02KVAN:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02KVAN} | %\wikiskriptum{02KVAN} | ||
− | \section{Částice v elektromagnetickém poli. Spin} | + | \section{Částice v~elektromagnetickém poli. Spin} |
− | Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v poli | + | Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v~poli konzervativních sil. Jinými slovy předpokládali jsme, že |
− | konzervativních sil | + | |
hamiltonián je tvaru | hamiltonián je tvaru | ||
− | \[ \hat H=-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta+\hat V(\vex). \] | + | \[ \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta+\hat V(\vex). \] |
− | Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je | + | Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je Lorentzova síla |
− | + | \begin{equation} | |
− | \ | + | \vec{F} = \vec{F}(\vex,\vec v,t)=e[\vec E(\vex,t)+\vec v \times \vec{B}(\vex,t)], |
− | B(\vex,t)] , \ | + | \end{equation} |
− | která působí na nabitou částici v \emk ém poli | + | která působí na nabitou částici v~\emk ém poli $\{\vec{E}(\vex,t),\vec{B}(\vex,t)\}$. Tato síla není konzervativní. Na druhé |
− | $\{\vec E(\vex,t),\vec B(\vex,t)\}$. Tato síla | + | straně, z~kursu teoretické fyziky (viz např.~\cite[U2.1]{sto:tf}), víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného potenciálu |
− | není konzervativní | + | \[ U(\vex,\vec{v},t)=e[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \] |
− | + | ||
− | víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného | + | |
− | potenciálu | + | |
− | \[ U(\vex,\vec v,t)=e[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \] | + | |
kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn. | kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn. | ||
− | \ | + | \begin{equation} |
− | \vec B= | + | \vec{E} = -\grad\phi - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}, \qquad \vec{B} = \rot\vec{A}. |
− | Pohyb klasické \cc e v \emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc | + | \end{equation} |
− | emi v Hamiltonově formulaci s Hamiltonovou \fc í | + | Pohyb klasické \cc e v~\emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc emi v~Hamiltonově formulaci s~Hamiltonovou \fc í |
− | \ | + | \begin{equation} |
− | e\phi(\vex,t). | + | H(\vex, \vec{p},t) = \frac{1}{2M}[\vec{p} - e \vec{A}(\vex,t)]^2 + e\phi(\vex,t). |
− | {\ | + | \end{equation} |
− | \emk ém poli} je pak možno odvodit z principu korespondence | + | \emph{Hamiltonián \qv ě \mi cké \cc e v~\emk ém poli} je pak možno odvodit z~principu korespondence |
− | \ | + | \begin{equation} |
− | [-i\hbar\vec\nabla - e\hat{\vec A(\vex,t) | + | \hat{H} = \frac{1}{2M}[-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] \cdot [-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] + e\hat{\phi}(\vex,t) |
− | e\hat\phi(\vex,t) \ll{hem}\ | + | \ll{hem} |
− | a snadnými úpravami je možno | + | \end{equation} |
− | jej přepsat na tvar | + | a snadnými úpravami je možno jej přepsat na tvar |
− | \ | + | \begin{equation} |
− | A(\vex,t) | + | \hat{H} |
− | A(\vex,t) | + | = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta +\frac{i\hbar e}{M}\hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \vec{\nabla} |
− | +e\hat\phi(\vex,t). \ll{hem2}\ | + | + \frac{i\hbar e}{2M}\div\hat{\vec{A}}(\vex,t) |
+ | + \frac{e^2}{2M} \hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \hat{\vec{A}}(\vex,t) | ||
+ | + e\hat{\phi}(\vex,t). | ||
+ | \ll{hem2} | ||
+ | \end{equation} | ||
− | \ | + | Poznamenejme zde, že v~tomto případě princip korespondence neurčuje hamiltonián jednoznačně, neboť operátory $\hat{P}_j$ a $\hat{A}_j$ |
+ | vyskytující se v~prvním členu pravé strany \rf{hem} nekomutují. Znamená to, že hamiltonián \rf{hem} odpovídá jistému výběru uspořádání | ||
+ | těchto nekomutujících oprátorů plynoucímu v~tomto případě z~požadavku samosdruženosti. Jiné výběry uspořádání by se lišily faktorem | ||
+ | stojícím před členem $\div\hat{\vec{A}}(\vex,t)$. Pro případ homogenních polí, který budeme v~dalším uvažovat tento člen vymizí. | ||
− | + | \bc | |
− | + | Ukažte, že požadavek samosdruženosti neurčuje uspořádání operátoru odpovídajímu klasické pozorovatelné $p x^2$, kde $p$ a $x$ | |
− | + | jsou hybnost a souřadnice jednorozměrného systému. | |
− | + | \ec | |
− | + | ||
− | uspořádání | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | \subsection{Částice v~homogenním magnetickém poli} |
+ | Budeme se zabývat případem \qv é \cc e v~homogenním časově nezávislém magnetickém poli $\vec{B}(\vex,t) = \vec{B}$. | ||
− | + | Vektorový potenciál lze v~tomto případě zvolit $\vec{A}(\vex)=\half \vec{B} \times \vex$ a odpovídající hamiltonián lze zapsat | |
− | + | způsobem | |
− | + | \begin{equation} | |
− | hamiltonián lze | + | \hat{H} |
− | \ | + | = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta - \frac{e}{2M} \vec{B} \cdot \hat{\vec{L}} |
− | + | + \frac{e^2}{8M} (\vec{B} \times \hat{\vex})^2 + e\hat{\phi}(\vex), | |
− | + | \ll{hhommag} | |
− | + | \end{equation} | |
− | + | kde $\hat{\vec{L}}$ je operátor momentu hybnosti. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | Pro střední hodnoty souřadnice a momentu hybnosti charakteristické pro atomy a nikoliv extrémně silná magnetická pole je příspěvek |
+ | od třetího členu zanedbatelný, takže hamiltonián lze psát způsobem | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \hat{H} = \hat{H}_0 - \hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} \cdot \vec{B}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | kde $\hat{H}_0$ je hamiltonián \cc e bez vlivu magnetického pole (pouze v~poli konzervativních sil, což je problém který jsme studovali | ||
+ | doposud) a | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} = \frac{e}{2M}\hat{\vec{L}} | ||
+ | \ll{orbmgm} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | je \emph{operátor magnetického momentu \cc e} související s~jejím orbitálním pohybem. | ||
+ | Je-li potenciál $V(\vex)=e\phi(\vex)$ v~$\hat{H}_0$ sféricky symetrický, což je například potenciál coulombického pole jádra atomu, pak | ||
+ | lze nalézt vlastní funkce $\psi_{E,l,m}$ hamiltoniánu $\hat{H}_0$, které jsou současně vlastními \fc emi momentu hybnosti (viz | ||
+ | \ref{ssec:csympot}) | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \hat{H}_0 \psi_{E,l,m} &= E\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm1} \\ | ||
+ | \hat{L}^2 \psi_{E,l,m} &= l(l+1)\hbar^2\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm2} \\ | ||
+ | \hat{L}_z \psi_{E,l,m} &= m\hbar\psi_{E,l,m}. \ll{vlfceelm3} | ||
+ | \end{align} | ||
− | + | Odtud plyne, že v~tomto případě lze okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v~magnetickém poli. Sférická symetrie systému | |
− | + | bez magnetického pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a pokud platí \rf{vlfceelm1}, \rf{vlfceelm3}, pak rovněž | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | Odtud plyne, že v tomto případě lze | + | |
− | okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v | + | |
− | magnetickém poli. Sférická symetrie systému bez magnetického | + | |
− | pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a | + | |
− | pokud platí \rf{vlfceelm1}, \ | + | |
platí | platí | ||
− | \ | + | \begin{equation} |
− | kde $\mu_0=\frac{e\hbar}{2M}$ je tzv. | + | \hat{H} \psi_{E,l,m} = (E - \mu_0 m |\vec{B}|) \psi_{E,l,m}, |
+ | \ll{vlfcemagp} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | kde $\mu_0=\frac{e\hbar}{2M}$ je tzv.~\emph{Bohrův magneton}. Jeho hodnota pro elektron je $0.9274 \times 10^{-23} \mathrm{JT}^{-1}$. | ||
\special{src: 107 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 107 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Znamená to, že { | + | Znamená to, že \textbf{hladiny energie částice}, které díky sférické symetrii původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo degenerované, |
− | původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo | + | \textbf{se podle takto navržené teorie vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých hladin vzdálených o~$\mu_0|\vec B|$.} |
− | degenerované, | + | Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin jsou úměrné |
− | vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých | + | intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty). |
− | hladin vzdálených o $\mu_0|\vec B|$.} | + | |
− | Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed | + | |
− | vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin | + | |
− | jsou úměrné intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích | + | |
− | hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty). | + | |
− | \ | + | Efekt rozštěpení hladin magnetickým polem byl experimentálně pozorován, jedná se o~tzv.~\emph{Zeemanův jev}, avšak \textbf{počet hladin |
+ | v~multipletu neodpovídá předpovězenému číslu $2l+1$}. Překvapivé je, že například dochází k~rozštěpení hladiny energie základního stavu atomů, | ||
+ | který by podle dosavadní teorie měl být nedegenerovaný, neboť v~tomto stavu $l=0$. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | Tato hypotéza se opírá i o výsledky | + | |
− | pokusu}, při kterém prochází svazek atomů v základním stavu | + | \subsection{Vlastní magnetický moment a spin částice} |
− | nehomogenním magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity. | + | \label{vmmsc} |
+ | Uvedený rozpor teorie a experimentu řeší hypotéza (Landé, Stoner, Pauli 1923--25), podle které \textbf{elektron má} vedle magnetického | ||
+ | momentu \rf{orbmgm} souvisejícího s~orbitálním pohybem ještě \textbf{vlastní magnetický moment $\vec{\mu}$, jehož projekce nabývají právě | ||
+ | dvou hodnot} $\pm|\mu|$. | ||
+ | |||
+ | Tato hypotéza se opírá i o~výsledky \emph{Sternova-Gerlachova pokusu}, při kterém prochází svazek atomů v~základním stavu nehomogenním | ||
+ | magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity. | ||
\begin {figure}[hbtp] | \begin {figure}[hbtp] | ||
\hskip 1cm | \hskip 1cm | ||
Řádka 245: | Řádka 216: | ||
\put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4 Stínítko}} | \put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4 Stínítko}} | ||
\end{picture} | \end{picture} | ||
− | \caption{ | + | \caption{Sternův-Gerlachův pokus} |
\end{figure} | \end{figure} | ||
− | Síla, která na atomy v tomto poli působí (viz např. \cite | + | Síla, která na atomy v~tomto poli působí (viz např.~\cite[kap.~4.3]{sto:em}) je |
− | kap. 4.3 | + | \[ \vec{F}(\vex) = \grad (\vec{\mu} \cdot \vec{B}(\vex)), \] |
− | + | takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického momentu \cc e na směr magnetického pole. Svazek atomů | |
− | \[ \vec F(\vex)=grad (\vec\mu\cdot\vec B(\vex)), \] | + | v~základním stavu se průchodem nehomogenním magnetickým polem rozdělí na dva, což je plně v~souhlasu s~představou vlastního magnetického |
− | takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického | + | momentu elektronu. Z~úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené svazky vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického momentu. |
− | momentu \cc e na směr magnetického pole. | + | Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s~velikostí Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$. |
− | Svazek atomů v základním stavu se průchodem nehomogenním | + | |
− | magnetickým polem rozdělí na dva, což je plně v souhlasu s představou vlastního magnetického momentu elektronu. Z úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené | + | |
− | svazky vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického | + | |
− | momentu. Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s velikostí | + | |
− | Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$. | + | |
− | \ | + | Možnost rozštěpení hladiny energie základního stavu atomu vodíku na dvě svědčí o~tom, že \textbf{základní stav je degenerovaný a jeho |
+ | popis vlnovou funkcí $\psi_{E,0,0}$ není úplný} a je mu nutno přiřadit lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých funkcí, jež jsou | ||
+ | vlastními \fc emi energie s~nejnižší vlastní hodnotou. Z~předchozího však víme, že taková funkce je až na multiplikativní konstantu jen | ||
+ | jedna. Východiskem z~této situace je použití vlnových \fc í které mají dvě složky. | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \psi(\vex) = \left( \ba {c} \psi_1(\vex) \\ \psi_2(\vex) \ea \right). | ||
+ | \ll{vekvlnfce} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Alternativní, avšak ekvivalentní přístup je použití vlnových funkcí, které vedle $\vex$ závisí ještě na další proměnné $\xi$, která nabývá | ||
+ | pouze dvou hodnot $\pm$, tj. | ||
+ | \[ | ||
+ | \psi=\psi(\vex,\xi), \quad \psi(\vex,+)\equiv\psi_1(\vex), \quad \psi(\vex,-)\equiv\psi_2(\vex). | ||
+ | \] | ||
− | + | Přechod k~vlnovým \fc ím \rf{vekvlnfce} znamená přechod od Hilbertova prostoru \qintspace{} k~prostoru \qintspace$\otimes\C^2$. Skalární | |
− | + | součin v~tomto prostoru je definován vztahem | |
− | + | \begin{equation} | |
− | + | (\psi,\phi) := \sum_{k=1}^2\int_{\R^3}\psi^*_k(\vex)\phi_k(\vex)d^3x =\sum_{\xi=\pm}\int_{\R^3}\psi^*(\vex,\xi)\phi(\vex,\xi)d^3x | |
− | + | \end{equation} | |
− | + | a operátory jsou obecně zadány maticí operátorů $\hat{A}=\{ \hat{A}_{ij}\}_{i,j=1}^2$. Neboť jsme se doposud zabývali jevy, ve kterých | |
− | + | magnetický moment nehrál roli, mohli jsme používat operátory, které jsou násobkem jednotkové matice, např.~hamiltonián je dán maticí | |
− | + | $\hat{H}_{ij} = \hat{H} \delta_{ij}$, jinak vyjádřeno $\hat{H} = \hat{H} \otimes \unit_{\C^2}.$ | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | |
− | \ | + | Projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$ (směru magnetického pole) naopak přiřadíme operátor $\hat{ \mu}_{z}$, který působí |
+ | netriviálně pouze v~prostoru $\C^2$, zatímco v~prostoru \qintspace{} působí pouze jako násobení konstantou. | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \hat{\mu}_{z} := \left( \ba {cc} \mu_0&0\\ 0&-\mu_0 \ea \right) | ||
+ | \ll{muz} | ||
+ | \end{equation} | ||
− | + | Souvislost orbitálního magnetického momentu s~momentem hybnosti \rf{orbmgm} přivedla G.~E.~Uhlenbecka a S.~Goudsmita k~hypotéze (1925), | |
− | + | že podobně jako orbitální, i \textbf{vlastní magnetický moment \cc e je důsledkem nenulového vlastního momentu hybnosti --- spinu}. Tato | |
− | \ | + | veličina \emph{nemá analogii} v~žádném druhu pohybu klasických hmotných těles. \textbf{Operátor spinu má stejně jako orbitální magnetický |
− | + | moment tři složky $\hat{S}_j$, které netriviálně působí pouze v~$\C^2$ a vzájemně komutují stejným způsobem jako složky momentu hybnosti} | |
− | \ | + | \begin{equation} |
− | + | {\Large\mbox{ $ [\hat{S}_j,\hat{S}_k] = i\hbar \epsilon_{jkl}\hat{S}_l. $}} | |
− | + | \ll{relspin} | |
− | + | \end{equation} | |
− | + | Snadno lze ukázat, že trojice matic $\hat{S}_j=\frac{\hbar}{2}\sigma_j$, kde $\sigma_j,\ j=1,2,3$ jsou tzv.~\emph{Pauliho matice} | |
− | + | \begin{equation} | |
− | $\hat | + | \sigma_1 = \left(\ba{cc}0&1\\1&0\ea\right),\ |
− | + | \sigma_2 = \left(\ba{cc}0&-i\\i&0\ea\right),\ | |
− | + | \sigma_3 = \left(\ba{cc}1&0\\0&-1\ea\right), | |
− | + | \ll{paulimat} | |
+ | \end{equation} | ||
+ | splňuje relace \rf{relspin}. | ||
− | \ | + | Vztah mezi spinem a vlastním magnetickým momentem elektronu je |
− | + | \be | |
− | + | {\large\fbox{$\hat{\vec{\mu}} = \frac{2\mu_0}{\hbar}\hat{\vec{S}}$}}\ , | |
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | |
− | + | ||
\ee | \ee | ||
+ | což je v~souhlasu s~\rf{muz}. Faktor 2 je v~rámci této teorie nutné brát jako fenomenologickou konstantu. Její vysvětlení je možno podat | ||
+ | až v~rámci relativistické kvantové mechaniky. | ||
− | \ | + | \bc |
− | + | Ukažte, že vlastní čísla operátoru $\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B}$ jsou $\pm \mu_0 |\vec{B}|$. Najděte vlastní \fc e. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | $\pm \mu_0|\vec B|$. Najděte vlastní \fc e. | + | |
\ec | \ec | ||
− | \bc Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v poli Coulombova potenciálu s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$. | + | \bc |
+ | Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v~poli Coulombova potenciálu s~hodnotou $z$--ové, resp. $x$--ové, | ||
+ | resp.~$y$--ové složky spinu rovné $\hbar/2$. | ||
\ec | \ec | ||
− | \bc Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota z--ové složky spinu | + | \bc |
− | $s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve směru, který se z--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností? | + | Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota $z$--ové složky spinu $s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve |
+ | směru, který se $z$--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s~jakou pravděpodobností? | ||
\ec | \ec | ||
+ | |||
+ | |||
Vedle relace | Vedle relace | ||
− | \ | + | \begin{equation} |
− | \ll{sigmarel}\ | + | [\sigma _j,\sigma _k] = 2i\epsilon_{jkl}\sigma _l, |
− | ze které plyne \rf{relspin} | + | \ll{sigmarel} |
− | vlastnosti užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z nich | + | \end{equation} |
− | \ | + | ze které plyne \rf{relspin}, mají Pauliho matice ještě další vlastnosti užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z~nich |
− | \ | + | \begin{align} |
− | Mimo to spolu s jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j | + | \sigma _j &= \sigma _j^\dagger, \\ |
− | (hermitovskou) bazi v prostoru komplexních matic $2\times 2$. | + | \Tr \sigma _j &= 0, \\ |
+ | \{\sigma _j,\sigma _k\} &= 2\delta_{jk}\unit. \ll{anticomsig} | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Mimo to spolu s~jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j \ | \ j=1,2,3\}$ (hermitovskou) bazi v~prostoru komplexních matic $2\times 2$. | ||
Násobení Pauliho matic | Násobení Pauliho matic | ||
− | \ | + | \begin{equation} |
− | \ll{nassig}\ | + | \sigma _j\sigma _k=\delta_{jk}\unit+i\epsilon_{jkl}\sigma _l |
− | plyne okamžitě z \rf{sigmarel}, \ | + | \ll{nassig} |
− | \bc Ukažte, že $\hat{\vec S}^2=\frac{3}{4}\hbar^2\unit$. | + | \end{equation} |
− | Porovnejte tento výsledek s \rf{vlfceelm2} | + | plyne okamžitě z~\rf{sigmarel}, \rf{anticomsig}. |
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | Ukažte, že $\hat{\vec{S}}^2 = \frac{3}{4}\hbar^2\unit$. Porovnejte tento výsledek s~\rf{vlfceelm2}. | ||
\ec | \ec | ||
− | \bc Uvažujte systém (tzv. supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2( | + | \bc |
− | + | Uvažujte systém (tzv.~supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2(\R,dx) \otimes \C^2$ hamiltoniánem | |
− | Dále je dán operátor | + | \[ |
− | + | \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes \unit + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes \unit + \frac{\hbar \omega}{2} \unit \otimes \sigma_{3}. | |
− | Nalezněte $\hat{Q}^{\dagger}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké omezení lze vyvodit z těchto relací na spektrum hamiltoniánu ( | + | \] |
+ | Dále je dán operátor | ||
+ | \[ | ||
+ | \hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}). | ||
+ | \] | ||
+ | Nalezněte $\hat{Q}^{\dagger}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké | ||
+ | omezení lze vyvodit z~těchto relací na spektrum hamiltoniánu (tj.~zda je shora či zdola omezené a čím)? (Postačí uvažovat bodovou | ||
+ | část spektra.) | ||
\ec | \ec | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec | + | |
− | B(\vex,t)=\vec B$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení | + | \subsection{Pauliho \rc e. Normální Zeemanův jev} |
− | \sv y \rc e, neboť přímým výpočtem lze ukázat, že pokud | + | Z~výsledku Sternova-Gerlachova pokusu a rozštěpení energetických hladin atomů v~magnetickém poli jsme došli k~hypotéze, že stavy \cc{} |
− | $\phi_j,\ j=1,2$ jsou | + | v~atomu jsou charakterizovány též hodnotou čistě kvantové veličiny nazývané spin. Síly, které působí na atomové \cc e v~magnetickém |
− | \rc e | + | poli jsou na spinu závislé a musí být proto zahrnuty do hamiltoniánu. W.~Pauli navrhl rozšíření hamiltoniánu pro \cc i v~\emk ém poli |
− | \[ i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t}=\hat H_1\phi, \] | + | na tvar |
− | kde $\hat | + | \be |
− | \ | + | {\Large \fbox{$\hat{H} = \dfrac{1}{2M}[\hat{\vec{P}} - e\hat{\vec{A}}]^2 + e\hat{\phi} - \mu_0 \hat{\vec{B}} \cdot \hat{\vec{\sigma}}$}} \ . |
− | \psi_2(\vex,t)\ea\right)=\exp | + | \ll{pauham} |
− | t | + | \ee |
+ | Rovnice | ||
+ | \[ | ||
+ | i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi, | ||
+ | \] | ||
+ | kde $\hat{H}$ je tvaru \rf{pauham} a $\psi$ je dvoukomponentová \fc e se nazývá \emph{Pauliho \rc e}. Odpovídající \rc e $\hat{H}\psi=E\psi$ | ||
+ | se pak nazývá bezčasová Pauliho \rc e. | ||
+ | |||
+ | Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec{B}(\vex,t)=\vec{B}$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení \sv y \rc e, neboť | ||
+ | přímým výpočtem lze ukázat, že pokud $\phi_j,\ j=1,2$ jsou řešení \sv y \rc e | ||
+ | \[ | ||
+ | i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t}=\hat H_1\phi, | ||
+ | \] | ||
+ | kde $\hat{H}_1$ je spinově nezávislá část \rf{pauham}, pak řešení Pauliho \rc e lze zapsat způsobem | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \left( \ba {c} \psi_1(\vex,t) \\ \psi_2(\vex,t) \ea \right) | ||
+ | = \exp \left\{ \frac{i}{\hbar}\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B} t \right\} \left( \ba {c} \phi_1(\vex,t) \\ \phi_2(\vex,t) \ea \right), | ||
+ | \ll{respauli} | ||
+ | \end{equation} | ||
kde | kde | ||
− | \be \exp | + | \be |
− | {\mu_0}{\hbar}|\vec B|t)+i\frac{\vec B\cdot\vec \sigma}{|\vec B|}\sin(\frac | + | \exp \left\{ \frac{i}{h}\hat{\vec\mu}\cdot\vec{B}t \right\} |
− | {\mu_0}{\hbar}|\vec B|t). \ll{expmb}\ee | + | = \cos \left( \frac{\mu_0}{\hbar}|\vec{B}|t \right) |
− | \bc Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli směřujícímím ve směru osy $x$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota její z-ové složky spinu $+\hbar/2$. S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její y-ové složky spinu $+\hbar/2$? | + | + i\frac{\vec{B} \cdot \vec{\sigma}}{|\vec{B}|} \sin \left( \frac{\mu_0}{\hbar}|\vec{B}|t \right). |
+ | \ll{expmb} | ||
+ | \ee | ||
