Verze z 12. 9. 2011, 09:37

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Systémy více částic}
 
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v~poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních 
systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém --- atom vodíku, 
jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v~coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu. 
V~této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.
 
Při budování \qv é \mi ky více \cc{} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické,  velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o~systém 
\cc{} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých 
vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě 
\cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za \emph{nerozlišitelné}, zatímco v~opačném případě je nazýváme 
rozlišitelné.
 
{\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi. 
Označíme-li si \cc e na začátku experimentu např.~jako \uv{první}, \uv{druhá} atd., je možné v~každém čase rozhodnout, o~kterou 
\cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.}
 
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení 
\uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z~jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc
{} do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z~nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných 
týkajících se jednotlivých \cc.
 
 
 
 
 
\subsection{Systémy rozlišitelných \cc}
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou 
bezspinových rozlišitelných \cc, a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt 
druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i 
v~oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k~tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {} 
dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z~nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$ 
a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.
 
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í 
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na 
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících, tj.~neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá 
žádný smysl, přesněji  je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému.
 
Obecně \textbf{přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {} kvadraticky integrabilní vlnovou funkci
\[
  \psi : \R^{3N} \to \C, \quad \psi \in L_2(\R^{3N},d^{3N}x)
\]
a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru}
\[
  \mathcal{H} = L_2(\R^{3N},d^{3N}x).
\]
Platí (viz \cite[4.6.6]{beh:lokf}), že
\[
  L_2(\R^{3N},d^{3N}x) = L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox \cdots \ox L_2(\R^{3},d^{3}x)
\]
\[
  \Leftrightarrow \ \hil = \hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N,
\]
kde ${\hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\Z_+\}$ je ortonormální baze 
v~$\hil_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2}\ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N},\ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\Z^N_+\}$, kde
\[
  e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2} \ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)
    := e^{(1)}_{n_1}(\vex_1) e^{(2)}_{n_2}(\vex_2) \cdots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N)
\]
je rovněž ortonormální bazí v~$\hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N$.
 
Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v~$\hil_j$, tzn.
\[
  \hat{A}_j = \underbrace{\unit\ox\unit\ox\cdots\ox\unit}_{\text{$(j-1)$-krát}}\ox\hat{A}\ox\unit\ox\cdots\ox\unit
\]
se nazývají \emph{jednočásticové}. Typickým příkladem je operátor kinetické energie první částice
$\hat{T}_1 := -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle \ox \unit \ox \cdots \ox \unit \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_1.$ Podobným způsobem 
lze definovat vícečásticové operátory.
 
Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je 
třeba výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí 
vedle $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem 
jednočásticových prostorů $L_2(\R^{3},d^{3}x) \otimes \C^{2}$.
\[
  \hil = \hil _1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N = L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}.
\]
Skalární součin v~tomto prostoru je definován způsobem
\be
  (\psi,\phi)
    := \sum_{\xi_1=\pm}\cdots\sum_{\xi_N=\pm} \int_{\R^{3N}}
       \psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
       \phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
       d^{3N}x.
\ee
 
\bc
  Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $1/2$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar
  \[
    \hat{H} = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3).
  \]
  Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat{H} $ a degeneraci energetických hladin.
\ec
 
 
 
\subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce}
Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na 
rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, 
popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.
 
Zavedením nových proměnných
\be
  \vec{X} := \frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2}, \quad \vex := \vex_1-\vex_2
  \ll{nsour}
\ee
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru
\be
  L(\vec{X},\vex,\dot{\vec{X}},\dot{\vex}) = \half(m_1+m_2)\dot{\vec{X}}^2 + \half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).
\ee
Kanonicky sdružené hybnosti jsou
\begin{align}
  \vec{P} &:= \vec{p}_1+\vec{p}_2 = (m_1+m_2)\dot{\vec X} = m_1\dot{\vex}_1+m_2\dot{\vex}_2, \ll{nhyb1} \\
  \vec{p} &:= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex} = \frac{ m_2\vec{p}_1-m_1\vec{p}_2}{m_1+m_2} \ll{nhyb2}
\end{align}
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí
\be
  H(\vec{X},\vex,\vec{P},\vec{p}) = \frac{\vec{P}^2}{2(m_1+m_2)}+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}\vec{p}{~}^2+V(\vex) = H_t(\vec{P})+H_{\mathrm{rel}}(\vex,\vec{p}).
\ee
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec{p}_1(t),\vec{p}_2(t)$  pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště 
$\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$.
 
\textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i 
systému jako \fc i nových souřadnic
\be
  \Psi(\vec{X}\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)),
\ee
pak transformace \rf{nsour} vede na transformaci parciálních derivací
\begin{align}
  \frac{\partial}{\partial X_j} &= \frac{\partial}{\partial x_{1,j}}+\frac{\partial}{\partial x_{2,j}}, \quad j=1,2,3, \ll{nder1} \\
  \frac{\partial}{\partial x_j} &= \frac{1}{m_1+m_2} \left( m_2\frac{\partial}{\partial x_{1,j}}-m_1\frac{\partial}{\partial x_{2,j}} \right), \quad j=1,2,3, \ll{nder2}
\end{align}
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \rf{nhyb2}.
 
