02KVAN:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
|||
Řádka 118: | Řádka 118: | ||
(\psi,\phi)=\sum_{\xi_1=\pm}\ldots\sum_{\xi_N=\pm}\int_{\real^{3N}} | (\psi,\phi)=\sum_{\xi_1=\pm}\ldots\sum_{\xi_N=\pm}\int_{\real^{3N}} | ||
\psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) | \psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) | ||
− | \phi | + | \phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) |
d^{3N}x. | d^{3N}x. | ||
\ee | \ee | ||
Řádka 331: | Řádka 331: | ||
bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a | bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a | ||
nižší úrovni označení "první" či "druhá" pro nerozlišitelné \cc e | nižší úrovni označení "první" či "druhá" pro nerozlišitelné \cc e | ||
− | ztrácí smysl. Tento fakt | + | ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v teoretickém |
popisu těchto jevů. | popisu těchto jevů. | ||
Řádka 401: | Řádka 401: | ||
Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do některé osy součástí definice jednočásticového stavu čili např. $a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm\half)$. | Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do některé osy součástí definice jednočásticového stavu čili např. $a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm\half)$. | ||
− | Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S,\ \hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či antisymetrických \fc í z $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\otimes \complex^{ | + | Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S,\ \hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či antisymetrických \fc í z $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\otimes \complex^{2N}$. |
\special{src: 297 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 297 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel |
Verze z 11. 12. 2010, 10:31
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} \section{Systémy více částic} Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém -- atom vodíku, jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu. V této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb. \special{src: 10 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Při budování \qv é \mi ky více \cc {} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické, velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o systém \cc {} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě \cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za {\em nerozlišitelné}, zatímco %pokud některý z jejich parametrů v opačném případě je nazýváme rozlišitelné. \special{src: 23 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, %třeba zavádět, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi a pokud si \cc e na začátku experimentu označíme např. jako "první", "druhá" atd., je možné v každém čase rozhodnout, o kterou \cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.} Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení "první" či "druhá" pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc { } do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných týkajících se jednotlivých \cc. \special{src: 43 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \special{src: 46 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \subsection{Systémy rozlišitelných \cc} Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou bezspinových rozlišitelných \cc {}%(například hmotou) , a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt druhou \cc i v oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i v oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {} dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$ a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$. \special{src: 63 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících -- neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá žádný smysl, přesněji je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému. \special{src: 74 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Obecně {\bf přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {} kvadraticky integrabilní vlnovou funkci \[ \psi:\real^{3N}\lim\complex,\ \psi\in L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\] a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru} ${\cal H}=L_2(\real^{3N},d^{3N}x).$ Platí (viz \cite{beh:lokf}, 4.6.6), že \[ L_2(\real^{3N},d^{3N}x)=L_2(\real^{3},d^{3}x)\otimes L_2(\real^{3},d^{3}x) \otimes\ldots\otimes L_2(\real^{3},d^{3}x)\] \[ \Leftrightarrow \ {\hil}={\hil}_1\otimes{\hil}_2\otimes\ldots\otimes{\hil}_N, \] kde ${\hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\integer_+\}$ je ortonormální baze v ${\hil}_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\otimes e^{(2)}_{n_2}\otimes \ldots e^{(N)}_{n_N},\ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\integer^N_+\}$, kde \[ e^{(1)}_{n_1}\otimes e^{(2)}_{n_2}\otimes \ldots e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N):=e^{(1)}_{n_1}(\vex_1) e^{(2)}_{n_2}(\vex_2)\ldots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N) \] je rovněž ortonormální bazí v ${\hil}_1\otimes{\hil}_2\otimes\ldots\otimes{\hil}_N$. \special{src: 97 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v ${\hil}_j$, tzn. $\hat A_j=\unit\otimes\unit\otimes\ldots\unit\otimes\hat A\otimes\unit\ldots\unit$ se nazývají {\em jednočásticové}. Typickým příkladem je například operátor kinetické energie první částice $\hat T_1:=-\frac{\hbar^2}{2M}\triangle\otimes\unit\ldots\unit \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_1.