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v~konstantním magnetickém poli směřujícímím ve směru osy $x$. V~čase $t=0$ byla naměřena hodnota její | ||
+ | $z$-ové složky spinu $+\hbar/2$. S~jakou \pst í nalezneme v~libovolném dalším čase hodnotu její $y$-ové složky spinu $+\hbar/2$? | ||
\ec | \ec | ||
− | \bc Ukažte, že pokud výraz $\exp | + | \bc |
− | definujeme pomocí řady | + | Ukažte, že pokud výraz $\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \}$ definujeme pomocí řady |
− | \be \exp | + | \be |
− | a\cdot\vec\sigma)^n}{n!}, \ll{defexp}\ee | + | \exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} := \sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec{a}\cdot\vec{\sigma})^n}{n!}, |
− | pak platí | + | \ll{defexp} |
− | \be | + | \ee |
− | a\cdot\vec\sigma}{|\vec a|}\sin(|\vec a|). \ee | + | pak platí |
+ | \be | ||
+ | \exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} = \cos(|\vec{a}|) + i\frac{\vec{a}\cdot\vec{\sigma}}{|\vec{a}|} \sin(|\vec{a}|). | ||
+ | \ee | ||
\ec | \ec | ||
− | \ | + | Rozštěpení energetických hladin v~důsledku existence vlastního magnetického momentu je pak možno popsat Pauliho hamiltoniánem |
+ | \be | ||
+ | \hat{H}_P = \hat{H}_0 -\frac{\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{L}}-\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{S}}, | ||
+ | \ee | ||
+ | kde $\hat{H}_0$ (což je např.~hamiltonián \cc e v~coulombickém poli) popisuje \cc i bez magnetického pole. Řešením bezčasové Pauliho \rc e | ||
+ | $\hat{H}_P\psi=E\psi$ lze dostat \textbf{energetické spektrum, které odpovídá rozštěpení hladin magnetickým polem pozorované v~normálním | ||
+ | Zeemanově jevu.} Toto řešení lze obdržet ze znalosti řešení bezčasové \sv y \rc e. | ||
− | + | Pro sféricky symetrický hamiltonián $\hat{H}_0$, lze bez újmy na obecnosti zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole. Je snadné se | |
− | magnetického | + | přesvědčit, že pokud \cc e má v~nepřítomnosti magnetického pole energii $E_0=E_{nl}$ (tzn.~$E_{nl}$ je vlastní hodnotou hamiltoniánu |
− | \ | + | $\hat{H}_0$) a funkce $\psi_{n,l,m}$ jsou vlastní funkce $\hat{H}_0$, $\hat{L}^2$, $\hat{L}_z$, pak \fc e |
− | + | \be | |
− | + | \psi_{n,l,m,+}(\vex) = \left(\ba{c} \psi_{n,l,m}(\vex) \\ 0 \ea\right), \quad | |
− | + | \psi_{n,l,m,-}(\vex) = \left(\ba{c} 0 \\ \psi_{n,l,m}(\vex) \ea\right) | |
− | + | \ee | |
− | \ | + | jsou vlastními \fc emi Pauliho hamiltoniánu odpovídajícími vlastním hodnotám $E_{n,l,m,\pm}=E_{nl}-\mu_0 B_z(m\pm 1)$. Počet hladin multipletu |
− | + | je $2l+3$ pro $l=1,2,\ldots$ Pro $l=0$ dostáváme dvě hladiny energie, což je ve shodě i se | |
− | + | Sternovým-Gerlachovým pokusem. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | |
− | \ | + | Poznamenejme ještě, že vedle normálního Zeemanova jevu existuje ještě tzv.~anomální Zeemanův jev. Jeho popis a vysvětlení dané |
+ | tzv.~spin-orbitální vazbou zde provádět nebudeme (viz např.~\cite[kap.~7.5]{for:ukt}). | ||
− | + | Na závěr této kapitoly je třeba ještě učinit důležitou poznámku: Existence nenulového spinu není univerzální vlastnost všech kvantových \cc. | |
− | + | V~uvedených jevech, které nás přiměly zavést spin, mají rozhodující vliv valenční elektrony atomů. Znamená to tedy, že elektronům je třeba | |
− | + | přiřadit spin (velikosti 1/2). Na druhé straně existují částice, které spin nemají. Jsou to například mesony $\pi$ důležité pro popis jaderných | |
− | + | sil. Ty pak interagují s~magnetickým polem pouze prostřednictvím svého orbitálního momentu hybnosti. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \subsection{Algebraická teorie momentu hybnosti}\ll{atmh} | + | \subsection{Algebraická teorie momentu hybnosti} |
− | + | \ll{atmh} | |
− | Jak už jsme poznamenali v podkapitole \ref{vmmsc}, vlastní i orbitální moment hybnosti mají stejné komutační | + | Jak už jsme poznamenali v~podkapitole \ref{vmmsc}, vlastní i orbitální moment hybnosti mají stejné komutační relace |
− | relace | + | \begin{equation} |
− | \begin{equation} | + | [\hat{J}_k,\hat{J}_m] = i\hbar\,\varepsilon_{kmn}\hat{J}_n. |
+ | \label{imcr} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Tyto relace lze zároveň považovat za definici násobení prvků baze v Lieovské algebře $su(2)$, | + | Tyto relace lze zároveň považovat za definici násobení prvků baze v~Lieovské algebře $\mathfrak{su}(2)$, která úzce souvisí s~grupou |
− | která úzce souvisí s grupou otočení $ | + | otočení $SO(3)$. V~dalším odvodíme vlastnosti společných vlastních funkcí operátorů $\hat{J}_3$ a |
− | V dalším odvodíme vlastnosti společných vlastních funkcí operátorů $\hat | + | $\hat{J}^2:={\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2+{\hat{J}_3}^2$ a jejich vlastních hodnot \textbf{bez znalosti jejich konkrétních tvarů}, pouze |
− | \textbf{bez znalosti jejich konkrétních tvarů}, pouze využitím algebraických relací | + | využitím algebraických relací \rf{imcr}. Jediné, co budeme navíc předpokládat, je samosdruženost. Z~hlediska zmíněné Lieovské algebry, |
− | Jediné co budeme navíc předpokládat je samosdruženost. | + | to znamená konstrukci jejích konečně rozměrných reprezentací. |
− | Z hlediska zmíněné Lieovské algebry, to znamená konstrukci jejích konečně rozměrných reprezentací. | + | |
− | Podstatným způsobem budeme při tom využívat tzv. posunovacích operátorů | + | Podstatným způsobem budeme při tom využívat tzv.~posunovacích operátorů |
\begin{equation}\label{jpm} | \begin{equation}\label{jpm} | ||
− | + | \hat{J}_\pm := \hat{J}_1\pm i\hat{J}_2, \quad [\hat{J}_3,\hat{J}_\pm] = \pm\hbar \hat{J}_\pm | |
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | s jejichž obdobou jsme se seznámili v podkapitole \ref{posunovacioperatory}. Snadno pro ně odvodíme, že | + | s~jejichž obdobou jsme se seznámili v~podkapitole \ref{posunovacioperatory}. Snadno pro ně odvodíme, že |
− | \begin{equation | + | \begin{equation} |
− | + | \hat{J}_-\hat{J}_+ = {\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2-\hbar \hat{J}_3 = {\hat{J}}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3. | |
+ | \label{jmjp} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Nechť $ | + | Nechť $\ket{\lambda,\mu}$ je společná vlastní funkce operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$ s~vlastními hodnotami $\lambda$, $\mu$ |
\begin{equation}\label{j2eigen} | \begin{equation}\label{j2eigen} | ||
− | \hat J^2 | + | \hat{J}^2\ket{\lambda,\mu}=\lambda\ket{\lambda,\mu}, \quad \hat{J}_3\ket{\lambda,\mu}=\mu\ket{\lambda,\mu}. |
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Ze samosdruženosti operátorů $\hat | + | Ze samosdruženosti operátorů $\hat{J}_1$ a $\hat{J}_2$ plyne, že pro libovolný prvek Hilbertova prostoru $\phi$ platí |
− | \[ (\phi,({\hat | + | \[ |
+ | (\phi,({\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2)\phi) = \|{\hat{J}_1}\phi\|^2 + \|{\hat{J}_2}\phi\|^2 \geq 0, | ||
\] | \] | ||
takže | takže | ||
− | + | \[ | |
− | + | \braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}_1^2+\hat{J}_2^2}{\lambda,\mu} | |
− | \] | + | = \braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}^2-\hat{J}_3^2}{\lambda,\mu} |
− | je rovněž nezáporné, z čehož plyne | + | = (\lambda-\mu^2)\, \|\ket{\lambda,\mu}\|^2 |
+ | \] | ||
+ | je rovněž nezáporné, z~čehož plyne | ||
\begin{equation}\label{lamgeqmu} | \begin{equation}\label{lamgeqmu} | ||
\lambda\geq\mu^2. | \lambda\geq\mu^2. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Na druhé straně díky | + | Na druhé straně díky \rf{jpm} |
− | \[ \hat | + | \[ |
