02KVAN:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02KVAN} | %\wikiskriptum{02KVAN} | ||
− | \section{Popis stavů kvantové částice}\ll{Popisstavu} | + | \section{Popis stavů kvantové částice} |
+ | \ll{Popisstavu} | ||
+ | |||
+ | \sv a \rc e má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního | ||
+ | systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic, | ||
+ | \sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a | ||
+ | \qv é mechanice. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\subsection{Stavový prostor} | \subsection{Stavový prostor} | ||
− | { | + | \ll{stavprost} |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | {\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných |
+ | bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.} | ||
+ | |||
+ | \sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno | ||
+ | volbou počáteční podmínky $\psi (\vec{x},t=t_0)= g(\vec{x})$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e (\rf{sr}) popisuje | ||
+ | časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří | ||
+ | proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{stavová či vlnová funkce částice}. | ||
+ | |||
+ | Bornova interpretace řešení \sv y \rc e klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka (\rf{konecnanorma}) platí pro libovolný čas | ||
+ | $t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vec x)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vec x\equiv (x,y,z)$) | ||
+ | \be \int_{\R^3} |g(\vec x)|^2 d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee | ||
+ | Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $d^3x$). Mimo to funkce $g$ a $Cg$, kde $C$ je libovolné | ||
+ | komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e. | ||
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí | ||
+ | \be g(x,y,z)=Ae^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_0}, \ll{zsv} \ee | ||
+ | kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}. | ||
+ | \ll{ex:pstvodat} | ||
+ | \ec | ||
+ | |||
+ | Díky Minkowského nerovnosti | ||
+ | \[ | ||
+ | \left( \int_{\real^3}|f+g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} | ||
+ | \leq \left( \int_{\real^3}|f|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\real^3}|g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2}, | ||
+ | \] | ||
+ | jež platí pro funkce splňující (\rf{konecnanormag}), tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{ | ||
+ | princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$, | ||
+ | $\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.} | ||
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení (\rf{ex:vlnbal}) kvadraticky integrovatelná? | ||
+ | \ll{ex:hilbspvb} | ||
+ | \ec | ||
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | Leží \db ova vlna (\rf{dbvlna}) ve výše uvedeném prostoru? | ||
+ | \ec | ||
+ | |||
+ | Na lineárním vektorovém prostoru stavových funkcí splňujících podmínku (\rf{konecnanorma}) je možno zavést ještě bohatší matematickou | ||
+ | strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, | ||
+ | což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory} | \subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory} | ||
− | Více či méně zevrubné poučení o Hilbertových prostorech je možno | + | Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené). |
− | najít v mnoha učebnicích (viz např. \cite{beh:lokf} a citace tam | + | Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce. |
− | uvedené). Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme | + | |
− | používat v této přednášce. | + | |
{\small | {\small | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\bd | \bd | ||
− | + | \emph{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení | |
− | + | $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující | |
− | + | \[ | |
+ | F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\ | ||
+ | F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h), | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | F(af,g)=a^*F(f,g),\ F(f,ag)=aF(f,g), | ||
+ | \] | ||
+ | kde $a\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička znamená komplexní sdružení. | ||
\ed | \ed | ||
− | \ | + | |
− | + | \bp | |
− | \ll{ | + | Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem |
+ | \be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vec x)g_2(\vec x)d^Nx. \ll{ss} \ee | ||
+ | \ep | ||
+ | |||
\bd | \bd | ||
− | Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \ | + | Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \emph{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí |
− | + | \be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2} \ee | |
− | \be F( | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\ed | \ed | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | \bc |
+ | Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in \real$. | ||
+ | \ll{symfor} | ||
+ | \ec | ||
− | + | \bd | |
− | $F | + | Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \emph{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí |
− | + | \be F(f,f) \geq 0. \ee | |
− | + | Pokud navíc | |
− | + | \be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee | |
− | \ | + | pak tuto formu nazveme \emph{striktně pozitivní}. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | pak | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\ed | \ed | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | \bp Sesquilineární forma (\rf{ss}) je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep |
+ | |||
+ | \bt | ||
+ | Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost} | ||
+ | \be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee | ||
+ | Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že | ||
+ | \be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee | ||
+ | |||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$ | ||
+ | \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee | ||
+ | Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F(f,g)^*$ dostaneme (\rf{schwarz}). Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního | ||
+ | čísla plyne $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$). | ||
+ | |||
+ | Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v~(\rf{possesq}), pak | ||
+ | dostaneme nerovnost (\rf{schwarz}). Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~(\rf{schwrovn}). Z~nerovnosti | ||
+ | \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \] | ||
+ | pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~(\rf{schwarz}) dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost | ||
+ | platí, pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v~(\rf{schwrovn}). | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \et | ||
+ | } %konec prostředí \small | ||
+ | |||
+ | \bd | ||
+ | Sesquilineární striktně pozitivní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \emph{skalární součin}. Lineární | ||
+ | vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \emph{unitární} nebo též \emph{pre-hilbertův}. | ||
+ | \ed | ||
− | + | \bp | |
− | + | Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem | |
− | + | \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee | |
+ | \ep | ||
− | \ | + | Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru |
+ | $V$ normu $||f||:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=||f-g||$ | ||
− | \bd Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá | + | \bd |
− | + | Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \emph{Hilbertův}. | |
\ed | \ed | ||
− | |||
− | |||
− | \ | + | \bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem (\rf{sscn}) je Hilbertův. \ep |
{\small | {\small | ||
− | Sesquilineární forma \rf{ss}) na prostoru kvadraticky integrabilních | + | Sesquilineární forma (\rf{ss}) na prostoru kvadraticky integrabilních |
funkcí | funkcí | ||
není striktně pozitivní. | není striktně pozitivní. | ||
Řádka 189: | Řádka 150: | ||
"stejné", tzn. provedeme-li jistou faktorizaci (viz | "stejné", tzn. provedeme-li jistou faktorizaci (viz | ||
\cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný | \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný | ||
− | obvykle \qintrn, na kterém pak \rf{ss}) definuje | + | obvykle \qintrn, na kterém pak (\rf{ss}) definuje |
skalární součin. | skalární součin. | ||
V normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor | V normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor | ||
úplný, a tedy Hilbertův.% (viz \cite{beh:lokf}). | úplný, a tedy Hilbertův.% (viz \cite{beh:lokf}). | ||
}%small | }%small | ||
− | \\ | + | \\\textbf{Příklad:} Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na |
intervalu $(a,b)\subset\real$, kde $a$ i $b$ mohou být i | intervalu $(a,b)\subset\real$, kde $a$ i $b$ mohou být i | ||
$\pm\infty$ a | $\pm\infty$ a | ||
Řádka 205: | Řádka 166: | ||
kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami | kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami | ||
funkcí lišícími se na množině míry nula. | funkcí lišícími se na množině míry nula. | ||
− | Můžeme tedy shrnout, že | + | Můžeme tedy shrnout, že \textbf{%fyzikálně interpretovatelná řešení |
− | funkce \rf{konecnanormag}) popisující stavy kvantové částice | + | funkce (\rf{konecnanormag}) popisující stavy kvantové částice |
tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}. | tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}. | ||
\bt [Rieszovo lemma] Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak | \bt [Rieszovo lemma] Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak | ||
Řádka 216: | Řádka 177: | ||
je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce | je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce | ||
%Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální: | %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální: | ||
− | $\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv. "bra--ketového formalismu", | + | $\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv.~"bra--ketového formalismu", |
− | který je v \qv é \mi ce často používán. | + | který je v~\qv é \mi ce často používán. |
− | \vskip 1cm Důležitým pojmem v teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv. ortonormální | + | \vskip 1cm Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální |
baze. | baze. | ||
− | (často ne zcela správně nazývaná ortonormální baze). {\small \bd Vektory $x,y$ v Hilbertově | + | (často ne zcela správně nazývaná ortonormální baze). {\small \bd Vektory $x,y$ v~Hilbertově |
− | prostoru $\hil$ nazveme { | + | prostoru $\hil$ nazveme \emph{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme |
− | { | + | \emph{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z |
− | množiny $M$ platí $||x||=1$ nazveme ji { | + | množiny $M$ platí $||x||=1$ nazveme ji \emph{ortonormální} \ed \bd Vektor $x\in \hil$ nazveme {\em |
− | ortogonální k množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů | + | ortogonální k~množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů |
− | nazýváme { | + | nazýváme \emph{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$. \ed Je snadné ukázat, že |
ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$. \bt Je-li ${\cal G}$ uzavřený | ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$. \bt Je-li ${\cal G}$ uzavřený | ||
podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in{\cal G}$ a $z\in {\cal G}^\perp$, tak | podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in{\cal G}$ a $z\in {\cal G}^\perp$, tak | ||
že $x=y+z$, t.zn. $\hil={\cal G}\bigoplus{\cal G}^\perp$. \et Důsledkem tohoto tvrzení je existence | že $x=y+z$, t.zn. $\hil={\cal G}\bigoplus{\cal G}^\perp$. \et Důsledkem tohoto tvrzení je existence | ||
− | lineárního operátoru $E_{\cal G}:x\lim y$, který se nazývá | + | lineárního operátoru $E_{\cal G}:x\lim y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na ${\cal G}$. |
}%small | }%small | ||
− | \bd | + | \bd \emph{Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový |
prostor, $B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$. \ed | prostor, $B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$. \ed | ||
− | Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v obvyklém | + | Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v~obvyklém |
smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární kombinaci prvků baze. | smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární kombinaci prvků baze. | ||
Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako "nekonečnou lineární kombinaci" prvků | Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako "nekonečnou lineární kombinaci" prvků | ||
− | ortonormální baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ ||f||:=(f,f)$. \\ | + | ortonormální baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ ||f||:=(f,f)$. \\\textbf{Příklad:} |
− | Nechť $(a,b)$ je omezený interval v $\real,\ c:=b-a,\ m\in \integer$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi | + | Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\real,\ c:=b-a,\ m\in \integer$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi |
− | imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v prostoru tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$. | + | imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v~prostoru tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$. |
− | \bd Nechť $B$ je ortonormální baze v Hilbertově prostoru $\hil$. | + | \bd Nechť $B$ je ortonormální baze v~Hilbertově prostoru $\hil$. \emph{Fourierovými koeficienty vektoru} |
− | $f\in\hil$ | + | $f\in\hil$ \emph{pro bazi $B$} nazveme skalární součiny (b,f), kde $b\in B$. \ed |
\special{src: 272 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 272 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Hilbertovy prostory, se kterými v \qv é \mi ce pracujeme | + | Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme |
(například \qintspace), | (například \qintspace), | ||
%jsou seperabilní a pro ně platí, že | %jsou seperabilní a pro ně platí, že | ||
Řádka 253: | Řádka 214: | ||
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp}\ee | \be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp}\ee | ||
\be ||f||^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2 \ll{parseval}\ee | \be ||f||^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2 \ll{parseval}\ee | ||
− | Tyto vztahy se nazývají | + | Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova |
rovnost.} | rovnost.} | ||
Řádka 260: | Řádka 221: | ||
V kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze, | V kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze, | ||
jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. | jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. | ||
− | \bc Najděte ortonormální bazi v $\complex^2$, jejíž prvky jsou | + | \bc Najděte ortonormální bazi v~$\complex^2$, jejíž prvky jsou |
vlastními vektory matice | vlastními vektory matice | ||
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc} | \[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc} | ||
Řádka 268: | Řádka 229: | ||
\] | \] | ||
\ec | \ec | ||
− | Příklady ortonormálních bazí v nekonečně rozměrných Hilbertových | + | Příklady ortonormálních bazí v~nekonečně rozměrných Hilbertových |
− | prostorech ukážeme v dalších kapitolách. | + | prostorech ukážeme v~dalších kapitolách. |
%\input{pozorova.sub} | %\input{pozorova.sub} | ||
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}\ll{pozorovatelne} | \subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}\ll{pozorovatelne} | ||
Řádka 283: | Řádka 244: | ||
podle toho zda používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu | podle toho zda používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu | ||
formulaci) a | formulaci) a | ||
− | fyzikální veličiny -- | + | fyzikální veličiny -- \emph{pozorovatelné} %-- v~klasické mechanice je pak možno |
jsou definovány jako reálné funkce na fázovém prostoru. %Víme též, že t | jsou definovány jako reálné funkce na fázovém prostoru. %Víme též, že t | ||
%Tento popis %stavu soustavy hmotných bodů, | %Tento popis %stavu soustavy hmotných bodů, | ||
Řádka 289: | Řádka 250: | ||
Hodnotu každé mechanické veličiny | Hodnotu každé mechanické veličiny | ||
%můžeme vypočítat ze znalosti | %můžeme vypočítat ze znalosti | ||
− | pro systém v daném stavu dostaneme | + | pro systém v~daném stavu dostaneme |
− | vyhodnocením příslušné funkce v odpovídajícím | + | vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím |
bodu fázového prostoru. | bodu fázového prostoru. | ||
Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je | Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je | ||
Řádka 300: | Řádka 261: | ||
\special{src: 327 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 327 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | {Tento popis je nezávislý na dynamice} tj. na časovém vývoji systému | + | {Tento popis je nezávislý na dynamice} tj.~na časovém vývoji systému |
a je | a je | ||
− | tak názorný, že se mu v klasické mechanice nevěnuje téměř žádná | + | tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná |
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak | pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak | ||
podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis | podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis | ||
− | těchže kinematických pojmů v kvantové mechanice. | + | těchže kinematických pojmů v~kvantové mechanice. |
%Výše uvedená fakta lze pak shrnout např. tak, že stav | %Výše uvedená fakta lze pak shrnout např. tak, že stav | ||
%klasického mechanického systému lze popsat bodem | %klasického mechanického systému lze popsat bodem | ||
Řádka 316: | Řádka 277: | ||
\special{src: 343 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 343 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Otázka, na kterou chceme odpovědět v tomto paragrafu zní: | + | Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: |
%, je třeba napřed znát odpověď na druhou otázku: | %, je třeba napřed znát odpověď na druhou otázku: | ||
− | {Jaké matematické objekty přiřadíme v \qv é \mi ce | + | {Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce |
pozorovatelným?} | pozorovatelným?} | ||
− | {Jak bylo konstatováno v minulém paragrafu, { stavový prostor | + | {Jak bylo konstatováno v~minulém paragrafu, { stavový prostor |
kvantové částice} je %lineární prostor | kvantové částice} je %lineární prostor | ||
množina kvadraticky integrabilních funkcí | množina kvadraticky integrabilních funkcí | ||
Řádka 327: | Řádka 288: | ||
teorii pole, která se pro náš cíl -- popis objektů mikrosvěta -- | teorii pole, která se pro náš cíl -- popis objektů mikrosvěta -- | ||
ukázala neadekvátní.} | ukázala neadekvátní.} | ||
− | Místo toho | + | Místo toho \textbf{kvantová %mechanika |
teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené | teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené | ||
lineární operátory na %stavovém | lineární operátory na %stavovém | ||
Řádka 339: | Řádka 300: | ||
Pro sledování analogií s klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. | Pro sledování analogií s klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. | ||
− | V kvantové mechanice hmotné částice je | + | V kvantové mechanice hmotné částice je \textbf{kartézským složkám polohy částice |
přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou} | přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou} | ||
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$} | \be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$} | ||
\ll{xoper}\ee | \ll{xoper}\ee | ||
− | a | + | a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální |
derivace} | derivace} | ||
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial | \be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial | ||
Řádka 349: | Řádka 310: | ||
\ll{poper}\ee | \ll{poper}\ee | ||
Definici operátoru hybnosti už jsme de | Definici operátoru hybnosti už jsme de | ||
− | facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna}) | + | facto použili při odvozování \sv y \rc e (\rf{srvolna}) |
z \db ovy hypotézy. | z \db ovy hypotézy. | ||
Řádka 355: | Řádka 316: | ||
Existuje mnoho zdůvodnění %tohoto | Existuje mnoho zdůvodnění %tohoto | ||
− | přiřazení \rf{xoper},\ref{poper}). | + | přiřazení (\rf{xoper},\ref{poper}). |
%která zatím pomineme. Poznamenejme pouze, že v | %která zatím pomineme. Poznamenejme pouze, že v | ||
V každém z nich je však třeba vyslovit nějaké | V každém z nich je však třeba vyslovit nějaké | ||
předpoklady, které jsou více či méně ekvivalentní | předpoklady, které jsou více či méně ekvivalentní | ||
− | \rf{xoper},\ref{poper}). | + | (\rf{xoper},\ref{poper}). |
\special{src: 390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Řádka 365: | Řádka 326: | ||
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících | Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících | ||
klasickou analogii jsou | klasickou analogii jsou | ||
− | konstruovány podle | + | konstruovány podle \emph{principu korespondence}, tzn. jsou |
formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako | formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako | ||
− | odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v klasickém | + | odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém |
případě. Např. | případě. Např. | ||
− | operátor celkové energie částice v silovém poli potenciálu $V$ je | + | operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je |
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) = | \[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) = | ||
-\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \] | -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \] | ||
Řádka 378: | Řádka 339: | ||
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. | \bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. | ||
\ec | \ec | ||
− | Vzhledem k tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, | + | Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, |
důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich | důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich | ||
definičních oborů, což je obecně dosti delikátní problém. | definičních oborů, což je obecně dosti delikátní problém. | ||
Je samozřejmě nutné, aby příslušné | Je samozřejmě nutné, aby příslušné | ||
operace byly na funkcích z definičního oboru | operace byly na funkcích z definičního oboru | ||
− | definovány a jejich výsledek ležel v \qintspace {} | + | definovány a jejich výsledek ležel v~\qintspace {} |
(takže například funkce z definičního | (takže například funkce z definičního | ||
oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné | oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné | ||
Řádka 390: | Řádka 351: | ||
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že | požadavek kvantové \mi ky, totiž, že | ||
%Základní předpoklad pro \oper y odpovídající fyzikálním veličinám zní: | %Základní předpoklad pro \oper y odpovídající fyzikálním veličinám zní: | ||
− | + | \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného | |
fyzikální veličině musí být shodné s množinou hodnot, které lze | fyzikální veličině musí být shodné s množinou hodnot, které lze | ||
pro danou veličinu naměřit}.%, přičemž | pro danou veličinu naměřit}.%, přičemž | ||
Řádka 396: | Řádka 357: | ||
\special{src: 423 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 423 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Problémů s definičními obory operátorů se v tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v následující vsuvce. | + | Problémů s definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce. |
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např. na \cite{beh:lokf}. | Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např. na \cite{beh:lokf}. | ||
