02KVAN:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (drobné formální úpravy)
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
\section{Částice v~elektromagnetickém poli. Spin}
+
\chapter{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}
 +
\ll{ssec:csympot}
  
Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v~poli konzervativních sil. Jinými slovy předpokládali jsme, že
+
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je
hamiltonián je tvaru
+
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
\[ \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl+\hat V(\vex). \]
+
Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je Lorentzova síla
+
\begin{equation}
+
  \vec{F} = \vec{F}(\vex,\vec v,t)=e[\vec E(\vex,t)+\vec v \times \vec{B}(\vex,t)],
+
\end{equation}
+
která působí na nabitou částici v~\emk ém poli $\{\vec{E}(\vex,t),\vec{B}(\vex,t)\}$. Tato síla není konzervativní. Na druhé
+
straně, z~kursu teoretické fyziky (viz např.~\cite[U2.1]{sto:tf}), víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného potenciálu
+
\[ U(\vex,\vec{v},t)=e[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \]
+
kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn.
+
\begin{equation}
+
  \vec{E} = -\grad\phi - \frac{\pd\vec{A}}{\pd t}, \qquad \vec{B} = \rot\vec{A}.
+
\end{equation}
+
Pohyb klasické \cc e v~\emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc emi v~Hamiltonově formulaci s~Hamiltonovou \fc í
+
\begin{equation}
+
  H(\vex, \vec{p},t) = \frac{1}{2M}[\vec{p} - e \vec{A}(\vex,t)]^2 + e\phi(\vex,t).
+
\end{equation}
+
\emph{Hamiltonián \qv ě \mi cké \cc e v~\emk ém poli} je pak možno odvodit z~principu korespondence
+
\begin{equation}
+
  \hat{H} = \frac{1}{2M}[-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] \cdot [-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] + e\hat{\phi}(\vex,t)
+
  \ll{hem}
+
\end{equation}
+
a snadnými úpravami je možno jej přepsat na tvar
+
\begin{equation}
+
  \hat{H}
+
    = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta +\frac{i\hbar e}{M}\hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \vec{\nabla}
+
    + \frac{i\hbar e}{2M}\div\hat{\vec{A}}(\vex,t)
+
    +  \frac{e^2}{2M} \hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \hat{\vec{A}}(\vex,t)
+
    + e\hat{\phi}(\vex,t).
+
  \ll{hem2}
+
\end{equation}
+
  
Poznamenejme zde, že v~tomto případě princip korespondence neurčuje hamiltonián jednoznačně, neboť operátory $\hat{P}_j$ a $\hat{A}_j$
+
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar
vyskytující se v~prvním členu pravé strany \rf{hem} nekomutují. Znamená to, že hamiltonián \rf{hem} odpovídá jistému výběru uspořádání
+
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \lapl + \hat V(r), \ll{sspot} \ee
těchto nekomutujících oprátorů plynoucímu v~tomto případě z~požadavku samosdruženosti. Jiné výběry uspořádání by se lišily faktorem
+
kde
stojícím před členem $\div\hat{\vec{A}}(\vex,t)$. Pro případ homogenních polí, který budeme v~dalším uvažovat tento člen vymizí.
+
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee
 +
 
 +
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami
 +
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
  
 
\bc
 
\bc
   Ukažte, že požadavek samosdruženosti neurčuje uspořádání operátoru odpovídajímu klasické pozorovatelné $p x^2$, kde $p$ a $x$
+
   Spočítejte komutátory
   jsou hybnost a souřadnice jednorozměrného systému.
+
  \be [\hat L_j,\hat Q_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\ \ll{loper1} \ee
 +
  kde
 +
   \be \hat L_j = \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee
 
\ec
 
\ec
  
 +
\bc
 +
  Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $\hat L_3\equiv \hat L_z$ a
 +
  \be \hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee
 +
\ec
  
 +
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
  
 +
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
 +
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\pd}{\pd\varphi} \ll{lzsfer} \ee
 +
\be
 +
  \hat L^2
 +
    = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
 +
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right) \right]
 +
  \ll{lkvadsfer}
 +
\ee
 +
\be
 +
  \hat H
 +
    = - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
 +
      + \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
 +
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right)\right)\right]
 +
      + \hat V(r)
 +
  \ll{hsfer}
 +
\ee
  
 +
\bc
 +
  S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.
 +
\ec
 +
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec
  
\subsection{Částice v~homogenním magnetickém poli}
 
Budeme se zabývat případem \qv é \cc e v~homogenním časově nezávislém magnetickém poli $\vec{B}(\vex,t) = \vec{B}$.
 
  
Vektorový potenciál lze v~tomto případě zvolit $\vec{A}(\vex)=\half \vec{B} \times \vex$ a odpovídající hamiltonián lze zapsat
+
\section{Moment hybnosti, kulové funkce}
způsobem
+
\ll{ssmomhyb}
\begin{equation}
+
  \hat{H}
+
    = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta - \frac{e}{2M} \vec{B} \cdot \hat{\vec{L}}
+
    + \frac{e^2}{8M} (\vec{B} \times \hat{\vex})^2 + e\hat{\phi}(\vex),
+
  \ll{hhommag}
+
\end{equation}
+
kde $\hat{\vec{L}}$ je operátor momentu hybnosti.
+
  
Pro střední hodnoty souřadnice a momentu hybnosti charakteristické pro atomy a nikoliv extrémně silná magnetická pole je příspěvek
+
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty
od třetího členu zanedbatelný, takže hamiltonián lze psát způsobem
+
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee
\begin{equation}
+
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e
  \hat{H} = \hat{H}_0 - \hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} \cdot \vec{B},
+
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\varphi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici
\end{equation}
+
\be
kde $\hat{H}_0$ je hamiltonián \cc e bez vlivu magnetického pole (pouze v~poli konzervativních sil, což je problém který jsme studovali
+
   \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2\Psi}{\pd\varphi^2}
doposud) a
+
    + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd }{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd\Psi}{\pd\theta}\right)
\begin{equation}
+
    +  \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi
   \hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} = \frac{e}{2M}\hat{\vec{L}}
+
  = 0.
   \ll{orbmgm}
+
   \ll{pdrl2}
\end{equation}
+
\ee
je \emph{operátor magnetického momentu \cc e} související s~jejím orbitálním pohybem.
+
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole
 +
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru
 +
\be \Psi(r,\theta,\varphi) = \chi(r,\theta)e^{  i m\varphi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee
 +
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.
  
