02KVAN:Kapitola4: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (drobné formální úpravy)
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
\section{Výsledky měření}
+
\chapter{Jednoduché kvantové systémy}
\ll{Vysledkymereni}
+
  
Otázka, na kterou odpovíme v~této kapitole, zní: \textbf{Jaké hodnoty fyzikálních veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném
+
\section{Energie harmonického oscilátoru}
funkcí $g$?}
+
\ll{qho}
  
Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v~sekci \ref{pozorovatelne}. V~principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která leží
+
Ukážeme, že přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper} a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o~diskrétnosti spektra energie harmonického
ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však je, která z~nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na druhou
+
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz~\ref{podkap:coulomb}) jeden z~hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie.
otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme pouze statistickou předpověď.
+
Operátor energie --- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence
 +
\begin{equation} \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + \frac{1}{2}M \omega^2 x^2. \ll{lho3} \end{equation}
 +
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, pak množina vlastních hodnot, tj.~čísel $E$
 +
pro která existuje funkce $\psi(\vex)$ splňující
 +
\begin{equation} \hat H\psi = E\psi, \ll{vlfce} \end{equation}
 +
je diskrétní a odpovídá (až na jistou aditivní konstantu) Planckově hypotéze.
  
V~minulých kapitolách jsme provedli popis stavů kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že jsme schopni v~daném čase určit
+
Operátor \rf{lho3} je součtem tří operátorů
hodnoty všech pozorovatelných jako v~klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím
+
\[ \hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3, \]
ty, které jsme použili k~popisu stavu. V~minulé kapitole to byly například energie, kvadrát momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem
+
\[ H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx_j^2} + \frac{1}{2}M\omega^2 {x_j}^2 \]
nedává žádnou informaci například o~hybnosti kvantové částice, ba dokonce ani o~první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další
+
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru \rf{lho3} ve faktorizovaném tvaru
fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o~daném stavu máme, je \emph{pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice. O~něm nás
+
\begin{equation} \psi(\vex)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi} \end{equation}
informuje Bornův postulát.
+
Rovnice \rf{vlfce} pak přejde na tvar
 +
\begin{equation}
 +
  (\hat{H}_1 \psi_1) \psi_2 \psi_3 + \psi_1(\hat{H}_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat{H}_3\psi_3) = E\psi_1\psi_2\psi_3.
 +
  \ll{rozkladH}
 +
\end{equation}
 +
Nalezneme-li vlastní čísla $E_j$ funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$
 +
\[ \hat{H}_j\psi_j=E_j\psi_j, \]
 +
pak získáme i vlastní čísla operátoru \rf{lho3}
 +
\begin{equation} E = E_1+E_2+E_3. \end{equation}
 +
Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla.
  
Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}:
+
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor
\be
+
\begin{equation} \fbox{\Large$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx^2} + \frac{1}{2}M\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1} \end{equation}
  \mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vex)\d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vex)|^2\d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vex)|^2\d^3x}.
+
Tento operátor lze považovat za operátor energie \emph{jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom
  \ll{xbar}
+
rozměru (na přímce).
\ee
+
  
\bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. \ec
+
\begin{tvr}
 +
  \ll{slho}
 +
  Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1} působícího v~prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly
 +
  \fbox {$E_n = \hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce
 +
  \begin{equation} \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\frac{\xi^2}{2}}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $} \end{equation}
 +
  kde $\displaystyle\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy}
 +
  \begin{equation} H_n(z) := \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef} \end{equation}
 +
  kde $\lfloor r\rfloor$ je dolní celá část reálného čísla $r$.
  
 +
  \begin{proof}
 +
    %Bodové spektrum operátoru \rf{lho1} je tvořeno
 +
    Napřed je třeba nalézt čísla $E$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \R\to\C$ diferenciální
 +
    rovnice
 +
    \begin{equation}
 +
      -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2\psi}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi = E\psi.
 +
      \ll{eqlho1}
 +
    \end{equation}
 +
    Tato rovnice je lineární ODR 2.~řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $E$. Ukážeme, že podmínka kvadratické
 +
    integrability je splněna jen pro
 +
    \begin{equation}
 +
      E_n = \hbar \omega \left( n+\half \right),\ n\in\Z_+.
 +
      \ll{hokvan}
 +
    \end{equation}
 +
    Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\displaystyle\xi :=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$, $\phi(\xi) := \psi(x)$ dostaneme rovnici ve tvaru
 +
    \begin{equation}
 +
      \phi'' - \xi^2 \phi + \lambda \phi = 0
 +
      \ll{hobezr}
 +
    \end{equation}
 +
    kde $\lambda := \frac{2E}{\hbar\omega}$.
  
 +
    Z~teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr} singularitu,
 +
    je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\to\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako
 +
    \begin{equation}
 +
      \phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}.
 +
      \ll{rozphi}
 +
    \end{equation}
 +
    Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě \rf{rozphi}.
 +
    Zvolíme tedy ansatz
 +
    \begin{equation}
 +
      \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi)
 +
      \ll{hoansatz}
 +
    \end{equation}
 +
    a budeme se zajímat o~řešení rovnice
 +
    \begin{equation}
 +
      u'' = 2\xi u' + (1-\lambda)u
 +
      \ll{hermrce}
 +
    \end{equation}
 +
    která v~nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.
  
 +
    Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce} do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi$, $u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní
 +
    funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady
 +
    \begin{equation}
 +
      u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\Z_+
 +
      \ll{radau}
 +
    \end{equation}
 +
    Jejím dosazením do \rf{hermrce} a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$
 +
    \[
 +
      s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0
 +
    \]
 +
    \begin{equation}
 +
      a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m
 +
      \ll{rran}
 +
    \end{equation}
  
\subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti přechodu}
+
    Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran} je nenulový pro všechna $m$, pak se řada \rf{radau} pro $\xi\rightarrow\infty$ chová jako $\exp(\xi^2)$ a řešení
 +
    \rc e \rf{hobezr} není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule \rf{rran} pro dosti velká $m$ se stejným vztahem
 +
    pro koeficienty řady $\exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrabilní řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada \rf{radau} je konečná, tj.~existuje $N$
 +
    takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy  a jen tehdy, když
 +
    \be a_1=0, \quad 2(N+s)+1-\lambda=0 , \quad N \text{ sudé nezáporné}. \ll{kvantlam} \ee
 +
    V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce \rf{hoansatz} je kvadraticky integrabilní.
  
Pokud \qv á mechanika být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak pro systém v~daném stavu musí být schopna předpovědět výsledek měření nejen
+
    Z~podmínky \rf{kvantlam} plyne, že \rc e \rf{hermrce} kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1}
okamžité souřadnice částice, ale i ostatních fyzikálních veličin. Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední hodnotu
+
    má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}.
libovolné pozorovatelné v~daném stavu, a potom i předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení.
+
  
Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem
+
    Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$
\be
+
    \be H_n(\xi) = \sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol} \ee
  \int_{\R^3}\psi^*(\vex)x_j\psi(\vex)\d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vex)[\hat Q_j\psi](\vex)\d^3x = (\psi,\hat X_j\psi),
+
    jež řeší rovnici \rf{hermrce} jsou pak určeny rekurentním vztahem
  \ll{psixpsi}
+
    \be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol} \ee
\ee
+
    přičemž pro sudá či lichá $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$.
takže
+
 
\be \mean{\hat X_j}{\psi} = \frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}. \ll{xavr} \ee
+
    Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace \rf{rrherpol} je
Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a je proto přirozené
+
    \be h^{(n)}_{n-2k}=(-1)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,\lfloor n/2\rfloor, \ll{hercoef}\ee
očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Experimenty tuto hypotézu plně
+
   \end{proof}
potvrzují a skutečně platí že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření
+
\end{tvr}
pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je}
+
\be
+
  \fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)}$}} \ .
+
   \ll{aavr}
+
\ee
+
Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na $\mean{\hat A}{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$.
+
  
 
\bc
 
\bc
   Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální
+
   Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.
  vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vex_0$.
+
 
\ec
 
\ec
 +
 
\bc
 
\bc
   Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti
+
   Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
   (elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s).
+
  \be H_n(z):=(-1)^ne^{z^2}\frac{\d^n}{\dz^n}e^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee
 +
   Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2} splňuje rovnici \rf{hermrce}.
 
\ec
 
\ec
 +
 
\bc
 
\bc
   Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}.
+
   \ll{cvvytvfce}
 +
  Ukažte, že
 +
  \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\{ x^2-(x-\xi)^2 \} \]
 
\ec
 
\ec
  
Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních
+
Důsledkem tvrzení \ref{slho} je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s~potenciálem
pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vlnová \fc e $\alpha$ je vlastní \fc í
+
$V(x)=\frac{1}{2}M\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)~|~n\in \Z_+\}$.
$\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$.
+
  
Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější informaci o~výsledku měření pro částici v~daném stavu. Podle Bornova postulátu
+
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen
jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v~jistém intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i pro ostatní
+
$\half\hbar\omega$, představující tzv.~\uv{nulové kmity}. Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě
pozorovatelné.
+
s~tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie.
 
+
Vzhledem k~tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat objekty na atomární a nižší úrovni, je rozumné předpokládat, že měření
+
provedené na takovýchto objektech podstatným způsobem změní jejich stav. Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že \textbf{měření pozorovatelné
+
$A$, které dá hodnotu $a$, převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$.}
+
 
+
Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn.~vlastní funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu,  
+
kterou zvolíme tak, aby $(\alpha,\alpha) = 1$. Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $a$ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í
+
$\psi$, stačí budeme-li znát \textbf{pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z~původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika
+
postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna
+
\be
+
  \fbox{{\LARGE $W_{\psi\to\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .
+
  \ll{pstprech}
+
\ee
+
Veličina $\displaystyle A_{\psi\to\alpha} :=\frac{(\psi,\alpha)}{\sqrt{(\psi,\psi)}}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\to\alpha$}.
+
  
 
\bc
 
\bc
   Nechť \uv{jednorozměrná} částice v~potenciálu harmonického oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
+
   Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky $1 \, \mathrm{m}$ a hmotnosti $1 \, \mathrm{kg}$.
  \be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee
+
  S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?
+
 
\ec
 
\ec
  
Výraz \rf{pstprech} je možno použít i k~určení \pst i naměření hodnoty $a$ pozorovatelné $A$, jejíž vlastní podprostor má více rozměrů. Pokud
+
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}. Z~rozkladu \rf{rozkladH} je zřejmé, že funkce
množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální bazí v~prostoru vlastních stavů operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$, pak \textbf{pro \cc i ve
+
\begin{equation} \psi_{n_1,n_2,n_3}(x_1,x_2,x_3) \equiv \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci} \end{equation}
stavu $\psi$ je \pst, že při měření pozorovatelné $A$ dostaneme hodnotu $a$, součtem pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů
+
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}, jsou vlastními \fc emi \oper u \rf{lho3} s~vlastními čísly
$\alpha_k$}, tj.
+
$$
\be
+
E_N=E_{n_1}+E_{n_2}+E_{n_3}=\left(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2}\right)\hbar \omega = \left(N +\frac{3}{2}\right)\hbar \omega,\ N =  n_1+n_2+n_3 .
  \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A=a)} = \sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .
+
$$
  \ll{pstnamer}
+
\ee
+
Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní \pst i \rf{pstprech} a \rf{pstnamer}, což je ve shodě s~předpokladem, že
+
vlnové funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž fyzikální stav.
+
  
