
  
\special{src: 47 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
Uvažujme lineární oscilátor s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ v koherentním stavu $\phi_\alpha$, $\alpha\in\C$. S jakou pravděpodobností ho najdeme v koherentním stavu $\phi_\beta$,  $\beta\in\C$?
 +
\ec
  
Pro časy srovnatelné a větší než $t_1$ \rf{psi0xt}) již nevystihuje ani přibližně
+
\subsection{Operátor s vícenásobným bodovým spektrem}
skutečný časový vývoj dopadající \cc e, neboť je superposicí \fc í $e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}$, což jsou zobecněné vlastní stavy energie pouze pro $V=0$, zatímco pro $t\ge t_1$ se podstatným způsobem začne projevovat vliv potenciálu na řešení \sv y \rc e.
+
  
Chceme-li dostat přesný časový vývoj funkce $\psi_{in}$ musíme nahradit zobecněné vlastní \fc e $e^{i\frac{p}{\hbar}x}$ hamiltoniánu volné \cc e vlastními stavy
+
Uvažujme nyní případ, kdy vlastní hodnota $a\equiv a_j$ pozorovatelné $A$ má konečnou degeneraci $n>1$. V příslušném podprostoru zvolíme nějakou ortonormální bázi tvořenou vektory $\ket{a,k}$
%je dán rozkladem počátečního stavu podle zobecněných
+
$$
%vlastních stavů energie
+
\hat A \ket{a,k} = a\ket{a,k},\quad \braket{a,k}{a,l} = \delta_{k,l}.
$\Phi_{p/\hbar}$ úplného hamiltoniánu, tj. \fc emi splňujícími bezčasovou \sv u rovnici
+
$$
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\Phi_\frac{p}{\hbar}}{dx^2} + V\Phi_\frac{p}{\hbar}=E\Phi_\frac{p}{\hbar},\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr1dim} \ee
+
Ortogonální projektor $\hat P_a$ na vlastní podprostor pak můžeme zapsat ve tvaru
%kde $V$ je rozptylující potenciál,
+
$$
takže časový vývoj \cc e je dán \fc í
+
\hat P_a = \sum_{k=1}^n = \ketbra{a,k}{a,k}.
\be {\Large \fbox{$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^\infty F(p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\Phi_{p/\hbar}(x)dp. $}}\ll{psixt} \ee
+
$$
%V důsledku předpokládaného tvaru balíku %\rf{dopcce})
+
Vztah (\ref{pravd:1}) pro pravděpodobnost výsledku měření bude tedy mít následující tvar
Zde předpokládáme, že díky vlastnostem \fc e $F(p)$, nejdůležitější roli hraje oblast energií v okolí $\frac{p_0^2}{2M}$ a k časovému vývoji rozhodujícím způsobem přispějí tedy pouze stacionární stavy s kladnou energií.
+
\be
 +
\fbox{\LARGE $ P_{\psi,(A=a)} = \sum\limits_{k=1}^n |\braket{a,k}{\psi}|^2$} \ .
 +
  \ll{pstnamer}
 +
\ee
 +
V případě degenerované vlastní hodnoty musíme sečíst pravděpodobnosti přechodů ze stavu $\ket{\psi}$ do všech (jednoznačně odlišitelných) vlastních stavů $\ket{a,k}$. Snadno se lze přesvědčit, že výsledná pravděpodobnost nezávisí na konkrétní volbě báze $\{\ket{a,k}|k=1,\ldots, n\}$.  
  
\special{src: 67 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Nechť je isotropní harmonický oscilátor s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ ve stavu popsaném vlnovou \fc í
 +
  \be \psi(\vec x) = C e^{-x^2 + i\vec k\cdot\vex}. \ll{cvic3}\ee
 +
  S~jakou \pst í naměříme hodnotu energie oscilátoru rovnou $\frac{5}{2}\hbar\omega$?
 +
\ec
  
Pro \'učely teorie rozptylu je vhodné zapsat \sv u rovnici \rf{bcsr1dim}) v integrálním (Lippmann--Schwingerově) tvaru
+
Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření
\be  \Phi_k(x)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^\infty G_k(x-x')U(x')\Phi_k(x')dx',
+
alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám.  
\ll{lipsch1}\ee
+
kde
+
\be U(x):=\frac{2M}{\hbar^2}V(x)\ee
+
a $G_k(x)$ je Greenova \fc e bezčasové \sv y  \rc e pro volnou jednorozměrnou \cc i
+
splňující
+
\be (\frac{d^2}{dx^2} + k^2)G_k(x)=\delta(x).\ll{rcegf}\ee
+
  
\special{src: 78 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\subsection{Operátor se spojitým spektrem}
  
\bc Ukažte, že \fc e %$G_k^{(+)}$
+
Na závěr této části uvažujme pozorovatelnou $A$ se spojitým spektrem. Jak jsme si ukázali v kapitole \ref{zobvlf}, bodům ze spojitého spektra lze přiřadit zobecněné vlastní vektory $\ket{a}$ normované k $\delta$-funkci
\be G_k^{(+)}(x):=\frac{e^{ik|x|}}{2ik} \ll{grfbsr} \ee
+
$$
splňuje \rc i \rf{rcegf})
+
\braketA{a}{\hat A}{\psi} = a\braket{a}{\psi},\quad \braket{a}{a'} = \delta(a-a').
přesněji
+
$$
\[ (G_k'',h)\equiv(G_k,h'') = -k^2(G_k,h) +h(0)
+
Kvantová mechanika postuluje, že výraz
\] pro $h\in{\cal S}(\real)$.
+
\be
 +
\label{hust:pr}
 +
\fbox{\LARGE $
 +
w_\psi(a) = |\braket{a}{\psi}|^2 $}\ ,
 +
\ee
 +
představuje hustotu pravděpodobnosti naměření hodnoty $a$ na částici ve stavu $\ket{\psi}$. Pravděpodobnost, že výsledek měření pozorovatelné $\hat A$ padne do intervalu $(a_1,a_2)$, je pak určena vztahem
 +
\be
 +
  \fbox{\LARGE $P_{\psi,(A\in(a_1,a_2))} = \int\limits_{a_1}^{a_2}|\braket{a}{\psi}|^2\d a$}\ ,
 +
  \ll{pstnamersp}
 +
\ee
 +
Pokud za pozorovatelnou $\hat A$ zvolíme polohu částice (pro jednoduchost uvažujme částici na přímce), pak (\ref{hust:pr}) přejde do tvaru
 +
\be
 +
\label{hust:x}
 +
w_\psi(x) = |\braket{x}{\psi}|^2 = |\psi(x)|^2,
 +
\ee
 +
což odpovídá Bornově statistické interpretaci vlnové funkce $\psi(x)$ (tj. $x$-reprezentace stavu $\ket{\psi}$). Vztah (\ref{hust:pr}) je zobecněním Bornovy interpretace pro libovolné pozorovatelné se spojitým spektrem. Speciálně pro hybnost částice je hustota pravděpodobnosti rovna
 +
$$
 +
w_\psi(p) = |\braket{p}{\psi}|^2 = |\tilde\psi(p)|^2.
 +
$$
 +
Vlnová funkce v $p$-reprezentaci má tedy význam amplitudy pravděpodobnosti naměření hybnosti částice rovné $p$. Připomeňme, že funkce $\psi(x)$ a $\tilde\psi(p)$ jsou spojeny Fourierovou transformací, viz. (\ref{x:p:fourier}).
 +
 
 +
\bc
 +
  Určete  pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete
 +
  hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$.
 
\ec
 
\ec
Pomocí \rf{rcegf}) lze snadno ukázat, že $\Phi_k$ splňující \rf{lipsch1}) jsou též řešením \rf{bcsr1dim}).
 
  
\special{src: 89 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(a_1,a_2)$ existuje právě jedna zobecněná vlastní \fc e normalizovaná k $\delta$-funkci. Obecnější případ zde řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{}
 +
naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů
 +
$$
 +
  W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))}
 +
    = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int\limits_{-k_2}^{-k_1}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}
 +
    + \int\limits_{k_1}^{k_2}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}\right],
 +
$$
 +
kde $k_i=\sqrt{\frac{2ME_i}{\hbar^2}}$, a $\phi_{klm}$ jsou zobecněné vlastní funkce (\ref{zobec:coulomb}) normované k k~$\delta$-funkci.
  
Dosazením explicitního tvaru Greenovy \fc e do \rf{lipsch1}) dostaneme
+
\section{Střední hodnoty pozorovatelných}
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}(1+C(k,x)) +A(k,x)e^{-ikx} ,\ll{phikx}\ee
+
kde
+
\be A(k,x)=\int_x^a \frac{e^{ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')dx', \ll{akx}\ee
+
\be C(k,x)=\int^x_{-a} \frac{e^{-ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')dx'. \ll{ckx}\ee
+
Odtud je ihned vidět, že v oblasti nulového  potenciálu je  \fc e $\Phi_{\frac{p}{\hbar}}$ superposicí zobecněných vlastních \fc í hybnosti $e^{\pm i \frac{p}{\hbar}x}$.
+
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}+A(k)e^{-ikx} {\rm\ pro\ } x<-a,\ll{phivlevo}\ee
+
\be \Phi_k(x)=B(k)e^{ikx} {\rm\ pro\ } x>a,\ll{phivpravo}\ee
+
kde $A(k):=A(k,-a)$, $B(k):=1+C(k,a)$.
+
%\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx'}U(x')\Phi_k(x') dx',
+
%\ll{koefak}\ee
+
%\be B(k)=1+\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} %e^{-ikx'}U(x')\Phi_k(x')dx'.\ll{koefbk} \ee
+
  
\special{src: 104 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Pro kvantovou částici ve stavu $\psi$ známe díky vztahům (\ref{pst:1}), (\ref{pstnamer}) a (\ref{pstnamersp}) pravděpodobnosti výsledků měření libovolné pozorovatelné. Z pravděpodobnostních rozdělení pak můžeme určit střední hodnoty pozorovatelných podle vztahů známých z matematické statistiky. Pro pozorovatelnou $A$ s čistě bodovým spektrem platí
 +
\be
 +
\label{mean:disc}
 +
\mean{\hat A}{\psi} = \sum_j a_j P_{\psi,(A=a)}.
 +
\ee
 +
Podobně, pro pozorovatelnou $A$ se spojitým spektrem je střední hodnota ve stavu $\psi$ rovna
 +
\be
 +
\label{mean:cont}
 +
\mean{\hat A}{\psi} = \int\limits_{\sigma(\hat A)} a w_\psi(a) da .
 +
\ee
 +
Tyto vzorce můžeme převést do jednoho kompaktního vztahu, který se v kvantové mechanice často využívá. Odvodíme si ho na příkladu střední hodnoty polohy částice na přímce, pro kterou je hustota pravděpodobnosti dána Bornovým postulátem (\ref{hust:x}). Vztah (\ref{mean:cont}) pro střední hodnotu polohy přepíšeme do tvaru
 +
\be
 +
\mean{\hat Q}{\psi} = \int\limits_{\R} x w_\psi(x) dx = \int_{\R}\psi^*(x)x\psi(x)\dx = \int_{\R}\psi^*(x)[\hat Q\psi](x)\dx = (\psi,\hat Q\psi),
 +
  \ll{psixpsi}
 +
\ee
 +
kde $\psi(x)$ je opět normovaná funkce. Není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými, a je proto přirozené
 +
očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Pro pozorovatelné s čistě bodovým spektrem to snadno ukážeme s použitím spektrálního rozkladu operátoru $\hat A$
 +
$$
 +
\hat A = \sum_{j} a_j\ketbra{j}{j}.
 +
$$
 +
Dosadíme-li vztah pro pravděpodobnost (\ref{pst:1}) do vzorce pro střední hodnotu (\ref{mean:disc}), pak postupně dostaneme
 +
$$
 +
\mean{\hat A}{\psi} = \sum_j a_j |\braket{j}{\psi}|^2 = \sum_j a_j \braket{\psi}{j}\braket{j}{\psi} = \bra{\psi}\left(\sum_j a_j \ketbra{j}{j}\right)\ket{\psi} = \braketA{\psi}{\hat A}{\psi}.
 +
$$
 +
Pro pozorovatelné se spojitým spektrem lze vztah odvodit analogicky s použitím spektrální míry operátoru $\hat A$.
 +
Platí tedy, že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vektorem $\ket{\psi}$, pak střední hodnota měření
 +
pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$, je rovna}
 +
\be
 +
  \fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \braketA{\psi}{\hat A}{\psi}$}} \ .
 +
  \ll{aavr}
 +
\ee
 +
Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních
 +
pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vektor $\ket{\alpha}$ je vlastní vektor
 +
$\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$.
  
Dosazením \rf{phikx}) do \rf{psixt}), zjistíme, že vlnovou \fc i \cc e v libovolném čase je možno zapsat jako součet tří členů
 
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_A(x,t)+\psi_C(x,t).\ll{psi123}\ee
 
První člen je dán vzorcem \rf{psi0xt}) a
 
představuje volně se pohybující vlnový balík s rychlostí $\frac{p_0}{M}$, o kterém víme, že absolutní hodnota vlnové funkce exponencielně klesá k nule všude kromě okolí $x_0+\frac{p_0}{M}t$ nacházející se pro $t\gg t_0$  v oblasti $x>a$.
 
Mimo to, \fc e
 
\be \psi_A(x,t):=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)A(\frac{p}{\hbar},x) e^{-i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi1xt}\ee
 
\be \psi_C(x,t):=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)C(\frac{p}{\hbar},x) e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi2xt}\ee
 
jsou nulové v oblastech $x>a$ resp. $x<-a$ a pomocí tzv. Riemann-Lebesgueovy věty
 
%{\em Pro $f\in L_1(\real)$, t.j.
 
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(\xi)|{\rm d} \xi<\infty\ \Rightarrow\ {\rm lim}_{\tau\rightarrow\pm\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-i\tau\xi}{\rm d} \xi=0.$$
 
%}\vskip 2mm \noindent
 
lze dokázat, že funkce (\ref{psi1xt}) a (\ref{psi2xt})
 
konvergují k 0 pro $t\lim\infty$ dokonce i v oblastech $x>-a$, resp. $x<a$. Transformací
 
$p=\mp\sqrt{\xi}$ pro $p\lessgtr 0$ přejdou totiž pravé strany (\ref{psi1xt}) a (\ref{psi2xt})
 
na součet integrálů tvaru $$ \int_{0}^{\infty}g_x(\xi)e^{-i(t-t_0)\xi/(2M\hbar)}{\rm d} \xi,$$
 
a o odpovídajících \fc ích $g_x(\xi)$ se dá ukázat, že pro $x>-a$, resp. $x<a$ leží v $L_1(\real)$,
 
tj. splňují předpoklad Riemann-Lebesgueovy věty.
 
Znamená to, že pro $t\lim\infty$ je \fc e $\psi$ nenulová pouze pro $|x|>a $.
 
  
\special{src: 121 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}.
 +
\ec
  
Veličiny, které nás z hlediska rozptylu zajímají především a které jsou experimentálně měřitelné, jsou tzv. koeficienty odrazu a průniku potenciálem
+
\bc
\be  R:=lim_{t \-> \infty}\frac{\int^{-a}_{-\infty}|\psi(x,t)|^2dx} {||\psi(t)||^2},\ \
+
  Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální
P:=lim_{t \-> \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi(x,t)|^2dx} {||\psi(t)||^2},
+
  vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vex_0$.
\ll{koefop} \ee
+
\ec
udávající pravděpodobnosti, že za dost dlouhou dobu bude částice nalezena v oblasti "před potenciálem" (odrazí se) či "za potenciálem" (projde).
+
\bc
Vzhledem k tomu, že pro $t\lim\infty$ amplituda vlnové \fc e v oblasti potenciálu vymizí platí
+
  Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti
\be P+R=1.\ee
+
  (elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s).
Ukážeme, že k výpočtu těchto koeficientů nebude nakonec zapotřebí řešit pohybovou \sv u \rc i, nýbrž pouze její bezčasovou variantu určující stacionární stavy.
+
\ec
 +
\bc
 +
  Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\phi_{\alpha}$ \rf{kohstav}.
 +
\ec
  
\special{src: 132 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Pro $t\gg t_0$ je funkce $\psi$ superposicí dvou vlnových balíků pohybujících se přibližně rychlostmi $\pm\frac{p_0}{M}$. Z \rf{psi1xt}) a \rf{psi2xt})
 
\be \psi(x,t)=\psi_1(x,t)=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[-px-\frac{p^2}{2M}(t-t_0)]}A(\frac{p}{\hbar})\ {\rm pro}\ x<-a ,\ll{psixtvlevo} \ee
 
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_2(x,t)=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[px-\frac{p^2}{2M}t(t-t_0)]}B(\frac{p}{\hbar})\ {\rm pro}\ x>a .\ll{psixtvpravo} \ee
 
  
\special{src: 138 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
 +
  \be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\varphi}\sin\theta+\cos\theta )g(r)\ee
 +
  Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?
 +
\ec
  
Všimněme si, že koeficienty $A(k),\ B(k)$ dané původně integrálními formulemi můžeme též určit řešením bezčasové \sv y \rc e \rf{bcsr1dim}) s okrajovými podmínkami \rf{phivlevo}) a \rf{phivpravo}). Nalezneme-li tedy řešení \rc e \rf{bcsr1dim}) splňující tyto okrajové podmínky, pak koeficienty odrazu a průchodu potenciálem jsou dány vzorci \rf{koefop}), \rf{psixtvpravo}) a \rf{psixtvlevo}).
+
\section{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}
 +
\ll{relneu}
 +
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}.
 +
Ta je definována vztahem
 +
\be
 +
\left(\triangle_{\psi}A\right) := \sqrt{\mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}}, \ll{deltaapsi}  
 +
\ee
 +
který je snadné přepsat do tvaru
 +
\be
 +
\left(\triangle_{\psi}A\right) = \sqrt{\mean{\hat A^2}{\psi} - \mean{\hat A}{\psi}^2}. \ll{dlt2} \ee
  
\special{src: 142 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.
 +
\ec
  
Pro dopadající vlnové balíky s malou disperzí, tj. takové, že \fc e $F(p)$ je soustředěna v malém okolí $p_0$, kde \fc e  $A(\frac{p}{\hbar}),B(\frac{p}{\hbar})$ lze nahradit jejich hodnotou v $\frac{p_0}{\hbar}$, dostaneme zvláště jednoduché vyjádření koeficientů odrazu a průniku.
+
Střední kvadratická odchylka indikuje, jak dobře je ve stavu $\psi$ hodnota pozorovatelné $A$ určena. Pokud $\psi$ je vlastním vektorem operátoru $\hat A$, pak $\left(\triangle_{\psi}A\right)=0$. Hodnota pozorovatelné $A$ je tedy ve vlastním stavu určena s absolutní přesností. Na druhou stranu, čím větší je $\left(\triangle_{\psi}A\right)$, tím větší je neurčitost hodnoty $A$.  
\[ P=|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\,lim_{t \-> \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi_0(x,t)|^2dx} {||\psi(t)||^2}=\ \]
+
\be=|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\,lim_{t \-> \infty}\frac{\int_{-\infty}^\infty|\psi_0(x,t)|^2dx} {||\psi(t_0)||^2}
+
%|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\frac{||\psi_0(t_0)||^2dx} {||\psi(t_0)||^2}
+
=|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2,\ll{pkoef}\ee
+
kde jsme použili nezávislost normy stavu na čase a vymizení \fc e $\psi_0$ pro $t\lim\infty,\ x<a$. Podobně
+
\be R=|A(\frac{p_0}{\hbar})|^2,\ll{rkoef}\ee
+
kde $p_0$ je hybnost dopadající částice.
+
\subsection{Tunelový jev pro pravoúhlou bariéru}
+
Jako ilustraci použití předchozího postupu předvedeme výpočet koeficientů odrazu a průchodu potenciálem
+
\be V(x)=0,\ \ {\rm pro}\ |x|>a,\ V(x)=V_0,\ \ {\rm pro}\ |x|<a. \ll{prabar}\ee
+
Jako první krok je třeba řešit bezčasovou \sv u \rc i \rf{bcsr1dim}) s okrajovými podmínkami.
+
  
\special{src: 157 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Hodnota pozorovatelné se spojitým spektrem není v žádném stavu kvantové částice určena s absolutní přesností, protože bodům ze spojitého spektra odpovídají pouze zobecněné vlastní vektory, které nepopisují fyzikálně realizovatelný stav. Zobecněné vlastní vektory však můžeme vždy libovolně přesně aproximovat pomocí vektorů z Hilbertova prostoru. Kvantová mechanika tedy nijak neomezuje přesnost, s jakou může být daná pozorovatelná určena, viz. tvrzení 16.1.5 v \cite{beh:lokf}. Zdůrazněme, že zde nemluvíme o experimentálně dosažitelné přesnosti.
  
Ze tvaru potenciálu a podmínek \rf{phivlevo}), \rf{phivpravo})
+
\bc
ihned plyne, že
+
Uvažujte částici na přímce ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\delta_{a,\varepsilon}(x)$ (\ref{aprox:x}). Ukažte, že platí
\[ \Phi_k(x) =e^{ikx} +A(k)e^{-ikx} \ {\rm pro}\ x<-a, \]
+
$$
\be \Phi_k(x) = C(k)e^{ik'x} +D(k)e^{-ik'x} \ {\rm pro}\ -a<x<a, \ee
+
\mean{\hat Q}{\delta_{a,\varepsilon}} = a,\quad \left(\triangle_{\delta_{a,\varepsilon}}Q\right) = \frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}.
\[ \Phi_k(x) = B(k)e^{ikx} \ {\rm pro}\ a<x, \]
+
$$
kde
+
\ec
\be k^2=\frac{2ME}{\hbar^2},\ k'^2=\frac{2M(E-V_0)}{\hbar^2}\ee
+
a $E$ je energie nalétávající \cc e $E>0,\ E>V_0$.
+
  
\special{src: 168 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
Uvažujte částici na přímce ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\phi_{p,\varepsilon}(x)$ (\ref{aprox:p}). Ukažte, že platí
 +
$$
 +
\mean{\hat P}{\phi_{p,\varepsilon}} = p,\quad \left(\triangle_{\phi_{p,\varepsilon}}P\right) = \frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}.
 +
$$
 +
\ec
  
Z podmínek spojitosti vlnové \fc e a její derivace v bodech $\pm a$ dostaneme soustavu čtyř lineárních nehomogenních rovnic pro koeficienty $A,B,C,D$. Vyloučením $C$ a $D$ dostaneme
+
V principu tedy můžeme kvantovou částici připravit ve stavu, kde je její poloha určena s libovolně malou nepřesností $\Delta x$. Podobně ji můžeme připravit v jiném stavu s libovolně malou neurčitostí hybnosti $\Delta p$. Otázka ale je, zda můžeme určit {\bf současně} polohu a hybnost částice libovolně přesně. Z relací neurčitosti vyplývá, že to obecně možné není.
\be B(k)=e^{2ik'a}\left[e^{-2ika}+\frac{k'-k}{k'+k}A(k)\right],\ee
+
\be A(k)=e^{-2ika}V_0 [2E-V_0+2i\sqrt{E(E-V_0)}\cot(2k'a)]^{-1}.\ee
+
Dosazením do vzorců \rf{rkoef}),\rf{pkoef}) pak dostaneme koeficienty odrazu a průchodu pravo\'uhlou bariérou \rf{prabar}) pro \cc i s energií $E>0,\ E>V_0$
+
\be R=\left[1+\frac{4E(E-V_0)}{V_0^2\sin^2(2k'a)}\right]^{-1}, \ll{rprabar}\ee
+
\be P=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(2k'a)}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}. \ll{pprabar}\ee
+
Tyto vzorce poskytují zajímavé srovnání s chováním klasické \cc e v témže potenciálu. Ta, pro $E>V_0$, bariérou vždy projde zatímco pro $E<V_0$ se vždy odrazí. Kvantová \cc e naopak projde s pravděpodobností 1 pouze pro $2k'a=\pi n$, neboli pro
+
tzv. {\em resonanční energie}
+
\be E_n=V_0+\frac{\hbar^2\pi^2}{8Ma^2}n^2,\ n\in \integer\setminus\{0\}.\ee
+
(Porovnejte tyto energie s vlastními hodnotami energie v "nekonečné potenciálové jámě" ze cvičení \ref{nekpoja}.) Mimo to se lze snadno přesvědčit, že uvedený postup nezávisí na znaménku $V_0$,
+
%nepředpokládali, že $V_0>0$  plyne z \rf{rprabar}), \rf{rprabar}),
+
takže dochází k odrazu dokonce i na potencálové jámě. Na druhé straně pro $E\gg V_0$ $P\approx 1$, takže tyto \qv é jevy přecházejí v klasické chování.
+
  
Pro energie \cc e které jsou menší než "výška bariéry" $0<E<V_0$ je $k'^2<0$ a ve  formulích \rf{rprabar}) a \rf{pprabar}) je třeba zaměnit $\sin (2k'a)$  na $i\sinh|2k'a|$, takže např.
 
\be P=\left[1-\frac{V_0^2\sinh^2|2k'a|}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}, \ll {pprabar2}\ee
 
což pro $|2k'a|\gg 1$ (mohutné potenciálové bariéry) přejde na
 
\be P\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-\sqrt{2M(V_0-E)}\frac{4a}{\hbar}}, \ee
 
takže pravděpodobnost průchodu bariérou klesá exponencielně s její šířkou, nicméně je nenulová. Tomuto  experimentálně pozorovanému faktu se říká tunelový jev.
 
\bc Spočítejte koeficienty odrazu a průchodu pro $E=V_0>0$ a porovnejte je s \rf{pprabar}) a\rf{pprabar2})
 
\ec
 
\subsection{Prostorový rozptyl}
 
Rozptyl \cc{} v 3--rozměrném prostoru se řeší analogicky, tedy analýzou časového vývoje počátečního stavu
 
\be \psi_{in}(\vex)=\psi(\vex,t_0)=\int_{\real^3}F(\vec p)e^{i\vec p\vex/\hbar}d^3p, \ee
 
representující vlnový balík soustředěný v oblasti, ve které je potenciál nulový a pohybující se grupovou rychlostí $\vec p_0/M$.
 
  
\special{src: 192 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bt
 +
\ll{tvrelneu}
 +
Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$
 +
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí
 +
\be  \left(\triangle_{\psi}A\right)\left(\triangle_{\psi}B\right)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|
 +
\ll{dadb}\ee
  
Časový vývoj vlnové \fc e opět popíšeme pomocí stacionárních stavů,
+
Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které
$\Phi_{\vec p/\hbar}$, přesněji
+
platí
řešeními  Lippmann--Schwingerovy \rc e v $\real^3$ %tvaru
+
\be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\vex}+\int_{\real^3}G_{\vec k}(\vex-\vex')U(\vex')\Phi_{\vec k}(\vex')d^3x',
+
kde $\kappa\in\R$.
\ll{lipsch}\ee
+
\et
kde nyní
+
 
\be G_{\vec k}(\vex)=-\frac{e^{i|\vec k||\vex|}}{4\pi|\vec x|}\ll{gfce3}\ee
+
Pro operátory polohy a hybnosti platí komutační relace
je Greenova \fc e 3--rozměrné bezčasové \sv y  \rc e pro volnou částici
+
\be  
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle =E\Phi,\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr} \ee
+
[\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk},
splňující
+
\ll{comxp}  
\be (\triangle + \vec k^2)G_{\vec k}(\vex)=\delta(\vex).
+
 
\ee
 
\ee
Dosadíme-li \rf{gfce3}) do \rf{lipsch}), kde $U$ odpovídá potenciálu s konečným dosahem, tj. $U(\vex)=\frac{2M}{\hbar^2}V(\vex)=0$ pro $|\vex|>R$,
+
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(Q_jP_k)\cap D(P_kQ_j)$ platí {\bf Heisenbergovy relace neurčitosti}
%lze ukázat, (viz \cite{for:ukt} kap 4.2.1) že
+
\be
pak pro $|\vex|\gg R$
+
  \fbox{{\LARGE$\left(\triangle_{\psi}Q_j\right)\left(\triangle_{\psi}P_k\right) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\vex}+f(\vec \xi,\vec k)\frac{e^{i|\vec k||\vex| }}{|\vex|}, \ee
+
  \ll{dxdp2}
kde $\vec \xi=\frac{\vex}{|\vex|}|\vec k|$ a
+
\ee
\be f(\vec \xi,\vec k):=\frac{-1}{4\pi}\int_{\real^3}e^{-i\vec \xi\vex '} U(\vex ')\Phi_{\vec k}(\vex ') d^3x'.\ee
+
 
 +
\bc
 +
  \ll{dpx}
 +
  Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}.  
 +
  Ukažte, že pro $A>0$ platí
 +
  \be
 +
  \left(\triangle_{\psi}Q_{\underline k}\right)\left(\triangle_{\psi}P_{\underline k}\right) = \frac{\hbar}{2}. \ll{dxdp}  
 +
  \ee
 +
\ec
 +
 
 +
\bc
 +
  Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat Q_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními
 +
  jsou funkce %(\rf{mvb})
 +
  \[ g(\vex) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\cdot\vex \right\}, \qquad A>0, \]
 +
  které jsme nazvali minimální vlnové balíky.
 +
\ec
 +
 
 +
Relace neurčitosti dávají omezení na stavy kvantové částice v důsledku existence nekompatibilních pozorovatelných. Pro kompatibilní pozorovatelné je nerovnost triviální, protože střední kvadratické odchylky jsou vždy nezáporné. Pro nekompatibilní pozorovatelné relace neurčitosti představují netriviální spodní mez na součin středních kvadratických odchylek ve stavu $\psi$. Neexistuje tedy stav, ve kterém jsou obě nekompatibilní pozorovatelné současně určeny libovolně přesně.
 +
 
 +
Z Heisenbergových relací neurčitosti plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou
 +
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu
 +
\[ \triangle x\triangle p_x\triangle y\triangle p_y\triangle z\triangle p_z \geq \frac{\hbar^3}{8}. \]
 +
 
 +
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg,
 +
jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou
 +
menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost.
  
\special{src: 213 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než
 +
lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné
 +
s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.
  
Z Lippmann--Schwingerovy \rc e plyne, že časový vývoj vlnové \fc e
+
\section{Kvantová mechanika ve fázovém prostoru}
\be \psi(\vex,t)=\int_{\real^3}F(\vec p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}
+
\Phi_{\vec p/\hbar}(\vex)d^3p\ll{psixt3} \ee
+
lze zapsat jako součet (analogický \rf{psi123}))
+
\be \psi(\vex,t)=\psi_0(\vex,t)+\psi_R(\vex,t),\ee
+
kde první člen představuje volně se pohybující vlnový balík
+
zatímco druhý představuje rozptýlenou vlnu, která pro $t\gg t_0$
+
exponencielně klesá k nule všude kromě tenké kulové slupky rozbíhající se z centra konstantní rychlostí.
+
  
\special{src: 224 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Na závěr této kapitole poznamenejme, že je možné popisovat kvantovou mechaniku pomocí funkcí na fázovém prostoru (tzv. kvazidistribucí). Dají se využít např. pro hledání klasické limity kvantové mechaniky a přechodu ke klasické statistické fyzice.  
  
Fyzikálně důležitá veličina pro prostorový rozptyl je {\bf diferenciální \'učinný průřez} $\frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\varphi)$ definovaný jako počet částic, které se rozptýlí za jednotku času do jednotkového prostorového \'uhlu okolo $(\theta,\varphi)$ při jednotkové intenzitě dopadajících částic. V kvantové mechanice je tato veličina dána  \pst í nalezení částice v oblasti prostoru vymezené prostorovým úhlem $d\Omega$. Z Bornova interpretačního postulátu pak plyne, že
+
Pro jednoduchost se opět omezíme na částici na přímce, tj. fázový prostor je $\R^2$. Jednu z možných kvazidistribucí popisující stav kvantové částice ve fázovém prostoru představuje Wignerova funkce. Ta je pro vlnovou funkci $\psi(x)\in L^2(\R,dx)$ definována předpisem
\be {d\sigma}={d\Omega}\,lim_{t\lim\infty}\int_0^\infty |\psi(r,\theta,\varphi,t)|^2r^2dr. ||\psi (t)||^{-2}\ee
+
$$
Podobnými \'uvahami jako v podkapitole \ref{rnap} lze ukázat, že
+
W_\psi(x,p) = \frac{1}{\hbar\pi}\int\limits_{\R} e^{\frac{2i}{\hbar}py}\psi^*(x+y)\psi(x-y)dy.
\be {\Large \fbox{$ \frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\varphi)=|f(\frac{\vec p_{out}}{\hbar},\frac{\vec p_{in}}{\hbar})|^2 $}}\ ,\ee
+
$$
kde $(\theta,\varphi)$ jsou sférické souřadnice vektoru $\vec p_{out}$ v soustavě kde vektor $\vec p_{in}$ směřuje ve směru $z$. (Analogií tohoto vzorce v jednorozměrném případě jsou \rf{rkoef}), \rf{pkoef})).
+
Jedná se o reálnou funkci na fázovém prostoru, která má řadu zajímavých vlastností, např. vede na správná marginální rozdělení polohy a hybnosti
 +
$$
 +
\int\limits_{\R} W_\psi(x,p)dp = |\psi(x)|^2,\quad \int\limits_{\R} W_\psi(x,p)dx = |\tilde\psi(p)|^2.
 +
$$
 +
Mohli bychom ji tedy považovat za hustotu pravděpodobnosti na fázovém prostoru a použít k porovnání kvantové mechaniky s klasickou statistickou fyzikou. Obecně tak postupovat nelze, protože Wignerova funkce může nabývat záporných hodnot (odtud označení kvazidistribuce). Pro některé třídy stavů to však možné je, např. pro koherentní stavy LHO (\ref{kohstav}) snadno najdeme, že jejich Wignerova funkce je rovna
 +
$$
 +
W_\alpha(x,p) = \frac{1}{\hbar\pi} \exp{\left(-(\kappa x-\sqrt{2}{\rm Re}(\alpha))^2 - (\frac{p}{\hbar\kappa} - \sqrt{2}{\rm Im}(\alpha)^2\right)},
 +
$$
 +
kde $\kappa = \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$. Wignerova funkce koherentního stavu má tvar Gaussova rozdělení se středními hodnotami
 +
$$
 +
\langle x\rangle = \frac{\sqrt{2}}{\kappa} {\rm Re}(\alpha),\quad \langle p\rangle = \sqrt{2}\hbar\kappa {\rm Im}(\alpha),
 +
$$
 +
a středními kvadratickými odchylkami
 +
$$
 +
\Delta x = \frac{1}{\sqrt{2}\kappa},\quad \Delta p = \frac{\hbar\kappa}{\sqrt{2}}.
 +
$$
 +
Odtud je vidět, že koherentní stavy minimalizují relace neurčitosti. Popis koherentních stavů ve fázovém prostoru můžeme dále zjednodušit přechodem k bezrozměrným proměnným
 +
$$
 +
\xi = \kappa x,\quad \rho = \frac{p}{\hbar\kappa},
 +
$$
 +
ve kterých má Wignerova funkce symetrický tvar
 +
$$
 +
W_\alpha(\xi,\rho) = \frac{1}{\pi} \exp\left(-(\xi-\sqrt{2}{\rm Re}(\alpha))^2 - (\rho - \sqrt{2}{\rm Im}(\alpha)^2\right).
 +
$$
 +
Gaussovo rozdělení je jednoznačně určeno střední hodnotou a střední kvadratickou odchylkou, navíc s rostoucí vzdáleností od střední hodnoty velmi rychle klesá k nule. Koherentní stavy ve fázovém prostoru se pak velmi často zobrazují jako kruh se středem v bodě $(\langle \xi\rangle = \sqrt{2}{\rm Re}(\alpha),\langle \rho\rangle = \sqrt{2}{\rm Im}(\alpha))$ a poloměrem $\Delta\xi = \Delta \rho = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:59

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Předpovědi výsledků měření}
\ll{Vysledkymereni}
 
V této kapitole detailně probereme, jakým způsobem kvantová mechanika předpovídá výsledky měření fyzikálních veličin na částici, která je ve stavu popsaném vektorem $\psi$. V postulátu \ref{post:poz} jsme řekli, že možné výsledky měření dané pozorovatelné patří tvoří spektrum příslušného operátoru. Z diskuse v kapitole \ref{kap:priprava} víme, že předpovědi mají až na vyjímky pravděpodobnostní charakter - můžeme určit pouze pravděpodobnost daného výsledku měření, ale ne přesný výsledek jednoho měření. 
 
\section{Pravděpodobnosti výsledků měření}
 
V postulátu \ref{proj:post} jsme uvedli, že pravděpodobnost naměření hodnoty $a_j$ pozorovatelné $A$ na částici ve stavu popsaném normovaným vektorem $\psi$, je dána vztahem
\begin{equation}
\label{pravd:1}
P_{\psi,(A=a_j)} = \|\hat P_j \psi|\|^2,
\end{equation}
kde $\hat P_j$ je projektor na podprostor odpovídající vlastní hodnotě $a_j$. 
 
\subsection{Operátor s prostým  čistě bodovým spektrem}
 
Pokud příslušný operátor $\hat A$ má prosté čistě bodové spektrum (tj. všechna vlastní čísla mají násobnost jedna), pak projektory můžeme zapsat (s použitím bra-ketového formalismu) ve tvaru
$$
\hat P_j = \ketbra{j}{j},
$$
kde kety $\ket{j}$ jsou normované vlastní vektory $\hat A$
$$
\hat A\ket{j} = a_j \ket{j}.
$$
Vztah (\ref{pravd:1}) se pak zjednoduší do tvaru
\be
\label{pst:1}
\fbox{\LARGE $P_{\psi,(A=a_j)} = |\braket{j}{\psi}|^2$} \ .
\ee
Ukažme, že takto zavedené předpovědi výsledků měření jsou v souladu s teorií pravděpodobnosti. Využijeme toho, že kety $\ket{j}$ tvoří ortonormální bázi $\Hil$
$$
\braket{i}{j} = \delta_{i,j},\quad \sum_{j=0}^\infty \ketbra{j}{j} = \hat I.
$$
Vektor $\ket{\psi}$ můžeme rozložit do báze vlastních vektorů $\hat A$ způsobem
$$
\ket{\psi} = \sum\limits_{j=0}^\infty \braket{j}{\psi}\ket{j}.
$$
Z Parsevalovi rovnosti pak plyne
$$
\braket{\psi}{\psi} = 1 = \sum\limits_{j=0}^\infty |\braket{j}{\psi}|^2,
$$
tedy $|\braket{j}{\psi}|^2$ jsou nezáporná reálná čísla, jejichž součet je jedna, a můžeme je interpretovat jako pravděpodobnosti nějakého jevu. Protože ve stavu $\ket{j}$ má pozorovatelná $A$ jednoznačně určenou hodnotu $a_j$, má smysl postulovat, že $|\braket{j}{\psi}|^2$ je pravděpodobnost naměření hodnoty $a_j$ na částici ve stavu $\ket{\psi}$.
 
\bc
  Nechť je lineární harmonický oscilátor ve stavu popsaném vlnovou \fc í
  \be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee
  S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie oscilátoru rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?
\ec
 
Připomeňme, že podle postulátu \ref{proj:post} je stav částice po měření $A$ s výsledkem $a_j$ popsán vlastním vektorem $\ket{j}$. Výraz $|\braket{j}{\psi}|^2$ pak můžeme interpretovat jako pravděpodobnost přechodu ze stavu $\ket{\psi}$ do stavu $\ket{j}$. Obecněji v kvantové mechanice postulujeme, že pravděpodobnost přechodu ze stavu $\psi$ do stavu ${\phi}$, které jsou popsány normovanými vektory $\ket{\psi},\ket{\phi},$  je rovna 
\be
  \fbox{\LARGE $ P_{\psi\to\phi} = |\braket{\phi}{\psi}|^2$} \ .
  \ll{pstprech}
\ee
Skalární součin $\braket{\phi}{\psi}$ má význam amplitudy pravděpodobnosti přechodu $\psi\rightarrow\phi$.
 
\bc
Uvažujme lineární oscilátor s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ v koherentním stavu $\phi_\alpha$, $\alpha\in\C$. S jakou pravděpodobností ho najdeme v koherentním stavu $\phi_\beta$,  $\beta\in\C$?
\ec
 
\subsection{Operátor s vícenásobným bodovým spektrem}
 
Uvažujme nyní případ, kdy vlastní hodnota $a\equiv a_j$ pozorovatelné $A$ má konečnou degeneraci $n>1$. V příslušném podprostoru zvolíme nějakou ortonormální bázi tvořenou vektory $\ket{a,k}$
$$
\hat A \ket{a,k} = a\ket{a,k},\quad \braket{a,k}{a,l} = \delta_{k,l}.
$$
Ortogonální projektor $\hat P_a$ na vlastní podprostor pak můžeme zapsat ve tvaru
$$
\hat P_a = \sum_{k=1}^n = \ketbra{a,k}{a,k}.
$$
Vztah (\ref{pravd:1}) pro pravděpodobnost výsledku měření bude tedy mít následující tvar
\be
\fbox{\LARGE $ P_{\psi,(A=a)} = \sum\limits_{k=1}^n |\braket{a,k}{\psi}|^2$} \ .
  \ll{pstnamer}
\ee
V případě degenerované vlastní hodnoty musíme sečíst pravděpodobnosti přechodů ze stavu $\ket{\psi}$ do všech (jednoznačně odlišitelných) vlastních stavů $\ket{a,k}$. Snadno se lze přesvědčit, že výsledná pravděpodobnost nezávisí na konkrétní volbě báze $\{\ket{a,k}|k=1,\ldots, n\}$. 
 
\bc
  Nechť je isotropní harmonický oscilátor s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ ve stavu popsaném vlnovou \fc í
  \be \psi(\vec x) = C e^{-x^2 + i\vec k\cdot\vex}. \ll{cvic3}\ee
  S~jakou \pst í naměříme hodnotu energie oscilátoru rovnou $\frac{5}{2}\hbar\omega$?
\ec
 
Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření 
alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám. 
 
\subsection{Operátor se spojitým spektrem}
 
Na závěr této části uvažujme pozorovatelnou $A$ se spojitým spektrem. Jak jsme si ukázali v kapitole \ref{zobvlf}, bodům ze spojitého spektra lze přiřadit zobecněné vlastní vektory $\ket{a}$ normované k $\delta$-funkci
$$
\braketA{a}{\hat A}{\psi} = a\braket{a}{\psi},\quad \braket{a}{a'} = \delta(a-a').
$$
Kvantová mechanika postuluje, že výraz 
\be
\label{hust:pr}
\fbox{\LARGE $
w_\psi(a) = |\braket{a}{\psi}|^2 $}\ ,
\ee
představuje hustotu pravděpodobnosti naměření hodnoty $a$ na částici ve stavu $\ket{\psi}$. Pravděpodobnost, že výsledek měření pozorovatelné $\hat A$ padne do intervalu $(a_1,a_2)$, je pak určena vztahem
\be
  \fbox{\LARGE $P_{\psi,(A\in(a_1,a_2))} = \int\limits_{a_1}^{a_2}|\braket{a}{\psi}|^2\d a$}\ ,
  \ll{pstnamersp}
\ee
Pokud za pozorovatelnou $\hat A$ zvolíme polohu částice (pro jednoduchost uvažujme částici na přímce), pak (\ref{hust:pr}) přejde do tvaru
\be
\label{hust:x}
w_\psi(x) = |\braket{x}{\psi}|^2 = |\psi(x)|^2,
\ee
což odpovídá Bornově statistické interpretaci vlnové funkce $\psi(x)$ (tj. $x$-reprezentace stavu $\ket{\psi}$). Vztah (\ref{hust:pr}) je zobecněním Bornovy interpretace pro libovolné pozorovatelné se spojitým spektrem. Speciálně pro hybnost částice je hustota pravděpodobnosti rovna
$$
w_\psi(p) = |\braket{p}{\psi}|^2 = |\tilde\psi(p)|^2.
$$
Vlnová funkce v $p$-reprezentaci má tedy význam amplitudy pravděpodobnosti naměření hybnosti částice rovné $p$. Připomeňme, že funkce $\psi(x)$ a $\tilde\psi(p)$ jsou spojeny Fourierovou transformací, viz. (\ref{x:p:fourier}).
 
\bc
  Určete  pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete 
  hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$.
\ec
 
Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(a_1,a_2)$ existuje právě jedna zobecněná vlastní \fc e normalizovaná k $\delta$-funkci. Obecnější případ zde řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{} 
naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů
$$
  W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))} 
    = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int\limits_{-k_2}^{-k_1}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}
    + \int\limits_{k_1}^{k_2}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}\right],
$$
kde $k_i=\sqrt{\frac{2ME_i}{\hbar^2}}$, a $\phi_{klm}$ jsou zobecněné vlastní funkce (\ref{zobec:coulomb}) normované k k~$\delta$-funkci.
 
\section{Střední hodnoty pozorovatelných}
 
Pro kvantovou částici ve stavu $\psi$ známe díky vztahům (\ref{pst:1}), (\ref{pstnamer}) a (\ref{pstnamersp}) pravděpodobnosti výsledků měření libovolné pozorovatelné. Z pravděpodobnostních rozdělení pak můžeme určit střední hodnoty pozorovatelných podle vztahů známých z matematické statistiky. Pro pozorovatelnou $A$ s čistě bodovým spektrem platí
\be
\label{mean:disc}
\mean{\hat A}{\psi} = \sum_j a_j P_{\psi,(A=a)}.
\ee
Podobně, pro pozorovatelnou $A$ se spojitým spektrem je střední hodnota ve stavu $\psi$ rovna
\be
\label{mean:cont}
\mean{\hat A}{\psi} = \int\limits_{\sigma(\hat A)} a w_\psi(a) da .
\ee
Tyto vzorce můžeme převést do jednoho kompaktního vztahu, který se v kvantové mechanice často využívá. Odvodíme si ho na příkladu střední hodnoty polohy částice na přímce, pro kterou je hustota pravděpodobnosti dána Bornovým postulátem (\ref{hust:x}). Vztah (\ref{mean:cont}) pro střední hodnotu polohy přepíšeme do tvaru
\be
\mean{\hat Q}{\psi} = \int\limits_{\R} x w_\psi(x) dx = \int_{\R}\psi^*(x)x\psi(x)\dx = \int_{\R}\psi^*(x)[\hat Q\psi](x)\dx = (\psi,\hat Q\psi),
  \ll{psixpsi}
\ee
kde $\psi(x)$ je opět normovaná funkce. Není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými, a je proto přirozené 
očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Pro pozorovatelné s čistě bodovým spektrem to snadno ukážeme s použitím spektrálního rozkladu operátoru $\hat A$
$$
\hat A = \sum_{j} a_j\ketbra{j}{j}.
$$
Dosadíme-li vztah pro pravděpodobnost (\ref{pst:1}) do vzorce pro střední hodnotu (\ref{mean:disc}), pak postupně dostaneme
$$
\mean{\hat A}{\psi} = \sum_j a_j |\braket{j}{\psi}|^2 = \sum_j a_j \braket{\psi}{j}\braket{j}{\psi} = \bra{\psi}\left(\sum_j a_j \ketbra{j}{j}\right)\ket{\psi} = \braketA{\psi}{\hat A}{\psi}.
$$
Pro pozorovatelné se spojitým spektrem lze vztah odvodit analogicky s použitím spektrální míry operátoru $\hat A$.
Platí tedy, že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vektorem $\ket{\psi}$, pak střední hodnota měření 
pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$, je rovna}
\be
  \fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \braketA{\psi}{\hat A}{\psi}$}} \ .
  \ll{aavr}
\ee
Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních 
pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vektor $\ket{\alpha}$ je vlastní vektor 
$\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$.
 
 
\bc 
Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. 
\ec
 
\bc
  Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální 
  vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vex_0$.
\ec
\bc
  Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti 
  (elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s).
\ec
\bc
  Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\phi_{\alpha}$ \rf{kohstav}.
\ec
 
 
 
\bc
  Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
  \be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\varphi}\sin\theta+\cos\theta )g(r)\ee
  Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?
\ec
 
\section{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}
\ll{relneu}
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}. 
Ta je definována vztahem
\be 
\left(\triangle_{\psi}A\right) := \sqrt{\mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}}, \ll{deltaapsi} 
\ee
který je snadné přepsat do tvaru
\be 
\left(\triangle_{\psi}A\right) = \sqrt{\mean{\hat A^2}{\psi} - \mean{\hat A}{\psi}^2}. \ll{dlt2} \ee
 
\bc
  Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.
\ec
 
Střední kvadratická odchylka indikuje, jak dobře je ve stavu $\psi$ hodnota pozorovatelné $A$ určena. Pokud $\psi$ je vlastním vektorem operátoru $\hat A$, pak $\left(\triangle_{\psi}A\right)=0$. Hodnota pozorovatelné $A$ je tedy ve vlastním stavu určena s absolutní přesností. Na druhou stranu, čím větší je $\left(\triangle_{\psi}A\right)$, tím větší je neurčitost hodnoty $A$. 
 
Hodnota pozorovatelné se spojitým spektrem není v žádném stavu kvantové částice určena s absolutní přesností, protože bodům ze spojitého spektra odpovídají pouze zobecněné vlastní vektory, které nepopisují fyzikálně realizovatelný stav. Zobecněné vlastní vektory však můžeme vždy libovolně přesně aproximovat pomocí vektorů z Hilbertova prostoru. Kvantová mechanika tedy nijak neomezuje přesnost, s jakou může být daná pozorovatelná určena, viz. tvrzení 16.1.5 v \cite{beh:lokf}. Zdůrazněme, že zde nemluvíme o experimentálně dosažitelné přesnosti.
 
