\section{Popis stavů kvantové částice}\ll{Popisstavu}

{\small Stav klasického systému v daném okamžiku je určen hodnotou

rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}

\special{src: 17 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel

Více či méně zevrubné poučení o Hilbertových prostorech je možno

najít v mnoha učebnicích (viz např. \cite{beh:lokf} a citace tam

uvedené). Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme

používat v této přednášce.

Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$ nazveme {\em

symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí

\be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2}\ee

\bc Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen

tehdy, když $F(f,f)\in \real$.

\ll{symfor}\ec

Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$ nazveme {\em

pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí

\be F(f,f)\geq 0.\ee

\be F(f,f)=0\Leftrightarrow f=0, \ee

\special{src: 142 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel

$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v \rf{possesq}), pak dostaneme

nerovnost \rf{schwartz}). Druhou část tvrzení dokážeme takto:

Nechť platí první rovnost v \rf{schwrovn}).

\[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]

pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s \rf{schwartz})

$|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost platí,

pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v \rf{schwrovn}).

\bd Sesquilineární striktně pozitivní forma

{\em unitární} nebo též {\em pre--hilbertův}.

\special{src: 166 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel

Ze cvičení \ref{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwartzovy nerovnosti je snadné ukázat, že

indukuje na prostoru $V$ normu $||f||:=\sqrt{(f,f)}$

a metriku $\rho(f,g):=||f-g||$

\special{src: 172 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel

\bd Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá

{\em Hilbertův}.

\special{src: 180 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel

Sesquilineární forma \rf{ss}) na prostoru kvadraticky integrabilních

obvykle \qintrn, na kterém pak \rf{ss}) definuje

\\{\bf Příklad:} Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na

Můžeme tedy shrnout, že  {\bf %fyzikálně interpretovatelná řešení

funkce \rf{konecnanormag}) popisující stavy kvantové částice

  $\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv. "bra--ketového formalismu",

který je v \qv é \mi ce často používán.

\vskip 1cm Důležitým pojmem v teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv. ortonormální

(často ne zcela správně nazývaná ortonormální baze). {\small \bd Vektory $x,y$ v Hilbertově

prostoru $\hil$ nazveme {\em ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme

{\em ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z

množiny $M$ platí $||x||=1$ nazveme ji {\em ortonormální} \ed \bd Vektor $x\in \hil$ nazveme {\em

ortogonální k množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů

nazýváme {\em ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$. \ed Je snadné ukázat, že

lineárního operátoru $E_{\cal G}:x\lim y$, který se nazývá {\em ortogonální projektor} na ${\cal G}$.

\bd {\em Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový

Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v obvyklém

ortonormální baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ ||f||:=(f,f)$. \\{\bf Příklad:}

Nechť $(a,b)$ je omezený interval v $\real,\ c:=b-a,\ m\in \integer$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi

imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v prostoru tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$.

\bd Nechť $B$ je ortonormální baze v Hilbertově prostoru $\hil$. {\em Fourierovými koeficienty vektoru}

$f\in\hil$ {\em pro bazi $B$} nazveme skalární součiny (b,f), kde $b\in B$. \ed

Hilbertovy prostory, se kterými v \qv é \mi ce pracujeme

Tyto vztahy se nazývají {\em Fourierův rozvoj} a {\em Parsevalova

\bc Najděte ortonormální bazi  v $\complex^2$, jejíž prvky jsou

Příklady ortonormálních bazí v nekonečně rozměrných Hilbertových

prostorech ukážeme v dalších kapitolách.

fyzikální veličiny -- {\em pozorovatelné} %-- v klasické mechanice je pak možno

pro systém v daném stavu dostaneme

vyhodnocením příslušné funkce v odpovídajícím

{Tento popis je nezávislý na dynamice} tj. na časovém vývoji systému

tak názorný, že se mu v klasické mechanice nevěnuje téměř žádná

těchže kinematických pojmů v kvantové mechanice.

Otázka, na kterou chceme odpovědět v tomto paragrafu zní:

{Jaké matematické objekty přiřadíme v \qv é \mi ce

{Jak bylo konstatováno v minulém paragrafu, { stavový prostor

Místo toho {\bf kvantová %mechanika

V kvantové mechanice hmotné částice je {\bf kartézským složkám polohy částice

a {\bf kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální

facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna})

přiřazení \rf{xoper},\ref{poper}).

\rf{xoper},\ref{poper}).

konstruovány podle {\em principu korespondence}, tzn. jsou

odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v klasickém

operátor celkové energie částice v silovém poli potenciálu $V$ je

Vzhledem k tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor,

definovány a jejich výsledek ležel v \qintspace {}

{\bf spektrum lineárního operátoru přiřazeného

Problémů s definičními obory operátorů se v tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v následující vsuvce.

\bc\ll{nekpoja} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě", tj. v potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.

\bc Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní  potenciálové jámě tj. v potenciálu $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.

\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v Hilbertově

Teorie operátorů v Hilbertově prostoru je téma

Pod lineárním operátorem v Hilbertově prostoru $\hil$ budeme

{\em hustě definované}

operátory, tj. takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, kde pruh

\bd Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je {\em omezený},

nazveme {\em sdruženým k} $\hat B$, pokud pro všechna $f,g\in\hil$

Z Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k danému omezenému

\bd Operátor $\hat B$ na $\hil$ nazýváme {\em hermitovský}, pokud je

každé $f\in\hil$ existuje {\em nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové,

operátoru $\hat T^\dagger $ {\em sdruženého k} $\hat T$ je množina všech

$f\in\hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}), přičemž $\hat T^\dagger f:=h$

\bd Operátor $\hat T$ je {\em samosdružený}, pokud je hustě

\bd Operátor $\hat S$ je {\em symetrický}, pokud je hustě

Doplníme-li definici \rf{poper}) operátoru $\hat P_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené (viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).

\rf{algop}) musí být proto pro neomezené operátory

náležitě modifikovány, stejně jako i \rf{invol}).

%definovat pouze pro tzv. uzavřené operátory.

%\bd {\em Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic

%Operátor $\hat T$ je {\em uzavřený},

%pokud jeho graf je uzavřená množina v $\hil\times\hil$.

{\em Spektrum $\sigma(\hat T)$ %uzavřeného

operátoru $\hat T$ nazýváme {\em bodovým spektrem}.

body tzv. {\em spojité či  reziduální části spektra}.

{\bf Důvod, proč v kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly

přiřazeny samosdružené operátory tkví v tom, že platí

Spektrum (čistě spojité) každého z operátorů \rf{xoper},\ref{poper})

je {\bf R}

%je možno v principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a

zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v silovém poli harmonického oscilátoru.

\rf{xoper},\ref{poper}) a princip korespondence  vysvětlují

\qv é částice pohybující se v silovém poli harmonického

%splňující podmínku \rf{konecnanorma}),

, tj. čísel $\lambda$ pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$

Operátor \rf{lho3}) je součtem tří operátorů \[\hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3,\]

vlastní funkce operátoru \rf{lho3}) ve faktorizovaném tvaru \be \psi(\vec

x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi}\ee Rovnice \rf{vlfce}) pak přejde na tvar \be (\hat

čísla operátoru \rf{lho3}) \be \lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \ee Později ukážeme, že tímto postupem

%Spektrum tohoto operátoru vyšetříme v . Nyní se omezíme na

jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj. kvantové \cc e

pohybující se pouze v jednom rozměru (na přímce).

\begin{tvr} Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1})

působícího v prostoru %$\cal L^2(\bf R,dx)$

kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou {\em Hermitovy

%Bodové spektrum operátoru \rf{lho1}) je tvořeno

Tato rovnice je lineární ODR 2.řádu a v oboru spojitě

Přechodem k nové (bezrozměrné) proměnné

\be \phi"-\xi^2\phi+\Lambda\phi=0 \ll{hobezr}\ee

bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr}) singularitu,

ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v exponentě

\rf{rozphi}). Zvolíme tedy ansatz

\be u"=2\xi u' +(1-\Lambda)u \ll{hermrce}\ee

která v nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.

Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce}) do

a $u'$ a její řešení je holomorfní funkcí $\xi$ v celé komplexní

Jejím dosazením do \rf{hermrce}) a porovnáním členů se stejnou

Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran}) je nenulový pro všechna

$m$, pak se řada \rf{radau}) pro $\xi\lim\infty$ chová jako

$exp(\xi^2)$ a řešení \rc e \rf{hobezr}) není kvadraticky

existovat pouze tehdy, pokud řada (\ref{radau}) je konečná, tj. existuje $N$ takové, že $a_m=0$ pro

\be a_1=0, \ 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \ N \ \mathrm{ sude \ nezaporne}.\ll{kvantlam} \ee

\rf{hoansatz}) je kvadraticky integrovatelná.

Z podmínky \rf{kvantlam}) plyne, že \rc e \rf{hermrce}) má

$ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1}) má kvadraticky

integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}).

jež řeší rovnici \rf{hermrce}) jsou pak určeny rekurentní relací

přičemž pro sudá či lichá  $n$ (tj. $s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se

řešením relace \rf{rrherpol}) je

%Polynomy \rf{herpol}) se nazývají{\em Hermitovy}.

Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2}) splňuje rovnici

\rf{hermrce}).

Důsledkem tvrzení \rf{slho}) je, že

\  $n\in {\bf Z_+}\}$.

tělesa až na člen $\half\hbar\omega$, představující tzv. "nulové

kmity". Jeho příspěvek k energii je možno považovat za aditivní

konstantu, kterou (ve shodě s tzv. renormalizační procedurou

Nyní se můžeme vrátit k původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}). Z rozkladu \rf{rozkladH})

\ll{rozkladvlfci}\ee kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}), jsou vlastními \fc emi \oper u

\rf{lho3}) s vlastními čísly $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.

Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1})

je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky

Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}),

kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho})

je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky

Z tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1}) a

\rf{lho3}) jsou čistě bodová (\cite{beh:lokf} 7.3.9). Nejsou však stejná.

Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1}) -- operátoru energie

funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem

\rf{rozkladvlfci}), kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot

funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem

Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá {\em základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají {\em excitované}.

Vzhledem k tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i

kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. %Vzhledem k tomu že

spojitými funkcemi v $\real^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a

%předpokládáme, že vlnová funkce je v prostoru spojitá,

Z této podmínky plyne, {\em že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti

\bc "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie.

měření, která jsme na daném systému v daném okamžiku schopni

otázka, kterou  chceme zodpovědět v této podkapitole zní:

{\bf Jakou vlnovou %počáteční

elektronu v atomu vodíku), {\bf který je v daném okamžiku v

To je v souladu s následujícím postulátem \qv é \mi ky:

{\bf Stav \qv é částice, pro kterou naměříme %-li pro kvantový systém

bodě $x$ ? Spočítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,...$ a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě.

%kterou lze určit z normovací podmínky analogické \rf{k}) ).

%vlastní funkce operátoru \rf{lho1} tvoří jednorozměrný podprostor

% k stavu -- bodu fázového prostoru nestačí).

Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v jakém měření

%měřitelným veličinám jsou v \qv é mechanice

%Jak bylo konstatováno v paragrafu ref{pozorovatelne},  na \qv ém %systému

Pro {\em experimentální popis} stavu \qv ého systému

je toto splněno nazýváme {\em kompatibilní}.

provedené v jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů)

lze pak použít k definici stavu.

že {\bf operátory $\hat A_j$ přiřazené

přiřadíme \oper y \rf{xoper}) a \rf{poper}), pak docházíme k

závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v jednom směru jsou

\begin{equation}{\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k]=i\hbar\delta_{jk}. $}}

\ll{xpcom}\ee

To je mimo jiné důvod, proč v \qv é mechanice

\bc Jsou kompatibilní složky polohy v různých směrech?

\bc Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v různých směrech?

Příkladem jsou například \fc e \rf{rozkladvlfci}), které jsou

vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3}) pro tutéž

použili k částečnému určení (k zúžení prostoru kandidátů na) vlnové

Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj. souboru výsledků

{\bf Vlnová  funkce, která popisuje stav určený hodnotami

měření {\em kompatibilních} fyzikálních veličin

Znamená to tedy, že musí být {\em společnou} vlastní funkcí {\em komutujících} operátorů

{\em úplná množina pozorovatelných} a jim odpovídající množina operátorů se nazývá {\em úplný soubor

společných vlastních stavů roven jedné. \et Důkaz je proveden v \cite{beh:lokf} (14.2.2).

pro popis stavu kvantové \cc e v poli centrálních sil je energie,

\begin{cvi} Spočítejte komutátory

\be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\

\ll{loper1}\ee

\be \hat L_j:=\epsilon_{jkl}\hat Q_k\hat P_l. \ll{loper}\ee

\begin{cvi} Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}),

\be \hat L^2:=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2. \ll{lkvad}\ee

\special{src: 1183 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel

Pro kvantově mechanický popis %\cc e v centrálním poli je nutno napřed

hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.

\special{src: 1189 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel

Pro výpočet vlastních hodnot

je vhodné přejít do sférických souřadnic. %, neboť pak lze %tyto operátory zapsat ve tvaru

Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar

\be \hat L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\ll{lzsfer}\ee

\be \hat L^2=

-\hbar^2[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+

\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}

(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})]

\ll{lkvadsfer}\ee

\be \hat H = - \frac{\hbar^2}{2M}\left[(\frac{\partial^2}{\partial r^2}

+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}

\left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+

\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}

(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})

\right)\right] +\hat V(r)

\ll{hsfer}\ee

%\be \hat H= \hat H_r + \frac{1}{r^2}\hat L^2 \ee

\bc S použitím vzorců \rf{lx}) -- \rf{lz}) ukažte, že operátor

$\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}).

\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}). \ec

Rovnice \rf{pdrl2}) přejde faktorizací \rf{vlfcelz}) na obyčejnou diferenciální rovnici \be

\frac{d}{dt}[(1-t^2)\frac{dF}{dt}]+(\frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2})F=0, \ll{odrl2}\ee kde

=2\pi\int_0^\infty\int_{-1}^1|F(r,t)|^2r^2 drdt<\infty. \ll{kvadintss}\ee Definiční obor operátoru $\hat

\special{src: 1260 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel

Řešení rovnice \rf{odrl2}) je poměrně pracné (viz např. \cite{for:ukt},

str. 70--72). Dá se vyjádřit způsobem

kde $U$ je \fc e na intervalu $<0,1>$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i

\be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x)+(a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x)+cU(r,x)=0, \ll{gauss}\ee

\[ x=(t+1)/2,\ a=-1-|m|,\ b=2(1+|m|),\ c=|m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}.\]

\be U(r,x)=R_1(r)U_1(x)+R_2(r)U_2(x),

\ee

kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv. hypergeometrických funkcí.

Pro obecné $\lambda$ a $m$ však tato řešení

nejsou konečná v okolí koncových bodů intervalu $<0,1>$.

Podmínku konečnosti funkce $F$

lze splnit pouze když $U$ je polynom v $x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky

\be \lambda=l(l+1)\hbar^2,\ l\in\integer_+,\ \ m\in\integer,\ |m|\leq

l.\ee

Řešení rovnice \rf{odrl2}) v tomto případě má tvar

\be F(r,t)=R(r)P_l^m(t), \ll{fakf}\ee

\be P_l^m(t):=\frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}

(t^2-1)^l. \ll{plmt}\ee

\bc Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta):=P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v $\sin\theta$ a $\cos\theta$.

\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi):=C_{lm}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi} $}\ ,\ll{ylm}\ee

které jsou řešením \rf{pdrl2}) a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s vlastními čísly

$\lambda=l(l+1)\hbar^2,\ \mu=m\hbar$ se nazývají {\em kulové funkce}.

{\bf Množina  všech kulových funkcí

\[ \{ Y_{lm},\ l\in\integer_+,\ \ m\in\integer,\ |m|\leq