\bc
+
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např.~\cite[4.3.4, 4.3.5]{beh:lokf}).
   Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
+
\bt
   \be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\theta+\cos\theta )g(r)\ee
+
   \ll{tr38}
  Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?
+
   Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}
\ec
+
  \begin{equation}
\bc
+
    \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}x^2}H_n\left( \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x\right) , \quad K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
  Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
+
    \ll{nvlfcelho}
  \be \psi(x) = C e^{-\vex^2 + i\vec k\cdot\vex}. \ll{cvic3}\ee
+
   \end{equation}
   S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$?
+
  je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline.
\ec
+
\et
  
Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření
+
\bt
alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám.  
+
  \ll{tr39}
Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy, když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot.
+
  Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}, kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho} je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky
 +
  integrovatelných funkcí \qintspace.
 +
\et
 +
%Pro \fc e \rf{nvlfcelho} a \rf{rozkladvlfci} se často používá ketové značení $\psi_n\equiv \ket{n}$,
 +
%$\psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3} \equiv \ket{n_1n_2n_3}$.
  
Jsou-li body spektra (tj.~hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni experimentálně rozlišit, v~intervalu $(x,y)$, což se stává
+
Z~tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1} a \rf{lho3} jsou čistě bodová (\cite[7.3.9]{beh:lokf}).
zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění vzorce \rf{pstnamer} na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty pozorovatelné $A$ v~intervalu
+
Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1} --- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru --- se
$(x,y)$
+
liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $\half\hbar\omega$. Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na
\be
+
multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním číslem $E_{N=2}=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí
  \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^y|(\alpha_a,\psi)|^2\d a}{(\psi,\psi)}$}}\ ,
+
\rf{rozkladvlfci}, kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto
  \ll{pstnamersp}
+
podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním
\ee
+
číslem $E_N=(N+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $\frac{(N+1)(N+2)}{2}$.
kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k~$\delta$-funkci. Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu, neboť
+
v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit
+
$\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti
+
\be \phi_{\vec p}(\vex) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vex \right\}. \ee
+
Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e.
+
  
 +
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.
 
\bc
 
\bc
   Určete  pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete
+
   Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?
  hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$.
+
 
\ec
 
\ec
  
Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$ existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k~jedničce či
+
\bc
$\delta$-funkci. Obecnější případ zatím řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{}  
+
  Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů
+
   \[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\dx=2^n n!\sqrt\pi\delta_{nm}. \]
\be
+
  Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í \rf{nvlfcelho}.
   W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))}
+
\ec
    = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}
+
    + \int_{k_1}^{k_2}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}\right],
+
\ee
+
kde $k_i=\sqrt{\frac{2ME_i}{\hbar^2}}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce,
+
resp.~k~$\delta$-funkci.
+
  
  
  
  
\subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}
+
\section{Složky momentu hybnosti kvantové částice}
\ll{relneu}
+
\ll{Slmomhyb}
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}.
+
V~\qv é \mi ce je definována způsobem
+
\be \triangle_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee
+
Je snadné ukázat, že
+
\be \left(\triangle_{\psi}(A)\right)^2 = \mean{(\widehat{\triangle_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee
+
kde $\widehat{\triangle_\psi A}$ je lineární  operátor
+
\be \widehat{\triangle_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee
+
a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$.
+
  
\bc
+
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory
  Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.
+
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l = -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\pd}{\pd x_l}. \ll{momhyb} \ee
\ec
+
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\varphi)$
\bc
+
\be x=r\sin \theta \cos\varphi, \quad y=r\sin \theta \sin\varphi, \quad z=r\cos \theta \ll{sfersource} \ee
  \ll{dpx}
+
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\varphi) \ll{fcevess} \ee
  Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}.  
+
  Ukažte, že pro tento stav platí
+
  \be \triangle_{\psi}(X_{\underline k})\triangle_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee
+
\ec
+
  
Vztah \rf{dxdp} je zvláštním případem tvrzení, kterému se obvykle, říká \emph{relace neurčitosti}.
+
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec
  
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$
+
Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí
+
\begin{eqnarray}
\be  \triangle_{\psi}(A)\triangle_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|
+
  \hat L_x &=& i\hbar \left( \cos\varphi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\varphi}+\sin\varphi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{lx} \\
\ll{dadb}\ee
+
  \hat L_y &=& i\hbar \left( \sin\varphi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\varphi}-\cos\varphi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{ly} \\
 
+
  \hat L_z &=& -i\hbar \frac{\pd}{\pd\varphi}. \ll{lz}
Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které
+
\end{eqnarray}
platí
+
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $\hat L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší
\be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee
+
však je hledat spektrum operátoru $\hat L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici
kde $\kappa\in\R$.
+
\be -ih \frac{\pd}{\pd\varphi}\Psi(r,\theta,\varphi) = \mu\Psi(r,\theta,\varphi). \ee
\et
+
Její řešení je
 
+
Pro operátory \rf{xoper}, \rf{poper} platí
+
\be [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp} \ee
+
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti
+
 
\be
 
\be
   \fbox{{\LARGE$\triangle_{\psi}(X_j)\triangle_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .
+
   \Psi(r,\theta,\varphi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\mu\varphi},
  \ll{dxdp2}
+
 
\ee
 
\ee
 +
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\mu$ je libovolné komplexní číslo. Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen spojitými funkcemi
 +
v~$\R^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\varphi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. Musí tedy platit
 +
\[ \Psi(r,\theta,\varphi=0) = \Psi(r,\theta,\varphi=2\pi). \]
 +
Z~této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot}
 +
\be \mu =  m\hbar, \qquad \mathrm{kde} \ m\in\Z. \ee
  
 
\bc
 
\bc
   Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními
+
   \uv{Kvantové tuhé těleso} (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
  jsou funkce %(\rf{mvb})
+
  \[ g(\vex) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\cdot\vex \right\}, \qquad A>0, \]
+
  které jsme nazvali minimální vlnové balíky.
+
 
\ec
 
\ec
 
Z~relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou
 
přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou
 
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu
 
\[ \triangle x\triangle p_x\triangle y\triangle p_y\triangle z\triangle p_z \geq \hbar^3/8. \]
 
 
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg,
 
jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou
 
menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost.
 
 
V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než
 
lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné
 
s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.
 

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:49

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Jednoduché kvantové systémy}
 
\section{Energie harmonického oscilátoru}
\ll{qho}
 
Ukážeme, že přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper} a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o~diskrétnosti spektra energie harmonického
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz~\ref{podkap:coulomb}) jeden z~hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie.
Operátor energie --- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence
\begin{equation} \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + \frac{1}{2}M \omega^2 x^2. \ll{lho3} \end{equation}
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, pak množina vlastních hodnot, tj.~čísel $E$
pro která existuje funkce $\psi(\vex)$ splňující
\begin{equation} \hat H\psi = E\psi, \ll{vlfce} \end{equation}
je diskrétní a odpovídá (až na jistou aditivní konstantu) Planckově hypotéze.
 
Operátor \rf{lho3} je součtem tří operátorů
\[ \hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3, \]
\[ H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx_j^2} + \frac{1}{2}M\omega^2 {x_j}^2 \]
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru \rf{lho3} ve faktorizovaném tvaru
\begin{equation} \psi(\vex)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi} \end{equation}
Rovnice \rf{vlfce} pak přejde na tvar
\begin{equation}
  (\hat{H}_1 \psi_1) \psi_2 \psi_3 + \psi_1(\hat{H}_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat{H}_3\psi_3) = E\psi_1\psi_2\psi_3.
  \ll{rozkladH}
\end{equation}
Nalezneme-li vlastní čísla $E_j$ funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$
\[ \hat{H}_j\psi_j=E_j\psi_j, \]
pak získáme i vlastní čísla operátoru \rf{lho3}
\begin{equation} E = E_1+E_2+E_3. \end{equation}
Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla.
 