\bc
Uvažujte částici na přímce ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\delta_{a,\varepsilon}(x)$ (\ref{aprox:x}). Ukažte, že platí
$$
\mean{\hat Q}{\delta_{a,\varepsilon}} = a,\quad \left(\triangle_{\delta_{a,\varepsilon}}Q\right) = \frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}.
$$
\ec
 
\bc
Uvažujte částici na přímce ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\phi_{p,\varepsilon}(x)$ (\ref{aprox:p}). Ukažte, že platí
$$
\mean{\hat P}{\phi_{p,\varepsilon}} = p,\quad \left(\triangle_{\phi_{p,\varepsilon}}P\right) = \frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}.
$$
\ec
 
V principu tedy můžeme kvantovou částici připravit ve stavu, kde je její poloha určena s libovolně malou nepřesností $\Delta x$. Podobně ji můžeme připravit v jiném stavu s libovolně malou neurčitostí hybnosti $\Delta p$. Otázka ale je, zda můžeme určit {\bf současně} polohu a hybnost částice libovolně přesně. Z relací neurčitosti vyplývá, že to obecně možné není.
 
 
\bt 
\ll{tvrelneu}
Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí
\be  \left(\triangle_{\psi}A\right)\left(\triangle_{\psi}B\right)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|
\ll{dadb}\ee
 
Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které
platí
\be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee
kde $\kappa\in\R$.
\et
 
Pro operátory polohy a hybnosti platí komutační relace
\be 
[\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk},
\ll{comxp} 
\ee
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(Q_jP_k)\cap D(P_kQ_j)$ platí {\bf Heisenbergovy relace neurčitosti}
\be
  \fbox{{\LARGE$\left(\triangle_{\psi}Q_j\right)\left(\triangle_{\psi}P_k\right) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .
  \ll{dxdp2}
\ee
 
\bc
  \ll{dpx}
  Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}. 
  Ukažte, že pro $A>0$ platí
  \be
   \left(\triangle_{\psi}Q_{\underline k}\right)\left(\triangle_{\psi}P_{\underline k}\right) = \frac{\hbar}{2}. \ll{dxdp} 
   \ee
\ec
 
\bc
  Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat Q_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními 
  jsou funkce %(\rf{mvb})
  \[ g(\vex) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\cdot\vex \right\}, \qquad A>0, \]
  které jsme nazvali minimální vlnové balíky.
\ec
 
Relace neurčitosti dávají omezení na stavy kvantové částice v důsledku existence nekompatibilních pozorovatelných. Pro kompatibilní pozorovatelné je nerovnost triviální, protože střední kvadratické odchylky jsou vždy nezáporné. Pro nekompatibilní pozorovatelné relace neurčitosti představují netriviální spodní mez na součin středních kvadratických odchylek ve stavu $\psi$. Neexistuje tedy stav, ve kterém jsou obě nekompatibilní pozorovatelné současně určeny libovolně přesně.
 
Z Heisenbergových relací neurčitosti plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou 
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu
\[ \triangle x\triangle p_x\triangle y\triangle p_y\triangle z\triangle p_z \geq \frac{\hbar^3}{8}. \]
 
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg, 
jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou 
menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost.
 
V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než 
lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné 
s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.
 
\section{Kvantová mechanika ve fázovém prostoru}
 
Na závěr této kapitole poznamenejme, že je možné popisovat kvantovou mechaniku pomocí funkcí na fázovém prostoru (tzv. kvazidistribucí). Dají se využít např. pro hledání klasické limity kvantové mechaniky a přechodu ke klasické statistické fyzice. 
 
Pro jednoduchost se opět omezíme na částici na přímce, tj. fázový prostor je $\R^2$. Jednu z možných kvazidistribucí popisující stav kvantové částice ve fázovém prostoru představuje Wignerova funkce. Ta je pro vlnovou funkci $\psi(x)\in L^2(\R,dx)$ definována předpisem
$$
W_\psi(x,p) = \frac{1}{\hbar\pi}\int\limits_{\R} e^{\frac{2i}{\hbar}py}\psi^*(x+y)\psi(x-y)dy.
$$
Jedná se o reálnou funkci na fázovém prostoru, která má řadu zajímavých vlastností, např. vede na správná marginální rozdělení polohy a hybnosti 
$$
\int\limits_{\R} W_\psi(x,p)dp = |\psi(x)|^2,\quad \int\limits_{\R} W_\psi(x,p)dx = |\tilde\psi(p)|^2.
$$
Mohli bychom ji tedy považovat za hustotu pravděpodobnosti na fázovém prostoru a použít k porovnání kvantové mechaniky s klasickou statistickou fyzikou. Obecně tak postupovat nelze, protože Wignerova funkce může nabývat záporných hodnot (odtud označení kvazidistribuce). Pro některé třídy stavů to však možné je, např. pro koherentní stavy LHO (\ref{kohstav}) snadno najdeme, že jejich Wignerova funkce je rovna
$$
W_\alpha(x,p) = \frac{1}{\hbar\pi} \exp{\left(-(\kappa x-\sqrt{2}{\rm Re}(\alpha))^2 - (\frac{p}{\hbar\kappa} - \sqrt{2}{\rm Im}(\alpha)^2\right)},
$$
kde $\kappa = \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$. Wignerova funkce koherentního stavu má tvar Gaussova rozdělení se středními hodnotami
$$
\langle x\rangle = \frac{\sqrt{2}}{\kappa} {\rm Re}(\alpha),\quad \langle p\rangle = \sqrt{2}\hbar\kappa {\rm Im}(\alpha),
$$
a středními kvadratickými odchylkami
$$
\Delta x = \frac{1}{\sqrt{2}\kappa},\quad \Delta p = \frac{\hbar\kappa}{\sqrt{2}}.
$$
Odtud je vidět, že koherentní stavy minimalizují relace neurčitosti. Popis koherentních stavů ve fázovém prostoru můžeme dále zjednodušit přechodem k bezrozměrným proměnným 
$$
\xi = \kappa x,\quad \rho = \frac{p}{\hbar\kappa},
$$
ve kterých má Wignerova funkce symetrický tvar
$$
W_\alpha(\xi,\rho) = \frac{1}{\pi} \exp\left(-(\xi-\sqrt{2}{\rm Re}(\alpha))^2 - (\rho - \sqrt{2}{\rm Im}(\alpha)^2\right).
$$
Gaussovo rozdělení je jednoznačně určeno střední hodnotou a střední kvadratickou odchylkou, navíc s rostoucí vzdáleností od střední hodnoty velmi rychle klesá k nule. Koherentní stavy ve fázovém prostoru se pak velmi často zobrazují jako kruh se středem v bodě $(\langle \xi\rangle = \sqrt{2}{\rm Re}(\alpha),\langle \rho\rangle = \sqrt{2}{\rm Im}(\alpha))$ a poloměrem $\Delta\xi = \Delta \rho = \frac{1}{\sqrt{2}}$.