02KVAN:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02KVAN}) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02KVAN} | %\wikiskriptum{02KVAN} | ||
+ | |||
+ | Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a | ||
+ | magnetismu, termodynamiky, ...) je popis {\em množiny stavů a | ||
+ | určení časového | ||
+ | vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení | ||
+ | měřitelných veličin tzv. {\em pozorovatelných}, | ||
+ | %-- {\em dynamických proměnných}, | ||
+ | které jsou pro zkoumaný systém relevantní, a | ||
+ | předpovězení vývoje jejich hodnot. | ||
+ | % parametrů, které jsme pro daný systém schopni změřit. | ||
+ | Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, | ||
+ | elektrická a magnetická intenzita, teplota, objem atd. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 13 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | {\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru | ||
+ | stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny | ||
+ | %tzv. jež jsou funkcemi času, případně místa | ||
+ | a fyzikální zákony určující | ||
+ | jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. | ||
+ | Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých | ||
+ | interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. | ||
+ | Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se | ||
+ | zdálo, že vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny | ||
+ | fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není | ||
+ | pravda, a že klasická fyzika nedokáže bezesporně popsat | ||
+ | některé jevy, ke kterým dochází v důsledku interakcí na atomární | ||
+ | úrovni.} | ||
+ | \bc Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou | ||
+ | formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. | ||
+ | Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální | ||
+ | veličiny jsou určeny? | ||
+ | \ec | ||
+ | |||
+ | \special{src: 34 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Základní | ||
+ | fyzikální objekty -- {\bf hmota a záření} -- | ||
+ | jsou v klasické fyzice {\bf popsány zcela odlišným | ||
+ | způsobem}. Hmotné objekty jsou lokalizované a řídí se Newtonovými | ||
+ | pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se | ||
+ | Maxwellovými polními rovnicemi. Dochází u něj k vlnovým | ||
+ | jevům např. interferenci a ohybu. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 44 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | V makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob | ||
+ | popisu kvalitativně různých objektů zcela logický. | ||
+ | Pokusy prováděné počátkem tohoto století však ukázaly, že pro | ||
+ | popis objektů v mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, | ||
+ | ba dokonce vedou k předpovědím které jsou v rozporu s | ||
+ | pozorováními. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 53 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | {\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, | ||
+ | který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají | ||
+ | okolo kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. | ||
+ | Podle této představy | ||
+ | jsou elektrony klasické, elektricky | ||
+ | nabité (na rozdíl od planet!) částice. | ||
+ | Problém je však v tom, že z teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu | ||
+ | po zakřivené dráze měly produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní | ||
+ | mechanické energie.} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 65 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by | ||
+ | měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít | ||
+ | konečnou, dokonce velmi krátkou (cca $10^{-10}$ sec) | ||
+ | dobu života. | ||
+ | Obě tyto předpovědi jsou v rozporu s pozorováním. Smířit tento | ||
+ | rozpor teorie a experimentu se podařilo až kvantové mechanice za | ||
+ | cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v tomto | ||
+ | případě elektronu jako částice pohybující se po nějaké dráze. | ||
+ | \begin{cvi}Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v | ||
+ | atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou částici | ||
+ | pohybující se po kruhové dráze o (Bohrově) poloměru | ||
+ | $a\approx 10^{-10}$ m. (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52) | ||
+ | \end{cvi} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 81 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | K dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u zrodu \qv é | ||
+ | mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, | ||
+ | %vyzařovací zákon, | ||
+ | fotoefekt a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v | ||
+ | příštích podkapitolách. | ||
+ | Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i | ||
+ | představy o čistě vlnové povaze elektromagnetického záření. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 91 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | \subsection{Planckův vyzařovací zákon} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 95 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Jedním z problémů klasické %termodynamiky | ||
+ | fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření | ||
+ | %závislost hustoty energie záření $\rho(\nu,T)$ | ||
+ | tzv. absolutně černého tělesa, přesněji její závislost | ||
+ | na frekvenci záření a teplotě tělesa. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 103 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | {\em Absolutně černé těleso}, tzn. těleso které neodráží žádné vnější | ||
+ | záření, lze realizovat otvorem v dutině, jejíž vnější stěny jsou vodivé a jsou | ||
+ | ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické | ||
+ | záření, jehož experimentálně změřené spektrální rozdělení | ||
+ | %rozdělovací funkce tj. závislost intenzity záření na frekvenci a teplotě | ||
+ | je v rozporu s klasickým popisem tohoto jevu. | ||
+ | %\subsubsection{Klasický popis záření černého tělesa, | ||
+ | %Rayleigh--Jeansův zákon} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 114 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v dutině | ||
+ | vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf} Kap.8), jež je zdrojem záření černého | ||
+ | tělesa. | ||
+ | Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$ | ||
+ | musí splňovat Maxwellovy--Lorentzovy rovnice beze zdrojů | ||
+ | %tj. s nulovou pravou stranou %splňujícím | ||
+ | \be {\rm div} \vec{E}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0. \ll{ml1} \ee | ||
+ | \be {\rm div} \vec{B}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0. \ll{ml2}\ee | ||
+ | a okrajové podmínky, které vyžadují, aby | ||
+ | tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole | ||
+ | byly na | ||
+ | stěnách dutiny nulové (viz např. \cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj. | ||
+ | \be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee | ||
+ | kde | ||
+ | $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně | ||
+ | dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto pole je ekvivalentní | ||
+ | systému neinteragujících harmonických oscilátorů. | ||
+ | |||
+ | Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1})--\rf{podnast}). Z II. serie Maxwellových --Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem | ||
+ | \be \vec E = -{\rm grad}\ \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = {\rm rot}\ \vec{A'}.\ee | ||
+ | Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací | ||
+ | dosáhnout toho, že elektromagnetické | ||
+ | potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují $\phi=0,\ div\vec{A}=0$ a | ||
+ | okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách dutiny. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 143 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Kalibrační transformace | ||
+ | \be \phi(\vec x,t)=\phi'(\vec x,t)-%\frac{1}{c} | ||
+ | \frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t)\ee | ||
+ | \be \vec A(\vec x,t)=\vec A'(\vec x,t)+grad\ \lambda(\vec x,t), \ee | ||
+ | která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí | ||
+ | $\lambda$, která splňuje rovnice | ||
+ | \be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee | ||
+ | \be %\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\lambda | ||
+ | \triangle \lambda=-div \vec A' \ee | ||
+ | spolu s okrajovými podmínkami na stěnách | ||
+ | \be \vec N\times grad\ \lambda=-\vec N\times\vec A'.\ee | ||
+ | Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí ${\rm div} \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a | ||
+ | normálové složky intenzit na stěnách dutiny. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 159 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o hraně $L$. | ||
+ | Rozložíme složky vektorového potenciálu do | ||
+ | trojné Fourierovy řady (viz např. \cite{uhl:uvaf}). | ||
+ | |||
+ | \special{src: 165 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | \be {A}_1(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_1(\vec{m},t) | ||
+ | \cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L) | ||
+ | \ll{Four1}\ee | ||
+ | \be {A}_2(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_2(\vec{m},t) | ||
+ | \sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L) | ||
+ | \ll{Four2}\ee | ||
+ | \be {A}_3(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_3(\vec{m},t) | ||
+ | \sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L) | ||
+ | \ll{Four3}\ee | ||
+ | %f_i(\vec{m},\vec{x}), | ||
+ | %kde $f_i$ jsou vhodně vybrané funkce (viz | ||
+ | Důvod pro tento specální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky | ||
+ | $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují | ||
+ | \[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \] | ||
+ | takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $<-L,L>\times | ||
+ | <-L,L>\times<-L,L>$ jako spojitou funkci lichou v proměnných $x_2,x_3$. O | ||
+ | hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji | ||
+ | nicméně prodloužit sudě v $x_1$. Fourierův rozklad liché spojité | ||
+ | funkce na intervalu $<-L,L>$ lze provést pomocí funkcí $\sin | ||
+ | mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé funkce pomocí funkcí $\cos | ||
+ | mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}). Důležité je, | ||
+ | že podmínka | ||
+ | \[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \] | ||
+ | už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl | ||
+ | od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např. pomocí funkcí $\cos | ||
+ | mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v $x_2,x_3$. | ||
+ | Stejnou | ||
+ | argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem | ||
+ | \rf{Four2},\ref{Four3}). | ||
+ | |||
+ | \special{src: 197 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Z rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci | ||
+ | \be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle | ||
+ | A_i=0, \ll{vlnrce}\ee | ||
+ | které dostaneme z \rf{ml1}), pak plyne, že koeficienty | ||
+ | $\vec Q_{\vec{m}}(t)\equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in {\bf | ||
+ | Z}_+^3$ (trojice celých nezáporných čísel) | ||
+ | splňují jednoduché | ||
+ | \rc e | ||
+ | \be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0 | ||
+ | \ll{rceHO}\ee | ||
+ | kde | ||