− | \bc\ll{nekpoja} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě", tj. v potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$. | + | \bc\ll{nekpoja} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě", tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$. |
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$. | \\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$. | ||
\ec | \ec | ||
− | \bc Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj. v potenciálu $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$. | + | \bc Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$. |
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \real$. | \\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \real$. | ||
\ec | \ec | ||
Řádka 407: | Řádka 368: | ||
\special{src: 434 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 434 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | \subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v Hilbertově | + | \subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově |
prostoru} | prostoru} | ||
− | Teorie operátorů v Hilbertově prostoru je téma | + | Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma |
samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat | samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat | ||
obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. Shrneme zde pouze | obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. Shrneme zde pouze | ||
Řádka 416: | Řádka 377: | ||
\special{src: 443 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 443 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Pod lineárním operátorem v Hilbertově prostoru $\hil$ budeme | + | Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\hil$ budeme |
rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde | rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde | ||
definiční obor $D_T$ je lineární podprostor $\hil$. | definiční obor $D_T$ je lineární podprostor $\hil$. | ||
Řádka 428: | Řádka 389: | ||
Některé z nich lze řešit, pokud budeme používat pouze | Některé z nich lze řešit, pokud budeme používat pouze | ||
%Budeme se zabývat výhradně tzv. | %Budeme se zabývat výhradně tzv. | ||
− | + | \emph{hustě definované} | |
− | operátory, tj. takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, kde pruh | + | operátory, tj.~takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, kde pruh |
značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou | značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou | ||
$\hil$ plynoucí ze skalárního součinu. | $\hil$ plynoucí ze skalárního součinu. | ||
Řádka 440: | Řádka 401: | ||
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako | Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako | ||
operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory. | operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory. | ||
− | \bd Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je | + | \bd Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je \emph{omezený}, |
pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí | pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí | ||
\[ ||\hat B g||\leq c||g|| \] | \[ ||\hat B g||\leq c||g|| \] | ||
Řádka 461: | Řádka 422: | ||
\bd | \bd | ||
Nechť $\hat B$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat B^\dagger $ | Nechť $\hat B$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat B^\dagger $ | ||
− | nazveme | + | nazveme \emph{sdruženým k} $\hat B$, pokud pro všechna $f,g\in\hil$ |
\[ (f,\hat Bg)=(\hat B^\dagger f,g) \] | \[ (f,\hat Bg)=(\hat B^\dagger f,g) \] | ||
\ed | \ed | ||
− | Z Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k danému omezenému | + | Z Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému |
operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí | operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí | ||
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol}\ee | \be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol}\ee | ||
Řádka 475: | Řádka 436: | ||
odpovídá operátoru $\hat M^\dagger$? | odpovídá operátoru $\hat M^\dagger$? | ||
\ec | \ec | ||
− | \bd Operátor $\hat B$ na $\hil$ nazýváme | + | \bd Operátor $\hat B$ na $\hil$ nazýváme \emph{hermitovský}, pokud je |
omezený a platí $\hat B^\dagger =\hat B$. | omezený a platí $\hat B^\dagger =\hat B$. | ||
\ed | \ed | ||
Řádka 496: | Řádka 457: | ||
\bt Je-li $\hat T$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro | \bt Je-li $\hat T$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro | ||
− | každé $f\in\hil$ existuje | + | každé $f\in\hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové, |
že pro všechna $g\in D_T$ platí | že pro všechna $g\in D_T$ platí | ||
\be (f,\hat Tg)=(h,g) \ll{sad1}\ee | \be (f,\hat Tg)=(h,g) \ll{sad1}\ee | ||
Řádka 502: | Řádka 463: | ||
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy: | Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy: | ||
\bd Nechť $\hat T$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor | \bd Nechť $\hat T$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor | ||
− | operátoru $\hat T^\dagger $ | + | operátoru $\hat T^\dagger $ \emph{sdruženého k} $\hat T$ je množina všech |
− | $f\in\hil$, pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}), přičemž $\hat T^\dagger f:=h$ | + | $f\in\hil$, pro které existuje $h$ splňující (\rf{sad1}), přičemž $\hat T^\dagger f:=h$ |
\ed | \ed | ||
− | \bd Operátor $\hat T$ je | + | \bd Operátor $\hat T$ je \emph{samosdružený}, pokud je hustě |
definovaný a $\hat T=\hat T^\dagger $. | definovaný a $\hat T=\hat T^\dagger $. | ||
\ed | \ed | ||
Řádka 515: | Řádka 476: | ||
\special{src: 542 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 542 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | \bd Operátor $\hat S$ je | + | \bd Operátor $\hat S$ je \emph{symetrický}, pokud je hustě |
definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat Sg)=(\hat Sf,g) $, tj. | definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat Sg)=(\hat Sf,g) $, tj. | ||
$D_S\subset D_{S^\dagger}$. | $D_S\subset D_{S^\dagger}$. | ||
Řádka 530: | Řádka 491: | ||
\special{src: 557 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 557 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Doplníme-li definici \rf{poper}) operátoru $\hat P_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené (viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7). | + | Doplníme-li definici (\rf{poper}) operátoru $\hat P_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené (viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7). |
\special{src: 561 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 561 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Řádka 536: | Řádka 497: | ||
Hustě definované operátory | Hustě definované operátory | ||
netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy | netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy | ||
− | \rf{algop}) musí být proto pro neomezené operátory | + | (\rf{algop}) musí být proto pro neomezené operátory |
− | náležitě modifikovány, stejně jako i \rf{invol}). | + | náležitě modifikovány, stejně jako i (\rf{invol}). |
\special{src: 568 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 568 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Řádka 545: | Řádka 506: | ||
pojmu vlastních hodnot matice. | pojmu vlastních hodnot matice. | ||
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně | %Tento pojem má smysl %lze přirozeně | ||
− | %definovat pouze pro tzv. uzavřené operátory. | + | %definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory. |
− | %\bd | + | %\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic |
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \] | %\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \] | ||
− | %Operátor $\hat T$ je | + | %Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený}, |
− | %pokud jeho graf je uzavřená množina v $\hil\times\hil$. | + | %pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\hil\times\hil$. |
%\ed | %\ed | ||
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří | %Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří | ||
%celá komplexní rovina. | %celá komplexní rovina. | ||
\bd | \bd | ||
− | + | \emph{Spektrum $\sigma(\hat T)$ %uzavřeného | |
operátoru} $\hat T$ je množina | operátoru} $\hat T$ je množina | ||
komplexních čísel $\lambda $ pro které operátor $(\hat | komplexních čísel $\lambda $ pro které operátor $(\hat | ||
Řádka 566: | Řádka 527: | ||
takový, že $\hat T\psi=\lambda \psi$, pak operátor $\hat | takový, že $\hat T\psi=\lambda \psi$, pak operátor $\hat | ||
T-\lambda\hat\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat T)$ vlastních čísel | T-\lambda\hat\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat T)$ vlastních čísel | ||
− | operátoru $\hat T$ nazýváme | + | operátoru $\hat T$ nazýváme \emph{bodovým spektrem}. |
Mimo těchto bodů však do spektra | Mimo těchto bodů však do spektra | ||
patří i komplexní čísla pro která operátor $\hat T - \lambda\hat\unit | patří i komplexní čísla pro která operátor $\hat T - \lambda\hat\unit | ||
$ | $ | ||
není surjektivní. Ty tvoří | není surjektivní. Ty tvoří | ||
− | body tzv. | + | body tzv.~\emph{spojité či reziduální části spektra}. |
− | + | \textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly | |
− | přiřazeny samosdružené operátory tkví v tom, že platí | + | přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí |
\bt | \bt | ||
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\real$. | Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\real$. | ||
Řádka 584: | Řádka 545: | ||
\special{src: 612 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 612 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Spektrum (čistě spojité) každého z operátorů \rf{xoper},\ref{poper}) | + | Spektrum (čistě spojité) každého z operátorů (\rf{xoper},\ref{poper}) |
− | je | + | je \textbf{R} |
(viz \cite{beh:lokf}), | (viz \cite{beh:lokf}), | ||
což odpovídá experimentálnímu faktu, že ani pro \qv ou částici | což odpovídá experimentálnímu faktu, že ani pro \qv ou částici | ||
− | %je možno v principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a | + | %je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a |
%hybnosti částice. | %hybnosti částice. | ||
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. | nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. | ||
Řádka 596: | Řádka 557: | ||
Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle | Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle | ||
Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité | Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité | ||
− | zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v silovém poli harmonického oscilátoru. | + | zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru. |
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}\ll{qho} | \subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}\ll{qho} | ||
Ukážeme, že přiřazení | Ukážeme, že přiřazení | ||
− | \rf{xoper},\ref{poper}) a princip korespondence vysvětlují | + | (\rf{xoper},\ref{poper}) a princip korespondence vysvětlují |
Planckův předpoklad o diskrétnosti spektra energie harmonického | Planckův předpoklad o diskrétnosti spektra energie harmonického | ||
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz \ref{podkap:coulomb} ) jeden z hlavních argumentů pro správnost | oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz \ref{podkap:coulomb} ) jeden z hlavních argumentů pro správnost | ||
takto budované teorie. | takto budované teorie. | ||
Operátor energie -- hamiltonián | Operátor energie -- hamiltonián | ||
− | \qv é částice pohybující se v silovém poli harmonického | + | \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického |
oscilátoru je podle principu korespondence | oscilátoru je podle principu korespondence | ||
\be \hat H | \be \hat H | ||
Řádka 611: | Řádka 572: | ||
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na | Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na | ||
kvadraticky integrovatelné funkce, | kvadraticky integrovatelné funkce, | ||
− | %splňující podmínku \rf{konecnanorma}), | + | %splňující podmínku (\rf{konecnanorma}), |
pak množina vlastních hodnot | pak množina vlastních hodnot | ||
− | , tj. čísel $\lambda$ pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$ | + | , tj.~čísel $\lambda$ pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$ |
splňující | splňující | ||
\be \hat H\psi=\lambda\psi, \ll{vlfce}\ee | \be \hat H\psi=\lambda\psi, \ll{vlfce}\ee | ||
Řádka 620: | Řádka 581: | ||
\special{src: 648 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 648 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Operátor \rf{lho3}) je součtem tří operátorů \[\hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3,\] | + | Operátor (\rf{lho3}) je součtem tří operátorů \[\hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3,\] |
\[H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \] a můžeme se pokusit hledat | \[H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \] a můžeme se pokusit hledat | ||
− | vlastní funkce operátoru \rf{lho3}) ve faktorizovaném tvaru \be \psi(\vec | + | vlastní funkce operátoru (\rf{lho3}) ve faktorizovaném tvaru \be \psi(\vec |
− | x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi}\ee Rovnice \rf{vlfce}) pak přejde na tvar \be (\hat | + | x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi}\ee Rovnice (\rf{vlfce}) pak přejde na tvar \be (\hat |
H_1\psi_1)\psi_2 \psi_3+\psi_1(\hat H_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat | H_1\psi_1)\psi_2 \psi_3+\psi_1(\hat H_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat | ||
H_3\psi_3)=\lambda\psi_1\psi_2\psi_3. \ll{rozkladH}\ee Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ %a vlastní | H_3\psi_3)=\lambda\psi_1\psi_2\psi_3. \ll{rozkladH}\ee Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ %a vlastní | ||
funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$ \[ \hat H_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \] pak získáme i vlastní | funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$ \[ \hat H_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \] pak získáme i vlastní | ||
− | čísla operátoru \rf{lho3}) \be \lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \ee Později ukážeme, že tímto postupem | + | čísla operátoru (\rf{lho3}) \be \lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \ee Později ukážeme, že tímto postupem |
jsme získali všechna vlastní čísla. | jsme získali všechna vlastní čísla. | ||
\special{src: 668 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 668 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | %Spektrum tohoto operátoru vyšetříme v . Nyní se omezíme na | + | %Spektrum tohoto operátoru vyšetříme v~. Nyní se omezíme na |
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy %nalezení vlast | Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy %nalezení vlast | ||
operátor | operátor | ||
Řádka 639: | Řádka 600: | ||
\ll{lho1}\ee | \ll{lho1}\ee | ||
Tento operátor lze považovat za operátor energie {\em | Tento operátor lze považovat za operátor energie {\em | ||
− | jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj. kvantové \cc e | + | jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e |
− | pohybující se pouze v jednom rozměru (na přímce). | + | pohybující se pouze v~jednom rozměru (na přímce). |
\special{src: 680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | \begin{tvr} Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1}) | + | \begin{tvr} Množina vlastních čísel operátoru (\rf{lho1}) |
− | působícího v prostoru %$\cal L^2(\bf R,dx)$ | + | působícího v~prostoru %$\cal L^2(\bf R,dx)$ |
kvadraticky integrovatelných %spojitých | kvadraticky integrovatelných %spojitých | ||
funkcí jedné proměnné %je čistě bodové a | funkcí jedné proměnné %je čistě bodové a | ||
Řádka 652: | Řádka 613: | ||
právě jedna vlastní funkce | právě jedna vlastní funkce | ||
\be \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $}\ee | \be \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $}\ee | ||
− | kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou | + | kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy |
polynomy} | polynomy} | ||
\be H_n(z):= | \be H_n(z):= | ||
Řádka 660: | Řádka 621: | ||
\ll{slho}\end{tvr} | \ll{slho}\end{tvr} | ||
Důkaz: | Důkaz: | ||
− | %Bodové spektrum operátoru \rf{lho1}) je tvořeno | + | %Bodové spektrum operátoru (\rf{lho1}) je tvořeno |
Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky | Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky | ||
integrabilní řešení $\psi: \real\rightarrow\complex$ diferenciální rovnice | integrabilní řešení $\psi: \real\rightarrow\complex$ diferenciální rovnice | ||
Řádka 667: | Řádka 628: | ||
{x}^2\psi=\lambda\psi. | {x}^2\psi=\lambda\psi. | ||
\ll{eqlho1}\ee | \ll{eqlho1}\ee | ||
− | Tato rovnice je lineární ODR 2.řádu a v oboru spojitě | + | Tato rovnice je lineární ODR 2.řádu a v~oboru spojitě |
diferencovatelných funkcí má řešení pro každé | diferencovatelných funkcí má řešení pro každé | ||
$\lambda$. | $\lambda$. | ||
Řádka 673: | Řádka 634: | ||
\be \lambda=\hbar \omega(n+\half). \ll{hokvan}\ee | \be \lambda=\hbar \omega(n+\half). \ll{hokvan}\ee | ||
%Pro zjednodušení zápisu | %Pro zjednodušení zápisu | ||
− | Přechodem k nové (bezrozměrné) proměnné | + | Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné |
$\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x,\ \psi(x)=\phi(\xi)$ dostaneme | $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x,\ \psi(x)=\phi(\xi)$ dostaneme | ||
rovnici ve tvaru | rovnici ve tvaru | ||
− | \be \phi | + | \be \phi''-\xi^2\phi+\Lambda\phi=0 \ll{hobezr}\ee |
kde $\Lambda=2\lambda/(\hbar\omega)$. | kde $\Lambda=2\lambda/(\hbar\omega)$. | ||
Řádka 682: | Řádka 643: | ||
Z teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný | Z teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný | ||
− | bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr}) singularitu, | + | bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice (\rf{hobezr}) singularitu, |
je nekonečno. | je nekonečno. | ||
Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\lim\pm\infty$ | Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\lim\pm\infty$ | ||
Řádka 690: | Řádka 651: | ||
Je zřejmé, že | Je zřejmé, že | ||
kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle | kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle | ||
− | ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v exponentě | + | ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě |
− | \rf{rozphi}). Zvolíme tedy ansatz | + | (\rf{rozphi}). Zvolíme tedy ansatz |
\be \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi) \ll{hoansatz}\ee | \be \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi) \ll{hoansatz}\ee | ||
a budeme se zajímat o řešení rovnice | a budeme se zajímat o řešení rovnice | ||
− | \be u | + | \be u'' = 2\xi u' +(1-\Lambda)u \ll{hermrce}\ee |
− | která v nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$. | + | která v~nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$. |
\special{src: 735 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 735 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce}) do | + | Rozšíříme-li rovnici (\rf{hermrce}) do |
komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi,u$ | komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi,u$ | ||
− | a $u'$ a její řešení je holomorfní funkcí $\xi$ v celé komplexní | + | a $u'$ a její řešení je holomorfní funkcí $\xi$ v~celé komplexní |
rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady | rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady | ||
\be u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ | \be u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ | ||
s\in\integer_+ \ll{radau}\ee | s\in\integer_+ \ll{radau}\ee | ||
− | Jejím dosazením do \rf{hermrce}) a porovnáním členů se stejnou | + | Jejím dosazením do (\rf{hermrce}) a porovnáním členů se stejnou |
mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$ | mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$ | ||
\[ s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0 \] | \[ s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0 \] | ||
Řádka 714: | Řádka 675: | ||
%Neboť rekurentní relace \rf/rran/((0 | %Neboť rekurentní relace \rf/rran/((0 | ||
− | Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran}) je nenulový pro všechna | + | Pokud čitatel na pravé straně (\rf{rran}) je nenulový pro všechna |
− | $m$, pak se řada \rf{radau}) pro $\xi\lim\infty$ chová jako | + | $m$, pak se řada (\rf{radau}) pro $\xi\lim\infty$ chová jako |
− | $exp(\xi^2)$ a řešení \rc e \rf{hobezr}) není kvadraticky | + | $exp(\xi^2)$ a řešení \rc e (\rf{hobezr}) není kvadraticky |
integrovatelné. To lze usoudit např. z porovnání rekurentní formule (\ref{rran}) pro dosti velká $m$ se stejným vztahem pro koeficienty řady $exp(\xi^2)$. | integrovatelné. To lze usoudit např. z porovnání rekurentní formule (\ref{rran}) pro dosti velká $m$ se stejným vztahem pro koeficienty řady $exp(\xi^2)$. | ||
Kvadraticky integrovatelná řešení mohou | Kvadraticky integrovatelná řešení mohou | ||
− | existovat pouze tehdy, pokud řada (\ref{radau}) je konečná, tj. existuje $N$ takové, že $a_m=0$ pro | + | existovat pouze tehdy, pokud řada (\ref{radau}) je konečná, tj.~existuje $N$ takové, že $a_m=0$ pro |
$m>N$. To nastane tehdy a jen tehdy, když | $m>N$. To nastane tehdy a jen tehdy, když | ||
− | \be a_1=0, \ 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \ N \ \ | + | \be a_1=0, \ 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \ N \ \text{sudé nezáporné}.\ll{kvantlam} \ee |
V tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce | V tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce | ||
− | \rf{hoansatz}) je kvadraticky integrovatelná. | + | (\rf{hoansatz}) je kvadraticky integrovatelná. |
\special{src: 763 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 763 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Z podmínky \rf{kvantlam}) plyne, že \rc e \rf{hermrce}) má | + | Z podmínky (\rf{kvantlam}) plyne, že \rc e (\rf{hermrce}) má |
kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud | kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud | ||
− | $ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1}) má kvadraticky | + | $ \Lambda=1+2n$, takže rovnice (\rf{eqlho1}) má kvadraticky |
− | integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}). | + | integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí (\rf{hokvan}). |
\special{src: 770 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 770 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Řádka 736: | Řádka 697: | ||
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$ | Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$ | ||
\be H_n(\xi)=\sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol}\ee | \be H_n(\xi)=\sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol}\ee | ||
− | jež řeší rovnici \rf{hermrce}) jsou pak určeny rekurentní relací | + | jež řeší rovnici (\rf{hermrce}) jsou pak určeny rekurentní relací |
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, | \be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, | ||
\ll{rrherpol}\ee | \ll{rrherpol}\ee | ||
− | přičemž pro sudá či lichá $n$ (tj. $s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se | + | přičemž pro sudá či lichá $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se |
sudým respektive lichým $m$. | sudým respektive lichým $m$. | ||
Řádka 745: | Řádka 706: | ||
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak | Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak | ||
− | řešením relace \rf{rrherpol}) je | + | řešením relace (\rf{rrherpol}) je |
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ | \be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ | ||
k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee | k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee | ||
− | %Polynomy \rf{herpol}) se nazývají | + | %Polynomy (\rf{herpol}) se nazývají\emph{Hermitovy}. |
{\flushright Q.E.D.} | {\flushright Q.E.D.} | ||
\bc Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$. | \bc Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$. | ||
Řádka 754: | Řádka 715: | ||
\bc Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem | \bc Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem | ||
\be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee | \be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee | ||
− | Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2}) splňuje rovnici | + | Návod: Ukažte že pravá strana (\rf{herpol2}) splňuje rovnici |
− | \rf{hermrce}). | + | (\rf{hermrce}). |
\ec | \ec | ||
\bc \ll{cvvytvfce}Ukažte, že | \bc \ll{cvvytvfce}Ukažte, že | ||
Řádka 763: | Řádka 724: | ||
\special{src: 799 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 799 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Důsledkem tvrzení \rf{slho}) je, že | + | Důsledkem tvrzení (\rf{slho}) je, že |
energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s | energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s | ||
potenciálem $V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může | potenciálem $V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může | ||
nabývat pouze hodnot z diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$, | nabývat pouze hodnot z diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$, | ||
− | \ $n\in | + | \ $n\in \Z_+\}$. |
\special{src: 807 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 807 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Řádka 773: | Řádka 734: | ||
Tento závěr je ve shodě s Planckovou hypotézou použitou pro | Tento závěr je ve shodě s Planckovou hypotézou použitou pro | ||
odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého | odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého | ||
− | tělesa až na člen $\half\hbar\omega$, představující tzv. "nulové | + | tělesa až na člen $\half\hbar\omega$, představující tzv.~"nulové |
− | kmity". Jeho příspěvek k energii je možno považovat za aditivní | + | kmity". Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní |
− | konstantu, kterou (ve shodě s tzv. renormalizační procedurou | + | konstantu, kterou (ve shodě s tzv.~renormalizační procedurou |
kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně | kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně | ||
energie. | energie. | ||
Řádka 783: | Řádka 744: | ||
\special{src: 819 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 819 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Nyní se můžeme vrátit k původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}). Z rozkladu \rf{rozkladH}) | + | Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru (\rf{lho3}). Z rozkladu (\rf{rozkladH}) |
je zřejmé, že funkce \be \psi(x_1,x_2,x_3)=\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), | je zřejmé, že funkce \be \psi(x_1,x_2,x_3)=\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), | ||
− | \ll{rozkladvlfci}\ee kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}), jsou vlastními \fc emi \oper u | + | \ll{rozkladvlfci}\ee kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem (\rf{vlfcelho}), jsou vlastními \fc emi \oper u |
− | \rf{lho3}) s vlastními čísly $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$. | + | (\rf{lho3}) s vlastními čísly $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$. |
\special{src: 831 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 831 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Řádka 793: | Řádka 754: | ||
plyne z následujících dvou tvrzení (viz např \cite{beh:lokf} 4.3.4, 4.3.5). | plyne z následujících dvou tvrzení (viz např \cite{beh:lokf} 4.3.4, 4.3.5). | ||
\bt \ll{tr38} | \bt \ll{tr38} | ||
− | Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}) | + | Množina vlastních funkcí operátoru (\rf{lho1}) |
\be \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar} | \be \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar} | ||
x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x), \ \ | x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x), \ \ | ||
K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} | K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} | ||
\ll{nvlfcelho}\ee | \ll{nvlfcelho}\ee | ||
− | je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky | + | je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky |
integrovatelných funkcí \qintline. | integrovatelných funkcí \qintline. | ||
\et | \et | ||
Řádka 805: | Řádka 766: | ||
\bt \ll{tr39} | \bt \ll{tr39} | ||
− | Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}), | + | Množina funkcí (\rf{rozkladvlfci}), |
− | kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho}) | + | kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem (\rf{nvlfcelho}) |
− | je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky | + | je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky |
integrovatelných funkcí \qintspace. | integrovatelných funkcí \qintspace. | ||
\et | \et | ||
Řádka 814: | Řádka 775: | ||
\special{src: 855 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 855 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Z tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1}) a | + | Z tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů (\rf{lho1}) a |
− | \rf{lho3}) jsou čistě bodová (\cite{beh:lokf} 7.3.9). Nejsou však stejná. | + | (\rf{lho3}) jsou čistě bodová (\cite{beh:lokf} 7.3.9). Nejsou však stejná. |
− | Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1}) -- operátoru energie | + | Množina vlastních hodnot hamiltoniánu (\rf{lho1}) -- operátoru energie |
jednorozměrného harmonického oscilátoru -- se liší od spektra | jednorozměrného harmonického oscilátoru -- se liší od spektra | ||
trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega$. | trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega$. | ||
Řádka 827: | Řádka 788: | ||
pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních | pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních | ||
funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních | funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních | ||
− | funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem | + | funkcí operátoru (\rf{lho3}) s vlastním číslem |
$\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí | $\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí | ||
− | \rf{rozkladvlfci}), kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot | + | (\rf{rozkladvlfci}), kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot |
$(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. | $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. | ||
Rozměr tohoto podprostoru je šest. Jednoduchou | Rozměr tohoto podprostoru je šest. Jednoduchou | ||
kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr | kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr | ||
podprostoru vlastních | podprostoru vlastních | ||
− | funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem | + | funkcí operátoru (\rf{lho3}) s vlastním číslem |
$\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$. | $\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$. | ||
\special{src: 880 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 880 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá | + | Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}. |
\bc Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů? | \bc Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů? | ||
\ec | \ec | ||
Řádka 870: | Řádka 831: | ||
\ll{ly}\ee | \ll{ly}\ee | ||
\be \hat L_z= -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}.\ll{lz}\ee | \be \hat L_z= -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}.\ll{lz}\ee | ||
− | Vzhledem k tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i | + | Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i |
všechny operátory $L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky | všechny operátory $L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky | ||
nejjednodušší však je hledat spektrum operátoru $L_z$, neboť to | nejjednodušší však je hledat spektrum operátoru $L_z$, neboť to | ||
Řádka 880: | Řádka 841: | ||
\psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi}, | \psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi}, | ||
\ee | \ee | ||
− | kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. %Vzhledem k tomu že | + | kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. %Vzhledem k~tomu že |
Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen %(absolutně) | Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen %(absolutně) | ||
− | spojitými funkcemi v $\real^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a | + | spojitými funkcemi v~$\real^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a |
$\phi$ je | $\phi$ je | ||
azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. | azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. | ||
− | %předpokládáme, že vlnová funkce je v prostoru spojitá, | + | %předpokládáme, že vlnová funkce je v~prostoru spojitá, |
Musí tedy platit | Musí tedy platit | ||
\[ \psi(r,\theta,\phi=0)=\psi(r,\theta,\phi=2\pi). \] | \[ \psi(r,\theta,\phi=0)=\psi(r,\theta,\phi=2\pi). \] | ||
− | Z této podmínky plyne, | + | Z této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti |
mohou nabývat pouze hodnot} | mohou nabývat pouze hodnot} | ||
\be \lambda= m\hbar, {\rm kde}\ m\in\integer. \ee | \be \lambda= m\hbar, {\rm kde}\ m\in\integer. \ee | ||
− | \bc "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie. | + | \bc "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie. |
\ec | \ec | ||
\subsection{Stav kvantového systému} | \subsection{Stav kvantového systému} | ||
Řádka 913: | Řádka 874: | ||
Stavem fyzikálního systému pak obecně %charakterizovat | Stavem fyzikálního systému pak obecně %charakterizovat | ||
budeme nazývat soubor hodnot všech | budeme nazývat soubor hodnot všech | ||
− | měření, která jsme na daném systému v daném okamžiku schopni | + | měření, která jsme na daném systému v~daném okamžiku schopni |
provést a | provést a | ||
− | otázka, kterou chceme zodpovědět v této podkapitole zní: | + | otázka, kterou chceme zodpovědět v~této podkapitole zní: |
− | + | \textbf{Jakou vlnovou %počáteční | |
\fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např. | \fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např. | ||
− | elektronu v atomu vodíku), | + | elektronu v~atomu vodíku), \textbf{který je v~daném okamžiku v |
nějakém stavu?} | nějakém stavu?} | ||
Řádka 927: | Řádka 888: | ||
oscilátoru s energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci | oscilátoru s energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci | ||
$\psi_n(x)$. | $\psi_n(x)$. | ||
− | To je v souladu s následujícím postulátem \qv é \mi ky: | + | To je v~souladu s následujícím postulátem \qv é \mi ky: |
\special{src: 972 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 972 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | + | \textbf{Stav \qv é částice, pro kterou naměříme %-li pro kvantový systém | |
hodnotu $\alpha$ %fyzikální veličiny | hodnotu $\alpha$ %fyzikální veličiny | ||
pozorovatelné $A$ %, pak stav tohoto systému popíšeme | pozorovatelné $A$ %, pak stav tohoto systému popíšeme | ||
Řádka 945: | Řádka 906: | ||
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru | Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru | ||
s energií $\hbar\omega(n+\half)$ v | s energií $\hbar\omega(n+\half)$ v | ||
− | bodě $x$ ? Spočítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,...$ a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě. | + | bodě $x$ ? Spočítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,...$ a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě. |
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
V případě jednorozměrného harmonického oscilátoru % příkladu \ref{vflho} | V případě jednorozměrného harmonického oscilátoru % příkladu \ref{vflho} | ||
Řádka 951: | Řádka 912: | ||
jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, | jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, | ||
která nemá při jejich interpretaci žádný význam). | která nemá při jejich interpretaci žádný význam). | ||
− | %kterou lze určit z normovací podmínky analogické \rf{k}) ). | + | %kterou lze určit z normovací podmínky analogické (\rf{k}) ). |
− | %vlastní funkce operátoru \rf{lho1} tvoří jednorozměrný podprostor | + | %vlastní funkce operátoru (\rf{lho1} tvoří jednorozměrný podprostor |
To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru | To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru | ||
jsou jednoznačně určeny svou energií. | jsou jednoznačně určeny svou energií. | ||
Řádka 960: | Řádka 921: | ||
částice na přímce určen energií jednoznačně? | částice na přímce určen energií jednoznačně? | ||
\end{cvi} } | \end{cvi} } | ||
− | % k stavu -- bodu fázového prostoru nestačí). | + | % k~stavu -- bodu fázového prostoru nestačí). |
\special{src: 1005 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1005 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Řádka 972: | Řádka 933: | ||
minimální interakce mikroobjektu s přístroji nutná pro měření | minimální interakce mikroobjektu s přístroji nutná pro měření | ||
může změnit jeho stav, který byl vyhodnocen z měření předchozích. | může změnit jeho stav, který byl vyhodnocen z měření předchozích. | ||
− | Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v jakém měření | + | Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v~jakém měření |
jednotlivých veličin provedeme, což je z hlediska popisu stavu nepřípustné. | jednotlivých veličin provedeme, což je z hlediska popisu stavu nepřípustné. | ||
%a je proto pochopitelné, že | %a je proto pochopitelné, že | ||
− | %měřitelným veličinám jsou v \qv é mechanice | + | %měřitelným veličinám jsou v~\qv é mechanice |
%přiřazeny operátory, při | %přiřazeny operátory, při | ||
%jejichž násobení záleží na pořadí. | %jejichž násobení záleží na pořadí. | ||
− | %Jak bylo konstatováno v paragrafu ref{pozorovatelne}, na \qv ém %systému | + | %Jak bylo konstatováno v~paragrafu ref{pozorovatelne}, na \qv ém %systému |
%obecně nelze provést měření různých fyzikálních veličin, | %obecně nelze provést měření různých fyzikálních veličin, | ||
%aniž by výsledek jednoho % měření | %aniž by výsledek jednoho % měření | ||
Řádka 985: | Řádka 946: | ||
\special{src: 1026 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1026 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Pro | + | Pro \emph{experimentální popis} stavu \qv ého systému |
je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze %na daném stavu | je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze %na daném stavu | ||
provést, aniž by výsledek jednoho % měření | provést, aniž by výsledek jednoho % měření | ||
znehodnotil platnost měření %předcházejících | znehodnotil platnost měření %předcházejících | ||
ostatních. Fyzikální veličiny -- pozorovatelné, pro které | ostatních. Fyzikální veličiny -- pozorovatelné, pro které | ||
− | je toto splněno nazýváme | + | je toto splněno nazýváme \emph{kompatibilní}. |
Jejich výsledky | Jejich výsledky | ||
− | provedené v jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) | + | provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) |
− | lze pak použít k definici stavu. | + | lze pak použít k~definici stavu. |
\special{src: 1038 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1038 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Řádka 1 007: | Řádka 968: | ||
ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných je | ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných je | ||
ekvivalentní tomu, %Z tohoto požadavku plyne, | ekvivalentní tomu, %Z tohoto požadavku plyne, | ||
− | že | + | že \textbf{operátory $\hat A_j$ přiřazené |
kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně | kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně | ||
komutují } | komutují } | ||
Řádka 1 019: | Řádka 980: | ||
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých | Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých | ||
pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice | pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice | ||
− | přiřadíme \oper y \rf{xoper}) a \rf{poper}), pak docházíme k | + | přiřadíme \oper y (\rf{xoper}) a (\rf{poper}), pak docházíme k |
− | závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v jednom směru jsou | + | závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru jsou |
nekompatibilní, neboť | nekompatibilní, neboť | ||
− | \ | + | \be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k]=i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee |
− | \ll{xpcom}\ee | + | To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice |
− | To je mimo jiné důvod, proč v \qv é mechanice | + | |
neexistuje obdoba klasického stavu částice | neexistuje obdoba klasického stavu částice | ||
-- stav s danou polohou a hybností. Z relací neurčitosti se | -- stav s danou polohou a hybností. Z relací neurčitosti se | ||
dovíme, že každý \qv ý stav zaujímá "fázový objem" | dovíme, že každý \qv ý stav zaujímá "fázový objem" | ||
alespoň $(2\pi\hbar)^3$. | alespoň $(2\pi\hbar)^3$. | ||
− | \bc Jsou kompatibilní složky polohy v různých směrech? | + | \bc Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech? |
\ec | \ec | ||
− | \bc Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v různých směrech? | + | \bc Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v~různých směrech? |
\ec | \ec | ||
Řádka 1 038: | Řádka 998: | ||
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu | Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu | ||
operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. | operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. | ||
− | Příkladem jsou například \fc e \rf{rozkladvlfci}), které jsou | + | Příkladem jsou například \fc e (\rf{rozkladvlfci}), které jsou |
− | vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3}) pro tutéž | + | vlastními funkcemi hamiltoniánu (\rf{lho3}) pro tutéž |
hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega,\ n=n_1+n_2+n_3$, ale pro | hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega,\ n=n_1+n_2+n_3$, ale pro | ||
různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. | různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. | ||
Řádka 1 048: | Řádka 1 008: | ||
$(A_2,\ldots,A_K)$ | $(A_2,\ldots,A_K)$ | ||
musí být kompatibilní s pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme | musí být kompatibilní s pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme | ||
− | použili k částečnému určení (k zúžení prostoru kandidátů na) vlnové | + | použili k~částečnému určení (k zúžení prostoru kandidátů na) vlnové |
funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou. | funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou. | ||
\special{src: 1093 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1093 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj. souboru výsledků | + | Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj.~souboru výsledků |
měření kompatibilních fyzikálních veličin %$(A_1\ldots,A_K)$ | měření kompatibilních fyzikálních veličin %$(A_1\ldots,A_K)$ | ||
se řídí požadavkem: | se řídí požadavkem: | ||
− | + | \textbf{Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami | |
$(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ | $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ | ||
− | měření | + | měření \emph{kompatibilních} fyzikálních veličin |
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím | $(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím | ||
\be \hat A_i g=\alpha_i g,\hskip 1cm i=1,\ldots,K. \ll{spvv}\ee | \be \hat A_i g=\alpha_i g,\hskip 1cm i=1,\ldots,K. \ll{spvv}\ee | ||
− | Znamená to tedy, že musí být | + | Znamená to tedy, že musí být \emph{společnou} vlastní funkcí \emph{komutujících} operátorů |
$\hat A_i$.} | $\hat A_i$.} | ||
Řádka 1 067: | Řádka 1 027: | ||
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme | Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme | ||
− | + | \emph{úplná množina pozorovatelných} a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor | |
komutujících operátorů}. \bt Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s čistě bodovými spektry (t.j. takovými, | komutujících operátorů}. \bt Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s čistě bodovými spektry (t.j. takovými, | ||
jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný soubor komutujících operátorů tehdy a jen | jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný soubor komutujících operátorů tehdy a jen | ||
tehdy, pokud pro každou $k$--tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr podprostoru | tehdy, pokud pro každou $k$--tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr podprostoru | ||
− | společných vlastních stavů roven jedné. \et Důkaz je proveden v \cite{beh:lokf} (14.2.2). | + | společných vlastních stavů roven jedné. \et Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf} (14.2.2). |
\special{src: 1122 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1122 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Řádka 1 093: | Řádka 1 053: | ||
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných | Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných | ||
− | pro popis stavu kvantové \cc e v poli centrálních sil je energie, | + | pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, |
kvadrát momentu hybnosti a jedna jeho složka. | kvadrát momentu hybnosti a jedna jeho složka. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | \subsection{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu} |
− | \ | + | \ll{ssec:csympot} |
− | \ll{ | + | |
+ | Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je | ||
+ | částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech. | ||
+ | |||
+ | Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar | ||
+ | \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \triangle + \hat V(r), \ll{sspot} \ee | ||
kde | kde | ||
− | \be \hat | + | \be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | Ukážeme, že pokud hamiltonián (\rf{sspot}) má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami |
+ | její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných. | ||
− | + | \bc | |
− | + | Spočítejte komutátory | |
− | + | \be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\ \ll{loper1} \ee | |
+ | kde | ||
+ | \be \hat L_j := \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee | ||
+ | \ec | ||
− | \ | + | \bc |
+ | Ukažte, že vzájemně komutují operátory (\rf{sspot}), $L_3\equiv L_z$ a | ||
+ | \be \hat L^2 := \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee | ||
+ | \ec | ||
− | Pro výpočet vlastních hodnot | + | Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny. |
− | je vhodné přejít do sférických souřadnic. | + | |
− | Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar | + | Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar |
− | \be \hat L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\ll{lzsfer}\ee | + | \be \hat L_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial\phi} \ll{lzsfer} \ee |
− | \be \hat L^2 | + | \be |
− | -\hbar^2[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} | + | \hat L^2 |
