02KVAN:Kapitola5: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 +
 +
\section{Časový vývoj kvantové částice}\ll{Casovyvyvoj}
  
 
Veškeré úvahy v kapitolách \ref{Popisstavu} a
 
Veškeré úvahy v kapitolách \ref{Popisstavu} a

Verze z 1. 11. 2010, 00:55

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Časový vývoj kvantové částice}\ll{Casovyvyvoj}
 
Veškeré úvahy v kapitolách \ref{Popisstavu} a
\ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v daném časovém okamžiku.
Nyní se vrátíme k důsledkům plynoucím z časového vývoje,
%postulovaného \qv ou \mi kou.
%Jak už bylo konstatováno v kapitole \ref{SR}, časový vývoj
%kvantové částice,
který  je v \qv é \mi ce
dán \sv ou \rc í.
\be i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi. \ll{SRH}\ee
%V této kapitole si všimneme dalších důsledků tohoto faktu.
\subsection{Rovnice kontinuity}
Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vec x,t):=\psi^*(\vec x,t)
\psi(\vec x,t)$ také {\em hustotu toku \pst i}
\be \vec j(\vec
x,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vec x,t)\vec\nabla\psi^*(\vec x,t)
-\psi^*(\vec x,t)\vec\nabla\psi(\vec x,t)] \ll{tokpsti}\ee
pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí {\em rovnice
kontinuity}
\be \frac{\partial\rho}{\partial t}(\vec x,t)+div\ \vec j(\vec
x,t)=0. \ll{rcekont}\ee
 
\special{src: 22 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Důsledkem rovnice kontinuity je, že {\bf normalizace vlnové
funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je
dáno rovností
\be \frac{d}{dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat}\ee
plynoucí z rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se
svými derivacemi jdou v nekonečnu dostatečně rychle k nule.
\subsection{Stacionární stavy}
Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou
rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic
$x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou v \qv é \mi ce jsou tzv. {\em
stacionární stavy}.
Tyto stavy jsou popsány vlnovými
%Budeme se zajímat o stavové
funkcemi $\psi(\vec x,t)$, pro které
střední hodnota libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými
slovy pro ně musí platit
\be \frac{d}{dt}<\hat A>_{\psi}=0 \ee
pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase.
 
\special{src: 43 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í,
která se v různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vec
x$
\be \psi (\vec x,t)=C(t)\psi (\vec x,t_0),\ll{stacstav}\ee
pak
faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť
neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je
pravděpodobnost nalezení v místě $\vec x$, pravděpodobnost
přechodu do jiného stavu v důsledku měření, ani střední hodnotu
operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, že stavy  popsané
vlnovými funkcemi \rf{stacstav}) jsou stacionární.
 
\special{src: 57 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH})
stojí operátor energie -- hamiltonián.
Není tedy překvapivé, že
vlastní stavy operátoru energie budou hrát v časovém vývoji \qv ě \mi
ckých stavů důležitou roli.
Pro vlnové \fc e \rf{stacstav}) lze snadno ukázat, že pokud
vyhovují \sv ě \rc i, pak jsou
vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-iE(t-t_0)/\hbar}$. Ze \sv
y \rc e totiž plyne
\be C(t)\hat H \psi(\vec x,t_0)= i\hbar \dot C(t)
\psi(\vec x,t_0).\ee
Odtud dostáváme, že $\psi(\vec x,t_0)$ je vlastní \fc í
hamiltoniánu s vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$.
 
\special{src: 73 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Na druhé straně, víme-li, že \cc e v čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $
\be \hat H\psi_E=E\psi_E, \ll{vlstham}\ee
pak v tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna
nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní
s energií), neboť řešením \sv y \rc e \rf{SRH}) s počáteční
podmínkou \rf{vlstham}) je
\be \fbox{$\psi_E(\vec x,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vec x)$}\ .\ee
Z právě uvedených důvodu se vlastní
stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy}
%Z tohoto důvodu se
a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham}) se často
nazývá {\em bezčasová \sv a \rc e.}
 
\special{src: 88 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje,
viz \cite{for:ukt})
lze ukázat i opak, totiž že všechny {\bf stacionární stavy jsou
vlastními stavy hamiltoniánu.}
 
\special{src: 95 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i
pro popis časového vývoje nestacionárních stavů tj.
řešení \sv y \rc e s počáteční podmínkou zadanou \fc í, která
není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k tomu, aby existovala
ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu.
Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem
\be \psi(\vec x)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vec x) \ll{rozklg0}\ee
a odpovídající řešení \sv y \rc e je
\be \psi(\vec x,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vec
x)e^{-i\frac{En}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee
Neznamená to však, že stav rozložený podle
stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u každé
komponenty má jinou časovou závislost.
 