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor
\begin{equation} \fbox{\Large$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx^2} + \frac{1}{2}M\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1} \end{equation}
Tento operátor lze považovat za operátor energie \emph{jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom
rozměru (na přímce).
 
\begin{tvr}
  \ll{slho}
  Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1} působícího v~prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly
  \fbox {$E_n = \hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce
  \begin{equation} \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\frac{\xi^2}{2}}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $} \end{equation}
  kde $\displaystyle\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy}
  \begin{equation} H_n(z) := \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef} \end{equation}
  kde $\lfloor r\rfloor$ je dolní celá část reálného čísla $r$.
 
  \begin{proof}
    %Bodové spektrum operátoru \rf{lho1} je tvořeno
    Napřed je třeba nalézt čísla $E$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \R\to\C$ diferenciální
    rovnice
    \begin{equation}
      -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2\psi}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi = E\psi.
      \ll{eqlho1}
    \end{equation}
    Tato rovnice je lineární ODR 2.~řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $E$. Ukážeme, že podmínka kvadratické
    integrability je splněna jen pro
    \begin{equation}
      E_n = \hbar \omega \left( n+\half \right),\ n\in\Z_+.
      \ll{hokvan}
    \end{equation}
    Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\displaystyle\xi :=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$, $\phi(\xi) := \psi(x)$ dostaneme rovnici ve tvaru
    \begin{equation}
      \phi'' - \xi^2 \phi + \lambda \phi = 0
      \ll{hobezr}
    \end{equation}
    kde $\lambda := \frac{2E}{\hbar\omega}$.
 
    Z~teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr} singularitu,
    je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\to\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako
    \begin{equation}
      \phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}.
      \ll{rozphi}
    \end{equation}
    Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě \rf{rozphi}.
    Zvolíme tedy ansatz
    \begin{equation}
      \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi)
      \ll{hoansatz}
    \end{equation}
    a budeme se zajímat o~řešení rovnice
    \begin{equation}
      u'' = 2\xi u' + (1-\lambda)u
      \ll{hermrce}
    \end{equation}
    která v~nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.
 
    Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce} do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi$, $u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní
    funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady
    \begin{equation}
      u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\Z_+
      \ll{radau}
    \end{equation}
    Jejím dosazením do \rf{hermrce} a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$
    \[
      s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0
    \]
    \begin{equation}
      a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m
      \ll{rran}
    \end{equation}
 
    Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran} je nenulový pro všechna $m$, pak se řada \rf{radau} pro $\xi\rightarrow\infty$ chová jako $\exp(\xi^2)$ a řešení
    \rc e \rf{hobezr} není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule \rf{rran} pro dosti velká $m$ se stejným vztahem
    pro koeficienty řady $\exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrabilní řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada \rf{radau} je konečná, tj.~existuje $N$
    takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy  a jen tehdy, když
    \be a_1=0, \quad 2(N+s)+1-\lambda=0 , \quad N \text{ sudé nezáporné}. \ll{kvantlam} \ee
    V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce \rf{hoansatz} je kvadraticky integrabilní.
 
    Z~podmínky \rf{kvantlam} plyne, že \rc e \rf{hermrce} má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1}
    má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}.
 
    Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$
    \be H_n(\xi) = \sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol} \ee
    jež řeší rovnici \rf{hermrce} jsou pak určeny rekurentním vztahem
    \be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol} \ee
    přičemž pro sudá či lichá  $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$.
 
    Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace \rf{rrherpol} je
    \be h^{(n)}_{n-2k}=(-1)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,\lfloor n/2\rfloor, \ll{hercoef}\ee
  \end{proof}
\end{tvr}
 
\bc
  Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.
\ec
 
\bc
  Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
  \be H_n(z):=(-1)^ne^{z^2}\frac{\d^n}{\dz^n}e^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee
  Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2} splňuje rovnici \rf{hermrce}.
\ec
 
\bc
  \ll{cvvytvfce}
  Ukažte, že
  \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\{ x^2-(x-\xi)^2 \} \]
\ec
 
Důsledkem tvrzení \ref{slho} je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s~potenciálem
$V(x)=\frac{1}{2}M\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)~|~n\in \Z_+\}$.
 