− | \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} | + | = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} |
− | (\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})] | + | + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right) \right] |
− | \ll{lkvadsfer}\ee | + | \ll{lkvadsfer} |
− | \be | + | \ee |
− | +\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2} | + | \be |
− | \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} | + | \hat H |
− | \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} | + | = - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right) |
− | (\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}) | + | + \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} |
− | \right)\right] +\hat V(r) | + | + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right)\right)\right] |
− | \ll{hsfer} | + | + \hat V(r) |
− | + | \ll{hsfer} | |
− | + | \ee | |
− | \bc S použitím vzorců \rf{lx} | + | |
− | $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}). | + | \bc |
+ | S~použitím vzorců (\rf{lx}-\rf{lz}) ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar (\rf{lkvadsfer}). | ||
\ec | \ec | ||
− | \bc Dokažte formuli \rf{hsfer}). \ec | + | \bc Dokažte formuli (\rf{hsfer}). \ec |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | \subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce} | |
− | + | \ll{ssmomhyb} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty |
+ | \be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee | ||
+ | a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru (\rf{lkvadsfer}) plyne, že řešením \rc e | ||
+ | (\rf{vlfcel2}) budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici | ||
+ | \be | ||
+ | \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2} | ||
+ | + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\right) | ||
+ | + \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi | ||
+ | = 0. | ||
+ | \ll{pdrl2} | ||
+ | \ee | ||
+ | Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení (\rf{vlfcel2}), která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole | ||
+ | \ref{Slmomhyb} našli ve tvaru | ||
+ | \be \Psi(r,\theta,\phi) = \chi(r,\theta)e^{ i m\phi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee | ||
+ | budeme hledat řešení rovnice (\rf{vlfcel2}) rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru. | ||
+ | |||
+ | Rovnice (\rf{pdrl2}) přejde faktorizací (\rf{vlfcelz}) na obyčejnou diferenciální rovnici | ||
+ | \be \frac{d}{dt}\left[ (1-t^2)\frac{dF}{dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee | ||
+ | kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je | ||
+ | důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability (\rf{konecnanorma}) pro $F$ | ||
+ | v~tomto případě zní | ||
+ | \[ | ||
+ | \int_{\real^3}|\psi(x,y,z)|^2dxdydz | ||
+ | = \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle} |\Psi(r,\theta,\phi)|^2 r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi | ||
+ | \] | ||
+ | \be | ||
+ | = 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 r^2 dr \sin\theta d\theta | ||
+ | = 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2 dr dt < \infty. | ||
+ | \ll{kvadintss} | ||
+ | \ee | ||
+ | Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná | ||
+ | na $\langle -1,1 \rangle$. | ||
− | Řešení rovnice \rf{odrl2}) je poměrně pracné (viz např. \cite{for:ukt}, | + | Řešení rovnice (\rf{odrl2}) je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem |
− | str. 70--72). Dá se vyjádřit způsobem | + | |
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee | \be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee | ||
− | kde $U$ je \fc e na intervalu $ | + | kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i |
− | \be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x)+(a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x)+cU(r,x)=0, \ll{gauss}\ee | + | \be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee |
kde | kde | ||
− | \[ x=(t+1)/2,\ a=-1-|m|,\ b=2(1+|m|),\ c=|m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}.\] | + | \[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \] |
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci | Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci | ||
− | + | \be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee | |
− | \be U(r,x)=R_1(r)U_1(x)+R_2(r)U_2(x), | + | kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však |
− | \ee | + | tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$ |
− | kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv. hypergeometrických funkcí. | + | je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky |
− | Pro obecné $\lambda$ a $m$ však tato řešení | + | \be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee |
− | nejsou konečná v okolí koncových bodů intervalu $ | + | Řešení rovnice (\rf{odrl2}) v~tomto případě má tvar |
− | Podmínku konečnosti funkce $F$ | + | \be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee |
− | + | ||
− | lze splnit pouze když $U$ je polynom v $x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky | + | |
− | \be \lambda=l(l+1)\hbar^2,\ l\in\ | + | |
− | l.\ee | + | |
− | Řešení rovnice \rf{odrl2}) v tomto případě má tvar | + | |
− | \be F(r,t)=R(r)P_l^m(t), \ll{fakf}\ee | + | |
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem | kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem | ||
− | \be P_l^m(t):=\frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}} | + | \be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee |
− | (t^2-1)^l. \ll{plmt}\ee | + | |
− | \bc Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta):=P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v $\sin\theta$ a $\cos\theta$. | + | \bc |
+ | Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$. | ||
\ec | \ec | ||
+ | |||
Funkce | Funkce | ||
− | \be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi):=C_{lm}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi} $}\ ,\ll{ylm}\ee | + | \be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $}\ , \ll{ylm} \ee |
− | které jsou řešením \rf{pdrl2}) a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s vlastními čísly | + | které jsou řešením (\rf{pdrl2}) a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly |
− | $\lambda=l(l+1)\hbar^2,\ \mu=m\hbar$ se nazývají | + | $\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina všech kulových funkcí |
− | { | + | \[ \{ Y_{lm}, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z, \ |m| \leq l \},\] |
− | \[ \{ Y_{lm},\ | + | |
− | l \},\] | + | |
kde | kde | ||
− | \be |C_{lm}|^2=\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee | + | \be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee |
− | tvoří ortonormální bazi v prostoru funkcí kvadraticky | + | tvoří ortonormální bazi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L^2( \langle 0,\pi \rangle \times |
− | integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v | + | \langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\phi)$. Odtud plyne, že \emph{množina |
− | $L^2( | + | \be \{l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+\} \ll{spektrl2} \ee |
− | + | ||
− | Odtud plyne, že { | + | |
− | \be \{l(l+1)\hbar^2,\ l\in\ | + | |
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové. | je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové. | ||
− | \ | + | Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často |
+ | závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro | ||
+ | $l=0,1,2,\ldots$ | ||
− | + | Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost | |
− | + | nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$ | |
− | + | \be dw = w(\theta,\phi) d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 d\Omega. \ee | |
− | + | ||
− | + | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\bc | \bc | ||
− | Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v daném prostorovém úhlu | + | Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$. |
− | pro stavy $s, p, d$. | + | |
\ec | \ec | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce} | \subsubsection{Radiální část vlnové funkce} | ||
Ze vzorců (\ref{vlfcelz}), (\ref{fakf}), (\ref{ylm}) plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar | Ze vzorců (\ref{vlfcelz}), (\ref{fakf}), (\ref{ylm}) plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar | ||
− | \be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi}\ee | + | \be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi} \ee |
− | Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet | + | Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián |
− | energetického spektra částice v poli centrálních sil, neboť | + | (\rf{sspot}) má ve sférických souřadnicích tvar (\rf{hsfer}) a díky (\rf{lkvadsfer}) jej lze vyjádřit způsobem |
− | + | \be | |
− | \rf{hsfer}) a díky | + | \hat H |
− | \rf{lkvadsfer}) jej lze vyjádřit | + | = -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} |
− | způsobem | + | + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right) |
− | \be | + | - \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right] |
− | (\frac{\partial^2}{\partial r^2} | + | + \hat V(r). |
− | +\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}) | + | \ll{hsfer2} |
− | -\frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right] | + | \ee |
− | \hat V(r). | + | Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce (\rf{fakpsi}), pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň |
− | \ll{hsfer2}\ee | + | vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici |
− | Použijeme-li | + | \be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee |
− | vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou | + | |
− | zároveň vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, | + | |
− | dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici | + | |
− | \be | + | |
− | -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R | + | |
− | V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0, | + | |
− | \ll{hsfervfce}\ee | + | |
kde | kde | ||
− | \be V_{eff}(r)=V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. | + | \be V_{eff}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee |
− | \ll{veff}\ee | + | |
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$ se tato rovnice zjednoduší na | Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$ se tato rovnice zjednoduší na | ||
− | \be -\frac{\hbar^2}{2M}\chi | + | \be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee |
− | V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, | + | což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$ |
− | \ll{rcekhi}\ee | + | přejde na podmínku |
− | což je rovnice formálně shodná s rovnicí pro kvantovou \cc i na | + | \be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 dr < \infty. \ee |
− | polopřímce v poli | + | Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku |
− | potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$ | + | \be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee |
− | + | která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž | |
− | přejde | + | zaručuje samosdruženost operátoru (\rf{hsfer}) (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7). |
− | na podmínku | + | |
− | \be \int_{\ | + | |
− | Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě | + | |
− | dodatečnou okrajovou podmínku | + | |
− | \be \chi(0)=0, \ll{nulchi}\ee | + | |
− | která plyne např. z požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R( r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v bodě $0$. Tato podmínka rovněž | + | |
− | zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer}) | + | |
− | (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7). | + | |
− | \ | + | Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný. |
+ | Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace | ||
+ | proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou. | ||
− | + | Úplná specifikace rovnice (\rf{rcekhi}) je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | \subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce} |
− | + | Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice | |
− | + | \be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee | |
− | Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat | + | |
− | řešení diferenciální rovnice | + | |
− | \be xy | + | |
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar | Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar | ||
− | \be zw | + | \be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee |
− | kde $\alpha=c/a,\ \gamma=b$. | + | kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$. |
− | \ | + | Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení (\rf{dghgr2}) lze v~okolí nuly |
+ | zapsat jako řadu | ||
+ | \be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee | ||
+ | Dosazením (\rf{resrada}) do (\rf{dghgr2}) a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme | ||
+ | \be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee | ||
+ | \be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee | ||
+ | Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}. | ||
− | + | Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada (\rf{resrada}) tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde | |
− | + | \be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee | |
− | + | Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$ | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | Pro $s=0$ a $\gamma\neq -n\in\ | + | |
− | tvar $ | + | |
− | + | ||
− | \be F(\alpha,\gamma,z)=1+\frac{\alpha}{1!\gamma}z+ | + | |
− | \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2+\ldots\ . | + | |
− | \ll{dghyfce}\ee | + | |
− | Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \ | + | |
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee | \be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee | ||
− | Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice | + | Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice (\rf{dghgr2}) |
− | \rf{dghgr2}) | + | \be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee |
− | \be w(z)= | + | takže obecným řešením rovnice (\rf{dghgr1}) pro necelá $b$ je |
− | + | \be y(x) = C_1 F(\frac{c}{a},b,-ax) + C_2 x^{1-b} F(\frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax). \ll{obres1} \ee | |
− | takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1}) pro necelá $b$ je | + | |
− | \be y(x)= | + | |
− | + | ||
− | \ | + | Vzhledem k~tomu, že $a_n/a_{n-1}\lim 1/n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\lim \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz |
+ | \cite{baterd}) | ||
+ | \be | ||
+ | \ll{rtoplusinf} | ||
+ | F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})]. | ||
+ | \ee | ||
+ | Pro $z\lim -\infty\ $ | ||
+ | \be | ||
+ | \ll{rtominusinf} | ||
+ | F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})]. | ||
+ | \ee | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | \subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor} |
+ | V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních | ||
+ | stavů energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií | ||
+ | jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického potenciálu | ||
+ | \be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee | ||
+ | lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného | ||
+ | směru (směr osy $z$ není ničím určen). | ||
− | Zjistili jsme tedy, že | + | Zavedeme-li v~rovnici (\rf{rcekhi}) stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=r/a$, kde |
− | oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které | + | $a=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici |
− | navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s vlastními | + | \be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee |
− | hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde | + | Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2} |
− | $ n,l\in \ | + | [\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$. Zvolíme |
− | + | ansatz | |
+ | \be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee | ||
+ | a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru (\rf{dghgr2}) | ||
+ | \be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee | ||
+ | kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku | ||
+ | (\rf{nulchi}). Obecné řešení rovnice (\rf{dghyrce}) pro necelá $\gamma$ má tvar (\rf{obres2}), takže řešení, které vyhovuje podmínce | ||
+ | (\rf{nulchi}) je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není | ||
+ | \qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné | ||
+ | Laguerrovy polynomy} | ||
+ | \be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee | ||
+ | definované též způsobem | ||
+ | \be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee | ||
+ | |||
+ | Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které | ||
+ | jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\ | ||
+ | m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar} | ||
\be | \be | ||
− | \ | + | \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, |
− | L_n^{l+1/2}(\xi^2)P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}, \ll{resiho}\ee | + | \ll{resiho} |
− | kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, | + | \ee |
− | $\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$, | + | kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou |
− | $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a | + | přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako |
− | $P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e. | + | |
− | Obvykle se tyto funkce zapisují jako | + | |
\be | \be | ||
− | \ | + | \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\phi), |
− | L_n^{l+1/2}(\xi^2)Y_{lm}(\theta,\phi), \ll{resiho2}\ee | + | \ll{resiho2} |
+ | \ee | ||
a zvolíme-li | a zvolíme-li | ||
− | \be |K_{nl}|=\frac{2}{\pi^{1/4}}\left({\frac{M\omega}{\hbar}}\right)^{3/4} | + | \be |
− | \left( | + | |K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+1}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2} |
− | \frac{2^{n+1}n!}{(2n+2l+1)!!} | + | |
− | \right)^{1/2} | + | |
\ee | \ee | ||
− | a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k jedné. | + | a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz (\rf{normconsY})), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné. |
− | \bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi | + | |
− | $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$. | + | \bc |
+ | Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními | ||
+ | \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$. | ||
\ec | \ec | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo |
+ | $N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}. | ||
− | Z faktu, že k danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, | + | Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie} |
− | jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že { | + | harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali |
− | hladiny energie} harmonického oscilátoru | + | v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$. |
− | $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, | + | |
− | je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali v paragrafu | + | |
− | \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$. | + | |
− | |||
− | |||
− | \subsubsection{Coulombův potenciál}\ll{podkap:coulomb} | + | \subsubsection{Coulombův potenciál} |
+ | \ll{podkap:coulomb} | ||
+ | |||
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál | Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál | ||
− | \be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul}\ee | + | \be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee |
− | neboť jej lze použít k popisu hladin energií elektronu v obalu atomu | + | neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron, |
− | vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800 krát | + | je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie |
− | těžší než elektron je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to | + | elektronu v~elektrostatickém poli (\rf{coul}), kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu a $\epsilon$ je permitivita vakua. |
− | jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se | + | Dosadíme-li (\rf{coul}) do (\rf{veff}), pak \rc e (\rf{rcekhi}) přejde na tvar |
− | bude jen málo lišit od energie elektronu v elektrostatickém poli | + | \be |
− | \rf{coul}), kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu | + | -\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r). |
− | a $\epsilon$ je permitivita vakua. | + | \ll{rcekhicp} |
− | Dosadíme-li \rf{coul}) do \rf{veff}), pak \rc e \rf{rcekhi}) přejde | + | \ee |
− | na tvar | + | |
− | \be -\frac{\hbar^2}{2M}\chi | + | |
− | [-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}]\chi(r)= E\chi(r) | + | |
− | \ll{rcekhicp} | + | |
Substitucí | Substitucí | ||
− | \be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw}\ee | + | \be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee |
kde | kde | ||
− | \be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap}\ee | + | \be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee |
převedeme tuto rovnici na tvar | převedeme tuto rovnici na tvar | ||
− | \be rw | + | \be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee |
− | +\frac{MQ}{\hbar^2}]w(r)=0, \ee | + | což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce (\rf{dghgr1}). Řešení splňující podmínku (\rf{nulchi}) je podle (\rf{obres1}) |
− | což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce | + | \be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r). \ll{dghgcoul} \ee |
− | \rf{dghgr1}). Řešení splňující podmínku \rf{nulchi}) je podle | + | |
− | \rf{obres1}) | + | |
− | \be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r). | + | |
− | \ll{dghgcoul}\ee | + | |
Podmínka kvadratické integrability pak zní | Podmínka kvadratické integrability pak zní | ||
− | \be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa}=-n\in \ | + | \be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee |
− | odkud díky \rf{kap}) plyne, že | + | odkud díky (\rf{kap}) plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli (\rf{coul}) jsou} |
− | kvantové částice v coulombickém poli \rf{coul}) jsou} | + | \be |
− | \be \fbox{$E=E_{n,l}=-\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2}= | + | \fbox{$E = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ N,n,l \in \Z_+$}\ . |
− | -\frac{R}{N^2},\ | + | \ll{ecoul} |
− | N,n,l\in \ | + | \ee |
− | \ll{ecoul}\ee | + | Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta |
− | Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové | + | $R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro |
− | číslo určující hodnotu energie je $N=n+l+1$. Konstanta | + | atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$. |
− | $R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá {Rydbergova energie} a | + | Degenerovaná hypergeometrická funkce (\rf{dghgcoul}) pro (\rf{pintcoul}) opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e |
− | hraje velkou roli v optické a rentgenovské spektroskopii. | + | operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í |
− | Její hodnota pro atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je | + | \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$ |
− | $R=2,184 | + | |
− | Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul}) | + | |
− | pro \rf{pintcoul}) opět | + | |
− | přejde na Laguerrův polynom, takže | + | |
− | { | + | |
− | kvantové částice v coulombickém poli, odpovídající vlastní | + | |
− | hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je | + | |
− | navíc vlastní \fc í \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ | + | |
− | s vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$ | + | |
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee | \be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee | ||
má tvar} | má tvar} | ||
\be | \be | ||
− | \ | + | \Psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{Nlm} r^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1} (\frac{2r}{Na}) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, |
− | L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na})P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}, | + | \ll{nlmcoul} |
− | \ll{nlmcoul}\ee | + | \ee |
− | kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, | + | kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou |
− | + | přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $\Psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety | |
− | $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a | + | \be |
− | $P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $ \ | + | |Nlm\rangle = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na}) Y_{lm}(\theta,\phi), |
− | \be | | + | \ll{nlmcoul1} |
− | L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na})Y_{lm}(\theta,\phi), | + | \ee |
− | \ll{nlmcoul1} \ee | + | |
kde | kde | ||
− | \[ |K_{Nl}|= \frac{2}{n^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} | + | \[ |K_{Nl}| = \frac{2}{n^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} \] |
− | \] | + | a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je |
− | a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. | + | $a=0,53\times10^{-8}$ cm. |
− | Konstanta $a$ mající rozměr délky se nazývá Bohrův poloměr. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm. | + | |
− | \bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi | + | \bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec |
− | $-R, \ -R/4, -R/9$. | + | |
− | \ec | + | \bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec |
− | \bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v Coulombově poli. | + | |
− | \ec | + | Z~výrazu (\rf{ecoul}) je zřejmé, že všechny stavy (\rf{nlmcoul}), pro které $(l,m)$ leží v~množině (\rf{setlm}) mají tutéž energii. |
− | Z výrazu \rf{ecoul}) je zřejmé, že všechny | + | Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $R/N^2$, je |
− | stavy \rf{nlmcoul}), | + | \be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee |
− | mají tutéž energii. | + | |
− | počet stavů s energií $R/N^2$ je | + | Hodnoty energie (\rf{ecoul}) částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už |
− | \be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn}\ee | + | bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum |
+ | a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip | ||
+ | \be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee | ||
+ | objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů | ||
+ | emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme | ||
+ | \be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee | ||
+ | kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě | ||
+ | $3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy | ||
+ | ($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie. | ||
+ | |||
+ | \textbf{Množina vlastních \fc í (\rf{nlmcoul}) je ortogonální, ale netvoří bazi Hilbertova prostoru} $L_2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi), | ||
+ | r^2\sin\theta dr d\theta d\phi).$ Důvod je v~tom, že operátor energie pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra | ||
+ | $\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}. | ||
+ | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \subsection{Posunovací operátory a bra | + | \subsection{Posunovací operátory a bra-ketový formalismus}\label{posunovacioperatory} |
\special{src: 1629 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1629 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazvu | + | Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazvu \emph{posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s posunutím} $\Delta\in\complex$ pokud |
\be [\hat B,\hat A]=\Delta \hat A.\ll{posop}\ee | \be [\hat B,\hat A]=\Delta \hat A.\ll{posop}\ee | ||
− | Důvod pro tento název spočívá v tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak ze \rf{posop}) ihned plyne | + | Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak ze (\rf{posop}) ihned plyne |
\be \hat B\hat A\psi_\lambda=(\lambda+\Delta)\hat A\psi_\lambda, \ll{posunl}\ee | \be \hat B\hat A\psi_\lambda=(\lambda+\Delta)\hat A\psi_\lambda, \ll{posunl}\ee | ||
což znamená, že $\hat A\psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$. | což znamená, že $\hat A\psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$. | ||
Řádka 1 565: | Řádka 1 424: | ||
\special{src: 1637 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1637 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Ze vztahu \rf{posop}) rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k operátoru $\hat B$ s posunutím $\Delta$, pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k operátoru $\hat B^\dagger$ s posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený (tzn. má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje aspoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že $\hat A\psi_\lambda\neq 0$ pak | + | Ze vztahu (\rf{posop}) rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s posunutím $\Delta$, pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený (tzn. má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje aspoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že $\hat A\psi_\lambda\neq 0$ pak |
$\Delta\in\real$. | $\Delta\in\real$. | ||
Řádka 1 583: | Řádka 1 442: | ||
\special{src: 1674 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1674 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Ze \rf{posunl}) a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho}) | + | Ze (\rf{posunl}) a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ (\rf{vlfcelho}) |
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci}\ee | \be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci}\ee | ||
− | Operátor $\hat a_+$ tedy "zvyšuje energii stavu" o $\hbar\omega$ a nazývá se obvykle | + | Operátor $\hat a_+$ tedy "zvyšuje energii stavu" o $\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se z podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}. |
\special{src: 1680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}), \rf{acoma}) platí | + | Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací (\rf{hcoma}), (\rf{acoma}) platí |
\be \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-)= | \be \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-)= | ||
{\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half). \ee | {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half). \ee | ||
Řádka 1 599: | Řádka 1 458: | ||
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a | Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a | ||
anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s nejnižší energií | anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s nejnižší energií | ||
− | $\psi_0$ totiž musí platit \be \hat a_-\psi_0=0 \ll{anih0}\ee a dosadíme-li do \rf{kreanop}) vyjádření | + | $\psi_0$ totiž musí platit \be \hat a_-\psi_0=0 \ll{anih0}\ee a dosadíme-li do (\rf{kreanop}) vyjádření |
− | operátorů $\hat Q,\ \hat P$ \rf{xoper}), \rf{poper}), rovnice \rf{anih0}) přejde na tvar \be | + | operátorů $\hat Q,\ \hat P$ (\rf{xoper}), (\rf{poper}), rovnice (\rf{anih0}) přejde na tvar \be |
\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0=0, \ee kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální | \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0=0, \ee kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální | ||
rovnici 1. řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme. \be \psi_0(\xi)=Ce^{-\xi^2/2}. \ee Porovnáním | rovnici 1. řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme. \be \psi_0(\xi)=Ce^{-\xi^2/2}. \ee Porovnáním | ||
− | této \fc e s \rf{vlfcelho}) zjistíme, že se skutečně jedná o vlastní \fc i energie jednorozměrného | + | této \fc e s (\rf{vlfcelho}) zjistíme, že se skutečně jedná o vlastní \fc i energie jednorozměrného |
harmonického oscilátoru s vlastním číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ | harmonického oscilátoru s vlastním číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ | ||
dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s nejnižší energií \be \psi_n(\xi)=K_n\hat | dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s nejnižší energií \be \psi_n(\xi)=K_n\hat | ||
a_+^n\psi_0(\xi)=\frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \ | a_+^n\psi_0(\xi)=\frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \ | ||
K_n^{-1}=(\frac{\hbar\pi}{M\omega})^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.\label{ntylho}\ee Volba fáze | K_n^{-1}=(\frac{\hbar\pi}{M\omega})^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.\label{ntylho}\ee Volba fáze | ||
− | normalizačních konstant \rf{nvlfcelho}) vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru | + | normalizačních konstant (\rf{nvlfcelho}) vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru |
určuje i fázi koeficientů $\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s přijatou fázovou | určuje i fázi koeficientů $\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s přijatou fázovou | ||
− | konvencí \rf{nvlfcelho}), kde všechny normalizační koeficienty jsou kladné. \bc Ukažte, že platí \[ \hat | + | konvencí (\rf{nvlfcelho}), kde všechny normalizační koeficienty jsou kladné. \bc Ukažte, že platí \[ \hat |
− | a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec \bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v \rf{akopnavlfci}). \ec | + | a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec \bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v~(\rf{akopnavlfci}). \ec |
Poznamenejme ještě nakonec, že stav s nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. {\em | Poznamenejme ještě nakonec, že stav s nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. {\em | ||
Řádka 1 617: | Řádka 1 476: | ||
a_-\rho_\lambda=\lambda\rho_\lambda. \ee Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme \be | a_-\rho_\lambda=\lambda\rho_\lambda. \ee Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme \be | ||
\rho_\lambda(\xi)=C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}.\label{kohstav}\ee Tyto stavy hrají významnou | \rho_\lambda(\xi)=C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}.\label{kohstav}\ee Tyto stavy hrají významnou | ||
− | roli zejména v kvantové optice. | + | roli zejména v~kvantové optice. |
\subsubsection{Moment hybnosti} Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho | \subsubsection{Moment hybnosti} Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho | ||
Řádka 1 625: | Řádka 1 484: | ||
\hat L_\pm Y_{lm}=\alpha^\pm_{lm}Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha}\ee \be \hat L_+Y_{ll}=0,\ \hat L_- | \hat L_\pm Y_{lm}=\alpha^\pm_{lm}Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha}\ee \be \hat L_+Y_{ll}=0,\ \hat L_- | ||
Y_{l,-l}=0,\label{yll0} \ee kde $\alpha^\pm_{lm}\in \complex$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v | Y_{l,-l}=0,\label{yll0} \ee kde $\alpha^\pm_{lm}\in \complex$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v | ||
− | podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{yll0}) a \rf{posalpha}) použít pro výpočet | + | podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice (\rf{yll0}) a (\rf{posalpha}) použít pro výpočet |
kulových funkcí. \bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-]=2\hbar\hat L_3. \ee \ec \bc Napište | kulových funkcí. \bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-]=2\hbar\hat L_3. \ee \ec \bc Napište | ||
operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec Koeficienty | operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec Koeficienty | ||
− | $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha}) až na fázi. Přijmeme-li tzv. Condon-Shortleyovu | + | $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací (\rf{posalpha}) až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu |
konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je | konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je | ||
− | reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant $C_{lm}$ \rf{normconsY}) pro $Y_{l,m}$ | + | reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant $C_{lm}$ (\rf{normconsY}) pro $Y_{l,m}$ |
jako $(-1)^m$. \bc \label{alplm}Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec \bc Spočítejte "maticové | jako $(-1)^m$. \bc \label{alplm}Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec \bc Spočítejte "maticové | ||
elementy" $(Y_{lm},\hat L_kY_{l'm'})$. \ec | elementy" $(Y_{lm},\hat L_kY_{l'm'})$. \ec | ||
− | \subsubsection{Bra-ketový formalismus} Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv. "ketů" $|\ >$ a "bra" | + | \subsubsection{Bra-ketový formalismus} Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv.~"ketů" $|\ >$ a "bra" |
$<\ |$, což obecně není nic jiného než označení prvků Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li | $<\ |$, což obecně není nic jiného než označení prvků Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li | ||
normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=|n>$, pak ketové vyjádření | normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=|n>$, pak ketové vyjádření | ||
− | vztahu \rf{ntylho}) je \[ |\,n>=K_n \hat a_+^n |\,0>. \] Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního | + | vztahu (\rf{ntylho}) je \[ |\,n>=K_n \hat a_+^n |\,0>. \] Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního |
součinu pro libovolné $f\in$\qintline \[ (\psi_n,f)\equiv(|n>,|f>)=<n|f> \] (skalární součin = závorka = | součinu pro libovolné $f\in$\qintline \[ (\psi_n,f)\equiv(|n>,|f>)=<n|f> \] (skalární součin = závorka = | ||
bracket =$<$ bra$|$ket$>$ ), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi vlastních funkcí | bracket =$<$ bra$|$ket$>$ ), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi vlastních funkcí | ||
− | energie jednorozměrného harmonického oscilátoru má v bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar \be f | + | energie jednorozměrného harmonického oscilátoru má v~bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar \be f |
\equiv|f>=\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|f> \ll{relupl},\ee což se často zapisuje jako | \equiv|f>=\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|f> \ll{relupl},\ee což se často zapisuje jako | ||
$\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|=\hat\unit$. | $\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|=\hat\unit$. | ||
Řádka 1 649: | Řádka 1 508: | ||
bra-ketovém vyjádření má jednoduchý tvar \be <m|n>=\delta_{mn}.\ee | bra-ketovém vyjádření má jednoduchý tvar \be <m|n>=\delta_{mn}.\ee | ||
− | Operátory $\hat O$ v \qintline \, lze zapsat v tzv. energetické reprezentaci pomocí maticových elementů | + | Operátory $\hat O$ v~\qintline \, lze zapsat v~tzv.~energetické reprezentaci pomocí maticových elementů |
$<n|\hat O|m>$ způsobem \be \hat O f \equiv \hat O |f>= \sum_{n=0}^\infty|n><n|\hat O |f>= | $<n|\hat O|m>$ způsobem \be \hat O f \equiv \hat O |f>= \sum_{n=0}^\infty|n><n|\hat O |f>= | ||
\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty|n><n|\hat O|m><m| f>, \ee kde \be <n|\hat O|m>:= (\psi_n,\hat O\psi_m). | \sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty|n><n|\hat O|m><m| f>, \ee kde \be <n|\hat O|m>:= (\psi_n,\hat O\psi_m). | ||
− | \ee \bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v jednorozměrném případě\ec | + | \ee \bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v~jednorozměrném případě\ec |
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů $ |l,m>$ nebo vlastní funkce | Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů $ |l,m>$ nebo vlastní funkce | ||
Řádka 1 662: | Řádka 1 521: | ||
\hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee dává diferenciální rovnice \be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial | \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee dává diferenciální rovnice \be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial | ||
x_j}=p_j\phi \ \ j=1,2,3, \ee které mají řešení \be \phi_{\vec p}(\vec x)=Ae^{i\vec p\, \vec x/\hbar}, | x_j}=p_j\phi \ \ j=1,2,3, \ee které mají řešení \be \phi_{\vec p}(\vec x)=Ae^{i\vec p\, \vec x/\hbar}, | ||
− | \ll{zvfoh}\ee jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v tom, že tyto \fc e | + | \ll{zvfoh}\ee jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v~tom, že tyto \fc e |
nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné $\vec p\in\complex^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v | nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné $\vec p\in\complex^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v | ||
Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich | Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich | ||
Řádka 1 670: | Řádka 1 529: | ||
\special{src: 1771 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1771 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem | Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem | ||
− | \rf{spvv}) je možno provést pouze pro hodnoty z bodové části | + | (\rf{spvv}) je možno provést pouze pro hodnoty z bodové části |
spektra odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra | spektra odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra | ||
− | lze přiřadit pouze tzv. | + | lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, které |
nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat | nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat | ||
− | skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s \fc emi ležícími v husté podmnožině kvadraticky | + | skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s \fc emi ležícími v~husté podmnožině kvadraticky |
integrovatelných funkcí. | integrovatelných funkcí. | ||
\special{src: 1731 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1731 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Příkladem takové husté podmnožiny je | + | Příkladem takové husté podmnožiny je \emph{prostor rychle ubývajících funkcí} ${\cal S}(\real^3)$ obsahující |
funkce $f\in$ \qintspace splňující \be {\rm sup}|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial | funkce $f\in$ \qintspace splňující \be {\rm sup}|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial | ||
x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f|<\infty | x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f|<\infty | ||
Řádka 1 702: | Řádka 1 561: | ||
S}(\real^3)$. Rovnice pro funkcionály $\Phi_{\vec p}$ má tvar \be (\hat P_j\Phi_{\vec p})(f)= | S}(\real^3)$. Rovnice pro funkcionály $\Phi_{\vec p}$ má tvar \be (\hat P_j\Phi_{\vec p})(f)= | ||
(\hat P_j \phi_{\vec p},f)=(\phi_{\vec p},\hat P_j f)=p_j(\phi_{\vec p},f)=p_j\Phi_{\vec p}(f),\ \forall | (\hat P_j \phi_{\vec p},f)=(\phi_{\vec p},\hat P_j f)=p_j(\phi_{\vec p},f)=p_j\Phi_{\vec p}(f),\ \forall | ||
− | f\in {\cal S}(\real^3) \ll{rceprophip}\ee a funkce \rf{zvfoh}) nazýváme | + | f\in {\cal S}(\real^3) \ll{rceprophip}\ee a funkce (\rf{zvfoh}) nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e |
hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z \qintspace. To je také | hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z \qintspace. To je také | ||
− | důvod proč je s úspěchem můžeme použít k popisu tzv. rozptylových stavů (viz kap. \ref{potrozptyl}), jež | + | důvod proč je s úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap. \ref{potrozptyl}), jež |
jsou určeny počáteční a konečnou hybností. \bc Nechť \[ \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon} | jsou určeny počáteční a konečnou hybností. \bc Nechť \[ \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon} | ||
\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon | \int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon | ||
Řádka 1 712: | Řádka 1 571: | ||
Ještě výraznější je "zobecněnost" vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice \[ \hat | Ještě výraznější je "zobecněnost" vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice \[ \hat | ||
Q_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3 \] má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové | Q_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3 \] má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové | ||
− | \fc e jsou však v \qintspace { ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení problému konstrukce zobecněných | + | \fc e jsou však v~\qintspace { ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení problému konstrukce zobecněných |
vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\real^3$, %zavést. K | vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\real^3$, %zavést. K | ||
− | jejich konstrukci lze použít tzv. $\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující | + | jejich konstrukci lze použít tzv.~$\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující |
vlastnosti: \be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda | vlastnosti: \be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda | ||
\ll{dcond1}\ee \be \int_\real \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee | \ll{dcond1}\ee \be \int_\real \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee | ||
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky | Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky | ||
− | \rf{dcond1},\ref{dcond2}), nicméně lze definovat jiné matematické | + | (\rf{dcond1},\ref{dcond2}), nicméně lze definovat jiné matematické |
objekty pro které lze obě podmínky splnit. | objekty pro které lze obě podmínky splnit. | ||
− | \\ | + | \\\textbf{Příklad}: Nejjednodušší způsob je pohlížet na |
$\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť | $\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť | ||
\[ f_{a,\lambda}(x):= 0\ \for |x-\lambda|>a \] | \[ f_{a,\lambda}(x):= 0\ \for |x-\lambda|>a \] | ||
\[ f_{a,\lambda}(x):= 1/2a\ \for |x-\lambda|\leq a. \] | \[ f_{a,\lambda}(x):= 1/2a\ \for |x-\lambda|\leq a. \] | ||
− | Pak podmínky \rf{dcond1}), \rf{dcond2}) jsou splněny pro | + | Pak podmínky (\rf{dcond1}), (\rf{dcond2}) jsou splněny pro |
− | %každou $f_{a,\lambda}$ a podmínku \rf{dcond1}) lze splnit, když | + | %každou $f_{a,\lambda}$ a podmínku (\rf{dcond1}) lze splnit, když |
$a\rightarrow 0$.\\ | $a\rightarrow 0$.\\ | ||
Z tohoto příkladu je snadno vidět, že i | Z tohoto příkladu je snadno vidět, že i | ||
− | zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop}) | + | zobecněné vlastní funkce operátoru polohy (\rf{zvfop}) |
lze aproximovat funkcemi z prostoru \qintspace{} podobně jako | lze aproximovat funkcemi z prostoru \qintspace{} podobně jako | ||
− | zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}). | + | zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti (\rf{zvfoh}). |
\special{src: 1830 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 1830 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Přesnější definici pojmu $\delta$-- \fc e je možno podat v rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou | + | Přesnější definici pojmu $\delta$-- \fc e je možno podat v~rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou |
− | spojité lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^n)$. Uvedeme pouze, že v této teorii je (jednorozměrná) | + | spojité lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^n)$. Uvedeme pouze, že v~této teorii je (jednorozměrná) |
$\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,.)$ na ${\cal S(\real)}$ definovaného ve | $\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,.)$ na ${\cal S(\real)}$ definovaného ve | ||