\special{src: 111 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Vyjímečnost stacionárních stavů
byl jeden z důvodů, proč jsme v předchozích kapitolách
hledali vlastní stavy operátorů
energie,  pro některé fyzikálně zajímavé případy jako byl
harmonický oscilátor, či částice v Coulombově poli.
\bc
Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má  čistě bodové spektrum  a $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po čase $t$?
\ec
\bc Nechť částice hmoty $M$ v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í, (která je superpozicí  stacionárních stavů)
\[ \psi(x,0)=0,\ {\rm pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=sin[\frac{\pi}{2a}(x-a)]+sin[\frac{\pi}{a}(x-a)],\ {\rm pro} \ |x|<a.\]
Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v intervalu (-a,0)?
\ec
 
\special{src: 126 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy}
V klasické mechanice známe  zachovávající se veličiny --
integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového
vývoje systému nemění, přestože jsou funkcemi jiných, časově proměnných
veličin jako je například poloha či hybnost \cc e.
 
\special{src: 134 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
I v \qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu.
Jejich definici však nelze převzít z klasické \mi ky, neboť
zatím všechny operátory odpovídající fyzikálním veličinám jsou
nezávislé na čase.
 
\special{src: 141 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Zavedeme  proto nejdříve užitečný pojem  časové derivace
operátoru: Nechť $\hat A$ je samosdružený operátor. {\em Časovou derivací operátoru} $\hat A$ nazveme operátor označený
$\hat {\frac{dA}{dt}}$, definovaný jako
\be {\LARGE \fbox{$ \hat {\frac{dA}{dt}}:=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] +
\frac{\partial\hat A}{\partial t} $ }}\ . \ll{casderoper}\ee
Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici je, že
pro všechna $\psi$, která leží v nějakém uzavřeném podprostoru hustém v
$\hil$ platí
\be \frac{d}{dt}<\hat A>_{\psi}=<\hat {\frac{dA}{dt}}>_\psi.\ll{casderop}\ee
Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou
derivaci na levé straně \rf{casderop}) dostaneme
\be \frac{d}{dt}<\hat A>_{\psi}=(\psi,\psi)^{-1}\left[
(\frac{\partial\psi}{\partial t},\hat A\psi)
+(\psi,\frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi)
+(\psi,\hat A\frac{\partial\psi}{\partial t})\right].\ee
a ze \sv y \rc e pak plyne vztah (\ref{casderop})
\bc Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních
sil.
\ec
\bc Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru.
\ec
{\em Integrálem pohybu v \qv é \mi ce } nazveme
operátor $\hat A$, pro který
$\hat {\frac{dA}{dt}}=0$.
Pro {\bf operátory, které nejsou explicitně závislé na
čase}
to znamená, že {\bf jsou integrály pohybu pokud komutují s $\hat
H$.}
 
\special{src: 172 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Speciálním případem vztahů \rf{casderop}) a \rf{casderoper}) jsou tzv. Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice či hybnosti dostaneme
\be \frac{d}{dt}<\hat Q_j>_{\psi}=<\hat {\frac{P_j}{M}}>_\psi \ll{ehrx}\ee
\be \frac{d}{dt}<\hat P_j>_{\psi}=<{\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}}>_\psi. \ll{ehrp}\ee
Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě "operátoru rychlosti" $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp}) je rovna hodnotě síly v bodě $<\hat Q_j>_{\psi}$, neboli pokud
\[ <{\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}}>_\psi = -\frac {\partial V}{\partial x_j}(<\vec X>_\psi). \]
To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic.
Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových teorémů s pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite{kv:qm} kap. 1.7., \cite{for:ukt} kap 3.5) a očekávaná shoda s klasickou teorií nastává až pro stavy s dostatečně velkou energií.
 
\special{src: 182 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel