Verze z 3. 2. 2014, 18:55

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Časový vývoj kvantové částice}
\ll{Casovyvyvoj}
 
Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v~daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k~důsledkům plynoucím 
z~časového vývoje, který je v~\qv é \mi ce dán \sv ou \rc í
\be i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=\hat H\psi. \ll{SRH} \ee
 
 
 
 
\subsection{Rovnice kontinuity}
Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vex,t):=\psi^*(\vex,t) \psi(\vex,t)$ také \emph{hustotu toku \pst i}
\begin{equation}
  \vec{j}(\vex,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vex,t) \vec{\nabla}\psi^*(\vex,t) -\psi^*(\vex,t) \vec{\nabla}\psi(\vex,t)],
  \ll{tokpsti}
\end{equation}
pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí \emph{rovnice kontinuity}
\begin{equation}
  \frac{\pd\rho}{\pd t}(\vex,t) + \div \vec{j}(\vex,t)=0.
  \ll{rcekont}
\end{equation}
 
Důsledkem rovnice kontinuity je, že \textbf{normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností
\begin{equation} \frac{\d}{\dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat} \end{equation}
plynoucí z~rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v~nekonečnu dostatečně rychle k~nule.
 
 
 
 
 
\subsection{Stacionární stavy}
Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic $x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou 
v~\qv é \mi ce jsou tzv.~\emph{stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými funkcemi $\psi(\vex,t)$, pro které střední hodnota 
libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit
\be \frac{\d}{\dt}\langle\hat{A}\rangle_{\psi}=0 \ee
pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase.
 
Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í, která se v~různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vex$
\begin{equation}
  \psi (\vex,t)=C(t)\psi (\vex,t_0),
  \ll{stacstav}
\end{equation}
pak faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení 
v~místě $\vex$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v~důsledku měření, ani střední hodnotu operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, 
že stavy  popsané vlnovými funkcemi \rf{stacstav} jsou stacionární.
 
Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH} stojí operátor energie --- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou 
hrát v~časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav} lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, 
pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}$. Ze \sv y \rc e totiž plyne
\begin{equation}
  C(t)\hat{H} \psi(\vex,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vex,t_0).
\end{equation}
Odtud dostáváme, že $\psi(\vex,t_0)$ je vlastní \fc í hamiltoniánu s~vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$.
 
Na druhé straně, víme-li, že \cc e v~čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $
\begin{equation}
  \hat{H}\psi_E=E\psi_E,
  \ll{vlstham}
\end{equation}
pak v~tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní s~energií), neboť 
řešením \sv y \rc e \rf{SRH} s~počáteční podmínkou \rf{vlstham} je
\be
  \fbox{$\psi_E(\vex,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vex)$}\ .
\ee
Z~právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často
nazývá \emph{bezčasová \sv a \rc e.}
 
Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje, viz \cite{for:ukt}) lze ukázat i opak, totiž že všechny \textbf{stacionární 
stavy jsou vlastními stavy hamiltoniánu.}
 
Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i pro popis časového vývoje nestacionárních stavů, tj.~řešení \sv y \rc e 
s~počáteční podmínkou zadanou \fc í, která není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k~tomu, aby existovala ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž 
prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu. Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem
\be \psi(\vex)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex) \ll{rozklg0}\ee
a odpovídající řešení \sv y \rc e je
\be \psi(\vex,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee
Neznamená to však, že stav rozložený podle stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u~každé komponenty má jinou časovou závislost.
 
Vyjímečnost stacionárních stavů byl jeden z~důvodů, proč jsme v~předchozích kapitolách hledali vlastní stavy operátorů energie, pro některé 
fyzikálně zajímavé případy jako byl harmonický oscilátor či částice v~Coulombově poli.
\bc
  Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové 
  spektrum, přičemž $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po 
  čase $t$?
\ec
\bc
  Nechť částice hmoty $M$ v~jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v~čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í (která je 
  superpozicí stacionárních stavů)
  \[
    \psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left[ \frac{\pi}{2a}(x-a)\right] +\sin\left[\frac{\pi}{a}(x-a)\right] ,\ \mathrm{pro} \ |x|<a.
  \]
  Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$?
\ec
 
 
 
 
 
\subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy}
V~klasické mechanice známe zachovávající se veličiny --- integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového vývoje systému nemění, přestože 
jsou funkcemi jiných, časově proměnných veličin jako je například poloha či hybnost \cc e.
 
I v~\qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. Jejich definici však nelze převzít z~klasické \mi ky, neboť zatím všechny operátory 
odpovídající fyzikálním veličinám jsou nezávislé na čase.
 
Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem  časové derivace operátoru: Nechť $\hat{A}$ je samosdružený operátor. \emph{Časovou derivací operátoru} 
$\hat{A}$ nazveme operátor označený $\hat{\frac{\d A}{\dt}}$, definovaný jako
\be
  {\LARGE \fbox{$ \hat{\dfrac{\d A}{\dt}} := \dfrac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \dfrac{\pd\hat A}{\pd t} $ }}\ .
  \ll{casderoper}
\ee
Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s~čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici 
je, že pro všechna $\psi$, která leží v~nějakém uzavřeném podprostoru hustém v~$\Hil$ platí
\be
  \frac{\d}{\dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi}=\left\langle \hat{\frac{\d A}{\dt}} \right\rangle_\psi.
  \ll{casderop}
\ee
Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop} dostaneme
\begin{equation}
  \frac{\d}{\dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi} 
    = \left(\psi,\psi\right)^{-1}\left[ \left(\frac{\pd\psi}{\pd t},\hat A\psi\right) 
    + \left(\psi,\frac{\pd\hat A}{\pd t}\psi\right) 
    + \left(\psi,\hat A\frac{\pd\psi}{\pd t}\right)\right].
\end{equation}
a ze \sv y \rc e pak plyne vztah \rf{casderop}.
 
\bc
  Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních sil.
\ec
\bc
  Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru.
\ec
 
\emph{Integrálem pohybu v \qv é \mi ce} nazveme operátor $\hat A$, pro který $\hat {\frac{dA}{dt}}=0$. Pro \textbf{operátory, které nejsou 
explicitně závislé na čase} to znamená, že \textbf{jsou integrály pohybu, pokud komutují s~$\hat H$.}
 
Speciálním případem vztahů \rf{casderop} a \rf{casderoper} jsou tzv.~Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice 
či hybnosti dostaneme
\begin{align}
  \frac{\d}{\dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi} &= \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_\psi, \ll{ehrx} \\
  \frac{\d}{\dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi} &= \left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_\psi. \ll{ehrp}
\end{align}
Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z~nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice 
ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě \uv{operátoru rychlosti} $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp} je rovna hodnotě 
síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi}$, neboli pokud
\[
  \left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_\psi = -\frac {\pd V}{\pd x_j}(\langle \vec X \rangle_\psi).
\]
To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových 
teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda 
s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií.