Aktuální verze z 18. 9. 2018, 14:59

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Bra-ketový formalismus a posunovací operátory}
\label{kets:ladders}
 
 
\section{Bra-ketový formalismus}
\label{kets}
 
V kvantové mechanice často nepotřebujeme znát explicitní tvar vlnové funkce $\psi(x)$ popisující stav částice. Stačí vědět, že stav je vlastní vektor nějakých pozorovatelných (resp. superpozice vlastních vektorů) a znát příslušná kvantová čísla. Vhodný způsob pro takový popis stavu kvantové částice představuje Diracův bra-ketový formalismus, se kterým se nyní seznámíme.
 
Uvažujme abstraktní Hilbertův prostor $\mathcal H$. Vektory z $\mathcal H$ budeme značit pomocí tzv. ketů - $\ket{\psi}$. Skalární součin dvou vektorů $\ket{\psi}$ a $\ket{\varphi}$ zapíšeme ve tvaru $\braket{\psi}{\varphi}$. Prvky duálního prostoru $\Hil^*$ (spojité lineární funkcionály) označíme jako tzv. bra - $\bra{\psi}$. Díky Rieszově lemmatu je každý bra $\bra{\psi}$ jednoznačně spojený s ketem $\ket{\psi}$ pomocí skalárního součinu (skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$)
$$
\bra{\psi}\left(\frac{}{}\ket{\phi}\right) = \braket{\psi}{\phi},\  \forall \ket{\phi}\in\Hil.
$$
 
\noindent \bp
Uvažujme $\Hil = \C^2$ se standardním skalárním součinem. Označme vektory standardní báze pomocí ketů
$$
\ket{1} = \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix},\quad \ket{2} = \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix} .
$$
Příslušné bra dostaneme jejich hermitovským sdružením
$$
\bra{1} = \ket{1}^\dagger = \begin{pmatrix}
1,0
\end{pmatrix},\quad \bra{2} = \ket{2}^\dagger =  \begin{pmatrix}
0,1
\end{pmatrix} .
$$
Kety $\ket{1}$ a $\ket{2}$ jsou ortonormální, tj. platí
$$
\braket{1}{1} = 1,\quad \braket{1}{2} = 0, \quad  \braket{2}{2} = 1.
$$
Pomocí braketového formalismu můžeme snadno zapsat i operátory. Platí totiž následující vztahy
$$
\ketbra{1}{1} = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix},\quad \ketbra{1}{2} = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix},\quad 
\ketbra{2}{1} = \begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad 
\ketbra{2}{2} = \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix},
$$
Speciálně operátor $\ketbra{i}{i}$ je ortogonální projektor na podprostor určený ketem $\ket{i}$. Libovolný operátor $\hat{A}$ v $ \C^2$ pak můžeme zapsat ve tvaru
$$
\hat{A} = A_{1,1} \ketbra{1}{1} + A_{1,2}\ketbra{1}{2} + A_{2,1}\ketbra{2}{1} + A_{2,2}\ketbra{2}{2}.
$$
Čísla $A_{i,j}$ jsou koeficienty matice operátoru $\hat{A}$ ve standardní bázi. 
\ep
 