Je-li potenciál $V(\vex)=e\phi(\vex)$ v~$\hat{H}_0$ sféricky symetrický, což je například potenciál coulombického pole jádra atomu, pak
+
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici
lze nalézt vlastní funkce $\psi_{E,l,m}$ hamiltoniánu $\hat{H}_0$, které jsou současně vlastními \fc emi momentu hybnosti (viz
+
\be \frac{\d}{\dt}\left[ (1-t^2)\frac{\d F}{\dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee
\ref{ssec:csympot})
+
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je
\begin{align}
+
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma} pro $F$
  \hat{H}_0 \psi_{E,l,m} &= E\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm1} \\
+
v~tomto případě zní
  \hat{L}^2 \psi_{E,l,m} &= l(l+1)\hbar^2\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm2} \\
+
\[
   \hat{L}_z \psi_{E,l,m} &= m\hbar\psi_{E,l,m}. \ll{vlfceelm3}
+
  \int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2\dx\dy\dz
\end{align}
+
    = \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle}\abs{\Psi(r,\theta,\varphi)}^2\dvol=
 +
\]
 +
\be
 +
   = 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 \sin \theta \dr\d \theta
 +
  = 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2\dr\dt < \infty.
 +
  \ll{kvadintss}
 +
\ee
 +
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná
 +
na $\langle -1,1 \rangle$.
  
Odtud  plyne, že v~tomto případě lze okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v~magnetickém poli. Sférická symetrie systému
+
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem
bez magnetického pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a pokud platí \rf{vlfceelm1}, \rf{vlfceelm3}, pak rovněž
+
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
platí
+
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
\begin{equation}
+
\be x(x-1)\frac{\d^2U}{\dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{\d U}{\dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee
  \hat{H} \psi_{E,l,m} = \left(E - \mu_0 m \norm{\vec{B}}\right) \psi_{E,l,m},
+
kde
  \ll{vlfcemagp}
+
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]
\end{equation}
+
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
kde $\mu_0=\frac{e\hbar}{2M}$ je tzv.~\emph{Bohrův magneton}. Jeho hodnota pro elektron je $0.9274 \times 10^{-23} \mathrm{JT}^{-1}$.
+
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee
 +
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však
 +
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$
 +
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
 +
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee
 +
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar
 +
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee
 +
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
 +
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{\d^{l+m}}{\dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee
  
\special{src: 107 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.
 +
\ec
  
Znamená to, že \textbf{hladiny energie částice}, které díky sférické symetrii původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo degenerované,  
+
Funkce
\textbf{se podle takto navržené teorie vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých hladin vzdálených o~$\mu_0\norm{\vec B}$.}
+
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\varphi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\varphi} $}\ , \ll{ylm} \ee
Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin jsou úměrné
+
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly
intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty).
+
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina  všech kulových funkcí
 +
\[ \{ Y_{lm}: l\in\Z_+, \ m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]
 +
kde
 +
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
 +
tvoří ortonormální bázi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times
 +
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\varphi)$. Odtud plyne, že \emph{spektrum operátoru $\hat L^2$ je čistě bodové a je tvořeno množinou}
 +
\be
 +
\ll{spektrl2}
 +
\sigma(\hat L^2) = \sigma_p(\hat L^2) = \{l(l+1)\hbar^2: l\in\Z_+\} .  
 +
\ee
  
Efekt rozštěpení hladin magnetickým polem byl experimentálně pozorován, jedná se o~tzv.~\emph{Zeemanův jev}, avšak \textbf{počet hladin
 
v~multipletu neodpovídá předpovězenému číslu $2l+1$}. Překvapivé je, že například dochází k~rozštěpení hladiny energie základního stavu atomů,
 
který by podle dosavadní teorie měl být nedegenerovaný, neboť v~tomto stavu $l=0$.
 
  
 +
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často
 +
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro
 +
$l=0,1,2,\ldots$
  
 +
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným kvantovými čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost
 +
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$
 +
\be \d w = w(\theta,\varphi) \d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\varphi)|^2 \d\Omega. \ee
  
 +
\bc
 +
  Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.
 +
\ec
  
  
  
\subsection{Vlastní magnetický moment a spin částice}
 
\label{vmmsc}
 
Uvedený rozpor teorie a experimentu řeší hypotéza (Landé, Stoner, Pauli 1923--25), podle které \textbf{elektron má} vedle magnetického
 
momentu \rf{orbmgm} souvisejícího s~orbitálním pohybem ještě \textbf{vlastní magnetický moment $\vec{\mu}$, jehož projekce nabývají právě
 
dvou hodnot} $\pm|\mu|$.
 
