02KVAN:Kapitola6

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v poli
konzervativních sil, jinými slovy předpokládali jsme, že
hamiltonián je tvaru
\[ \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta+\hat V(\vex). \]
Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je
 Lorentzova síla
\be \vec F=\vec F(\vex,\vec v,t)=e[\vec E(\vex,t)+\vec v \times \vec
B(\vex,t)] , \ee
která působí na nabitou částici v \emk ém poli
$\{\vec E(\vex,t),\vec B(\vex,t)\}$. Tato síla
není konzervativní,
na druhé straně, z kursu teoretické fyziky (viz např. \cite{sto:tf} U2.1),
víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného
potenciálu
\[ U(\vex,\vec v,t)=e[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \]
kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn.
\be \vec E=-grad\ \phi-\frac{\partial \vec A}{\partial t},\ \
\vec B= rot \ \vec A. \ee
Pohyb klasické \cc e v \emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc
emi v Hamiltonově formulaci s Hamiltonovou \fc í
\be H(\vex, \vec p,t)=\frac{1}{2M}[\vec p - e\vec A(\vex,t)]^2 +
e\phi(\vex,t). \ee
{\em Hamiltonián \qv ě \mi cké \cc e v
\emk ém poli} je pak možno odvodit z principu korespondence
\be \hat H=\frac{1}{2M}[-i\hbar\vec\nabla - e\hat{\vec A(\vex,t)}]
[-i\hbar\vec\nabla - e\hat{\vec A(\vex,t)}] +
e\hat\phi(\vex,t) \ll{hem}\ee
a snadnými úpravami je možno %tento hamiltonián
jej přepsat na tvar
\be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta +\frac{i\hbar e}{M}\hat{\vec
A(\vex,t)}\cdot\vec\nabla +\frac{i\hbar e}{2M}\hat{div\ \vec
A(\vex,t)}+\frac{e^2}{2M} \hat{\vec A(\vex,t)}\cdot\hat{\vec A(\vex,t)}
+e\hat\phi(\vex,t). \ll{hem2}\ee
 
\special{src: 35 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Poznamenejme zde, že v tomto případě princip korespondence
neurčuje hamiltonián jednoznačně, neboť operátory $\hat P_j,
\hat A_j$ vyskytující se v prvním členu pravé strany \rf{hem})
nekomutují. Znamená to, že hamiltonián \rf{hem}) odpovídá jistému
výběru uspořádání těchto nekomutujících oprátorů plynoucímu v tomto případě z požadavku samosdruženosti. Jiné výběry
uspořádání by se lišily faktorem stojícím před členem $\hat{div\ \vec
A(\vex,t)}$. Pro případ homogenních polí, který budeme v dalším
uvažovat tento člen vymizí.
 
\bc Ukažte, že požadavek samosdruženosti neurčuje uspořádání operátoru odpovídajímu klasické pozorovatelné $p x^2$, kde $p$ a $x$ jsou hybnost a souřadnice jednorozměrného systému.\ec
 
\subsection{Částice v homogenním magnetickém poli}
Budeme se zabývat případem \qv é \cc e v homogenním časově
nezávislém magnetickém poli %$ \vec E(\vex,t)= 0, \
$\vec B(\vex,t)= \vec B$.
 
\special{src: 53 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
%Elektromagnetické
Vektorový potenciál lze v tomto případě zvolit
%\be \phi(\vex)=0,\
$\vec A (\vex)=\half \vec B\times \vex $
a odpovídající hamiltonián lze zapsat způsobem
\be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta -\frac{e}{2M}\vec
B\cdot\hat{\vec L}
+\frac{e^2}{8M} (\vec B\times\hat{\vex})^2+e\hat\phi(\vex), \ll{hhommag}\ee
kde $\hat{\vec L}$ je operátor momentu hybnosti.
%Stejný hamiltonián bychom dostali i pokud by
 
\special{src: 66 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro střední hodnoty souřadnice a momentu hybnosti
charakteristické pro atomy a nikoliv extrémně silná magnetická
pole je příspěvek od třetího členu zanedbatelný, takže
hamiltonián lze psát způsobem
\be \hat H= \hat H_0-\hat{\vec\mu}_{orb}\cdot\vec B, \ee
kde $\hat H_0$ je hamiltonián \cc e bez vlivu magnetického pole
(pouze v poli konzervativních sil, což je problém který jsme
studovali doposud)
a
\be \hat{\vec\mu}_{orb}=\frac{e}{2M}\hat{\vec L}\ll{orbmgm}\ee
je {\em operátor magnetického momentu \cc e}
související s jejím orbitálním pohybem.
 