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen
$\half\hbar\omega$, představující tzv.~\uv{nulové kmity}. Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě
s~tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie.
 
\bc
  Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky $1 \, \mathrm{m}$ a hmotnosti $1 \, \mathrm{kg}$.
\ec
 
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}. Z~rozkladu \rf{rozkladH} je zřejmé, že funkce
\begin{equation} \psi_{n_1,n_2,n_3}(x_1,x_2,x_3) \equiv \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci} \end{equation}
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}, jsou vlastními \fc emi \oper u \rf{lho3} s~vlastními čísly
$$
E_N=E_{n_1}+E_{n_2}+E_{n_3}=\left(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2}\right)\hbar \omega = \left(N +\frac{3}{2}\right)\hbar \omega,\ N =  n_1+n_2+n_3 .
$$
 
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např.~\cite[4.3.4, 4.3.5]{beh:lokf}).
\bt
  \ll{tr38}
  Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}
  \begin{equation}
    \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}x^2}H_n\left( \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x\right) , \quad K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
    \ll{nvlfcelho}
  \end{equation}
  je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline.
\et
 
\bt
  \ll{tr39}
  Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}, kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho} je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky
  integrovatelných funkcí \qintspace.
\et
%Pro \fc e \rf{nvlfcelho} a \rf{rozkladvlfci} se často používá ketové značení $\psi_n\equiv \ket{n}$,
%$\psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3} \equiv \ket{n_1n_2n_3}$.
 
Z~tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1} a \rf{lho3} jsou čistě bodová (\cite[7.3.9]{beh:lokf}).
Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1} --- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru --- se
liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $\half\hbar\omega$. Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na
multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním číslem $E_{N=2}=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí
\rf{rozkladvlfci}, kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto
podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním
číslem $E_N=(N+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $\frac{(N+1)(N+2)}{2}$.
 
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.
\bc
  Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?
\ec
 
\bc
  Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
  \[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\dx=2^n n!\sqrt\pi\delta_{nm}. \]
  Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í \rf{nvlfcelho}.
\ec
 
 
 
 
\section{Složky momentu hybnosti kvantové částice}
\ll{Slmomhyb}
 
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l = -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\pd}{\pd x_l}. \ll{momhyb} \ee
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\varphi)$
\be x=r\sin \theta \cos\varphi, \quad y=r\sin \theta \sin\varphi, \quad z=r\cos \theta \ll{sfersource} \ee
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\varphi) \ll{fcevess} \ee
 
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec
 
Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar
\begin{eqnarray}
  \hat L_x &=& i\hbar \left( \cos\varphi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\varphi}+\sin\varphi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{lx} \\
  \hat L_y &=& i\hbar \left( \sin\varphi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\varphi}-\cos\varphi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{ly} \\
  \hat L_z &=& -i\hbar \frac{\pd}{\pd\varphi}. \ll{lz}
\end{eqnarray}
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $\hat L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší
však je hledat spektrum operátoru $\hat L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici
\be -ih \frac{\pd}{\pd\varphi}\Psi(r,\theta,\varphi) = \mu\Psi(r,\theta,\varphi). \ee
Její řešení je
\be
  \Psi(r,\theta,\varphi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\mu\varphi},
\ee
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\mu$ je libovolné komplexní číslo. Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen spojitými funkcemi
v~$\R^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\varphi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. Musí tedy platit
\[ \Psi(r,\theta,\varphi=0) = \Psi(r,\theta,\varphi=2\pi). \]
Z~této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot}
\be \mu =  m\hbar, \qquad \mathrm{kde} \ m\in\Z. \ee
 
\bc
  \uv{Kvantové tuhé těleso} (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
\ec