02KVAN:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
 
(Není zobrazeno 6 mezilehlých verzí od 4 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v poli
+
\chapter{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}
konzervativních sil, jinými slovy předpokládali jsme, že
+
\ll{ssec:csympot}
hamiltonián je tvaru
+
\[ \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta+\hat V(\vex). \]
+
Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je
+
Lorentzova síla
+
\be \vec F=\vec F(\vex,\vec v,t)=e[\vec E(\vex,t)+\vec v \times \vec
+
B(\vex,t)] , \ee
+
která působí na nabitou částici v \emk ém poli
+
$\{\vec E(\vex,t),\vec B(\vex,t)\}$. Tato síla
+
není konzervativní,
+
na druhé straně, z kursu teoretické fyziky (viz např. \cite{sto:tf} U2.1),
+
víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného
+
potenciálu
+
\[ U(\vex,\vec v,t)=e[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \]
+
kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn.
+
\be \vec E=-grad\ \phi-\frac{\partial \vec A}{\partial t},\ \
+
\vec B= rot \ \vec A. \ee
+
Pohyb klasické \cc e v \emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc
+
emi v Hamiltonově formulaci s Hamiltonovou \fc í
+
\be H(\vex, \vec p,t)=\frac{1}{2M}[\vec p - e\vec A(\vex,t)]^2 +
+
e\phi(\vex,t). \ee
+
{\em Hamiltonián \qv ě \mi cké \cc e v
+
\emk ém poli} je pak možno odvodit z principu korespondence
+
\be \hat H=\frac{1}{2M}[-i\hbar\vec\nabla - e\hat{\vec A(\vex,t)}]
+
[-i\hbar\vec\nabla - e\hat{\vec A(\vex,t)}] +
+
e\hat\phi(\vex,t) \ll{hem}\ee
+
a snadnými úpravami je možno %tento hamiltonián
+
jej přepsat na tvar
+
\be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta +\frac{i\hbar e}{M}\hat{\vec
+
A(\vex,t)}\cdot\vec\nabla +\frac{i\hbar e}{2M}\hat{div\ \vec
+
A(\vex,t)}+\frac{e^2}{2M} \hat{\vec A(\vex,t)}\cdot\hat{\vec A(\vex,t)}
+
+e\hat\phi(\vex,t). \ll{hem2}\ee
+
  
\special{src: 35 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je
 +
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
  
Poznamenejme zde, že v tomto případě princip korespondence
+
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar
neurčuje hamiltonián jednoznačně, neboť operátory $\hat P_j,
+
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \lapl + \hat V(r), \ll{sspot} \ee
\hat A_j$ vyskytující se v prvním členu pravé strany \rf{hem})
+
kde
nekomutují. Znamená to, že hamiltonián \rf{hem}) odpovídá jistému
+
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee
výběru uspořádání těchto nekomutujících oprátorů plynoucímu v tomto případě z požadavku samosdruženosti. Jiné výběry
+
uspořádání by se lišily faktorem stojícím před členem $\hat{div\ \vec
+
A(\vex,t)}$. Pro případ homogenních polí, který budeme v dalším
+
uvažovat tento člen vymizí.
+
  
\bc Ukažte, že požadavek samosdruženosti neurčuje uspořádání operátoru odpovídajímu klasické pozorovatelné $p x^2$, kde $p$ a $x$ jsou hybnost a souřadnice jednorozměrného systému.\ec
+
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami
 +
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
  
\subsection{Částice v homogenním magnetickém poli}
+
\bc
Budeme se zabývat případem \qv é \cc e v homogenním časově
+
  Spočítejte komutátory
nezávislém magnetickém poli %$ \vec E(\vex,t)= 0, \
+
  \be [\hat L_j,\hat Q_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\ \ll{loper1} \ee
$\vec B(\vex,t)= \vec B$.
+
  kde
 +
  \be \hat L_j = \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee
 +
\ec
  
\special{src: 53 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $\hat L_3\equiv \hat L_z$ a
 +
  \be \hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee
 +
\ec
  
%Elektromagnetické
+
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
Vektorový potenciál lze v tomto případě zvolit
+
%\be \phi(\vex)=0,\
+
$\vec A (\vex)=\half \vec B\times \vex $
+
a odpovídající hamiltonián lze zapsat způsobem
+
\be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta -\frac{e}{2M}\vec
+
B\cdot\hat{\vec L}
+
+\frac{e^2}{8M} (\vec B\times\hat{\vex})^2+e\hat\phi(\vex), \ll{hhommag}\ee
+
kde $\hat{\vec L}$ je operátor momentu hybnosti.
+
%Stejný hamiltonián bychom dostali i pokud by
+
  
\special{src: 66 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
 +
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\pd}{\pd\varphi} \ll{lzsfer} \ee
 +
\be
 +
  \hat L^2
 +
    = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
 +
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right) \right]
 +
  \ll{lkvadsfer}
 +
\ee
 +
\be
 +
  \hat H
 +
    = - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
 +
      + \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
 +
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right)\right)\right]
 +
      + \hat V(r)
 +
  \ll{hsfer}
 +
\ee
  
Pro střední hodnoty souřadnice a momentu hybnosti
+
\bc
charakteristické pro atomy a nikoliv extrémně silná magnetická
+
  S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.
pole je příspěvek od třetího členu zanedbatelný, takže
+
\ec
hamiltonián lze psát způsobem
+
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec
\be \hat H= \hat H_0-\hat{\vec\mu}_{orb}\cdot\vec B, \ee
+
kde $\hat H_0$ je hamiltonián \cc e bez vlivu magnetického pole
+
(pouze v poli konzervativních sil, což je problém který jsme
+
studovali doposud)
+
a
+
\be \hat{\vec\mu}_{orb}=\frac{e}{2M}\hat{\vec L}\ll{orbmgm}\ee
+
je {\em operátor magnetického momentu \cc e}
+
související s jejím orbitálním pohybem.
+
  
\special{src: 81 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
 +
\section{Moment hybnosti, kulové funkce}
 +
\ll{ssmomhyb}
  
\special{src: 84 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty
 +
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee
 +
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e
 +
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\varphi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici
 +
\be
 +
  \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2\Psi}{\pd\varphi^2}
 +
    + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd }{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd\Psi}{\pd\theta}\right)
 +
    +  \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi
 +
  = 0.
 +
  \ll{pdrl2}
 +
\ee
 +
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole
 +
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru
 +
\be \Psi(r,\theta,\varphi) = \chi(r,\theta)e^{  i m\varphi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee
 +
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.
  
Je-li potenciál $V(\vex)=e\phi(\vex)$ v $\hat H_0$
+
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici
sféricky symetrický, což je
+
\be \frac{\d}{\dt}\left[ (1-t^2)\frac{\d F}{\dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee
například potenciál coulombického pole jádra atomu, pak lze
+
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je
nalézt vlastní funkce $\psi_{E,l,m}$ hamiltoniánu $\hat H_0$, které jsou současně vlastními
+
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma}  pro $F$
\fc emi momentu hybnosti (viz \ref{ssec:csympot}).
+
v~tomto případě zní
\be \hat H_0 \psi_{E,l,m}=E\psi_{E,l,m}\ll{vlfceelm1}\ee
+
\[
\be \hat L^2
+
  \int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2\dx\dy\dz
\psi_{E,l,m}=l(l+1)\hbar^2\psi_{E,l,m}\ll{vlfceelm2}\ee
+
    = \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle}\abs{\Psi(r,\theta,\varphi)}^2\dvol=
\be \hat L_z \psi_{E,l,m}=m\hbar\psi_{E,l,m} \ll{vlfceelm3}\ee
+
\]
 +
\be
 +
  = 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 \sin \theta \dr\d \theta
 +
  = 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2\dr\dt < \infty.
 +
  \ll{kvadintss}
 +
\ee
 +
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná
 +
na $\langle -1,1 \rangle$.
  
\special{src: 96 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem
 +
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
 +
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
 +
\be x(x-1)\frac{\d^2U}{\dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{\d U}{\dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee
 +
kde
 +
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]
 +
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
 +
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee
 +
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však
 +
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$
 +
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
 +
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee
 +
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar
 +
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee
 +
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
 +
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{\d^{l+m}}{\dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee
  
Odtud  plyne, že v tomto případě lze
+
\bc
okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v
+
  Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.
magnetickém poli. Sférická symetrie systému bez magnetického
+
\ec
pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a
+
pokud platí \rf{vlfceelm1}, \ref{vlfceelm3}), pak rovněž
+
platí
+
\be \hat H \psi_{E,l,m}=(E-\mu_0m|\vec B|)\psi_{E,l,m},\ll{vlfcemagp}\ee
+
kde $\mu_0=\frac{e\hbar}{2M}$ je tzv. {\em Bohrův magneton}. Jeho hodnota pro elektron je 0,9274.$10^{-23}$ $JT^{-1}$.
+
  
\special{src: 107 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Funkce
 +
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\varphi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\varphi} $}\ , \ll{ylm} \ee
 +
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly
 +
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina  všech kulových funkcí
 +
\[ \{ Y_{lm}: l\in\Z_+, \ m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]
 +
kde
 +
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
 +
tvoří ortonormální bázi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times
 +
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\varphi)$. Odtud plyne, že \emph{spektrum operátoru $\hat L^2$ je čistě bodové a je tvořeno množinou}
 +
\be
 +
\ll{spektrl2}
 +
\sigma(\hat L^2) = \sigma_p(\hat L^2) = \{l(l+1)\hbar^2: l\in\Z_+\} .
 +
\ee
  
Znamená to, že {\bf hladiny energie částice}, které díky sférické symetrii
 
původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo %$2l+1$ násobně
 
degenerované, {\bf se podle takto navržené teorie
 
vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých
 
hladin vzdálených o $\mu_0|\vec B|$.} %ekvidistantních hladin.
 
Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed
 
vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin
 
jsou úměrné intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích
 
hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty).
 
  
\special{src: 119 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často
 +
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro
 +
$l=0,1,2,\ldots$
  
Efekt rozštěpení hladin magnetickým polem byl experimentálně
+
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným kvantovými čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost
pozorován, jedná se o tzv. {\em Zeemanův jev},
+
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$
avšak {\bf počet hladin v multipletu neodpovídá
+
\be \d w = w(\theta,\varphi) \d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\varphi)|^2 \d\Omega. \ee
předpovězenému číslu $2l+1$}. Překvapivé je, že například
+
dochází k rozštěpení hladiny energie základního stavu atomů,
+
který by podle dosavadní teorie měl být nedegenerovaný, neboť
+
v tomto stavu $l=0$.
+
  
\special{src: 129 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.
 +
\ec
  
\subsection{Vlastní magnetický moment a spin částice}\label{vmmsc}
 
Uvedený rozpor teorie a experimentu řeší hypotéza (Landé, Stoner, Pauli 1923--25),
 
podle které {\bf elektron má} vedle magnetického momentu
 
\rf{orbmgm})
 
souvisejícího s orbitálním pohybem ještě  {\bf vlastní magnetický
 
moment $\vec\mu$, jehož projekce nabývají právě dvou
 
hodnot}
 
$\pm|\mu|$.
 
  
\special{src: 140 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Tato hypotéza se opírá i o výsledky {\em Stern -- Gerlachova
 
pokusu}, při kterém prochází svazek atomů v základním stavu
 
nehomogenním magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity.
 
\begin {figure}[hbtp]
 
\hskip 1cm
 
\vskip 1cm
 
  
%TexCad Options
+
\section{Radiální část vlnové funkce}
%\grade{\on}
+
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
%\emlines{\off}
+
\be \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ll{fakpsi} \ee
%\beziermacro{\off}
+
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián
%\reduce{\on}
+
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem
%\snapping{\on}
+
\be
%\quality{2.00}
+
  \hat H
%\graddiff{0.01}
+
    = -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2}
%\snapasp{1}
+
      + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
%\zoom{1.00}
+
      - \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right]
\unitlength 1.00mm
+
      + \hat V(r).
\linethickness{0.4pt}
+
  \ll{hsfer2}
\begin{picture}(127.00,150.00)
+
\ee
%\emline(20.00,130.00)(60.00,130.00)
+
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň
\put(20.00,130.00){\line(1,0){40.00}}
+
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
%\end
+
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{\rm{ef}}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee
%\emline(90.00,145.00)(90.00,115.00)
+
kde
\put(90.00,145.00){\line(0,-1){30.00}}
+
\be V_{\rm{ef}}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee
%\end
+
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
%\vector(60.00,130.00)(90.00,135.00)
+
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{\rm{ef}}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee
\put(90.00,135.00){\vector(4,1){0.2}}
+
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{\rm{ef}}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$
\multiput(60.00,130.00)(0.71,0.12){42}{\line(1,0){0.71}}
+
přejde na podmínku
%\end
+
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 \dr < \infty. \ee
%\vector(60.00,130.00)(90.00,125.00)
+
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku
\put(90.00,125.00){\vector(4,-1){0.2}}
+
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee
\multiput(60.00,130.00)(0.71,-0.12){42}{\line(1,0){0.71}}
+
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž
%\end
+
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
\put(55.00,135.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}
+
\put(55.00,110.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}
+
%\emline(120.00,135.00)(115.00,150.00)
+
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,0.36){42}{\line(0,1){0.36}}
+
%\end
+
%\emline(115.00,150.00)(125.00,150.00)
+
\put(115.00,150.00){\line(1,0){10.00}}
+
%\end
+
%\emline(125.00,150.00)(120.00,135.00)
+
\multiput(125.00,150.00)(-0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}}
+
%\end
+
%\emline(127.00,126.00)(127.00,110.00)
+
\put(127.00,126.00){\line(0,-1){16.00}}
+
%\end
+
%\emline(127.00,110.00)(113.00,110.00)
+
\put(127.00,110.00){\line(-1,0){14.00}}
+
%\end
+
%\emline(113.00,110.00)(113.00,125.00)
+
\put(113.00,110.00){\line(0,1){15.00}}
+
%\end
+
%\emline(113.00,125.00)(114.00,125.00)
+
\put(113.00,125.00){\line(1,0){1.00}}
+
%\end
+
%\emline(114.00,125.00)(115.00,124.00)
+
\multiput(114.00,125.00)(0.11,-0.11){9}{\line(0,-1){0.11}}
+
%\end
+
%\emline(115.00,124.00)(125.00,124.00)
+
\put(115.00,124.00){\line(1,0){10.00}}
+
%\end
+
%\emline(125.00,124.00)(126.00,125.00)
+
\multiput(125.00,124.00)(0.11,0.11){9}{\line(0,1){0.11}}
+
%\end
+
%\emline(126.00,125.00)(127.00,125.00)
+
\put(126.00,125.00){\line(1,0){1.00}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(120.00,124.00)
+
\put(120.00,124.00){\vector(0,-1){0.2}}
+
\put(120.00,135.00){\line(0,-1){11.00}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(123.00,124.00)
+
\put(123.00,124.00){\vector(1,-4){0.2}}
+
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(117.00,124.00)
+
\put(117.00,124.00){\vector(-1,-4){0.2}}
+
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(126.00,125.00)
+
\put(126.00,125.00){\vector(2,-3){0.2}}
+
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}
+
%\end
+
%\vector(120.00,135.00)(114.00,125.00)
+
\put(114.00,125.00){\vector(-2,-3){0.2}}
+
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}
+
%\end
+
\put(20.00,132.00){\makebox(0,0)[lb]{1}}
+
\put(68.00,145.00){\makebox(0,0)[lb]{2}}
+
\put(80.00,136.00){\makebox(0,0)[lb]{3}}
+
\put(93.00,115.00){\makebox(0,0)[lb]{4}}
+
\put(20.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{A) Sch\'ema experimentu}}
+
\put(105.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{B) Bokorys průběhu}}
+
\put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lb]{siločar magnetického pole}}
+
\put(20.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{1  Svazek atomů }}
+
\put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{2  P\'oly magnetu}}
+
\put(50.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{3  Rozštěpené svazky částic}}
+
\put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4  Stínítko}}
+
\end{picture}
+
  