\textbf{Hamiltonián systému dvou interagujících \cc
\be
  \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\triangle_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\triangle_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2)
\ee
transformací \rf{nsour} přejde na tvar
\be
  \hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vex),
\ee
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a 
druhá je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$.
 
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro 
Rydbergovu energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu 
a protonu. Pokud se zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.
 
 
 
 
 
 
\subsection{Skládání momentů hybnosti}
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}
\def\l2{{\hat L^{(2)}}}
\def\hj{{\hat J}}
V~klasické \mi ce je moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, tj.~vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých 
složek. Pro kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze 
celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost 
problému skládání momentů hybnosti narůstá s~počtem složek, a proto se v~dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve
vlastních stavu momentu hybnosti, tj.~společném vlastním stavu $\hat L^2$ a $\hat L_z$.
 
Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic, pro které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti $l_1(l_1+1)\hbar^2$, 
$m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2$, $m_2\hbar$. Znamená to tedy, že první z~\cc{} lze přiřadit \fc i 
$\psi_{a_1,l_1,m_1} \equiv \ket{a_1,l_1,m_1}$ a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2} \equiv \ket{a_2,l_2,m_2}$, kde hodnoty $a_1$, $a_2$
představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s~$\hat{L}^2$ a $\hat{L}_z$, např.~celkové energie. Stav celého sytému pak 
můžeme popsat vlnovou \fc í
\[
  \psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\ox\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2)=\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2).
\]
Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme této funkci přiřadit ket $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$, pro 
který platí
\begin{align}
  (\lj)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm1} \\
  (\l2)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm2} \\
    \lj_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_1\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}  \label{lmlm3} \\
    \l2_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_2\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}. \label{lmlm4}
\end{align}
Pro dané $l_1$, $l_2$ (a $a_1$, $a_2$) tvoří tyto stavy podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit
\textbf{hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s~jakou \pst í?
 
Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence přiřadíme operátory $\hat{J}_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze 
na funkce v~proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v~proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$ 
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že
\be
  [\hat{J}_k,\hat{J}_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m.
\ee
Z~podkapitoly \ref{atmh} pak plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_z$ mohou mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ 
a $m\hbar$, kde $j$ a $m$ jsou (polo)celá čísla, $|m| \leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že
\be
  [\hat{J}_k,(\lj)^2]=0, \quad [\hat{J}_k,(\l2)^2]=0,
\ee
takže operátory $(\lj)^2$, $(\l2)^2$, $\hat{J}^2$, $\hat{J}_z$ vzájemně komutují a mohou (spolu s~dalšími operátory) být součástí úplné 
množiny pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ ket, který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, 
že splňuje rovnice
\begin{align}
  (\lj)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm1} \\
  (\l2)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm2} \\
    \hj^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= j(j+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm3} \\
    \hj_z \ket{l_1,l_2,j,m} &= m\hbar \ \ket{l_1,l_2,j,m}.\label{lljm4}
\end{align}
Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji, sestavit je ze stavů $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$ popisujících momenty hybnosti 
jednotlivých \cc.
 
V~prvním kroku se přesvědčíme, že stav $\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2}$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2$. 
Rovnice \rf{lljm1}, \rf{lljm2} se shodují s~\rf{lmlm1}, \rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým důsledkem \rf{lmlm1}, \rf{lmlm2}. 
K~odvození \rf{lljm3} se hodí formule
\begin{equation}
  \hj^2 = \hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2 = (\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,
  \label{jjll}
\end{equation}
kterou lze snadno odvodit z~definice posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$. Znamená to tedy, že 
$\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2} = \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$.
 
Ze stavu $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$ nyní můžeme snadno vytvořit $2(l_1+l_2)+1$ stavů 
\[
 \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,m}, \text{ kde } m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2
\]
působením posunovacích operátorů $\hat{J}_\pm = \hat{J}_1\pm i \hat{J}_2 = \lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří 
tzv.~ireducibilní reprezentaci algebry $\mathfrak{su}(2)$.)
 
V~dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ s~$j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů 
$\ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1}$ a $\ket{l_1,l_1-1} \ox \ket{l_2,l_2}$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory.
Jeden z~nich je
% \begin{align}
%   \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1} 
%     &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\
%     &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\
%     &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} 
%        + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).
% \end{align}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1}} \nonumber \\ \quad \qquad
    &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\
    &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\
    &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} 
        + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).
\end{IEEEeqnarray}
O~druhém, který je k~němu ortogonální, totiž
\[
  \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} 
    \left( \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} - \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right),
\]
lze ukázat, že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o~stav, který označujeme $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1}$. 
Postupnou aplikací operátoru $\hat{J}_-$ na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s~$j=l_1+l_2-1$, $|m|\leq j$.
 
Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots.,
j_{min}$. Zbývá zjistit kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů
s daným $j$ je $2j+1$ a rozměr podprostoru s daným $l_1,l_2$, z
jehož stavů jsou vektory $|l_1,l_2,j,m>$ tvořeny, je
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin}
(2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2,
\end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$.
 
Vzhledem k tomu, že stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ splňují rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být vzájemně 
ortogonální stejně jako stavy $\ket{l_1,m_1} \ox \ket{l_2,m_2}$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v~podprostoru dimenze 
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s~daným $j$ a 
$m$ se nazývají Clebschovy--Gordanovy koeficienty. Způsob jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}.
 
Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s~daným 
momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s~komutačními relacemi 
spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc, ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=1/2$ a hledat tak stavy 
částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu hybnosti $j=l\pm 1/2$.
 
 
 
 
 
 
\subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip}
Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné 
\cc e ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v~teoretickém popisu těchto jevů.
 
Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému. Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu, 
který je dán hodnotami $a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami
\be
  \hat{A}\psi = a\psi, \quad \hat{B}\psi = b\psi, \quad \ldots
  \ll{ab12}
\ee
Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na $\tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$ Pro nerozlišitelné 
částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit. Současně s \rf{ab12} musí tedy rovněž platit
\be
  \hat{A}\tilde{\psi} = a\tilde{\psi}, \quad \hat{B}\tilde{\psi} = b\tilde{\psi}, \quad \ldots
\ee
Z~předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e $\psi$ a $\tilde{\psi}$  jsou určeny jednoznačně až na 
konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde{\psi}$. Odtud však plyne, že
\be
  \psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),
  \ll{asymvlnfce}
\ee
takže $C_\psi=\pm 1$. Stavové \fc e dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů.
 
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v~opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi 
vlnových \fc í s~různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými 
\fc emi se nazývají \emph{bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{fermiony}.
 
V~kvantové teorii pole lze ukázat, že \textbf{typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s~polocelým spinem (v~jednotkách 
$\hbar$), jako např.~elektron, proton či neutron, jsou fermiony a částice s~celým spinem, jako např.~$\pi$--mesony nebo foton, jsou bosony.
Vlnové \fc e \cc{} s~nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na \uv{spinových} proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze 
diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k)$, 
$j\neq k$.
 
Z~výše uvedeného ihned plyne, že \textbf{vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů je symetrická, respektive 
antisymetrická} vůči záměně libovolných (dvojic) argumentů, neboť analog podmínky \rf{asymvlnfce} pro více \cc{} lze interpretovat jako 
existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické. 
Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v~první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak
\[
  \psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1),
\]
ale současně
\[
  \psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1),
\]
takže $C_1=C_2$.
 
Podobně jako v~případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z~jednočásticových. Jsou-li $\psi_a(\vex)$ vlnové 
\fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.~$\psi_a\in$ \qintspace, pak
\[
  \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2) := \psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2) + \psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1)
\]
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně
\[
  \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) 
    := \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)
\]
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do 
některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm 1/2)$.
 
Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S$, $\hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či 
antisymetrických \fc í z~$L_2(\R^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$.
 
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
\be
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)
    := \sum_{\pi\in P_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N})
  \ll{bosvlf}
\ee
a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
\begin{multline}
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\
    := \sum_{\pi\in P_N} (-)^{\grad\pi}\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) 
       \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}),
  \ll{antisym}
\end{multline}
kde $P_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $\grad\pi$ je počet transposic, ze kterých je možno složit permutaci $\pi$. Antisymetrickou vlnovou 
\fc i \rf{antisym} lze zapsat jako tzv.~\emph{Slaterův determinant}
\begin{multline}
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\
    = \det\left(
      \ba{cccc}
        \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1) & \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1) \\
        \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2) & \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2) \\
                                 &                          & \ddots & \\
        \psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N) & \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N) \\
      \ea \right).
  \ll{slaterd}
\end{multline}
 
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v~podprostorech $\hil^S$ nebo $\hil^A$. Znamená 
to, že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í, na které působí. Takže např.~operátor potenciální energie v~poli 
konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto 
vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s~operátorem \uv{záměny \cc{}} $P_\pi$
\be
  P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N) := \psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N})
\ee
 
Z~výrazu \rf{slaterd} je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické 
vyjádření Pauliho vylučovacího principu: \textbf{V~souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento 
princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu.
 
Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v~prostorech $L_2(\R^{3},d^{3}x)$, resp.~$L_2(\R^{3},d^{3}x)\ox\C^{2}$, 
pak funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z~jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří ortonormální bazi v~prostoru 
$\hil^S$ popisující soustavu bosonů, resp.~$\hil^A$ popisující soustavu fermionů.
 
\bc
  Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, resp.~$1/2$ v~poli 
  harmonického oscilátoru.
\ec
\bc
  Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv.~nulová aproximace).
\ec