\noindent \bp
Uvažujme nyní Hilbertův prostor $\Hil$ dimenze $n$, $\hat{A}$ bude hermitovský operátor s prostým spektrem. Označme jeho vlastní vektory pomocí ketů $\ket{i}$, ty splňují vztahy
$$
\hat{A} \ket{i} = a_i\ket{i},
$$
kde $a_i$ jsou příslušná vlastní čísla. Množina vektorů $\{\ket{1},\ldots, \ket{n}\}$ tvoří ortonormální bázi $\Hil$, což můžeme zapsat pomocí relací ortogonality 
$$
\braket{i}{j} = \delta_{ij},
$$
a relací úplnosti (resp. rozkladu jednotky)
$$
\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i} = \hat{I}.
$$
Z těchto vztahů pak snadno plyne Fourierův rozvoj do ortonormální báze
$$
\ket{\psi} = \hat{I}\ket{\psi} = \left(\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i}\right)\ket{\psi} = \sum_{i=1}^n \braket{i}{\psi}\ket{i},\quad \forall \ket{\psi}\in\Hil,
$$
a Parsevalova rovnost
$$
||\psi||^2 = \braket{\psi}{\psi} = \braketA{\psi}{\left(\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i}\right)}{\psi} = \sum_{i=1}^n \braket{\psi}{i}\braket{i}{\psi} = \sum_{i=1}^n |\braket{i}{\psi}|^2.
$$
Pro operátor $\hat{A}$ pak platí spektrální rozklad
\be
\hat{A} = \sum_{i=1}^n a_i\ketbra{i}{i}.
\label{srA}
\ee
Jak známo z lineární algebry, matice operátoru v bázi jeho vlastních vektorů je diagonální a na diagonále jsou vlastní čísla. Jiný operátor $\hat{B}$, který s $\hat{A}$ nekomutuje, už diagonální nebude
$$
\hat{B} = \hat{I}\hat{B}\hat{I} = \left(\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i}\right) \hat{B} \left(\sum_{j=1}^n \ketbra{j}{j}\right) = \sum_{i,j=1}^n \braketA{i}{\hat{B}}{j}\ketbra{i}{j}.
$$
Čísla $\braketA{i}{\hat{B}}{j}$ jsou maticové elementy operátoru $\hat{B}$ v bázi ketů $\{\ket{1},\ldots, \ket{n}\}$. Poznamenejme, že libovolnou funkci $f$ operátoru $\hat A$ můžeme pomocí spektrálního rozkladu (\ref{srA}) zapsat ve tvaru
$$
f(\hat A) = \sum_{i=1}^n f(a_i)\ketbra{i}{i}.
$$
\ep
 
V kvantové mechanice typicky pracujeme se separabilními Hilbertovými prostory se spočetnou ortonormální bází. Vztahy známé z lineární algebry jako rozklad jednotky, Fourierův rozvoj, Parsevalova rovnost nebo spektrální rozklad operátoru (s čistě bodovým spektrem) v nich platí podobně, jen je třeba konečné sumy nahradit nekonečnými řadami. Vyvstává pak otázka jejich konvergence, která je ale zaručena úplností Hilbertova prostoru.
 
 
Uvažujme nyní kvantový lineární oscilátor. Označme vlastní vektory hamiltoniánu pomocí ketů $\ket{n}$, pro které platí
\be 
\ll{ket:LHO}
\hat H\ket{n} = E_n\ket{n},\quad E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad n\in\Z_+ .
\ee
Množina vlastních vektorů $\left\{\ket{n},n\in\Z_+\right\}$ tvoří ortonormální bázi Hilbertova prostoru, což můžeme zapsat pomocí relací ortogonality a relací úplnosti
$$
\braket{n}{m} = \delta_{n,m},\quad \sum_{n=0}^\infty \ketbra{n}{n} = \hat{I}.
$$
Vztah mezi abstraktním ketem $\ket{n}$ a funkcí $\psi_n$ popíšeme v následující části.
 
Analogicky jako na konečné dimenzi platí Fourierův rozvoj a Parsevalova rovnost
$$
\ket{\psi} = \sum_{n=0}^\infty \braket{n}{\psi}\ket{n},\quad \braket{\psi}{\psi} = \sum_{n=0}^\infty |\braket{\psi}{n}|^2,\quad \forall\ket{\psi}\in\Hil .
$$
Hamiltonián je v bázi svých vlastních vektorů (v tzv. energetické reprezentaci) diagonální
$$
\hat H = \sum_{n=0}^\infty E_n\ketbra{n}{n}.
$$
Operátory polohy a hybnosti v energetické reprezentaci diagonální nejsou
$$
\hat{Q} = \sum_{n,m=0}^\infty \braketA{n}{\hat{Q}}{m} \ketbra{n}{m},\quad \hat{P} = \sum_{n,m=0}^\infty \braketA{n}{\hat{P}}{m} \ketbra{n}{m}.
$$
Maticové elementy $\braketA{n}{\hat{Q}}{m}$, resp. $\braketA{n}{\hat{P}}{m}$, lze snadno spočítat s využitím posunovacích operátorů, které si představíme v části \ref{shift:lho}.
 