$ Podobným způsobem lze definovat vícečásticové operátory. \special{src: 107 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro \cc e se spinem $\half$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je třeba výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $\half$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí vedle $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem jednočásticových prostorů $L_2(\real^{3},d^{3}x)\otimes \complex^{2}$. \[ {\hil}={\hil}_1\otimes{\hil}_2\otimes\ldots\otimes{\hil}_N =L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\otimes \complex^{2^N}. \] Skalární součin v tomto prostoru je definován způsobem \be (\psi,\phi)=\sum_{\xi_1=\pm}\ldots\sum_{\xi_N=\pm}\int_{\real^{3N}} \psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) d^{3N}x. \ee \bc Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $\half$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar \[ \hat H = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3 ) \] Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat H $ a degeneraci energetických hladin. \ec \subsubsection{Problém dvou těles v \qv é \mi ce} Problém dvou těles je v kvantové, stejně jako klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem. \special{src: 130 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Zavedením nových proměnných \be \vec X:=\frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2},\ \vex:=\vex_1-\vex_2 \ll{nsour}\ee dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru \be L(\vec X,\vex,\dot {\vec X},\dot {\vex})=\half(m_1+m_2)\dot{\vec X}^2+\half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).\ee Kanonicky sdružené hybnosti jsou \be \vec P:=\vec p_1+\vec p_2= (m_1+m_2)\dot{\vec X}=m_1\dot{\vex_1}+m_2\dot{\vex_2}\ll{nhyb1}\ee \be \vec p:=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}=\frac{ m_2\vec p_1-m_1\vec p_2}{m_1+m_2}\ll{nhyb2}\ee a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí \be H(\vec X,\vex,\vec P,\vec p)=\frac{\vec P^2}{2(m_1+m_2)} +\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}{\vec p}^2+V(\vex)=H_t(\vec P)+ H_{rel}(\vex,\vec p).\ee Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec p_1(t),\vec p_2(t)$ pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště $\vec X(t),\vec P(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec p(t)$. \special{src: 153 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \special{src: 156 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\bf Transformace souřadnic \rf{nsour}) vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i systému jako \fc i nových souřadnic \be \Psi(\vec X,\vex):=\psi(\vex_1(\vec X,\vex), \vex_2(\vec X,\vex)),\ee pak transformace \rf{nsour}) vede na transformaci parciálních derivací \be \frac{\partial}{\partial X_j}=\frac{\partial}{\partial x_{1,j}}+\frac{\partial}{\partial x_{2,j}},\ j=1,2,3, \ll{nder1}\ee \be \frac{\partial}{\partial x_j}=\frac{1} {m_1+m_2}(m_2\frac{\partial}{\partial x_{1,j}}-m_1\frac{\partial}{\partial x_{2,j}}),\ j=1,2,3, \ll{nder2}\ee která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \ref{nhyb2}). \special{src: 173 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\bf Hamiltonián systému dvou interagujících \cc \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m_1}\triangle_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\triangle_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2)\ee transformací \rf{nsour}) přejde na tvar \be \hat H= \hat H_t+\hat H_{rel}=-\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vec x),\ee který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc. } Jedna z nich je volná kvantová \cc e s hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a druhá je \cc í s hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v poli potenciálu $V$. \special{src: 188 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro Rydbergovu energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu a protonu. Pokud se zajímáme o spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$. \subsection{Skládání momentů hybnosti} \def\lj{{\hat L^{(1)}}} \def\l2{{\hat L^{(2)}}} \def\hj{{\hat J}} V klasické \mi ce je moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, t.j. vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých složek. Pro kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost problému skládání momentů hybnosti narůstá s počtem složek a proto se v dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve vlastních stavu momentu hybnosti, t.j. společném vlastním stavu $\hat L^2$ a $\hat L_z$. Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic pro které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti %$\vec L^2, \ L_z$ $l_1(l_1+1)\hbar^2,m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2,m_2\hbar$. Znamená to tedy, že první z \cc{} mohu přiřadit \fc i $\psi_{a_1,l_1,m_1}\equiv|a_1,l_1,m_1>$ a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2}\equiv|a_2,l_2,m_2>$, kde hodnoty $a_1,a_2$ představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s $\hat L^2$ a $\hat L_z$, např. celkové energie. Stav celého sytému pak můžeme popsat vlnovou \fc í $$\psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\otimes\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2) =\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2).$$ Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme této funkci přiřadit ket $|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>$ pro který platí \begin{eqnarray} (\lj)^2 |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& l_1(l_1+1)\hbar^2|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm1}\\ (\l2)^2 |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& l_2(l_2+1)\hbar^2|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm2}\\ \lj_z |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& m_1\hbar|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm3}\\ \l2_z |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& m_2\hbar|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>.