02KVAN:Kapitola7: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m
Řádka 3: Řádka 3:
 
\section{Systémy více částic}
 
\section{Systémy více částic}
  
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v poli
+
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v~poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních  
vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných
+
systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém --- atom vodíku,  
fyzikálních systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis
+
jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v~coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu.  
na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém -- atom
+
V~této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.
vodíku, jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou
+
kvantovou \cc í v coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc,
+
protonu a elektronu. V této kapitole se proto budeme věnovat
+
\qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.
+
  
\special{src: 10 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Při budování \qv é \mi ky více \cc{} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické,  velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o~systém
 +
\cc{} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých
 +
vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě
 +
\cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za \emph{nerozlišitelné}, zatímco v~opačném případě je nazýváme
 +
rozlišitelné.
  
Při budování \qv é \mi ky více \cc {}
+
{\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi.
je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické, velmi důsledně rozlišovat,
+
Označíme-li si \cc e na začátku experimentu např.~jako \uv{první}, \uv{druhá} atd., je možné v~každém čase rozhodnout, o~kterou
jestli jde o systém \cc {} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi
+
\cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.}
stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší
+
žádným ze svých vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj,
+
magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na
+
pohybovém stavu. Dvě \cc e, které mají všechny tyto parametry
+
stejné považujeme za {\em nerozlišitelné}, zatímco
+
%pokud některý z jejich parametrů
+
v opačném případě je nazýváme rozlišitelné.
+
  
\special{src: 23 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení
 +
\uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z~jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc
 +
{} do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z~nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných
 +
týkajících se jednotlivých \cc.
  
{\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, %třeba zavádět,
 
neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými
 
\rc emi a pokud si \cc e na začátku experimentu
 
označíme např. jako "první", "druhá" atd., je možné v každém čase
 
rozhodnout, o kterou \cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy
 
považovat za rozlišitelné.}
 
  
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni
 
sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení "první" či "druhá" pro
 
nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť
 
při přechodu z jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc
 
{ } do jiného
 
(ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z
 
nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných týkajících se
 
jednotlivých \cc.
 
  
\special{src: 43 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
 
\special{src: 46 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
 
\subsection{Systémy rozlišitelných \cc}
 
\subsection{Systémy rozlišitelných \cc}
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých
+
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou  
měření provedených na těchto systémech.
+
bezspinových rozlišitelných \cc, a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt  
Máme-li systém dvou bezspinových rozlišitelných \cc {}%(například hmotou)
+
druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i  
, a víme-li,
+
v~oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k~tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {}  
že pravděpodobnost nalézt první \cc i v oblasti $O_1$ je $w_1$ a
+
dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z~nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$  
pravděpodobnost nalézt druhou \cc i v oblasti $O_2$ je $w_2$, pak
+
a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.
(za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé)
+
pravděpodobnost nalézt první \cc i v oblasti $O_1$ a současně
+
nalézt druhou \cc i v oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k tomu,
+
že podle Bornova postulátu je \pst {} dána amplitudou vlnové \fc e,
+
je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z nichž jedna je ve
+
stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$ a druhá ve stavu $\psi_2$,
+
vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.
+
  
\special{src: 63 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í
 +
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na
 +
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících, tj.~neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá
 +
žádný smysl, přesněji  je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému.
  
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {}
+
Obecně \textbf{přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {} kvadraticky integrabilní vlnovou funkci
jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í
+
\[
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo,
+
  \psi : \R^{3N} \to \C, \quad \psi \in L_2(\R^{3N},d^{3N}x)
pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na
+
\]
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se
+
neovlivňujících -- neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá
+
žádný smysl, přesněji  je ekvivalentní jedno\cc ové
+
teorii pro každou ze složek systému.
+
 
+
\special{src: 74 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Obecně {\bf přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {}
+
kvadraticky integrabilní vlnovou funkci
+
\[ \psi:\real^{3N}\lim\complex,\
+
\psi\in L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\]
+
 
a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru}
 
a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru}
${\cal H}=L_2(\real^{3N},d^{3N}x).$ Platí (viz \cite{beh:lokf},
+
\[
4.6.6), že
+
  \mathcal{H} = L_2(\R^{3N},d^{3N}x).
\[ L_2(\real^{3N},d^{3N}x)=L_2(\real^{3},d^{3}x)\otimes L_2(\real^{3},d^{3}x)
+
\otimes\ldots\otimes L_2(\real^{3},d^{3}x)\]
+
\[ \Leftrightarrow \ {\hil}={\hil}_1\otimes{\hil}_2\otimes\ldots\otimes{\hil}_N,
+
 
\]
 
\]
kde ${\hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň
+
Platí (viz \cite[4.6.6]{beh:lokf}), že
platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\integer_+\}$ je ortonormální baze v
+
\[
${\hil}_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\otimes e^{(2)}_{n_2}\otimes \ldots
+
  L_2(\R^{3N},d^{3N}x) = L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox \cdots \ox L_2(\R^{3},d^{3}x)
e^{(N)}_{n_N},\ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\integer^N_+\}$, kde
+
\]
\[ e^{(1)}_{n_1}\otimes e^{(2)}_{n_2}\otimes \ldots
+
\[
e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N):=e^{(1)}_{n_1}(\vex_1)
+
  \Leftrightarrow \ \hil = \hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N,
e^{(2)}_{n_2}(\vex_2)\ldots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N) \]
+
\]
je rovněž ortonormální bazí v
+
kde ${\hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\Z_+\}$ je ortonormální baze  
${\hil}_1\otimes{\hil}_2\otimes\ldots\otimes{\hil}_N$.
+
v~$\hil_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2}\ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N},\ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\Z^N_+\}$, kde
 +
\[
 +
  e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2} \ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)
 +
    := e^{(1)}_{n_1}(\vex_1) e^{(2)}_{n_2}(\vex_2) \cdots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N)
 +
\]
 +
je rovněž ortonormální bazí v~$\hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N$.
  
