02KVAN:Kapitola4: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m
Řádka 81: Řádka 81:
 
postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna
 
postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna
 
\be
 
\be
   \fbox{{\LARGE $W_{\psi\rightarrow\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .
+
   \fbox{{\LARGE $W_{\psi\to\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .
 
   \ll{pstprech}
 
   \ll{pstprech}
 
\ee
 
\ee
Veličina $A_{\psi\lim\alpha} := (\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\lim\alpha$}.
+
Veličina $A_{\psi\to\alpha} := (\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\to\alpha$}.
  
 
\bc
 
\bc

Verze z 11. 9. 2011, 11:26

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Výsledky měření}
\ll{Vysledkymereni}
 
Otázka, na kterou odpovíme v~této kapitole, zní: \textbf{Jaké hodnoty fyzikálních veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném 
funkcí $g$?}
 
Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v~sekci \ref{pozorovatelne}. V~principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která leží 
ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však je, která z~nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na druhou 
otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme pouze statistickou předpověď.
 
V~minulých kapitolách jsme provedli popis stavů kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že jsme schopni v~daném čase určit 
hodnoty všech pozorovatelných jako v~klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím 
ty, které jsme použili k~popisu stavu. V~minulé kapitole to byly například energie, kvadrát momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem 
nedává žádnou informaci například o~hybnosti kvantové částice, ba dokonce ani o~první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další 
fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o~daném stavu máme, je \emph{pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice. O~něm nás 
informuje Bornův postulát.
 
Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}:
\be
  \mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vec x)d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vec x)|^2d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vec x)|^2d^3x}.
  \ll{xbar}
\ee
 
\bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. \ec
 
 
 
 
\subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti přechodu}
 
Pokud \qv á mechanika má být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak pro systém v~daném stavu musí být schopna předpovědět výsledek měření nejen 
okamžité souřadnice částice, ale i ostatních fyzikálních veličin. Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední hodnotu 
libovolné pozorovatelné v~daném stavu, a potom i předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení.
 
Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem 
\be
  \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)x_j\psi(\vec x)d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)[\hat Q_j\psi](\vec x)d^3x = (\psi,\hat X_j\psi),
  \ll{psixpsi}
\ee
takže
\be \mean{\hat X_j}{\psi} = \frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}. \ll{xavr} \ee
Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít  poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a je proto přirozené 
očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Experimenty tuto hypotézu plně 
potvrzují a skutečně platí že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření 
pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je}
\be
  \fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)}$}} \ .
  \ll{aavr}
\ee
Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na $\mean{\hat A}{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$.
 
\bc
  Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální 
  vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$.
\ec
\bc
  Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti 
  (elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s).
\ec
\bc
  Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}.
\ec
 
Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních 
pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vlnová \fc e $\alpha$ je vlastní \fc í 
$\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$.
 
Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější informaci o~výsledku měření pro částici v~daném stavu. Podle Bornova postulátu
jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v~jistém intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i pro ostatní 
pozorovatelné.
 
Vzhledem k~tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat objekty na atomární a nižší úrovni, je rozumné předpokládat, že měření 
provedené na takovýchto objektech podstatným způsobem změní jejich stav. Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že \textbf{měření pozorovatelné 
$A$, které dá hodnotu $a$, převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$.}
 
Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn.~vlastní funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu, 
kterou zvolíme tak, aby $(\alpha,\alpha) = 1$. Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $a$ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í 
$\psi$, stačí budeme-li znát \textbf{pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z~původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika
postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna
\be
  \fbox{{\LARGE $W_{\psi\to\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .
  \ll{pstprech}
\ee
Veličina $A_{\psi\to\alpha} := (\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\to\alpha$}.
 
\bc
  Nechť \uv{jednorozměrná} částice v~potenciálu harmonického oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
  \be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee
  S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?
\ec
 
Výraz \rf{pstprech} je možno použít i k~určení \pst i naměření hodnoty $a$ pozorovatelné $A$, jejíž vlastní podprostor má více rozměrů. Pokud 
množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální bazí v~prostoru vlastních stavů operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$, pak \textbf{pro \cc i ve 
stavu $\psi$ je \pst, že při měření pozorovatelné $A$ dostaneme hodnotu $a$, součtem pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů 
$\alpha_k$}, tj.
\be
   \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A=a)} = \sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .
  \ll{pstnamer}
\ee
Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní \pst i \rf{pstprech} a \rf{pstnamer}, což je ve shodě s~předpokladem, že 
vlnové funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž fyzikální stav.
 
\bc
  Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
  \be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\Theta+\cos\Theta )g(r)\ee
  Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?
\ec
\bc
  Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
  \be \psi(x) = C e^{-\vec x^2 + i\vec k\vec x}. \ll{cvic3}\ee
  S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$?
\ec
 
Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření 
alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám. 
Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy, když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot.
 
Jsou-li body spektra (tj.~hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni experimentálně rozlišit, v~intervalu $(x,y)$, což se stává 
zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění vzorce \rf{pstnamer} na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty pozorovatelné $A$ v~intervalu 
$(x,y)$
\be
  \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^yda|(\alpha_a,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}}\ ,
  \ll{pstnamersp}
\ee
kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k~$\delta$-funkci. Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu, neboť 
v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit 
$\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti
\be \phi_{\vec p}(\vec x) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vec x \right\}. \ee
Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e.
 
\bc
  Určete  pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete 
  hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$.
\ec
 
Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$ existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k~jedničce či 
$\delta$-funkci. Obecnější případ zatím řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{} 
naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů
\be
  W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))} 
    = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}
    + \int_{k_1}^{k_2}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi})\right],
\ee
kde $k_i=\sqrt{2ME_i/\hbar^2}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce, 
resp.~k~$\delta$-funkci.
 
 
 
 
\subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}
\ll{relneu}
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}. 
V~\qv é \mi ce je definována způsobem
\be \Delta_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee
Je snadné ukázat, že
\be [\Delta_{\psi}(A)]^2 = \mean{(\widehat{\Delta_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee
kde $\widehat{\Delta_\psi A}$ je lineární  operátor
\be \widehat{\Delta_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee
a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$.
 
\bc
  Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.
\ec
\bc
  \ll{dpx}
  Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}. 
  Ukažte, že pro tento stav platí
  \be \Delta_{\psi}(X_{\underline k})\Delta_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee
\ec
 
Vztah \rf{dxdp} je zvláštním případem tvrzení, kterému se obvykle, říká \emph{relace neurčitosti}.
 
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí
\be  \Delta_{\psi}(A)\Delta_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|
\ll{dadb}\ee
 
Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které
platí
\be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee
kde $\kappa\in\R$.
\et
 
Pro operátory \rf{xoper}, \rf{poper} platí
\be [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp} \ee
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti
\be
  \fbox{{\LARGE$\Delta_{\psi}(X_j)\Delta_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .
  \ll{dxdp2}
\ee
 
\bc
  Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními 
  jsou funkce %(\rf{mvb})
  \[ g(\vec x) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\vec x \right\}, \qquad A>0, \]
  které jsme nazvali minimální vlnové balíky.
\ec
 
Z~relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou 
přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou 
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu
\[ \Delta x\Delta p_x\Delta y\Delta p_y\Delta z\Delta p_z \geq \hbar^3/8. \]
 
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg, 
jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou 
menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost.
 
V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než 
lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné 
s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.