02KVAN:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
−
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a
+
\sv a \rc e  má v \qv é mechanice stejnou roli jako
−
magnetismu, termodynamiky, ...) je popis {\em množiny stavů a
+
Newtonova rovnice v
−
určení časového
+
mechanice klasické, {\bf popisuje časový vývoj fyzikálního
−
vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení
+
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic
−
měřitelných veličin tzv. {\em pozorovatelných},
+
odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních
−
%-- {\em dynamických proměnných},
+
rovnic, \sv a \rc e
−
které jsou pro zkoumaný systém relevantní, a
+
je parciální diferenciální
−
předpovězení vývoje jejich hodnot.
+
rovnicí. Z tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu
−
% parametrů, které jsme pro daný systém schopni změřit.
+
stavu  v daném okamžiku v klasické a \qv é mechanice.
−
Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie,
+
%\input{stav_pro.sub}
−
elektrická a magnetická intenzita, teplota, objem atd.
+
\subsection{Stavový prostor}
 +
{\small Stav klasického systému v daném okamžiku je určen hodnotou
 +
všech poloh a rychlostí či  poloh a hybností jednotlivých hmotných bodů.
 +
Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových
 +
rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
  
−
\special{src: 13 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 17 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru
+
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální
−
stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny
+
rovnicí 1. řádu v čase a %podle Cauchyho věty o řešení PDR
−
%tzv.  jež jsou funkcemi času, případně místa
+
%(mezi které \sv a \rc e samoz
−
a fyzikální zákony určující
+
její řešení %\sv y \rc e (aspoň pro jistý časový interval)
−
jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi.
+
je (při daných okrajových podmínkách) určeno volbou
−
Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých
+
počáteční podmínky $\psi (\vec{x},t=t_0)= g(\vec{x})$.
−
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření.
+
tj. funkcí $g$.
−
Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se
+
Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr}) popisuje časový vývoj
−
zdálo, že vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny
+
kvantové částice, %v potenciálu $V$,
−
fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není
+
pak docházíme k závěru, že
−
pravda, a že klasická fyzika nedokáže bezesporně popsat
+
{\bf okamžitý stav kvantové částice %tohoto fyzikálního systému
−
některé jevy, ke kterým dochází v důsledku interakcí na atomární
+
je určen komplexní funkcí tří proměnných} (Jak zvláštní!). Této
−
úrovni.}
+
funkci se obvykle říká {\em stavová či vlnová funkce částice}.
−
\bc Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou
+
−
formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice.
+
−
Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální
+
−
veličiny jsou určeny?
+
−
\ec
+
  
−
\special{src: 34 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 33 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Základní
+
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na stavové
−
fyzikální objekty -- {\bf hmota a záření} --
+
funkce jistá omezení.
−
jsou v klasické fyzice {\bf popsány zcela odlišným
+
Podmínka \rf{konecnanorma}) platí pro
−
způsobem}. Hmotné objekty jsou lokalizované a řídí se Newtonovými
+
libovolný čas $t$ a musíme proto požadovat,
−
pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se
+
aby každá funkce $g(\vec x)$ popisující stav
−
Maxwellovými polními rovnicemi. Dochází u něj k vlnovým
+
kvantové částice splňovala podmínku ($\vec x\equiv (x,y,z)$)
−
jevům např. interferenci a ohybu.
+
\be \int_{\bf R^3} |g(\vec x)|^2 d^3x <\infty.\ll{konecnanormag}\ee
 +
Tyto funkce nazýváme {\em kvadraticky integrovatelné} (na
 +
$\real^3$ s mírou $d^3x$). Mimo to funkce $g$ a $Cg$, kde $C$ je libovolné komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
 +
\begin{cvi}
 +
Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve
 +
vzdálenosti $(r,r+dr)$ od jádra, je-li popsán (v čase $t_0$) funkcí
 +
\be g(x,y,z)=Ae^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_0},
 +
\ll{zsv}\ee
 +
kde $a_0=0,53\times10^{-8}$ cm je tzv. Bohrův poloměr vodíku?
 +
Viz \cite{kv:qm}.
 +
\ll{ex:pstvodat}
 +
\end{cvi}
  
−
\special{src: 44 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Díky Minkovského nerovnosti
 +
\[ (\int_{\real^3}|f+g|^2d^3x)^{1/2}\leq(\int_{\real^3}|f|^2d^3x)^{1/2}
 +
+(\int_{\real^3}|g|^2d^3x)^{1/2},\]
 +
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}), tvoří kvadraticky integrovatelné funkce
 +
lineární prostor.
 +
Odtud plyne tzv. {\bf princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: {\em Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1,\ \psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a\psi_1+b\psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}
 +
\begin{cvi}
 +
Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném
 +
prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal})
 +
kvadraticky integrovatelná?
 +
\ll{ex:hilbspvb}
 +
\end{cvi}
 +
\begin{cvi}
 +
Leží \db ova vlna \rf{dbvlna}) ve výše uvedeném
 +
prostoru?
 +
\end{cvi}
 +
Na lineárním vektorovém prostoru stavových
 +
funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma}) je
 +
%Později ukážeme, že na tomto prostoru lze však
 +
možno zavést ještě
 +
bohatší matematickou strukturu, která má pro konstrukci
 +
kvantové mechaniky zásadní význam.
 +
Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, což
 +
pak použijeme k
 +
předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv
 +
ém sytému v daném stavu.
 +
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
 +
Více či méně zevrubné poučení o Hilbertových prostorech je možno
 +
najít v mnoha učebnicích (viz např. \cite{beh:lokf} a citace tam
 +
uvedené). Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme
 +
používat v této přednášce.
 +
{\small
 +
\bd {\em Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru
 +
$V$ (ne nutně konečně rozměrném)
 +
nazveme zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$
 +
splňující
 +
\[ F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
 +
F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),\]
 +
\[F(af,g)=a^*F(f,g),\ F(f,ag)=aF(f,g), \]
 +
kde $a\in\complex$ $f,g,h\in V$ a hvězdička znamená komplexní
 +
sdružení.
 +
\ed
 +
{\bf Příklad:}
 +
Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na
 +
$\real^N$ lze
 +
zavést sesquilineární %positivní symetrickou
 +
formu předpisem
 +
\be F(g_1,g_2)\equiv(g_1,g_2):=
 +
\int_{\bf R^N} g_1^*(\vec x)g_2(\vec x)d^Nx.\ll{ss}\ee
 +
\bd
 +
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$ nazveme {\em
 +
symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
 +
\be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2}\ee
 +
\ed
 +
\bc Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen
 +
tehdy, když $F(f,f)\in \real$.
 +
\ll{symfor}\ec
 +
\bd
 +
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$ nazveme {\em
 +
pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
 +
\be F(f,f)\geq 0.\ee
 +
Pokud navíc
 +
\be F(f,f)=0\Leftrightarrow f=0, \ee
 +
pak tuto formu nazveme {\em striktně pozitivní}.
 +
\ed
 +
Sesquilineární forma \rf{ss}) je pozitivní (a tedy i symetrická).
 +
\bt Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$
 +
{\em Schwartzovu nerovnost}
 +
\be |F(f,g)|^2\leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwartz}\ee
 +
Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\complex$
 +
tak, že
 +
\be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0\ {\rm nebo}\
 +
F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn}\ee
 +
\et
 +
Důkaz: Nechť $f,g\in V$.
 +
Pak z pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé
 +
$\beta\in\complex$
 +
\be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^*
 +
F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g)
 +
\ll{possesq}\ee
 +
Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F(f,g)^*$ dostaneme
 +
\rf{schwartz}). Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty
 +
komplexního čísla
 +
plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část
 +
tvrzení($\alpha=0$).
  
−
V makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob
+
\special{src: 142 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
popisu  kvalitativně různých objektů zcela logický.
+
−
Pokusy prováděné počátkem tohoto století však ukázaly, že pro
+
−
popis objektů v mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní,
+
−
ba dokonce vedou k předpovědím které jsou v rozporu s
+
−
pozorováními.
+
  
−
\special{src: 53 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.
 +
$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v \rf{possesq}), pak dostaneme
 +
nerovnost \rf{schwartz}). Druhou část tvrzení dokážeme takto:
 +
Nechť platí první rovnost v \rf{schwrovn}).
 +
Z nerovnosti
 +
\[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
 +
pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s \rf{schwartz})
 +
dává
 +
$|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost platí,
 +
pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v \rf{schwrovn}).
 +
{\flushright Q.E.D.}
 +
} %small
 +
\bd Sesquilineární striktně pozitivní forma
 +
na komplexním lineárním vektorovém prostoru
 +
$V$ se nazývá {\em skalární součin}.
 +
Lineární vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá
 +
{\em unitární} nebo též {\em pre--hilbertův}.
 +
\ed
 +
{\bf Příklad:} Na prostoru $\complex^N$ lze zavést skalární součin
 +
způsobem
 +
\be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn}\ee
  
−
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu,
+
\special{src: 166 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají
+
−
okolo kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce.
+
−
Podle této představy
+
−
jsou elektrony klasické, elektricky
+
−
nabité (na rozdíl od planet!) částice.
+
−
Problém je však v tom, že z teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu
+
−
po zakřivené dráze měly produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní
+
−
mechanické energie.}
+
  
−
\special{src: 65 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Ze cvičení \ref{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwartzovy nerovnosti je snadné ukázat, že
 +
indukuje na prostoru $V$ normu $||f||:=\sqrt{(f,f)}$
 +
a metriku $\rho(f,g):=||f-g||$
  
−
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by
+
\special{src: 172 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít
+
−
konečnou, dokonce velmi krátkou  (cca $10^{-10}$ sec)
+
−
dobu života.
+
−
Obě tyto předpovědi jsou v rozporu s pozorováním. Smířit tento
+
−
rozpor teorie a experimentu se podařilo až kvantové mechanice za
+
−
cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v tomto
+
−
případě elektronu jako částice pohybující se po nějaké dráze.
+
−
\begin{cvi}Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v
+
−
atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou částici
+
−
pohybující se po kruhové dráze o (Bohrově) poloměru
+
−
$a\approx 10^{-10}$ m. (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52)
+
−
\end{cvi}
+
  
−
\special{src: 81 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bd Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá
 +
{\em Hilbertův}.
 +
\ed
 +
{\bf Příklad:} Prostor $\complex^N$ se skalárním součinem
 +
\rf{sscn}) je Hilbertův.
  
−
K dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u zrodu \qv é
+
\special{src: 180 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa,
+
−
%vyzařovací zákon,
+
−
fotoefekt a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v
+
−
příštích podkapitolách.
+
−
Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i
+
−
představy o čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.
+
  
−
\special{src: 91 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
{\small
 +
Sesquilineární forma \rf{ss}) na prostoru kvadraticky integrabilních
 +
funkcí
 +
není striktně pozitivní.
 +
Považujeme-li však funkce lišící se na množině míry nula za
 +
"stejné", tzn. provedeme-li jistou faktorizaci (viz
 +
\cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný
 +
obvykle \qintrn, na kterém pak \rf{ss}) definuje
 +
skalární součin.
 +
V normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor
 +
úplný, a tedy Hilbertův.% (viz \cite{beh:lokf}).
 +
}%small
 +
\\{\bf Příklad:} Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na
 +
intervalu $(a,b)\subset\real$, kde $a$ i $b$ mohou být i
 +
$\pm\infty$ a
 +
\[ (f,g):=\int_a^b f^*(x)g(x)dx \]
 +
je Hilbertův.
  
−
\subsection{Planckův vyzařovací zákon}
+
\special{src: 200 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
\special{src: 95 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
V dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi
 +
kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami
 +
funkcí lišícími se na množině míry nula.
 +
Můžeme tedy shrnout, že  {\bf %fyzikálně interpretovatelná řešení
 +
funkce \rf{konecnanormag}) popisující stavy kvantové částice
 +
tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.
 +
\bt [Rieszovo lemma] Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak
 +
existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\hil$ takový, že pro všechna
 +
$f\in\hil$ platí
 +
\[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
 +
\et
 +
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\hil$
 +
je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce
 +
%Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
 +
$\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv. "bra--ketového formalismu",
 +
který je v \qv é \mi ce často používán.
  
−
Jedním z problémů klasické %termodynamiky
+
\vskip 1cm Důležitým pojmem v teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv. ortonormální
−
fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření
+
baze.
−
%závislost hustoty energie záření $\rho(\nu,T)$
+
(často ne zcela správně nazývaná ortonormální baze). {\small \bd Vektory $x,y$ v Hilbertově
−
tzv. absolutně černého tělesa, přesněji její závislost
+
prostoru $\hil$ nazveme {\em ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme
−
na frekvenci záření a teplotě tělesa.
+
{\em ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z
 +
množiny $M$ platí $||x||=1$ nazveme ji {\em ortonormální} \ed \bd Vektor $x\in \hil$ nazveme {\em
 +
ortogonální k množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
 +
nazýváme {\em ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$. \ed Je snadné ukázat, že
 +
ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$. \bt Je-li ${\cal G}$ uzavřený
 +
podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in{\cal G}$ a $z\in {\cal G}^\perp$, tak
 +
že $x=y+z$, t.zn. $\hil={\cal G}\bigoplus{\cal G}^\perp$. \et Důsledkem tohoto tvrzení je existence
 +
lineárního operátoru $E_{\cal G}:x\lim y$, který se nazývá {\em ortogonální projektor} na ${\cal G}$.
 +
}%small
 +
\bd {\em Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový
 +
prostor, $B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$. \ed
 +
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v obvyklém
 +
smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární kombinaci prvků baze.
 +
Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako "nekonečnou lineární kombinaci" prvků
 +
ortonormální baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ ||f||:=(f,f)$. \\{\bf Příklad:}
 +
Nechť $(a,b)$ je omezený interval v $\real,\ c:=b-a,\ m\in \integer$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi
 +
imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v prostoru tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$.
 +
\bd Nechť $B$ je ortonormální baze v Hilbertově prostoru $\hil$. {\em Fourierovými koeficienty vektoru}
 +
$f\in\hil$ {\em pro bazi $B$} nazveme skalární součiny (b,f), kde $b\in B$. \ed
  
−
\special{src: 103 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 272 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
{\em Absolutně černé těleso}, tzn. těleso které neodráží žádné vnější
+
Hilbertovy prostory, se kterými v \qv é \mi ce pracujeme
−
záření, lze realizovat otvorem v dutině, jejíž vnější stěny jsou vodivé a jsou
+
(například \qintspace),
−
ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické
+
%jsou seperabilní a pro ně platí, že
−
záření, jehož experimentálně změřené spektrální rozdělení
+
mají nejvýše spočetnou
−
%rozdělovací funkce tj. závislost intenzity záření na frekvenci a teplotě
+
ortonormální bazi $B=\{e_j\}$. V takovýchto
−
je v rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
+
prostorech platí pro každé $f\in\hil$
−
%\subsubsection{Klasický popis záření černého tělesa,
+
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp}\ee
−
%Rayleigh--Jeansův zákon}
+
\be ||f||^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2 \ll{parseval}\ee
 +
Tyto vztahy se nazývají {\em Fourierův rozvoj} a {\em Parsevalova
 +
rovnost.}
  
−
\special{src: 114 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 285 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Oscilací atomů stěn dutiny  zahřáté na teplotu $T$ se v dutině
+
V kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze,
−
vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf} Kap.8), jež je zdrojem záření černého
+
jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.
−
tělesa.
+
\bc Najděte ortonormální bazi  v $\complex^2$, jejíž prvky jsou
−
Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$
+
vlastními vektory matice
−
musí splňovat Maxwellovy--Lorentzovy rovnice beze zdrojů
+
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}
−
%tj. s nulovou pravou stranou %splňujícím
+
0&1\\1&0
−
\be {\rm div} \vec{E}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0. \ll{ml1} \ee
+
\end{array}
−
\be {\rm div} \vec{B}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0. \ll{ml2}\ee
+
\right)
−
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby
+
\]
−
tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole
+
\ec
−
byly na
+
Příklady ortonormálních bazí v nekonečně rozměrných Hilbertových
−
stěnách dutiny nulové (viz např. \cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
+
prostorech ukážeme v dalších kapitolách.
−
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
+
%\input{pozorova.sub}
−
kde
+
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}\ll{pozorovatelne}
−
$\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně
+
{\small V klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět
−
dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto pole je ekvivalentní
+
výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny
−
systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
+
(energie, momentu hybnosti, ...) .
  
−
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1})--\rf{podnast}). Z II. serie Maxwellových --Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem
+
\special{src: 305 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
\be \vec E = -{\rm grad}\ \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = {\rm rot}\ \vec{A'}.\ee
+
−
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací
+
−
dosáhnout toho, že elektromagnetické
+
−
potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují $\phi=0,\ div\vec{A}=0$ a
+
−
okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách dutiny.
+
  
−
\special{src: 143 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Stav systému (např. jedné či
 +
více částic) je určen
 +
bodem {fázového} prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností,
 +
podle toho zda používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu
 +
formulaci) a
 +
fyzikální veličiny -- {\em pozorovatelné} %-- v klasické mechanice je pak možno
 +
jsou definovány jako reálné funkce na fázovém prostoru. %Víme též, že t
 +
%Tento  popis %stavu soustavy hmotných bodů,
 +
% je {úplný}, neboť h
 +
Hodnotu každé mechanické veličiny
 +
%můžeme vypočítat ze znalosti
 +
pro systém v daném stavu dostaneme
 +
vyhodnocením příslušné funkce v odpovídajícím
 +
bodu fázového prostoru.
 +
Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je
 +
dáno oborem hodnot této funkce.
 +
Např. kinetická energie stavu $(\vec p,\vec q)$ je
 +
\[ E_{kin}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
 +
a její spektrum je $\real_+$.
  
−
Kalibrační transformace
+
\special{src: 327 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
\be \phi(\vec x,t)=\phi'(\vec x,t)-%\frac{1}{c}
+
−
\frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t)\ee
+
−
\be \vec A(\vec x,t)=\vec A'(\vec x,t)+grad\ \lambda(\vec x,t), \ee
+
−
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí
+
−
$\lambda$, která splňuje rovnice
+
−
\be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee
+
−
\be %\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\lambda
+
−
\triangle \lambda=-div \vec A' \ee
+
−
spolu s okrajovými podmínkami na stěnách
+
−
\be \vec N\times grad\  \lambda=-\vec N\times\vec A'.\ee
+
−
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí ${\rm div} \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
+
−
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
+
  
−
\special{src: 159 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
{Tento popis je nezávislý na dynamice} tj. na časovém vývoji systému
 +
a je
 +
tak názorný, že se mu v klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
 +
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak
 +
podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis
 +
těchže kinematických pojmů v kvantové mechanice.
 +
%Výše uvedená fakta lze pak shrnout např. tak, že stav
 +
%klasického mechanického systému lze popsat bodem
 +
%soustavy $N$ hmotných bodů bez vazeb je popsán bodem
 +
%$6N$-rozměrného --
 +
%, který je určen okamžitou hodnotou
 +
%všech poloh a hybností jednotlivých hmotných bodů.
 +
}
  
−
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o hraně $L$.
+
\special{src: 343 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
Rozložíme složky vektorového potenciálu do
+
−
trojné Fourierovy řady (viz např. \cite{uhl:uvaf}).
+
  
−
\special{src: 165 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Otázka, na kterou chceme odpovědět v tomto paragrafu zní:
 +
%, je třeba napřed znát odpověď na druhou otázku:
 +
{Jaké matematické objekty přiřadíme v \qv é \mi ce
 +
pozorovatelným?}
 +
{Jak bylo konstatováno v minulém paragrafu, { stavový prostor
 +
kvantové částice} je %lineární prostor
 +
množina kvadraticky integrabilních funkcí
 +
tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným přiřazovali funkce na
 +
tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou
 +
teorii pole, která se pro náš cíl -- popis objektů mikrosvěta --
 +
ukázala neadkvátní.}
 +
Místo toho {\bf kvantová %mechanika
 +
teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené
 +
lineární operátory na %stavovém
 +
prostoru stavových funkcí}. Způsob
 +
přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán
 +
fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
 +
experimentálním ověřováním  %kvantové
 +
teorie.
  
−
\be {A}_1(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_1(\vec{m},t)
+
\special{src: 365 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
\cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
+
−
\ll{Four1}\ee
+
−
\be {A}_2(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_2(\vec{m},t)
+
−
\sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
+
−
\ll{Four2}\ee
+
−
\be {A}_3(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_3(\vec{m},t)
+
−
\sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L)
+
−
\ll{Four3}\ee
+
−
%f_i(\vec{m},\vec{x}),
+
−
%kde $f_i$ jsou vhodně vybrané funkce (viz
+
−
Důvod pro tento specální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky
+
−
$\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
+
−
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
+
−
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $<-L,L>\times
+
−
<-L,L>\times<-L,L>$ jako spojitou funkci lichou v proměnných $x_2,x_3$. O
+
−
hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji
+
−
nicméně prodloužit sudě v $x_1$. Fourierův rozklad liché spojité
+
−
funkce na intervalu $<-L,L>$ lze provést pomocí funkcí $\sin
+
−
mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé funkce pomocí funkcí $\cos
+
−
mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}). Důležité je,
+
−
že podmínka
+
−
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
+
−
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl
+
−
od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např. pomocí funkcí $\cos
+
−
mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v $x_2,x_3$.
+
−
Stejnou
+
−
argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem
+
−
\rf{Four2},\ref{Four3}).
+
  
−
\special{src: 197 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Pro sledování analogií s klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti.
 +
V kvantové mechanice hmotné částice je {\bf kartézským složkám polohy částice
 +
přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
 +
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$}
 +
\ll{xoper}\ee
 +
a {\bf kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální
 +
derivace}
 +
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial
 +
x_j}(\vec x)$}
 +
\ll{poper}\ee
 +
Definici operátoru hybnosti už jsme de
 +
facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna})
 +
z \db ovy hypotézy.
  