\special{src: 97 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v~$\hil_j$, tzn.
 
+
\[
Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v ${\hil}_j$,
+
  \hat{A}_j = \underbrace{\unit\ox\unit\ox\cdots\ox\unit}_{\text{$(j-1)$-krát}}\ox\hat{A}\ox\unit\ox\cdots\ox\unit
tzn. $\hat A_j=\unit\otimes\unit\otimes\ldots\unit\otimes\hat
+
\]
A\otimes\unit\ldots\unit$ se nazývají {\em jednočásticové}.
+
se nazývají \emph{jednočásticové}. Typickým příkladem je operátor kinetické energie první částice
Typickým příkladem je například operátor kinetické energie první
+
$\hat{T}_1 := -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle \ox \unit \ox \cdots \ox \unit \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_1.$ Podobným způsobem  
částice $\hat
+
lze definovat vícečásticové operátory.
T_1:=-\frac{\hbar^2}{2M}\triangle\otimes\unit\ldots\unit \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_1.$
+
Podobným způsobem lze definovat vícečásticové operátory.
+
  
\special{src: 107 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je třeba  
 
+
výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí vedle  
Pro \cc e se spinem $\half$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně
+
$\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem  
závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je třeba výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $\half$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí vedle $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem jednočásticových prostorů $L_2(\real^{3},d^{3}x)\otimes \complex^{2}$.
+
jednočásticových prostorů $L_2(\R^{3},d^{3}x) \otimes \C^{2}$.
\[ {\hil}={\hil}_1\otimes{\hil}_2\otimes\ldots\otimes{\hil}_N
+
\[
=L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\otimes \complex^{2^N}.
+
  \hil = \hil _1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N = L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}.
 
\]
 
\]
Skalární součin v tomto prostoru je definován způsobem
+
Skalární součin v~tomto prostoru je definován způsobem
 
\be
 
\be
(\psi,\phi)=\sum_{\xi_1=\pm}\ldots\sum_{\xi_N=\pm}\int_{\real^{3N}}
+
  (\psi,\phi)
\psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
+
    := \sum_{\xi_1=\pm}\cdots\sum_{\xi_N=\pm} \int_{\R^{3N}}
\phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
+
      \psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
d^{3N}x.
+
      \phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
 +
      d^{3N}x.
 
\ee
 
\ee
  
\bc Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $\half$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar
+
\bc
\[ \hat H = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3 ) \]
+
  Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $1/2$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar
Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat H $ a degeneraci energetických hladin.
+
  \[
 +
    \hat{H} = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3).
 +
  \]
 +
  Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat{H} $ a degeneraci energetických hladin.
 
\ec
 
\ec
\subsubsection{Problém dvou těles v \qv é \mi ce}
 
Problém dvou těles je v kvantové, stejně jako klasické, mechanice
 
snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím
 
pouze na rozdílu poloh jednotlivých \cc {}
 
$V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.
 
  
\special{src: 130 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
 +
 
 +
\subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce}
 +
Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na
 +
rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, popíšeme
 +
napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.
  
 
Zavedením nových proměnných
 
Zavedením nových proměnných
\be \vec X:=\frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2},\
+
\be
\vex:=\vex_1-\vex_2 \ll{nsour}\ee
+
  \vec{X} := \frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2}, \quad \vex := \vex_1-\vex_2
 +
  \ll{nsour}
 +
\ee
 
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru
 
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru
\be L(\vec X,\vex,\dot {\vec X},\dot
+
\be
{\vex})=\half(m_1+m_2)\dot{\vec
+
  L(\vec{X},\vex,\dot{\vec{X}},\dot{\vex}) = \half(m_1+m_2)\dot{\vec{X}}^2 + \half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).
X}^2+\half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).\ee
+
\ee
 
Kanonicky sdružené hybnosti jsou
 
Kanonicky sdružené hybnosti jsou
\be \vec P:=\vec p_1+\vec p_2=
+
\begin{align}
(m_1+m_2)\dot{\vec X}=m_1\dot{\vex_1}+m_2\dot{\vex_2}\ll{nhyb1}\ee
+
  \vec{P} &:= \vec{p}_1+\vec{p}_2 = (m_1+m_2)\dot{\vec X} = m_1\dot{\vex}_1+m_2\dot{\vex}_2, \ll{nhyb1} \\
\be \vec p:=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}=\frac{ m_2\vec p_1-m_1\vec
+
  \vec{p} &:= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex} = \frac{ m_2\vec{p}_1-m_1\vec{p}_2}{m_1+m_2} \ll{nhyb2}
p_2}{m_1+m_2}\ll{nhyb2}\ee
+
\end{align}
 
