02KVAN:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 245: | Řádka 245: | ||
\put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4 Stínítko}} | \put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4 Stínítko}} | ||
\end{picture} | \end{picture} | ||
− | |||
− | |||
\caption{Stern -- Gerlachův pokus} | \caption{Stern -- Gerlachův pokus} | ||
\end{figure} | \end{figure} |
Verze z 1. 11. 2010, 02:27
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} \section{Částice v elektromagnetickém poli. Spin} Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v poli konzervativních sil, jinými slovy předpokládali jsme, že hamiltonián je tvaru \[ \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta+\hat V(\vex). \] Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je Lorentzova síla \be \vec F=\vec F(\vex,\vec v,t)=e[\vec E(\vex,t)+\vec v \times \vec B(\vex,t)] , \ee která působí na nabitou částici v \emk ém poli $\{\vec E(\vex,t),\vec B(\vex,t)\}$. Tato síla není konzervativní, na druhé straně, z kursu teoretické fyziky (viz např. \cite{sto:tf} U2.1), víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného potenciálu \[ U(\vex,\vec v,t)=e[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \] kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn. \be \vec E=-grad\ \phi-\frac{\partial \vec A}{\partial t},\ \ \vec B= rot \ \vec A. \ee Pohyb klasické \cc e v \emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc emi v Hamiltonově formulaci s Hamiltonovou \fc í \be H(\vex, \vec p,t)=\frac{1}{2M}[\vec p - e\vec A(\vex,t)]^2 + e\phi(\vex,t). \ee {\em Hamiltonián \qv ě \mi cké \cc e v \emk ém poli} je pak možno odvodit z principu korespondence \be \hat H=\frac{1}{2M}[-i\hbar\vec\nabla - e\hat{\vec A(\vex,t)}] [-i\hbar\vec\nabla - e\hat{\vec A(\vex,t)}] + e\hat\phi(\vex,t) \ll{hem}\ee a snadnými úpravami je možno %tento hamiltonián jej přepsat na tvar \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta +\frac{i\hbar e}{M}\hat{\vec A(\vex,t)}\cdot\vec\nabla +\frac{i\hbar e}{2M}\hat{div\ \vec A(\vex,t)}+\frac{e^2}{2M} \hat{\vec A(\vex,t)}\cdot\hat{\vec A(\vex,t)} +e\hat\phi(\vex,t). \ll{hem2}\ee \special{src: 35 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Poznamenejme zde, že v tomto případě princip korespondence neurčuje hamiltonián jednoznačně, neboť operátory $\hat P_j, \hat A_j$ vyskytující se v prvním členu pravé strany \rf{hem}) nekomutují. Znamená to, že hamiltonián \rf{hem}) odpovídá jistému výběru uspořádání těchto nekomutujících oprátorů plynoucímu v tomto případě z požadavku samosdruženosti. Jiné výběry uspořádání by se lišily faktorem stojícím před členem $\hat{div\ \vec A(\vex,t)}$. Pro případ homogenních polí, který budeme v dalším uvažovat tento člen vymizí. \bc Ukažte, že požadavek samosdruženosti neurčuje uspořádání operátoru odpovídajímu klasické pozorovatelné $p x^2$, kde $p$ a $x$ jsou hybnost a souřadnice jednorozměrného systému.\ec \subsection{Částice v homogenním magnetickém poli} Budeme se zabývat případem \qv é \cc e v homogenním časově nezávislém magnetickém poli %$ \vec E(\vex,t)= 0, \ $\vec B(\vex,t)= \vec B$. \special{src: 53 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel %Elektromagnetické Vektorový potenciál lze v tomto případě zvolit %\be \phi(\vex)=0,\ $\vec A (\vex)=\half \vec B\times \vex $ a odpovídající hamiltonián lze zapsat způsobem \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta -\frac{e}{2M}\vec B\cdot\hat{\vec L} +\frac{e^2}{8M} (\vec B\times\hat{\vex})^2+e\hat\phi(\vex), \ll{hhommag}\ee kde $\hat{\vec L}$ je operátor momentu hybnosti. %Stejný hamiltonián bychom dostali i pokud by \special{src: 66 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro střední hodnoty souřadnice a momentu hybnosti charakteristické pro atomy a nikoliv extrémně silná magnetická pole je příspěvek od třetího členu zanedbatelný, takže hamiltonián lze psát způsobem \be \hat H= \hat H_0-\hat{\vec\mu}_{orb}\cdot\vec B, \ee kde $\hat H_0$ je hamiltonián \cc e bez vlivu magnetického pole (pouze v poli konzervativních sil, což je problém který jsme studovali doposud) a \be \hat{\vec\mu}_{orb}=\frac{e}{2M}\hat{\vec L}\ll{orbmgm}\ee je {\em operátor magnetického momentu \cc e} související s jejím orbitálním pohybem. \special{src: 81 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \special{src: 84 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Je-li potenciál $V(\vex)=e\phi(\vex)$ v $\hat H_0$ sféricky symetrický, což je například potenciál coulombického pole jádra atomu, pak lze nalézt vlastní funkce $\psi_{E,l,m}$ hamiltoniánu $\hat H_0$, které jsou současně vlastními \fc emi momentu hybnosti (viz \ref{ssec:csympot}). \be \hat H_0 \psi_{E,l,m}=E\psi_{E,l,m}\ll{vlfceelm1}\ee \be \hat L^2 \psi_{E,l,m}=l(l+1)\hbar^2\psi_{E,l,m}\ll{vlfceelm2}\ee \be \hat L_z \psi_{E,l,m}=m\hbar\psi_{E,l,m} \ll{vlfceelm3}\ee \special{src: 96 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Odtud plyne, že v tomto případě lze okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v magnetickém poli. Sférická symetrie systému bez magnetického pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a pokud platí \rf{vlfceelm1}, \ref{vlfceelm3}), pak rovněž platí \be \hat H \psi_{E,l,m}=(E-\mu_0m|\vec B|)\psi_{E,l,m},\ll{vlfcemagp}\ee kde $\mu_0=\frac{e\hbar}{2M}$ je tzv. {\em Bohrův magneton}. Jeho hodnota pro elektron je 0,9274.$10^{-23}$ $JT^{-1}$. \special{src: 107 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Znamená to, že {\bf hladiny energie částice}, které díky sférické symetrii původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo %$2l+1$ násobně degenerované, {\bf se podle takto navržené teorie vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých hladin vzdálených o $\mu_0|\vec B|$.} %ekvidistantních hladin. Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin jsou úměrné intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty). \special{src: 119 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Efekt rozštěpení hladin magnetickým polem byl experimentálně pozorován, jedná se o tzv. {\em Zeemanův jev}, avšak {\bf počet hladin v multipletu neodpovídá předpovězenému číslu $2l+1$}. Překvapivé je, že například dochází k rozštěpení hladiny energie základního stavu atomů, který by podle dosavadní teorie měl být nedegenerovaný, neboť v tomto stavu $l=0$. \special{src: 129 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \subsection{Vlastní magnetický moment a spin částice}\label{vmmsc} Uvedený rozpor teorie a experimentu řeší hypotéza (Landé, Stoner, Pauli 1923--25), podle které {\bf elektron má} vedle magnetického momentu \rf{orbmgm}) souvisejícího s orbitálním pohybem ještě {\bf vlastní magnetický moment $\vec\mu$, jehož projekce nabývají právě dvou hodnot} $\pm|\mu|$. \special{src: 140 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Tato hypotéza se opírá i o výsledky {\em Stern -- Gerlachova pokusu}, při kterém prochází svazek atomů v základním stavu nehomogenním magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity. \begin {figure}[hbtp] \hskip 1cm \vskip 1cm %TexCad Options %\grade{\on} %\emlines{\off} %\beziermacro{\off} %\reduce{\on} %\snapping{\on} %\quality{2.00} %\graddiff{0.01} %\snapasp{1} %\zoom{1.00} \unitlength 1.00mm \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(127.00,150.00) %\emline(20.00,130.00)(60.00,130.00) \put(20.00,130.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(90.00,145.00)(90.00,115.00) \put(90.00,145.00){\line(0,-1){30.00}} %\end %\vector(60.00,130.00)(90.00,135.00) \put(90.00,135.00){\vector(4,1){0.2}} \multiput(60.00,130.00)(0.71,0.12){42}{\line(1,0){0.71}} %\end %\vector(60.00,130.00)(90.00,125.00) \put(90.00,125.00){\vector(4,-1){0.2}} \multiput(60.00,130.00)(0.71,-0.12){42}{\line(1,0){0.71}} %\end \put(55.00,135.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}} \put(55.00,110.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}} %\emline(120.00,135.00)(115.00,150.00) \multiput(120.00,135.00)(-0.12,0.36){42}{\line(0,1){0.36}} %\end %\emline(115.00,150.00)(125.00,150.00) \put(115.00,150.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(125.00,150.00)(120.00,135.00) \multiput(125.00,150.00)(-0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(127.00,126.00)(127.00,110.00) \put(127.00,126.00){\line(0,-1){16.00}} %\end %\emline(127.00,110.00)(113.00,110.00) \put(127.00,110.00){\line(-1,0){14.00}} %\end %\emline(113.00,110.00)(113.00,125.00) \put(113.00,110.00){\line(0,1){15.00}} %\end %\emline(113.00,125.00)(114.00,125.00) \put(113.00,125.00){\line(1,0){1.00}} %\end %\emline(114.00,125.00)(115.00,124.00) \multiput(114.00,125.00)(0.11,-0.11){9}{\line(0,-1){0.11}} %\end %\emline(115.00,124.00)(125.00,124.00) \put(115.00,124.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(125.00,124.00)(126.00,125.00) \multiput(125.00,124.00)(0.11,0.11){9}{\line(0,1){0.11}} %\end %\emline(126.00,125.00)(127.00,125.00) \put(126.00,125.00){\line(1,0){1.00}} %\end %\vector(120.00,135.00)(120.00,124.00) \put(120.00,124.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(120.00,135.00){\line(0,-1){11.00}} %\end %\vector(120.00,135.00)(123.00,124.00) \put(123.00,124.00){\vector(1,-4){0.2}} \multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}} %\end %\vector(120.00,135.00)(117.00,124.00) \put(117.00,124.00){\vector(-1,-4){0.2}} \multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}} %\end %\vector(120.00,135.00)(126.00,125.00) \put(126.00,125.00){\vector(2,-3){0.2}} \multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\vector(120.00,135.00)(114.00,125.00) \put(114.00,125.00){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}} %\end \put(20.00,132.00){\makebox(0,0)[lb]{1}} \put(68.00,145.00){\makebox(0,0)[lb]{2}} \put(80.00,136.00){\makebox(0,0)[lb]{3}} \put(93.00,115.00){\makebox(0,0)[lb]{4}} \put(20.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{A) Sch\'ema experimentu}} \put(105.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{B) Bokorys průběhu}} \put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lb]{siločar magnetického pole}} \put(20.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{1 Svazek atomů }} \put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{2 P\'oly magnetu}} \put(50.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{3 Rozštěpené svazky částic}} \put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4 Stínítko}} \end{picture} \caption{Stern -- Gerlachův pokus} \end{figure} Síla, která na atomy v tomto poli působí (viz např. \cite{sto:em} kap. 4.3) je %má složky %\[ F_j(\vex)=\mu_k\frac{\partial B_k}{\partial x_j}(\vex),\] \[ \vec F(\vex)=grad (\vec\mu\cdot\vec B(\vex)), \] takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického momentu \cc e na směr magnetického pole. Svazek atomů v základním stavu se průchodem nehomogenním magnetickým polem rozdělí na dva, což je plně v souhlasu s představou vlastního magnetického momentu elektronu. Z úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené svazky vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického momentu. Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s velikostí Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$. \special{src: 163 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Možnost rozštěpení hladiny energie základního stavu atomu vodíku na dvě svědčí o tom, že {\bf základní stav je degenerovaný a jeho popis vlnovou funkcí $\psi_{E,0,0}$ není úplný} a je mu nutno přiřadit lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých funkcí, jež jsou vlastními \fc emi energie s nejnižší vlastní hodnotou. Z předchozího však víme, že taková funkce je až na multiplikativní konstantu jen jedna. %, totiž $Ce^{-r/a}$. Východiskem z této situace je použití vlnových \fc í které mají dvě složky. \be \psi(\vex)=\left(\ba {c}\psi_1(\vex)\\ \psi_2(\vex)\ea\right). \ll{vekvlnfce}\ee Alternativní, avšak ekvivalentní přístup je použití vlnových funkcí, které vedle $\vex$ závisí ještě na další proměnné $\xi$, která nabývá pouze dvou hodnot $\pm$, tj. \[\psi=\psi(\vex,\xi),\ \psi(\vex,+)\equiv\psi_1(\vex),\ \psi(\vex,-)\equiv\psi_2(\vex) .\] \special{src: 181 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Přechod k vlnovým \fc ím \rf{vekvlnfce}) znamená přechod od Hilbertova prostoru \qintspace k prostoru \qintspace$\otimes\complex^2$. Skalární součin v tomto prostoru je \be (\psi,\phi)=\sum_{k=1}^2\int_{\real^3}\psi^*_k(\vex)\phi_k(\vex)d^3x =\sum_{\xi=\pm}\int_{\real^3}\psi^*(\vex,\xi)\phi(\vex,\xi)d^3x \ee a operátory %v tomto prostoru jsou obecně zadány maticí operátorů $\hat A=\{\hat A_{ij}\}_{i,j=1}^2$. Neboť jsme se doposud zabývali jevy, ve kterých magnetický moment nehrál roli, mohli jsme používat operátory, které jsou násobkem jednotkové matice, např. hamiltonián je dán maticí $\hat H_{ij}=\hat H\delta_{ij}$, jinak vyjádřeno $\hat{\hat H}=\hat H\otimes\unit_{\complex^2}.$ \special{src: 198 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$ (směru magnetického pole) naopak přiřadíme operátor $\hat{ \mu}_{z}$, který působí netriviálně pouze v prostoru $\complex^2$, zatímco v prostoru \qintspace {} působí pouze jako násobení konstantou. \be \hat{ \mu}_{z}:=\left(\ba{cc}\mu_0&0\\0&-\mu_0\ea\right) \ll{muz} \ee \special{src: 207 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Souvislost orbitálního magnetického momentu s momentem hybnosti \rf{orbmgm}) přivedla G.E. Uhlenbecka a S. Goudsmita k hypotéze (1925), že podobně jako orbitální, i {\bf vlastní magnetický moment \cc e je důsledkem nenulového vlastního momentu hybnosti -- spinu}. Tato veličina {\em nemá analogii} v žádném druhu pohybu klasických hmotných těles. {\bf Operátor spinu má stejně jako orbitální magnetický moment tři složky $\hat S_j$, které netriviálně působí pouze v $\complex^2$ a vzájemně komutují stejným způsobem jako složky momentu hybnosti} \be {\Large\mbox{ $ [\hat S_j,\hat S_k]=i\hbar \epsilon_{jkl}\hat S_l. $}}\ll{relspin}\ee Snadno lze ukázat, že trojice matic $\hat S_j=\frac{\hbar}{2}\sigma_j$, kde $\sigma_j,\ j=1,2,3$ jsou tzv. {\em Pauliho matice} \be \sigma_1=\left(\ba{cc}0&1\\1&0\ea\right),\ \sigma_2=\left(\ba{cc}0&-i\\i&0\ea\right),\ \sigma_3=\left(\ba{cc}1&0\\0&-1\ea\right),\ll{paulimat}\ee splňuje relace \rf{relspin}). \special{src: 224 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Vztah mezi spinem a vlastním magnetickým momentem elektronu je \be {\large\fbox{$\hat {\vec{\mu}}=\frac{2\mu_0}{\hbar}\hat{\vec S} $}}\ ,\ee což je v souhlasu s \rf{muz}). Faktor 2 je v rámci této teorie nutné brát jako fenomenologickou konstantu. Její vysvětlení je možno podat až v rámci relativistické kvantové mechaniky. \bc Ukažte, že vlastní čísla operátoru $\hat{\vec\mu}\cdot\vec B$ jsou $\pm \mu_0|\vec B|$. Najděte vlastní \fc e. \ec \bc Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v poli Coulombova potenciálu s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$. \ec \bc Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota z--ové složky spinu $s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve směru, který se z--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností? \ec Vedle relace \be [\sigma _j,\sigma _k]=2i\epsilon_{jkl}\sigma _l, \ll{sigmarel}\ee ze které plyne \rf{relspin}), mají Pauliho matice ještě další vlastnosti užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z nich \be \sigma _j=\sigma _j^\dagger,\ Tr\ \sigma _j=0, \ee \be \{\sigma _j,\sigma _k\}=2\delta_{jk}\unit. \ll{anticomsig}\ee Mimo to spolu s jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j,\ j=1,2,3\}$ (hermitovskou) bazi v prostoru komplexních matic $2\times 2$. Násobení Pauliho matic \be \sigma _j\sigma _k=\delta_{jk}+i\epsilon_{jkl}\sigma _l \ll{nassig}\ee plyne okamžitě z \rf{sigmarel}, \ref{anticomsig}). \bc Ukažte, že $\hat{\vec S}^2=\frac{3}{4}\hbar^2\unit$. Porovnejte tento výsledek s \rf{vlfceelm2}). \ec \bc Uvažujte systém (tzv. supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2({\cal R},dx) \otimes {\cal C}^2$ hamiltoniánem $$ \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes {\bf 1} + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes {\bf 1} + \frac{\hbar \omega}{2} {\bf 1} \otimes \sigma_{3}.$$ Dále je dán operátor $$ \hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}).$$ Nalezněte $\hat{Q}^{+}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké omezení lze vyvodit z těchto relací na spektrum hamiltoniánu (~tj. zda je shora či zdola omezené a čím~)? (~Postačí uvažovat bodovou část spektra.~) \ec \subsection{Pauliho \rc e. Normální Zeemanův jev} \special{src: 263 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z výsledku Stern -- Gerlachova pokusu a rozštěpení energetických hladin atomů v magnetickém poli jsme došli k hypotéze, že stavy \cc{} v atomu jsou charakterizovány též hodnotou čistě kvantové veličiny nazývané spin. Síly, které působí na atomové \cc e v magnetickém poli jsou na spinu závislé a musí být proto zahrnuty do hamiltoniánu. W. Pauli navrhl rozšíření hamiltoniánu pro \cc i v \emk ém poli na tvar \be {\Large \fbox{$ \hat H=\frac{1}{2M}[\hat{\vec P} - e\hat {\vec A}]^2 + e\hat\phi-{\mu_0}\hat{\vec B}\cdot\hat{\vec \sigma} $}} \ .\ll{pauham}\ee Rovnice \[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi, \] kde $\hat H$ je tvaru \rf{pauham}) a $\psi$ je dvoukomponentová \fc e se nazývá {\em Pauliho \rc e}. Odpovídající \rc e $\hat H\psi=E\psi$ se pak nazývá bezčasová Pauliho \rc e. \special{src: 280 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec B(\vex,t)=\vec B$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení \sv y \rc e, neboť přímým výpočtem lze ukázat, že pokud $\phi_j,\ j=1,2$ jsou řešení \sv y \rc e \[ i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t}=\hat H_1\phi, \] kde $\hat H_1$ je spimově nezávislá část \rf{pauham}), pak řešení Pauliho \rc e lze zapsat způsobem \be \left( \ba {c}\psi_1(\vex,t)\\ \psi_2(\vex,t)\ea\right)=\exp[\frac{i}{\hbar}\hat{\vec\mu}\cdot\vec B t] \left(\ba {c}\phi_1(\vex,t)\\ \phi_2(\vex,t)\ea\right), \ll{respauli}\ee kde \be \exp[\frac{i}{h}\hat{\vec\mu}\cdot\vec Bt]=\cos (\frac {\mu_0}{\hbar}|\vec B|t)+i\frac{\vec B\cdot\vec \sigma}{|\vec B|}\sin(\frac {\mu_0}{\hbar}|\vec B|t). \ll{expmb}\ee \bc Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli směřujícímím ve směru osy $x$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota její z-ové složky spinu $+\hbar/2$. S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její y-ové složky spinu $+\hbar/2$? \ec \bc Ukažte, že pokud výraz $\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]$ definujeme pomocí řady \be \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec a\cdot\vec\sigma)^n}{n!