\special{src: 81 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\special{src: 84 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Je-li potenciál $V(\vex)=e\phi(\vex)$ v $\hat H_0$
sféricky symetrický, což je
například potenciál coulombického pole jádra atomu, pak lze
nalézt vlastní funkce $\psi_{E,l,m}$ hamiltoniánu $\hat H_0$, které jsou současně vlastními
\fc emi momentu hybnosti (viz \ref{ssec:csympot}).
\be \hat H_0 \psi_{E,l,m}=E\psi_{E,l,m}\ll{vlfceelm1}\ee
\be \hat L^2
\psi_{E,l,m}=l(l+1)\hbar^2\psi_{E,l,m}\ll{vlfceelm2}\ee
\be \hat L_z \psi_{E,l,m}=m\hbar\psi_{E,l,m} \ll{vlfceelm3}\ee
 
\special{src: 96 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Odtud  plyne, že v tomto případě lze
okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v
magnetickém poli. Sférická symetrie systému bez magnetického
pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a
pokud platí \rf{vlfceelm1}, \ref{vlfceelm3}), pak rovněž
platí
\be \hat H \psi_{E,l,m}=(E-\mu_0m|\vec B|)\psi_{E,l,m},\ll{vlfcemagp}\ee
kde $\mu_0=\frac{e\hbar}{2M}$ je tzv. {\em Bohrův magneton}. Jeho hodnota pro elektron je 0,9274.$10^{-23}$ $JT^{-1}$.
 
\special{src: 107 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Znamená to, že {\bf hladiny energie částice}, které díky sférické symetrii
původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo %$2l+1$ násobně
degenerované, {\bf se podle takto navržené teorie
vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých
hladin vzdálených o $\mu_0|\vec B|$.} %ekvidistantních hladin.
Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed
vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin
jsou úměrné intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích
hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty).
 
\special{src: 119 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Efekt rozštěpení hladin magnetickým polem byl experimentálně
pozorován, jedná se o tzv. {\em Zeemanův jev},
avšak {\bf počet hladin v multipletu neodpovídá
předpovězenému číslu $2l+1$}. Překvapivé je, že například
dochází k rozštěpení hladiny energie základního stavu atomů,
který by podle dosavadní teorie měl být nedegenerovaný, neboť
v tomto stavu $l=0$.
 
\special{src: 129 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\subsection{Vlastní magnetický moment a spin částice}\label{vmmsc}
Uvedený rozpor teorie a experimentu řeší hypotéza (Landé, Stoner, Pauli 1923--25),
podle které {\bf elektron má} vedle magnetického momentu
\rf{orbmgm})
souvisejícího s orbitálním pohybem ještě  {\bf vlastní magnetický
moment $\vec\mu$, jehož projekce nabývají právě dvou
hodnot}
$\pm|\mu|$.
 
\special{src: 140 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Tato hypotéza se opírá i o výsledky {\em Stern -- Gerlachova
pokusu}, při kterém prochází svazek atomů v základním stavu
nehomogenním magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity.
\begin {figure}[hbtp]
\hskip 1cm
\vskip 1cm
 