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí
 
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí
\be H(\vec X,\vex,\vec P,\vec p)=\frac{\vec P^2}{2(m_1+m_2)}
+
\be
+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}{\vec p}^2+V(\vex)=H_t(\vec P)+
+
  H(\vec{X},\vex,\vec{P},\vec{p}) = \frac{\vec{P}^2}{2(m_1+m_2)}+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}\vec{p}{~}^2+V(\vex) = H_t(\vec{P})+H_{\mathrm{rel}}(\vex,\vec{p}).
H_{rel}(\vex,\vec p).\ee
+
\ee
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec
+
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec{p}_1(t),\vec{p}_2(t)$  pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště  
p_1(t),\vec p_2(t)$  pak přejdou na separované rovnice pro pohyb
+
$\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$.
těžiště $\vec X(t),\vec P(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný
+
$\vex(t), \vec p(t)$.
+
  
\special{src: 153 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i systému jako
 +
\fc i nových souřadnic
 +
\be
 +
  \Psi(\vec{X}\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)),
 +
\ee
 +
pak transformace \rf{nsour} vede na transformaci parciálních derivací
 +
\begin{align}
 +
  \frac{\partial}{\partial X_j} &= \frac{\partial}{\partial x_{1,j}}+\frac{\partial}{\partial x_{2,j}}, \quad j=1,2,3, \ll{nder1} \\
 +
  \frac{\partial}{\partial x_j} &= \frac{1}{m_1+m_2} \left( m_2\frac{\partial}{\partial x_{1,j}}-m_1\frac{\partial}{\partial x_{2,j}} \right), \quad j=1,2,3, \ll{nder2}
 +
\end{align}
 +
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \rf{nhyb2}.
  
 +
\textbf{Hamiltonián systému dvou interagujících \cc
 +
\be
 +
  \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\triangle_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\triangle_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2)
 +
\ee
 +
transformací \rf{nsour} přejde na tvar
 +
\be
 +
  \hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vex),
 +
\ee
 +
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a druhá
 +
je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$.
  
\special{src: 156 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro Rydbergovu
 +
energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu a protonu. Pokud se
 +
zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.
  
{\bf Transformace souřadnic \rf{nsour}) vede i na zjednodušení
 
kvantově mechanického popisu  dvou částic.} Zapíšeme-li
 
vlnovou \fc i systému jako \fc i nových souřadnic
 
\be \Psi(\vec X,\vex):=\psi(\vex_1(\vec X,\vex), \vex_2(\vec
 
X,\vex)),\ee
 
pak transformace \rf{nsour}) vede na transformaci
 
parciálních derivací
 
\be \frac{\partial}{\partial X_j}=\frac{\partial}{\partial
 
x_{1,j}}+\frac{\partial}{\partial x_{2,j}},\ j=1,2,3, \ll{nder1}\ee
 
\be \frac{\partial}{\partial x_j}=\frac{1}
 
{m_1+m_2}(m_2\frac{\partial}{\partial
 
x_{1,j}}-m_1\frac{\partial}{\partial x_{2,j}}),\ j=1,2,3, \ll{nder2}\ee
 
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické
 
\rf{nhyb1}, \ref{nhyb2}).
 
  
\special{src: 173 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
{\bf Hamiltonián systému dvou interagujících \cc
 
\be \hat
 
H=-\frac{\hbar^2}{2m_1}\triangle_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\triangle_2
 
+\hat V(\vex_1-\vex_2)\ee
 
transformací \rf{nsour}) přejde na tvar
 
\be \hat H= \hat H_t+\hat
 
H_{rel}=-\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X
 
-\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vec x),\ee
 
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.
 
} Jedna z nich je volná kvantová \cc e s hmotou $m_1+m_2$
 
(těžiště) a druhá je \cc í s hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v
 
poli potenciálu $V$.
 
  
\special{src: 188 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v
 
coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu
 
pro Rydbergovu energii dosadíme hmotu
 
$M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde
 
${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu a protonu. Pokud
 
se zajímáme o spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$
 
použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.
 
  
 
\subsection{Skládání momentů hybnosti}
 
\subsection{Skládání momentů hybnosti}
 
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}
 
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}
\def\l2{{\hat L^{(2)}}} \def\hj{{\hat J}}
+
\def\l2{{\hat L^{(2)}}}
 +
\def\hj{{\hat J}}
 
V klasické \mi ce je
 
V klasické \mi ce je
 
moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, t.j.
 
moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, t.j.
Řádka 242: Řádka 198:
 
proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$
 
proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$
 
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že \be [\hat J_k,\hat
 
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že \be [\hat J_k,\hat
J_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m. \ee Z podkapitoly \ref{atmh} pak
+
J_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m. \ee Z~podkapitoly \ref{atmh} pak
 
plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat J^2$ a $\hat J_z$ mohou
 
plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat J^2$ a $\hat J_z$ mohou
 
mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ a $m\hbar$, kde $j$ a $m$
 
mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ a $m\hbar$, kde $j$ a $m$
Řádka 261: Řádka 217:
  
 
V prvním kroku se přesvědčíme, že stav $|l_1,l_1>\otimes \,
 
V prvním kroku se přesvědčíme, že stav $|l_1,l_1>\otimes \,
|l_2,l_2>$ splňuje rovnice (\ref{lljm1})--(\ref{lljm4}) pro
+
|l_2,l_2>$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro
$j=m=l_1+l_2$. Rovnice (\ref{lljm1}),(\ref{lljm2}) se shodují s
+
$j=m=l_1+l_2$. Rovnice \rf{lljm1},\rf{lljm2} se shodují s
(\ref{lmlm1}),(\ref{lmlm2}) a rovnice (\ref{lljm4}) je jednoduchým
+
\rf{lmlm1},\rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým
důsledkem (\ref{lmlm1}),(\ref{lmlm2}). K odvození (\ref{lljm3}) se
+
důsledkem \rf{lmlm1},\rf{lmlm2}. K odvození \rf{lljm3} se
 
hodí formule \begin{equation}\label{jjll}
 
hodí formule \begin{equation}\label{jjll}
 
     \hj^2=\hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2=(\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,
 
     \hj^2=\hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2=(\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,
Řádka 295: Řádka 251:
 
   (\alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>-
 
   (\alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>-
 
   \alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>),$$
 
   \alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>),$$
lze ukázat že splňuje (\ref{lljm1})--(\ref{lljm4}) pro
+
lze ukázat že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro
 
$j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o stav, který označujeme $
 
$j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o stav, který označujeme $
 
|l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1>$. Postupnou aplikací operátoru $J_-$
 
|l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1>$. Postupnou aplikací operátoru $J_-$
Řádka 310: Řádka 266:
  
 
Vzhledem k tomu, že stavy $|l_1,l_2,j,m>$ splňují rovnice
 
Vzhledem k tomu, že stavy $|l_1,l_2,j,m>$ splňují rovnice
(\ref{lljm1})--(\ref{lljm4}) pro různá vlastní čísla, musí být
+
\rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být
 
vzájemně ortogonální stejně jako stavy $|l_1,m_1>\otimes \,
 
vzájemně ortogonální stejně jako stavy $|l_1,m_1>\otimes \,
 
|l_2,m_2>$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v podprostoru
 
|l_2,m_2>$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v podprostoru
Řádka 316: Řádka 272:
 
dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s
 
dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s
 
daným $j$ a $m$ se nazývají Clebsch--Gordanovy koeficienty. Způsob
 
daným $j$ a $m$ se nazývají Clebsch--Gordanovy koeficienty. Způsob
jejich výpočtu je možno nalézt např. v \cite {beh:lokf}.
+
jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}.
  
 
Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda
 
Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda
Řádka 328: Řádka 284:
  
  
\subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip} Jak už
 
bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a
 
nižší úrovni označení "první" či "druhá" pro nerozlišitelné \cc e
 
ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v teoretickém
 
popisu těchto jevů.
 
  
Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému.
 
Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu, který je dán hodnotami
 
$a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami
 
\be \hat A\psi=a\psi, \ \hat B\psi=b\psi,\ \ldots\ . \ll{ab12}\ee
 
Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na
 
$\tilde\psi(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$
 
Pro nerozlišitelné částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit.
 
Současně s \rf{ab12}) musí tedy rovněž platit
 
\be \hat A\tilde\psi=a\tilde\psi, \ \hat B\tilde\psi=b\tilde\psi,\ \ldots\ . \ee
 
Z předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e
 
$\psi$ a $\tilde \psi$  jsou určeny jednoznačně až na konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde\psi$.
 
Odtud však plyne, že
 
\be \psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),
 
\ll{asymvlnfce}\ee
 
takže $C_\psi=\pm 1$. {Stavové \fc e
 
dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické
 
při záměně svých argumentů.}
 
  
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na
 
vlnové \fc i, neboť v opačném případě
 
stavy popsané lineárními kombinacemi vlnových
 
\fc í s různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani
 
antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány
 
symetrickými vlnovými \fc emi se nazývají {\em bosony} a
 
částice, jejichž soubory jsou popsány
 
antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají {\em fermiony}.
 
  
\special{src: 251 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
V kvantové teorii pole lze ukázat, že {\bf typ symetrie vlnových \fc í
+
\subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip}
je určen spinem \cc.} Částice s polocelým spinem (v jednotkách
+
Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné
$\hbar$) jako např. elektron, proton či neutron jsou
+
\cc e ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v~teoretickém popisu těchto jevů.
fermiony a částice s celým spinem jako např. $\pi-$mesony nebo foton
+
jsou bosony.
+
Vlnové \fc e \cc{} s nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na "spinových" proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se
+
%v případě \cc se spinem
+
pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k),\ j\neq k$.
+
  
\special{src: 262 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému. Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu,
 +
který je dán hodnotami $a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami
 +
\be
 +
  \hat{A}\psi = a\psi, \quad \hat{B}\psi = b\psi, \quad \ldots
 +
  \ll{ab12}
 +
\ee
 +
Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na $\tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$ Pro nerozlišitelné
 +
částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit. Současně s \rf{ab12} musí tedy rovněž platit
 +
\be
 +
  \hat{A}\tilde{\psi} = a\tilde{\psi}, \quad \hat{B}\tilde{\psi} = b\tilde{\psi}, \quad \ldots
 +
\ee
 +
Z~předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e $\psi$ a $\tilde{\psi}$  jsou určeny jednoznačně až na
 +
konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde{\psi}$. Odtud však plyne, že
 +
\be
 +
  \psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),
 +
  \ll{asymvlnfce}
 +
\ee
 +
takže $C_\psi=\pm 1$. Stavové \fc e dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů.
  