 +
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný.
 +
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace
 +
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.
  
\caption{Stern -- Gerlachův pokus}
+
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
\end{figure}
+
Síla, která na atomy v tomto poli působí (viz např. \cite{sto:em}
+
kap. 4.3) je %má složky
+
%\[  F_j(\vex)=\mu_k\frac{\partial B_k}{\partial x_j}(\vex),\]
+
\[ \vec F(\vex)=grad (\vec\mu\cdot\vec B(\vex)), \]
+
takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického
+
momentu \cc e na směr magnetického pole.
+
Svazek atomů v základním stavu se průchodem nehomogenním
+
magnetickým polem rozdělí na dva, což je plně v souhlasu s představou vlastního magnetického momentu elektronu. Z úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené
+
svazky vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického
+
momentu. Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s velikostí
+
Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$.
+
  
\special{src: 163 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Možnost rozštěpení hladiny energie základního stavu atomu vodíku
 
na dvě svědčí o tom, že {\bf základní stav je degenerovaný a jeho
 
popis vlnovou funkcí $\psi_{E,0,0}$ není úplný} a je mu
 
nutno přiřadit lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých
 
funkcí, jež jsou vlastními \fc emi energie s nejnižší vlastní hodnotou.
 
Z předchozího však víme, že taková funkce je až na
 
multiplikativní konstantu jen jedna. %, totiž $Ce^{-r/a}$.
 
Východiskem z této situace je použití vlnových \fc í které mají dvě
 
složky.
 
\be \psi(\vex)=\left(\ba {c}\psi_1(\vex)\\ \psi_2(\vex)\ea\right).
 
\ll{vekvlnfce}\ee
 
Alternativní, avšak ekvivalentní přístup je použití vlnových
 
funkcí, které vedle $\vex$ závisí ještě na
 
další proměnné $\xi$, která nabývá pouze dvou hodnot $\pm$, tj.
 
\[\psi=\psi(\vex,\xi),\ \psi(\vex,+)\equiv\psi_1(\vex),\ \psi(\vex,-)\equiv\psi_2(\vex) .\]
 
  
\special{src: 181 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\section{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}
  
Přechod k vlnovým \fc ím \rf{vekvlnfce}) znamená přechod od
+
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice
Hilbertova prostoru \qintspace k prostoru
+
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee
\qintspace$\otimes\complex^2$. Skalární součin v tomto prostoru
+
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
je
+
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
\be
+
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.
(\psi,\phi)=\sum_{k=1}^2\int_{\real^3}\psi^*_k(\vex)\phi_k(\vex)d^3x
+
=\sum_{\xi=\pm}\int_{\real^3}\psi^*(\vex,\xi)\phi(\vex,\xi)d^3x
+
\ee
+
a operátory %v tomto prostoru
+
jsou obecně zadány maticí operátorů
+
$\hat A=\{\hat A_{ij}\}_{i,j=1}^2$. Neboť jsme se doposud zabývali jevy, ve kterých magnetický moment nehrál roli, mohli jsme používat
+
operátory, které jsou násobkem jednotkové matice, např.
+
hamiltonián je dán maticí $\hat H_{ij}=\hat H\delta_{ij}$,
+
jinak vyjádřeno $\hat{\hat H}=\hat H\otimes\unit_{\complex^2}.$
+
  
\special{src: 198 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly
 +
zapsat jako řadu
 +
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee
 +
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme
 +
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee
 +
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee
 +
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.
  
Projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$ (směru
+
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde
magnetického pole) naopak přiřadíme operátor $\hat{ \mu}_{z}$, který působí
+
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee
netriviálně pouze v prostoru $\complex^2$, zatímco v prostoru \qintspace {} působí pouze jako násobení konstantou.
+
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$
\be \hat{ \mu}_{z}:=\left(\ba{cc}\mu_0&0\\0&-\mu_0\ea\right)
+
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
\ll{muz}
+
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}
 +
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee
 +
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je
 +
\be y(x) = C_1 F\left( \frac{c}{a},b,-ax\right) + C_2 x^{1-b} F\left( \frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax\right) . \ll{obres1} \ee
 +
 
 +
Vzhledem k~tomu, že $\frac{a_n}{a_{n-1}}\to \frac 1 n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\to \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz
 +
\cite{baterd})
 +
\be
 +
  \ll{rtoplusinf}
 +
  F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].
 +
\ee
 +
Pro $z\to -\infty\ $
 +
\be
 +
  \ll{rtominusinf}
 +
  F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) =  \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].
 
\ee
 
\ee
  
\special{src: 207 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Souvislost orbitálního magnetického momentu s momentem hybnosti \rf{orbmgm}) přivedla G.E. Uhlenbecka a S. Goudsmita k hypotéze (1925), že podobně jako
 
orbitální, i {\bf vlastní  magnetický moment \cc e je důsledkem nenulového
 
vlastního momentu hybnosti --  spinu}. Tato veličina {\em nemá
 
analogii} v žádném druhu pohybu klasických hmotných těles. {\bf Operátor spinu má stejně jako orbitální magnetický
 
moment tři složky $\hat S_j$, které netriviálně působí pouze v
 
$\complex^2$ a vzájemně komutují stejným způsobem jako složky momentu hybnosti}
 
\be {\Large\mbox{ $ [\hat S_j,\hat S_k]=i\hbar \epsilon_{jkl}\hat S_l. $}}\ll{relspin}\ee
 
Snadno lze ukázat, že trojice matic $\hat
 
S_j=\frac{\hbar}{2}\sigma_j$, kde $\sigma_j,\ j=1,2,3$ jsou tzv.
 
{\em Pauliho matice}
 
\be \sigma_1=\left(\ba{cc}0&1\\1&0\ea\right),\
 
\sigma_2=\left(\ba{cc}0&-i\\i&0\ea\right),\
 
\sigma_3=\left(\ba{cc}1&0\\0&-1\ea\right),\ll{paulimat}\ee
 
splňuje relace \rf{relspin}).
 
  
\special{src: 224 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Vztah mezi spinem a vlastním magnetickým momentem elektronu je
+
\section{Isotropní harmonický oscilátor}
\be {\large\fbox{$\hat {\vec{\mu}}=\frac{2\mu_0}{\hbar}\hat{\vec S}
+
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních
$}}\ ,\ee
+
stavů energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií
což je v souhlasu s \rf{muz}).
+
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru
Faktor 2 je v rámci této teorie nutné brát jako fenomenologickou
+
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee
konstantu. Její vysvětlení je možno podat až v rámci
+
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného
relativistické kvantové mechaniky.
+
směru (směr osy $z$ není ničím určen).
\bc Ukažte, že vlastní čísla operátoru $\hat{\vec\mu}\cdot\vec B$ jsou
+
$\pm \mu_0|\vec B|$. Najděte vlastní \fc e.
+
\ec
+
\bc Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v poli Coulombova potenciálu s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$.
+
\ec
+
\bc Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota z--ové složky spinu
+
$s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve směru, který se z--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností?
+
\ec
+
Vedle relace
+
\be [\sigma _j,\sigma _k]=2i\epsilon_{jkl}\sigma _l,
+
\ll{sigmarel}\ee
+
ze které plyne \rf{relspin}), mají Pauliho matice ještě další
+
vlastnosti užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z nich
+
\be \sigma _j=\sigma _j^\dagger,\ Tr\ \sigma _j=0, \ee
+
\be \{\sigma _j,\sigma _k\}=2\delta_{jk}\unit. \ll{anticomsig}\ee
+
Mimo to spolu s jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j,\ j=1,2,3\}$
+
(hermitovskou) bazi v prostoru komplexních matic $2\times 2$.
+
Násobení Pauliho matic
+
\be \sigma _j\sigma _k=\delta_{jk}+i\epsilon_{jkl}\sigma _l
+
\ll{nassig}\ee
+
plyne okamžitě z \rf{sigmarel}, \ref{anticomsig}).
+
\bc Ukažte, že $\hat{\vec S}^2=\frac{3}{4}\hbar^2\unit$.
+
Porovnejte tento výsledek s \rf{vlfceelm2}).
+
\ec
+
\bc Uvažujte systém (tzv. supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2({\cal R},dx) \otimes {\cal C}^2$ hamiltoniánem
+
$$ \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes {\bf 1} + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes {\bf 1} + \frac{\hbar \omega}{2} {\bf 1} \otimes \sigma_{3}.$$
+
Dále je dán operátor
+
$$ \hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}).$$
+
Nalezněte $\hat{Q}^{+}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké omezení lze vyvodit z těchto relací na spektrum hamiltoniánu (~tj. zda je shora či zdola omezené a čím~)? (~Postačí uvažovat bodovou část spektra.~)
+
\ec
+
\subsection{Pauliho \rc e. Normální Zeemanův jev}
+
  
\special{src: 263 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=\frac r a$, kde
 +
$a=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega}}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
 +
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee
 +
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2}
 +
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$.  Zvolíme
 +
ansatz
 +
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee
 +
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}
 +
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee
 +
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku
 +
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce
 +
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není
 +
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné
 +
Laguerrovy polynomy}
 +
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee
 +
definované též způsobem
 +
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{\d^n}{\dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee
  
Z výsledku Stern -- Gerlachova pokusu a rozštěpení energetických
+
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $\left(2n+l+\frac 3 2\right)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které
hladin atomů v magnetickém poli jsme došli k hypotéze, že stavy \cc{}
+
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\
v atomu jsou charakterizovány též hodnotou čistě kvantové
+
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}
veličiny nazývané spin. Síly, které působí na atomové \cc e v magnetickém
+
\be
poli jsou na spinu závislé a musí být proto zahrnuty do
+
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\varphi},
hamiltoniánu. W. Pauli navrhl rozšíření hamiltoniánu pro \cc i v
+
  \ll{resiho}
\emk ém poli na tvar
+
\ee
\be {\Large \fbox{$ \hat H=\frac{1}{2M}[\hat{\vec P} - e\hat {\vec A}]^2 +
+
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou
e\hat\phi-{\mu_0}\hat{\vec B}\cdot\hat{\vec \sigma} $}} \ .\ll{pauham}\ee
+
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako
Rovnice
+
\be
\[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi, \]
+
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\varphi),
kde $\hat H$ je tvaru \rf{pauham}) a $\psi$ je dvoukomponentová
+
  \ll{resiho2}
\fc e se nazývá {\em Pauliho \rc e}. Odpovídající \rc e $\hat
+
\ee
H\psi=E\psi$ se pak nazývá bezčasová Pauliho \rc e.
+
a zvolíme-li
 +
\be
 +
  |K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}
 +
\ee
 +
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.
  
\special{src: 280 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 
+
  Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$ a $\frac{7}{2}\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními
Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec
+
  \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
B(\vex,t)=\vec B$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení
+
\sv y \rc e, neboť přímým výpočtem lze ukázat, že pokud
+
$\phi_j,\ j=1,2$ jsou  řešení \sv y
+
\rc e
+
\[ i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t}=\hat H_1\phi, \]
+
kde $\hat H_1$ je spimově nezávislá část \rf{pauham}), pak řešení Pauliho \rc e lze zapsat způsobem
+
\be \left( \ba {c}\psi_1(\vex,t)\\
+
\psi_2(\vex,t)\ea\right)=\exp[\frac{i}{\hbar}\hat{\vec\mu}\cdot\vec B
+
t] \left(\ba {c}\phi_1(\vex,t)\\ \phi_2(\vex,t)\ea\right), \ll{respauli}\ee
+
kde
+
\be \exp[\frac{i}{h}\hat{\vec\mu}\cdot\vec Bt]=\cos (\frac
+
{\mu_0}{\hbar}|\vec B|t)+i\frac{\vec B\cdot\vec \sigma}{|\vec B|}\sin(\frac
+
{\mu_0}{\hbar}|\vec B|t). \ll{expmb}\ee
+
\bc Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli směřujícímím ve směru osy $x$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota její z-ové složky spinu $+\hbar/2$. S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její y-ové složky spinu $+\hbar/2$?
+
\ec
+
\bc Ukažte, že pokud výraz $\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]$
+
definujeme pomocí řady
+
\be \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec
+
a\cdot\vec\sigma)^n}{n!}, \ll{defexp}\ee
+
pak platí
+
\be  \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]=\cos (|\vec a|)+i\frac{\vec
+
a\cdot\vec\sigma}{|\vec a|}\sin(|\vec a|). \ee
+
 
\ec
 
\ec
  
\special{src: 307 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo
 +
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.
  
Rozštěpení energetických hladin v důsledku existence vlastního
+
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie}
magnetického momentu je pak možno popsat Pauliho hamiltoniánem
+
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali
\be \hat H_P=\hat H_0 -\frac{\mu_0}{\hbar}\vec
+
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
B\cdot\hat{\vec L}-\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec
+
B\cdot\hat{\vec S},\ee
+
kde $\hat H_0$ (což
+
je např. hamiltonián
+
\cc e v coulombickém poli) popisuje \cc i bez magnetického pole.
+
Řešením bezčasové Pauliho \rc e $H_P\psi=E\psi$ lze
+
dostat {\bf energetické spektrum,
+
které odpovídá rozštěpení hladin magnetickým polem
+
pozorované v normálním Zeemanově
+
jevu.}
+
Toto řešení %bezčasové Pauliho \rc e lze rovněž
+
lze obdržet ze znalosti řešení bezčasové
+
\sv y \rc e. % $H_0\psi=E_0\psi$.
+
  
\special{src: 326 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Pro sféricky symetrický hamiltonián $\hat H_0$, lze bez újmy na
 
obecnosti zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole.
 
Je snadné se přesvědčit, že pokud \cc e má
 
v nepřítomnosti magnetického pole energii $E_0=E_{nl}$
 
(tzn. $E_{nl}$ je vlastní hodnotou hamiltoniánu $\hat H_0$)
 
a funkce $\psi_{n,l,m}$ jsou vlastní funkce $\hat H_0,
 
\hat  L^2,\hat L_z$,  pak
 
\fc e
 
\be  \psi_{n,l,m,+}(\vex)=\left(\ba {c}\psi_{n,l,m}(\vex)\\ 0\ea\right),\
 
\psi_{n,l,m,-}(\vex)=\left(\ba{c}0\\\psi_{n,l,m}(\vex)\ea\right)\ee
 
jsou vlastními
 
\fc emi Pauliho hamiltoniánu odpovídajícími vlastním hodnotám
 
$E_{n,l,m,\pm}=E_{nl}-\mu_0B_z(m\pm 1)$.
 
Počet hladin multipletu je $2l+3$ pro $l=1,2,\ldots$. Pro $l=0$
 
dostáváme dvě hladiny energie, což je ve shodě i se
 
Stern--Gerlachovým pokusem.
 
%Vlastní hodnoty $E_{n,l,l,+}$ a $E_{n,l,-l,-} jsou
 
%nedegenerované.
 
  
\special{src: 347 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Poznamenejme ještě, že vedle normálního Zeemanova jevu existuje ještě tzv. anomální Zeemanův jev. Jeho popis a vysvětlení dané tzv. spin-orbitální vazbou zde provádět nebudeme (viz např \cite{for:ukt} kap 7.5).
+
\section{Coulombův potenciál}
 +
\ll{podkap:coulomb}
 +
 
 +
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
 +
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee
 +
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron,
 +
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie
 +
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=e^2/(4\pi\epsilon_0)$, kde $e$ je elementární náboj a $\epsilon_0$ je permitivita vakua.
 +
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar
 +
\be
 +
  -\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).
 +
  \ll{rcekhicp}
 +
\ee
 +
Substitucí
 +
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee
 +
kde
 +
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee
 +
převedeme tuto rovnici na tvar
 +
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee
 +
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}
 +
\be w(r)=C_1\,F\left(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r\right). \ll{dghgcoul} \ee
 +
Podmínka kvadratické integrability pak zní
 +
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee
 +
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}
 +
\be
 +
  \fbox{$E_N = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ n,l \in \Z_+,\ N\in \N$}\ .
 +
  \ll{ecoul}
 +
\ee
 +
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta
 +
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro
 +
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$.
 +
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e
 +
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í
 +
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
 +
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
 +
má tvar}
 +
\be
 +
  \Psi_{N,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-\frac{r}{Na}} L_{N-l-1}^{2l+1}\left( \frac{2r}{Na}\right)  Y_{lm}(\theta,\varphi),
 +
  \ll{nlmcoul}
 +
\ee
 +
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $K_{Nl}$ je normalizační konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $Y_{lm}$ jsou
 +
kulové \fc e. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm. Zvolíme-li normovací konstantu jako
 +
\[
 +
|K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2},
 +
\]
 +
je množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} ortonormální, tj. platí
 +
$$
 +
(\Psi_{Nlm},\Psi_{N'l'm'}) = \delta_{N,N'}\delta_{l,l'}\delta_{m,m'}.
 +
$$
 +
\textbf{Netvoří ale bázi Hilbertova prostoru} $L^2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),
 +
r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi).$ Důvod je v~tom, že hamiltonián pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
 +
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.
 +
 
 +
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec
 +
 
 +
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec
  
\special{src: 351 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii.
 +
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je
 +
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee
  
Na závěr této kapitoly je třeba ještě učinit důležitou poznámku: Existence nenulového spinu není univerzální vlastnost všech kvantových \cc. V uvedených jevech, které nás přiměly zavést spin, mají rozhodující vliv valenční elektrony atomů. Znamená to tedy, že elektronům je třeba přiřadit spin (velikosti 1/2). Na druhé straně existují částice, které spin nemají. Jsou to například mesony $\pi$ důležité pro popis jaderných sil. Ty pak interagují s magnetickým polem pouze prostřednictvím svého orbitálního momentu hybnosti.
+
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už
 +
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum
 +
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip
 +
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee
 +
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů
 +
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme
 +
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee
 +
kde $Q=e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě
 +
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy
 +
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:57

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}
\ll{ssec:csympot}
 
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
 
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \lapl + \hat V(r), \ll{sspot} \ee
kde
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee
 
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
 
\bc
  Spočítejte komutátory
  \be [\hat L_j,\hat Q_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\ \ll{loper1} \ee
  kde
  \be \hat L_j = \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee
\ec
 
\bc
  Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $\hat L_3\equiv \hat L_z$ a
  \be \hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee
\ec
 
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
 
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\pd}{\pd\varphi} \ll{lzsfer} \ee
\be
  \hat L^2
    = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right) \right]
  \ll{lkvadsfer}
\ee
\be
  \hat H
    = - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
      + \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right)\right)\right]
      + \hat V(r)
  \ll{hsfer}
\ee
 
\bc
  S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.
\ec
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec
 
 
\section{Moment hybnosti, kulové funkce}
\ll{ssmomhyb}
 
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\varphi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici
\be
  \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2\Psi}{\pd\varphi^2}
    + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd }{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd\Psi}{\pd\theta}\right)
    +  \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi
  = 0.
  \ll{pdrl2}
\ee
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru
\be \Psi(r,\theta,\varphi) = \chi(r,\theta)e^{  i m\varphi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.
 