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(127.00,150.00)
%\emline(20.00,130.00)(60.00,130.00)
\put(20.00,130.00){\line(1,0){40.00}}
%\end
%\emline(90.00,145.00)(90.00,115.00)
\put(90.00,145.00){\line(0,-1){30.00}}
%\end
%\vector(60.00,130.00)(90.00,135.00)
\put(90.00,135.00){\vector(4,1){0.2}}
\multiput(60.00,130.00)(0.71,0.12){42}{\line(1,0){0.71}}
%\end
%\vector(60.00,130.00)(90.00,125.00)
\put(90.00,125.00){\vector(4,-1){0.2}}
\multiput(60.00,130.00)(0.71,-0.12){42}{\line(1,0){0.71}}
%\end
\put(55.00,135.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}
\put(55.00,110.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}
%\emline(120.00,135.00)(115.00,150.00)
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,0.36){42}{\line(0,1){0.36}}
%\end
%\emline(115.00,150.00)(125.00,150.00)
\put(115.00,150.00){\line(1,0){10.00}}
%\end
%\emline(125.00,150.00)(120.00,135.00)
\multiput(125.00,150.00)(-0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}}
%\end
%\emline(127.00,126.00)(127.00,110.00)
\put(127.00,126.00){\line(0,-1){16.00}}
%\end
%\emline(127.00,110.00)(113.00,110.00)
\put(127.00,110.00){\line(-1,0){14.00}}
%\end
%\emline(113.00,110.00)(113.00,125.00)
\put(113.00,110.00){\line(0,1){15.00}}
%\end
%\emline(113.00,125.00)(114.00,125.00)
\put(113.00,125.00){\line(1,0){1.00}}
%\end
%\emline(114.00,125.00)(115.00,124.00)
\multiput(114.00,125.00)(0.11,-0.11){9}{\line(0,-1){0.11}}
%\end
%\emline(115.00,124.00)(125.00,124.00)
\put(115.00,124.00){\line(1,0){10.00}}
%\end
%\emline(125.00,124.00)(126.00,125.00)
\multiput(125.00,124.00)(0.11,0.11){9}{\line(0,1){0.11}}
%\end
%\emline(126.00,125.00)(127.00,125.00)
\put(126.00,125.00){\line(1,0){1.00}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(120.00,124.00)
\put(120.00,124.00){\vector(0,-1){0.2}}
\put(120.00,135.00){\line(0,-1){11.00}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(123.00,124.00)
\put(123.00,124.00){\vector(1,-4){0.2}}
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(117.00,124.00)
\put(117.00,124.00){\vector(-1,-4){0.2}}
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(126.00,125.00)
\put(126.00,125.00){\vector(2,-3){0.2}}
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(114.00,125.00)
\put(114.00,125.00){\vector(-2,-3){0.2}}
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}
%\end
\put(20.00,132.00){\makebox(0,0)[lb]{1}}
\put(68.00,145.00){\makebox(0,0)[lb]{2}}
\put(80.00,136.00){\makebox(0,0)[lb]{3}}
\put(93.00,115.00){\makebox(0,0)[lb]{4}}
\put(20.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{A) Sch\'ema experimentu}}
\put(105.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{B) Bokorys průběhu}}
\put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lb]{siločar magnetického pole}}
\put(20.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{1  Svazek atomů }}
\put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{2  P\'oly magnetu}}
\put(50.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{3  Rozštěpené svazky částic}}
\put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4  Stínítko}}
\end{picture}
 
 
\caption{Stern -- Gerlachův pokus}
\end{figure}
Síla, která na atomy v tomto poli působí (viz např. \cite{sto:em}
kap. 4.3) je %má složky
%\[  F_j(\vex)=\mu_k\frac{\partial B_k}{\partial x_j}(\vex),\]
\[ \vec F(\vex)=grad (\vec\mu\cdot\vec B(\vex)), \]
takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického
momentu \cc e na směr magnetického pole.
Svazek atomů v základním stavu se průchodem nehomogenním
magnetickým polem rozdělí na dva, což je plně v souhlasu s představou vlastního magnetického momentu elektronu. Z úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené
svazky vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického
momentu. Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s velikostí
Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$.
 