  
Tato hypotéza se opírá i o~výsledky \emph{Sternova-Gerlachova pokusu}, při kterém prochází svazek atomů v~základním stavu nehomogenním
+
\section{Radiální část vlnové funkce}
magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity.
+
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
\begin {figure}[hbtp]
+
\be \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ll{fakpsi} \ee
\hskip 1cm
+
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián
\vskip 1cm
+
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem
 +
\be
 +
  \hat H
 +
    = -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2}
 +
      + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
 +
      - \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right]
 +
      + \hat V(r).
 +
  \ll{hsfer2}
 +
\ee
 +
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň
 +
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
 +
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{\rm{ef}}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee
 +
kde
 +
\be V_{\rm{ef}}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee
 +
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
 +
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{\rm{ef}}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee
 +
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{\rm{ef}}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$
 +
přejde na podmínku
 +
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 \dr < \infty. \ee
 +
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku
 +
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee
 +
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž
 +
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
  
%TexCad Options
+
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný.
%\grade{\on}
+
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace
%\emlines{\off}
+
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.
%\beziermacro{\off}
+
%\reduce{\on}
+
%\snapping{\on}
+
%\quality{2.00}
+
%\graddiff{0.01}
+
%\snapasp{1}
+
%\zoom{1.00}
+
\unitlength 1.00mm
+
\linethickness{0.4pt}
+
\begin{picture}(127.00,150.00)
+
%\emline(20.00,130.00)(60.00,130.00)
+
\put(20.00,130.00){\line(1,0){40.00}}
+
%\end
+
%\emline(90.00,145.00)(90.00,115.00)
+
\put(90.00,145.00){\line(0,-1){30.00}}
+
%\end
+
%\vector(60.00,130.00)(90.00,135.00)
+
\put(90.00,135.00){\vector(4,1){0.2}}
+
\multiput(60.00,130.00)(0.71,0.12){42}{\line(1,0){0.71}}
+
%\end
+
%\vector(60.00,130.00)(90.00,125.00)
+
\put(90.00,125.00){\vector(4,-1){0.2}}
+
\multiput(60.00,130.00)(0.71,-0.12){42}{\line(1,0){0.71}}
+
%\end
+
\put(55.00,135.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}
+
\put(55.00,110.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}
+
%\emline(120.00,135.00)(115.00,150.00)
+
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,0.36){42}{\line(0,1){0.36}}
+
%\end
+
%\emline(115.00,150.00)(125.00,150.00)
+
\put(115.00,150.00){\line(1,0){10.00}}
+
%\end
+
%\emline(125.00,150.00)(120.00,135.00)
+
\multiput(125.00,150.00)(-0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}}
+
%\end
+
%\emline(127.00,126.00)(127.00,110.00)
+
\put(127.00,126.00){\line(0,-1){16.00}}
+
%\end
+
%\emline(127.00,110.00)(113.00,110.00)
+
\put(127.00,110.00){\line(-1,0){14.00}}
+
%\end
+
%\emline(113.00,110.00)(113.00,125.00)
+
\put(113.00,110.00){\line(0,1){15.00}}
+
%\end
+
%\emline(113.00,125.00)(114.00,125.00)
+
\put(113.00,125.00){\line(1,0){1.00}}
+
%\end
+
%\emline(114.00,125.00)(115.00,124.00)
+
\multiput(114.00,125.00)(0.11,-0.11){9}{\line(0,-1){0.11}}
+
%\end
+
%\emline(115.00,124.00)(125.00,124.00)
+
\put(115.00,124.00){\line(1,0){10.00}}
+
%\end
+
%\emline(125.00,124.00)(126.00,125.00)
+
\multiput(125.00,124.00)(0.11,0.11){9}{\line(0,1){0.11}}
+
%\end
+
%\emline(126.00,125.00)(127.00,125.00)
+
\put(126.00,125.00){\line(1,0){1.00}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(120.00,124.00)
+
\put(120.00,124.00){\vector(0,-1){0.2}}
+
\put(120.00,135.00){\line(0,-1){11.00}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(123.00,124.00)
+
\put(123.00,124.00){\vector(1,-4){0.2}}
+
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(117.00,124.00)
+
\put(117.00,124.00){\vector(-1,-4){0.2}}
+
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(126.00,125.00)
+
\put(126.00,125.00){\vector(2,-3){0.2}}
+
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(114.00,125.00)
+
\put(114.00,125.00){\vector(-2,-3){0.2}}
+
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}
+
%\end
+
\put(20.00,132.00){\makebox(0,0)[lb]{1}}
+
\put(68.00,145.00){\makebox(0,0)[lb]{2}}
+
\put(80.00,136.00){\makebox(0,0)[lb]{3}}
+
\put(93.00,115.00){\makebox(0,0)[lb]{4}}
+
\put(20.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{A) Sch\'ema experimentu}}
+
\put(105.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{B) Bokorys průběhu}}
+
\put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lb]{siločar magnetického pole}}
+
\put(20.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{1  Svazek atomů }}
+
\put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{2  P\'oly magnetu}}
+
\put(50.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{3  Rozštěpené svazky částic}}
+
\put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4  Stínítko}}
+
\end{picture}
+
\caption{Sternův-Gerlachův pokus}
+
\end{figure}
+
Síla, která na atomy v~tomto poli působí (viz např.~\cite[kap.~4.3]{sto:em}) je
+
\[ \vec{F}(\vex) = \grad (\vec{\mu} \cdot \vec{B}(\vex)), \]
+
takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického momentu \cc e na směr magnetického pole. Svazek atomů
+
v~základním stavu se průchodem nehomogenním magnetickým polem rozdělí na dva, což je plně v~souhlasu s~představou vlastního magnetického
+
momentu elektronu. Z~úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené svazky vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického momentu.
+
Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s~velikostí Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$.
+
  
Možnost rozštěpení hladiny energie základního stavu atomu vodíku na dvě svědčí o~tom, že \textbf{základní stav je degenerovaný a jeho
+
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
popis vlnovou funkcí $\psi_{E,0,0}$ není úplný} a je mu nutno přiřadit lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých funkcí, jež jsou
+
vlastními \fc emi energie s~nejnižší vlastní hodnotou. Z~předchozího však víme, že taková funkce je až na multiplikativní konstantu jen
+
jedna. Východiskem z~této situace je použití vlnových \fc í které mají dvě složky.
+
\begin{equation}
+
  \psi(\vex) = \left( \ba {c} \psi_1(\vex) \\ \psi_2(\vex) \ea \right).
+
  \ll{vekvlnfce}
+
\end{equation}
+
Alternativní, avšak ekvivalentní přístup je použití vlnových funkcí, které vedle $\vex$ závisí ještě na další proměnné $\xi$, která nabývá
+
pouze dvou hodnot $\pm$, tj.
+
\[
+
  \psi=\psi(\vex,\xi), \quad \psi(\vex,+)\equiv\psi_1(\vex), \quad \psi(\vex,-)\equiv\psi_2(\vex).
+
\]
+
  