− | takže musí existovat maximální vlastní hodnota $\mu_{max}$ taková, že $\hat | + | \hat{J}_+\ket{\lambda,\mu}=\alpha^{(+)} \ket{\lambda,\mu+\hbar}, |
− | Aplikujeme-li operátor $\hat | + | \] |
− | \[ 0=\hat | + | takže musí existovat maximální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{max}}$ taková, že $\hat{J}_+ \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}=0$. |
− | ,\] odkud plyne | + | V~opačném případě by totiž byla porušena nerovnost \rf{lamgeqmu}. Aplikujeme-li operátor $\hat{J}_-\hat{J}_+$ na |
− | \begin{equation | + | $\ket{\lambda,\mu}$ a použijeme \rf{jmjp} a \rf{j2eigen}, dostaneme |
− | \lambda=\mu_{max}^2+\hbar\mu_{max}. | + | \[ |
+ | 0 = \hat{J}_-\hat{J}_+\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}} | ||
+ | = (\hat{J}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}} | ||
+ | = (\lambda-\mu_{\mathrm{max}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{max}}) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}, | ||
+ | \] | ||
+ | odkud plyne | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \lambda = \mu_{\mathrm{max}}^2+\hbar\mu_{\mathrm{max}}. | ||
+ | \label{lameq} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Stejnými úvahami, kde zaměníme $\hat | + | Stejnými úvahami, kde zaměníme $\hat{J}_+$ a $\hat{J}_-$, zjistíme, že musí existovat minimální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{min}}$, |
− | \begin{equation | + | pro kterou platí |
− | \lambda=\mu_{min}^2-\hbar\mu_{min}. | + | \begin{equation} |
+ | \lambda = \mu_{\mathrm{min}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{min}}. | ||
+ | \label{lameqi} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Porovnáním \rf{lameq} | + | Porovnáním \rf{lameq} a \rf{lameqi} dostaneme $\mu_{\mathrm{min}}=-\mu_{\mathrm{max}}$. Mimo to je zřejmé, že opakovaným působením |
− | Mimo to je zřejmé, že opakovaným působením operátoru $\hat | + | operátoru $\hat{J}_+$ na $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{min}}}$ dostaneme vektor úměrný $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}$. Tj.~existuje |
− | vektor úměrný $ | + | celé nezáporné $k$ tak, že |
− | \[\mu_{min}+k\hbar=\mu_{max}=-\mu_{min}. \] | + | \[ |
+ | \mu_{\mathrm{min}}+k\hbar = \mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}}. | ||
+ | \] | ||
Odtud | Odtud | ||
− | \[ \mu_{max}=-\mu_{min}=j\hbar,\ j\in\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\ldots\},\] | + | \[ |
− | \begin{equation | + | \mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}} = j\hbar, \quad j\in\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\ldots\}, |
− | \lambda=j(j+1)\hbar^2, \ \mu\in\{-j,-j+1,-j | + | \] |
− | + | \begin{equation} | |
+ | \lambda=j(j+1)\hbar^2, \quad \mu\in\{-j,-j+1,-j +2,\ldots\,j\} \cdot \hbar. | ||
+ | \label{lamu} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Je tedy vidět, že pokud jsme nepředpokládali operátory $\hat | + | Je tedy vidět, že pokud jsme nepředpokládali operátory $\hat{J}_k$ ve tvaru operátorů momentu hybnosti, nýbrž vzali v~úvahu pouze jejich |
− | nýbrž vzali v úvahu pouze jejich komutační relace, zjistili jsme, že spektrum vlastních hodnot operátorů $\hat J^2$ a $\hat | + | komutační relace, zjistili jsme, že spektrum vlastních hodnot operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$, může nabývat hodnot \rf{lamu} s~$j$ |
− | může nabývat hodnot \rf{lamu} | + | nejen celým jako v~případě momentu hybnosti, nýbrž i polocelým, což je případ spinu. Z~tohoto výsledku lze též usoudit, že mohou |
− | což je případ spinu. Z tohoto výsledku lze též usoudit, že mohou existovat částice nejen se spinem | + | existovat částice nejen se spinem $1/2$ jako např.~elektron, proton, neutron a další, ale také s~vyššími (polo)celými spiny, což bylo |
− | $ | + | experimentálně potvrzeno. |
− | což bylo experimentálně potvrzeno. | + | |
− | \bc S použitím výsledků cvičení \ref{alplm} najděte $(2j+1)\times(2j+1)$ matice $J_k$ splňující relace \rf{imcr} | + | \bc |
− | (tyto matice určují reprezentace algebry $su(2)$). | + | S~použitím výsledků cvičení \ref{alplm} najděte $(2j+1)\times(2j+1)$ matice $J_k$ splňující relace \rf{imcr} (tyto matice určují |
− | Ověřte, že pro $j=\frac{1}{2}$ jsou | + | reprezentace algebry $\mathfrak{su}(2)$). Ověřte, že pro $j=\frac{1}{2}$ jsou shodné se složkami spinu. |
− | shodné se složkami spinu. | + | |
\ec | \ec |
Verze z 31. 8. 2011, 08:34
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} \section{Částice v~elektromagnetickém poli. Spin} Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v~poli konzervativních sil. Jinými slovy předpokládali jsme, že hamiltonián je tvaru \[ \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta+\hat V(\vex). \] Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je Lorentzova síla \begin{equation} \vec{F} = \vec{F}(\vex,\vec v,t)=e[\vec E(\vex,t)+\vec v \times \vec{B}(\vex,t)], \end{equation} která působí na nabitou částici v~\emk ém poli $\{\vec{E}(\vex,t),\vec{B}(\vex,t)\}$. Tato síla není konzervativní. Na druhé straně, z~kursu teoretické fyziky (viz např.~\cite[U2.1]{sto:tf}), víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného potenciálu \[ U(\vex,\vec{v},t)=e[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \] kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn. \begin{equation} \vec{E} = -\grad\phi - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}, \qquad \vec{B} = \rot\vec{A}. \end{equation} Pohyb klasické \cc e v~\emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc emi v~Hamiltonově formulaci s~Hamiltonovou \fc í \begin{equation} H(\vex, \vec{p},t) = \frac{1}{2M}[\vec{p} - e \vec{A}(\vex,t)]^2 + e\phi(\vex,t). \end{equation} \emph{Hamiltonián \qv ě \mi cké \cc e v~\emk ém poli} je pak možno odvodit z~principu korespondence \begin{equation} \hat{H} = \frac{1}{2M}[-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] \cdot [-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] + e\hat{\phi}(\vex,t) \ll{hem} \end{equation} a snadnými úpravami je možno jej přepsat na tvar \begin{equation} \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta +\frac{i\hbar e}{M}\hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \vec{\nabla} + \frac{i\hbar e}{2M}\div\hat{\vec{A}}(\vex,t) + \frac{e^2}{2M} \hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \hat{\vec{A}}(\vex,t) + e\hat{\phi}(\vex,t). \ll{hem2} \end{equation} Poznamenejme zde, že v~tomto případě princip korespondence neurčuje hamiltonián jednoznačně, neboť operátory $\hat{P}_j$ a $\hat{A}_j$ vyskytující se v~prvním členu pravé strany \rf{hem} nekomutují. Znamená to, že hamiltonián \rf{hem} odpovídá jistému výběru uspořádání těchto nekomutujících oprátorů plynoucímu v~tomto případě z~požadavku samosdruženosti. Jiné výběry uspořádání by se lišily faktorem stojícím před členem $\div\hat{\vec{A}}(\vex,t)$. Pro případ homogenních polí, který budeme v~dalším uvažovat tento člen vymizí. \bc Ukažte, že požadavek samosdruženosti neurčuje uspořádání operátoru odpovídajímu klasické pozorovatelné $p x^2$, kde $p$ a $x$ jsou hybnost a souřadnice jednorozměrného systému. \ec \subsection{Částice v~homogenním magnetickém poli} Budeme se zabývat případem \qv é \cc e v~homogenním časově nezávislém magnetickém poli $\vec{B}(\vex,t) = \vec{B}$. Vektorový potenciál lze v~tomto případě zvolit $\vec{A}(\vex)=\half \vec{B} \times \vex$ a odpovídající hamiltonián lze zapsat způsobem \begin{equation} \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta - \frac{e}{2M} \vec{B} \cdot \hat{\vec{L}} + \frac{e^2}{8M} (\vec{B} \times \hat{\vex})^2 + e\hat{\phi}(\vex), \ll{hhommag} \end{equation} kde $\hat{\vec{L}}$ je operátor momentu hybnosti. Pro střední hodnoty souřadnice a momentu hybnosti charakteristické pro atomy a nikoliv extrémně silná magnetická pole je příspěvek od třetího členu zanedbatelný, takže hamiltonián lze psát způsobem \begin{equation} \hat{H} = \hat{H}_0 - \hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} \cdot \vec{B}, \end{equation} kde $\hat{H}_0$ je hamiltonián \cc e bez vlivu magnetického pole (pouze v~poli konzervativních sil, což je problém který jsme studovali doposud) a \begin{equation} \hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} = \frac{e}{2M}\hat{\vec{L}} \ll{orbmgm} \end{equation} je \emph{operátor magnetického momentu \cc e} související s~jejím orbitálním pohybem. Je-li potenciál $V(\vex)=e\phi(\vex)$ v~$\hat{H}_0$ sféricky symetrický, což je například potenciál coulombického pole jádra atomu, pak lze nalézt vlastní funkce $\psi_{E,l,m}$ hamiltoniánu $\hat{H}_0$, které jsou současně vlastními \fc emi momentu hybnosti (viz \ref{ssec:csympot}) \begin{align} \hat{H}_0 \psi_{E,l,m} &= E\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm1} \\ \hat{L}^2 \psi_{E,l,m} &= l(l+1)\hbar^2\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm2} \\ \hat{L}_z \psi_{E,l,m} &= m\hbar\psi_{E,l,m}. \ll{vlfceelm3} \end{align} Odtud plyne, že v~tomto případě lze okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v~magnetickém poli. Sférická symetrie systému bez magnetického pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a pokud platí \rf{vlfceelm1}, \rf{vlfceelm3}, pak rovněž platí \begin{equation} \hat{H} \psi_{E,l,m} = (E - \mu_0 m |\vec{B}|) \psi_{E,l,m}, \ll{vlfcemagp} \end{equation} kde $\mu_0=\frac{e\hbar}{2M}$ je tzv.~\emph{Bohrův magneton}. Jeho hodnota pro elektron je $0.9274 \times 10^{-23} \mathrm{JT}^{-1}$. \special{src: 107 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Znamená to, že \textbf{hladiny energie částice}, které díky sférické symetrii původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo degenerované, \textbf{se podle takto navržené teorie vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých hladin vzdálených o~$\mu_0|\vec B|$.} Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin jsou úměrné intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty). Efekt rozštěpení hladin magnetickým polem byl experimentálně pozorován, jedná se o~tzv.~\emph{Zeemanův jev}, avšak \textbf{počet hladin v~multipletu neodpovídá předpovězenému číslu $2l+1$}. Překvapivé je, že například dochází k~rozštěpení hladiny energie základního stavu atomů, který by podle dosavadní teorie měl být nedegenerovaný, neboť v~tomto stavu $l=0$. \subsection{Vlastní magnetický moment a spin částice} \label{vmmsc} Uvedený rozpor teorie a experimentu řeší hypotéza (Landé, Stoner, Pauli 1923--25), podle které \textbf{elektron má} vedle magnetického momentu \rf{orbmgm} souvisejícího s~orbitálním pohybem ještě \textbf{vlastní magnetický moment $\vec{\mu}$, jehož projekce nabývají právě dvou hodnot} $\pm|\mu|$. Tato hypotéza se opírá i o~výsledky \emph{Sternova-Gerlachova pokusu}, při kterém prochází svazek atomů v~základním stavu nehomogenním magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity. \begin {figure}[hbtp] \hskip 1cm \vskip 1cm %TexCad Options %\grade{\on} %\emlines{\off} %\beziermacro{\off} %\reduce{\on} %\snapping{\on} %\quality{2.00} %\graddiff{0.01} %\snapasp{1} %\zoom{1.00} \unitlength 1.00mm \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(127.00,150.00) %\emline(20.00,130.00)(60.00,130.00) \put(20.00,130.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(90.00,145.00)(90.00,115.00) \put(90.00,145.00){\line(0,-1){30.00}} %\end %\vector(60.00,130.00)(90.00,135.00) \put(90.00,135.00){\vector(4,1){0.2}} \multiput(60.00,130.00)(0.71,0.12){42}{\line(1,0){0.71}} %\end %\vector(60.00,130.00)(90.00,125.00) \put(90.00,125.00){\vector(4,-1){0.2}} \multiput(60.00,130.00)(0.71,-0.12){42}{\line(1,0){0.71}} %\end \put(55.00,135.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}} \put(55.00,110.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}} %\emline(120.00,135.00)(115.00,150.00) \multiput(120.00,135.00)(-0.12,0.36){42}{\line(0,1){0.36}} %\end %\emline(115.00,150.00)(125.00,150.00) \put(115.00,150.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(125.00,150.00)(120.00,135.00) \multiput(125.00,150.00)(-0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(127.00,126.00)(127.00,110.00) \put(127.00,126.00){\line(0,-1){16.00}} %\end %\emline(127.00,110.00)(113.00,110.00) \put(127.00,110.00){\line(-1,0){14.00}} %\end %\emline(113.00,110.00)(113.00,125.00) \put(113.00,110.00){\line(0,1){15.00}} %\end %\emline(113.00,125.00)(114.00,125.00) \put(113.00,125.00){\line(1,0){1.00}} %\end %\emline(114.00,125.00)(115.00,124.00) \multiput(114.00,125.00)(0.11,-0.11){9}{\line(0,-1){0.11}} %\end %\emline(115.00,124.00)(125.00,124.00) \put(115.00,124.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(125.00,124.00)(126.00,125.00) \multiput(125.00,124.00)(0.11,0.11){9}{\line(0,1){0.11}} %\end %\emline(126.00,125.00)(127.00,125.00) \put(126.00,125.00){\line(1,0){1.00}} %\end %\vector(120.00,135.00)(120.00,124.00) \put(120.00,124.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(120.00,135.00){\line(0,-1){11.00}} %\end %\vector(120.00,135.00)(123.00,124.00) \put(123.00,124.00){\vector(1,-4){0.2}} \multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}} %\end %\vector(120.00,135.00)(117.00,124.00) \put(117.00,124.00){\vector(-1,-4){0.2}} \multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}} %\end %\vector(120.00,135.00)(126.00,125.00) \put(126.00,125.00){\vector(2,-3){0.2}} \multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\vector(120.00,135.00)(114.00,125.00) \put(114.00,125.00){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}} %\end \put(20.00,132.00){\makebox(0,0)[lb]{1}} \put(68.00,145.00){\makebox(0,0)[lb]{2}} \put(80.00,136.00){\makebox(0,0)[lb]{3}} \put(93.00,115.00){\makebox(0,0)[lb]{4}} \put(20.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{A) Sch\'ema experimentu}} \put(105.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{B) Bokorys průběhu}} \put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lb]{siločar magnetického pole}} \put(20.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{1 Svazek atomů }} \put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{2 P\'oly magnetu}} \put(50.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{3 Rozštěpené svazky částic}} \put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4 Stínítko}} \end{picture} \caption{Sternův-Gerlachův pokus} \end{figure} Síla, která na atomy v~tomto poli působí (viz např.~\cite[kap.~4.3]{sto:em}) je \[ \vec{F}(\vex) = \grad (\vec{\mu} \cdot \vec{B}(\vex)), \] takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického momentu \cc e na směr magnetického pole. Svazek atomů v~základním stavu se průchodem nehomogenním magnetickým polem rozdělí na dva, což je plně v~souhlasu s~představou vlastního magnetického momentu elektronu. Z~úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené svazky vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického momentu. Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s~velikostí Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$. Možnost rozštěpení hladiny energie základního stavu atomu vodíku na dvě svědčí o~tom, že \textbf{základní stav je degenerovaný a jeho popis vlnovou funkcí $\psi_{E,0,0}$ není úplný} a je mu nutno přiřadit lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých funkcí, jež jsou vlastními \fc emi energie s~nejnižší vlastní hodnotou. Z~předchozího však víme, že taková funkce je až na multiplikativní konstantu jen jedna. Východiskem z~této situace je použití vlnových \fc í které mají dvě složky. \begin{equation} \psi(\vex) = \left( \ba {c} \psi_1(\vex) \\ \psi_2(\vex) \ea \right). \ll{vekvlnfce} \end{equation} Alternativní, avšak ekvivalentní přístup je použití vlnových funkcí, které vedle $\vex$ závisí ještě na další proměnné $\xi$, která nabývá pouze dvou hodnot $\pm$, tj. \[ \psi=\psi(\vex,\xi), \quad \psi(\vex,+)\equiv\psi_1(\vex), \quad \psi(\vex,-)\equiv\psi_2(\vex). \] Přechod k~vlnovým \fc ím \rf{vekvlnfce} znamená přechod od Hilbertova prostoru \qintspace{} k~prostoru \qintspace$\otimes\C^2$. Skalární součin v~tomto prostoru je definován vztahem \begin{equation} (\psi,\phi) := \sum_{k=1}^2\int_{\R^3}\psi^*_k(\vex)\phi_k(\vex)d^3x =\sum_{\xi=\pm}\int_{\R^3}\psi^*(\vex,\xi)\phi(\vex,\xi)d^3x \end{equation} a operátory jsou obecně zadány maticí operátorů $\hat{A}=\{ \hat{A}_{ij}\}_{i,j=1}^2$. Neboť jsme se doposud zabývali jevy, ve kterých magnetický moment nehrál roli, mohli jsme používat operátory, které jsou násobkem jednotkové matice, např.~hamiltonián je dán maticí $\hat{H}_{ij} = \hat{H} \delta_{ij}$, jinak vyjádřeno $\hat{H} = \hat{H} \otimes \unit_{\C^2}.$ Projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$ (směru magnetického pole) naopak přiřadíme operátor $\hat{ \mu}_{z}$, který působí netriviálně pouze v~prostoru $\C^2$, zatímco v~prostoru \qintspace{} působí pouze jako násobení konstantou. \begin{equation} \hat{\mu}_{z} := \left( \ba {cc} \mu_0&0\\ 0&-\mu_0 \ea \right) \ll{muz} \end{equation} Souvislost orbitálního magnetického momentu s~momentem hybnosti \rf{orbmgm} přivedla G.~E.~Uhlenbecka a S.~Goudsmita k~hypotéze (1925), že podobně jako orbitální, i \textbf{vlastní magnetický moment \cc e je důsledkem nenulového vlastního momentu hybnosti --- spinu}. Tato veličina \emph{nemá analogii} v~žádném druhu pohybu klasických hmotných těles. \textbf{Operátor spinu má stejně jako orbitální magnetický moment tři složky $\hat{S}_j$, které netriviálně působí pouze v~$\C^2$ a vzájemně komutují stejným způsobem jako složky momentu hybnosti} \begin{equation} {\Large\mbox{ $ [\hat{S}_j,\hat{S}_k] = i\hbar \epsilon_{jkl}\hat{S}_l. $}} \ll{relspin} \end{equation} Snadno lze ukázat, že trojice matic $\hat{S}_j=\frac{\hbar}{2}\sigma_j$, kde $\sigma_j,\ j=1,2,3$ jsou tzv.~\emph{Pauliho matice} \begin{equation} \sigma_1 = \left(\ba{cc}0&1\\1&0\ea\right),\ \sigma_2 = \left(\ba{cc}0&-i\\i&0\ea\right),\ \sigma_3 = \left(\ba{cc}1&0\\0&-1\ea\right), \ll{paulimat} \end{equation} splňuje relace \rf{relspin}. Vztah mezi spinem a vlastním magnetickým momentem elektronu je \be {\large\fbox{$\hat{\vec{\mu}} = \frac{2\mu_0}{\hbar}\hat{\vec{S}}$}}\ , \ee což je v~souhlasu s~\rf{muz}. Faktor 2 je v~rámci této teorie nutné brát jako fenomenologickou konstantu. Její vysvětlení je možno podat až v~rámci relativistické kvantové mechaniky. \bc Ukažte, že vlastní čísla operátoru $\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B}$ jsou $\pm \mu_0 |\vec{B}|$. Najděte vlastní \fc e. \ec \bc Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v~poli Coulombova potenciálu s~hodnotou $z$--ové, resp. $x$--ové, resp.~$y$--ové složky spinu rovné $\hbar/2$. \ec \bc Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota $z$--ové složky spinu $s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve směru, který se $z$--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s~jakou pravděpodobností? \ec Vedle relace \begin{equation} [\sigma _j,\sigma _k] = 2i\epsilon_{jkl}\sigma _l, \ll{sigmarel} \end{equation} ze které plyne \rf{relspin}, mají Pauliho matice ještě další vlastnosti užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z~nich \begin{align} \sigma _j &= \sigma _j^\dagger, \\ \Tr \sigma _j &= 0, \\ \{\sigma _j,\sigma _k\} &= 2\delta_{jk}\unit. \ll{anticomsig} \end{align} Mimo to spolu s~jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j \ | \ j=1,2,3\}$ (hermitovskou) bazi v~prostoru komplexních matic $2\times 2$. Násobení Pauliho matic \begin{equation} \sigma _j\sigma _k=\delta_{jk}\unit+i\epsilon_{jkl}\sigma _l \ll{nassig} \end{equation} plyne okamžitě z~\rf{sigmarel}, \rf{anticomsig}. \bc Ukažte, že $\hat{\vec{S}}^2 = \frac{3}{4}\hbar^2\unit$. Porovnejte tento výsledek s~\rf{vlfceelm2}. \ec \bc Uvažujte systém (tzv.~supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2(\R,dx) \otimes \C^2$ hamiltoniánem \[ \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes \unit + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes \unit + \frac{\hbar \omega}{2} \unit \otimes \sigma_{3}. \] Dále je dán operátor \[ \hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}). \] Nalezněte $\hat{Q}^{\dagger}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké omezení lze vyvodit z~těchto relací na spektrum hamiltoniánu (tj.~zda je shora či zdola omezené a čím)? (Postačí uvažovat bodovou část spektra.) \ec \subsection{Pauliho \rc e. Normální Zeemanův jev} Z~výsledku Sternova-Gerlachova pokusu a rozštěpení energetických hladin atomů v~magnetickém poli jsme došli k~hypotéze, že stavy \cc{} v~atomu jsou charakterizovány též hodnotou čistě kvantové veličiny nazývané spin. Síly, které působí na atomové \cc e v~magnetickém poli jsou na spinu závislé a musí být proto zahrnuty do hamiltoniánu. W.~Pauli navrhl rozšíření hamiltoniánu pro \cc i v~\emk ém poli na tvar \be {\Large \fbox{$\hat{H} = \dfrac{1}{2M}[\hat{\vec{P}} - e\hat{\vec{A}}]^2 + e\hat{\phi} - \mu_0 \hat{\vec{B}} \cdot \hat{\vec{\sigma}}$}} \ . \ll{pauham} \ee Rovnice \[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi, \] kde $\hat{H}$ je tvaru \rf{pauham} a $\psi$ je dvoukomponentová \fc e se nazývá \emph{Pauliho \rc e}. Odpovídající \rc e $\hat{H}\psi=E\psi$ se pak nazývá bezčasová Pauliho \rc e. Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec{B}(\vex,t)=\vec{B}$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení \sv y \rc e, neboť přímým výpočtem lze ukázat, že pokud $\phi_j,\ j=1,2$ jsou řešení \sv y \rc e \[ i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t}=\hat H_1\phi, \] kde $\hat{H}_1$ je spinově nezávislá část \rf{pauham}, pak řešení Pauliho \rc e lze zapsat způsobem \begin{equation} \left( \ba {c} \psi_1(\vex,t) \\ \psi_2(\vex,t) \ea \right) = \exp \left\{ \frac{i}{\hbar}\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B} t \right\} \left( \ba {c} \phi_1(\vex,t) \\ \phi_2(\vex,t) \ea \right), \ll{respauli} \end{equation} kde \be \exp \left\{ \frac{i}{h}\hat{\vec\mu}\cdot\vec{B}t \right\} = \cos \left( \frac{\mu_0}{\hbar}|\vec{B}|t \right) + i\frac{\vec{B} \cdot \vec{\sigma}}{|\vec{B}|} \sin \left( \frac{\mu_0}{\hbar}|\vec{B}|t \right). \ll{expmb} \ee \bc Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v~konstantním magnetickém poli směřujícímím ve směru osy $x$. V~čase $t=0$ byla naměřena hodnota její $z$-ové složky spinu $+\hbar/2$. S~jakou \pst í nalezneme v~libovolném dalším čase hodnotu její $y$-ové složky spinu $+\hbar/2$? \ec \bc Ukažte, že pokud výraz $\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \}$ definujeme pomocí řady \be \exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} := \sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec{a}\cdot\vec{\sigma})^n}{n!