Z výše uvedeného ihned plyne, že
+
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v~opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi
{\bf vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů
+
vlnových \fc í s~různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými
%nerozlišitelných \cc {} je
+
\fc emi se nazývají \emph{bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{fermiony}.
je symetrická, respektive antisymetrická} vůči záměně libovolných
+
 
(dvojic) argumentů, neboť analog podmínky (\ref{asymvlnfce}pro více \cc{} lze interpretovat jako existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické. Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak
+
V~kvantové teorii pole lze ukázat, že \textbf{typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s~polocelým spinem (v~jednotkách
\[ \psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1), \]
+
$\hbar$), jako např.~elektron, proton či neutron, jsou fermiony a částice s~celým spinem, jako např.~$\pi$--mesony nebo foton, jsou bosony.
 +
Vlnové \fc e \cc{} s~nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na \uv{spinových} proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze
 +
diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k)$,
 +
$j\neq k$.
 +
 
 +
Z~výše uvedeného ihned plyne, že \textbf{vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů je symetrická, respektive  
 +
antisymetrická} vůči záměně libovolných (dvojic) argumentů, neboť analog podmínky \rf{asymvlnfce} pro více \cc{} lze interpretovat jako  
 +
existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické.  
 +
Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v~první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak
 +
\[
 +
  \psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1),
 +
\]
 
ale současně
 
ale současně
\[ \psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1), \]
+
\[
 +
  \psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1),
 +
\]
 
takže $C_1=C_2$.
 
takže $C_1=C_2$.
  
\special{src: 274 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Podobně jako v~případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z~jednočásticových. Jsou-li $\psi_a(\vex)$ vlnové  
 
+
\fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.~$\psi_a\in$ \qintspace, pak
Podobně jako v případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet
+
vícečásticové vlnové funkce z jednočásticových. Jsou-li
+
$\psi_a(\vex)$ vlnové \fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.
+
$\psi_a\in$\qintspace, pak
+
 
\[
 
\[
\psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2):=
+
  \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2) := \psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2) + \psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1)
\psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2)+
+
\]
\psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1) \]
+
 
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně
 
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně
\[ \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2):=
+
\[
\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2)-
+
  \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) := \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)
\psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) \]
+
\]
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. % se spinem $\half$.
+
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do  
Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do některé osy součástí definice jednočásticového stavu čili např. $a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm\half)$.
+
některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm 1/2)$.
  
Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S,\ \hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či antisymetrických \fc í z $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\otimes \complex^{2^N}$.
+
Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S$, $\hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či antisymetrických  
 +
\fc í z~$L_2(\R^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$.
  
\special{src: 297 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
 +
\be
 +
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)
 +
    := \sum_{\pi\in P_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N})
 +
  \ll{bosvlf}
 +
\ee
 +
a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
 +
\begin{multline}
 +
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\
 +
    := \sum_{\pi\in P_N} (-)^{\grad\pi}\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1})
 +
      \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}),
 +
  \ll{antisym}
 +
\end{multline}
 +
kde $P_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $\grad\pi$ je počet transposic, ze kterých je možno složit permutaci $\pi$. Antisymetrickou vlnovou
 +
\fc i \rf{antisym} lze zapsat jako tzv.~\emph{Slaterův determinant}
 +
\begin{multline}
 +
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\
 +
    = \det\left(
 +
      \ba{cccc}
 +
        \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1) & \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1) \\
 +
        \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2) & \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2) \\
 +
                                &                          & \ddots & \\
 +
        \psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N) & \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N) \\
 +
      \ea \right).
 +
  \ll{slaterd}
 +
\end{multline}
  
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech
+
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v~podprostorech $\hil^S$ nebo $\hil^A$. Znamená
$\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
+
to, že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í, na které působí. Takže např.~operátor potenciální energie v~poli
\be \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N):=
+
konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto
%\frac{1}{\sqrt{N!}}
+
vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s~operátorem \uv{záměny \cc{}} $P_\pi$
\sum_{\pi\in P_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi
+
\be
2})\ldots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N}) \ll{bosvlf}\ee
+
  P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N) := \psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N})
a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech
+
\ee
$\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$  je
+
\[ \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,
+
\ldots,\vex_N,\xi_N):= \]
+
\be %\frac{1}{\sqrt{N!}}
+
\sum_{\pi\in P_N} (-)^{grad\ \pi}
+
\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})
+
\ldots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}), \ll{antisym}\ee
+
kde $P_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $grad \ \pi$ je počet
+
transposic, ze kterých je možno složit permutaci $\pi$. Antisymetrická vlnová \fc e \rf{antisym}) se dá zapsat jako
+
tzv. {\em Slaterův determinant}.
+
\[ \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,
+
\ldots,\vex_N,\xi_N)=\ \ \ \ \ \ {}\]
+
\be \ \ \ det\left( \ba{cccc}
+
\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)& \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1)\\
+
\psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)& \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2)\\
+
.&.&.&.\\
+
\psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N)& \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N)\\
+
\ea
+
\right). \ll{slaterd}\ee
+
  
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v podprostorech  $\hil^S$ nebo $\hil^A$. Znamená to že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í na které působí, takže např. operátor potenciální energie v poli konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s operátorem "záměny \cc{}" $P_\pi$
+
Z~výrazu \rf{slaterd} je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické
\be P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N):=\psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N}) \ee
+
vyjádření Pauliho vylučovacího principu: \textbf{V~souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento
 +
princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu.
  