Přechod k~vlnovým \fc ím \rf{vekvlnfce} znamená přechod od Hilbertova prostoru \qintspace{} k~prostoru \qintspace$\otimes\C^2$. Skalární
 
součin v~tomto prostoru je definován vztahem
 
\begin{equation}
 
  (\psi,\phi) := \sum_{k=1}^2\int_{\R^3}\psi^*_k(\vex)\phi_k(\vex)d^3x =\sum_{\xi=\pm}\int_{\R^3}\psi^*(\vex,\xi)\phi(\vex,\xi)d^3x
 
\end{equation}
 
a operátory jsou obecně zadány maticí operátorů $\hat{A}=\{ \hat{A}_{ij}\}_{i,j=1}^2$. Neboť jsme se doposud zabývali jevy, ve kterých
 
magnetický moment nehrál roli, mohli jsme používat operátory, které jsou násobkem jednotkové matice, např.~hamiltonián je dán maticí
 
$\hat{H}_{ij} = \hat{H} \delta_{ij}$, jinak vyjádřeno $\hat{H} = \hat{H} \otimes \uni_{\C^2}.$
 
  
Projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$ (směru magnetického pole) naopak přiřadíme operátor $\hat{ \mu}_{z}$, který působí
 
netriviálně pouze v~prostoru $\C^2$, zatímco v~prostoru \qintspace{} působí pouze jako násobení konstantou.
 
\begin{equation}
 
  \hat{\mu}_{z} := \left( \ba {cc} \mu_0&0\\ 0&-\mu_0 \ea \right)
 
  \ll{muz}
 
\end{equation}
 
  
Souvislost orbitálního magnetického momentu s~momentem hybnosti \rf{orbmgm} přivedla G.~E.~Uhlenbecka a S.~Goudsmita k~hypotéze (1925),
+
\section{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}
že podobně jako orbitální, i \textbf{vlastní magnetický moment \cc e je důsledkem nenulového vlastního momentu hybnosti --- spinu}. Tato
+
veličina \emph{nemá analogii} v~žádném druhu pohybu klasických hmotných těles. \textbf{Operátor spinu má stejně jako orbitální magnetický
+
moment tři složky $\hat{S}_j$, které netriviálně působí pouze v~$\C^2$ a vzájemně komutují stejným způsobem jako složky momentu hybnosti}
+
\begin{equation}
+
  {\Large\mbox{ $ [\hat{S}_j,\hat{S}_k] = i\hbar \epsilon_{jkl}\hat{S}_l. $}}
+
  \ll{relspin}
+
\end{equation}
+
Snadno lze ukázat, že trojice matic $\hat{S}_j=\frac{\hbar}{2}\sigma_j$, kde $\sigma_j,\ j=1,2,3$ jsou tzv.~\emph{Pauliho matice}
+
\begin{equation}
+
  \sigma_1 = \left(\ba{cc}0&1\\1&0\ea\right),\
+
  \sigma_2 = \left(\ba{cc}0&-i\\i&0\ea\right),\
+
  \sigma_3 = \left(\ba{cc}1&0\\0&-1\ea\right),
+
  \ll{paulimat}
+
\end{equation}
+
splňuje relace \rf{relspin}.
+
  
Vztah mezi spinem a vlastním magnetickým momentem elektronu je
+
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice
\be
+
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee
  {\large\fbox{$\hat{\vec{\mu}} = \frac{2\mu_0}{\hbar}\hat{\vec{S}}$}}\ ,
+
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
\ee
+
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
což je v~souhlasu s~\rf{muz}. Faktor 2 je v~rámci této teorie nutné brát jako fenomenologickou konstantu. Její vysvětlení je možno podat
+
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.
až v~rámci relativistické kvantové mechaniky.
+
  
\bc
+
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly
  Ukažte, že vlastní čísla operátoru $\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B}$ jsou $\pm \mu_0 \norm{\vec{B}}$. Najděte vlastní \fc e.
+
zapsat jako řadu
\ec
+
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee
\bc
+
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme
  Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v~poli Coulombova potenciálu s~hodnotou $z$--ové, resp. $x$--ové,
+
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee
  resp.~$y$--ové složky spinu rovné $\frac\hbar 2$.
+
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee
\ec
+
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.
\bc
+
  Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota $z$--ové složky spinu $s_z$=$\frac\hbar 2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve
+
  směru, který se $z$--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s~jakou pravděpodobností?
+
\ec
+
  
 +
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde
 +
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee
 +
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$
 +
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
 +
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}
 +
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee
 +
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je
 +
\be y(x) = C_1 F\left( \frac{c}{a},b,-ax\right) + C_2 x^{1-b} F\left( \frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax\right) . \ll{obres1} \ee
  
Vedle relace
+
Vzhledem k~tomu, že $\frac{a_n}{a_{n-1}}\to \frac 1 n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\to \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz
\begin{equation}
+
\cite{baterd})
  [\sigma _j,\sigma _k] = 2i\epsilon_{jkl}\sigma _l,
+
\be
  \ll{sigmarel}
+
  \ll{rtoplusinf}
\end{equation}
+
   F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].
ze které plyne \rf{relspin}, mají Pauliho matice ještě další vlastnosti užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z~nich
+
\ee
\begin{align}
+
Pro $z\to -\infty\ $
   \sigma _j              &= \sigma _j^\dagger, \\
+
\be
  \Tr \sigma _j          &= 0, \\
+
  \ll{rtominusinf}
  \{\sigma _j,\sigma _k\} &= 2\delta_{jk}\uni. \ll{anticomsig}
+
   F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].
\end{align}
+
\ee
Mimo to spolu s~jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j \ | \ j=1,2,3\}$ (hermitovskou) bazi v~prostoru komplexních matic $2\times 2$.
+
Násobení Pauliho matic
+
\begin{equation}
+
   \sigma _j\sigma _k=\delta_{jk}\uni+i\epsilon_{jkl}\sigma _l
+
  \ll{nassig}
+
\end{equation}
+
plyne okamžitě z~\rf{sigmarel}, \rf{anticomsig}.
+
  
\bc
 
  Ukažte, že $\hat{\vec{S}}^2 = \frac{3}{4}\hbar^2\uni$. Porovnejte tento výsledek s~\rf{vlfceelm2}.
 
\ec
 
\bc
 
  Uvažujte systém (tzv.~supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2(\R,dx) \otimes \C^2$ hamiltoniánem
 
  \[
 
    \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes \uni + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes \uni + \frac{\hbar \omega}{2} \uni \otimes \sigma_{3}.
 
  \]
 
  Dále je dán operátor
 
  \[
 
    \hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}).
 
  \]
 
  Nalezněte $\hat{Q}^{\dagger}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké
 
  omezení lze vyvodit z~těchto relací na spektrum hamiltoniánu (tj.~zda je shora či zdola omezené a čím)? (Postačí uvažovat bodovou
 
  část spektra.)
 
\ec
 
  
  
  
 +
\section{Isotropní harmonický oscilátor}
 +
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních
 +
stavů  energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií
 +
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru
 +
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee
 +
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného
 +
směru (směr osy $z$ není ničím určen).
  
 +
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=\frac r a$, kde
 +
$a=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega}}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
 +
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee
 +
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2}
 +
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$.  Zvolíme
 +
ansatz
 +
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee
 +
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}
 +
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee
 +
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku
 +
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce
 +
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není
 +
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné
 +
Laguerrovy polynomy}
 +
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee
 +
definované též způsobem
 +
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{\d^n}{\dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee
  
\subsection{Pauliho \rc e. Normální Zeemanův jev}
+
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $\left(2n+l+\frac 3 2\right)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které
Z~výsledku Sternova-Gerlachova pokusu a rozštěpení energetických hladin atomů v~magnetickém poli jsme došli k~hypotéze, že stavy \cc{}
+
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\
v~atomu jsou charakterizovány též hodnotou čistě kvantové veličiny nazývané spin. Síly, které působí na atomové \cc e v~magnetickém
+
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}
poli jsou na spinu závislé a musí být proto zahrnuty do hamiltoniánu. W.~Pauli navrhl rozšíření hamiltoniánu pro \cc i v~\emk ém poli
+
na tvar
+
 
\be
 
\be
   {\Large \fbox{$\hat{H} = \dfrac{1}{2M}[\hat{\vec{P}} - e\hat{\vec{A}}]^2 + e\hat{\phi} - \mu_0 \hat{\vec{B}} \cdot \hat{\vec{\sigma}}$}} \ .
+
   \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\varphi},
   \ll{pauham}
+
   \ll{resiho}
 
\ee
 
\ee
Rovnice
+
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou
\[
+
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako
  i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=\hat H\psi,
+
\]
+
kde $\hat{H}$ je tvaru \rf{pauham} a $\psi$ je dvoukomponentová \fc e se nazývá \emph{Pauliho \rc e}. Odpovídající \rc e $\hat{H}\psi=E\psi$
+
se pak nazývá bezčasová Pauliho \rc e.
+
 
+
Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec{B}(\vex,t)=\vec{B}$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení \sv y \rc e, neboť
+
přímým výpočtem lze ukázat, že pokud $\phi_j,\ j=1,2$ jsou řešení \sv y \rc e
+
\[
+
  i\hbar\frac{\pd\phi}{\pd t}=\hat H_1\phi,
+
\]
+
kde $\hat{H}_1$ je spinově nezávislá část \rf{pauham}, pak řešení Pauliho \rc e lze zapsat způsobem
+
\begin{equation}
+
  \left( \ba {c} \psi_1(\vex,t) \\ \psi_2(\vex,t) \ea \right)
+
    = \exp \left\{ \frac{i}{\hbar}\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B} t \right\} \left( \ba {c} \phi_1(\vex,t) \\ \phi_2(\vex,t) \ea \right),
+
  \ll{respauli}
+
\end{equation}
+
kde
+
 
\be
 
\be
   \exp \left\{ \frac{i}{h}\hat{\vec\mu}\cdot\vec{B}t \right\}
+
   \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\varphi),
    = \cos \left( \frac{\mu_0}{\hbar}|\vec{B}|t \right)  
+
   \ll{resiho2}
    + i\frac{\vec{B} \cdot \vec{\sigma}}{\norm{\vec{B}}} \sin \left( \frac{\mu_0}{\hbar}\norm{\vec{B}}t \right).
+
   \ll{expmb}
+
 
\ee
 
\ee
 +
a zvolíme-li
 +
\be
 +
  |K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}
 +
\ee
 +
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.
  
 
\bc
 
\bc
   Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v~konstantním magnetickém poli směřujícímím ve směru osy $x$. V~čase $t=0$ byla naměřena hodnota její
+
   Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$ a $\frac{7}{2}\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními
  $z$-ové složky spinu $+\hbar/2$. S~jakou \pst í nalezneme v~libovolném dalším čase hodnotu její $y$-ové složky spinu $+\hbar/2$?
+
   \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
\ec
+
\bc
+
  Ukažte, že pokud výraz $\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \}$ definujeme pomocí řady
+
  \be
+
    \exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} := \sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec{a}\cdot\vec{\sigma})^n}{n!},
+
    \ll{defexp}
+
   \ee
+
  pak platí
+
  \be
+
    \exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} = \cos(\norm{\vec{a}}) + i\frac{\vec{a}\cdot\vec{\sigma}}{\norm{\vec{a}}} \sin(\norm{\vec{a}}).
+
  \ee
+
 
\ec
 
\ec
  
Rozštěpení energetických hladin v~důsledku existence vlastního magnetického momentu je pak možno popsat Pauliho hamiltoniánem
+
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo
\be
+
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.
  \hat{H}_P = \hat{H}_0 -\frac{\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{L}}-\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{S}},
+
\ee
+
kde $\hat{H}_0$ (což je např.~hamiltonián \cc e v~coulombickém poli) popisuje \cc i bez magnetického pole. Řešením bezčasové Pauliho \rc e
+
$\hat{H}_P\psi=E\psi$ lze dostat \textbf{energetické spektrum, které odpovídá rozštěpení hladin magnetickým polem pozorované v~normálním
+
Zeemanově jevu.} Toto řešení lze obdržet ze znalosti řešení bezčasové \sv y \rc e.
+
  
Pro sféricky symetrický hamiltonián $\hat{H}_0$, lze bez újmy na obecnosti zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole. Je snadné se
+
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie}
přesvědčit, že pokud \cc e má v~nepřítomnosti magnetického pole energii $E_0=E_{nl}$ (tzn.~$E_{nl}$ je vlastní hodnotou hamiltoniánu
+
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali
$\hat{H}_0$) a funkce $\psi_{n,l,m}$ jsou vlastní funkce $\hat{H}_0$, $\hat{L}^2$, $\hat{L}_z$, pak \fc e
+
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
\be
+
  \psi_{n,l,m,+}(\vex) = \left(\ba{c} \psi_{n,l,m}(\vex) \\ 0 \ea\right), \quad
+
  \psi_{n,l,m,-}(\vex) = \left(\ba{c} 0 \\ \psi_{n,l,m}(\vex) \ea\right)
+
\ee
+
jsou vlastními \fc emi Pauliho hamiltoniánu odpovídajícími vlastním hodnotám $E_{n,l,m,\pm}=E_{nl}-\mu_0 B_z(m\pm 1)$. Počet hladin multipletu
+
je $2l+3$ pro $l=1,2,\ldots$ Pro $l=0$ dostáváme dvě hladiny energie, což je ve shodě i se
+
Sternovým-Gerlachovým pokusem.
+
  
Poznamenejme ještě, že vedle normálního Zeemanova jevu existuje ještě tzv.~anomální Zeemanův jev. Jeho popis a vysvětlení dané
 
tzv.~spin-orbitální vazbou zde provádět nebudeme (viz např.~\cite[kap.~7.5]{for:ukt}).
 
  
Na závěr této kapitoly je třeba ještě učinit důležitou poznámku: Existence nenulového spinu není univerzální vlastnost všech kvantových \cc.
 
V~uvedených jevech, které nás přiměly zavést spin, mají rozhodující vliv valenční elektrony atomů. Znamená to tedy, že elektronům je třeba
 
přiřadit spin (velikosti 1/2). Na druhé straně existují částice, které spin nemají. Jsou to například mesony $\pi$ důležité pro popis jaderných
 
sil. Ty pak interagují s~magnetickým polem pouze prostřednictvím svého orbitálního momentu hybnosti.
 
  
  
 +
\section{Coulombův potenciál}
 +
\ll{podkap:coulomb}
  
 +
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
 +
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee
 +
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron,
 +
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie
 +
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=e^2/(4\pi\epsilon_0)$, kde $e$ je elementární náboj a $\epsilon_0$ je permitivita vakua.
 +
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar
 +
\be
 +
  -\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).
 +
  \ll{rcekhicp}
 +
\ee
 +
Substitucí
 +
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee
 +
kde
 +
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee
 +
převedeme tuto rovnici na tvar
 +
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee
 +
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}
 +
\be w(r)=C_1\,F\left(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r\right). \ll{dghgcoul} \ee
 +
Podmínka kvadratické integrability pak zní
 +
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee
 +
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}
 +
\be
 +
  \fbox{$E_N = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ n,l \in \Z_+,\ N\in \N$}\ .
 +
  \ll{ecoul}
 +
\ee
 +
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta
 +
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro
 +
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$.
 +
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e
 +
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í
 +
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
 +
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
 +
má tvar}
 +
\be
 +
  \Psi_{N,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-\frac{r}{Na}} L_{N-l-1}^{2l+1}\left( \frac{2r}{Na}\right)  Y_{lm}(\theta,\varphi),
 +
  \ll{nlmcoul}
 +
\ee
 +
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $K_{Nl}$ je normalizační konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $Y_{lm}$ jsou
 +
kulové \fc e. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm. Zvolíme-li normovací konstantu jako
 +
\[
 +
|K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2},
 +
\]
 +
je množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} ortonormální, tj. platí
 +
$$
 +
(\Psi_{Nlm},\Psi_{N'l'm'}) = \delta_{N,N'}\delta_{l,l'}\delta_{m,m'}.
 +
$$
 +
\textbf{Netvoří ale bázi Hilbertova prostoru} $L^2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),
 +
r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi).$ Důvod je v~tom, že hamiltonián pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
 +
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.
  
 +
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec
  
\subsection{Algebraická teorie momentu hybnosti}
+
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec
\ll{atmh}
+
Jak už jsme poznamenali v~podkapitole \ref{vmmsc}, vlastní i orbitální moment hybnosti mají stejné komutační relace
+
\begin{equation}
+
  [\hat{J}_k,\hat{J}_m] = i\hbar\,\epsilon_{kmn}\hat{J}_n.
+
  \label{imcr}
+
\end{equation}
+
Tyto relace lze zároveň považovat za definici násobení prvků baze v~Lieovské algebře $\mathfrak{su}(2)$, která úzce souvisí s~grupou
+
otočení $SO(3)$. V~dalším odvodíme vlastnosti společných vlastních funkcí operátorů $\hat{J}_3$ a
+
$\hat{J}^2:={\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2+{\hat{J}_3}^2$ a jejich vlastních hodnot \textbf{bez znalosti jejich konkrétních tvarů}, pouze
+
využitím algebraických relací \rf{imcr}. Jediné, co budeme navíc předpokládat, je samosdruženost. Z~hlediska zmíněné Lieovské algebry,
+
to znamená konstrukci jejích konečně rozměrných reprezentací.
+
  
Podstatným způsobem budeme při tom využívat tzv.~posunovacích operátorů
+
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii.
\begin{equation}\label{jpm}
+
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je
  \hat{J}_\pm := \hat{J}_1\pm i\hat{J}_2, \quad [\hat{J}_3,\hat{J}_\pm] = \pm\hbar \hat{J}_\pm
+
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee
\end{equation}
+
s~jejichž obdobou jsme se seznámili v~podkapitole \ref{posunovacioperatory}. Snadno pro ně odvodíme, že
+
\begin{equation}
+
  \hat{J}_-\hat{J}_+ = {\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2-\hbar \hat{J}_3 = {\hat{J}}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3.
+
  \label{jmjp}
+
\end{equation}
+
  
Nechť $\ket{\lambda,\mu}$ je společná vlastní funkce operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$ s~vlastními hodnotami $\lambda$, $\mu$
+
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už
\begin{equation}\label{j2eigen}
+
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum
    \hat{J}^2\ket{\lambda,\mu}=\lambda\ket{\lambda,\mu}, \quad  \hat{J}_3\ket{\lambda,\mu}=\mu\ket{\lambda,\mu}.
+
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip
\end{equation}
+
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee
Ze samosdruženosti operátorů $\hat{J}_1$ a $\hat{J}_2$ plyne, že pro libovolný prvek Hilbertova prostoru $\phi$ platí
+
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů
\[
+
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme
  (\phi,({\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2)\phi) = \|{\hat{J}_1}\phi\|^2 + \|{\hat{J}_2}\phi\|^2 \geq 0,
+
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee
\]
+
kde $Q=e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě
takže
+
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy
\[
+
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.
  \braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}_1^2+\hat{J}_2^2}{\lambda,\mu}
+
    = \braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}^2-\hat{J}_3^2}{\lambda,\mu}
+
    = (\lambda-\mu^2)\, \|\ket{\lambda,\mu}\|^2
+
\]
+
je rovněž nezáporné, z~čehož plyne
+
\begin{equation}\label{lamgeqmu}
+
    \lambda\geq\mu^2.
+
\end{equation}
+
Na druhé straně díky \rf{jpm}
+
\[
+
  \hat{J}_+\ket{\lambda,\mu}=\alpha^{(+)} \ket{\lambda,\mu+\hbar},
+
\]
+
takže musí existovat maximální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{max}}$ taková, že $\hat{J}_+ \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}=0$.
+
V~opačném případě by totiž byla porušena nerovnost \rf{lamgeqmu}. Aplikujeme-li operátor $\hat{J}_-\hat{J}_+$ na
+
$\ket{\lambda,\mu}$ a použijeme \rf{jmjp} a \rf{j2eigen}, dostaneme
+
\[
+
  0 = \hat{J}_-\hat{J}_+\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}
+
    = (\hat{J}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}
+
    = (\lambda-\mu_{\mathrm{max}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{max}}) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}},
+
\]
+
odkud plyne
+
\begin{equation}
+
  \lambda = \mu_{\mathrm{max}}^2+\hbar\mu_{\mathrm{max}}.
+
  \label{lameq}
+
\end{equation}
+
Stejnými úvahami, kde zaměníme $\hat{J}_+$ a $\hat{J}_-$, zjistíme, že musí existovat minimální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{min}}$,
+
pro kterou platí
+
\begin{equation}
+
  \lambda = \mu_{\mathrm{min}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{min}}.
+
  \label{lameqi}
+
\end{equation}
+
 
+
Porovnáním \rf{lameq} a \rf{lameqi} dostaneme $\mu_{\mathrm{min}}=-\mu_{\mathrm{max}}$. Mimo to je zřejmé, že opakovaným působením
+
operátoru $\hat{J}_+$ na $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{min}}}$ dostaneme vektor úměrný $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}$. Tj.~existuje
+
celé nezáporné $k$ tak, že
+
\[
+
  \mu_{\mathrm{min}}+k\hbar = \mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}}.
+
\]
+
Odtud
+
\[
+
  \mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}} = j\hbar, \quad  j\in\left\{0,\half,1,\frac{3}{2},2,\ldots\right\},
+
\]
+
\begin{equation}
+
  \lambda=j(j+1)\hbar^2, \quad \mu\in\{-j,-j+1,-j +2,\ldots\,j\} \cdot \hbar.
+
  \label{lamu}
+
\end{equation}
+
 
+
Je tedy vidět, že pokud jsme nepředpokládali operátory $\hat{J}_k$ ve tvaru operátorů momentu hybnosti, nýbrž vzali v~úvahu pouze jejich
+
komutační relace, zjistili jsme, že spektrum vlastních hodnot operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$, může nabývat hodnot \rf{lamu} s~$j$
+
nejen celým jako v~případě momentu hybnosti, nýbrž i polocelým, což je případ spinu. Z~tohoto výsledku lze též usoudit, že mohou
+
existovat částice nejen se spinem $1/2$ jako např.~elektron, proton, neutron a další, ale také s~vyššími (polo)celými spiny, což bylo
+
experimentálně potvrzeno.
+
 
+
\bc
+
  S~použitím výsledků cvičení \ref{alplm} najděte $(2j+1)\times(2j+1)$ matice $J_k$ splňující relace \rf{imcr} (tyto matice určují
+
  reprezentace algebry $\mathfrak{su}(2)$). Ověřte, že pro $j=\half$ jsou shodné se složkami spinu.
+
\ec
+

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:57

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}
\ll{ssec:csympot}
 
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
 
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \lapl + \hat V(r), \ll{sspot} \ee
kde
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee
 