\special{src: 163 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Možnost rozštěpení hladiny energie základního stavu atomu vodíku
na dvě svědčí o tom, že {\bf základní stav je degenerovaný a jeho
popis vlnovou funkcí $\psi_{E,0,0}$ není úplný} a je mu
nutno přiřadit lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých
funkcí, jež jsou vlastními \fc emi energie s nejnižší vlastní hodnotou.
Z předchozího však víme, že taková funkce je až na
multiplikativní konstantu jen jedna. %, totiž $Ce^{-r/a}$.
Východiskem z této situace je použití vlnových \fc í které mají dvě
složky.
\be \psi(\vex)=\left(\ba {c}\psi_1(\vex)\\ \psi_2(\vex)\ea\right).
\ll{vekvlnfce}\ee
Alternativní, avšak ekvivalentní přístup je použití vlnových
funkcí, které vedle $\vex$ závisí ještě na
další proměnné $\xi$, která nabývá pouze dvou hodnot $\pm$, tj.
\[\psi=\psi(\vex,\xi),\ \psi(\vex,+)\equiv\psi_1(\vex),\ \psi(\vex,-)\equiv\psi_2(\vex) .\]
 
\special{src: 181 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Přechod k vlnovým \fc ím \rf{vekvlnfce}) znamená přechod od
Hilbertova prostoru \qintspace k prostoru
\qintspace$\otimes\complex^2$. Skalární součin v tomto prostoru
je
\be
(\psi,\phi)=\sum_{k=1}^2\int_{\real^3}\psi^*_k(\vex)\phi_k(\vex)d^3x
=\sum_{\xi=\pm}\int_{\real^3}\psi^*(\vex,\xi)\phi(\vex,\xi)d^3x
 \ee
a operátory %v tomto prostoru
jsou obecně zadány maticí operátorů
$\hat A=\{\hat A_{ij}\}_{i,j=1}^2$. Neboť jsme se doposud zabývali jevy, ve kterých magnetický moment nehrál roli, mohli jsme používat
operátory, které jsou násobkem jednotkové matice, např.
hamiltonián je dán maticí $\hat H_{ij}=\hat H\delta_{ij}$,
jinak vyjádřeno $\hat{\hat H}=\hat H\otimes\unit_{\complex^2}.$
 
\special{src: 198 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$ (směru
magnetického pole) naopak přiřadíme operátor $\hat{ \mu}_{z}$, který působí
netriviálně pouze v prostoru $\complex^2$, zatímco v prostoru \qintspace {} působí pouze jako násobení konstantou.
\be \hat{ \mu}_{z}:=\left(\ba{cc}\mu_0&0\\0&-\mu_0\ea\right)
\ll{muz}
\ee
 
\special{src: 207 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Souvislost orbitálního magnetického momentu s momentem hybnosti \rf{orbmgm}) přivedla G.E. Uhlenbecka a S. Goudsmita k hypotéze (1925), že podobně jako
orbitální, i {\bf vlastní  magnetický moment \cc e je důsledkem nenulového
vlastního momentu hybnosti --  spinu}. Tato veličina {\em nemá
analogii} v žádném druhu pohybu klasických hmotných těles. {\bf Operátor spinu má stejně jako orbitální magnetický
moment tři složky $\hat S_j$, které netriviálně působí pouze v
$\complex^2$ a vzájemně komutují stejným způsobem jako složky momentu hybnosti}
\be {\Large\mbox{ $ [\hat S_j,\hat S_k]=i\hbar \epsilon_{jkl}\hat S_l. $}}\ll{relspin}\ee
Snadno lze ukázat, že trojice matic $\hat
S_j=\frac{\hbar}{2}\sigma_j$, kde $\sigma_j,\ j=1,2,3$ jsou tzv.
{\em Pauliho matice}
\be \sigma_1=\left(\ba{cc}0&1\\1&0\ea\right),\
\sigma_2=\left(\ba{cc}0&-i\\i&0\ea\right),\
\sigma_3=\left(\ba{cc}1&0\\0&-1\ea\right),\ll{paulimat}\ee
splňuje relace \rf{relspin}).
 
\special{src: 224 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Vztah mezi spinem a vlastním magnetickým momentem elektronu je
\be {\large\fbox{$\hat {\vec{\mu}}=\frac{2\mu_0}{\hbar}\hat{\vec S}
$}}\ ,\ee
což je v souhlasu s \rf{muz}).
Faktor 2 je  v rámci této teorie nutné brát jako fenomenologickou
konstantu. Její vysvětlení je možno podat až v rámci
relativistické kvantové mechaniky.
\bc Ukažte, že vlastní čísla operátoru $\hat{\vec\mu}\cdot\vec B$ jsou
$\pm \mu_0|\vec B|$. Najděte vlastní \fc e.
\ec
\bc Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v poli Coulombova potenciálu s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$.
\ec
\bc Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota z--ové složky spinu
$s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve směru, který se z--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností?
\ec
Vedle relace
\be [\sigma _j,\sigma _k]=2i\epsilon_{jkl}\sigma _l,
\ll{sigmarel}\ee
ze které plyne \rf{relspin}), mají Pauliho matice ještě další
vlastnosti užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z nich
\be \sigma _j=\sigma _j^\dagger,\ Tr\ \sigma _j=0, \ee
\be \{\sigma _j,\sigma _k\}=2\delta_{jk}\unit. \ll{anticomsig}\ee
Mimo to spolu s jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j,\ j=1,2,3\}$
(hermitovskou) bazi v prostoru komplexních matic $2\times 2$.
Násobení Pauliho matic
\be \sigma _j\sigma _k=\delta_{jk}+i\epsilon_{jkl}\sigma _l
\ll{nassig}\ee
plyne okamžitě z \rf{sigmarel}, \ref{anticomsig}).
\bc Ukažte, že $\hat{\vec S}^2=\frac{3}{4}\hbar^2\unit$.
Porovnejte tento výsledek s \rf{vlfceelm2}).
\ec
\bc Uvažujte systém (tzv. supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2({\cal R},dx) \otimes {\cal C}^2$ hamiltoniánem
$$ \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes {\bf 1} + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes {\bf 1} + \frac{\hbar \omega}{2} {\bf 1} \otimes \sigma_{3}.$$
Dále je dán operátor
$$ \hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}).$$
Nalezněte $\hat{Q}^{+}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké omezení lze vyvodit z těchto relací na spektrum hamiltoniánu (~tj. zda je shora či zdola omezené a čím~)? (~Postačí uvažovat bodovou část spektra.~)
\ec
\subsection{Pauliho \rc e. Normální Zeemanův jev}
 
\special{src: 263 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z výsledku Stern -- Gerlachova pokusu a rozštěpení energetických
hladin atomů v magnetickém poli jsme došli k hypotéze, že stavy \cc{}
v atomu jsou charakterizovány též hodnotou čistě kvantové
veličiny nazývané spin. Síly, které působí na atomové \cc e v magnetickém
poli jsou na spinu závislé a musí být proto zahrnuty do
hamiltoniánu. W. Pauli navrhl rozšíření hamiltoniánu pro \cc i v
\emk ém poli na tvar
\be {\Large \fbox{$ \hat H=\frac{1}{2M}[\hat{\vec P} - e\hat {\vec A}]^2 +
e\hat\phi-{\mu_0}\hat{\vec B}\cdot\hat{\vec \sigma} $}} \ .\ll{pauham}\ee
Rovnice
\[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi, \]
kde $\hat H$ je tvaru \rf{pauham}) a $\psi$ je dvoukomponentová
\fc e se nazývá {\em Pauliho \rc e}. Odpovídající \rc e $\hat
H\psi=E\psi$ se pak nazývá bezčasová Pauliho \rc e.
 
\special{src: 280 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec
B(\vex,t)=\vec B$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení
\sv y \rc e, neboť přímým výpočtem lze ukázat, že pokud
$\phi_j,\ j=1,2$ jsou  řešení \sv y
\rc e
\[ i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t}=\hat H_1\phi, \]
kde $\hat H_1$ je spimově nezávislá část \rf{pauham}), pak řešení Pauliho \rc e lze zapsat způsobem
\be \left( \ba {c}\psi_1(\vex,t)\\
\psi_2(\vex,t)\ea\right)=\exp[\frac{i}{\hbar}\hat{\vec\mu}\cdot\vec B
t] \left(\ba {c}\phi_1(\vex,t)\\ \phi_2(\vex,t)\ea\right), \ll{respauli}\ee
kde
\be \exp[\frac{i}{h}\hat{\vec\mu}\cdot\vec Bt]=\cos (\frac
{\mu_0}{\hbar}|\vec B|t)+i\frac{\vec B\cdot\vec \sigma}{|\vec B|}\sin(\frac
{\mu_0}{\hbar}|\vec B|t). \ll{expmb}\ee
\bc Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli směřujícímím ve směru osy $x$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota její z-ové složky spinu $+\hbar/2$. S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její y-ové složky spinu $+\hbar/2$?
\ec
\bc Ukažte, že pokud výraz $\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]$
definujeme pomocí řady
\be \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec
a\cdot\vec\sigma)^n}{n!}, \ll{defexp}\ee
pak platí
\be  \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]=\cos (|\vec a|)+i\frac{\vec
a\cdot\vec\sigma}{|\vec a|}\sin(|\vec a|). \ee
\ec
 
\special{src: 307 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Rozštěpení energetických hladin v důsledku existence vlastního
magnetického momentu je pak možno popsat Pauliho hamiltoniánem
\be \hat H_P=\hat H_0 -\frac{\mu_0}{\hbar}\vec
B\cdot\hat{\vec L}-\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec
B\cdot\hat{\vec S},\ee
kde $\hat H_0$ (což
je např. hamiltonián
\cc e v coulombickém poli) popisuje \cc i bez magnetického pole.
Řešením bezčasové Pauliho \rc e $H_P\psi=E\psi$ lze
dostat {\bf energetické spektrum,
které odpovídá rozštěpení hladin magnetickým polem
pozorované v normálním Zeemanově
jevu.}
Toto řešení %bezčasové Pauliho \rc e lze rovněž
lze obdržet ze znalosti řešení bezčasové
\sv y \rc e. % $H_0\psi=E_0\psi$.
 
\special{src: 326 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro sféricky symetrický hamiltonián $\hat H_0$, lze bez újmy na
obecnosti zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole.
Je snadné se přesvědčit, že pokud \cc e má
v nepřítomnosti magnetického pole energii $E_0=E_{nl}$
(tzn. $E_{nl}$ je vlastní hodnotou hamiltoniánu $\hat H_0$)
 a funkce $\psi_{n,l,m}$ jsou vlastní funkce $\hat H_0,
\hat  L^2,\hat L_z$,  pak
\fc e
\be  \psi_{n,l,m,+}(\vex)=\left(\ba {c}\psi_{n,l,m}(\vex)\\ 0\ea\right),\
 \psi_{n,l,m,-}(\vex)=\left(\ba{c}0\\\psi_{n,l,m}(\vex)\ea\right)\ee
jsou vlastními
\fc emi Pauliho hamiltoniánu odpovídajícími vlastním hodnotám
$E_{n,l,m,\pm}=E_{nl}-\mu_0B_z(m\pm 1)$.
Počet hladin multipletu je $2l+3$ pro $l=1,2,\ldots$. Pro $l=0$
dostáváme dvě hladiny energie, což je ve shodě i se
Stern--Gerlachovým pokusem.
%Vlastní hodnoty $E_{n,l,l,+}$ a $E_{n,l,-l,-} jsou
%nedegenerované.
 
\special{src: 347 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Poznamenejme ještě, že vedle normálního Zeemanova jevu existuje ještě tzv. anomální Zeemanův jev. Jeho popis a vysvětlení dané tzv. spin-orbitální vazbou zde provádět nebudeme (viz např \cite{for:ukt} kap 7.5).
 
\special{src: 351 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Na závěr této kapitoly je třeba ještě učinit důležitou poznámku: Existence nenulového spinu není univerzální vlastnost všech kvantových \cc. V uvedených jevech, které nás přiměly zavést spin, mají rozhodující vliv valenční elektrony atomů. Znamená to tedy, že elektronům je třeba přiřadit spin (velikosti 1/2). Na druhé straně existují částice, které spin nemají. Jsou to například mesony $\pi$ důležité pro popis jaderných sil. Ty pak interagují s magnetickým polem pouze prostřednictvím svého orbitálního momentu hybnosti.