}, \ll{defexp} \ee pak platí \be \exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} = \cos(|\vec{a}|) + i\frac{\vec{a}\cdot\vec{\sigma}}{|\vec{a}|} \sin(|\vec{a}|). \ee \ec Rozštěpení energetických hladin v~důsledku existence vlastního magnetického momentu je pak možno popsat Pauliho hamiltoniánem \be \hat{H}_P = \hat{H}_0 -\frac{\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{L}}-\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{S}}, \ee kde $\hat{H}_0$ (což je např.~hamiltonián \cc e v~coulombickém poli) popisuje \cc i bez magnetického pole. Řešením bezčasové Pauliho \rc e $\hat{H}_P\psi=E\psi$ lze dostat \textbf{energetické spektrum, které odpovídá rozštěpení hladin magnetickým polem pozorované v~normálním Zeemanově jevu.} Toto řešení lze obdržet ze znalosti řešení bezčasové \sv y \rc e. Pro sféricky symetrický hamiltonián $\hat{H}_0$, lze bez újmy na obecnosti zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole. Je snadné se přesvědčit, že pokud \cc e má v~nepřítomnosti magnetického pole energii $E_0=E_{nl}$ (tzn.~$E_{nl}$ je vlastní hodnotou hamiltoniánu $\hat{H}_0$) a funkce $\psi_{n,l,m}$ jsou vlastní funkce $\hat{H}_0$, $\hat{L}^2$, $\hat{L}_z$, pak \fc e \be \psi_{n,l,m,+}(\vex) = \left(\ba{c} \psi_{n,l,m}(\vex) \\ 0 \ea\right), \quad \psi_{n,l,m,-}(\vex) = \left(\ba{c} 0 \\ \psi_{n,l,m}(\vex) \ea\right) \ee jsou vlastními \fc emi Pauliho hamiltoniánu odpovídajícími vlastním hodnotám $E_{n,l,m,\pm}=E_{nl}-\mu_0 B_z(m\pm 1)$. Počet hladin multipletu je $2l+3$ pro $l=1,2,\ldots$ Pro $l=0$ dostáváme dvě hladiny energie, což je ve shodě i se Sternovým-Gerlachovým pokusem. Poznamenejme ještě, že vedle normálního Zeemanova jevu existuje ještě tzv.~anomální Zeemanův jev. Jeho popis a vysvětlení dané tzv.~spin-orbitální vazbou zde provádět nebudeme (viz např.~\cite[kap.~7.5]{for:ukt}). Na závěr této kapitoly je třeba ještě učinit důležitou poznámku: Existence nenulového spinu není univerzální vlastnost všech kvantových \cc. V~uvedených jevech, které nás přiměly zavést spin, mají rozhodující vliv valenční elektrony atomů. Znamená to tedy, že elektronům je třeba přiřadit spin (velikosti 1/2). Na druhé straně existují částice, které spin nemají. Jsou to například mesony $\pi$ důležité pro popis jaderných sil. Ty pak interagují s~magnetickým polem pouze prostřednictvím svého orbitálního momentu hybnosti. \subsection{Algebraická teorie momentu hybnosti} \ll{atmh} Jak už jsme poznamenali v~podkapitole \ref{vmmsc}, vlastní i orbitální moment hybnosti mají stejné komutační relace \begin{equation} [\hat{J}_k,\hat{J}_m] = i\hbar\,\varepsilon_{kmn}\hat{J}_n. \label{imcr} \end{equation} Tyto relace lze zároveň považovat za definici násobení prvků baze v~Lieovské algebře $\mathfrak{su}(2)$, která úzce souvisí s~grupou otočení $SO(3)$. V~dalším odvodíme vlastnosti společných vlastních funkcí operátorů $\hat{J}_3$ a $\hat{J}^2:={\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2+{\hat{J}_3}^2$ a jejich vlastních hodnot \textbf{bez znalosti jejich konkrétních tvarů}, pouze využitím algebraických relací \rf{imcr}. Jediné, co budeme navíc předpokládat, je samosdruženost. Z~hlediska zmíněné Lieovské algebry, to znamená konstrukci jejích konečně rozměrných reprezentací. Podstatným způsobem budeme při tom využívat tzv.~posunovacích operátorů \begin{equation}\label{jpm} \hat{J}_\pm := \hat{J}_1\pm i\hat{J}_2, \quad [\hat{J}_3,\hat{J}_\pm] = \pm\hbar \hat{J}_\pm \end{equation} s~jejichž obdobou jsme se seznámili v~podkapitole \ref{posunovacioperatory}. Snadno pro ně odvodíme, že \begin{equation} \hat{J}_-\hat{J}_+ = {\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2-\hbar \hat{J}_3 = {\hat{J}}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3. \label{jmjp} \end{equation} Nechť $\ket{\lambda,\mu}$ je společná vlastní funkce operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$ s~vlastními hodnotami $\lambda$, $\mu$ \begin{equation}\label{j2eigen} \hat{J}^2\ket{\lambda,\mu}=\lambda\ket{\lambda,\mu}, \quad \hat{J}_3\ket{\lambda,\mu}=\mu\ket{\lambda,\mu}. \end{equation} Ze samosdruženosti operátorů $\hat{J}_1$ a $\hat{J}_2$ plyne, že pro libovolný prvek Hilbertova prostoru $\phi$ platí \[ (\phi,({\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2)\phi) = \|{\hat{J}_1}\phi\|^2 + \|{\hat{J}_2}\phi\|^2 \geq 0, \] takže \[ \braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}_1^2+\hat{J}_2^2}{\lambda,\mu} = \braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}^2-\hat{J}_3^2}{\lambda,\mu} = (\lambda-\mu^2)\, \|\ket{\lambda,\mu}\|^2 \] je rovněž nezáporné, z~čehož plyne \begin{equation}\label{lamgeqmu} \lambda\geq\mu^2. \end{equation} Na druhé straně díky \rf{jpm} \[ \hat{J}_+\ket{\lambda,\mu}=\alpha^{(+)} \ket{\lambda,\mu+\hbar}, \] takže musí existovat maximální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{max}}$ taková, že $\hat{J}_+ \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}=0$. V~opačném případě by totiž byla porušena nerovnost \rf{lamgeqmu}. Aplikujeme-li operátor $\hat{J}_-\hat{J}_+$ na $\ket{\lambda,\mu}$ a použijeme \rf{jmjp} a \rf{j2eigen}, dostaneme \[ 0 = \hat{J}_-\hat{J}_+\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}} = (\hat{J}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}} = (\lambda-\mu_{\mathrm{max}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{max}}) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}, \] odkud plyne \begin{equation} \lambda = \mu_{\mathrm{max}}^2+\hbar\mu_{\mathrm{max}}. \label{lameq} \end{equation} Stejnými úvahami, kde zaměníme $\hat{J}_+$ a $\hat{J}_-$, zjistíme, že musí existovat minimální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{min}}$, pro kterou platí \begin{equation} \lambda = \mu_{\mathrm{min}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{min}}. \label{lameqi} \end{equation} Porovnáním \rf{lameq} a \rf{lameqi} dostaneme $\mu_{\mathrm{min}}=-\mu_{\mathrm{max}}$. Mimo to je zřejmé, že opakovaným působením operátoru $\hat{J}_+$ na $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{min}}}$ dostaneme vektor úměrný $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}$. Tj.~existuje celé nezáporné $k$ tak, že \[ \mu_{\mathrm{min}}+k\hbar = \mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}}. \] Odtud \[ \mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}} = j\hbar, \quad j\in\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\ldots\}, \] \begin{equation} \lambda=j(j+1)\hbar^2, \quad \mu\in\{-j,-j+1,-j +2,\ldots\,j\} \cdot \hbar. \label{lamu} \end{equation} Je tedy vidět, že pokud jsme nepředpokládali operátory $\hat{J}_k$ ve tvaru operátorů momentu hybnosti, nýbrž vzali v~úvahu pouze jejich komutační relace, zjistili jsme, že spektrum vlastních hodnot operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$, může nabývat hodnot \rf{lamu} s~$j$ nejen celým jako v~případě momentu hybnosti, nýbrž i polocelým, což je případ spinu. Z~tohoto výsledku lze též usoudit, že mohou existovat částice nejen se spinem $1/2$ jako např.~elektron, proton, neutron a další, ale také s~vyššími (polo)celými spiny, což bylo experimentálně potvrzeno. \bc S~použitím výsledků cvičení \ref{alplm} najděte $(2j+1)\times(2j+1)$ matice $J_k$ splňující relace \rf{imcr} (tyto matice určují reprezentace algebry $\mathfrak{su}(2)$). Ověřte, že pro $j=\frac{1}{2}$ jsou shodné se složkami spinu. \ec