−
Z rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
+
\special{src: 381 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
\be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle
+
 
−
A_i=0, \ll{vlnrce}\ee
+
Existuje mnoho zdůvodnění %tohoto
−
které dostaneme  z \rf{ml1}), pak plyne, že koeficienty
+
přiřazení \rf{xoper},\ref{poper}).
−
$\vec Q_{\vec{m}}(t)\equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in {\bf
+
%která zatím pomineme. Poznamenejme pouze, že v
−
Z}_+^3$ (trojice celých nezáporných čísel)
+
V každém z nich je však třeba vyslovit nějaké
−
splňují jednoduché
+
předpoklady, které jsou více či méně ekvivalentní
−
\rc e
+
\rf{xoper},\ref{poper}).
−
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0
+
 
−
\ll{rceHO}\ee
+
\special{src: 390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
kde
+
 
−
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
+
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících
−
a $c$ je rychlost světla.
+
klasickou analogii jsou
 +
konstruovány podle {\em principu korespondence}, tzn. jsou
 +
formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako
 +
odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v klasickém
 +
případě. Např.
 +
operátor celkové energie částice v silovém poli potenciálu $V$ je
 +
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) =
 +
-\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \]
 +
kde $\triangle=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$.
 +
 
 +
\special{src: 403 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti.
 +
\ec
 +
Vzhledem k tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor,
 +
důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich
 +
definičních oborů, což je obecně dosti delikátní problém.
 +
Je samozřejmě nutné, aby příslušné
 +
operace byly na funkcích z definičního oboru
 +
definovány a jejich výsledek ležel v \qintspace {}
 +
(takže například funkce z definičního
 +
oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné
 +
a  derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
 +
%plynou z následujícího
 +
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že
 +
%Základní předpoklad pro \oper y odpovídající fyzikálním veličinám zní:
 +
{\bf spektrum lineárního operátoru přiřazeného
 +
fyzikální veličině musí být shodné s množinou hodnot, které lze
 +
pro danou veličinu naměřit}.%, přičemž
 +
 
 +
\special{src: 423 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Problémů s definičními obory operátorů se v tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v následující vsuvce.
 +
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např. na \cite{beh:lokf}.
 +
\bc\ll{nekpoja} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě", tj. v potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
 +
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
 +
\ec
 +
\bc Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní  potenciálové jámě tj. v potenciálu $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
 +
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \real$.
 +
\ec
 +
 
 +
\special{src: 434 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v Hilbertově
 +
prostoru}
 +
Teorie operátorů v Hilbertově prostoru je téma
 +
samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat
 +
obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. Shrneme zde pouze
 +
nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
 +
 
 +
\special{src: 443 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Pod lineárním operátorem v Hilbertově prostoru $\hil$ budeme
 +
rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde
 +
definiční obor $D_T$ je lineární podprostor $\hil$.
 +
Je-li Hilbertův prostor %je lineární vektorový prostor. Je-li
 +
konečně
 +
rozměrný pak teorie lineárních zobrazení je relativně jednoduchá
 +
a redukuje se na teorii matic.
 +
V \qv é teorii se však vyskytují především  nekonečně rozměrné
 +
prostory, což přináší mnoho technických problémů.
 +
% pro teorii lineárních operátorů.
 +
Některé z nich lze řešit, pokud budeme používat pouze
 +
%Budeme se zabývat výhradně tzv.
 +
{\em hustě definované}
 +
operátory, tj. takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, kde pruh
 +
značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou
 +
$\hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
 +
 
 +
\special{src: 462 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
 
 +
\special{src: 465 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako
 +
operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
 +
\bd Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je {\em omezený},
 +
pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí
 +
\[ ||\hat B g||\leq c||g|| \]
 +
\ed
 +
 
 +
\special{src: 474 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Normou $||g||$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním
 +
součinem $||g||:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze spojitě
 +
rozšířit na celé $\hil$.
 +
\\ \pri Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice
 +
vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\cap L^1(\real^3,dx^3)$. Pro
 +
ostatní funkce je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}}
 +
\[ \tilde g(\vec p)\equiv(\hat F g)(\vec p):=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\real^3}
 +
e^{-i\vec p\vec x}g(\vec x)dx^3                                \]
 +
je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
  
−
\special{src: 213 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 486 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Kalibrační podmínka $div \vec A=0$ přejde na tvar
+
\bd
−
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0 \ll{kalpod}\ee
+
Nechť $\hat B$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat B^\dagger $
−
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m\in\integer_+^3$
+
nazveme {\em sdruženým k} $\hat B$, pokud pro všechna $f,g\in\hil$
−
existují dvě lineárně nezávislé funkce
+
\[ (f,\hat Bg)=(\hat B^\dagger f,g) \]
−
$Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující \rf{rceHO},\ref{kalpod}), což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
+
\ed
 +
Z Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k danému omezenému
 +
operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
 +
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol}\ee
 +
Omezené operátory na $\hil$ tvoří komplexní algebru a platí
 +
\be (a\hat B +\hat C)^\dagger =a^*\hat B^\dagger +\hat C^\dagger ,\ \ (\hat B\hat
 +
C)^\dagger =\hat C^\dagger \hat B^\dagger . \ll{algop}\ee
 
\bc
 
\bc
−
Ze vzorců \rf{Four1})--\rf{Four3}) odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$.
+
Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu
 +
operátoru $\hat M$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice
 +
odpovídá operátoru $\hat M^\dagger$?
 
\ec
 
\ec
 +
\bd Operátor $\hat B$ na $\hil$ nazýváme {\em hermitovský}, pokud je
 +
omezený a platí $\hat B^\dagger =\hat B$.
 +
\ed
 +
\pri Operátor $\hat Q$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde
 +
$b-a<\infty$,
 +
definovaný
 +
\[ (\hat Q f)(x):=xf(x) \]
 +
je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat Q$ není omezený.)
 +
\bt Operátor $\hat E$ je ortogonální projektor (na $Ran\ \hat E$)
 +
právě tehdy, když je hermitovský a
 +
splňuje $\hat E^2=\hat E$.
 +
\et
  
−
\special{src: 224 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 517 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Energie elektromagnetického pole
+
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě
−
\[ {\cal E}= \frac{1}{2}\int(\epsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \]
+
definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich definice vychází z následujícího faktu:
−
po dosazení \rf{Four1})--\rf{Four3})  a integraci přejde na tvar
+
−
\be {\cal E} = \frac{\epsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in {\bf
+
−
Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec
+
−
m}^2).
+
−
%=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}{E^\alpha_{\vec m}}.
+
−
%= \sum energií\ harmonických\  oscilátorů
+
−
\ll{ergempole}\ee
+
  
 +
\special{src: 522 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Z rovnic \rf{rceHO},\ref{ergempole}) vidíme, že {elektromagnetické pole v uzavřené
+
\bt Je-li $\hat T$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro
−
dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých
+
každé $f\in\hil$ existuje {\em nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové,
−
harmonických oscilátorů} (stojatých vln)
+
že pro všechna $g\in D_T$ platí
−
číslovaných vektory $\vec m \in {\bf Z}_+^3$.
+
\be (f,\hat Tg)=(h,g) \ll{sad1}\ee
−
% s frekvencemi \rf{omgm}).
+
\et
 +
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
 +
\bd Nechť $\hat T$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor
 +
operátoru $\hat T^\dagger $ {\em sdruženého k} $\hat T$ je množina všech
 +
$f\in\hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}), přičemž $\hat T^\dagger f:=h$
 +
\ed
 +
\bd Operátor $\hat T$ je {\em samosdružený}, pokud je hustě
 +
definovaný a $\hat T=\hat T^\dagger $.
 +
\ed
  
−
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány
+
\special{src: 538 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii elektromagnetického pole
+
−
ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v sumě (\ref{ergempole}).
+
−
Na druhé straně však víme, že elektromagnetické pole je v termodynamické rovnováze
+
−
se stěnami dutiny o teplotě $T$ a lze jej tedy
+
−
popsat metodami  statistické fyziky.
+
−
Z tohoto hlediska je možno na {\em elektromagnetické pole v dutině pohlížet jako na soubor
+
−
oscilátorů, přičemž
+
−
každý z nich
+
−
může interakcí s termostatem nabývat různých
+
−
energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s energií ${\epsilon}(s)$ je dána
+
−
Boltzmannovou statistikou s rozdělovací funkcí.
+
−
\be P(s,T)= A(T)\ e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }
+
−
%=\prod_{\vec m,\alpha} P^\alpha_{\vec m},\ \ P^\alpha_{\vec m}\propto e^{-{E^\alpha_{\vec m}}/(kT) },
+
−
\ll{boltzman}\ee
+
−
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}J/grad$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
+
−
\[ \sum_s P(s,T)=1.\] Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů
+
−
s vlastními frekvencemi
+
−
$\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi)=c|\vec{m}|/(2L)$
+
−
$$\overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_s \epsilon(s)P(s,T),$$
+
−
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v
+
−
intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$, pak lze spočítat jako součet středních
+
−
energií
+
−
oscilátorů s frekvencemi v témže intervalu.
+
  
−
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$.
+
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
−
Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů s pevným $\vec m$ bod v ${\bf Z}_+^3$, pak v důsledku \rf{omgm})
+
−
množina oscilátorů s
+
−
frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ leží v jednom oktantu
+
−
kulové
+
−
slupky poloměru $\frac{2L\nu}{c}$ a tloušťky $\frac{2L}{c}d\nu$ v prostoru
+
−
vektorů v ${\bf Z}^3$. Energie oscilátorů s frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$
+
−
je pak rovna součtu energií (\ref{ergempole}) avšak pouze přes body v této slupce, tedy
+
−
%\be n(\nu)=2\,\frac{1}{8}\left(\frac{2L}{c}\right)^3 4\pi \nu^2 d\nu=V\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
+
−
\be  d\bar{\cal E}=2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm
+
−
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu=
+
−
V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
+
−
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla.
+
−
Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole)
+
−
s danou frekvencí tedy je
+
−
\be \rho(\nu,T)
+
−
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2 .
+
−
\ll{spechus1}\ee
+
  
−
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných
+
\special{src: 542 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
kladných hodnot $E(q,p)=\alpha p^2 +
+
 
−
\beta q^2$ %, což odpovídá klasickým představám
+
\bd Operátor $\hat S$ je {\em symetrický}, pokud je hustě
−
a rozdělovací funkce
+
definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat Sg)=(\hat Sf,g) $, tj.
−
%tohoto podsouboru je
+
$D_S\subset D_{S^\dagger}$.
−
souboru stavů oscilátoru  daných hybností $p$ a polohou $q$ je
+
\ed
−
\[ P(q,p)= A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
+
 
−
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
+
\special{src: 549 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
+
 
−
a energie pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
+
Je zřejmé, že každý hermitovský operátor je samosdružený; opak
−
\nu+d\nu>$ je
+
neplatí.
−
\[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \]
+
\\ \pri Operátor $\hat Q, (\hat Q\psi)(x):=x\psi(x)$
−
(Rayleigh--Jeansova formule).
+
s definičním oborem $D_X:=\{\psi\in
−
Tato rozdělovací funkce
+
L^2(\real,dx):\int_\real x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ je samosdružený.
−
%Toto záření absolutně černého tělesa
+
 
−
však neodpovídá experimentálním hodnotám pro
+
\special{src: 557 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
velké frekvence $\nu$. Navíc celková hustota energie elektromagnetického pole
+
 
−
\be \epsilon=\int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll {heemp}\ee
+
Doplníme-li definici \rf{poper}) operátoru $\hat P_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené (viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
−
diverguje.
+
 
 +
\special{src: 561 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Hustě definované operátory
 +
netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy
 +
\rf{algop}) musí být proto pro neomezené operátory
 +
náležitě modifikovány, stejně jako i \rf{invol}).
 +
 
 +
\special{src: 568 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru,
 +
což je rozšíření
 +
pojmu vlastních hodnot matice.
 +
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
 +
%definovat pouze pro tzv. uzavřené operátory.
 +
%\bd {\em Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
 +
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \]
 +
%Operátor $\hat T$ je {\em uzavřený},
 +
%pokud jeho graf je uzavřená množina v $\hil\times\hil$.
 +
%\ed
 +
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
 +
%celá komplexní rovina.
 +
\bd
 +
{\em Spektrum $\sigma(\hat T)$ %uzavřeného
 +
operátoru} $\hat T$ je množina
 +
komplexních čísel $\lambda $ pro které operátor $(\hat
 +
T-\lambda\hat\unit)$ není bijekcí $D_T\lim\hil$.
 +
\ed
 +
 
 +
\special{src: 589 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna
 +
vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$
 +
takový, že $\hat T\psi=\lambda \psi$, pak operátor $\hat
 +
T-\lambda\hat\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat T)$ vlastních čísel
 +
operátoru $\hat T$ nazýváme {\em bodovým spektrem}.
 +
Mimo těchto bodů však do spektra
 +
patří i komplexní čísla pro která operátor $\hat T - \lambda\hat\unit
 +
$
 +
není surjektivní. Ty tvoří
 +
body tzv. {\em spojité či  reziduální části spektra}.
 +
 
 +
{\bf Důvod, proč v kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly
 +
přiřazeny samosdružené operátory tkví v tom, že platí
 +
\bt
 +
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\real$.
 +
\et
 +
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty
 +
pozorovatelných.
 
}
 
}
−
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}).\ec
 
  
−
\special{src: 317 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 612 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty
+
Spektrum (čistě spojité) každého z operátorů \rf{xoper},\ref{poper})
−
energie  dobře popisuje
+
je {\bf R}
−
funkce navržená M. Planckem ve tvaru
+
(viz \cite{beh:lokf}),
−
\be \fbox{\LARGE$
+
což odpovídá experimentálnímu faktu, že ani pro \qv ou částici
−
\rho(\nu,T)=
+
%je možno v principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
−
\frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}
+
%hybnosti částice.
−
$}\ ,\ll{planck}\ee
+
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.
−
kde
+
 
−
experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62\times
+
\special{src: 622 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
10^{-34}$ Js. (Viz obr.1)
+
 
−
\begin {figure}[hbtp]
+
Na druhé straně  jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle
−
%  \begin{center}
+
Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité
−
\hskip 2cm\special{em:graph s_planck.gif} \vskip 5cm
+
zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v silovém poli harmonického oscilátoru.
−
\caption
+
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}\ll{qho}
−
{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně
+
Ukážeme, že přiřazení
−
černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300K, 1500 K}
+
\rf{xoper},\ref{poper}) a princip korespondence vysvětlují
−
\end{figure}
+
Planckův předpoklad o diskrétnosti spektra energie harmonického
−
\bc Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací
+
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz \ref{podkap:coulomb} ) jeden z hlavních argumentů pro správnost
−
funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s teplotou
+
takto budované teorie.
−
(Wienův posunovací zákon)?
+
Operátor energie -- hamiltonián
 +
\qv é částice pohybující se v silovém poli harmonického
 +
oscilátoru je podle principu korespondence
 +
\be \hat H
 +
= -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + \frac{M}{2}\omega^2 \vec{x}^2.
 +
\ll{lho3}\ee
 +
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na
 +
kvadraticky integrovatelné funkce,
 +
%splňující podmínku \rf{konecnanorma}),
 +
pak množina vlastních hodnot
 +
, tj. čísel $\lambda$ pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$
 +
splňující
 +
\be \hat H\psi=\lambda\psi, \ll{vlfce}\ee
 +
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.
 +
 
 +
\special{src: 648 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Operátor \rf{lho3}) je součtem tří operátorů \[\hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3,\]
 +
\[H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \] a můžeme se pokusit hledat
 +
vlastní funkce operátoru \rf{lho3}) ve faktorizovaném tvaru \be \psi(\vec
 +
x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi}\ee Rovnice \rf{vlfce}) pak přejde na tvar \be (\hat
 +
H_1\psi_1)\psi_2 \psi_3+\psi_1(\hat H_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat
 +
H_3\psi_3)=\lambda\psi_1\psi_2\psi_3. \ll{rozkladH}\ee Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ %a vlastní
 +
funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$ \[ \hat H_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \] pak získáme i vlastní
 +
čísla operátoru \rf{lho3}) \be \lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \ee Později ukážeme, že tímto postupem
 +
jsme získali všechna vlastní čísla.
 +
 
 +
\special{src: 668 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
%Spektrum tohoto operátoru vyšetříme v . Nyní se omezíme na
 +
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy %nalezení vlast
 +
operátor
 +
\be \fbox{\Large$\hat H
 +
= -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ .
 +
\ll{lho1}\ee
 +
Tento operátor lze považovat za operátor energie {\em
 +
jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj. kvantové \cc e
 +
pohybující se pouze v jednom rozměru (na přímce).
 +
 
 +
\special{src: 680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
\begin{tvr} Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1})
 +
působícího v prostoru %$\cal L^2(\bf R,dx)$
 +
kvadraticky integrovatelných %spojitých
 +
funkcí jedné proměnné %je čistě bodové a
 +
je tvořena reálnými čísly \fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\bf
 +
Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu
 +
právě jedna vlastní funkce
 +
\be \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $}\ee
 +
kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou {\em Hermitovy
 +
polynomy}
 +
\be H_n(z):=
 +
\sum_{k=0}^{[n/2]}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},
 +
\ll{herpoldef}\ee
 +
kde $[r]$ je celá část reálného čísla $r$.
 +
\ll{slho}\end{tvr}
 +
Důkaz:
 +
%Bodové spektrum operátoru \rf{lho1}) je tvořeno
 +
Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky
 +
integrabilní řešení $\psi: \real\rightarrow\complex$ diferenciální rovnice
 +
\be %\hat H\psi=
 +
-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2
 +
{x}^2\psi=\lambda\psi.
 +
\ll{eqlho1}\ee
 +
Tato rovnice je lineární ODR 2.řádu a v oboru spojitě
 +
diferencovatelných funkcí má řešení pro každé
 +
$\lambda$.
 +
Ukážeme, že podmínka kvadratické integrability je splněna jen pro
 +
\be \lambda=\hbar \omega(n+\half). \ll{hokvan}\ee
 +
%Pro zjednodušení zápisu
 +
Přechodem k nové (bezrozměrné) proměnné
 +
$\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x,\ \psi(x)=\phi(\xi)$ dostaneme
 +
rovnici ve tvaru
 +
\be \phi"-\xi^2\phi+\Lambda\phi=0 \ll{hobezr}\ee
 +
kde $\Lambda=2\lambda/(\hbar\omega)$.
 +
 
 +
\special{src: 717 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Z teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný
 +
bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr}) singularitu,
 +
je nekonečno.
 +
Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\lim\pm\infty$
 +
se řešení této rovnice chová jako
 +
\be \phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}%(const+O(\xi))
 +
.\ll{rozphi}\ee
 +
Je zřejmé, že
 +
kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle
 +
ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v exponentě
 +
\rf{rozphi}). Zvolíme tedy ansatz
 +
\be \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi) \ll{hoansatz}\ee
 +
a budeme se zajímat o řešení rovnice
 +
\be u"=2\xi u' +(1-\Lambda)u \ll{hermrce}\ee
 +
která v nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.
 +
 
 +
\special{src: 735 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce}) do
 +
komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi,u$
 +
a $u'$ a její řešení je holomorfní funkcí $\xi$ v celé komplexní
 +
rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady
 +
\be u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\
 +
s\in\integer_+ \ll{radau}\ee
 +
Jejím dosazením do \rf{hermrce}) a porovnáním členů se stejnou
 +
mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$
 +
\[ s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0 \]
 +
\be a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m
 +
\ll{rran}\ee
 +
 
 +
\special{src: 749 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
%Neboť rekurentní relace \rf/rran/((0
 +
Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran}) je nenulový pro všechna
 +
$m$, pak se řada \rf{radau}) pro $\xi\lim\infty$ chová jako
 +
$exp(\xi^2)$ a řešení \rc e \rf{hobezr}) není kvadraticky
 +
integrovatelné. To lze usoudit např. z porovnání rekurentní formule (\ref{rran}) pro dosti velká $m$ se stejným vztahem pro koeficienty řady $exp(\xi^2)$.
 +
Kvadraticky integrovatelná řešení mohou
 +
existovat pouze tehdy, pokud řada (\ref{radau}) je konečná, tj. existuje $N$ takové, že $a_m=0$ pro
 +
$m>N$. To nastane tehdy  a jen tehdy, když
 +
%\be a_1=0,\ 2(N+s)+1-\Lambda=0 ,\ N \ {\rm sudé\ nezáporné}.\ll{kvantlam}\ee
 +
???
 +
V tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce
 +
\rf{hoansatz}) je kvadraticky integrovatelná.
 +
 
 +
\special{src: 763 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Z podmínky \rf{kvantlam}) plyne, že \rc e \rf{hermrce}) má
 +
kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud
 +
$ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1}) má kvadraticky
 +
integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}).
 +
 
 +
\special{src: 770 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$
 +
\be H_n(\xi)=\sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol}\ee
 +
jež řeší rovnici \rf{hermrce}) jsou pak určeny rekurentní relací
 +
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m,
 +
\ll{rrherpol}\ee
 +
přičemž pro sudá či lichá  $n$ (tj. $s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se
 +
sudým respektive lichým $m$.
 +
 
 +
\special{src: 780 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak
 +
řešením relace \rf{rrherpol}) je
 +
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\
 +
k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee
 +
%Polynomy \rf{herpol}) se nazývají{\em Hermitovy}.
 +
{\flushright Q.E.D.}
 +
\bc Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.
 
\ec
 
\ec
−
\bc Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení
+
\bc Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
−
hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě
+
\be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee
−
Rayleighova -- Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od
+
Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2}) splňuje rovnici
−
veličiny měřené o 5 procent.
+
\rf{hermrce}).
−
Jak velký je tento rozdíl v oblasti
+
−
maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na
+
−
teplotě?
+
 
\ec
 
\ec
−
\bc Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa
+
\bc \ll{cvvytvfce}Ukažte, že
−
podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro
+
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp[x^2-(x-\xi)^2] \]
−
danou teplotu.
+
 
\ec
 
\ec
−
K odvození rozdělovací funkce \rf{planck})
 
−
je třeba učinit následující podivný
 
−
předpoklad (Max Planck, 1900):
 
  
−
\special{src: 356 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 799 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je  z energetického hlediska
+
Důsledkem tvrzení \rf{slho}) je, že
−
ekvivalentní %(viz \rf{ergempole}) )
+
energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s
−
elektromagnetickému poli v
+
potenciálem $V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může
−
dutině, {\em nemohou nabývat libovolných hodnot energie, ale pouze
+
nabývat pouze hodnot z diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$,
−
takových, které jsou %se liší o
+
\  $n\in {\bf Z_+}\}$.
−
celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.
+
−
$E_n=n\epsilon_0$.
+
−
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
+
−
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
+
  
−
\special{src: 368 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 807 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$
+
Tento závěr je ve shodě s Planckovou hypotézou použitou pro
−
a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s
+
odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého
−
frekvencí $\nu$ a energií $E_n$ je
+
tělesa až na člen $\half\hbar\omega$, představující tzv. "nulové
−
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
+
kmity". Jeho příspěvek k energii je možno považovat za aditivní
−
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty
+
konstantu, kterou (ve shodě s tzv. renormalizační procedurou
−
P_n=1$. Sečtením geometrické řady
+
kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně
−
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{n
+
energie.
−
h\nu}{kT}}=1/[1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}]. \]
+
\bc Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky 1 m a hmotnosti 1 kg.
 +
\ec
  
−
\special{src: 379 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 819 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí
+
Nyní se můžeme vrátit k původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}). Z rozkladu \rf{rozkladH})
−
$\nu$ je pak
+
je zřejmé, že funkce \be \psi(x_1,x_2,x_3)=\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3),
−
\[ \overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
+
\ll{rozkladvlfci}\ee kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}), jsou vlastními \fc emi \oper u
−
= A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} =
+
\rf{lho3}) s vlastními čísly $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.
−
A^{-1}[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}]=
+
−
\frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. \]
+
−
Energii elektromagnetického pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
+
−
\nu+d\nu>$ pak opět spočítáme jako součin (\ref{pocetstavu}) střední hodnoty
+
−
energie oscilátorů s frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s frekvencemi uvnitř
+
−
daného intervalu, z čehož dostaneme Planckovu formuli
+
−
\rf{planck}).
+
  
−
\special{src: 393 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 831 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp}) spočítaná z takto
+
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To
−
určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
+
plyne z následujících dvou tvrzení (viz např \cite{beh:lokf} 4.3.4, 4.3.5).
−
odpovídá Stefan--Boltzmannovu zákonu.
+
\bt \ll{tr38}
−
\[
+
Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1})
−
\epsilon(T)=
+
\be \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}
−
\frac{8\pi}{c^3}h\int_0^\infty\frac{\nu^3}
+
x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x),   \ \
−
{e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu
+
K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
−
=\frac{8\pi}{c^3}\frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty
+
\ll{nvlfcelho}\ee
−
\frac{x^3}{e^x-1}dx=\kappa T^4, \]
+
je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky
−
kde
+
integrovatelných funkcí \qintline.
−
\[ \kappa=\frac{8\pi k^4}{c^3h^3}\frac{\pi^4 }{15}. \]
+
\et
  
−
\special{src: 407 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 845 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
{\bf Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa
+
\bt \ll{tr39}
−
lze odvodit pomocí předpokladu, že {\em energie harmonického
+
Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}),
−
oscilátoru s frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskretních
+
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho})
−
hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
+
je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky
−
%jejíž experimentálně určená hodnota je $h = 6.62\times 10^{-27}$ erg s.
+
integrovatelných funkcí \qintspace.
 +
\et
 +
Pro \fc e (\ref{nvlfcelho}) a (\ref{rozkladvlfci}) se často používá ketové značení $\psi_n\equiv |\,n>,\ \psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3}\equiv |\,n_1n_2n_3>$.
  
−
\special{src: 415 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 855 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v rozporu s naší zkušeností,
+
Z tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1}) a
−
neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické
+
\rf{lho3}) jsou čistě bodová (\cite{beh:lokf} 7.3.9). Nejsou však stejná.
−
oscilátory
+
Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1}) -- operátoru energie
−
hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
+
jednorozměrného harmonického oscilátoru -- se liší od spektra
 +
trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega$.
  
−
\special{src: 422 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 863 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u atomů (konkrétně rtuti) v serii pokusů Francka a Hertze v letech 1914--1919 (viz \cite{uhl:uvaf}).
+
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor
−
\subsection{Fotoefekt}
+
každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na
−
Potvrzením Planckovy hypotézy o kvantovém charakteru energie
+
multiplikativní konstantu, %-- jednorozměrný podprostor,
−
elektromagnetického pole bylo i
+
pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních
−
Einsteinovo vysvětlení fotoefektu -- emise
+
funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních
−
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v
+
funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem
−
roce 1903.
+
$\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí
 +
\rf{rozkladvlfci}), kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot
 +
$(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$.
 +
Rozměr tohoto podprostoru je šest. Jednoduchou
 +
kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr
 +
podprostoru vlastních
 +
funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem
 +
$\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$.
  
−
\special{src: 432 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 880 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl
+
Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá {\em základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají {\em excitované}.
−
Milikan v roce 1916 (viz obr.2). Na fotokatodu zapojenou do elektrického obvodu
+
\bc Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?
−
dopadá monochromatické světlo s frekvencí $\nu$, která se
+
\ec
−
postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj
+
\bc Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
−
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole,
+
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \]
−
které vrací
+
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í (\ref{nvlfcelho}).
−
elektrony emitované světelným zářením zpět.
+
\ec
−
\begin{figure}[hbtp]
+
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}\ll{Slmomhyb}
 +
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou
 +
složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim
 +
odpovídají operátory
 +
\be \hat L_j =\epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l=
 +
-i\hbar\epsilon_{jkl}x_k
 +
\frac{\partial}{\partial x_l}.
 +
\ll{momhyb}\ee
 +
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší
 +
přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$
 +
\be x=r\sin \theta \cos\phi,\ y=r\sin \theta \sin\phi,\ z=r\cos \theta
 +
\ll{sfersource}\ee
 +
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess}\ee
 +
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\
 +
\hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích?
 +
\ec
 +
Operátory $\hat L_j$ mají  ve sférických souřadnicích tvar
 +
\be \hat L_x= i\hbar (\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}
 +
+\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta})
 +
\ll{lx}\ee
 +
\be \hat L_y= i\hbar(\sin\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}
 +
-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta})
 +
\ll{ly}\ee
 +
\be \hat L_z= -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}.\ll{lz}\ee
 +
Vzhledem k tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i
 +
všechny operátory $L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky
 +
nejjednodušší však je hledat spektrum operátoru $L_z$, neboť to
 +
znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici
 +
\be -ih \frac{\partial}{\partial\phi}\Psi(r,\theta,\phi)=
 +
\lambda\Psi(r,\theta,\phi).\ee
 +
Její řešení je
 +
\be
 +
\psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},
 +
\ee
 +
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. %Vzhledem k tomu že
 +
Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen %(absolutně)
 +
spojitými funkcemi v $\real^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a
 +
$\phi$ je
 +
azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru.
 +
%předpokládáme, že vlnová funkce je v prostoru spojitá,
 +
Musí tedy platit
 +
\[ \psi(r,\theta,\phi=0)=\psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]
 +
Z této podmínky plyne, {\em že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti
 +
mohou nabývat pouze hodnot}
 +
\be \lambda=  m\hbar, {\rm kde}\ m\in\integer. \ee
 +
\bc "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
 +
\ec
 +
\subsection{Stav kvantového systému}
 +
V analogii s klasickou mechanikou by
 +
přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice,
 +
např. elektronu, bylo zjistit, jakou komplexní funkcí
 +
popsat stav s danou polohou a hybností. Ač se to na první
 +
pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící
 +
zdravému rozumu (ve skutečnosti  však pouze naší makroskopické
 +
zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje.
 +
Důvod je
 +
zhruba řečeno ten, že měření hybnosti změní podstatně polohu \qv
 +
é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např. experimentálně potvrzené difrakci elektronů).
  
−
%TexCad Options
+
\special{src: 948 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
%\grade{\on}
+
−
%\emlines{\off}
+
−
%\beziermacro{\off}
+
−
%\reduce{\on}
+
−
%\snapping{\on}
+
−
%\quality{2.00}
+
−
%\graddiff{0.01}
+
−
%\snapasp{1}
+
−
%\zoom{1.00}
+
−
\unitlength 1mm
+
−
\linethickness{0.4pt}
+
−
\begin{picture}(105.00,85.00)
+
−
%\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00)
+
−
\put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}}
+
−
%\end
+
−
\put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]}
+
−
%\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00)
+
−
\put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00)
+
−
\put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}}
+
−
%\end
+
−
\put(100.00,50.00){\circle{10.00}}
+
−
%\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00)
+
−
\put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}}
+
−
\multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00)
+
−
\put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00)
+
−
\put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00)
+
−
\put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00)
+
−
\put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00)
+
−
\put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00)
+
−
\put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00)
+
−
\put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00)
+
−
\put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00)
+
−
\put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00)
+
−
\put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00)
+
−
\put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00)
+
−
\put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}}
+
−
%\end
+
−
\put(65.00,15.00){\circle{10.00}}
+
−
%\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00)
+
−
\put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}}
+
−
\multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00)
+
−
\put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}}
+
−
%\end
+
−
%\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00)
+
−
\put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}}
+
−
%\end
+
−
%\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00)
+
−
\put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}}
+
−
\multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
+
−
%\end
+
−
%\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00)
+
−
\put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}}
+
−
\multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
+
−
%\end
+
−
%\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00)
+
−
\put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}}
+
−
\multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
+
−
%\end
+
−
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}}
+
−
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}
+
−
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}
+
−
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatick\'e‚ sv\v{e}tlo s frekvenc\'i $\nu$ }}
+
−
\end{picture}
+
  
 +
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo
 +
jiné v
 +
odpovědi na otázku:
 +
{Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?}
 +
Stavem fyzikálního systému pak obecně %charakterizovat
 +
budeme nazývat soubor hodnot všech
 +
měření, která jsme na daném systému v daném okamžiku schopni
 +
provést a
 +
otázka, kterou  chceme zodpovědět v této podkapitole zní:
 +
{\bf Jakou vlnovou %počáteční
 +
\fc  i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.
 +
elektronu v atomu vodíku), {\bf který je v daném okamžiku v
 +
nějakém stavu?}
  
−
\caption{Milikanovo zapojení pro měření fotoefektu}
+
\special{src: 964 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
\end{figure}
+
  
−
\special{src: 446 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
V příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v
 +
odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému
 +
oscilátoru s energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci
 +
$\psi_n(x)$.
 +
To je v souladu s následujícím postulátem \qv é \mi ky:
  
−
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane
+
\special{src: 972 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného záření
+
−
je lineární.
+
−
\[U_s=\frac{h}{e}(\nu-\nu_0)\]
+
  
−
\special{src: 453 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
{\bf Stav \qv é částice, pro kterou naměříme %-li pro kvantový systém
 +
hodnotu $\alpha$ %fyzikální veličiny
 +
pozorovatelné $A$ %, pak stav tohoto systému popíšeme
 +
je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní
 +
funkcí operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}
 +
\be \hat A g_\alpha=\alpha g_\alpha. \ll{vlfcea}\ee
  
−
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou
+
\special{src: 981 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v
+
−
tom, že v procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum
+
−
záření -- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
+
−
úměrná frekvenci $E=h\nu$. ("...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves wtihout dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.") Kinetická energie emitovaného
+
−
elektronu je
+
−
\be E_{kin}=eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{foton}-E_{ion}.
+
−
\ll{ekine}\ee
+
  
−
\special{src: 464 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\begin{cvi}
 +
%Jakou vlnovou \fc i přiřadíme jednorozměrnému operátoru s energií
 +
%$\hbar\omega(n+\half)$ ? %
 +
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru
 +
s energií $\hbar\omega(n+\half)$ v
 +
bodě $x$ ? Spočítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,...$ a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě.
 +
\end{cvi}
 +
V případě jednorozměrného harmonického oscilátoru % příkladu \ref{vflho}
 +
jsou vlnové funkce určeny %energií stavu
 +
jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu,
 +
která nemá při jejich interpretaci žádný význam).
 +
%kterou lze určit z normovací podmínky analogické \rf{k}) ).
 +
%vlastní funkce operátoru \rf{lho1} tvoří jednorozměrný podprostor
 +
To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru
 +
jsou jednoznačně určeny svou energií.
 +
{\small \begin {cvi}
 +
% (poznamenejme, že u
 +
Je stav klasické
 +
částice na přímce určen energií jednoznačně?
 +
\end{cvi} }
 +
% k stavu -- bodu fázového prostoru nestačí).
  
−
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{ion}/h$, kde $E_{ion}$ je
+
\special{src: 1005 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází ani při
+
−
zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných
+
−
pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$
+
−
získávají elektrony energii \rf{ekine}).
+
−
Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu se shodovala s
+
−
konstantou určenou ze záření černého tělesa.
+
  
−
\special{src: 474 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více
 +
fyzikálních veličin.
 +
Při jejich výběru %fyzikálních veličin $(A_1\ldots,A_K)$
 +
%charakterizujících stav kvantové částice
 +
je však třeba být opatrnější než u částice klasické.
 +
Je představitelné, že i
 +
minimální interakce mikroobjektu s přístroji nutná pro měření
 +
může změnit jeho stav, který byl vyhodnocen z měření předchozích.
 +
Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v jakém měření
 +
jednotlivých veličin provedeme, což je z hlediska popisu stavu nepřípustné.
 +
%a je proto pochopitelné, že
 +
%měřitelným veličinám jsou v \qv é mechanice
 +
%přiřazeny operátory, při
 +
%jejichž násobení záleží na pořadí.
 +
%Jak bylo konstatováno v paragrafu ref{pozorovatelne},  na \qv ém %systému
 +
%obecně nelze provést měření různých fyzikálních veličin,
 +
%aniž by výsledek jednoho % měření
 +
%neznehodnotil platnost měření předcházejících.
  
−
{\bf Závěr:} Existují {\em kvanta světelného záření -- fotony},
+
\special{src: 1026 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
která působí v
+
 
−
elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie jednoho
+
Pro {\em experimentální popis} stavu \qv ého systému
−
fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a
+
je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze %na daném stavu
−
$h$ je konstanta určená z Planckova vyzařovacího zákona.
+
provést, aniž by výsledek jednoho % měření
−
\bc
+
znehodnotil platnost měření %předcházejících
−
Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka
+
ostatních. Fyzikální veličiny -- pozorovatelné, pro které
−
mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z nich se dostane do oka
+
je toto splněno nazýváme {\em kompatibilní}.
−
pozorovatele ve vzdálenosti 10 km? (Poloměr čočky oka je asi 5 mm.)
+
Jejich výsledky
−
%Kolik fotonů emituje anténa vysílače o výkonu 1 W vysílající
+
provedené v jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů)
−
%na krátkých vlnách 30 m?
+
lze pak použít k definici stavu.
 +
 
 +
\special{src: 1038 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
{\small V klasické mechanice pojem kompatibility měření  prakticky neexistuje,
 +
předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných k
 +
určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární
 +
úrovni a menší tomu tak být nemusí.}
 +
 
 +
\special{src: 1045 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze
 +
ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných je
 +
ekvivalentní tomu, %Z tohoto požadavku plyne,
 +
že {\bf operátory $\hat A_j$ přiřazené
 +
kompatibilním fyzikálním veličinám  $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně
 +
komutují                          }
 +
\be [\hat A_j,\hat A_k]=0. \ll{komop}\ee
 +
Pro operátory s čistě bodovými spektry plyne z této podmínky existence
 +
ortonormální baze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů
 +
$(\hat A_1\ldots,\hat  A_K)$.
 +
 
 +
\special{src: 1058 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých
 +
pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice
 +
přiřadíme \oper y \rf{xoper}) a \rf{poper}), pak docházíme k
 +
závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v jednom směru jsou
 +
nekompatibilní, neboť
 +
\begin{equation}{\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k]=i\hbar\delta_{jk}. $}}
 +
\ll{xpcom}\ee
 +
To je mimo jiné důvod, proč v \qv é mechanice
 +
neexistuje obdoba klasického stavu částice
 +
-- stav s danou polohou a hybností. Z relací neurčitosti se
 +
dovíme, že každý \qv ý stav zaujímá "fázový objem"
 +
alespoň $(2\pi\hbar)^3$.
 +
\bc Jsou kompatibilní složky polohy v různých směrech?
 +
\ec
 +
\bc Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v různých směrech?
 
\ec
 
\ec
−
\subsection{Comptonův rozptyl}
 
  
−
\special{src: 490 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1076 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
V roce 1923 provedl A.H. Compton pokus, který měl odhalit, zda se
+
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy  jednu vlastní hodnotu
−
kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn. zda vedle
+
operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí.
−
energie mají též definovanou hybnost. V tomto pokusu byl měřen
+
Příkladem jsou například \fc e \rf{rozkladvlfci}), které jsou
−
rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v jehož krystalické
+
vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3}) pro tutéž
−
mříži jsou elektrony relativně volné.
+
hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega,\ n=n_1+n_2+n_3$, ale pro
 +
různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé.
 +
V takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné
 +
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$,
 +
výsledky jejichž měření mohou  rozlišit, kterou funkci (opět až
 +
na konstantu) máme přiřadit danému stavu. Pozorovatelné
 +
$(A_2,\ldots,A_K)$
 +
musí být kompatibilní s pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme
 +
použili k částečnému určení (k zúžení prostoru kandidátů na) vlnové
 +
funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.
  
−
\special{src: 498 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1093 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
 +
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj. souboru výsledků
 +
měření kompatibilních fyzikálních veličin %$(A_1\ldots,A_K)$
 +
se řídí požadavkem:
 +
{\bf Vlnová  funkce, která popisuje stav určený hodnotami
 +
$(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$
 +
měření {\em kompatibilních} fyzikálních veličin
 +
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím
 +
\be \hat A_i g=\alpha_i  g,\hskip 1cm  i=1,\ldots,K. \ll{spvv}\ee
 +
Znamená to tedy, že musí být {\em společnou} vlastní funkcí {\em komutujících} operátorů
 +
$\hat A_i$.}
  
−
\special{src: 501 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1106 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět
+
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme
−
vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce (tj. všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv. tlak
+
{\em úplná množina pozorovatelných} a jim odpovídající množina operátorů se nazývá {\em úplný soubor
−
světla. V klidové soustavě elektronu pak dojde k emisi záření
+
komutujících operátorů}. \bt Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s čistě bodovými spektry (t.j. takovými,
−
se stejnou vlnovou délkou a nulovou střední hybností.
+
jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný soubor komutujících operátorů tehdy a jen
−
V laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_e$ a
+
tehdy, pokud pro každou $k$--tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr podprostoru
−
energii $E_e$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu
+
společných vlastních stavů roven jedné. \et Důkaz je proveden v \cite{beh:lokf} (14.2.2).
−
změnu vlnové délky záření
+
−
\be
+
−
(\Delta\lambda)_{klas}=\lambda_0\frac{cP_e}{E_e-cP_e}
+
−
(1-cos\Theta),
+
−
\ll{compclas}\ee
+
−
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny,
+
−
$\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření,
+
−
$E_e,P_e$
+
−
jsou velikost energie a hybnosti elektronu, které s délkou ozařování rostou.
+
−
}
+
  
−
\special{src: 520 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1122 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Podívejme se jak bude tento jev %proces %podobná formule
+
Poznamenejme, že úplná
−
probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni
+
množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (např. jednu \cc i) a jí odpovídající
−
chovají jako částice s danou energií a hybností (viz
+
úplný soubor komutujících operátorů
−
Obr.\ref{fig:compton}).
+
nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí
−
\begin{figure}
+
typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak
 +
způsob přechodu od jedné množiny ke druhé a odpovídající
 +
reinterpretace výsledků.
  
−
%TexCad Options
+
\special{src: 1132 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
%\grade{\on}
+
−
%\emlines{\off}
+
−
%\beziermacro{\off}
+
−
%\reduce{\on}
+
−
%\snapping{\on}
+
−
%\quality{2.00}
+
−
%\graddiff{0.01}
+
−
%\snapasp{1}
+
−
%\zoom{1.00}
+
−
\unitlength 1.00mm
+
−
\linethickness{0.2pt}
+
−
\begin{picture}(90.00,50.00)
+
−
%\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00)
+
−
\put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}}
+
−
\put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}}
+
−
%\end
+
−
%\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00)
+
−
\put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}}
+
−
\multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}}
+
−
%\end
+
−
%\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00)
+
−
\put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}}
+
−
\multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}}
+
−
%\end
+
−
\put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}}
+
−
\put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}}
+
−
\put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}}
+
−
\end{picture}
+
  
−
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu}\ll{fig:compton}
+
Pro experimentální účely jsou velmi důležité
−
\end{figure}
+
úplné množiny pozorovatelných %pro jednu kvantovou částici je tvořená
−
V tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření
+
obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to relativně
−
popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu ("... when an X-ray quantum is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."),
+
snadno měřitelná veličina.
−
při které se celková energie a hybnost zachovává.
+
 
−
\be \epsilon_{\nu_0}+m_ec^2=\epsilon_{\nu}+ E_e
+
\special{src: 1139 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
\ll{zachovanienergie} \ee
+
 
−
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec p_{\nu}+\vec p_{e},\ll{zachovani hybnosti} \ee
+
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných
 +
pro popis stavu kvantové \cc e v poli centrálních sil je energie,
 +
kvadrát momentu hybnosti a jedna jeho složka.
 +
\subsection{Kvantová částice v centrálně symetrickém
 +
potenciálu}\ll{ssec:csympot}
 +
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí
 +
centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii.
 +
Příkladem je částice v Coulombově poli,
 +
či  harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
 +
 
 +
\special{src: 1151 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Operátor energie pro kvantovou částici v centrálně symetrickém
 +
potenciálu má obecný tvar
 +
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle+ \hat V(r),
 +
\ll{sspot}\ee
 
kde
 
kde
−
\[ \vec p_e=\frac{m_e\vec v_e}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\ \
+
\be    [ \hat V (r)\psi](x,y,z):=V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z).
−
E_e=\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\]
+
\ll{roper}\ee
−
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \ |\vec p_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
+
−
a $v_e$ je rychlost odraženého elektronu.
+
−
Ze zákona zachování hybnosti plyne
+
−
\[ (\vec p_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2=
+
−
\frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)=\]
+
−
\[ {\vec p_e}{}^2=\frac{m_e^2v_e^2}{1-v_e^2/c^2}=E_e^2/c^2-m_e^2c^2. \]
+
−
Použijeme-li ještě zákon zachování energie,
+
−
pak algebraickými úpravami dostaneme
+
−
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_ec}(1-\cos \Theta),
+
−
\ll{compton2}\ee
+
−
což je vzorec pro  vlnovou délku emitovaného záření v závislosti
+
−
na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
+
−
Veličina
+
−
$\frac{\hbar}{m_ec}$ se často nazývá {\em Comptonova
+
−
vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}m$.
+
  
−
\special{src: 555 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1161 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony  hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření
+
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot}) má čistě bodové
−
velikosti $P_e$, pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
+
spektrum, pak stavy \cc e v centrálním poli
−
\be \lambda-\lambda_0=
+
je možno jednoznačně určit hodnotami
−
\frac{(\lambda_0 P_e+h)c}{\sqrt{m_e^2c^4+P_e^2c^2}-P_ec}(1-\cos
+
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou
−
\Theta).
+
jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné %v tomto případě
−
\ll{compton}\ee
+
tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
−
Pro $P_e\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli
+
−
\rf{compclas}).
+
−
Comptonovy vzorce \rf{compton}) resp. \rf{compton2})
+
−
se však experimentálně potvrdily
+
−
i pro krátkovlné rentgenovské záření.
+
  
−
\special{src: 569 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1170 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
 +
\begin{cvi} Spočítejte komutátory
 +
\be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\
 +
\ll{loper1}\ee
 +
kde
 +
\be \hat L_j:=\epsilon_{jkl}\hat Q_k\hat P_l. \ll{loper}\ee
 +
\end{cvi}
 +
\begin{cvi} Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}),
 +
$L_3\equiv L_z$ a
 +
\be \hat L^2:=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2. \ll{lkvad}\ee
 +
\end{cvi}
  
−
\special{src: 572 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1183 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
{\bf Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou
+
Pro kvantově mechanický popis %\cc e v centrálním poli je nutno napřed
−
energii, ale i hybnost, jejíž velikost je nepřímo úměrná vlnové
+
je důležité zjistit jakých
−
délce záření $|\vec p| = h/\lambda$.
+
hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
−
\bc Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova
+
 
−
záření.
+
\special{src: 1189 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Pro výpočet vlastních hodnot
 +
je vhodné přejít do sférických souřadnic. %, neboť pak lze %tyto operátory zapsat ve tvaru
 +
Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
 +
\be \hat L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\ll{lzsfer}\ee
 +
\be \hat L^2=
 +
-\hbar^2[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+
 +
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
 +
(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})]
 +
\ll{lkvadsfer}\ee
 +
\be  \hat H = - \frac{\hbar^2}{2M}\left[(\frac{\partial^2}{\partial r^2}
 +
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}
 +
\left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+
 +
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
 +
(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})
 +
\right)\right] +\hat V(r)
 +
\ll{hsfer}\ee
 +
%\be \hat H= \hat H_r + \frac{1}{r^2}\hat L^2 \ee
 +
%\be \hat L^2= \hat L^2_\theta +\frac{1}{\sin^2\theta}\hatL_z^2. \ee
 +
\bc S použitím vzorců \rf{lx}) -- \rf{lz}) ukažte, že operátor
 +
$\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}).
 
\ec
 
\ec
−
\bc Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož
+
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}). \ec
−
zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace
+
 
−
\[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
+
\special{src: 1214 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
v klidu?
+
 
 +
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}\ll{ssmomhyb} Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením
 +
rovnice pro vlastní hodnoty \be \hat L^2\psi=\lambda\psi \ll{vlfcel2}\ee a zároveň vlastními funkcemi
 +
operátoru $\hat L_z$. Z vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer}) plyne, že řešením \rc e
 +
\rf{vlfcel2}) budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální
 +
diferenciální rovnici \be \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2}+
 +
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\theta} (\sin\theta\frac{\partial
 +
\Psi}{\partial\theta})+\frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi=0. \ll{pdrl2}\ee Vzhledem k tomu, že hledáme řešení
 +
\rf{vlfcel2}), která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v podkapitole
 +
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru \be \Psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{  i m\phi}, \ m\in\integer,
 +
\ll{vlfcelz}\ee budeme hledat řešení  rovnice \rf{vlfcel2}) rovněž v tomto faktorizovaném tvaru.
 +
 
 +
\special{src: 1243 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Rovnice \rf{pdrl2}) přejde faktorizací \rf{vlfcelz}) na obyčejnou diferenciální rovnici \be
 +
\frac{d}{dt}[(1-t^2)\frac{dF}{dt}]+(\frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2})F=0, \ll{odrl2}\ee kde
 +
$t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v této rovnici vystupuje pouze jako (např. předem
 +
zvolený) parametr. To je důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$.
 +
Podmínka integrability \rf{konecnanorma})  pro $F$ v tomto případě zní \[
 +
\int_{\real^3}|\psi(x,y,z)|^2dxdydz= \int_{<0,\infty>\times<0,\pi>\times<0,2\pi>}
 +
|\Psi(r,\theta,\phi)|^2r^2\sin\theta drd\theta d\phi \] \be
 +
=2\pi\int_{<0,\infty>\times<0,\pi>}|\chi(r,\theta)|^2r^2 dr \sin\theta d\theta
 +
=2\pi\int_0^\infty\int_{-1}^1|F(r,t)|^2r^2 drdt<\infty. \ll{kvadintss}\ee Definiční obor operátoru $\hat
 +
L^2$ však  tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná na
 +
$<-1,1>$.
 +
 
 +
\special{src: 1260 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Řešení rovnice \rf{odrl2}) je poměrně pracné (viz např. \cite{for:ukt},
 +
str. 70--72). Dá se vyjádřit způsobem
 +
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
 +
kde $U$ je \fc e na intervalu $<0,1>$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
 +
\be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x)+(a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x)+cU(r,x)=0, \ll{gauss}\ee
 +
kde
 +
\[ x=(t+1)/2,\ a=-1-|m|,\ b=2(1+|m|),\ c=|m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}.\]
 +
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
 +
%(s koeficienty závislými na $r$)
 +
\be U(r,x)=R_1(r)U_1(x)+R_2(r)U_2(x),
 +
\ee
 +
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv. hypergeometrických funkcí.
 +
Pro obecné $\lambda$ a $m$ však tato řešení
 +
nejsou konečná v okolí koncových bodů intervalu $<0,1>$.
 +
Podmínku konečnosti funkce $F$
 +
%kvadratické integrability \rf{kvadintss})
 +
lze splnit pouze když $U$ je polynom v $x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
 +
\be \lambda=l(l+1)\hbar^2,\ l\in\integer_+,\ \ m\in\integer,\ |m|\leq
 +
l.\ee
 +
Řešení rovnice \rf{odrl2}) v tomto případě má tvar
 +
\be F(r,t)=R(r)P_l^m(t), \ll{fakf}\ee
 +
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
 +
\be P_l^m(t):=\frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}
 +
(t^2-1)^l. \ll{plmt}\ee
 +
\bc Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta):=P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v $\sin\theta$ a $\cos\theta$.
 
\ec
 
\ec
 +
Funkce
 +
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi):=C_{lm}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi} $}\ ,\ll{ylm}\ee
 +
které jsou řešením \rf{pdrl2}) a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s vlastními čísly
 +
$\lambda=l(l+1)\hbar^2,\ \mu=m\hbar$ se nazývají {\em kulové funkce}.
 +
{\bf Množina  všech kulových funkcí
 +
\[ \{ Y_{lm},\  l\in\integer_+,\ \ m\in\integer,\ |m|\leq
 +
l \},\]
 +
kde
 +
\be |C_{lm}|^2=\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
 +
tvoří ortonormální bazi v prostoru funkcí kvadraticky
 +
integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v
 +
$L^2(<0,\pi>\times<0,2\pi>,sin\theta d\theta d\phi)$.
 +
%Tento fakt zdůvodňuje oprávněnost volby \rf{fakpsi}) a plyne z něj,
 +
Odtud plyne, že {\em množina
 +
\be \{l(l+1)\hbar^2,\ l\in\integer_+\} \ll{spektrl2}\ee
 +
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.
  
−
\special{src: 586 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1308 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
\subsection{Shrnutí}
+
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají {\em orbitální} respektive
 +
{\em magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu
 +
často závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla,
 +
mají stavy s daným $l$ ustálené spektroskopické značení
 +
$s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro $l=0,1,2,\ldots$.
  
−
\special{src: 590 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1316 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Z výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt
+
Z kulových funkcí je možno pro částici s daným
−
%v předchozích podkapitolách
+
momentem hybnosti charakterizovaným čísly $(l,m)$
−
plyne, že v mikrosvětě, tj. při zkoumání atomárních jevů:
+
předpovědět {\bf pravděpodobnost
−
\begin{enumerate}
+
nalezení částice v daném prostorovém úhlu} $\Omega$
−
\item
+
\be dw=\rho(\theta,\phi)d\Omega=|Y_{lm}(\theta,\phi)|^2d\Omega. \ee
−
Existují fyzikální objekty -- kvanta, kvantové částice --
+
%(kde předpokládáme funkce normalizované na jednotkové kouli).
−
%Ztrácí se rozdíl mezi hmotnými objekty a zářením.
+
\bc
−
mající jak vlnový tak částicový charakter.
+
Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v daném prostorovém úhlu
−
% a chová se podobně jako soubor částic.
+
pro stavy $s, p, d$.
−
% a hmotné objekty přestávají mít čistě částicový charakter.
+
\ec
−
\item
+
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}
−
Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např. energie či
+
Ze vzorců (\ref{vlfcelz}), (\ref{fakf}), (\ref{ylm}) plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
−
momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn. tyto veličiny se mohou
+
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi}\ee
−
měnit pouze o konečné přírustky.
+
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet
−
%nabývají než se očekávalo
+
energetického spektra částice v poli centrálních sil, neboť
−
\end{enumerate}
+
hamiltonián \rf{sspot}) má ve sférických souřadnicích tvar
−
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo
+
\rf{hsfer}) a díky
−
ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
+
\rf{lkvadsfer}) jej lze vyjádřit
−
fyzikálních systémů.
+
způsobem
 +
\be  \hat H = - \frac{\hbar^2}{2M}\left[
 +
(\frac{\partial^2}{\partial r^2}
 +
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r})
 +
-\frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right]+
 +
\hat V(r).
 +
\ll{hsfer2}\ee
 +
Použijeme-li  faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}), pak pro výpočet
 +
vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou
 +
zároveň vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$,
 +
dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
 +
\be
 +
-\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R"(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] +
 +
V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0,
 +
\ll{hsfervfce}\ee
 +
kde
 +
\be V_{eff}(r)=V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}.
 +
\ll{veff}\ee
 +
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
 +
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\chi"(r)+
 +
V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0,
 +
\ll{rcekhi}\ee
 +
což je rovnice formálně shodná s rovnicí pro kvantovou \cc i na
 +
polopřímce v poli
 +
potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$
 +
%(viz \rf{kvadintss}))
 +
přejde
 +
na podmínku
 +
\be \int_{\real_+}|\chi(r)|^2 dr<\infty. \ee
 +
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě
 +
dodatečnou okrajovou podmínku
 +
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi}\ee
 +
která plyne např. z požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R( r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v bodě $0$. Tato podmínka rovněž
 +
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer})
 +
(viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
  
−
\special{src: 612 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1376 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Z pedagogických důvodů začneme její výklad popisem
+
Uvědomme si, že v kartézských souřadnicích by problém nalezení
−
jedné kvantové částice bez vazeb,
+
spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně
−
jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
+
obtížný. Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést
−
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u každé fyzikální teorie {\bf se nejedná o odvození
+
řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto
−
%Slovo "odvodíme" v minulém odstavci je přitom třeba chápatnikoliv
+
postupu se říká separace proměnných a je možný, pokud
−
ve smyslu, na který jsme zvyklí z matematiky, nýbrž o
+
původní problém má nějakou symetrii, v tomto případě sférickou.
−
sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, %konstrukci,
+
−
jejichž správnost musí prověřit experimenty.}
+
−
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž
+
−
postuloval.
+
−
%další vývoj její správnost prověřil do té
+
−
%%míry, že na počátku tohoto století byla považována za
+
−
%neotřesitelné dogma.jí nyní považujeme
+
−
%a uvěřitelných
+
−
\subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
+
−
%\input{debrogli.sub}
+
−
%Strategicko--pedagogický plán této kapitoly je následující:
+
−
%Z \db ovy hypotézy odvodíme \sv u rovnici pro volnou částici a
+
−
%postulujeme její zobecnění pro částici v silovém poli. Poté z
+
−
%matematické formy \sv y \rc e a pravděpodobnostní interpretace %jejích
+
−
%řešení odvodíme strukturu stavového prostoru.
+
−
%Pro popis kvantových stavů z
+
−
%Zavedeme pojem pozorovatelných, jejich spektra a
+
−
%kompatibility a  tyto pojmy pak využijeme k popisu
+
−
%kvantově--mechanického stavu a fyzikálním předpovědím.
+
  
−
\special{src: 640 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1385 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Z vysvětlení experimentálních fakt v předchozích kapitolách
+
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi}) je možná až tehdy
−
plyne, že při zkoumání atomárních jevů
+
zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
−
záření přestává
+
−
mít čistě vlnový charakter a chová se v některých aspektech jako
+
−
soubor částic.
+
−
Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem -- kvantové \cc e -- popisující fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
+
  
−
\special{src: 649 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Pod vlivem poznatků o duálním částicově--vlnovém charakteru
+
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická
−
světla
+
funkce}
−
De Broglie v roce 1923 usoudil, že tento %částicově--vlnový
+
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat
−
dualismus je vlastností všech mikroskopických
+
řešení diferenciální rovnice
−
objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.
+
\be xy"(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1}\ee
−
elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo jako částice,
+
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
−
podle toho jaké jevy, v nichž se účastní, zkoumáme.
+
\be zw"(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
−
Vyslovil hypotézu, že {\em pro popis jevů na atomární
+
kde $\alpha=c/a,\ \gamma=b$.
−
úrovni je třeba přiřadit volným
+
−
kvantovým částicím s hybností $\vec p$ a energií $E$ -- nikoliv bod fázového prostoru nýbrž rovinou monochromatickou vlnu $\psi_{\vec p,E}$,
+
−
jejíž frekvence je (stejně jako pro foton)
+
−
úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti
+
−
částice, přesněji funkci}
+
−
\be\mbox{\Large $
+
−
\psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A
+
−
e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $},
+
−
\ll{dbvlna}\ee
+
−
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar:=h/2\pi=1.054 572\times10^{-34}$ Js.
+
  
−
\special{src: 670 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1401 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy,
+
Z teorie diferenciálních rovnic v komplexním oboru (shrnutí viz
−
%vynikne zejména tehdy,
+
\cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2}) lze v
−
je třeba si uvědomit, že
+
okolí nuly zapsat jako řadu
−
v té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové vlastnosti
+
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada}\ee
−
hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o
+
Dosazením \rf{resrada}) do \rf{dghgr2}) a porovnáním koeficientů
−
několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na
+
u mocnin $z$ dostaneme
−
krystalech.
+
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam}\ee
−
\bc Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu
+
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1}\ee
−
kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10
+
Dá se ukázat, že řady s takto určenými koeficienty konvergují pro
−
$\mu$g pohybující se rychlostí zvuku.
+
všechna $z$ a definují tzv.
 +
{\em degenerované hypergeometrické \fc e}.
 +
 
 +
Pro $s=0$ a $\gamma\neq -n\in\integer_-$ má řada \rf{resrada})
 +
tvar $a_0F(\alpha,\gamma,z)$, kde
 +
%jež má Taylorův rozvoj
 +
\be F(\alpha,\gamma,z)=1+\frac{\alpha}{1!\gamma}z+
 +
\frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2+\ldots\ .
 +
\ll{dghyfce}\ee
 +
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \integer_+$
 +
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
 +
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice
 +
\rf{dghgr2})
 +
\be w(z)=A_1F(\alpha,\gamma,z)+
 +
A_2z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2}\ee
 +
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1}) pro necelá $b$ je
 +
\be y(x)=C_1F(\frac{c}{a},b,-ax)+
 +
C_2x^{1-b}F(\frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax). \ll{obres1}\ee
 +
 
 +
\special{src: 1433 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Vzhledem k tomu, že $a_n/a_{n-1}\lim 1/n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\lim \infty$
 +
jako $e^z$, přesněji (viz \cite{baterd}), \begin{equation}\label{rtoplusinf}    F(\alpha,\gamma,
 +
z\rightarrow +\infty)= \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)}\,e^z
 +
z^{\alpha-\gamma}[1+O(|z|^{-1})].\end{equation} Pro $z\lim -\infty\ $ \begin{equation}\label{rtominusinf}
 +
F(\alpha,\gamma, z\rightarrow -\infty)=  \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)}
 +
(-z)^{-\alpha}[1+O(|z|^{-1})].\end{equation} \subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor} V kapitole
 +
\ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že
 +
podprostory vlastních stavů  energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného
 +
harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu
 +
harmonického potenciálu \be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3}\ee lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou
 +
množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadr\'atem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného směru
 +
(směr osy $z$ není ničím určen).
 +
 
 +
\special{src: 1449 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Zavedeme-li v rovnici \rf{rcekhi}) stejně jako u lineárního harmonického oscilátoru
 +
bezrozměrnou proměnou $\xi=r/a$, kde $a=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$,
 +
dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
 +
\be \Phi"(\xi)-(\xi^2+\frac{l(l+1)}{\xi^2})\Phi(\xi)+
 +
\frac{2E}{\hbar\omega}\Phi(\xi)=0. \ll{rcepsi}\ee
 +
%kde $\Lambda=\frac{2E}{\hbar\omega}$.
 +
Řešení této rovnice se v nekonečnu chová stejně jako řešení pro
 +
lineární harmonický oscilátor,
 +
$\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2}(const+O(\frac{1}{\xi}))$ zatímco v
 +
nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}(const+O({\xi}))$ nebo
 +
$\Phi(\xi)=\xi^{-l}(const+O({\xi}))$.  Zvolíme ansatz
 +
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi}\ee
 +
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2})
 +
\be zw"(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce}\ee
 +
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku \rf{nulchi}). Obecné řešení rovnice
 +
\rf{dghyrce}) pro necelá $\gamma$
 +
má tvar \rf{obres2}), takže řešení, které vyhovuje podmínce \rf{nulchi})
 +
je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í
 +
$F(\alpha,\gamma,z)$
 +
%konvergující pro všechna z.
 +
V nekonečnu se tato funkce chová jako
 +
$e^z$ a $\Phi(\xi)$ není \qint{} s výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \integer_-$.
 +
V těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na
 +
tzv. {\em zobecněné Laguerrovy polynomy}
 +
\be L_n^{\gamma -1}(z)=\left(
 +
\begin{array}{c}
 +
{n+\gamma-1}\\{n}\end{array}\right)
 +
F(-n,\gamma,z), \ee
 +
definované též způsobem
 +
\be L_n^{\beta}(z):=\frac{1}{n!}e^z
 +
z^{-\beta}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer}\ee
 +
 
 +
\special{src: 1483 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Zjistili jsme tedy, že {\bf vlastní hodnoty operátoru energie harmonického
 +
oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které jsou
 +
navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s vlastními
 +
hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde
 +
$ n,l\in \integer_+,\ m\in\{-l,\ldots,l\} $
 +
mají tvar}
 +
\be
 +
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=C_{nlm}\xi^{l}e^{-\xi^2/2}
 +
L_n^{l+1/2}(\xi^2)P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}, \ll{resiho}\ee
 +
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta,
 +
$\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$,
 +
$L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a
 +
$P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e.
 +
Obvykle se tyto funkce zapisují jako
 +
\be
 +
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=K_{nl}\xi^{l}e^{-\xi^2/2}
 +
L_n^{l+1/2}(\xi^2)Y_{lm}(\theta,\phi), \ll{resiho2}\ee
 +
a zvolíme-li
 +
\be |K_{nl}|=\frac{2}{\pi^{1/4}}\left({\frac{M\omega}{\hbar}}\right)^{3/4}
 +
\left(
 +
\frac{2^{n+1}n!}{(2n+2l+1)!!}
 +
\right)^{1/2}
 +
\ee
 +
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k jedné.
 +
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi
 +
$3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
 
\ec
 
\ec
−
\bc Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozměrech $1\times 1.5$ m.
+
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá {\em radiální kvantové
 +
číslo} (udává příspěvek k energii od radiálního pohybu částice) a
 +
číslo $N:=2n+l$ se nazývá {\em hlavní kvantové číslo}.
 +
 
 +
\special{src: 1505 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Z faktu, že k danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů,
 +
jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že {\em degenerace
 +
hladiny energie} harmonického oscilátoru je
 +
$(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií,
 +
je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali v paragrafu
 +
\ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
 +
 
 +
\special{src: 1514 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
 
 +
\special{src: 1517 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
\subsubsection{Coulombův potenciál}\ll{podkap:coulomb}
 +
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
 +
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul}\ee
 +
neboť jej lze použít k popisu hladin energií elektronu v obalu
 +
vodíku atomu. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800 krát
 +
těžší než elektron je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to
 +
jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se
 +
bude jen málo lišit od energie elektronu v elektrostatickém poli
 +
\rf{coul}), kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu
 +
a $\epsilon$ je permitivita vakua.
 +
Dosadíme-li \rf{coul}) do \rf{veff}), pak \rc e \rf{rcekhi}) přejde
 +
na tvar
 +
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\chi"(r)+
 +
[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}]\chi(r)= E\chi(r),
 +
\ll{rcekhicp}.\ee
 +
Substitucí
 +
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw}\ee
 +
kde
 +
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap}\ee
 +
převedeme tuto rovnici na tvar
 +
\be rw"(r)+2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2[(l+1)\kappa
 +
+\frac{MQ}{\hbar^2}]w(r)=0, \ee
 +
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce
 +
\rf{dghgr1}). Řešení splňující podmínku \rf{nulchi}) je podle
 +
\rf{obres1})
 +
\be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r).
 +
\ll{dghgcoul}\ee
 +
Podmínka kvadratické integrability pak zní
 +
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa}=-n\in \integer_- ,\ll{pintcoul}\ee
 +
odkud díky \rf{kap}) plyne, že {\bf vlastní hodnoty operátoru energie
 +
kvantové částice v coulombickém poli \rf{coul}) jsou}
 +
\be \fbox{$E=E_{n,l}=-\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2}=
 +
-\frac{R}{N^2},\
 +
N,n,l\in \integer_+$}\ .
 +
\ll{ecoul}\ee
 +
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové
 +
číslo určující hodnotu energie je $N=n+l+1$. Konstanta
 +
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá {Rydbergova energie} a
 +
hraje velkou roli v optické a rentgenovské spektroskopii.
 +
Její hodnota pro atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je
 +
$R=2,184\,\times 10^{-18}J=13,6\ eV$.
 +
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul})
 +
pro \rf{pintcoul}) opět
 +
přejde na Laguerrův polynom, takže
 +
{\bf vlastní \fc e operátoru energie
 +
kvantové částice v coulombickém poli, odpovídající vlastní
 +
hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je
 +
navíc vlastní \fc í \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$
 +
s vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
 +
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
 +
má tvar}
 +
\be
 +
\psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi)=C_{Nlm}r^{l}e^{-r/Na}
 +
L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na})P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi},
 +
\ll{nlmcoul}\ee
 +
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta,
 +
%$\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$,
 +
$L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a
 +
$P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $ \psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety
 +
\be |\,Nlm>=K_{Nl}\,\left(\frac{2r}{Na}\right)^{l}e^{-r/Na}
 +
L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na})Y_{lm}(\theta,\phi),
 +
\ll{nlmcoul1} \ee
 +
kde
 +
\[ |K_{Nl}|= \frac{2}{n^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2}
 +
\]
 +
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce.
 +
Konstanta $a$ mající rozměr délky se nazývá Bohrův poloměr. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm.
 +
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi
 +
$-R, \ -R/4, -R/9$.
 
\ec
 
\ec
−
\bc Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm?
+
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v Coulombově poli.
 
\ec
 
\ec
 +
Z výrazu \rf{ecoul}) je zřejmé, že všechny
 +
stavy \rf{nlmcoul}),  pro které $(l,m)$ leží v množině \rf{setlm})
 +
mají tutéž energii. {Degenerace hladiny energie} s daným $N$, neboli
 +
počet stavů s energií $R/N^2$ je
 +
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn}\ee
  
−
\special{src: 688 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Hodnoty energie \rf{ecoul}) částice v coulombické poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit
 +
experimentálně, neboť jak už bylo řečeno v úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový
 +
atom. Jeho záření má (v rozporu s klasickou teorií) čárové spektrum a empiricky bylo zjištěno, že frekvence
 +
záření splňují tzv. Rydberg--Ritzův kombinační princip \be \nu=const(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}).
 +
\ll{rrprinc}\ee objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V rámci kvantové mechaniky je snadné tuto
 +
formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů emitovaných elektrony v obalu atomů je dána rozdílem
 +
hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme \be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar}=
 +
\frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3}(\frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2}), \ll{spekh}\ee kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$.
 +
Numerická hodnota {\em Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v tomto případě $3.3\ 10^{15}\
 +
sec^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v dobré shodě s naměřenými hodnotami
 +
Lymanovy ($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$),... serie.
  
−
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií %\db ovy vlny je
+
{\bf Množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul}) je ortogonální, ale netvoří
−
stejný jako u
+
bazi Hilbertova prostoru}
−
klasické volné částice $E=\vec{p}^2/2m$ %pro nerelativistický případ či
+
$L^2(\real_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),r^2\sin\theta
−
(případně $E=\sqrt{\vec{p}^2c^2+m^2c^4}$ pro kvantum pohybující se rychlostí
+
drd\theta d\phi).$ Důvod je v tom, že operátor energie pro částici
−
blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna
+
v Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
−
%pro hmotnou částici
+
$\sigma_c(\hat H)=[0,\infty)$.
−
nesplňuje  vlnovou rovnici \rf{vlnrce}), která plyne z teorie elektromagnetického
+
Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje
−
pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje.
+
podkapitola \ref{zobvlf}.
−
Tuto \rc i našel v roce 1925 E. Schr\"{o}dinger a nese jeho jméno.
+
−
%\input{schr_rce.sub}
+
  
−
\special{src: 701 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1625 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
K odvození \rc e pro \db ovy vlny
+
\subsection{Posunovací operátory a bra--ketový formalismus}\label{posunovacioperatory}
−
je nejsnazší vyjít z výše uvedených klasických vztahů mezi
+
−
energií a hybností, které vlastně představují disperzní relace,
+
−
a použít identity
+
−
\be p_i\psi%(\vec{x},t}
+
−
=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} \psi, E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps}\ee
+
−
plynoucí z popisu kvant
+
−
%vztah mezi hodnotou složek hybnosti a
+
−
příslušnou \db ovou vlnou.
+
−
Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
+
−
\be  \frac{\partial\psi}{\partial t}=
+
−
-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^3\frac{p_i^2}{2m}\psi=
+
−
-\frac{i}{2m\hbar}\sum_{i=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial
+
−
x_i^2})\psi \ll{srvolna}\ee
+
  
−
\special{src: 718 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1629 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
E. Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
+
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazvu {\em posunovacím operátorem k operátoru $\hat B$ s posunutím} $\Delta\in\complex$ pokud
−
\be \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
+
\be [\hat B,\hat A]=\Delta \hat A.\ll{posop}\ee
−
i pro kvantovou
+
Důvod pro tento název spočívá v tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak ze \rf{posop}) ihned plyne
−
částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem
+
\be \hat B\hat A\psi_\lambda=(\lambda+\Delta)\hat A\psi_\lambda, \ll{posunl}\ee
−
$V(\vec{x})$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci
+
což znamená, že $\hat A\psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.
−
takovéto kvantové \cc e se obvykle
+
−
píše ve tvaru
+
−
\be\fbox{\LARGE $
+
−
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vec{x})\psi
+
−
$}\ll{sr}\ee
+
−
a nazývá se {\em Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární
+
−
operátor na pravé straně \sv y \rc e
+
−
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vec{x})
+
−
\ll{hamiltonian} \ee
+
−
se nazývá {\em hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence
+
−
učebnic kvantové mechaniky,
+
−
že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
+
  
−
\special{src: 738 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1637 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna}) pro "volnou \qv ou částici"
+
Ze vztahu \rf{posop}) rovněž ihned plyne, že pokud  operátor $\hat A$ je   posunovacím operátorem k operátoru $\hat B$ s posunutím $\Delta$, pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k operátoru $\hat B^\dagger$ s posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený (tzn. má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje aspoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že $\hat A\psi_\lambda\neq 0$ pak
−
  (což může být např.
+
$\Delta\in\real$.
−
elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není pouze \db ova vlna,
+
−
ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných.
+
−
Díky linearitě \sv
+
−
\rc e je řešením \rf{srvolna}) i lineární superpozice \db ových vln odpovídajících různým hybnostem
+
−
\be \psi(\vec{x},t)=\int_{\real^3}\tilde\psi(\vec
+
−
p)e^{\frac{i}{\hbar}(\vec p\vec x-\frac{p^2}{2m}t)}dp^3.
+
−
\ll{vlnbalik}\ee
+
−
%$\psi =\psi(x,t)$.
+
−
%$\psi: {\bf D \->\complex,\ \ \bf D \part
+
−
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna}) má jenom
+
−
některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou
+
−
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o její
+
−
poloze.
+
−
Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její
+
−
vlastnosti, např. lokalizovatelnost v určité části prostoru, pak musíme použít
+
−
jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
+
−
\begin{cvi}
+
−
Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a  vlnová \fc e částice má v čase $t_0$ ("lokalizovaný") tvar
+
−
\be g(\vec x)=C\exp[-A\vex^2+\vec B\vec x] \ll{mvb}\ee
+
−
Pomocí Fourierovy
+
−
transformace určete řešení \sv y
+
−
\rc e $\psi(\vec x,t)$, které v čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj. splňuje počáteční podmínku
+
−
$\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$
+
−
%(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
+
−
kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$.
+
−
\ll{ex:vlnbal}
+
−
\end{cvi}
+
−
\bc Nechť $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
+
−
\[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]
+
−
je řešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním gravitačním poli (Avron-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
+
−
\ec
+
−
\special{src: 770 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
  
−
\subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}
+
\special{src: 1642 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
\special{src: 774 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní
 +
spektrum. Uvedeme dva typické příklady. \subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.} Budeme se
 +
zajímat o posunovací operátory pro operátor energie \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} +
 +
\frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee Z komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze
 +
odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou \be \hat a_\pm:=\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q
 +
            \mp \frac{i}{M\omega}\hat P), \ll{kreanop} \ee
 +
neboť
 +
\be [\hat H,\hat a_\pm]=\pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma}\ee
 +
Navíc platí
 +
\be \hat a _-^\dagger=\hat a_+,\ [\hat a _-,\hat a_+]=\hat\unit. \ll{acoma}\ee
  
−
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny
+
\special{src: 1674 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
+
−
význam, neboli problém {\em fyzikální interpretace řešení
+
−
\sv y \rc e.}
+
  
−
\special{src: 781 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Ze \rf{posunl}) a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne  pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho})
 +
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci}\ee
 +
Operátor $\hat a_+$ tedy "zvyšuje energii stavu" o $\hbar\omega$ a nazývá se obvykle {\em kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se z podobného důvodu nazývá {\em anihilační}.
  
−
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické
+
\special{src: 1680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
−
mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná
+
−
jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální
+
−
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný.
+
−
Problém %jejich
+
−
interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je
+
−
rovnicí v
+
−
komplexním oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce.
+
−
Podotázkou tohoto problému pak je, zda
+
−
všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
+
  
−
\special{src: 794 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
−
Po mnoha marných pokusech interpretovat    řešení \sv y \rc e jako
+
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}), \rf{acoma}) platí
−
silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho statistická
+
\be \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-)=
−
interpretace (Max Born, 1926):
+
    {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half). \ee
−
%Problém interpretace řešení \sv y \rc e řeší Bornův postulát:
+
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá "operátorem počtu energetických kvant".
  
−
\special{src: 801 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1691 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
{\bf  Řešení \sv y \rc e %obsahuje veškerou informaci
+
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a
−
udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení
+
anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s nejnižší energií
−
částice v různých oblastech prostoru:
+
$\psi_0$ totiž musí platit \be \hat a_-\psi_0=0 \ll{anih0}\ee a dosadíme-li do \rf{kreanop}) vyjádření
−
Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y \rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní
+
operátorů $\hat Q,\ \hat P$ \rf{xoper}), \rf{poper}), rovnice \rf{anih0}) přejde na tvar \be
−
hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$
+
\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0=0, \ee kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální
−
je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v okamžiku $t$ v místě
+
rovnici 1. řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme. \be \psi_0(\xi)=Ce^{-\xi^2/2}. \ee Porovnáním
−
s kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
+
této \fc e s \rf{vlfcelho}) zjistíme, že se skutečně jedná o vlastní \fc i energie jednorozměrného
−
\begin{cvi}
+
harmonického oscilátoru s vlastním číslem $\half \hbar\omega$. Stavy  s energiemi $\hbar\omega(n+\half)$
−
Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané
+
dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s nejnižší energií \be \psi_n(\xi)=K_n\hat
−
de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna}) v oblasti
+
a_+^n\psi_0(\xi)=\frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \
−
$(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ?
+
K_n^{-1}=(\frac{\hbar\pi}{M\omega})^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.\label{ntylho}\ee  Volba fáze
−
\end{cvi}
+
normalizačních konstant \rf{nvlfcelho}) vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru
−
\begin{cvi}\ll{casvmvb}
+
určuje i fázi koeficientů $\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s přijatou fázovou
−
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
+
konvencí \rf{nvlfcelho}), kde všechny normalizační koeficienty jsou kladné. \bc Ukažte, že platí \[ \hat
−
\be \psi(\vec x,t)=Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}}
+
a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec \bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v \rf{akopnavlfci}). \ec
−
\chi(t)^{-3/2}\exp\{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}\} \ll{mvbt}\ee
+
 
−
\[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
+
Poznamenejme ještě nakonec, že  stav s nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. {\em
−
z příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$?
+
Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru \be \hat
−
Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je
+
a_-\rho_\lambda=\lambda\rho_\lambda. \ee Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme \be
−
rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem?
+
\rho_\lambda(\xi)=C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}.\label{kohstav}\ee Tyto stavy hrají významnou
−
%Jaká je rychlost rozplývání
+
roli zejména v kvantové optice.
−
Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku
+
 
−
pro elektron lokalizovaný s přesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotě 1 gram
+
\subsubsection{Moment hybnosti}  Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho
−
jehož těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m?
+
nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, ale i $l$. Alternativou jsou posunovací
−
\ll{ex:pstvb}\end{cvi}
+
operátory \be \hat L_\pm:=L_1\pm i\hat L_2 \ll{pm}.\ee Pro ně lze snadno dokázat komutační relace \be [\hat
−
{Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice?}
+
L_3,\hat L_\pm]=\pm \hbar \hat L_\pm,\ [\hat L^2,\hat L_\pm]=0 \ee a přechodem do sférických souřadnic \be
−
Pravděpodobnost nalezení částice v oblasti $O\subset{\bf R}^3$
+
\hat L_\pm Y_{lm}=\alpha^\pm_{lm}Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha}\ee \be \hat L_+Y_{ll}=0,\  \hat L_-
−
je úměrná
+
Y_{l,-l}=0,\label{yll0} \ee kde $\alpha^\pm_{lm}\in \complex$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v
−
\[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \]
+
podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{yll0}) a \rf{posalpha}) použít pro výpočet
−
%přirozeným způsobem jako
+
kulových funkcí. \bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-]=2\hbar\hat L_3. \ee \ec \bc Napište
−
%četnost výskytu v oblasti $O$ dělená četností výskytu "kdekoliv"
+
operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů  $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec Koeficienty
−
%tj. v ${\bf R^3}$ pak
+
$\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha}) až na fázi. Přijmeme-li tzv. Condon-Shortleyovu
−
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z požadavku,
+
konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je
−
%Je zřejmě přirozené považovat,
+
reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant $C_{lm}$ \rf{normconsY}) pro $Y_{l,m}$
−
aby pravděpodobnost nalezení částice "kdekoliv" se rovnala
+
jako $(-1)^m$. \bc \label{alplm}Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec \bc Spočítejte "maticové
−
jedné.
+
elementy" $(Y_{lm},\hat L_kY_{l'm'})$. \ec
−
% takže fyzikální význam mají řešení, pro která platí
+
 
−
%\[ =1 \]
+
\subsubsection{Bra-ketový formalismus} Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv. "ketů" $|\ >$ a "bra"
−
%Vzhledem k tomu, že množina řešení \sv y \rc e je lineární
+
$<\ |$, což obecně není nic jiného než označení prvků Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li
−
%prostor, pak
+
normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=|n>$, pak ketové vyjádření
−
Tuto podmínku lze snadno splnit, položíme-li hustotu
+
vztahu \rf{ntylho}) je \[ |\,n>=K_n \hat a_+^n |\,0>. \] Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního
−
pravděpodobnosti rovnou
+
součinu pro libovolné $f\in$\qintline \[ (\psi_n,f)\equiv(|n>,|f>)=<n|f> \] (skalární součin = závorka =
−
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1}
+
bracket =$<$ bra$|$ket$>$ ), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi vlastních funkcí
−
  |\psi(x,y,z,t)|^2,
+
energie jednorozměrného harmonického oscilátoru má v bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar \be f
−
\ll{pst}\ee
+
\equiv|f>=\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|f> \ll{relupl},\ee což se často zapisuje jako
−
%vydělením libovolného řešení $\psi$ číslem $1/\sqrt{A(\psi)}$,
+
$\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|=\hat\unit$.
−
kde
+
 
−
\be A(\psi)=\int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz ,\ll{norma}\ee
+
Z komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy \be \hat a_-^m\hat a_+^n|0>=0\
−
pokud tento integrál existuje.
+
{\rm pro}\ n< m,\ \ \ \ \ \ \hat a_-^m\hat a_+^n|0>=n!\,\hat a_+^{n-m}|0> \ {\rm pro}\ n\geq m, \ee ze
 +
kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů \[|n>= \frac{1}{\sqrt{n!}}\hat a_+^n |0>,\] která v
 +
bra-ketovém vyjádření má jednoduchý tvar \be <m|n>=\delta_{mn}.\ee
 +
 
 +
Operátory $\hat O$ v \qintline \, lze zapsat v tzv. energetické reprezentaci pomocí maticových elementů
 +
$<n|\hat O|m>$ způsobem \be \hat O f \equiv \hat O |f>= \sum_{n=0}^\infty|n><n|\hat O |f>=
 +
\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty|n><n|\hat O|m><m| f>, \ee kde \be <n|\hat O|m>:= (\psi_n,\hat O\psi_m).
 +
\ee \bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v jednorozměrném případě\ec
 +
 
 +
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů  $ |l,m>$ nebo vlastní funkce
 +
isotropního harmonického oscilátoru pomocí ketů $ |N,l,m>$.
 +
 
 +
 
 +
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}\ll{zobvlf} Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce
 +
souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled jednoduchý. Podmínka \be
 +
\hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee dává diferenciální rovnice \be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial
 +
x_j}=p_j\phi  \ \ j=1,2,3, \ee které mají řešení \be \phi_{\vec p}(\vec x)=Ae^{i\vec p\, \vec x/\hbar},
 +
\ll{zvfoh}\ee jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v tom, že tyto \fc e
 +
nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné $\vec p\in\complex^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v
 +
Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich
 +
spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří
 +
však do spojité nikoliv bodové části spektra.
 +
 
 +
\special{src: 1771 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem
 +
\rf{spvv}) je možno provést pouze pro hodnoty z bodové části
 +
spektra odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra
 +
lze přiřadit pouze tzv. {\em zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, které
 +
nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat
 +
skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s \fc emi ležícími v husté podmnožině kvadraticky
 +
integrovatelných funkcí.
 +
 
 +
\special{src: 1731 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Příkladem takové husté podmnožiny je {\em prostor rychle ubývajících funkcí} ${\cal S}(\real^3)$ obsahující
 +
funkce $f\in$ \qintspace splňující \be {\rm sup}|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial
 +
x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f|<\infty
 +
\ll{prryubfci}\ee pro všechna $(\vec j,\vec k)\in\integer_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z ${\cal
 +
S}(\real^3)$  je, že Fourierova transformace \be \tilde f(\vec k) \equiv ({\cal F}f)(\vec
 +
k):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{-i\vec k \vex} f(\vex)d^3x \ll{Fourier}\ee je bijekcí ${\cal
 +
S}(\real^3)$ na ${\cal S}(\real^3)$ (viz \cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar \be ({\cal
 +
F}^{-1}\tilde f)(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{i\vec k \vex} \tilde f(\vec k)d^3k=({\cal F}\tilde
 +
f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee odkud snadno dostaneme, že \begin{equation}\label{FfFg}
 +
    ({\cal F}f,{\cal F}g)=(f,g)
 +
\end{equation}
 +
 
 +
Pro $f\in{\cal S}(\real^3)$ můžeme definovat "skalární součiny" $(\phi_{\vec p},f)$ a $(f,\phi_{\vec p})$
 +
(přesněji lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec p}$ ležely v
 +
\qintspace{}. \be\ll{psip} \Phi_{\vec p}(f)\equiv(\phi_{\vec p},f)
 +
:=\int_{\real^3} A^*e^{-i\vec p \vec x/\hbar}f(\vec x)d^3x
 +
=A^*({2\pi})^{3/2}({\cal F}f)(\frac{\vec p}{\hbar}), \ee
 +
\be \ll{invft}
 +
(f,\phi_{\vec p}):=(\phi_{\vec p},f)^*
 +
=A({2\pi})^{3/2}({\cal F}f^*)(-\frac{\vec p}{\hbar}),\ee neboť tyto integrály jsou
 +
(inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z ${\cal
 +
S}(\real^3)$. Rovnice pro funkcionály $\Phi_{\vec p}$ má tvar \be (\hat P_j\Phi_{\vec p})(f)=
 +
(\hat P_j \phi_{\vec p},f)=(\phi_{\vec p},\hat P_j f)=p_j(\phi_{\vec p},f)=p_j\Phi_{\vec p}(f),\ \forall
 +
f\in {\cal S}(\real^3) \ll{rceprophip}\ee a funkce \rf{zvfoh}) nazýváme {\bf zobecněné vlastní \fc e
 +
hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z \qintspace. To je také
 +
důvod proč je s úspěchem můžeme použít k popisu tzv. rozptylových stavů (viz kap. \ref{potrozptyl}), jež
 +
jsou určeny počáteční a konečnou hybností. \bc Nechť \[ \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}
 +
\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon
 +
x}{\hbar}. \] Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$ \ec
 +
 
 +
 
 +
Ještě výraznější je "zobecněnost" vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice \[ \hat
 +
Q_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3 \] má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové
 +
\fc e jsou však v \qintspace { ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení problému konstrukce zobecněných
 +
vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\real^3$, %zavést. K
 +
jejich konstrukci lze použít tzv. $\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující
 +
vlastnosti: \be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda
 +
\ll{dcond1}\ee \be \int_\real \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee
 +
 
 +
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky
 +
\rf{dcond1},\ref{dcond2}), nicméně lze definovat jiné matematické
 +
objekty pro které lze obě podmínky splnit.
 +
\\{\bf Příklad}: Nejjednodušší způsob je pohlížet na
 +
$\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť
 +
\[ f_{a,\lambda}(x):= 0\ \for |x-\lambda|>a \]
 +
\[ f_{a,\lambda}(x):= 1/2a\ \for |x-\lambda|\leq a. \]
 +
Pak podmínky \rf{dcond1}), \rf{dcond2}) jsou splněny pro
 +
%každou $f_{a,\lambda}$ a podmínku \rf{dcond1}) lze splnit, když
 +
$a\rightarrow 0$.\\
 +
Z tohoto příkladu je snadno vidět, že i
 +
zobecněné vlastní funkce operátoru polohy  \rf{zvfop})
 +
lze aproximovat funkcemi z prostoru \qintspace{} podobně jako
 +
zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}).
 +
 
 +
\special{src: 1830 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Přesnější definici pojmu $\delta$-- \fc e je možno podat v rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou
 +
spojité lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^n)$. Uvedeme pouze, že v této teorii je (jednorozměrná)
 +
$\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,.)$ na ${\cal S(\real)}$ definovaného ve
 +
shodě s \rf{dcond2})způsobem %Definujeme-li pro $f\in{\cal S(\real)}$
 +
\be
 +
\int_\real\delta_\lambda(x)f(x)\equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).\ee  Rovnost \[
 +
x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x) \] pak znamená \be (\hat Q
 +
\delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat Q f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in {\cal S}(\real^3), \ee
 +
(což je vztah analogický k \rf{rceprophip}) ) a v tomto smyslu je \be \delta_{\vec a}(\vec
 +
x)\equiv\delta(\vec a-\vec x):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3) \ll{zvfop}\ee zobecněnou
 +
vlastní funkcí polohy s vlastní hodnotou $\vec a$.
 +
 
 +
Z definice Fourierovy transformace (\ref{Fourier}) a její inverze lze jednoduchým výpočtem ukázat, že
 +
\be \int_{\real^3}e^{i{\vec z}(\vec
 +
x-\vec y)} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vec x-\vec y), \ee t.j.
 +
\be {\cal F}[\phi_{\vec p}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec p/\hbar} \ll{fourfip}\ee
 +
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}), totiž
 +
že je lze {\em "normalizovat k $\delta$--\fc i"}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$ \be (\phi_{\vec
 +
p'},\phi_{\vec p}) \equiv \int_{\real^3}\phi_{\vec p}(\vec x)\phi_{\vec p'}^*(\vec x) d^3x=\delta(\vec
 +
p-\vec p') .\ll{dnormp}\ee Podobně  i pro \rf{zvfop}) platí \be (\delta_{\vec a'},\delta_{\vec a}) \equiv
 +
\int_{\real^3}\delta_{\vec a}(\vec x)\delta_{\vec a'}(\vec x) d^3x=\delta(\vec a-\vec a') .\ll{dnormx}\ee
 +
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na ${\cal S}(\real^n)$ a
 +
zápis pomocí integrálů je poněkud formální.
 +
 
 +
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec a}\equiv |\,\vec a>,\ \phi_{\vec
 +
p}\equiv|\,\vec p>$. Vztahy \rf{zvfoh}), (\ref{dnormx}), (\ref{dnormp}), (\ref{dcond2}) a (\ref{invft}) pak
 +
lze zapsat jako \[  <\vec x\,|\vec p\,>=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec p\, \vec x/\hbar},\  <\vec
 +
x\,|\vec x\,'>=\delta (\vex-\vex\,'),\ <\vec p\,|\vec p\,'>=\delta(\vec p-\vec p\,'), \] \[ <\vec
 +
x\,|\,\psi>=\psi(\vec x),\ \ <\vec p\,|\,\psi>=\hbar^{-3/2}\tilde\psi(\frac{\vec p}{\hbar}) \]
 +
a je možno psát analog relace úplnosti (\ref{relupl}) \[ |\psi>=\int_{\real^3}d^3x\,|\vec x><\vec
 +
x\,|\psi>=\int_{\real^3}d^3p\,|\vec p><\vec p\,|\psi>. \]
 +
 
 +
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části
 +
spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice v coulombickém poli spočítaných v předchozím paragrafu leží  ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům
 +
částice v Coulombově potenciálu s kladnou energií (tzv. rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní
 +
\fc e
 +
\be \psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm}, \ee
 +
kde $k=\pm\sqrt{2mE}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm}) a
 +
\be
 +
R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr}
 +
F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr)
 +
\ll{zovlfcecoul}.\ee
 +
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru
 +
konstant $C_{kl}$ normalizovány k $\delta$--\fc i, neboť platí
 +
\[ \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r}
 +
F^*(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr)
 +
F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r)r^2dr\]\be=K_{kl}\delta(k-k'),
 +
\ee
 +
kde $K_{kl}$ je konstanta.
 +
 
 +
\special{src: 1899 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 +
 
 +
Z výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o chování objektů mikrosvěta.
  
−
\special{src: 853 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\special{src: 1903 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
−
Fyzikálně    snadno
+
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.
−
interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která
+
−
splňují
+
−
\be \int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty.\ll{konecnanorma}\ee
+
−
Těmi se budeme v následujícím textu zabývat především.
+

Verze z 1. 11. 2010, 01:44

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201814:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201815:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201814:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201814:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201814:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201814:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201814:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201814:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201815:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201814:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201814:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201814:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201814:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201815:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201815:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201815:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201815:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201815:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201815:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\sv a \rc e  má v \qv é mechanice stejnou roli jako
Newtonova rovnice v
mechanice klasické, {\bf popisuje časový vývoj fyzikálního
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic
odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních
rovnic, \sv a \rc e
je parciální diferenciální
rovnicí. Z tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu
stavu  v daném okamžiku v klasické a \qv é mechanice.
%\input{stav_pro.sub}
\subsection{Stavový prostor}
{\small Stav klasického systému v daném okamžiku je určen hodnotou
všech poloh a rychlostí či  poloh a hybností jednotlivých hmotných bodů.
Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových
rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
 
\special{src: 17 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální
rovnicí 1. řádu v čase a %podle Cauchyho věty o řešení PDR
%(mezi které \sv a \rc e samoz
její řešení %\sv y \rc e (aspoň pro jistý časový interval)
je (při daných okrajových podmínkách) určeno volbou
počáteční podmínky $\psi (\vec{x},t=t_0)= g(\vec{x})$.
tj. funkcí $g$.
Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr}) popisuje časový vývoj
kvantové částice, %v potenciálu $V$,
pak docházíme k závěru, že
{\bf okamžitý stav kvantové částice %tohoto fyzikálního systému
je určen komplexní funkcí tří proměnných} (Jak zvláštní!). Této
funkci se obvykle říká {\em stavová či vlnová funkce částice}.
 
\special{src: 33 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na stavové
funkce jistá omezení.
Podmínka \rf{konecnanorma}) platí pro
libovolný čas $t$ a musíme proto požadovat,
aby každá funkce $g(\vec x)$ popisující stav
kvantové částice splňovala podmínku ($\vec x\equiv (x,y,z)$)
\be \int_{\bf R^3} |g(\vec x)|^2 d^3x <\infty.\ll{konecnanormag}\ee
Tyto funkce nazýváme {\em kvadraticky integrovatelné} (na
$\real^3$ s mírou $d^3x$). Mimo to funkce $g$ a $Cg$, kde $C$ je libovolné komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
\begin{cvi}
Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve
vzdálenosti $(r,r+dr)$ od jádra, je-li popsán (v čase $t_0$) funkcí
\be g(x,y,z)=Ae^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_0},
\ll{zsv}\ee
kde $a_0=0,53\times10^{-8}$ cm je tzv. Bohrův poloměr vodíku?
Viz \cite{kv:qm}.
\ll{ex:pstvodat}
\end{cvi}
 
Díky Minkovského nerovnosti
\[ (\int_{\real^3}|f+g|^2d^3x)^{1/2}\leq(\int_{\real^3}|f|^2d^3x)^{1/2}
+(\int_{\real^3}|g|^2d^3x)^{1/2},\]
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}), tvoří kvadraticky integrovatelné funkce
lineární prostor.
Odtud plyne tzv. {\bf princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: {\em Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1,\ \psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a\psi_1+b\psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}
\begin{cvi}
Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném
prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal})
kvadraticky integrovatelná?
\ll{ex:hilbspvb}
\end{cvi}
\begin{cvi}
Leží \db ova vlna \rf{dbvlna}) ve výše uvedeném
prostoru?
\end{cvi}
Na lineárním vektorovém prostoru stavových
funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma}) je
%Později ukážeme, že na tomto prostoru lze však
možno zavést ještě
bohatší matematickou strukturu, která má pro konstrukci
kvantové mechaniky zásadní význam.
Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, což
pak použijeme k
předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv
ém sytému v daném stavu.
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
Více či méně zevrubné poučení o Hilbertových prostorech je možno
najít v mnoha učebnicích (viz např. \cite{beh:lokf} a citace tam
uvedené). Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme
používat v této přednášce.
{\small
\bd {\em Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru
$V$ (ne nutně konečně rozměrném)
nazveme zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$
splňující
\[ F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),\]
\[F(af,g)=a^*F(f,g),\ F(f,ag)=aF(f,g), \]
kde $a\in\complex$ $f,g,h\in V$ a hvězdička znamená komplexní
sdružení.
\ed
{\bf Příklad:}
 Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na
$\real^N$ lze
zavést sesquilineární %positivní symetrickou
formu předpisem
\be F(g_1,g_2)\equiv(g_1,g_2):=
\int_{\bf R^N} g_1^*(\vec x)g_2(\vec x)d^Nx.\ll{ss}\ee
\bd
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$ nazveme {\em
symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
\be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2}\ee
\ed
\bc Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen
tehdy, když $F(f,f)\in \real$.
\ll{symfor}\ec
\bd
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$ nazveme {\em
pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
\be F(f,f)\geq 0.\ee
Pokud navíc
\be F(f,f)=0\Leftrightarrow f=0, \ee
pak tuto formu nazveme {\em striktně pozitivní}.
\ed
Sesquilineární forma \rf{ss}) je pozitivní (a tedy i symetrická).
\bt Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$
 {\em Schwartzovu nerovnost}
\be |F(f,g)|^2\leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwartz}\ee
Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\complex$
tak, že
\be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0\ {\rm nebo}\
F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn}\ee
\et
Důkaz: Nechť $f,g\in V$.
Pak z pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé
$\beta\in\complex$
\be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^*
F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g)
\ll{possesq}\ee
Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F(f,g)^*$ dostaneme
\rf{schwartz}). Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty
komplexního čísla
plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část
tvrzení($\alpha=0$).
 
\special{src: 142 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.
$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v \rf{possesq}), pak dostaneme
nerovnost \rf{schwartz}). Druhou část tvrzení dokážeme takto:
Nechť platí první rovnost v \rf{schwrovn}).
Z nerovnosti
\[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s \rf{schwartz})
dává
 $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost platí,
pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v \rf{schwrovn}).
{\flushright Q.E.D.}
} %small
\bd Sesquilineární striktně pozitivní forma
na komplexním lineárním vektorovém prostoru
$V$ se nazývá {\em skalární součin}.
Lineární vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá
{\em unitární} nebo též {\em pre--hilbertův}.
\ed
{\bf Příklad:} Na prostoru $\complex^N$ lze zavést skalární součin
způsobem
\be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn}\ee
 
\special{src: 166 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Ze cvičení \ref{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwartzovy nerovnosti je snadné ukázat, že
indukuje na prostoru $V$ normu $||f||:=\sqrt{(f,f)}$
a metriku $\rho(f,g):=||f-g||$
 
\special{src: 172 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bd Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá
{\em Hilbertův}.
\ed
{\bf Příklad:} Prostor $\complex^N$ se skalárním součinem
\rf{sscn}) je Hilbertův.
 
\special{src: 180 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
{\small
Sesquilineární forma \rf{ss}) na prostoru kvadraticky integrabilních
funkcí
není striktně pozitivní.
Považujeme-li však funkce lišící se na množině míry nula za
"stejné", tzn. provedeme-li jistou faktorizaci (viz
\cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný
obvykle \qintrn, na kterém pak \rf{ss}) definuje
skalární součin.
V normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor
úplný, a tedy Hilbertův.% (viz \cite{beh:lokf}).
}%small
\\{\bf Příklad:} Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na
intervalu $(a,b)\subset\real$, kde $a$ i $b$ mohou být i
$\pm\infty$ a
\[ (f,g):=\int_a^b f^*(x)g(x)dx \]
je Hilbertův.
 
\special{src: 200 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
V dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi
kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami
funkcí lišícími se na množině míry nula.
Můžeme tedy shrnout, že  {\bf %fyzikálně interpretovatelná řešení
funkce \rf{konecnanormag}) popisující stavy kvantové částice
tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.
\bt [Rieszovo lemma] Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak
existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\hil$ takový, že pro všechna
$f\in\hil$ platí
\[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
\et
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\hil$
je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce
%Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
 $\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv. "bra--ketového formalismu",
který je v \qv é \mi ce často používán.
 
\vskip 1cm Důležitým pojmem v teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv. ortonormální
baze.
(často ne zcela správně nazývaná ortonormální baze). {\small \bd Vektory $x,y$ v Hilbertově
prostoru $\hil$ nazveme {\em ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme
{\em ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z
množiny $M$ platí $||x||=1$ nazveme ji {\em ortonormální} \ed \bd Vektor $x\in \hil$ nazveme {\em
ortogonální k množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
nazýváme {\em ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$. \ed Je snadné ukázat, že
ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$. \bt Je-li ${\cal G}$ uzavřený
podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in{\cal G}$ a $z\in {\cal G}^\perp$, tak
že $x=y+z$, t.zn. $\hil={\cal G}\bigoplus{\cal G}^\perp$. \et Důsledkem tohoto tvrzení je existence
lineárního operátoru $E_{\cal G}:x\lim y$, který se nazývá {\em ortogonální projektor} na ${\cal G}$.
}%small
\bd {\em Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový
prostor, $B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$. \ed
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v obvyklém
smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární kombinaci prvků baze.
Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako "nekonečnou lineární kombinaci" prvků
ortonormální baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ ||f||:=(f,f)$. \\{\bf Příklad:}
Nechť $(a,b)$ je omezený interval v $\real,\ c:=b-a,\ m\in \integer$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi
imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v prostoru tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$.
\bd Nechť $B$ je ortonormální baze v Hilbertově prostoru $\hil$. {\em Fourierovými koeficienty vektoru}
$f\in\hil$ {\em pro bazi $B$} nazveme skalární součiny (b,f), kde $b\in B$. \ed
 
\special{src: 272 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Hilbertovy prostory, se kterými v \qv é \mi ce pracujeme
(například \qintspace),
%jsou seperabilní a pro ně platí, že
mají nejvýše spočetnou
ortonormální bazi $B=\{e_j\}$. V takovýchto
prostorech platí pro každé $f\in\hil$
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp}\ee
\be ||f||^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2 \ll{parseval}\ee
Tyto vztahy se nazývají {\em Fourierův rozvoj} a {\em Parsevalova
rovnost.}
 
\special{src: 285 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
V kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze,
jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.
\bc Najděte ortonormální bazi  v $\complex^2$, jejíž prvky jsou
vlastními vektory matice
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}
0&1\\1&0
\end{array}
\right)
\]
\ec
Příklady ortonormálních bazí v nekonečně rozměrných Hilbertových
prostorech ukážeme v dalších kapitolách.
%\input{pozorova.sub}
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}\ll{pozorovatelne}
{\small V klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět
výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny
(energie, momentu hybnosti, ...) .
 
\special{src: 305 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Stav systému (např. jedné či
více částic) je určen
bodem {fázového} prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností,
 podle toho zda používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu
formulaci) a
fyzikální veličiny -- {\em pozorovatelné} %-- v klasické mechanice je pak možno
jsou definovány jako reálné funkce na fázovém prostoru. %Víme též, že t
%Tento  popis %stavu soustavy hmotných bodů,
% je {úplný}, neboť h
Hodnotu každé mechanické veličiny
%můžeme vypočítat ze znalosti
pro systém v daném stavu dostaneme
vyhodnocením příslušné funkce v odpovídajícím
bodu fázového prostoru.
Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je
dáno oborem hodnot této funkce.
Např. kinetická energie stavu $(\vec p,\vec q)$ je
\[ E_{kin}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
a její spektrum je $\real_+$.
 
\special{src: 327 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
{Tento popis je nezávislý na dynamice} tj. na časovém vývoji systému
a je
tak názorný, že se mu v klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak
podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis
těchže kinematických pojmů v kvantové mechanice.
%Výše uvedená fakta lze pak shrnout např. tak, že stav
%klasického mechanického systému lze popsat bodem
%soustavy $N$ hmotných bodů bez vazeb je popsán bodem
%$6N$-rozměrného --
%, který je určen okamžitou hodnotou
%všech poloh a hybností jednotlivých hmotných bodů.
}
 
\special{src: 343 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Otázka, na kterou chceme odpovědět v tomto paragrafu zní:
%, je třeba napřed znát odpověď na druhou otázku:
{Jaké matematické objekty přiřadíme v \qv é \mi ce
pozorovatelným?}
{Jak bylo konstatováno v minulém paragrafu, { stavový prostor
kvantové částice} je %lineární prostor
množina kvadraticky integrabilních funkcí
tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným přiřazovali funkce na
tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou
teorii pole, která se pro náš cíl -- popis objektů mikrosvěta --
ukázala neadkvátní.}
Místo toho {\bf kvantová %mechanika
teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené
lineární operátory na %stavovém
prostoru stavových funkcí}. Způsob
přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán
fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
experimentálním ověřováním  %kvantové
teorie.
 
\special{src: 365 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro sledování analogií s klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti.
V kvantové mechanice hmotné částice je {\bf kartézským složkám polohy částice
přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$}
\ll{xoper}\ee
a {\bf kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální
derivace}
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial
x_j}(\vec x)$}
\ll{poper}\ee
Definici operátoru hybnosti už jsme de
facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna})
z \db ovy hypotézy.
 
\special{src: 381 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Existuje mnoho zdůvodnění %tohoto
přiřazení \rf{xoper},\ref{poper}).
%která zatím pomineme. Poznamenejme pouze, že v
V každém z nich je však třeba vyslovit nějaké
předpoklady, které jsou více či méně ekvivalentní
\rf{xoper},\ref{poper}).
 
\special{src: 390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících
klasickou analogii jsou
konstruovány podle {\em principu korespondence}, tzn. jsou
formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako
odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v klasickém
případě. Např.
operátor celkové energie částice v silovém poli potenciálu $V$ je
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) =
 -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \]
kde $\triangle=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$.
 
\special{src: 403 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti.
\ec
Vzhledem k tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor,
důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich
definičních oborů, což je obecně dosti delikátní problém.
Je samozřejmě nutné, aby příslušné
operace byly na funkcích z definičního oboru
definovány a jejich výsledek ležel v \qintspace {}
(takže například funkce z definičního
oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné
a  derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
%plynou z následujícího
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že
%Základní předpoklad pro \oper y odpovídající fyzikálním veličinám zní:
{\bf spektrum lineárního operátoru přiřazeného
fyzikální veličině musí být shodné s množinou hodnot, které lze
pro danou veličinu naměřit}.%, přičemž
 
\special{src: 423 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Problémů s definičními obory operátorů se v tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v následující vsuvce.
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např. na \cite{beh:lokf}.
\bc\ll{nekpoja} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě", tj. v potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
\ec
\bc Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní  potenciálové jámě tj. v potenciálu $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \real$.
\ec
 
\special{src: 434 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v Hilbertově
prostoru}
Teorie operátorů v Hilbertově prostoru je téma
samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat
obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. Shrneme zde pouze
nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
 
\special{src: 443 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pod lineárním operátorem v Hilbertově prostoru $\hil$ budeme
rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde
definiční obor $D_T$ je lineární podprostor $\hil$.
Je-li Hilbertův prostor %je lineární vektorový prostor. Je-li
konečně
rozměrný pak teorie lineárních zobrazení je relativně jednoduchá
a redukuje se na teorii matic.
V \qv é teorii se však vyskytují především  nekonečně rozměrné
prostory, což přináší mnoho technických problémů.
% pro teorii lineárních operátorů.
Některé z nich lze řešit, pokud budeme používat pouze
%Budeme se zabývat výhradně tzv.
{\em hustě definované}
operátory, tj. takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, kde pruh
značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou
$\hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
 
\special{src: 462 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\special{src: 465 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako
operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
\bd Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je {\em omezený},
pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí
\[ ||\hat B g||\leq c||g|| \]
\ed
 
\special{src: 474 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Normou $||g||$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním
součinem $||g||:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze spojitě
rozšířit na celé $\hil$.
\\ \pri Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice
vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\cap L^1(\real^3,dx^3)$. Pro
ostatní funkce je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}}
\[ \tilde g(\vec p)\equiv(\hat F g)(\vec p):=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\real^3}
e^{-i\vec p\vec x}g(\vec x)dx^3                                \]
je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
 
\special{src: 486 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bd
Nechť $\hat B$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat B^\dagger $
nazveme {\em sdruženým k} $\hat B$, pokud pro všechna $f,g\in\hil$
\[ (f,\hat Bg)=(\hat B^\dagger f,g) \]
\ed
Z Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k danému omezenému
operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol}\ee
Omezené operátory na $\hil$ tvoří komplexní algebru a platí
\be (a\hat B +\hat C)^\dagger =a^*\hat B^\dagger +\hat C^\dagger ,\ \ (\hat B\hat
C)^\dagger =\hat C^\dagger \hat B^\dagger . \ll{algop}\ee
\bc
Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu
operátoru $\hat M$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice
odpovídá operátoru $\hat M^\dagger$?
\ec
\bd Operátor $\hat B$ na $\hil$ nazýváme {\em hermitovský}, pokud je
omezený a platí $\hat B^\dagger =\hat B$.
\ed
\pri Operátor $\hat Q$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde
$b-a<\infty$,
definovaný
\[ (\hat Q f)(x):=xf(x) \]
je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat Q$ není omezený.)
\bt Operátor $\hat E$ je ortogonální projektor (na $Ran\ \hat E$)
právě tehdy, když je hermitovský a
splňuje $\hat E^2=\hat E$.
\et
 
\special{src: 517 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě
definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich definice vychází z následujícího faktu:
 
\special{src: 522 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bt Je-li $\hat T$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro
každé $f\in\hil$ existuje {\em nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové,
že pro všechna $g\in D_T$ platí
\be (f,\hat Tg)=(h,g) \ll{sad1}\ee
\et
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
\bd Nechť $\hat T$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor
operátoru $\hat T^\dagger $ {\em sdruženého k} $\hat T$ je množina všech
$f\in\hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}), přičemž $\hat T^\dagger f:=h$
\ed
\bd Operátor $\hat T$ je {\em samosdružený}, pokud je hustě
definovaný a $\hat T=\hat T^\dagger $.
\ed
 
\special{src: 538 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
 
\special{src: 542 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bd Operátor $\hat S$ je {\em symetrický}, pokud je hustě
definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat Sg)=(\hat Sf,g) $, tj.
$D_S\subset D_{S^\dagger}$.
\ed
 
\special{src: 549 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Je zřejmé, že každý hermitovský operátor je samosdružený; opak
neplatí.
\\ \pri Operátor $\hat Q, (\hat Q\psi)(x):=x\psi(x)$
s definičním oborem $D_X:=\{\psi\in
L^2(\real,dx):\int_\real x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ je samosdružený.
 
\special{src: 557 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Doplníme-li definici \rf{poper}) operátoru $\hat P_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené (viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
 
\special{src: 561 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Hustě definované operátory
 netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy
\rf{algop}) musí být proto pro neomezené operátory
náležitě modifikovány, stejně jako i \rf{invol}).
 
\special{src: 568 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru,
což je rozšíření
pojmu vlastních hodnot matice.
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
%definovat pouze pro tzv. uzavřené operátory.
%\bd {\em Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \]
%Operátor $\hat T$ je {\em uzavřený},
%pokud jeho graf je uzavřená množina v $\hil\times\hil$.
%\ed
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
%celá komplexní rovina.
\bd
{\em Spektrum $\sigma(\hat T)$ %uzavřeného
operátoru} $\hat T$ je množina
komplexních čísel $\lambda $ pro které operátor $(\hat
T-\lambda\hat\unit)$ není bijekcí $D_T\lim\hil$.
\ed
 
\special{src: 589 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna
vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$
takový, že $\hat T\psi=\lambda \psi$, pak operátor $\hat
T-\lambda\hat\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat T)$ vlastních čísel
operátoru $\hat T$ nazýváme {\em bodovým spektrem}.
Mimo těchto bodů však do spektra
patří i komplexní čísla pro která operátor $\hat T - \lambda\hat\unit
$
není surjektivní. Ty tvoří
body tzv. {\em spojité či  reziduální části spektra}.
 
{\bf Důvod, proč v kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly
přiřazeny samosdružené operátory tkví v tom, že platí
\bt
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\real$.
\et
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty
pozorovatelných.
}
 
\special{src: 612 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Spektrum (čistě spojité) každého z operátorů \rf{xoper},\ref{poper})
je {\bf R}
(viz \cite{beh:lokf}),
což odpovídá experimentálnímu faktu, že ani pro \qv ou částici
%je možno v principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
%hybnosti částice.
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.
 
\special{src: 622 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Na druhé straně  jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle
Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité
zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v silovém poli harmonického oscilátoru.
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}\ll{qho}
Ukážeme, že přiřazení
\rf{xoper},\ref{poper}) a princip korespondence  vysvětlují
Planckův předpoklad o diskrétnosti spektra energie harmonického
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz \ref{podkap:coulomb} ) jeden z hlavních argumentů pro správnost
takto budované teorie.
Operátor energie -- hamiltonián
\qv é částice pohybující se v silovém poli harmonického
oscilátoru je podle principu korespondence
\be \hat H
= -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + \frac{M}{2}\omega^2 \vec{x}^2.
\ll{lho3}\ee
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na
kvadraticky integrovatelné funkce,
%splňující podmínku \rf{konecnanorma}),
pak množina vlastních hodnot
, tj. čísel $\lambda$ pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$
splňující
\be \hat H\psi=\lambda\psi, \ll{vlfce}\ee
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.
 
\special{src: 648 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Operátor \rf{lho3}) je součtem tří operátorů \[\hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3,\]
\[H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \] a můžeme se pokusit hledat
vlastní funkce operátoru \rf{lho3}) ve faktorizovaném tvaru \be \psi(\vec
x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi}\ee Rovnice \rf{vlfce}) pak přejde na tvar \be (\hat
H_1\psi_1)\psi_2 \psi_3+\psi_1(\hat H_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat
H_3\psi_3)=\lambda\psi_1\psi_2\psi_3. \ll{rozkladH}\ee Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ %a vlastní
funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$ \[ \hat H_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \] pak získáme i vlastní
čísla operátoru \rf{lho3}) \be \lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \ee Později ukážeme, že tímto postupem
jsme získali všechna vlastní čísla.
 
\special{src: 668 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
%Spektrum tohoto operátoru vyšetříme v . Nyní se omezíme na
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy %nalezení vlast
operátor
\be \fbox{\Large$\hat H
= -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ .
\ll{lho1}\ee
 Tento operátor lze považovat za operátor energie {\em
jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj. kvantové \cc e
pohybující se pouze v jednom rozměru (na přímce).
 
\special{src: 680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\begin{tvr} Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1})
působícího v prostoru %$\cal L^2(\bf R,dx)$
kvadraticky integrovatelných %spojitých
funkcí jedné proměnné %je čistě bodové a
je tvořena reálnými čísly \fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\bf
Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu
právě jedna vlastní funkce
\be \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $}\ee
kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou {\em Hermitovy
polynomy}
\be H_n(z):=
\sum_{k=0}^{[n/2]}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},
\ll{herpoldef}\ee
kde $[r]$ je celá část reálného čísla $r$.
\ll{slho}\end{tvr}
Důkaz:
%Bodové spektrum operátoru \rf{lho1}) je tvořeno
Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky
integrabilní řešení $\psi: \real\rightarrow\complex$ diferenciální rovnice
\be %\hat H\psi=
 -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2
{x}^2\psi=\lambda\psi.
\ll{eqlho1}\ee
Tato rovnice je lineární ODR 2.řádu a v oboru spojitě
diferencovatelných funkcí má řešení pro každé
$\lambda$.
Ukážeme, že podmínka kvadratické integrability je splněna jen pro
\be \lambda=\hbar \omega(n+\half). \ll{hokvan}\ee
%Pro zjednodušení zápisu
Přechodem k nové (bezrozměrné) proměnné
$\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x,\ \psi(x)=\phi(\xi)$ dostaneme
rovnici ve tvaru
\be \phi"-\xi^2\phi+\Lambda\phi=0 \ll{hobezr}\ee
kde $\Lambda=2\lambda/(\hbar\omega)$.
 
\special{src: 717 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný
bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr}) singularitu,
je nekonečno.
Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\lim\pm\infty$
se řešení této rovnice chová jako
\be \phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}%(const+O(\xi))
.\ll{rozphi}\ee
Je zřejmé, že
kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle
ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v exponentě
\rf{rozphi}). Zvolíme tedy ansatz
\be \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi) \ll{hoansatz}\ee
a budeme se zajímat o řešení rovnice
\be u"=2\xi u' +(1-\Lambda)u \ll{hermrce}\ee
která v nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.
 
\special{src: 735 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce}) do
komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi,u$
a $u'$ a její řešení je holomorfní funkcí $\xi$ v celé komplexní
rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady
\be u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\
s\in\integer_+ \ll{radau}\ee
Jejím dosazením do \rf{hermrce}) a porovnáním členů se stejnou
mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$
\[ s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0 \]
\be a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m
\ll{rran}\ee
 
\special{src: 749 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
%Neboť rekurentní relace \rf/rran/((0
Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran}) je nenulový pro všechna
$m$, pak se řada \rf{radau}) pro $\xi\lim\infty$ chová jako
$exp(\xi^2)$ a řešení \rc e \rf{hobezr}) není kvadraticky
integrovatelné. To lze usoudit např. z porovnání rekurentní formule (\ref{rran}) pro dosti velká $m$ se stejným vztahem pro koeficienty řady $exp(\xi^2)$.
Kvadraticky integrovatelná řešení mohou
existovat pouze tehdy, pokud řada (\ref{radau}) je konečná, tj. existuje $N$ takové, že $a_m=0$ pro
$m>N$. To nastane tehdy  a jen tehdy, když
%\be a_1=0,\ 2(N+s)+1-\Lambda=0 ,\ N \ {\rm sudé\ nezáporné}.\ll{kvantlam}\ee
???
V tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce
\rf{hoansatz}) je kvadraticky integrovatelná.
 
\special{src: 763 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z podmínky \rf{kvantlam}) plyne, že \rc e \rf{hermrce}) má
kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud
$ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1}) má kvadraticky
integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}).
 
\special{src: 770 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$
\be H_n(\xi)=\sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol}\ee
jež řeší rovnici \rf{hermrce}) jsou pak určeny rekurentní relací
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m,
\ll{rrherpol}\ee
přičemž pro sudá či lichá  $n$ (tj. $s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se
sudým respektive lichým $m$.
 
\special{src: 780 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak
řešením relace \rf{rrherpol}) je
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\
k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee
%Polynomy \rf{herpol}) se nazývají{\em Hermitovy}.
{\flushright Q.E.D.}
\bc Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.
\ec
\bc Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
\be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee
Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2}) splňuje rovnici
\rf{hermrce}).
\ec
\bc \ll{cvvytvfce}Ukažte, že
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp[x^2-(x-\xi)^2] \]
\ec
 
\special{src: 799 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Důsledkem tvrzení \rf{slho}) je, že
energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s
potenciálem $V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může
nabývat  pouze hodnot z diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$,
\  $n\in {\bf Z_+}\}$.
 
\special{src: 807 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Tento závěr je ve shodě s Planckovou hypotézou použitou pro
odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého
tělesa až na člen $\half\hbar\omega$, představující tzv. "nulové
kmity". Jeho příspěvek k energii je možno považovat za aditivní
konstantu, kterou (ve shodě s tzv. renormalizační procedurou
kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně
energie.
\bc Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky 1 m a hmotnosti 1 kg.
\ec
 
\special{src: 819 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Nyní se můžeme vrátit k původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}). Z rozkladu \rf{rozkladH})
je zřejmé, že funkce \be \psi(x_1,x_2,x_3)=\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3),
\ll{rozkladvlfci}\ee kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}), jsou vlastními \fc emi \oper u
\rf{lho3}) s vlastními čísly $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.
 
\special{src: 831 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To
plyne z následujících dvou tvrzení (viz např \cite{beh:lokf} 4.3.4, 4.3.5).
\bt \ll{tr38}
Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1})
\be \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}
x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x),   \ \
K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
\ll{nvlfcelho}\ee
je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky
integrovatelných funkcí \qintline.
\et
 
\special{src: 845 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bt \ll{tr39}
Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}),
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho})
je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky
integrovatelných funkcí \qintspace.
\et
Pro \fc e (\ref{nvlfcelho}) a (\ref{rozkladvlfci}) se často používá ketové značení $\psi_n\equiv |\,n>,\ \psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3}\equiv |\,n_1n_2n_3>$.
 
\special{src: 855 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1}) a
\rf{lho3}) jsou čistě bodová (\cite{beh:lokf} 7.3.9). Nejsou však stejná.
Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1}) -- operátoru energie
jednorozměrného harmonického oscilátoru -- se liší od spektra
trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega$.
 
\special{src: 863 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor
každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na
multiplikativní konstantu, %-- jednorozměrný podprostor,
pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních
funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních
funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem
$\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí
\rf{rozkladvlfci}), kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot
$(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$.
Rozměr tohoto podprostoru je šest. Jednoduchou
kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr
podprostoru vlastních
funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem
$\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$.
 
\special{src: 880 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá {\em základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají {\em excitované}.
\bc Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?
\ec
\bc Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \]
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í (\ref{nvlfcelho}).
\ec
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}\ll{Slmomhyb}
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou
složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim
odpovídají operátory
\be \hat L_j =\epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l=
-i\hbar\epsilon_{jkl}x_k
\frac{\partial}{\partial x_l}.
\ll{momhyb}\ee
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší
přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$
\be x=r\sin \theta \cos\phi,\ y=r\sin \theta \sin\phi,\ z=r\cos \theta
\ll{sfersource}\ee
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess}\ee
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\
\hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích?
\ec
Operátory $\hat L_j$ mají  ve sférických souřadnicích tvar
\be \hat L_x= i\hbar (\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}
+\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta})
\ll{lx}\ee
\be \hat L_y= i\hbar(\sin\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}
-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta})
\ll{ly}\ee
\be \hat L_z= -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}.\ll{lz}\ee
Vzhledem k tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i
všechny operátory $L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky
nejjednodušší však je hledat spektrum operátoru $L_z$, neboť to
znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici
\be -ih \frac{\partial}{\partial\phi}\Psi(r,\theta,\phi)=
\lambda\Psi(r,\theta,\phi).\ee
Její řešení je
\be
\psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},
\ee
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. %Vzhledem k tomu že
Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen %(absolutně)
spojitými funkcemi v $\real^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a
$\phi$ je
azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru.
%předpokládáme, že vlnová funkce je v prostoru spojitá,
Musí tedy platit
\[ \psi(r,\theta,\phi=0)=\psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]
Z této podmínky plyne, {\em že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti
mohou nabývat pouze hodnot}
\be \lambda=  m\hbar, {\rm kde}\ m\in\integer. \ee
\bc "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
\ec
\subsection{Stav kvantového systému}
V analogii s klasickou mechanikou by
přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice,
např. elektronu, bylo zjistit, jakou komplexní funkcí
popsat stav s danou polohou a hybností. Ač se to na první
pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící
zdravému rozumu (ve skutečnosti  však pouze naší makroskopické
zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje.
Důvod je
zhruba řečeno ten, že měření hybnosti změní podstatně polohu \qv
é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např. experimentálně potvrzené difrakci elektronů).
 
\special{src: 948 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo
jiné v
odpovědi na otázku:
{Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?}
Stavem fyzikálního systému pak obecně %charakterizovat
budeme nazývat soubor hodnot všech
měření, která jsme na daném systému v daném okamžiku schopni
provést a
otázka, kterou  chceme zodpovědět v této podkapitole zní:
{\bf Jakou vlnovou %počáteční
\fc  i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.
elektronu v atomu vodíku), {\bf který je v daném okamžiku v
nějakém stavu?}
 
\special{src: 964 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
V příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v
odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému
oscilátoru s energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci
$\psi_n(x)$.
To je v souladu s následujícím postulátem \qv é \mi ky:
 
\special{src: 972 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
{\bf Stav \qv é částice, pro kterou naměříme %-li pro kvantový systém
hodnotu $\alpha$ %fyzikální veličiny
pozorovatelné $A$ %, pak stav tohoto systému popíšeme
je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní
funkcí operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}
\be \hat A g_\alpha=\alpha g_\alpha. \ll{vlfcea}\ee
 
\special{src: 981 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\begin{cvi}
%Jakou vlnovou \fc i přiřadíme jednorozměrnému operátoru s energií
%$\hbar\omega(n+\half)$ ? %
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru
s energií $\hbar\omega(n+\half)$ v
bodě $x$ ? Spočítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,...$ a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě.
\end{cvi}
V případě jednorozměrného harmonického oscilátoru % příkladu \ref{vflho}
jsou vlnové funkce určeny %energií stavu
jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu,
která nemá při jejich interpretaci žádný význam).
%kterou lze určit z normovací podmínky analogické \rf{k}) ).
%vlastní funkce operátoru \rf{lho1} tvoří jednorozměrný podprostor
To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru
jsou jednoznačně určeny svou energií.
{\small \begin {cvi}
% (poznamenejme, že u
Je stav klasické
částice na přímce určen energií jednoznačně?
\end{cvi} }
% k stavu -- bodu fázového prostoru nestačí).
 
\special{src: 1005 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více
fyzikálních veličin.
Při jejich výběru %fyzikálních veličin $(A_1\ldots,A_K)$
%charakterizujících stav kvantové částice
je však třeba být opatrnější než u částice klasické.
Je představitelné, že i
minimální interakce mikroobjektu s přístroji nutná pro měření
může změnit jeho stav, který byl vyhodnocen z měření předchozích.
Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v jakém měření
jednotlivých veličin provedeme, což je z hlediska popisu stavu nepřípustné.
%a je proto pochopitelné, že
%měřitelným veličinám jsou v \qv é mechanice
%přiřazeny operátory, při
%jejichž násobení záleží na pořadí.
%Jak bylo konstatováno v paragrafu ref{pozorovatelne},  na \qv ém %systému
%obecně nelze provést měření různých fyzikálních veličin,
%aniž by výsledek jednoho % měření
%neznehodnotil platnost měření předcházejících.
 
\special{src: 1026 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro {\em experimentální popis} stavu \qv ého systému
je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze %na daném stavu
provést, aniž by výsledek jednoho % měření
znehodnotil platnost měření %předcházejících
ostatních. Fyzikální veličiny -- pozorovatelné, pro které
je toto splněno nazýváme {\em kompatibilní}.
Jejich výsledky
provedené v jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů)
lze pak použít k definici stavu.
 
\special{src: 1038 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
{\small V klasické mechanice pojem kompatibility měření  prakticky neexistuje,
předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných k
určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární
úrovni a menší tomu tak být nemusí.}
 
\special{src: 1045 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze
ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných je
ekvivalentní tomu, %Z tohoto požadavku plyne,
že {\bf operátory $\hat A_j$ přiřazené
kompatibilním fyzikálním veličinám  $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně
komutují                          }
\be [\hat A_j,\hat A_k]=0. \ll{komop}\ee
Pro operátory s čistě bodovými spektry plyne z této podmínky existence
ortonormální baze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů
$(\hat A_1\ldots,\hat  A_K)$.
 
\special{src: 1058 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých
pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice
přiřadíme \oper y \rf{xoper}) a \rf{poper}), pak docházíme k
závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v jednom směru jsou
nekompatibilní, neboť
\begin{equation}{\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k]=i\hbar\delta_{jk}. $}}
\ll{xpcom}\ee
To je mimo jiné důvod, proč v \qv é mechanice
neexistuje obdoba klasického stavu částice
-- stav s danou polohou a hybností. Z relací neurčitosti se
dovíme, že každý \qv ý stav zaujímá "fázový objem"
alespoň $(2\pi\hbar)^3$.
\bc Jsou kompatibilní složky polohy v různých směrech?
\ec
\bc Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v různých směrech?
\ec
 
\special{src: 1076 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy  jednu vlastní hodnotu
operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí.
Příkladem jsou například \fc e \rf{rozkladvlfci}), které jsou
vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3}) pro tutéž
hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega,\ n=n_1+n_2+n_3$, ale pro
různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé.
V takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$,
výsledky jejichž měření mohou  rozlišit, kterou funkci (opět až
na konstantu) máme přiřadit danému stavu. Pozorovatelné
$(A_2,\ldots,A_K)$
musí být kompatibilní s pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme
použili k částečnému určení (k zúžení prostoru kandidátů na) vlnové
funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.
 
\special{src: 1093 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj. souboru výsledků
měření kompatibilních fyzikálních veličin %$(A_1\ldots,A_K)$
se řídí požadavkem:
{\bf Vlnová  funkce, která popisuje stav určený hodnotami
$(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$
měření {\em kompatibilních} fyzikálních veličin
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím
\be \hat A_i g=\alpha_i  g,\hskip 1cm  i=1,\ldots,K. \ll{spvv}\ee
Znamená to tedy, že musí být {\em společnou} vlastní funkcí {\em komutujících} operátorů
$\hat A_i$.}
 
\special{src: 1106 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme
{\em úplná množina pozorovatelných} a jim odpovídající množina operátorů se nazývá {\em úplný soubor
komutujících operátorů}. \bt Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s čistě bodovými spektry (t.j. takovými,
jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný soubor komutujících operátorů tehdy a jen
tehdy, pokud pro každou $k$--tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr podprostoru
společných vlastních stavů roven jedné. \et Důkaz je proveden v \cite{beh:lokf} (14.2.2).
 
\special{src: 1122 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Poznamenejme, že úplná
množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (např. jednu \cc i) a jí odpovídající
úplný soubor komutujících operátorů
nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí
typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak
způsob přechodu od jedné množiny ke druhé a odpovídající
reinterpretace výsledků.
 
\special{src: 1132 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro experimentální účely jsou velmi důležité
úplné množiny pozorovatelných %pro jednu kvantovou částici je tvořená
obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to relativně
snadno měřitelná veličina.
 
\special{src: 1139 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných
pro popis stavu kvantové \cc e v poli centrálních sil je energie,
kvadrát momentu hybnosti a jedna jeho složka.
\subsection{Kvantová částice v centrálně symetrickém
potenciálu}\ll{ssec:csympot}
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí
centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii.
Příkladem je částice v Coulombově poli,
či  harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
 
\special{src: 1151 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Operátor energie pro kvantovou částici v centrálně symetrickém
potenciálu má obecný tvar
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle+ \hat V(r),
\ll{sspot}\ee
kde
\be    [ \hat V (r)\psi](x,y,z):=V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z).
\ll{roper}\ee
 
\special{src: 1161 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot}) má čistě bodové
spektrum, pak stavy \cc e v centrálním poli
je možno jednoznačně určit hodnotami
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou
jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné %v tomto případě
tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
 
\special{src: 1170 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\begin{cvi} Spočítejte komutátory
\be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\
\ll{loper1}\ee
kde
\be \hat L_j:=\epsilon_{jkl}\hat Q_k\hat P_l. \ll{loper}\ee
\end{cvi}
\begin{cvi} Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}),
$L_3\equiv L_z$ a
\be \hat L^2:=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2. \ll{lkvad}\ee
\end{cvi}
 
\special{src: 1183 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro kvantově mechanický popis %\cc e v centrálním poli je nutno napřed
je důležité zjistit jakých
hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
 
\special{src: 1189 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro výpočet vlastních hodnot
je vhodné přejít do sférických souřadnic. %, neboť pak lze %tyto operátory zapsat ve tvaru
Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
\be \hat L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\ll{lzsfer}\ee
\be \hat L^2=
-\hbar^2[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})]
\ll{lkvadsfer}\ee
\be  \hat H = - \frac{\hbar^2}{2M}\left[(\frac{\partial^2}{\partial r^2}
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}
\left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})
\right)\right] +\hat V(r)
\ll{hsfer}\ee
%\be \hat H= \hat H_r + \frac{1}{r^2}\hat L^2 \ee
%\be \hat L^2= \hat L^2_\theta +\frac{1}{\sin^2\theta}\hatL_z^2. \ee
\bc S použitím vzorců \rf{lx}) -- \rf{lz}) ukažte, že operátor
$\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}).
\ec
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}). \ec
 
\special{src: 1214 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}\ll{ssmomhyb} Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením
rovnice pro vlastní hodnoty \be \hat L^2\psi=\lambda\psi \ll{vlfcel2}\ee a zároveň vlastními funkcemi
operátoru $\hat L_z$. Z vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer}) plyne, že řešením \rc e
\rf{vlfcel2}) budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální
diferenciální rovnici \be \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2}+
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\theta} (\sin\theta\frac{\partial
\Psi}{\partial\theta})+\frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi=0. \ll{pdrl2}\ee Vzhledem k tomu, že hledáme řešení
\rf{vlfcel2}), která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v podkapitole
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru \be \Psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{  i m\phi}, \ m\in\integer,
\ll{vlfcelz}\ee budeme hledat řešení  rovnice \rf{vlfcel2}) rovněž v tomto faktorizovaném tvaru.
 
\special{src: 1243 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Rovnice \rf{pdrl2}) přejde faktorizací \rf{vlfcelz}) na obyčejnou diferenciální rovnici \be
\frac{d}{dt}[(1-t^2)\frac{dF}{dt}]+(\frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2})F=0, \ll{odrl2}\ee kde
$t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v této rovnici vystupuje pouze jako (např. předem
zvolený) parametr. To je důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$.
Podmínka integrability \rf{konecnanorma})  pro $F$ v tomto případě zní \[
\int_{\real^3}|\psi(x,y,z)|^2dxdydz= \int_{<0,\infty>\times<0,\pi>\times<0,2\pi>}
|\Psi(r,\theta,\phi)|^2r^2\sin\theta drd\theta d\phi \] \be
=2\pi\int_{<0,\infty>\times<0,\pi>}|\chi(r,\theta)|^2r^2 dr \sin\theta d\theta
=2\pi\int_0^\infty\int_{-1}^1|F(r,t)|^2r^2 drdt<\infty. \ll{kvadintss}\ee Definiční obor operátoru $\hat
L^2$ však  tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná na
$<-1,1>$.
 
\special{src: 1260 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Řešení rovnice \rf{odrl2}) je poměrně pracné (viz např. \cite{for:ukt},
str. 70--72). Dá se vyjádřit způsobem
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
kde $U$ je \fc e na intervalu $<0,1>$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
\be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x)+(a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x)+cU(r,x)=0, \ll{gauss}\ee
kde
\[ x=(t+1)/2,\ a=-1-|m|,\ b=2(1+|m|),\ c=|m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}.\]
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
%(s koeficienty závislými na $r$)
\be U(r,x)=R_1(r)U_1(x)+R_2(r)U_2(x),
\ee
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv. hypergeometrických funkcí.
Pro obecné $\lambda$ a $m$ však tato řešení
nejsou konečná v okolí koncových bodů intervalu $<0,1>$.
Podmínku konečnosti funkce $F$
%kvadratické integrability \rf{kvadintss})
lze splnit pouze když $U$ je polynom v $x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
\be \lambda=l(l+1)\hbar^2,\ l\in\integer_+,\ \ m\in\integer,\ |m|\leq
l.\ee
Řešení rovnice \rf{odrl2}) v tomto případě má tvar
\be F(r,t)=R(r)P_l^m(t), \ll{fakf}\ee
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
\be P_l^m(t):=\frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}
(t^2-1)^l. \ll{plmt}\ee
\bc Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta):=P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v $\sin\theta$ a $\cos\theta$.
\ec
Funkce
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi):=C_{lm}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi} $}\ ,\ll{ylm}\ee
které jsou řešením \rf{pdrl2}) a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s vlastními čísly
$\lambda=l(l+1)\hbar^2,\ \mu=m\hbar$ se nazývají {\em kulové funkce}.
{\bf Množina  všech kulových funkcí
\[ \{ Y_{lm},\  l\in\integer_+,\ \ m\in\integer,\ |m|\leq
l \},\]
kde
\be |C_{lm}|^2=\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
tvoří ortonormální bazi v prostoru funkcí kvadraticky
integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v
$L^2(<0,\pi>\times<0,2\pi>,sin\theta d\theta d\phi)$.
%Tento fakt zdůvodňuje oprávněnost volby \rf{fakpsi}) a plyne z něj,
Odtud plyne, že {\em množina
\be \{l(l+1)\hbar^2,\ l\in\integer_+\} \ll{spektrl2}\ee
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.
 
\special{src: 1308 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají {\em orbitální} respektive
{\em magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu
často závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla,
mají stavy s daným $l$ ustálené spektroskopické značení
$s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro $l=0,1,2,\ldots$.
 
\special{src: 1316 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 Z kulových funkcí je možno pro částici s daným
momentem hybnosti charakterizovaným čísly $(l,m)$
předpovědět {\bf pravděpodobnost
nalezení částice v daném prostorovém úhlu} $\Omega$
\be dw=\rho(\theta,\phi)d\Omega=|Y_{lm}(\theta,\phi)|^2d\Omega. \ee
%(kde předpokládáme funkce normalizované na jednotkové kouli).
\bc
Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v daném prostorovém úhlu
pro stavy $s, p, d$.
\ec
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}
Ze vzorců (\ref{vlfcelz}), (\ref{fakf}), (\ref{ylm}) plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi}\ee
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet
energetického spektra částice v poli centrálních sil, neboť
hamiltonián \rf{sspot}) má ve sférických souřadnicích tvar
\rf{hsfer}) a díky
\rf{lkvadsfer}) jej lze vyjádřit
způsobem
\be  \hat H = - \frac{\hbar^2}{2M}\left[
(\frac{\partial^2}{\partial r^2}
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r})
-\frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right]+
\hat V(r).
\ll{hsfer2}\ee
Použijeme-li  faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}), pak pro výpočet
vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou
zároveň vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$,
dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
\be
-\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R"(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] +
V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0,
\ll{hsfervfce}\ee
kde
\be V_{eff}(r)=V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}.
\ll{veff}\ee
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\chi"(r)+
V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0,
\ll{rcekhi}\ee
což je rovnice formálně shodná s rovnicí pro kvantovou \cc i na
polopřímce v poli
potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$
%(viz \rf{kvadintss}))
přejde
na podmínku
\be \int_{\real_+}|\chi(r)|^2 dr<\infty. \ee
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě
dodatečnou okrajovou podmínku
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi}\ee
která plyne např. z požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R( r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v bodě $0$. Tato podmínka rovněž
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer})
(viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
 
\special{src: 1376 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Uvědomme si, že v kartézských souřadnicích by problém nalezení
spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně
obtížný. Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést
řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto
postupu se říká separace proměnných a je možný, pokud
původní problém má nějakou symetrii, v tomto případě sférickou.
 
\special{src: 1385 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi}) je možná až tehdy
zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
 
\special{src: 1390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická
funkce}
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat
řešení diferenciální rovnice
\be xy"(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1}\ee
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
\be zw"(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
kde $\alpha=c/a,\ \gamma=b$.
 
\special{src: 1401 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z teorie diferenciálních rovnic v komplexním oboru (shrnutí viz
\cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2}) lze v
okolí nuly zapsat jako řadu
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada}\ee
Dosazením \rf{resrada}) do \rf{dghgr2}) a porovnáním koeficientů
u mocnin $z$ dostaneme
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam}\ee
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1}\ee
Dá se ukázat, že řady s takto určenými koeficienty konvergují pro
všechna $z$ a definují tzv.
{\em degenerované hypergeometrické \fc e}.
 
Pro $s=0$ a $\gamma\neq -n\in\integer_-$ má řada \rf{resrada})
tvar $a_0F(\alpha,\gamma,z)$, kde
%jež má Taylorův rozvoj
\be F(\alpha,\gamma,z)=1+\frac{\alpha}{1!\gamma}z+
\frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2+\ldots\ .
\ll{dghyfce}\ee
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \integer_+$
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice
\rf{dghgr2})
\be w(z)=A_1F(\alpha,\gamma,z)+
A_2z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2}\ee
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1}) pro necelá $b$ je
\be y(x)=C_1F(\frac{c}{a},b,-ax)+
C_2x^{1-b}F(\frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax). \ll{obres1}\ee
 
\special{src: 1433 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Vzhledem k tomu, že $a_n/a_{n-1}\lim 1/n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\lim \infty$
jako $e^z$, přesněji (viz \cite{baterd}), \begin{equation}\label{rtoplusinf}     F(\alpha,\gamma,
z\rightarrow +\infty)= \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)}\,e^z
z^{\alpha-\gamma}[1+O(|z|^{-1})].\end{equation} Pro $z\lim -\infty\ $ \begin{equation}\label{rtominusinf}
F(\alpha,\gamma, z\rightarrow -\infty)=  \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)}
(-z)^{-\alpha}[1+O(|z|^{-1})].\end{equation} \subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor} V kapitole
\ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že
podprostory vlastních stavů  energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného
harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu
harmonického potenciálu \be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3}\ee lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou
množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadr\'atem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného směru
(směr osy $z$ není ničím určen).
 
\special{src: 1449 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Zavedeme-li v rovnici \rf{rcekhi}) stejně jako u lineárního harmonického oscilátoru
bezrozměrnou proměnou $\xi=r/a$, kde $a=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$,
dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
\be \Phi"(\xi)-(\xi^2+\frac{l(l+1)}{\xi^2})\Phi(\xi)+
\frac{2E}{\hbar\omega}\Phi(\xi)=0. \ll{rcepsi}\ee
%kde $\Lambda=\frac{2E}{\hbar\omega}$.
Řešení této rovnice se v nekonečnu chová stejně jako řešení pro
lineární harmonický oscilátor,
$\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2}(const+O(\frac{1}{\xi}))$ zatímco v
nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}(const+O({\xi}))$ nebo
$\Phi(\xi)=\xi^{-l}(const+O({\xi}))$.  Zvolíme ansatz
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi}\ee
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2})
\be zw"(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce}\ee
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku \rf{nulchi}). Obecné řešení rovnice
\rf{dghyrce}) pro necelá $\gamma$
má tvar \rf{obres2}), takže řešení, které vyhovuje podmínce \rf{nulchi})
je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í
$F(\alpha,\gamma,z)$
%konvergující pro všechna z.
V nekonečnu se tato funkce chová jako
$e^z$ a $\Phi(\xi)$ není \qint{} s výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \integer_-$.
V těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na
tzv. {\em zobecněné Laguerrovy polynomy}
\be L_n^{\gamma -1}(z)=\left(
\begin{array}{c}
{n+\gamma-1}\\{n}\end{array}\right)
F(-n,\gamma,z), \ee
definované též způsobem
\be L_n^{\beta}(z):=\frac{1}{n!}e^z
z^{-\beta}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer}\ee
 
\special{src: 1483 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Zjistili jsme tedy, že {\bf vlastní hodnoty operátoru energie harmonického
oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které jsou
navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s vlastními
hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde
$ n,l\in \integer_+,\ m\in\{-l,\ldots,l\} $
 mají tvar}
\be
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=C_{nlm}\xi^{l}e^{-\xi^2/2}
L_n^{l+1/2}(\xi^2)P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}, \ll{resiho}\ee
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta,
$\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$,
$L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a
$P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e.
Obvykle se tyto funkce zapisují jako
\be
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=K_{nl}\xi^{l}e^{-\xi^2/2}
L_n^{l+1/2}(\xi^2)Y_{lm}(\theta,\phi), \ll{resiho2}\ee
a zvolíme-li
\be |K_{nl}|=\frac{2}{\pi^{1/4}}\left({\frac{M\omega}{\hbar}}\right)^{3/4}
\left(
\frac{2^{n+1}n!}{(2n+2l+1)!!}
\right)^{1/2}
\ee
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k jedné.
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi
$3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
\ec
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá {\em radiální kvantové
číslo} (udává příspěvek k energii od radiálního pohybu částice) a
číslo $N:=2n+l$ se nazývá {\em hlavní kvantové číslo}.
 
\special{src: 1505 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z faktu, že k danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů,
jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že {\em degenerace
hladiny energie} harmonického oscilátoru je
$(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií,
je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali v paragrafu
\ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
 
\special{src: 1514 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\special{src: 1517 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\subsubsection{Coulombův potenciál}\ll{podkap:coulomb}
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul}\ee
neboť jej lze použít k popisu hladin energií elektronu v obalu
vodíku atomu. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800 krát
těžší než elektron je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to
jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se
bude jen málo lišit od energie elektronu v elektrostatickém poli
\rf{coul}), kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu
a $\epsilon$ je permitivita vakua.
Dosadíme-li \rf{coul}) do \rf{veff}), pak \rc e \rf{rcekhi}) přejde
na tvar
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\chi"(r)+
[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}]\chi(r)= E\chi(r),
\ll{rcekhicp}.\ee
Substitucí
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw}\ee
kde
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap}\ee
převedeme tuto rovnici na tvar
\be rw"(r)+2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2[(l+1)\kappa
+\frac{MQ}{\hbar^2}]w(r)=0, \ee
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce
\rf{dghgr1}). Řešení splňující podmínku \rf{nulchi}) je podle
\rf{obres1})
\be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r).
\ll{dghgcoul}\ee
Podmínka kvadratické integrability pak zní
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa}=-n\in \integer_- ,\ll{pintcoul}\ee
odkud díky \rf{kap}) plyne, že {\bf vlastní hodnoty operátoru energie
kvantové částice v coulombickém poli \rf{coul}) jsou}
\be \fbox{$E=E_{n,l}=-\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2}=
-\frac{R}{N^2},\
N,n,l\in \integer_+$}\ .
\ll{ecoul}\ee
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové
číslo určující hodnotu energie je $N=n+l+1$. Konstanta
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá {Rydbergova energie} a
hraje velkou roli v optické a rentgenovské spektroskopii.
Její hodnota pro atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je
$R=2,184\,\times 10^{-18}J=13,6\ eV$.
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul})
pro \rf{pintcoul}) opět
přejde na Laguerrův polynom, takže
{\bf vlastní \fc e operátoru energie
kvantové částice v coulombickém poli, odpovídající vlastní
hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je
navíc vlastní \fc í \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$
s vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
 má tvar}
\be
\psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi)=C_{Nlm}r^{l}e^{-r/Na}
L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na})P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi},
\ll{nlmcoul}\ee
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta,
%$\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$,
$L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a
$P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $ \psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety
\be |\,Nlm>=K_{Nl}\,\left(\frac{2r}{Na}\right)^{l}e^{-r/Na}
L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na})Y_{lm}(\theta,\phi),
\ll{nlmcoul1} \ee
kde
\[ |K_{Nl}|= \frac{2}{n^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2}
\]
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce.
Konstanta $a$ mající rozměr délky se nazývá Bohrův poloměr. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm.
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi
$-R, \ -R/4, -R/9$.
\ec
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v Coulombově poli.
\ec
Z výrazu \rf{ecoul}) je zřejmé, že všechny
stavy \rf{nlmcoul}),  pro které $(l,m)$ leží v množině \rf{setlm})
mají tutéž energii. {Degenerace hladiny energie} s daným $N$, neboli
počet stavů s energií $R/N^2$ je
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn}\ee
 
Hodnoty energie \rf{ecoul}) částice v coulombické poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit
experimentálně, neboť jak už bylo řečeno v úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový
atom. Jeho záření má (v rozporu s klasickou teorií) čárové spektrum a empiricky bylo zjištěno, že frekvence
záření splňují tzv. Rydberg--Ritzův kombinační princip \be \nu=const(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}).
\ll{rrprinc}\ee objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V rámci kvantové mechaniky je snadné tuto
formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů emitovaných elektrony v obalu atomů je dána rozdílem
hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme \be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar}=
\frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3}(\frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2}), \ll{spekh}\ee kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$.
Numerická hodnota {\em Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v tomto případě $3.3\ 10^{15}\
sec^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v dobré shodě s naměřenými hodnotami
Lymanovy ($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$),... serie.
 
{\bf Množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul}) je ortogonální, ale netvoří
bazi Hilbertova prostoru}
$L^2(\real_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),r^2\sin\theta
drd\theta d\phi).$ Důvod je v tom, že operátor energie pro částici
v Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
$\sigma_c(\hat H)=[0,\infty)$.
Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje
podkapitola \ref{zobvlf}.
 
\special{src: 1625 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\subsection{Posunovací operátory a bra--ketový formalismus}\label{posunovacioperatory}
 
\special{src: 1629 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazvu {\em posunovacím operátorem k operátoru $\hat B$ s posunutím} $\Delta\in\complex$ pokud
\be [\hat B,\hat A]=\Delta \hat A.\ll{posop}\ee
Důvod pro tento název spočívá v tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak ze \rf{posop}) ihned plyne
\be \hat B\hat A\psi_\lambda=(\lambda+\Delta)\hat A\psi_\lambda, \ll{posunl}\ee
což znamená, že $\hat A\psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.
 
\special{src: 1637 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Ze vztahu \rf{posop}) rovněž ihned plyne, že  pokud  operátor $\hat A$ je   posunovacím operátorem k operátoru $\hat B$ s posunutím $\Delta$, pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k operátoru $\hat B^\dagger$ s posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený (tzn. má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje aspoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že $\hat A\psi_\lambda\neq 0$ pak
$\Delta\in\real$.
 
\special{src: 1642 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní
spektrum. Uvedeme dva typické příklady. \subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.} Budeme se
zajímat o posunovací operátory pro operátor energie \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} +
\frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee Z komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze
odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou \be \hat a_\pm:=\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q
             \mp \frac{i}{M\omega}\hat P), \ll{kreanop} \ee
neboť
\be [\hat H,\hat a_\pm]=\pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma}\ee
Navíc platí
\be \hat a _-^\dagger=\hat a_+,\ [\hat a _-,\hat a_+]=\hat\unit. \ll{acoma}\ee
 
\special{src: 1674 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Ze \rf{posunl}) a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne  pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho})
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci}\ee
Operátor $\hat a_+$ tedy "zvyšuje energii stavu" o $\hbar\omega$ a nazývá se obvykle {\em kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se z podobného důvodu nazývá {\em anihilační}.
 
\special{src: 1680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}), \rf{acoma}) platí
\be \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-)=
     {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half). \ee
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá "operátorem počtu energetických kvant".
 
\special{src: 1691 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a
anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s nejnižší energií
$\psi_0$ totiž musí platit \be \hat a_-\psi_0=0 \ll{anih0}\ee a dosadíme-li do \rf{kreanop}) vyjádření
operátorů $\hat Q,\ \hat P$ \rf{xoper}), \rf{poper}), rovnice \rf{anih0}) přejde na tvar \be
\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0=0, \ee kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální
rovnici 1. řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme. \be \psi_0(\xi)=Ce^{-\xi^2/2}. \ee Porovnáním
této \fc e s \rf{vlfcelho}) zjistíme, že se skutečně jedná o vlastní \fc i energie jednorozměrného
harmonického oscilátoru s vlastním číslem $\half \hbar\omega$. Stavy  s energiemi $\hbar\omega(n+\half)$
dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s nejnižší energií \be \psi_n(\xi)=K_n\hat
a_+^n\psi_0(\xi)=\frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \
K_n^{-1}=(\frac{\hbar\pi}{M\omega})^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.\label{ntylho}\ee  Volba fáze
normalizačních konstant \rf{nvlfcelho}) vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru
určuje i fázi koeficientů $\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s přijatou fázovou
konvencí \rf{nvlfcelho}), kde všechny normalizační koeficienty jsou kladné. \bc Ukažte, že platí \[ \hat
a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec \bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v \rf{akopnavlfci}). \ec
 
Poznamenejme ještě nakonec, že  stav s nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. {\em
Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru \be \hat
a_-\rho_\lambda=\lambda\rho_\lambda. \ee Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme \be
\rho_\lambda(\xi)=C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}.\label{kohstav}\ee Tyto stavy hrají významnou
roli zejména v kvantové optice.
 
\subsubsection{Moment hybnosti}  Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho
nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, ale i $l$. Alternativou jsou posunovací
operátory \be \hat L_\pm:=L_1\pm i\hat L_2 \ll{pm}.\ee Pro ně lze snadno dokázat komutační relace \be [\hat
L_3,\hat L_\pm]=\pm \hbar \hat L_\pm,\ [\hat L^2,\hat L_\pm]=0 \ee a přechodem do sférických souřadnic \be
\hat L_\pm Y_{lm}=\alpha^\pm_{lm}Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha}\ee \be \hat L_+Y_{ll}=0,\  \hat L_-
Y_{l,-l}=0,\label{yll0} \ee kde $\alpha^\pm_{lm}\in \complex$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v
podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{yll0}) a \rf{posalpha}) použít pro výpočet
kulových funkcí. \bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-]=2\hbar\hat L_3. \ee \ec \bc Napište
operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů  $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec Koeficienty
$\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha}) až na fázi. Přijmeme-li tzv. Condon-Shortleyovu
konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je
reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant $C_{lm}$ \rf{normconsY}) pro $Y_{l,m}$
jako $(-1)^m$. \bc \label{alplm}Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec \bc Spočítejte "maticové
elementy" $(Y_{lm},\hat L_kY_{l'm'})$. \ec
 
\subsubsection{Bra-ketový formalismus} Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv. "ketů" $|\ >$ a "bra"
$<\ |$, což obecně není nic jiného než označení prvků Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li
normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=|n>$, pak ketové vyjádření
vztahu \rf{ntylho}) je \[ |\,n>=K_n \hat a_+^n |\,0>. \] Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního
součinu pro libovolné $f\in$\qintline \[ (\psi_n,f)\equiv(|n>,|f>)=<n|f> \] (skalární součin = závorka =
bracket =$<$ bra$|$ket$>$ ), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi vlastních funkcí
energie jednorozměrného harmonického oscilátoru má v bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar \be f
\equiv|f>=\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|f> \ll{relupl},\ee což se často zapisuje jako
$\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|=\hat\unit$.
 
Z komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy \be \hat a_-^m\hat a_+^n|0>=0\
{\rm pro}\ n< m,\ \ \ \ \ \ \hat a_-^m\hat a_+^n|0>=n!\,\hat a_+^{n-m}|0> \ {\rm pro}\ n\geq m, \ee ze
kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů \[|n>= \frac{1}{\sqrt{n!}}\hat a_+^n |0>,\] která v
bra-ketovém vyjádření má jednoduchý tvar \be <m|n>=\delta_{mn}.\ee
 
Operátory $\hat O$ v \qintline \, lze zapsat v tzv. energetické reprezentaci pomocí maticových elementů
$<n|\hat O|m>$ způsobem \be \hat O f \equiv \hat O |f>= \sum_{n=0}^\infty|n><n|\hat O |f>=
\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty|n><n|\hat O|m><m| f>, \ee kde \be <n|\hat O|m>:= (\psi_n,\hat O\psi_m).
\ee \bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v jednorozměrném případě\ec
 
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů  $ |l,m>$ nebo vlastní funkce
isotropního harmonického oscilátoru pomocí ketů $ |N,l,m>$.
 
 
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}\ll{zobvlf} Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce
souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled jednoduchý. Podmínka \be
\hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee dává diferenciální rovnice \be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial
x_j}=p_j\phi  \ \ j=1,2,3, \ee které mají řešení \be \phi_{\vec p}(\vec x)=Ae^{i\vec p\, \vec x/\hbar},
\ll{zvfoh}\ee jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v tom, že tyto \fc e
nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné $\vec p\in\complex^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v
Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich
spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří
však do spojité nikoliv bodové části spektra.
 
\special{src: 1771 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem
\rf{spvv}) je možno provést pouze pro hodnoty z bodové části
spektra odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra
lze přiřadit pouze tzv. {\em zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, které
nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat
skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s \fc emi ležícími v husté podmnožině kvadraticky
integrovatelných funkcí.
 
\special{src: 1731 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Příkladem takové husté podmnožiny je {\em prostor rychle ubývajících funkcí} ${\cal S}(\real^3)$ obsahující
funkce $f\in$ \qintspace splňující \be {\rm sup}|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial
x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f|<\infty
\ll{prryubfci}\ee pro všechna $(\vec j,\vec k)\in\integer_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z ${\cal
S}(\real^3)$  je, že Fourierova transformace \be \tilde f(\vec k) \equiv ({\cal F}f)(\vec
k):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{-i\vec k \vex} f(\vex)d^3x \ll{Fourier}\ee je bijekcí ${\cal
S}(\real^3)$ na ${\cal S}(\real^3)$ (viz \cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar \be ({\cal
F}^{-1}\tilde f)(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{i\vec k \vex} \tilde f(\vec k)d^3k=({\cal F}\tilde
f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee odkud snadno dostaneme, že \begin{equation}\label{FfFg}
    ({\cal F}f,{\cal F}g)=(f,g)
\end{equation}
 
Pro $f\in{\cal S}(\real^3)$ můžeme definovat "skalární součiny" $(\phi_{\vec p},f)$ a $(f,\phi_{\vec p})$
(přesněji lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec p}$ ležely v
\qintspace{}. \be\ll{psip} \Phi_{\vec p}(f)\equiv(\phi_{\vec p},f)
:=\int_{\real^3} A^*e^{-i\vec p \vec x/\hbar}f(\vec x)d^3x
=A^*({2\pi})^{3/2}({\cal F}f)(\frac{\vec p}{\hbar}), \ee
\be \ll{invft}
(f,\phi_{\vec p}):=(\phi_{\vec p},f)^*
=A({2\pi})^{3/2}({\cal F}f^*)(-\frac{\vec p}{\hbar}),\ee neboť tyto integrály jsou
(inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z ${\cal
S}(\real^3)$. Rovnice pro funkcionály $\Phi_{\vec p}$ má tvar \be (\hat P_j\Phi_{\vec p})(f)=
(\hat P_j \phi_{\vec p},f)=(\phi_{\vec p},\hat P_j f)=p_j(\phi_{\vec p},f)=p_j\Phi_{\vec p}(f),\ \forall
f\in {\cal S}(\real^3) \ll{rceprophip}\ee a funkce \rf{zvfoh}) nazýváme {\bf zobecněné vlastní \fc e
hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z \qintspace. To je také
důvod proč je s úspěchem můžeme použít k popisu tzv. rozptylových stavů (viz kap. \ref{potrozptyl}), jež
jsou určeny počáteční a konečnou hybností. \bc Nechť \[ \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}
\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon
x}{\hbar}. \] Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$ \ec
 
 
Ještě výraznější je "zobecněnost" vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice \[ \hat
Q_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3 \] má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové
\fc e jsou však v \qintspace { ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení problému konstrukce zobecněných
vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\real^3$, %zavést. K
jejich konstrukci lze použít tzv. $\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující
vlastnosti: \be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda
\ll{dcond1}\ee \be \int_\real \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee
 
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky
\rf{dcond1},\ref{dcond2}), nicméně lze definovat jiné matematické
objekty pro které lze obě podmínky splnit.
\\{\bf Příklad}: Nejjednodušší způsob je pohlížet na
$\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť
\[ f_{a,\lambda}(x):= 0\ \for |x-\lambda|>a \]
\[ f_{a,\lambda}(x):= 1/2a\ \for |x-\lambda|\leq a. \]
Pak podmínky \rf{dcond1}), \rf{dcond2}) jsou splněny pro
%každou $f_{a,\lambda}$ a podmínku \rf{dcond1}) lze splnit, když
$a\rightarrow 0$.\\
Z tohoto příkladu je snadno vidět, že i
zobecněné vlastní funkce operátoru polohy  \rf{zvfop})
lze aproximovat funkcemi z prostoru \qintspace{} podobně jako
zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}).
 
\special{src: 1830 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Přesnější definici pojmu $\delta$-- \fc e je možno podat v rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou
spojité lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^n)$. Uvedeme pouze, že v této teorii je (jednorozměrná)
$\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,.)$ na ${\cal S(\real)}$ definovaného ve
shodě s \rf{dcond2})způsobem %Definujeme-li pro $f\in{\cal S(\real)}$
\be
\int_\real\delta_\lambda(x)f(x)\equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).\ee  Rovnost \[
x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x) \] pak znamená \be (\hat Q
\delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat Q f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in {\cal S}(\real^3), \ee
(což je vztah analogický k \rf{rceprophip}) ) a v tomto smyslu je \be \delta_{\vec a}(\vec
x)\equiv\delta(\vec a-\vec x):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3) \ll{zvfop}\ee zobecněnou
vlastní funkcí polohy s vlastní hodnotou $\vec a$.
 
Z definice Fourierovy transformace (\ref{Fourier}) a její inverze lze jednoduchým výpočtem  ukázat, že
\be \int_{\real^3}e^{i{\vec z}(\vec
x-\vec y)} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vec x-\vec y), \ee t.j.
\be {\cal F}[\phi_{\vec p}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec p/\hbar} \ll{fourfip}\ee
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}), totiž
že je lze {\em "normalizovat k $\delta$--\fc i"}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$ \be (\phi_{\vec
p'},\phi_{\vec p}) \equiv \int_{\real^3}\phi_{\vec p}(\vec x)\phi_{\vec p'}^*(\vec x) d^3x=\delta(\vec
p-\vec p') .\ll{dnormp}\ee Podobně  i pro \rf{zvfop}) platí \be (\delta_{\vec a'},\delta_{\vec a}) \equiv
\int_{\real^3}\delta_{\vec a}(\vec x)\delta_{\vec a'}(\vec x) d^3x=\delta(\vec a-\vec a') .\ll{dnormx}\ee
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na ${\cal S}(\real^n)$ a
zápis pomocí integrálů je poněkud formální.
 
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec a}\equiv |\,\vec a>,\ \phi_{\vec
p}\equiv|\,\vec p>$. Vztahy \rf{zvfoh}), (\ref{dnormx}), (\ref{dnormp}), (\ref{dcond2}) a (\ref{invft}) pak
lze zapsat jako \[  <\vec x\,|\vec p\,>=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec p\, \vec x/\hbar},\   <\vec
x\,|\vec x\,'>=\delta (\vex-\vex\,'),\ <\vec p\,|\vec p\,'>=\delta(\vec p-\vec p\,'), \] \[ <\vec
x\,|\,\psi>=\psi(\vec x),\ \ <\vec p\,|\,\psi>=\hbar^{-3/2}\tilde\psi(\frac{\vec p}{\hbar}) \]
a je možno psát analog relace úplnosti (\ref{relupl}) \[ |\psi>=\int_{\real^3}d^3x\,|\vec x><\vec
x\,|\psi>=\int_{\real^3}d^3p\,|\vec p><\vec p\,|\psi>. \]
 
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části
spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice v coulombickém poli spočítaných v předchozím paragrafu leží  ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům
částice v Coulombově potenciálu s kladnou energií (tzv. rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní
\fc e
\be \psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm}, \ee
kde $k=\pm\sqrt{2mE}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm}) a
\be
R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr}
F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr)
 \ll{zovlfcecoul}.\ee
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru
konstant $C_{kl}$ normalizovány k $\delta$--\fc i, neboť platí
\[ \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r}
F^*(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr)
F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r)r^2dr\]\be=K_{kl}\delta(k-k'),
\ee
kde $K_{kl}$ je konstanta.
 
\special{src: 1899 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o chování objektů mikrosvěta.
 
\special{src: 1903 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola3&oldid=3729“