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
 
\bc
  Spočítejte komutátory
  \be [\hat L_j,\hat Q_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\ \ll{loper1} \ee
  kde
  \be \hat L_j = \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee
\ec
 
\bc
  Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $\hat L_3\equiv \hat L_z$ a
  \be \hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee
\ec
 
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
 
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\pd}{\pd\varphi} \ll{lzsfer} \ee
\be
  \hat L^2
    = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right) \right]
  \ll{lkvadsfer}
\ee
\be
  \hat H
    = - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
      + \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right)\right)\right]
      + \hat V(r)
  \ll{hsfer}
\ee
 
\bc
  S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.
\ec
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec
 
 
\section{Moment hybnosti, kulové funkce}
\ll{ssmomhyb}
 
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\varphi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici
\be
  \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2\Psi}{\pd\varphi^2}
    + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd }{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd\Psi}{\pd\theta}\right)
    +  \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi
  = 0.
  \ll{pdrl2}
\ee
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru
\be \Psi(r,\theta,\varphi) = \chi(r,\theta)e^{  i m\varphi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.
 
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici
\be \frac{\d}{\dt}\left[ (1-t^2)\frac{\d F}{\dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma}  pro $F$
v~tomto případě zní
\[
  \int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2\dx\dy\dz
    = \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle}\abs{\Psi(r,\theta,\varphi)}^2\dvol=
\]
\be
  = 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 \sin \theta \dr\d \theta
  = 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2\dr\dt < \infty.
  \ll{kvadintss}
\ee
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná
na $\langle -1,1 \rangle$.
 
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
\be x(x-1)\frac{\d^2U}{\dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{\d U}{\dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee
kde
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{\d^{l+m}}{\dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee
 
\bc
  Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.
\ec
 
Funkce
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\varphi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\varphi} $}\ , \ll{ylm} \ee
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina  všech kulových funkcí
\[ \{ Y_{lm}: l\in\Z_+, \ m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]
kde
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
tvoří ortonormální bázi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\varphi)$. Odtud plyne, že \emph{spektrum operátoru $\hat L^2$ je čistě bodové a je tvořeno množinou}
\be 
\ll{spektrl2}
\sigma(\hat L^2) = \sigma_p(\hat L^2) = \{l(l+1)\hbar^2: l\in\Z_+\} . 
\ee
 
 
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro
$l=0,1,2,\ldots$
 
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným kvantovými čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$
\be \d w = w(\theta,\varphi) \d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\varphi)|^2 \d\Omega. \ee
 
\bc
  Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.
\ec
 
 
 
 
\section{Radiální část vlnové funkce}
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
\be \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ll{fakpsi} \ee
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem
\be
  \hat H
    = -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2}
      + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
      - \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right]
      + \hat V(r).
  \ll{hsfer2}
\ee
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{\rm{ef}}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee
kde
\be V_{\rm{ef}}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{\rm{ef}}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{\rm{ef}}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$
přejde na podmínku
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 \dr < \infty. \ee
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
 
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný.
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.
 
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
 
 
 
\section{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}
 
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.
 
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly
zapsat jako řadu
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.
 
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je
\be y(x) = C_1 F\left( \frac{c}{a},b,-ax\right) + C_2 x^{1-b} F\left( \frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax\right) . \ll{obres1} \ee
 
Vzhledem k~tomu, že $\frac{a_n}{a_{n-1}}\to \frac 1 n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\to \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz
\cite{baterd})
\be
  \ll{rtoplusinf}
  F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
Pro $z\to -\infty\ $
\be
  \ll{rtominusinf}
  F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) =  \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
 
 
 
 
\section{Isotropní harmonický oscilátor}
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních
stavů  energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného
směru (směr osy $z$ není ničím určen).
 
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=\frac r a$, kde
$a=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega}}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2}
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$.  Zvolíme
ansatz
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné
Laguerrovy polynomy}
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee
definované též způsobem
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{\d^n}{\dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee
 
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $\left(2n+l+\frac 3 2\right)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}
\be
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\varphi},
  \ll{resiho}
\ee
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako
\be
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\varphi),
  \ll{resiho2}
\ee
a zvolíme-li
\be
  |K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}
\ee
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.
 
\bc
  Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$ a $\frac{7}{2}\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními
  \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
\ec
 
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.
 
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie}
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
 
 
 
 
\section{Coulombův potenciál}
\ll{podkap:coulomb}
 
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron,
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=e^2/(4\pi\epsilon_0)$, kde $e$ je elementární náboj a $\epsilon_0$ je permitivita vakua.
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar
\be
  -\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).
  \ll{rcekhicp}
\ee
Substitucí
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee
kde
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee
převedeme tuto rovnici na tvar
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}
\be w(r)=C_1\,F\left(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r\right). \ll{dghgcoul} \ee
Podmínka kvadratické integrability pak zní
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}
\be
  \fbox{$E_N = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ n,l \in \Z_+,\ N\in \N$}\ .
  \ll{ecoul}
\ee
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$.
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
 má tvar}
\be
  \Psi_{N,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-\frac{r}{Na}} L_{N-l-1}^{2l+1}\left( \frac{2r}{Na}\right)  Y_{lm}(\theta,\varphi),
  \ll{nlmcoul}
\ee
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $K_{Nl}$ je normalizační konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $Y_{lm}$ jsou
kulové \fc e. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm. Zvolíme-li normovací konstantu jako
\[ 
|K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2}, 
\]
je množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} ortonormální, tj. platí
$$
(\Psi_{Nlm},\Psi_{N'l'm'}) = \delta_{N,N'}\delta_{l,l'}\delta_{m,m'}.
$$
\textbf{Netvoří ale bázi Hilbertova prostoru} $L^2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),
r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi).$ Důvod je v~tom, že hamiltonián pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.
 
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec
 
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec
 
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii.
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee
 
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee
kde $Q=e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.