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici
\be \frac{\d}{\dt}\left[ (1-t^2)\frac{\d F}{\dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma}  pro $F$
v~tomto případě zní
\[
  \int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2\dx\dy\dz
    = \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle}\abs{\Psi(r,\theta,\varphi)}^2\dvol=
\]
\be
  = 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 \sin \theta \dr\d \theta
  = 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2\dr\dt < \infty.
  \ll{kvadintss}
\ee
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná
na $\langle -1,1 \rangle$.
 
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
\be x(x-1)\frac{\d^2U}{\dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{\d U}{\dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee
kde
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{\d^{l+m}}{\dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee
 
\bc
  Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.
\ec
 
Funkce
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\varphi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\varphi} $}\ , \ll{ylm} \ee
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina  všech kulových funkcí
\[ \{ Y_{lm}: l\in\Z_+, \ m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]
kde
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
tvoří ortonormální bázi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\varphi)$. Odtud plyne, že \emph{spektrum operátoru $\hat L^2$ je čistě bodové a je tvořeno množinou}
\be 
\ll{spektrl2}
\sigma(\hat L^2) = \sigma_p(\hat L^2) = \{l(l+1)\hbar^2: l\in\Z_+\} . 
\ee
 
 
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro
$l=0,1,2,\ldots$
 
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným kvantovými čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$
\be \d w = w(\theta,\varphi) \d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\varphi)|^2 \d\Omega. \ee
 
\bc
  Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.
\ec
 
 
 
 
\section{Radiální část vlnové funkce}
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
\be \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ll{fakpsi} \ee
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem
\be
  \hat H
    = -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2}
      + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
      - \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right]
      + \hat V(r).
  \ll{hsfer2}
\ee
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{\rm{ef}}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee
kde
\be V_{\rm{ef}}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{\rm{ef}}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{\rm{ef}}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$
přejde na podmínku
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 \dr < \infty. \ee
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
 
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný.
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.
 
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
 
 
 
\section{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}
 
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.
 
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly
zapsat jako řadu
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.
 
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je
\be y(x) = C_1 F\left( \frac{c}{a},b,-ax\right) + C_2 x^{1-b} F\left( \frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax\right) . \ll{obres1} \ee
 
Vzhledem k~tomu, že $\frac{a_n}{a_{n-1}}\to \frac 1 n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\to \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz
\cite{baterd})
\be
  \ll{rtoplusinf}
  F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
Pro $z\to -\infty\ $
\be
  \ll{rtominusinf}
  F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) =  \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
 
 
 
 
\section{Isotropní harmonický oscilátor}
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních
stavů  energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného
směru (směr osy $z$ není ničím určen).
 
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=\frac r a$, kde
$a=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega}}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2}
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$.  Zvolíme
ansatz
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné
Laguerrovy polynomy}
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee
definované též způsobem
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{\d^n}{\dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee
 
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $\left(2n+l+\frac 3 2\right)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}
\be
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\varphi},
  \ll{resiho}
\ee
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako
\be
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\varphi),
  \ll{resiho2}
\ee
a zvolíme-li
\be
  |K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}
\ee
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.
 
\bc
  Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$ a $\frac{7}{2}\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními
  \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
\ec
 
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.
 
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie}
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
 
 
 
 
\section{Coulombův potenciál}
\ll{podkap:coulomb}
 
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron,
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=e^2/(4\pi\epsilon_0)$, kde $e$ je elementární náboj a $\epsilon_0$ je permitivita vakua.
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar
\be
  -\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).
  \ll{rcekhicp}
\ee
Substitucí
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee
kde
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee
převedeme tuto rovnici na tvar
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}
\be w(r)=C_1\,F\left(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r\right). \ll{dghgcoul} \ee
Podmínka kvadratické integrability pak zní
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}
\be
  \fbox{$E_N = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ n,l \in \Z_+,\ N\in \N$}\ .
  \ll{ecoul}
\ee
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$.
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
 má tvar}
\be
  \Psi_{N,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-\frac{r}{Na}} L_{N-l-1}^{2l+1}\left( \frac{2r}{Na}\right)  Y_{lm}(\theta,\varphi),
  \ll{nlmcoul}
\ee
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $K_{Nl}$ je normalizační konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $Y_{lm}$ jsou
kulové \fc e. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm. Zvolíme-li normovací konstantu jako
\[ 
|K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2}, 
\]
je množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} ortonormální, tj. platí
$$
(\Psi_{Nlm},\Psi_{N'l'm'}) = \delta_{N,N'}\delta_{l,l'}\delta_{m,m'}.
$$
\textbf{Netvoří ale bázi Hilbertova prostoru} $L^2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),
r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi).$ Důvod je v~tom, že hamiltonián pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.
 
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec
 
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec
 
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii.
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee
 
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee
kde $Q=e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.