− | shodě s \rf{dcond2})způsobem %Definujeme-li pro $f\in{\cal S(\real)}$ | + | shodě s (\rf{dcond2})způsobem %Definujeme-li pro $f\in{\cal S(\real)}$ |
\be | \be | ||
\int_\real\delta_\lambda(x)f(x)\equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).\ee Rovnost \[ | \int_\real\delta_\lambda(x)f(x)\equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).\ee Rovnost \[ | ||
x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x) \] pak znamená \be (\hat Q | x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x) \] pak znamená \be (\hat Q | ||
\delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat Q f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in {\cal S}(\real^3), \ee | \delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat Q f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in {\cal S}(\real^3), \ee | ||
− | (což je vztah analogický k \rf{rceprophip}) ) a v tomto smyslu je \be \delta_{\vec a}(\vec | + | (což je vztah analogický k~(\rf{rceprophip}) ) a v~tomto smyslu je \be \delta_{\vec a}(\vec |
x)\equiv\delta(\vec a-\vec x):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3) \ll{zvfop}\ee zobecněnou | x)\equiv\delta(\vec a-\vec x):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3) \ll{zvfop}\ee zobecněnou | ||
vlastní funkcí polohy s vlastní hodnotou $\vec a$. | vlastní funkcí polohy s vlastní hodnotou $\vec a$. | ||
Řádka 1 751: | Řádka 1 610: | ||
x-\vec y)} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vec x-\vec y), \ee t.j. | x-\vec y)} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vec x-\vec y), \ee t.j. | ||
\be {\cal F}[\phi_{\vec p}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec p/\hbar} \ll{fourfip}\ee | \be {\cal F}[\phi_{\vec p}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec p/\hbar} \ll{fourfip}\ee | ||
− | Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}), totiž | + | Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í (\rf{zvfoh}), totiž |
− | že je lze {\ | + | že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$ \be (\phi_{\vec |
p'},\phi_{\vec p}) \equiv \int_{\real^3}\phi_{\vec p}(\vec x)\phi_{\vec p'}^*(\vec x) d^3x=\delta(\vec | p'},\phi_{\vec p}) \equiv \int_{\real^3}\phi_{\vec p}(\vec x)\phi_{\vec p'}^*(\vec x) d^3x=\delta(\vec | ||
− | p-\vec p') .\ll{dnormp}\ee Podobně i pro \rf{zvfop}) platí \be (\delta_{\vec a'},\delta_{\vec a}) \equiv | + | p-\vec p') .\ll{dnormp}\ee Podobně i pro (\rf{zvfop}) platí \be (\delta_{\vec a'},\delta_{\vec a}) \equiv |
\int_{\real^3}\delta_{\vec a}(\vec x)\delta_{\vec a'}(\vec x) d^3x=\delta(\vec a-\vec a') .\ll{dnormx}\ee | \int_{\real^3}\delta_{\vec a}(\vec x)\delta_{\vec a'}(\vec x) d^3x=\delta(\vec a-\vec a') .\ll{dnormx}\ee | ||
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na ${\cal S}(\real^n)$ a | Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na ${\cal S}(\real^n)$ a | ||
Řádka 1 760: | Řádka 1 619: | ||
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec a}\equiv |\,\vec a>,\ \phi_{\vec | Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec a}\equiv |\,\vec a>,\ \phi_{\vec | ||
− | p}\equiv|\,\vec p>$. Vztahy \rf{zvfoh}), (\ref{dnormx}), (\ref{dnormp}), (\ref{dcond2}) a (\ref{invft}) pak | + | p}\equiv|\,\vec p>$. Vztahy (\rf{zvfoh}), (\ref{dnormx}), (\ref{dnormp}), (\ref{dcond2}) a (\ref{invft}) pak |
lze zapsat jako \[ <\vec x\,|\vec p\,>=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec p\, \vec x/\hbar},\ <\vec | lze zapsat jako \[ <\vec x\,|\vec p\,>=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec p\, \vec x/\hbar},\ <\vec | ||
x\,|\vec x\,'>=\delta (\vex-\vex\,'),\ <\vec p\,|\vec p\,'>=\delta(\vec p-\vec p\,'), \] \[ <\vec | x\,|\vec x\,'>=\delta (\vex-\vex\,'),\ <\vec p\,|\vec p\,'>=\delta(\vec p-\vec p\,'), \] \[ <\vec | ||
Řádka 1 768: | Řádka 1 627: | ||
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části | Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části | ||
− | spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice v coulombickém poli spočítaných v předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům | + | spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům |
− | částice v Coulombově potenciálu s kladnou energií (tzv. rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní | + | částice v~Coulombově potenciálu s kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní |
\fc e | \fc e | ||
\be \psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm}, \ee | \be \psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm}, \ee | ||
− | kde $k=\pm\sqrt{2mE}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm}) a | + | kde $k=\pm\sqrt{2mE}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce (\rf{ylm}) a |
\be | \be | ||
R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr} | R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr} | ||
Řádka 1 778: | Řádka 1 637: | ||
\ll{zovlfcecoul}.\ee | \ll{zovlfcecoul}.\ee | ||
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru | Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru | ||
− | konstant $C_{kl}$ normalizovány k $\delta$--\fc i, neboť platí | + | konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí |
\[ \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} | \[ \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} | ||
F^*(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr) | F^*(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr) |
Verze z 3. 1. 2011, 10:58
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} \section{Popis stavů kvantové částice} \ll{Popisstavu} \sv a \rc e má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic, \sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a \qv é mechanice. \subsection{Stavový prostor} \ll{stavprost} {\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.} \sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno volbou počáteční podmínky $\psi (\vec{x},t=t_0)= g(\vec{x})$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e (\rf{sr}) popisuje časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{stavová či vlnová funkce částice}. Bornova interpretace řešení \sv y \rc e klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka (\rf{konecnanorma}) platí pro libovolný čas $t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vec x)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vec x\equiv (x,y,z)$) \be \int_{\R^3} |g(\vec x)|^2 d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $d^3x$). Mimo to funkce $g$ a $Cg$, kde $C$ je libovolné komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e. \bc Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí \be g(x,y,z)=Ae^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_0}, \ll{zsv} \ee kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}. \ll{ex:pstvodat} \ec Díky Minkowského nerovnosti \[ \left( \int_{\real^3}|f+g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} \leq \left( \int_{\real^3}|f|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\real^3}|g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2}, \] jež platí pro funkce splňující (\rf{konecnanormag}), tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{ princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$, $\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.} \bc Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení (\rf{ex:vlnbal}) kvadraticky integrovatelná? \ll{ex:hilbspvb} \ec \bc Leží \db ova vlna (\rf{dbvlna}) ve výše uvedeném prostoru? \ec Na lineárním vektorovém prostoru stavových funkcí splňujících podmínku (\rf{konecnanorma}) je možno zavést ještě bohatší matematickou strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu. \subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory} Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené). Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce. {\small \bd \emph{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující \[ F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\ F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h), \] \[ F(af,g)=a^*F(f,g),\ F(f,ag)=aF(f,g), \] kde $a\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička znamená komplexní sdružení. \ed \bp Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem \be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vec x)g_2(\vec x)d^Nx. \ll{ss} \ee \ep \bd Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \emph{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí \be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2} \ee \ed \bc Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in \real$. \ll{symfor} \ec \bd Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \emph{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí \be F(f,f) \geq 0. \ee Pokud navíc \be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee pak tuto formu nazveme \emph{striktně pozitivní}. \ed \bp Sesquilineární forma (\rf{ss}) je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep \bt Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost} \be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že \be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee \begin{proof} Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$ \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F(f,g)^*$ dostaneme (\rf{schwarz}). Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního čísla plyne $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$). Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v~(\rf{possesq}), pak dostaneme nerovnost (\rf{schwarz}). Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~(\rf{schwrovn}). Z~nerovnosti \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \] pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~(\rf{schwarz}) dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost platí, pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v~(\rf{schwrovn}). \end{proof} \et } %konec prostředí \small \bd Sesquilineární striktně pozitivní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \emph{skalární součin}. Lineární vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \emph{unitární} nebo též \emph{pre-hilbertův}. \ed \bp Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee \ep Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru $V$ normu $||f||:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=||f-g||$ \bd Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \emph{Hilbertův}. \ed \bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem (\rf{sscn}) je Hilbertův. \ep {\small Sesquilineární forma (\rf{ss}) na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na množině míry nula za "stejné", tzn. provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle \qintrn, na kterém pak (\rf{ss}) definuje skalární součin. V normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův.% (viz \cite{beh:lokf}). }%small \\\textbf{Příklad:} Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\real$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$ a \[ (f,g):=\int_a^b f^*(x)g(x)dx \] je Hilbertův. \special{src: 200 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel V dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry nula. Můžeme tedy shrnout, že \textbf{%fyzikálně interpretovatelná řešení funkce (\rf{konecnanormag}) popisující stavy kvantové částice tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}. \bt [Rieszovo lemma] Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\hil$ takový, že pro všechna $f\in\hil$ platí \[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \] \et Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\hil$ je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální: $\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv.~"bra--ketového formalismu", který je v~\qv é \mi ce často používán. \vskip 1cm Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální baze. (často ne zcela správně nazývaná ortonormální baze). {\small \bd Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\hil$ nazveme \emph{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme \emph{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z množiny $M$ platí $||x||=1$ nazveme ji \emph{ortonormální} \ed \bd Vektor $x\in \hil$ nazveme {\em ortogonální k~množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů nazýváme \emph{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$. \ed Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$. \bt Je-li ${\cal G}$ uzavřený podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in{\cal G}$ a $z\in {\cal G}^\perp$, tak že $x=y+z$, t.zn. $\hil={\cal G}\bigoplus{\cal G}^\perp$. \et Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_{\cal G}:x\lim y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na ${\cal G}$. }%small \bd \emph{Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, $B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$. \ed Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární kombinaci prvků baze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako "nekonečnou lineární kombinaci" prvků ortonormální baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ ||f||:=(f,f)$. \\\textbf{Příklad:} Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\real,\ c:=b-a,\ m\in \integer$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v~prostoru tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$. \bd Nechť $B$ je ortonormální baze v~Hilbertově prostoru $\hil$. \emph{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\hil$ \emph{pro bazi $B$} nazveme skalární součiny (b,f), kde $b\in B$. \ed \special{src: 272 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (například \qintspace), %jsou seperabilní a pro ně platí, že mají nejvýše spočetnou ortonormální bazi $B=\{e_j\}$. V takovýchto prostorech platí pro každé $f\in\hil$ \be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp}\ee \be ||f||^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2 \ll{parseval}\ee Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.} \special{src: 285 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel V kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. \bc Najděte ortonormální bazi v~$\complex^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice \[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc} 0&1\\1&0 \end{array} \right) \] \ec Příklady ortonormálních bazí v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách. %\input{pozorova.sub} \subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}\ll{pozorovatelne} {\small V klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie, momentu hybnosti, ...) . \special{src: 305 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Stav systému (např. jedné či více částic) je určen bodem {fázového} prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny -- \emph{pozorovatelné} %-- v~klasické mechanice je pak možno jsou definovány jako reálné funkce na fázovém prostoru. %Víme též, že t %Tento popis %stavu soustavy hmotných bodů, % je {úplný}, neboť h Hodnotu každé mechanické veličiny %můžeme vypočítat ze znalosti pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím bodu fázového prostoru. Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je dáno oborem hodnot této funkce. Např. kinetická energie stavu $(\vec p,\vec q)$ je \[ E_{kin}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \] a její spektrum je $\real_+$. \special{src: 327 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {Tento popis je nezávislý na dynamice} tj.~na časovém vývoji systému a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických pojmů v~kvantové mechanice. %Výše uvedená fakta lze pak shrnout např. tak, že stav %klasického mechanického systému lze popsat bodem %soustavy $N$ hmotných bodů bez vazeb je popsán bodem %$6N$-rozměrného -- %, který je určen okamžitou hodnotou %všech poloh a hybností jednotlivých hmotných bodů. } \special{src: 343 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: %, je třeba napřed znát odpověď na druhou otázku: {Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným?} {Jak bylo konstatováno v~minulém paragrafu, { stavový prostor kvantové částice} je %lineární prostor množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl -- popis objektů mikrosvěta -- ukázala neadekvátní.} Místo toho \textbf{kvantová %mechanika teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na %stavovém prostoru stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným experimentálním ověřováním %kvantové teorie. \special{src: 365 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro sledování analogií s klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V kvantové mechanice hmotné částice je \textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou} \be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$} \ll{xoper}\ee a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace} \be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial x_j}(\vec x)$} \ll{poper}\ee Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e (\rf{srvolna}) z \db ovy hypotézy. \special{src: 381 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Existuje mnoho zdůvodnění %tohoto přiřazení (\rf{xoper},\ref{poper}). %která zatím pomineme. Poznamenejme pouze, že v V každém z nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně ekvivalentní (\rf{xoper},\ref{poper}). \special{src: 390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence}, tzn. jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém případě. Např. operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je \[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \] kde $\triangle=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$. \special{src: 403 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů, což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z definičního oboru definovány a jejich výsledek ležel v~\qintspace {} (takže například funkce z definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné a derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další %plynou z následujícího požadavek kvantové \mi ky, totiž, že %Základní předpoklad pro \oper y odpovídající fyzikálním veličinám zní: \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s množinou hodnot, které lze pro danou veličinu naměřit}.%, přičemž \special{src: 423 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Problémů s definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce. Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např. na \cite{beh:lokf}. \bc\ll{nekpoja} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě", tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$. \\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$. \ec \bc Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$. \\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \real$. \ec \special{src: 434 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru} Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat. \special{src: 443 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde definiční obor $D_T$ je lineární podprostor $\hil$. Je-li Hilbertův prostor %je lineární vektorový prostor. Je-li konečně rozměrný pak teorie lineárních zobrazení je relativně jednoduchá a redukuje se na teorii matic. V \qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických problémů. % pro teorii lineárních operátorů. Některé z nich lze řešit, pokud budeme používat pouze %Budeme se zabývat výhradně tzv. \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou $\hil$ plynoucí ze skalárního součinu. \special{src: 462 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \special{src: 465 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory. \bd Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je \emph{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí \[ ||\hat B g||\leq c||g|| \] \ed \special{src: 474 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Normou $||g||$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $||g||:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze spojitě rozšířit na celé $\hil$. \\ \pri Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\cap L^1(\real^3,dx^3)$. Pro ostatní funkce je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}} \[ \tilde g(\vec p)\equiv(\hat F g)(\vec p):=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\real^3} e^{-i\vec p\vec x}g(\vec x)dx^3 \] je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí. \special{src: 486 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \bd Nechť $\hat B$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat B^\dagger $ nazveme \emph{sdruženým k} $\hat B$, pokud pro všechna $f,g\in\hil$ \[ (f,\hat Bg)=(\hat B^\dagger f,g) \] \ed Z Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí \be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol}\ee Omezené operátory na $\hil$ tvoří komplexní algebru a platí \be (a\hat B +\hat C)^\dagger =a^*\hat B^\dagger +\hat C^\dagger ,\ \ (\hat B\hat C)^\dagger =\hat C^\dagger \hat B^\dagger . \ll{algop}\ee \bc Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat M$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá operátoru $\hat M^\dagger$? \ec \bd Operátor $\hat B$ na $\hil$ nazýváme \emph{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat B^\dagger =\hat B$. \ed \pri Operátor $\hat Q$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný \[ (\hat Q f)(x):=xf(x) \] je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat Q$ není omezený.) \bt Operátor $\hat E$ je ortogonální projektor (na $Ran\ \hat E$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje $\hat E^2=\hat E$. \et \special{src: 517 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich definice vychází z následujícího faktu: \special{src: 522 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \bt Je-li $\hat T$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro každé $f\in\hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové, že pro všechna $g\in D_T$ platí \be (f,\hat Tg)=(h,g) \ll{sad1}\ee \et Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy: \bd Nechť $\hat T$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat T^\dagger $ \emph{sdruženého k} $\hat T$ je množina všech $f\in\hil$, pro které existuje $h$ splňující (\rf{sad1}), přičemž $\hat T^\dagger f:=h$ \ed \bd Operátor $\hat T$ je \emph{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat T=\hat T^\dagger $. \ed \special{src: 538 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických. \special{src: 542 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \bd Operátor $\hat S$ je \emph{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat Sg)=(\hat Sf,g) $, tj. $D_S\subset D_{S^\dagger}$. \ed \special{src: 549 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Je zřejmé, že každý hermitovský operátor je samosdružený; opak neplatí. \\ \pri Operátor $\hat Q, (\hat Q\psi)(x):=x\psi(x)$ s definičním oborem $D_X:=\{\psi\in L^2(\real,dx):\int_\real x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ je samosdružený. \special{src: 557 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Doplníme-li definici (\rf{poper}) operátoru $\hat P_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené (viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7). \special{src: 561 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy (\rf{algop}) musí být proto pro neomezené operátory náležitě modifikovány, stejně jako i (\rf{invol}). \special{src: 568 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice. %Tento pojem má smysl %lze přirozeně %definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory. %\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic %\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \] %Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený}, %pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\hil\times\hil$. %\ed %Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří %celá komplexní rovina. \bd \emph{Spektrum $\sigma(\hat T)$ %uzavřeného operátoru} $\hat T$ je množina komplexních čísel $\lambda $ pro které operátor $(\hat T-\lambda\hat\unit)$ není bijekcí $D_T\lim\hil$. \ed \special{src: 589 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že $\hat T\psi=\lambda \psi$, pak operátor $\hat T-\lambda\hat\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat T)$ vlastních čísel operátoru $\hat T$ nazýváme \emph{bodovým spektrem}. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla pro která operátor $\hat T - \lambda\hat\unit $ není surjektivní. Ty tvoří body tzv.~\emph{spojité či reziduální části spektra}. \textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí \bt Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\real$. \et To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných. } \special{src: 612 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Spektrum (čistě spojité) každého z operátorů (\rf{xoper},\ref{poper}) je \textbf{R} (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že ani pro \qv ou částici %je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a %hybnosti částice. nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. \special{src: 622 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru. \subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}\ll{qho} Ukážeme, že přiřazení (\rf{xoper},\ref{poper}) a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o diskrétnosti spektra energie harmonického oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz \ref{podkap:coulomb} ) jeden z hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie. Operátor energie -- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + \frac{M}{2}\omega^2 \vec{x}^2. \ll{lho3}\ee Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, %splňující podmínku (\rf{konecnanorma}), pak množina vlastních hodnot , tj.~čísel $\lambda$ pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$ splňující \be \hat H\psi=\lambda\psi, \ll{vlfce}\ee je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze. \special{src: 648 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Operátor (\rf{lho3}) je součtem tří operátorů \[\hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3,\] \[H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \] a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru (\rf{lho3}) ve faktorizovaném tvaru \be \psi(\vec x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi}\ee Rovnice (\rf{vlfce}) pak přejde na tvar \be (\hat H_1\psi_1)\psi_2 \psi_3+\psi_1(\hat H_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat H_3\psi_3)=\lambda\psi_1\psi_2\psi_3. \ll{rozkladH}\ee Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ %a vlastní funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$ \[ \hat H_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \] pak získáme i vlastní čísla operátoru (\rf{lho3}) \be \lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \ee Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla. \special{src: 668 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel %Spektrum tohoto operátoru vyšetříme v~. Nyní se omezíme na Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy %nalezení vlast operátor \be \fbox{\Large$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1}\ee Tento operátor lze považovat za operátor energie {\em jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom rozměru (na přímce). \special{src: 680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \begin{tvr} Množina vlastních čísel operátoru (\rf{lho1}) působícího v~prostoru %$\cal L^2(\bf R,dx)$ kvadraticky integrovatelných %spojitých funkcí jedné proměnné %je čistě bodové a je tvořena reálnými čísly \fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\bf Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce \be \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $}\ee kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy} \be H_n(z):= \sum_{k=0}^{[n/2]}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef}\ee kde $[r]$ je celá část reálného čísla $r$. \ll{slho}\end{tvr} Důkaz: %Bodové spektrum operátoru (\rf{lho1}) je tvořeno Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \real\rightarrow\complex$ diferenciální rovnice \be %\hat H\psi= -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi=\lambda\psi. \ll{eqlho1}\ee Tato rovnice je lineární ODR 2.řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $\lambda$. Ukážeme, že podmínka kvadratické integrability je splněna jen pro \be \lambda=\hbar \omega(n+\half). \ll{hokvan}\ee %Pro zjednodušení zápisu Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x,\ \psi(x)=\phi(\xi)$ dostaneme rovnici ve tvaru \be \phi''-\xi^2\phi+\Lambda\phi=0 \ll{hobezr}\ee kde $\Lambda=2\lambda/(\hbar\omega)$. \special{src: 717 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice (\rf{hobezr}) singularitu, je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\lim\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako \be \phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}%(const+O(\xi)) .\ll{rozphi}\ee Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě (\rf{rozphi}). Zvolíme tedy ansatz \be \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi) \ll{hoansatz}\ee a budeme se zajímat o řešení rovnice \be u'' = 2\xi u' +(1-\Lambda)u \ll{hermrce}\ee která v~nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$. \special{src: 735 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Rozšíříme-li rovnici (\rf{hermrce}) do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi,u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady \be u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\integer_+ \ll{radau}\ee Jejím dosazením do (\rf{hermrce}) a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$ \[ s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0 \] \be a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m \ll{rran}\ee \special{src: 749 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel %Neboť rekurentní relace \rf/rran/((0 Pokud čitatel na pravé straně (\rf{rran}) je nenulový pro všechna $m$, pak se řada (\rf{radau}) pro $\xi\lim\infty$ chová jako $exp(\xi^2)$ a řešení \rc e (\rf{hobezr}) není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např. z porovnání rekurentní formule (\ref{rran}) pro dosti velká $m$ se stejným vztahem pro koeficienty řady $exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrovatelná řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada (\ref{radau}) je konečná, tj.~existuje $N$ takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy a jen tehdy, když \be a_1=0, \ 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \ N \ \text{sudé nezáporné}.\ll{kvantlam} \ee V tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce (\rf{hoansatz}) je kvadraticky integrovatelná. \special{src: 763 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z podmínky (\rf{kvantlam}) plyne, že \rc e (\rf{hermrce}) má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \Lambda=1+2n$, takže rovnice (\rf{eqlho1}) má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí (\rf{hokvan}). \special{src: 770 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$ \be H_n(\xi)=\sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol}\ee jež řeší rovnici (\rf{hermrce}) jsou pak určeny rekurentní relací \be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol}\ee přičemž pro sudá či lichá $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$. \special{src: 780 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace (\rf{rrherpol}) je \be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee %Polynomy (\rf{herpol}) se nazývají\emph{Hermitovy}. {\flushright Q.E.D.} \bc Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$. \ec \bc Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem \be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee Návod: Ukažte že pravá strana (\rf{herpol2}) splňuje rovnici (\rf{hermrce}). \ec \bc \ll{cvvytvfce}Ukažte, že \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp[x^2-(x-\xi)^2] \] \ec \special{src: 799 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Důsledkem tvrzení (\rf{slho}) je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s potenciálem $V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$, \ $n\in \Z_+\}$. \special{src: 807 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Tento závěr je ve shodě s Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen $\half\hbar\omega$, představující tzv.~"nulové kmity". Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě s tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie. \bc Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky 1 m a hmotnosti 1 kg. \ec \special{src: 819 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru (\rf{lho3}). Z rozkladu (\rf{rozkladH}) je zřejmé, že funkce \be \psi(x_1,x_2,x_3)=\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci}\ee kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem (\rf{vlfcelho}), jsou vlastními \fc emi \oper u (\rf{lho3}) s vlastními čísly $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$. \special{src: 831 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z následujících dvou tvrzení (viz např \cite{beh:lokf} 4.3.4, 4.3.5). \bt \ll{tr38} Množina vlastních funkcí operátoru (\rf{lho1}) \be \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar} x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x), \ \ K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} \ll{nvlfcelho}\ee je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline. \et \special{src: 845 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \bt \ll{tr39} Množina funkcí (\rf{rozkladvlfci}), kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem (\rf{nvlfcelho}) je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintspace. \et Pro \fc e (\ref{nvlfcelho}) a (\ref{rozkladvlfci}) se často používá ketové značení $\psi_n\equiv |\,n>,\ \psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3}\equiv |\,n_1n_2n_3>$. \special{src: 855 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů (\rf{lho1}) a (\rf{lho3}) jsou čistě bodová (\cite{beh:lokf} 7.3.9). Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu (\rf{lho1}) -- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru -- se liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega$. \special{src: 863 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na multiplikativní konstantu, %-- jednorozměrný podprostor, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních funkcí operátoru (\rf{lho3}) s vlastním číslem $\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí (\rf{rozkladvlfci}), kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru (\rf{lho3}) s vlastním číslem $\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$. \special{src: 880 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}. \bc Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů? \ec \bc Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že \[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \] Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í (\ref{nvlfcelho}). \ec \subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}\ll{Slmomhyb} Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory \be \hat L_j =\epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l= -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\partial}{\partial x_l}. \ll{momhyb}\ee Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$ \be x=r\sin \theta \cos\phi,\ y=r\sin \theta \sin\phi,\ z=r\cos \theta \ll{sfersource}\ee \be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess}\ee \bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar \be \hat L_x= i\hbar (\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi} +\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}) \ll{lx}\ee \be \hat L_y= i\hbar(\sin\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi} -\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}) \ll{ly}\ee \be \hat L_z= -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}.\ll{lz}\ee Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší však je hledat spektrum operátoru $L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici \be -ih \frac{\partial}{\partial\phi}\Psi(r,\theta,\phi)= \lambda\Psi(r,\theta,\phi).\ee Její řešení je \be \psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi}, \ee kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. %Vzhledem k~tomu že Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen %(absolutně) spojitými funkcemi v~$\real^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\phi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. %předpokládáme, že vlnová funkce je v~prostoru spojitá, Musí tedy platit \[ \psi(r,\theta,\phi=0)=\psi(r,\theta,\phi=2\pi). \] Z této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot} \be \lambda= m\hbar, {\rm kde}\ m\in\integer. \ee \bc "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie. \ec \subsection{Stav kvantového systému} V analogii s klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice, např. elektronu, bylo zjistit, jakou komplexní funkcí popsat stav s danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že měření hybnosti změní podstatně polohu \qv é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např. experimentálně potvrzené difrakci elektronů). \special{src: 948 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo jiné v odpovědi na otázku: {Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?} Stavem fyzikálního systému pak obecně %charakterizovat budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v~daném okamžiku schopni provést a otázka, kterou chceme zodpovědět v~této podkapitole zní: \textbf{Jakou vlnovou %počáteční \fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např. elektronu v~atomu vodíku), \textbf{který je v~daném okamžiku v nějakém stavu?} \special{src: 964 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel V příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému oscilátoru s energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci $\psi_n(x)$. To je v~souladu s následujícím postulátem \qv é \mi ky: \special{src: 972 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \textbf{Stav \qv é částice, pro kterou naměříme %-li pro kvantový systém hodnotu $\alpha$ %fyzikální veličiny pozorovatelné $A$ %, pak stav tohoto systému popíšeme je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní funkcí operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$} \be \hat A g_\alpha=\alpha g_\alpha. \ll{vlfcea}\ee \special{src: 981 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \begin{cvi} %Jakou vlnovou \fc i přiřadíme jednorozměrnému operátoru s energií %$\hbar\omega(n+\half)$ ? % Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru s energií $\hbar\omega(n+\half)$ v bodě $x$ ? Spočítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,...$ a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě. \end{cvi} V případě jednorozměrného harmonického oscilátoru % příkladu \ref{vflho} jsou vlnové funkce určeny %energií stavu jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, která nemá při jejich interpretaci žádný význam). %kterou lze určit z normovací podmínky analogické (\rf{k}) ). %vlastní funkce operátoru (\rf{lho1} tvoří jednorozměrný podprostor To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru jsou jednoznačně určeny svou energií. {\small \begin {cvi} % (poznamenejme, že u Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně? \end{cvi} } % k~stavu -- bodu fázového prostoru nestačí). \special{src: 1005 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru %fyzikálních veličin $(A_1\ldots,A_K)$ %charakterizujících stav kvantové částice je však třeba být opatrnější než u částice klasické. Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s přístroji nutná pro měření může změnit jeho stav, který byl vyhodnocen z měření předchozích. Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v~jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z hlediska popisu stavu nepřípustné. %a je proto pochopitelné, že %měřitelným veličinám jsou v~\qv é mechanice %přiřazeny operátory, při %jejichž násobení záleží na pořadí. %Jak bylo konstatováno v~paragrafu ref{pozorovatelne}, na \qv ém %systému %obecně nelze provést měření různých fyzikálních veličin, %aniž by výsledek jednoho % měření %neznehodnotil platnost měření předcházejících. \special{src: 1026 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro \emph{experimentální popis} stavu \qv ého systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze %na daném stavu provést, aniž by výsledek jednoho % měření znehodnotil platnost měření %předcházejících ostatních. Fyzikální veličiny -- pozorovatelné, pro které je toto splněno nazýváme \emph{kompatibilní}. Jejich výsledky provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k~definici stavu. \special{src: 1038 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\small V klasické mechanice pojem kompatibility měření prakticky neexistuje, předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných k určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární úrovni a menší tomu tak být nemusí.} \special{src: 1045 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných je ekvivalentní tomu, %Z tohoto požadavku plyne, že \textbf{operátory $\hat A_j$ přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně komutují } \be [\hat A_j,\hat A_k]=0. \ll{komop}\ee Pro operátory s čistě bodovými spektry plyne z této podmínky existence ortonormální baze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů $(\hat A_1\ldots,\hat A_K)$. \special{src: 1058 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme \oper y (\rf{xoper}) a (\rf{poper}), pak docházíme k závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru jsou nekompatibilní, neboť \be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k]=i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice -- stav s danou polohou a hybností. Z relací neurčitosti se dovíme, že každý \qv ý stav zaujímá "fázový objem" alespoň $(2\pi\hbar)^3$. \bc Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech? \ec \bc Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v~různých směrech? \ec \special{src: 1076 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. Příkladem jsou například \fc e (\rf{rozkladvlfci}), které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu (\rf{lho3}) pro tutéž hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega,\ n=n_1+n_2+n_3$, ale pro různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. V takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$, výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu. Pozorovatelné $(A_2,\ldots,A_K)$ musí být kompatibilní s pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme použili k~částečnému určení (k zúžení prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou. \special{src: 1093 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj.~souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin %$(A_1\ldots,A_K)$ se řídí požadavkem: \textbf{Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ měření \emph{kompatibilních} fyzikálních veličin $(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím \be \hat A_i g=\alpha_i g,\hskip 1cm i=1,\ldots,K. \ll{spvv}\ee Znamená to tedy, že musí být \emph{společnou} vlastní funkcí \emph{komutujících} operátorů $\hat A_i$.} \special{src: 1106 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme \emph{úplná množina pozorovatelných} a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor komutujících operátorů}. \bt Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s čistě bodovými spektry (t.j. takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou $k$--tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr podprostoru společných vlastních stavů roven jedné. \et Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf} (14.2.2). \special{src: 1122 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (např. jednu \cc i) a jí odpovídající úplný soubor komutujících operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak způsob přechodu od jedné množiny ke druhé a odpovídající reinterpretace výsledků. \special{src: 1132 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných %pro jednu kvantovou částici je tvořená obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to relativně snadno měřitelná veličina. \special{src: 1139 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, kvadrát momentu hybnosti a jedna jeho složka. \subsection{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu} \ll{ssec:csympot} Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech. Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \triangle + \hat V(r), \ll{sspot} \ee kde \be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee Ukážeme, že pokud hamiltonián (\rf{sspot}) má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných. \bc Spočítejte komutátory \be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\ \ll{loper1} \ee kde \be \hat L_j := \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee \ec \bc Ukažte, že vzájemně komutují operátory (\rf{sspot}), $L_3\equiv L_z$ a \be \hat L^2 := \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee \ec Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny. Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar \be \hat L_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial\phi} \ll{lzsfer} \ee \be \hat L^2 = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right) \right] \ll{lkvadsfer} \ee \be \hat H = - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right)\right)\right] + \hat V(r) \ll{hsfer} \ee \bc S~použitím vzorců (\rf{lx}-\rf{lz}) ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar (\rf{lkvadsfer}). \ec \bc Dokažte formuli (\rf{hsfer}). \ec \subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce} \ll{ssmomhyb} Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty \be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru (\rf{lkvadsfer}) plyne, že řešením \rc e (\rf{vlfcel2}) budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici \be \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2} + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\right) + \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi = 0. \ll{pdrl2} \ee Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení (\rf{vlfcel2}), která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole \ref{Slmomhyb} našli ve tvaru \be \Psi(r,\theta,\phi) = \chi(r,\theta)e^{ i m\phi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee budeme hledat řešení rovnice (\rf{vlfcel2}) rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru. Rovnice (\rf{pdrl2}) přejde faktorizací (\rf{vlfcelz}) na obyčejnou diferenciální rovnici \be \frac{d}{dt}\left[ (1-t^2)\frac{dF}{dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability (\rf{konecnanorma}) pro $F$ v~tomto případě zní \[ \int_{\real^3}|\psi(x,y,z)|^2dxdydz = \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle} |\Psi(r,\theta,\phi)|^2 r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi \] \be = 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 r^2 dr \sin\theta d\theta = 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2 dr dt < \infty. \ll{kvadintss} \ee Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná na $\langle -1,1 \rangle$. Řešení rovnice (\rf{odrl2}) je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem \be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i \be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee kde \[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \] Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci \be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$ je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky \be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee Řešení rovnice (\rf{odrl2}) v~tomto případě má tvar \be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem \be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee \bc Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$. \ec Funkce \be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $}\ , \ll{ylm} \ee které jsou řešením (\rf{pdrl2}) a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly $\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina všech kulových funkcí \[ \{ Y_{lm}, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z, \ |m| \leq l \},\] kde \be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee tvoří ortonormální bazi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L^2( \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\phi)$. Odtud plyne, že \emph{množina \be \{l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+\} \ll{spektrl2} \ee je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové. Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro $l=0,1,2,\ldots$ Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$ \be dw = w(\theta,\phi) d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 d\Omega. \ee \bc Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$. \ec \subsubsection{Radiální část vlnové funkce} Ze vzorců (\ref{vlfcelz}), (\ref{fakf}), (\ref{ylm}) plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar \be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi} \ee Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián (\rf{sspot}) má ve sférických souřadnicích tvar (\rf{hsfer}) a díky (\rf{lkvadsfer}) jej lze vyjádřit způsobem \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right) - \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right] + \hat V(r). \ll{hsfer2} \ee Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce (\rf{fakpsi}), pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici \be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee kde \be V_{eff}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$ se tato rovnice zjednoduší na \be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$ přejde na podmínku \be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 dr < \infty. \ee Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku \be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž zaručuje samosdruženost operátoru (\rf{hsfer}) (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7). Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný. Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou. Úplná specifikace rovnice (\rf{rcekhi}) je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$. \subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce} Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice \be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar \be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$. Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení (\rf{dghgr2}) lze v~okolí nuly zapsat jako řadu \be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee Dosazením (\rf{resrada}) do (\rf{dghgr2}) a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme \be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee \be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}. Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada (\rf{resrada}) tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde \be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$ \be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice (\rf{dghgr2}) \be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee takže obecným řešením rovnice (\rf{dghgr1}) pro necelá $b$ je \be y(x) = C_1 F(\frac{c}{a},b,-ax) + C_2 x^{1-b} F(\frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax). \ll{obres1} \ee Vzhledem k~tomu, že $a_n/a_{n-1}\lim 1/n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\lim \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz \cite{baterd}) \be \ll{rtoplusinf} F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})]. \ee Pro $z\lim -\infty\ $ \be \ll{rtominusinf} F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})]. \ee \subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor} V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních stavů energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického potenciálu \be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného směru (směr osy $z$ není ničím určen). Zavedeme-li v~rovnici (\rf{rcekhi}) stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=r/a$, kde $a=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici \be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2} [\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$. Zvolíme ansatz \be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru (\rf{dghgr2}) \be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku (\rf{nulchi}). Obecné řešení rovnice (\rf{dghyrce}) pro necelá $\gamma$ má tvar (\rf{obres2}), takže řešení, které vyhovuje podmínce (\rf{nulchi}) je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není \qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné Laguerrovy polynomy} \be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee definované též způsobem \be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\ m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar} \be \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, \ll{resiho} \ee kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako \be \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\phi), \ll{resiho2} \ee a zvolíme-li \be |K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+1}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2} \ee a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz (\rf{normconsY})), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné. \bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$. \ec Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo $N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}. Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie} harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$. \subsubsection{Coulombův potenciál} \ll{podkap:coulomb} Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál \be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron, je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie elektronu v~elektrostatickém poli (\rf{coul}), kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu a $\epsilon$ je permitivita vakua. Dosadíme-li (\rf{coul}) do (\rf{veff}), pak \rc e (\rf{rcekhi}) přejde na tvar \be -\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r). \ll{rcekhicp} \ee Substitucí \be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee kde \be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee převedeme tuto rovnici na tvar \be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce (\rf{dghgr1}). Řešení splňující podmínku (\rf{nulchi}) je podle (\rf{obres1}) \be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r). \ll{dghgcoul} \ee Podmínka kvadratické integrability pak zní \be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee odkud díky (\rf{kap}) plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli (\rf{coul}) jsou} \be \fbox{$E = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ N,n,l \in \Z_+$}\ . \ll{ecoul} \ee Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta $R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$. Degenerovaná hypergeometrická funkce (\rf{dghgcoul}) pro (\rf{pintcoul}) opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$ \be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee má tvar} \be \Psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{Nlm} r^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1} (\frac{2r}{Na}) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, \ll{nlmcoul} \ee kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $\Psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety \be |Nlm\rangle = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na}) Y_{lm}(\theta,\phi), \ll{nlmcoul1} \ee kde \[ |K_{Nl}| = \frac{2}{n^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} \] a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm. \bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec \bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec Z~výrazu (\rf{ecoul}) je zřejmé, že všechny stavy (\rf{nlmcoul}), pro které $(l,m)$ leží v~množině (\rf{setlm}) mají tutéž energii. Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $R/N^2$, je \be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee Hodnoty energie (\rf{ecoul}) částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip \be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme \be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě $3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy ($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie. \textbf{Množina vlastních \fc í (\rf{nlmcoul}) je ortogonální, ale netvoří bazi Hilbertova prostoru} $L_2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi), r^2\sin\theta dr d\theta d\phi).$ Důvod je v~tom, že operátor energie pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra $\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}. \subsection{Posunovací operátory a bra-ketový formalismus}\label{posunovacioperatory} \special{src: 1629 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazvu \emph{posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s posunutím} $\Delta\in\complex$ pokud \be [\hat B,\hat A]=\Delta \hat A.\ll{posop}\ee Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak ze (\rf{posop}) ihned plyne \be \hat B\hat A\psi_\lambda=(\lambda+\Delta)\hat A\psi_\lambda, \ll{posunl}\ee což znamená, že $\hat A\psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$. \special{src: 1637 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Ze vztahu (\rf{posop}) rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s posunutím $\Delta$, pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený (tzn. má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje aspoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že $\hat A\psi_\lambda\neq 0$ pak $\Delta\in\real$. \special{src: 1642 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady. \subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.} Budeme se zajímat o posunovací operátory pro operátor energie \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee Z komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou \be \hat a_\pm:=\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega}\hat P), \ll{kreanop} \ee neboť \be [\hat H,\hat a_\pm]=\pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma}\ee Navíc platí \be \hat a _-^\dagger=\hat a_+,\ [\hat a _-,\hat a_+]=\hat\unit. \ll{acoma}\ee \special{src: 1674 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Ze (\rf{posunl}) a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ (\rf{vlfcelho}) \be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci}\ee Operátor $\hat a_+$ tedy "zvyšuje energii stavu" o $\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se z podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}. \special{src: 1680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací (\rf{hcoma}), (\rf{acoma}) platí \be \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-)= {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half). \ee Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá "operátorem počtu energetických kvant". \special{src: 1691 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s nejnižší energií $\psi_0$ totiž musí platit \be \hat a_-\psi_0=0 \ll{anih0}\ee a dosadíme-li do (\rf{kreanop}) vyjádření operátorů $\hat Q,\ \hat P$ (\rf{xoper}), (\rf{poper}), rovnice (\rf{anih0}) přejde na tvar \be \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0=0, \ee kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1. řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme. \be \psi_0(\xi)=Ce^{-\xi^2/2}. \ee Porovnáním této \fc e s (\rf{vlfcelho}) zjistíme, že se skutečně jedná o vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s vlastním číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s nejnižší energií \be \psi_n(\xi)=K_n\hat a_+^n\psi_0(\xi)=\frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \ K_n^{-1}=(\frac{\hbar\pi}{M\omega})^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.\label{ntylho}\ee Volba fáze normalizačních konstant (\rf{nvlfcelho}) vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů $\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s přijatou fázovou konvencí (\rf{nvlfcelho}), kde všechny normalizační koeficienty jsou kladné. \bc Ukažte, že platí \[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec \bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v~(\rf{akopnavlfci}). \ec Poznamenejme ještě nakonec, že stav s nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. {\em Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru \be \hat a_-\rho_\lambda=\lambda\rho_\lambda. \ee Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme \be \rho_\lambda(\xi)=C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}.\label{kohstav}\ee Tyto stavy hrají významnou roli zejména v~kvantové optice. \subsubsection{Moment hybnosti} Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, ale i $l$. Alternativou jsou posunovací operátory \be \hat L_\pm:=L_1\pm i\hat L_2 \ll{pm}.\ee Pro ně lze snadno dokázat komutační relace \be [\hat L_3,\hat L_\pm]=\pm \hbar \hat L_\pm,\ [\hat L^2,\hat L_\pm]=0 \ee a přechodem do sférických souřadnic \be \hat L_\pm Y_{lm}=\alpha^\pm_{lm}Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha}\ee \be \hat L_+Y_{ll}=0,\ \hat L_- Y_{l,-l}=0,\label{yll0} \ee kde $\alpha^\pm_{lm}\in \complex$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice (\rf{yll0}) a (\rf{posalpha}) použít pro výpočet kulových funkcí. \bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-]=2\hbar\hat L_3. \ee \ec \bc Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací (\rf{posalpha}) až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant $C_{lm}$ (\rf{normconsY}) pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$. \bc \label{alplm}Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec \bc Spočítejte "maticové elementy" $(Y_{lm},\hat L_kY_{l'm'})$. \ec \subsubsection{Bra-ketový formalismus} Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv.~"ketů" $|\ >$ a "bra" $<\ |$, což obecně není nic jiného než označení prvků Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=|n>$, pak ketové vyjádření vztahu (\rf{ntylho}) je \[ |\,n>=K_n \hat a_+^n |\,0>. \] Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního součinu pro libovolné $f\in$\qintline \[ (\psi_n,f)\equiv(|n>,|f>)=<n|f> \] (skalární součin = závorka = bracket =$<$ bra$|$ket$>$ ), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru má v~bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar \be f \equiv|f>=\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|f> \ll{relupl},\ee což se často zapisuje jako $\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|=\hat\unit$. Z komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy \be \hat a_-^m\hat a_+^n|0>=0\ {\rm pro}\ n< m,\ \ \ \ \ \ \hat a_-^m\hat a_+^n|0>=n!\,\hat a_+^{n-m}|0> \ {\rm pro}\ n\geq m, \ee ze kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů \[|n>= \frac{1}{\sqrt{n!}}\hat a_+^n |0>,\] která v bra-ketovém vyjádření má jednoduchý tvar \be <m|n>=\delta_{mn}.\ee Operátory $\hat O$ v~\qintline \, lze zapsat v~tzv.~energetické reprezentaci pomocí maticových elementů $<n|\hat O|m>$ způsobem \be \hat O f \equiv \hat O |f>= \sum_{n=0}^\infty|n><n|\hat O |f>= \sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty|n><n|\hat O|m><m| f>, \ee kde \be <n|\hat O|m>:= (\psi_n,\hat O\psi_m). \ee \bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v~jednorozměrném případě\ec Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů $ |l,m>$ nebo vlastní funkce isotropního harmonického oscilátoru pomocí ketů $ |N,l,m>$. \subsection{Zobecněné vlastní funkce}\ll{zobvlf} Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled jednoduchý. Podmínka \be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee dává diferenciální rovnice \be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial x_j}=p_j\phi \ \ j=1,2,3, \ee které mají řešení \be \phi_{\vec p}(\vec x)=Ae^{i\vec p\, \vec x/\hbar}, \ll{zvfoh}\ee jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné $\vec p\in\complex^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří však do spojité nikoliv bodové části spektra. \special{src: 1771 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem (\rf{spvv}) je možno provést pouze pro hodnoty z bodové části spektra odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s \fc emi ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí. \special{src: 1731 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Příkladem takové husté podmnožiny je \emph{prostor rychle ubývajících funkcí} ${\cal S}(\real^3)$ obsahující funkce $f\in$ \qintspace splňující \be {\rm sup}|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f|<\infty \ll{prryubfci}\ee pro všechna $(\vec j,\vec k)\in\integer_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z ${\cal S}(\real^3)$ je, že Fourierova transformace \be \tilde f(\vec k) \equiv ({\cal F}f)(\vec k):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{-i\vec k \vex} f(\vex)d^3x \ll{Fourier}\ee je bijekcí ${\cal S}(\real^3)$ na ${\cal S}(\real^3)$ (viz \cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar \be ({\cal F}^{-1}\tilde f)(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{i\vec k \vex} \tilde f(\vec k)d^3k=({\cal F}\tilde f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee odkud snadno dostaneme, že \begin{equation}\label{FfFg} ({\cal F}f,{\cal F}g)=(f,g) \end{equation} Pro $f\in{\cal S}(\real^3)$ můžeme definovat "skalární součiny" $(\phi_{\vec p},f)$ a $(f,\phi_{\vec p})$ (přesněji lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec p}$ ležely v \qintspace{}. \be\ll{psip} \Phi_{\vec p}(f)\equiv(\phi_{\vec p},f) :=\int_{\real^3} A^*e^{-i\vec p \vec x/\hbar}f(\vec x)d^3x =A^*({2\pi})^{3/2}({\cal F}f)(\frac{\vec p}{\hbar}), \ee \be \ll{invft} (f,\phi_{\vec p}):=(\phi_{\vec p},f)^* =A({2\pi})^{3/2}({\cal F}f^*)(-\frac{\vec p}{\hbar}),\ee neboť tyto integrály jsou (inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z ${\cal S}(\real^3)$. Rovnice pro funkcionály $\Phi_{\vec p}$ má tvar \be (\hat P_j\Phi_{\vec p})(f)= (\hat P_j \phi_{\vec p},f)=(\phi_{\vec p},\hat P_j f)=p_j(\phi_{\vec p},f)=p_j\Phi_{\vec p}(f),\ \forall f\in {\cal S}(\real^3) \ll{rceprophip}\ee a funkce (\rf{zvfoh}) nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z \qintspace. To je také důvod proč je s úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap. \ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou hybností. \bc Nechť \[ \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon} \int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}. \] Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$ \ec Ještě výraznější je "zobecněnost" vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice \[ \hat Q_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3 \] má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace { ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení problému konstrukce zobecněných vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\real^3$, %zavést. K jejich konstrukci lze použít tzv.~$\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující vlastnosti: \be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda \ll{dcond1}\ee \be \int_\real \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky (\rf{dcond1},\ref{dcond2}), nicméně lze definovat jiné matematické objekty pro které lze obě podmínky splnit. \\\textbf{Příklad}: Nejjednodušší způsob je pohlížet na $\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť \[ f_{a,\lambda}(x):= 0\ \for |x-\lambda|>a \] \[ f_{a,\lambda}(x):= 1/2a\ \for |x-\lambda|\leq a. \] Pak podmínky (\rf{dcond1}), (\rf{dcond2}) jsou splněny pro %každou $f_{a,\lambda}$ a podmínku (\rf{dcond1}) lze splnit, když $a\rightarrow 0$.\\ Z tohoto příkladu je snadno vidět, že i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy (\rf{zvfop}) lze aproximovat funkcemi z prostoru \qintspace{} podobně jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti (\rf{zvfoh}). \special{src: 1830 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Přesnější definici pojmu $\delta$-- \fc e je možno podat v~rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou spojité lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^n)$. Uvedeme pouze, že v~této teorii je (jednorozměrná) $\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,.)$ na ${\cal S(\real)}$ definovaného ve shodě s (\rf{dcond2})způsobem %Definujeme-li pro $f\in{\cal S(\real)}$ \be \int_\real\delta_\lambda(x)f(x)\equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).\ee Rovnost \[ x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x) \] pak znamená \be (\hat Q \delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat Q f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in {\cal S}(\real^3), \ee (což je vztah analogický k~(\rf{rceprophip}) ) a v~tomto smyslu je \be \delta_{\vec a}(\vec x)\equiv\delta(\vec a-\vec x):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3) \ll{zvfop}\ee zobecněnou vlastní funkcí polohy s vlastní hodnotou $\vec a$. Z definice Fourierovy transformace (\ref{Fourier}) a její inverze lze jednoduchým výpočtem ukázat, že \be \int_{\real^3}e^{i{\vec z}(\vec x-\vec y)} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vec x-\vec y), \ee t.j. \be {\cal F}[\phi_{\vec p}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec p/\hbar} \ll{fourfip}\ee Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í (\rf{zvfoh}), totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$ \be (\phi_{\vec p'},\phi_{\vec p}) \equiv \int_{\real^3}\phi_{\vec p}(\vec x)\phi_{\vec p'}^*(\vec x) d^3x=\delta(\vec p-\vec p') .\ll{dnormp}\ee Podobně i pro (\rf{zvfop}) platí \be (\delta_{\vec a'},\delta_{\vec a}) \equiv \int_{\real^3}\delta_{\vec a}(\vec x)\delta_{\vec a'}(\vec x) d^3x=\delta(\vec a-\vec a') .\ll{dnormx}\ee Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na ${\cal S}(\real^n)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální. Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec a}\equiv |\,\vec a>,\ \phi_{\vec p}\equiv|\,\vec p>$. Vztahy (\rf{zvfoh}), (\ref{dnormx}), (\ref{dnormp}), (\ref{dcond2}) a (\ref{invft}) pak lze zapsat jako \[ <\vec x\,|\vec p\,>=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec p\, \vec x/\hbar},\ <\vec x\,|\vec x\,'>=\delta (\vex-\vex\,'),\ <\vec p\,|\vec p\,'>=\delta(\vec p-\vec p\,'), \] \[ <\vec x\,|\,\psi>=\psi(\vec x),\ \ <\vec p\,|\,\psi>=\hbar^{-3/2}\tilde\psi(\frac{\vec p}{\hbar}) \] a je možno psát analog relace úplnosti (\ref{relupl}) \[ |\psi>=\int_{\real^3}d^3x\,|\vec x><\vec x\,|\psi>=\int_{\real^3}d^3p\,|\vec p><\vec p\,|\psi>. \] Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice v~Coulombově potenciálu s kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e \be \psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm}, \ee kde $k=\pm\sqrt{2mE}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce (\rf{ylm}) a \be R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr} F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr) \ll{zovlfcecoul}.\ee Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí \[ \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr) F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r)r^2dr\]\be=K_{kl}\delta(k-k'), \ee kde $K_{kl}$ je konstanta. \special{src: 1899 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o chování objektů mikrosvěta. \special{src: 1903 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.