}, \ll{defexp}\ee pak platí \be \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]=\cos (|\vec a|)+i\frac{\vec a\cdot\vec\sigma}{|\vec a|}\sin(|\vec a|). \ee \ec \special{src: 307 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Rozštěpení energetických hladin v důsledku existence vlastního magnetického momentu je pak možno popsat Pauliho hamiltoniánem \be \hat H_P=\hat H_0 -\frac{\mu_0}{\hbar}\vec B\cdot\hat{\vec L}-\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec B\cdot\hat{\vec S},\ee kde $\hat H_0$ (což je např. hamiltonián \cc e v coulombickém poli) popisuje \cc i bez magnetického pole. Řešením bezčasové Pauliho \rc e $H_P\psi=E\psi$ lze dostat {\bf energetické spektrum, které odpovídá rozštěpení hladin magnetickým polem pozorované v normálním Zeemanově jevu.} Toto řešení %bezčasové Pauliho \rc e lze rovněž lze obdržet ze znalosti řešení bezčasové \sv y \rc e. % $H_0\psi=E_0\psi$. \special{src: 326 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro sféricky symetrický hamiltonián $\hat H_0$, lze bez újmy na obecnosti zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole. Je snadné se přesvědčit, že pokud \cc e má v nepřítomnosti magnetického pole energii $E_0=E_{nl}$ (tzn. $E_{nl}$ je vlastní hodnotou hamiltoniánu $\hat H_0$) a funkce $\psi_{n,l,m}$ jsou vlastní funkce $\hat H_0, \hat L^2,\hat L_z$, pak \fc e \be \psi_{n,l,m,+}(\vex)=\left(\ba {c}\psi_{n,l,m}(\vex)\\ 0\ea\right),\ \psi_{n,l,m,-}(\vex)=\left(\ba{c}0\\\psi_{n,l,m}(\vex)\ea\right)\ee jsou vlastními \fc emi Pauliho hamiltoniánu odpovídajícími vlastním hodnotám $E_{n,l,m,\pm}=E_{nl}-\mu_0B_z(m\pm 1)$. Počet hladin multipletu je $2l+3$ pro $l=1,2,\ldots$. Pro $l=0$ dostáváme dvě hladiny energie, což je ve shodě i se Stern--Gerlachovým pokusem. %Vlastní hodnoty $E_{n,l,l,+}$ a $E_{n,l,-l,-} jsou %nedegenerované. \special{src: 347 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Poznamenejme ještě, že vedle normálního Zeemanova jevu existuje ještě tzv. anomální Zeemanův jev. Jeho popis a vysvětlení dané tzv. spin-orbitální vazbou zde provádět nebudeme (viz např \cite{for:ukt} kap 7.5). \special{src: 351 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Na závěr této kapitoly je třeba ještě učinit důležitou poznámku: Existence nenulového spinu není univerzální vlastnost všech kvantových \cc. V uvedených jevech, které nás přiměly zavést spin, mají rozhodující vliv valenční elektrony atomů. Znamená to tedy, že elektronům je třeba přiřadit spin (velikosti 1/2). Na druhé straně existují částice, které spin nemají. Jsou to například mesony $\pi$ důležité pro popis jaderných sil. Ty pak interagují s magnetickým polem pouze prostřednictvím svého orbitálního momentu hybnosti. \subsection{Algebraická teorie momentu hybnosti}\ll{atmh} Jak už jsme poznamenali v podkapitole \ref{vmmsc}, vlastní i orbitální moment hybnosti mají stejné komutační relace \begin{equation}\label{imcr} [\hat J_k,\hat J_m]=i\hbar\,\varepsilon_{kmn}\hat J_n . \end{equation} Tyto relace lze zároveň považovat za definici násobení prvků baze v Lieovské algebře $su(2)$, která úzce souvisí s grupou otočení $S0(3)$. V dalším odvodíme vlastnosti společných vlastních funkcí operátorů $\hat J_3$ a $\hat J^2:={\hat J_1}^2+{\hat J_2}^2+{\hat J_3}^2$ a jejich vlastních hodnot \textbf{bez znalosti jejich konkrétních tvarů}, pouze využitím algebraických relací (\ref{imcr}). Jediné co budeme navíc předpokládat je samosdruženost. Z hlediska zmíněné Lieovské algebry, to znamená konstrukci jejích konečně rozměrných reprezentací. Podstatným způsobem budeme při tom využívat tzv. posunovacích operátorů \begin{equation}\label{jpm} \hat J_\pm:=\hat J_1\pm i\hat J_2,\ [\hat J_3,\hat J_\pm]=\pm\hbar \hat J_\pm \end{equation} s jejichž obdobou jsme se seznámili v podkapitole \ref{posunovacioperatory}. Snadno pro ně odvodíme, že \begin{equation}\label{jmjp} \hat J_-\hat J_+={\hat J_1}^2+{\hat J_2}^2-\hbar \hat J_3={\hat J}^2-{\hat J_3}^2-\hbar \hat J_3 \end{equation} Nechť $|\lambda,\mu>$ je společná vlastní funkce operátorů $\hat J^2$ a $\hat J_3$ s vlastními hodnotami $\lambda,\mu$ \begin{equation}\label{j2eigen} \hat J^2|\lambda,\mu>=\lambda|\lambda,\mu>,\ \ \hat J_3|\lambda,\mu>=\mu|\lambda,\mu>. \end{equation} Ze samosdruženosti operátorů $\hat J_1,\hat J_2$ plyne, že pro libovolný prvek Hilbertova prostoru $\phi$ platí \[ (\phi,({\hat J_1}^2+{\hat J_2}^2)\phi)=||{\hat J_1}\phi^2||+||{\hat J_2}\phi^2||\geq 0, \] takže %\begin{equation}\label{lamgeqmu1} 0\ \leq\ \ \[ <\lambda,\mu|{\hat J_1}^2+{\hat J_2}^2|\lambda,\mu>=<\lambda,\mu|{\hat J}^2-{\hat J_3}^2|\lambda,\mu>=(\lambda-\mu^2)\,||\ |\lambda,\mu>||^2 \]%\end{equation} je rovněž nezáporné, z čehož plyne \begin{equation}\label{lamgeqmu} \lambda\geq\mu^2. \end{equation} Na druhé straně díky (\ref{jpm}) \[ \hat J_+|\lambda,\mu>=\alpha^{(+)}|\lambda,\mu+\hbar>, \] takže musí existovat maximální vlastní hodnota $\mu_{max}$ taková, že $\hat J_+|\lambda,\mu_{max}>=0$. V opačném případě by totiž byla porušena nerovnost \rf{lamgeqmu}). Aplikujeme-li operátor $\hat J_-\hat J_+$ na $|\lambda,\mu>$ a použijeme \rf{jmjp}) a \rf{j2eigen}), dostaneme \[ 0=\hat J_-\hat J_+|\lambda,\mu_{max}>=(\hat J^2-{\hat J_3}^2-\hbar \hat J_3)|\lambda,\mu_{max}>=(\lambda-\mu_{max}^2-\hbar\mu_{max})|\lambda,\mu_{max}> ,\] odkud plyne \begin{equation}\label{lameq} \lambda=\mu_{max}^2+\hbar\mu_{max}. \end{equation} Stejnými úvahami, kde zaměníme $\hat J_+$ a $\hat J_-$, zjistíme, že musí existovat minimální vlastní hodnota $\mu_{min}$, pro kterou platí \begin{equation}\label{lameqi} \lambda=\mu_{min}^2-\hbar\mu_{min}. \end{equation} Porovnáním \rf{lameq}) a \rf{lameqi}) dostaneme $\mu_{min}=-\mu_{max}$. Mimo to je zřejmé, že opakovaným působením operátoru $\hat J_+$ na $|\lambda,\mu_{min}>$ dostaneme vektor úměrný $|\lambda,\mu_{max}>$, takže existuje celé nezáporné $k$, tak že \[\mu_{min}+k\hbar=\mu_{max}=-\mu_{min}. \] Odtud \[ \mu_{max}=-\mu_{min}=j\hbar,\ j\in\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\ldots\},\] \begin{equation}\label{lamu} \lambda=j(j+1)\hbar^2, \ \mu\in\{-j,-j+1,-j +2,\ldots\,j\}. \end{equation} Je tedy vidět, že pokud jsme nepředpokládali operátory $\hat J_k$ ve tvaru operátorů momentu hybnosti, nýbrž vzali v úvahu pouze jejich komutační relace, zjistili jsme, že spektrum vlastních hodnot operátorů $\hat J^2$ a $\hat J_3$, může nabývat hodnot \rf{lamu}) s $j$ nejen celým jako v případě momentu hybnosti, nýbrž i polocelým, což je případ spinu. Z tohoto výsledku lze též usoudit, že mohou existovat částice nejen se spinem $\frac{1}{2}$ jako např. elektron, proton, neutron a další, ale také s vyššími (polo)celými spiny, což bylo experimentálně potvrzeno. \bc S použitím výsledků cvičení \ref{alplm} najděte $(2j+1)\times(2j+1)$ matice $J_k$ splňující relace \rf{imcr}) (tyto matice určují reprezentace algebry $su(2)$). Ověřte, že pro $j=\frac{1}{2}$ jsou shodné se složkami spinu. \ec