Podobně jako v případě lineárního oscilátoru můžeme zavést kety pro libovolný kvantový systém. Do ketů typicky zapisujeme kvantová čísla, která označují vlastní čísla relevantních pozorovatelných. Například společné vlastní vektory operátorů $\hat{L}_3$ a $\hat{L}^2$, označíme pomocí ketů $\ket{l,m}$ (odpovídající kulovým funkcím $Y_{lm}$), pro které platí
\begin{eqnarray}
\nonumber \hat{L}_3\ket{l,m} & = & \hbar m \ket{l,m}, \\
\ll{ket:lm} \hat{L}^2\ket{l,m} & = & \hbar^2 l(l+1)\ket{l,m},\quad l\in\Z_+,\quad m\in\Z,\quad |m|\leq l.
\end{eqnarray}
Kety $\ket{l,m}$ tvoří bázi uvažovaného Hilbertova prostoru, tj. platí
$$
\braket{l,m}{l',m'}=\delta_{l,l'}\ \delta_{m,m'} ,\quad \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \ketbra{l,m}{l,m} = \hat{I}
$$
Operátory $\hat{L}_3$ a $\hat{L}^2$ jsou v této bázi diagonální
$$
\hat{L}_3 = \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \hbar m\ketbra{l,m}{l,m},\quad \hat{L}^2 = \sum_{l=0}^\infty \hbar^2 l(l+1) \sum_{m=-l}^l \ketbra{l,m}{l,m}.
$$
Operátory $\hat{L}_{1,2}$ diagonální nejsou
$$
\hat{L}_{1,2} = \sum_{l,l'=0}^\infty\sum_{m=-l}^l\sum_{m'=-l'}^{l'} \braketA{l',m'}{\hat{L}_{1,2}}{l,m}\ketbra{l',m'}{l,m},
$$
jejich maticové elementy lze opět snadno spočítat pomocí posunovacích operátorů, viz. část \ref{shift:L}.
 
\section{Vztah mezi ketem a vlnovou funkcí}
\ll{ket:xp}
 
V této části se podíváme na souvislost mezi popisem stavu kvantové částice pomocí abstraktního ketu $\ket{\psi}$ a pomocí vlnové funkce $\psi(\vec{x})$. Zobecněným vlastním vektorům polohy, resp. hybnosti, přiřadíme kety $\ket{\vec{x}\,}$, resp. $\ket{\vec{p}\,}$. Tyto kety splňují rovnice
$$
\braketA{\vec{x}\,}{\hat Q_j}{\psi} = x_j \braket{\vec{x}\,}{\psi},\quad \braketA{\vec{p}\,}{\hat P_j}{\psi} = p_j \braket{\vec{p}\,}{\psi},
$$
a jsou normované k $\delta$-funkci, tj. platí \footnote{Srovnej s \rf{rceprophip}, \rf{dnormp}, \rf{vlfceQ}, \rf{dnormx}.}
$$
\braket{\vec{x}'\,}{\vec{x}\,} = \delta(\vec{x}-\vec{x}'),\quad \braket{\vec{p}'\,}{\vec{p}\,} = \delta(\vec{p}-\vec{p}').
$$
Tyto vztahy představují analogii relací ortogonality pro prvky ortonormální báze. Podobně platí pro kety i analogie relací úplnosti ve tvaru
$$
\int_{\R^3}d^3x\, \ketbra{\vec{x}\,}{\vec{x}\,} = \hat{I},\quad \int_{\R^3}d^3p\, \ketbra{\vec{p}\,}{\vec{p}\,} = \hat{I}.
$$
Libovolný ket $\ket{\psi}$ pak můžeme rozložit do \uv{báze} zobecněných vlastních vektorů polohy způsobem
$$
\ket{\psi} = \int_{\R^3}d^3x\, \braket{\vec{x}\,}{\psi}\,\ket{\vec{x}\,} = \int_{\R^3}d^3x\ \psi(\vec{x})\, \ket{\vec{x}\,},
$$ 
tj. identifikujeme vlnovou funkci s Fourierovým koeficientem
$$
\psi(\vec{x}) = \braket{\vec{x}\,}{\psi}.
$$ 
O vlnové funkci $\psi(\vec{x})$ pak mluvíme jako o $\vec{x}$-reprezentaci (resp. \uv{souřadnicové reprezentaci}) stavu $\ket{\psi}$. Vztah mezi ketem $\ket{n}$ a funkcí $\psi_n$ pak je $\psi_n(x)=\braket{{x}\,}{n\,}$. Podobným způsobem můžeme rozepsat ket $\ket{\psi}$ do \uv{báze} zobecněných vlastních vektorů hybnosti
$$
\ket{\psi} = \int_{\R^3}d^3p\, \braket{\vec{p}\,}{\psi}\,\ket{\vec{p}\,} = \int_{\R^3}d^3p\ \widetilde{\psi}(\vec{p})\, \ket{\vec{p}\,},
$$
kde 
$$
\widetilde{\psi}(\vec{p})= \braket{\vec{p}\,}{\psi},
$$
je $\vec{p}$-reprezentace (resp. \uv{impulsová reprezentace}) stavu $\ket{\psi}$. Pro úplnost si ukážeme, že funkce $\psi$ a $\widetilde{\psi}$ jsou spojeny Fourierovou transformací. Postupně najdeme
\begin{eqnarray}
\label{x:p:fourier}
\nonumber \widetilde{\psi}(\vec{p}) & = & \braketA{\vec{p}\,}{\left(\int_{\R^3}d^3x\, \ketbra{\vec{x}\,}{\vec{x}\,}\right)}{\psi} = \int_{\R^3}d^3x\, \braket{\vec{p}\,}{\vec{x}\,}\braket{\vec{x}}{\psi} \\
 & = & \int_{\R^3}d^3x\, \phi^*_{\vec{p}}(\vec{x})\, \psi(\vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3}\int_{\R^3}d^3x\, e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vec{x}}\, \psi(\vec{x}) = (\mathcal{F}\psi)(\vec{p}).
\end{eqnarray}
 
 
\section{Posunovací operátory}
\ll{posunovacioperatory}
 
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a práci s vlastními vektory. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\Delta\in\C$ pokud
\be 
[\hat B,\hat A] = \triangle \hat A. 
\ll{posop} 
\ee
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\ket{\lambda}$ příslušný vlastní vektor, pak
z \rf{posop} ihned plyne
\be \hat B \hat A \ket{\lambda} = (\lambda+\Delta) \hat A \ket{\lambda}, \ll{posunl} \ee
což znamená, že $\hat A \ket{\lambda}$ je buď nula nebo vlastní vektor operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.
 
Ze vztahu \rf{posop} rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\Delta$,
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jeden vlastní vektor $\ket{\lambda}$ operátoru $\hat B$ takový, že
$\hat A \ket{\lambda} \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.
 
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.
 
 
 
\subsection{Lineární harmonický oscilátor}
\ll{shift:lho}
 
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro hamiltonián LHO
\be 
\hat H = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2 \hat{Q}^2 . 
\ee
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem polohy a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ lze zapsat ve tvaru
\be 
\ll{kreanop} 
\hat a_\pm = \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P),
\ee
neboť platí
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee
Obecně jsou posunovací operátory podmínkou (\ref{posop}) určené až na multiplikativní konstantu. Faktor $\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}$ ve vztahu (\ref{kreanop}) je vhodně zvolen tak, že pro komutátor $\hat a _-$ a $\hat a_+$ platí
\be
\ll{komut:apm}
[\hat a _-,\hat a_+] = \unit.
\ee
 
 
Označme vlastní vektory $\hat{H}$ pomocí ketů $\ket{n}$ jako ve vztahu (\ref{ket:LHO}). Posunovací operátory na ně působí takto
\be
\ll{a:n}
\hat{a}_\pm \ket{n} = \alpha_n^\pm \ket{n\pm 1},
\ee
kde $\alpha_n^\pm$ jsou čísla ($\ket{n}$ je normován k jedné, ale $\hat{a}_\pm \ket{n}$ obecně normovaný k jedné být nemusí). Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.
 
Pomocí kreačního a anihilačního operátoru můžeme zpětně vyjádřit operátory polohy, hybnosti a hamiltonián. Snadno zjistíme, že platí
$$
\hat{Q} = \sqrt{\frac{\hbar}{2M\omega}}\left(\hat{a}_+ + \hat{a}_-\right),\quad \hat{P} = i\sqrt{\frac{M\hbar\omega}{2}}\left(\hat{a}_+ - \hat{a}_-\right).
$$
Tyto vztahy jsou vhodné pro určení matic operátorů polohy a hybnosti v energetické reprezentaci. S použitím vztahu (\ref{a:n}) zjistíme, že maticové elementy $\hat{Q}$ a $\hat{P}$ jsou
\begin{eqnarray}
\nonumber \braketA{n}{\hat{Q}}{m} & = & \sqrt{\frac{\hbar}{2M\omega}} \left(\alpha_m^+\ \delta_{n,m+1} + \alpha_m^-\ \delta_{n,m-1}\right), \\
\nonumber \braketA{n}{\hat{P}}{m} & = & i\sqrt{\frac{M\hbar\omega}{2}} \left(\alpha_m^+\ \delta_{n,m+1} - \alpha_m^-\ \delta_{n,m-1}\right).
\end{eqnarray}
Matice $\hat{Q}$ a $\hat{P}$ v energetické reprezentaci mají tedy nenulové prvky jen v pásech nad a pod diagonálou.
 
Hamiltonián LHO můžeme pomocí kreačního a anihilačního operátoru zapsat několika ekvivalentními způsoby (díky komutačním relacím (\ref{komut:apm}))
\begin{eqnarray}
\ll{ham:apm:1}  \hat H & = & \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}\left(\hat a_-\hat a_+ -\half\right)\\
\ll{ham:apm:2}  & = &  {\hbar\omega}\left(\hat a_+\hat a_- +\half\right).
\end{eqnarray}
Z posledního vztahu vyplývá identita
$$
\hat a_+\hat a_- \ket{n} = n \ket{n}.
$$ 
Operátor $\hat a_+\hat a_-$ se pak někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.
Ze vztahů (\ref{ham:apm:1}) a (\ref{ham:apm:2}) lze snadno ukázat, že pro koeficienty $\alpha_n^\pm$ platí
\be
\ll{alpha:lho}
|\alpha_n^-| = \sqrt{n},\quad |\alpha_n^+| = \sqrt{n+1}.
\ee
Jejich fázi zvolíme později tak, aby $x$ reprezentace ketů $\ket{n}$ odpovídala už spočítaným vlastním funkcím $\psi_n(x)$ ve vztahu (\ref{vlfcelho}).
 
Ukážeme si, jak lze s použitím kreačního a anihilačního operátoru odvodit vlastní čísla i vlastní vektory hamiltoniánu LHO. Z existence posunovacích operátorů přímo plyne, že bodové spektrum hamiltoniánu LHO je ekvidistantní a rozdíl dvou po sobě jdoucích energií je $\hbar\omega$. Dále se snadno ukáže, že spektrum $\hat{H}$ je zdola omezené nulou. Řekněme, že $\ket{\psi}$ je vlastní vektor s vlastním číslem $E$, normovaný k jedné. Pak platí nerovnost
$$
E = \braketA{\psi}{\hat{H}}{\psi} = \frac{1}{2M}\braketA{\psi}{\hat{P}^2}{\psi} + \frac{1}{2}M\omega^2\braketA{\psi}{\hat{Q}^2}{\psi} = \frac{1}{2M}\|\hat{P}\psi\|^2  + \frac{1}{2}M\omega^2 \|\hat{Q}\psi\|^2 \geq 0.
$$
Odtud plyne, že $\hat{H}$ má základní stav, tj. stav s nejnižší energií, pro který platí
\be
\ll{gs:lho}
\hat a_- \ket{0} = 0.
\ee
S použitím (\ref{ham:apm:2}) zjistíme, že $\ket{0}$ odpovídá vlastnímu číslu $\half{\hbar\omega}$. Bodové spektrum $\hat{H}$ je tedy tvořeno vlastními čísly $E_n = \left(n+\half\right)\hbar\omega$, $n\in\Z_+$. 
 
S použitím posunovacích operátorů lze získat i příslušné vlastní funkce v $x$-reprezentaci, tj. $\psi_n(x) = \braket{x}{n}$. Začněme se základním stavem $\psi_0(x)$. Když vyjádříme anihilační operátor v $x$-reprezentaci, tak rovnice (\ref{gs:lho}) přejde do tvaru
\be 
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{\d}{\d\xi}\right)\psi_0 = 0, \ee
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme
\be 
\psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}. 
\ee
Porovnáním této \fc e s~\rf{vlfcelho} zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií
\be
  \psi_n(\xi)
    = K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)
    = \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^ne^{-\xi^2/2},\ \ \
  K_n^{-1}
    =\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.
  \ll{ntylho}
\ee
Fáze normalizačních konstant \rf{nvlfcelho} vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů
$\alpha^{\pm}_n$. Volba $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí \rf{nvlfcelho}, kde všechny normalizační koeficienty jsou kladné. Platí tedy
$$
\alpha_n^- = \sqrt{n},\quad \alpha_n^+ = \sqrt{n+1}.
$$
Odtud plyne další užitečný vztah
$$
\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat{a}_+^n\ket{0}.
$$
 
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$. \ec
 
Poznamenejme ještě nakonec, že stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} jsou definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru
$$
\hat a_- \ket{\alpha} = \alpha\ket{\alpha},\ \mathrm{resp.}\  \hat a_- \phi_\alpha(x) = \alpha \phi_\alpha(x)
$$
V $x$-reprezentaci má rovnice jednoduchý tvar
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{d}{d\xi}\right)\phi_\alpha = \alpha\phi_\alpha,
$$
jejímž řešení je funkce 
\be 
\phi_\alpha(\xi) = C_\alpha e^{-\frac{(\xi-\sqrt{2}\alpha)^2}{2}}. \ll{kohstav} 
\ee
Ta je kvadraticky integrabilní pro všechna komplexní čísla $\alpha$, tj. bodové spektrum anihilačního operátoru je celá komplexní rovina. To nevede k žádnému sporu, protože anihilační operátor není samosdružený (platí $\hat a_-^\dagger = \hat a_+$), takže jeho vlastní vektory netvoří ortonormální bázi.   Koherentní stavy mají řadu zajímavých vlastností (např. minimalizují Heisenbergovy relace neurčitosti, mají jednoduchý časový vývoj) se kterými se seznámíme na cvičeních.
 
\subsection{Moment hybnosti}
\ll{shift:L}
 
 
Složky momentu hybnosti mají ekvidistantní spektrum s $\Delta = \hbar$, lze tedy očekávat, že pro ně opět budou existovat posunovací operátory. Typicky pracujeme v bázi společných vlastních vektorů $\ket{l,m}$ operátorů $\hat{L}_3$ a $\hat{L}^2$ splňujících vztahy (\ref{ket:lm}). Posunovací operátory $\hat{L}_\pm$ hledáme tak, aby neměnily hodnotu orbitálního kvantového čísla $l$, a magnetické kvantové číslo $m$ změnily o $\pm 1$, tj. aby platilo
$$
[\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0. 
$$
Z komutačních relací pro složky momentu hybnosti 
$$
[\hat L_i,\hat L_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat L_k,
$$
se snadno ukáže, že posunovací operátory lze zvolit ve tvaru
\be
\hat L_\pm = \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}. 
\label{lpm}
\ee
Působení posunovacích operátorů na kety $\ket{l,m}$ je dáno vztahy
\be
\ll{posalpha}
\hat{L}_\pm \ket{l,m} = \alpha^\pm_{l,m}\ket{l,m\pm 1}.
\ee
Z (\ref{lpm}) můžeme vyjádřit operátory $\hat L_1$ a $\hat L_2$ ve tvaru
$$
\hat L_1 = \frac{1}{2}(\hat L_+ + \hat L_-),\quad \hat L_2 = \frac{1}{2i} (\hat L_+ - \hat L_-).
$$
Z těchto vztahů plyne pro maticové elementy operátorů $\hat L_{1,2}$
\begin{eqnarray}
\nonumber \braketA{l',m'}{\hat L_1}{l,m} & = & \half\delta_{l,l'}(\alpha_{l,m}^+\delta_{m',m+1} + \alpha_{l,m}^-\delta_{m',m-1}), \\
\nonumber \braketA{l',m'}{\hat L_2}{l,m} & = & \frac{1}{2i}\delta_{l,l'}(\alpha_{l,m}^+\delta_{m',m+1} - \alpha_{l,m}^-\delta_{m',m-1}) .
\end{eqnarray}
Matice operátorů $\hat L_{1,2}$ v bázi $\{\ket{l,m}\}$ mají tedy nenulové prvky jen v pásech nad a pod diagonálou.
 
Pomocí posunovacích operátorů a $\hat L_3$ můžeme vyjádřit operátor kvadrátu momentu hybnosti jako
$$
\hat L^2 = \hat L_3^2 -\hbar \hat L_3 + \hat L_+\hat L_- = \hat L_3^2 +\hbar \hat L_3 + \hat L_-\hat L_+.
$$
Odtud snadno zjistíme, že pro koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ platí
$$
|\alpha^\pm_{lm}| = \hbar\sqrt{l(l+1) - m(m\pm 1)}.
$$
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha} až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant $C_{lm}$ \rf{normconsY} pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.
 
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec
 
\bc 
Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů  $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. 
\ec
 
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec
 
\bc Spočítejte maticové elementy $\braketA{l',m'}{\hat L_k}{l,m}$. \ec
 
Pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ lze odvodit spektrum $\hat L_3$ a $\hat L^2$, jak si detailně ukážeme v algebraické teorii momentu hybnosti v kapitole~\ref{atmh}. Posunovací operátory rovněž intenzivně využijeme při skládání momentů hybnosti v kapitole~\ref{smh}. Na závěr této kapitoly si ukážeme, jak lze s použitím posunovacích operátorů odvodit explicitní tvar kulových funkcí $Y_{l,m}$. Využijeme toho, že $m$ je v absolutní hodnotě omezené velikostí $l$. Platí tedy
\be 
\hat L_+ Y_{l,l} = 0.
\ll{lpyll}
\ee
Z explicitního tvaru operátorů $\hat L_{1,2}$ ve sférických souřadnicích (\ref{lx}), (\ref{ly}) nalezneme
$$
\hat L_\pm = i\hbar \cot\theta e^{\pm i\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi} \pm \hbar e^{\pm i \varphi}\frac{\partial}{\partial\theta}.
$$
Závislost kulových funkcí na úhlu $\varphi$ známe, takže je můžeme hledat ve tvaru
$$
Y_{l,m}(\theta,\varphi) = f_{l,m}(\theta)e^{i m\varphi}.
$$
Rovnice (\ref{lpyll}) potom přejde v obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu
$$
f_{l,l}' - l f_{l,l}\cot\theta = 0,
$$
jejímž řešením je funkce
$$
f_{l,l}(\theta) = C \sin^l\theta .
$$
Kulová funkce s maximální možnou hodnotou $m=l$ je tedy rovna
$$
Y_{l,l}(\theta,\varphi) = C \sin^l\theta e^{i l\varphi}.
$$
Funkce s nižší hodnotou $m$ získáme s použitím posunovacího operátoru $\hat L_-$.