Z výrazu \rf{slaterd}) je zřejmé, že pokud dva jednočásticové
+
Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v prostorech $L_2(\R^{3},d^{3}x)$, respektive $L_2(\R^{3},d^{3}x)\otimes \C^{2}$, pak
stavy jsou stejné,
+
funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří
%t.j. $\exists j\neq k$ tak, že $ a_j=a_k$,
+
pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické vyjádření
+
Pauliho vylučovacího principu:
+
{\bf V souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném
+
stavu}. Tento princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu
+
atomu.
+
 
+
\special{src: 337 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v prostorech $L_2(\real^{3},d^{3}x)$, respektive $L_2(\real^{3},d^{3}x)\otimes \complex^{2}$, pak
+
funkce \rf{bosvlf}) a \rf{antisym}) složené z jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří
+
 
ortonormální bazi v prostoru $\hil^S$ popisující soustavu bosonů, respektive $\hil^A$ popisující soustavu fermionů.
 
ortonormální bazi v prostoru $\hil^S$ popisující soustavu bosonů, respektive $\hil^A$ popisující soustavu fermionů.
\bc Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, respektive $\half$ v poli harmonického oscilátoru.
+
 
 +
\bc
 +
  Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, resp.~$1/2$ v~poli  
 +
  harmonického oscilátoru.
 
\ec
 
\ec
\bc Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv. nulová aproximace).
+
\bc
 +
  Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv.~nulová aproximace).
 
\ec
 
\ec

Verze z 5. 9. 2011, 08:19

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Systémy více částic}
 
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v~poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních 
systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém --- atom vodíku, 
jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v~coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu. 
V~této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.
 
Při budování \qv é \mi ky více \cc{} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické,  velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o~systém 
\cc{} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých 
vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě 
\cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za \emph{nerozlišitelné}, zatímco v~opačném případě je nazýváme 
rozlišitelné.
 
{\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi. 
Označíme-li si \cc e na začátku experimentu např.~jako \uv{první}, \uv{druhá} atd., je možné v~každém čase rozhodnout, o~kterou 
\cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.}
 
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení 
\uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z~jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc
{} do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z~nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných 
týkajících se jednotlivých \cc.
 
 
 
 
 
\subsection{Systémy rozlišitelných \cc}
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou 
bezspinových rozlišitelných \cc, a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt 
druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i 
v~oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k~tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {} 
dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z~nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$ 
a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.
 
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í 
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na 
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících, tj.~neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá 
žádný smysl, přesněji  je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému.
 
Obecně \textbf{přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {} kvadraticky integrabilní vlnovou funkci
\[
  \psi : \R^{3N} \to \C, \quad \psi \in L_2(\R^{3N},d^{3N}x)
\]
a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru}
\[
  \mathcal{H} = L_2(\R^{3N},d^{3N}x).
\]
Platí (viz \cite[4.6.6]{beh:lokf}), že
\[
  L_2(\R^{3N},d^{3N}x) = L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox \cdots \ox L_2(\R^{3},d^{3}x)
\]
\[
  \Leftrightarrow \ \hil = \hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N,
\]
kde ${\hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\Z_+\}$ je ortonormální baze 
v~$\hil_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2}\ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N},\ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\Z^N_+\}$, kde
\[
  e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2} \ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)
    := e^{(1)}_{n_1}(\vex_1) e^{(2)}_{n_2}(\vex_2) \cdots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N)
\]
je rovněž ortonormální bazí v~$\hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N$.
 
Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v~$\hil_j$, tzn.
\[
  \hat{A}_j = \underbrace{\unit\ox\unit\ox\cdots\ox\unit}_{\text{$(j-1)$-krát}}\ox\hat{A}\ox\unit\ox\cdots\ox\unit
\]
se nazývají \emph{jednočásticové}. Typickým příkladem je operátor kinetické energie první částice
$\hat{T}_1 := -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle \ox \unit \ox \cdots \ox \unit \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_1.$ Podobným způsobem 
lze definovat vícečásticové operátory.
 
Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je třeba 
výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí vedle 
$\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem 
jednočásticových prostorů $L_2(\R^{3},d^{3}x) \otimes \C^{2}$.
\[
  \hil = \hil _1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N = L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}.
\]
Skalární součin v~tomto prostoru je definován způsobem
\be
  (\psi,\phi)
    := \sum_{\xi_1=\pm}\cdots\sum_{\xi_N=\pm} \int_{\R^{3N}}
       \psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
       \phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
       d^{3N}x.
\ee
 
\bc
  Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $1/2$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar
  \[
    \hat{H} = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3).
  \]
  Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat{H} $ a degeneraci energetických hladin.
\ec
 
 
 
\subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce}
Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na 
rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, popíšeme 
napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.
 
Zavedením nových proměnných
\be
  \vec{X} := \frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2}, \quad \vex := \vex_1-\vex_2
  \ll{nsour}
\ee
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru
\be
  L(\vec{X},\vex,\dot{\vec{X}},\dot{\vex}) = \half(m_1+m_2)\dot{\vec{X}}^2 + \half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).
\ee
Kanonicky sdružené hybnosti jsou
\begin{align}
  \vec{P} &:= \vec{p}_1+\vec{p}_2 = (m_1+m_2)\dot{\vec X} = m_1\dot{\vex}_1+m_2\dot{\vex}_2, \ll{nhyb1} \\
  \vec{p} &:= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex} = \frac{ m_2\vec{p}_1-m_1\vec{p}_2}{m_1+m_2} \ll{nhyb2}
\end{align}
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí
\be
  H(\vec{X},\vex,\vec{P},\vec{p}) = \frac{\vec{P}^2}{2(m_1+m_2)}+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}\vec{p}{~}^2+V(\vex) = H_t(\vec{P})+H_{\mathrm{rel}}(\vex,\vec{p}).
\ee
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec{p}_1(t),\vec{p}_2(t)$  pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště 
$\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$.
 
\textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i systému jako 
\fc i nových souřadnic
\be
  \Psi(\vec{X}\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)),
\ee
pak transformace \rf{nsour} vede na transformaci parciálních derivací
\begin{align}
  \frac{\partial}{\partial X_j} &= \frac{\partial}{\partial x_{1,j}}+\frac{\partial}{\partial x_{2,j}}, \quad j=1,2,3, \ll{nder1} \\
  \frac{\partial}{\partial x_j} &= \frac{1}{m_1+m_2} \left( m_2\frac{\partial}{\partial x_{1,j}}-m_1\frac{\partial}{\partial x_{2,j}} \right), \quad j=1,2,3, \ll{nder2}
\end{align}
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \rf{nhyb2}.
 
\textbf{Hamiltonián systému dvou interagujících \cc
\be
  \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\triangle_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\triangle_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2)
\ee
transformací \rf{nsour} přejde na tvar
\be
  \hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vex),
\ee
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a druhá 
je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$.
 
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro Rydbergovu 
energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu a protonu. Pokud se 
zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.
 
 
 
 
 
 
\subsection{Skládání momentů hybnosti}
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}
\def\l2{{\hat L^{(2)}}}
\def\hj{{\hat J}}
V klasické \mi ce je
moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, t.j.
vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých složek. Pro
kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce
momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze
celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy
složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost
problému skládání momentů hybnosti narůstá s počtem složek a proto
se v dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve
vlastních stavu momentu hybnosti, t.j. společném vlastním stavu
$\hat L^2$ a $\hat L_z$.
 
Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic pro
které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti %$\vec L^2, \ L_z$
$l_1(l_1+1)\hbar^2,m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2,m_2\hbar$. Znamená
to tedy, že první z \cc{} mohu přiřadit \fc i
$\psi_{a_1,l_1,m_1}\equiv|a_1,l_1,m_1>$
 a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2}\equiv|a_2,l_2,m_2>$, kde hodnoty $a_1,a_2$
představují hodnoty ostatních pozorovatelných  kompatibilních s
$\hat L^2$ a $\hat L_z$, např. celkové energie. Stav celého sytému
pak můžeme popsat vlnovou \fc í
$$\psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\otimes\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2)
=\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2).$$
Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme
této funkci přiřadit ket $|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>$ pro který
platí \begin{eqnarray}
  (\lj)^2 |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& l_1(l_1+1)\hbar^2|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm1}\\
  (\l2)^2 |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& l_2(l_2+1)\hbar^2|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm2}\\
 \lj_z |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& m_1\hbar|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>  \label{lmlm3}\\
  \l2_z |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& m_2\hbar|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>.\label{lmlm4}
\end{eqnarray} Pro dané $l_1,l_2$ (a $a_1,a_2$) tvoří tyto stavy
podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit
{\bf hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s jakou \pst í?
 
Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence
přiřadíme operátory $\hat J_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze
na funkce v proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v
proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že \be [\hat J_k,\hat
J_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m. \ee Z~podkapitoly \ref{atmh} pak
plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat J^2$ a $\hat J_z$ mohou
mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ a $m\hbar$, kde $j$ a $m$
jsou (polo)celá čísla, $|m|\leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že \be
[\hat J_k,(\lj)^2]=0,\ \ [\hat J_k,(\l2)^2]=0, \ee takže operátory
$(\lj)^2,\,(\l2)^2,\,\hat J^2,\,\hat J_z$ vzájemně komutují a mohou
(spolu s dalšími operátory) být součástí úplné množiny
pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $|l_1,l_2,j,m>$ ket,
který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, že
splňuje rovnice \begin{eqnarray}
  (\lj)^2 |l_1,l_2,j,m>&=& l_1(l_1+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm1}\\
  (\l2)^2 |l_1,l_2,j,m>&=& l_2(l_2+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm2} \\
 \hj^2 |l_1,l_2,j,m>&=& j(j+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm3} \\
  \hj_z |l_1,l_2,j,m>&=& m\hbar|l_1,l_2,j,m>.\label{lljm4}
\end{eqnarray} Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji,
sestavit je ze stavů $|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>$ popisujících
momenty hybnosti jednotlivých \cc.
 
V prvním kroku se přesvědčíme, že stav $|l_1,l_1>\otimes \,
|l_2,l_2>$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro
$j=m=l_1+l_2$. Rovnice \rf{lljm1},\rf{lljm2} se shodují s
\rf{lmlm1},\rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým
důsledkem \rf{lmlm1},\rf{lmlm2}. K odvození \rf{lljm3} se
hodí formule \begin{equation}\label{jjll}
    \hj^2=\hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2=(\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,
\end{equation}kterou lze snadno odvodit z definice posunovacích
operátorů $L_\pm$. Znamená to tedy, že $|l_1,l_1>\otimes \,
|l_2,l_2>=|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2>$
 
Ze stavu $|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2>$ nyní můžeme snadno vytvořit
$2(l_1+l_2)+1$ stavů $|l_1,l_2,l_1+l_2,m>$ kde $
m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2$ působením posunovacích operátorů
$J_\pm=J_1\pm iJ_2=\lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří tzv.
ireducibilní reprezentaci algebry $su(2)$.)
 
V dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy
$|l_1,l_2,j,m>$ s $j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů
$|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>$ a $|l_1,l_1-1>\otimes \,
|l_2,l_2>$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory.
Jeden z nich je\begin{eqnarray}
  |l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1>&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
  J_-|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2> \nonumber\\
   &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
  (\lj_- +\l2_-)|l_1,l_l>\otimes \, |l_2,l_2>\nonumber
\end{eqnarray}
\begin{equation}
  = \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
  (\alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>+
   \alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>).
\end{equation} O druhém, který je k němu ortogonální, totiž $$
\frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
  (\alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>-
   \alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>),$$
lze ukázat že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro
$j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o stav, který označujeme $
|l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1>$. Postupnou aplikací operátoru $J_-$
na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s $j=l_1+l_2-1,\
|m|\leq j$.
 
Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots.,
j_{min}$. Zbývá zjistit kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů
s daným $j$ je $2j+1$ a rozměr podprostoru s daným $l_1,l_2$, z
jehož stavů jsou vektory $|l_1,l_2,j,m>$ tvořeny, je
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin}
(2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2,
\end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$.
 
Vzhledem k tomu, že stavy $|l_1,l_2,j,m>$ splňují rovnice
\rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být
vzájemně ortogonální stejně jako stavy $|l_1,m_1>\otimes \,
|l_2,m_2>$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v podprostoru
dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito
dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s
daným $j$ a $m$ se nazývají Clebsch--Gordanovy koeficienty. Způsob
jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}.
 
Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda
neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s
daným momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze
komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s komutačními
relacemi spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc,
ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=\half$ a hledat
tak stavy částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu
hybnosti $j=l\pm \half$.
 
 
 
 
 
 
\subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip}
Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné 
\cc e ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v~teoretickém popisu těchto jevů.
 
Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému. Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu, 
který je dán hodnotami $a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami
\be
  \hat{A}\psi = a\psi, \quad \hat{B}\psi = b\psi, \quad \ldots
  \ll{ab12}
\ee
Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na $\tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$ Pro nerozlišitelné 
částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit. Současně s \rf{ab12} musí tedy rovněž platit
\be
  \hat{A}\tilde{\psi} = a\tilde{\psi}, \quad \hat{B}\tilde{\psi} = b\tilde{\psi}, \quad \ldots
\ee
Z~předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e $\psi$ a $\tilde{\psi}$  jsou určeny jednoznačně až na 
konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde{\psi}$. Odtud však plyne, že
\be
  \psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),
  \ll{asymvlnfce}
\ee
takže $C_\psi=\pm 1$. Stavové \fc e dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů.
 
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v~opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi 
vlnových \fc í s~různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými 
\fc emi se nazývají \emph{bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{fermiony}.
 
V~kvantové teorii pole lze ukázat, že \textbf{typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s~polocelým spinem (v~jednotkách 
$\hbar$), jako např.~elektron, proton či neutron, jsou fermiony a částice s~celým spinem, jako např.~$\pi$--mesony nebo foton, jsou bosony.
Vlnové \fc e \cc{} s~nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na \uv{spinových} proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze 
diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k)$, 
$j\neq k$.
 
Z~výše uvedeného ihned plyne, že \textbf{vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů je symetrická, respektive 
antisymetrická} vůči záměně libovolných (dvojic) argumentů, neboť analog podmínky \rf{asymvlnfce} pro více \cc{} lze interpretovat jako 
existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické. 
Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v~první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak
\[
  \psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1),
\]
ale současně
\[
  \psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1),
\]
takže $C_1=C_2$.
 
Podobně jako v~případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z~jednočásticových. Jsou-li $\psi_a(\vex)$ vlnové 
\fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.~$\psi_a\in$ \qintspace, pak
\[
  \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2) := \psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2) + \psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1)
\]
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně
\[
  \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) := \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)
\]
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do 
některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm 1/2)$.
 
Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S$, $\hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či antisymetrických 
\fc í z~$L_2(\R^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$.
 
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
\be
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)
    := \sum_{\pi\in P_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N})
  \ll{bosvlf}
\ee
a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
\begin{multline}
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\
    := \sum_{\pi\in P_N} (-)^{\grad\pi}\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) 
       \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}),
  \ll{antisym}
\end{multline}
kde $P_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $\grad\pi$ je počet transposic, ze kterých je možno složit permutaci $\pi$. Antisymetrickou vlnovou 
\fc i \rf{antisym} lze zapsat jako tzv.~\emph{Slaterův determinant}
\begin{multline}
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\
    = \det\left(
      \ba{cccc}
        \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1) & \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1) \\
        \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2) & \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2) \\
                                 &                          & \ddots & \\
        \psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N) & \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N) \\
      \ea \right).
  \ll{slaterd}
\end{multline}
 
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v~podprostorech $\hil^S$ nebo $\hil^A$. Znamená 
to, že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í, na které působí. Takže např.~operátor potenciální energie v~poli 
konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto 
vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s~operátorem \uv{záměny \cc{}} $P_\pi$
\be
  P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N) := \psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N})
\ee
 
Z~výrazu \rf{slaterd} je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické 
vyjádření Pauliho vylučovacího principu: \textbf{V~souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento 
princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu.
 
Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v prostorech $L_2(\R^{3},d^{3}x)$, respektive $L_2(\R^{3},d^{3}x)\otimes \C^{2}$, pak
funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří
ortonormální bazi v prostoru $\hil^S$ popisující soustavu bosonů, respektive $\hil^A$ popisující soustavu fermionů.
 
\bc
  Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, resp.~$1/2$ v~poli 
  harmonického oscilátoru.
\ec
\bc
  Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv.~nulová aproximace).
\ec