\label{lmlm4} \end{eqnarray} Pro dané $l_1,l_2$ (a $a_1,a_2$) tvoří tyto stavy podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit {\bf hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s jakou \pst í? Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence přiřadíme operátory $\hat J_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze na funkce v proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$ komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že \be [\hat J_k,\hat J_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m. \ee Z podkapitoly \ref{atmh} pak plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat J^2$ a $\hat J_z$ mohou mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ a $m\hbar$, kde $j$ a $m$ jsou (polo)celá čísla, $|m|\leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že \be [\hat J_k,(\lj)^2]=0,\ \ [\hat J_k,(\l2)^2]=0, \ee takže operátory $(\lj)^2,\,(\l2)^2,\,\hat J^2,\,\hat J_z$ vzájemně komutují a mohou (spolu s dalšími operátory) být součástí úplné množiny pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $|l_1,l_2,j,m>$ ket, který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, že splňuje rovnice \begin{eqnarray} (\lj)^2 |l_1,l_2,j,m>&=& l_1(l_1+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm1}\\ (\l2)^2 |l_1,l_2,j,m>&=& l_2(l_2+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm2} \\ \hj^2 |l_1,l_2,j,m>&=& j(j+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm3} \\ \hj_z |l_1,l_2,j,m>&=& m\hbar|l_1,l_2,j,m>.\label{lljm4} \end{eqnarray} Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji, sestavit je ze stavů $|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>$ popisujících momenty hybnosti jednotlivých \cc. V prvním kroku se přesvědčíme, že stav $|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2>$ splňuje rovnice (\ref{lljm1})--(\ref{lljm4}) pro $j=m=l_1+l_2$. Rovnice (\ref{lljm1}),(\ref{lljm2}) se shodují s (\ref{lmlm1}),(\ref{lmlm2}) a rovnice (\ref{lljm4}) je jednoduchým důsledkem (\ref{lmlm1}),(\ref{lmlm2}). K odvození (\ref{lljm3}) se hodí formule \begin{equation}\label{jjll} \hj^2=\hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2=(\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+, \end{equation}kterou lze snadno odvodit z definice posunovacích operátorů $L_\pm$. Znamená to tedy, že $|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2>=|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2>$ Ze stavu $|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2>$ nyní můžeme snadno vytvořit $2(l_1+l_2)+1$ stavů $|l_1,l_2,l_1+l_2,m>$ kde $ m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2$ působením posunovacích operátorů $J_\pm=J_1\pm iJ_2=\lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří tzv. ireducibilní reprezentaci algebry $su(2)$.) V dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy $|l_1,l_2,j,m>$ s $j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů $|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>$ a $|l_1,l_1-1>\otimes \, |l_2,l_2>$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory. Jeden z nich je\begin{eqnarray} |l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1>&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} J_-|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2> \nonumber\\ &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-)|l_1,l_l>\otimes \, |l_2,l_2>\nonumber \end{eqnarray} \begin{equation} = \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>+ \alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>). \end{equation} O druhém, který je k němu ortogonální, totiž $$ \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>- \alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>),$$ lze ukázat že splňuje (\ref{lljm1})--(\ref{lljm4}) pro $j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o stav, který označujeme $ |l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1>$. Postupnou aplikací operátoru $J_-$ na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s $j=l_1+l_2-1,\ |m|\leq j$. Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots., j_{min}$. Zbývá zjistit kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů s daným $j$ je $2j+1$ a rozměr podprostoru s daným $l_1,l_2$, z jehož stavů jsou vektory $|l_1,l_2,j,m>$ tvořeny, je $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin} (2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2, \end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$. Vzhledem k tomu, že stavy $|l_1,l_2,j,m>$ splňují rovnice (\ref{lljm1})--(\ref{lljm4}) pro různá vlastní čísla, musí být vzájemně ortogonální stejně jako stavy $|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v podprostoru dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s daným $j$ a $m$ se nazývají Clebsch--Gordanovy koeficienty. Způsob jejich výpočtu je možno nalézt např. v \cite {beh:lokf}. Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s daným momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s komutačními relacemi spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc, ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=\half$ a hledat tak stavy částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu hybnosti $j=l\pm \half$. \subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip} Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení "první" či "druhá" pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v teoretickém popisu těchto jevů. Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému. Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu, který je dán hodnotami $a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami \be \hat A\psi=a\psi, \ \hat B\psi=b\psi,\ \ldots\ . \ll{ab12}\ee Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na $\tilde\psi(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$ Pro nerozlišitelné částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit. Současně s \rf{ab12}) musí tedy rovněž platit \be \hat A\tilde\psi=a\tilde\psi, \ \hat B\tilde\psi=b\tilde\psi,\ \ldots\ . \ee Z předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e $\psi$ a $\tilde \psi$ jsou určeny jednoznačně až na konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde\psi$. Odtud však plyne, že \be \psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2), \ll{asymvlnfce}\ee takže $C_\psi=\pm 1$. {Stavové \fc e dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů.} Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi vlnových \fc í s různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými \fc emi se nazývají {\em bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají {\em fermiony}. \special{src: 251 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel V kvantové teorii pole lze ukázat, že {\bf typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s polocelým spinem (v jednotkách $\hbar$) jako např. elektron, proton či neutron jsou fermiony a částice s celým spinem jako např. $\pi-$mesony nebo foton jsou bosony. Vlnové \fc e \cc{} s nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na "spinových" proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se %v případě \cc se spinem pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k),\ j\neq k$. \special{src: 262 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z výše uvedeného ihned plyne, že {\bf vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů %nerozlišitelných \cc {} je je symetrická, respektive antisymetrická} vůči záměně libovolných (dvojic) argumentů, neboť analog podmínky (\ref{asymvlnfce}) pro více \cc{} lze interpretovat jako existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické. Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak \[ \psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1), \] ale současně \[ \psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1), \] takže $C_1=C_2$. \special{src: 274 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Podobně jako v případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z jednočásticových. Jsou-li $\psi_a(\vex)$ vlnové \fc e jedné bezspinové \cc e, tzn. $\psi_a\in$\qintspace, pak \[ \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2):= \psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2)+ \psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1) \] je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně \[ \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2):= \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2)- \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) \] je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. % se spinem $\half$. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do některé osy součástí definice jednočásticového stavu čili např. $a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm\half)$. Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S,\ \hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či antisymetrických \fc í z $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\otimes \complex^{2N}$. \special{src: 297 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je \be \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N):= %\frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{\pi\in P_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2})\ldots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N}) \ll{bosvlf}\ee a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je \[ \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2, \ldots,\vex_N,\xi_N):= \] \be %\frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{\pi\in P_N} (-)^{grad\ \pi} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2}) \ldots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}), \ll{antisym}\ee kde $P_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $grad \ \pi$ je počet transposic, ze kterých je možno složit permutaci $\pi$. Antisymetrická vlnová \fc e \rf{antisym}) se dá zapsat jako tzv. {\em Slaterův determinant}. \[ \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2, \ldots,\vex_N,\xi_N)=\ \ \ \ \ \ {}\] \be \ \ \ det\left( \ba{cccc} \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)& \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1)\\ \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)& \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2)\\ .&.&.&.\\ \psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N)& \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N)\\ \ea \right). \ll{slaterd}\ee Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v podprostorech $\hil^S$ nebo $\hil^A$. Znamená to že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í na které působí, takže např. operátor potenciální energie v poli konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s operátorem "záměny \cc{}" $P_\pi$ \be P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N):=\psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N}) \ee Z výrazu \rf{slaterd}) je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, %t.j. $\exists j\neq k$ tak, že $ a_j=a_k$, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické vyjádření Pauliho vylučovacího principu: {\bf V souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu. \special{src: 337 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v prostorech $L_2(\real^{3},d^{3}x)$, respektive $L_2(\real^{3},d^{3}x)\otimes \complex^{2}$, pak funkce \rf{bosvlf}) a \rf{antisym}) složené z jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří ortonormální bazi v prostoru $\hil^S$ popisující soustavu bosonů, respektive $\hil^A$ popisující soustavu fermionů. \bc Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, respektive $\half$ v poli harmonického oscilátoru. \ec \bc Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv. nulová aproximace). \ec