+ | \be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee | ||
+ | a $c$ je rychlost světla. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 213 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Kalibrační podmínka $div \vec A=0$ přejde na tvar | ||
+ | \be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0 \ll{kalpod}\ee | ||
+ | ze kterého plyne, že pro každé $\vec m\in\integer_+^3$ | ||
+ | existují dvě lineárně nezávislé funkce | ||
+ | $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující \rf{rceHO},\ref{kalpod}), což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření. | ||
+ | \bc | ||
+ | Ze vzorců \rf{Four1})--\rf{Four3}) odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$. | ||
+ | \ec | ||
+ | |||
+ | \special{src: 224 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Energie elektromagnetického pole | ||
+ | \[ {\cal E}= \frac{1}{2}\int(\epsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \] | ||
+ | po dosazení \rf{Four1})--\rf{Four3}) a integraci přejde na tvar | ||
+ | \be {\cal E} = \frac{\epsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in {\bf | ||
+ | Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec | ||
+ | m}^2). | ||
+ | %=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}{E^\alpha_{\vec m}}. | ||
+ | %= \sum energií\ harmonických\ oscilátorů | ||
+ | \ll{ergempole}\ee | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Z rovnic \rf{rceHO},\ref{ergempole}) vidíme, že {elektromagnetické pole v uzavřené | ||
+ | dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých | ||
+ | harmonických oscilátorů} (stojatých vln) | ||
+ | číslovaných vektory $\vec m \in {\bf Z}_+^3$. | ||
+ | % s frekvencemi \rf{omgm}). | ||
+ | |||
+ | Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány | ||
+ | žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii elektromagnetického pole | ||
+ | ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v sumě (\ref{ergempole}). | ||
+ | Na druhé straně však víme, že elektromagnetické pole je v termodynamické rovnováze | ||
+ | se stěnami dutiny o teplotě $T$ a lze jej tedy | ||
+ | popsat metodami statistické fyziky. | ||
+ | Z tohoto hlediska je možno na {\em elektromagnetické pole v dutině pohlížet jako na soubor | ||
+ | oscilátorů, přičemž | ||
+ | každý z nich | ||
+ | může interakcí s termostatem nabývat různých | ||
+ | energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s energií ${\epsilon}(s)$ je dána | ||
+ | Boltzmannovou statistikou s rozdělovací funkcí. | ||
+ | \be P(s,T)= A(T)\ e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} } | ||
+ | %=\prod_{\vec m,\alpha} P^\alpha_{\vec m},\ \ P^\alpha_{\vec m}\propto e^{-{E^\alpha_{\vec m}}/(kT) }, | ||
+ | \ll{boltzman}\ee | ||
+ | kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}J/grad$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou | ||
+ | \[ \sum_s P(s,T)=1.\] Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů | ||
+ | s vlastními frekvencemi | ||
+ | $\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi)=c|\vec{m}|/(2L)$ | ||
+ | $$\overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_s \epsilon(s)P(s,T),$$ | ||
+ | neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v | ||
+ | intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$, pak lze spočítat jako součet středních | ||
+ | energií | ||
+ | oscilátorů s frekvencemi v témže intervalu. | ||
+ | |||
+ | Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$. | ||
+ | Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů s pevným $\vec m$ bod v ${\bf Z}_+^3$, pak v důsledku \rf{omgm}) | ||
+ | množina oscilátorů s | ||
+ | frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ leží v jednom oktantu | ||
+ | kulové | ||
+ | slupky poloměru $\frac{2L\nu}{c}$ a tloušťky $\frac{2L}{c}d\nu$ v prostoru | ||
+ | vektorů v ${\bf Z}^3$. Energie oscilátorů s frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ | ||
+ | je pak rovna součtu energií (\ref{ergempole}) avšak pouze přes body v této slupce, tedy | ||
+ | %\be n(\nu)=2\,\frac{1}{8}\left(\frac{2L}{c}\right)^3 4\pi \nu^2 d\nu=V\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee | ||
+ | \be d\bar{\cal E}=2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm | ||
+ | =\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu= | ||
+ | V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee | ||
+ | kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla. | ||
+ | Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole) | ||
+ | s danou frekvencí tedy je | ||
+ | \be \rho(\nu,T) | ||
+ | =\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2 . | ||
+ | \ll{spechus1}\ee | ||
+ | |||
+ | {\small Předpokládáme-li, že se jedná o klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných | ||
+ | kladných hodnot $E(q,p)=\alpha p^2 + | ||
+ | \beta q^2$ %, což odpovídá klasickým představám | ||
+ | a rozdělovací funkce | ||
+ | %tohoto podsouboru je | ||
+ | souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je | ||
+ | \[ P(q,p)= A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \] | ||
+ | pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$ | ||
+ | \be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee | ||
+ | a energie pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu, | ||
+ | \nu+d\nu>$ je | ||
+ | \[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \] | ||
+ | (Rayleigh--Jeansova formule). | ||
+ | Tato rozdělovací funkce | ||
+ | %Toto záření absolutně černého tělesa | ||
+ | však neodpovídá experimentálním hodnotám pro | ||
+ | velké frekvence $\nu$. Navíc celková hustota energie elektromagnetického pole | ||
+ | \be \epsilon=\int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll {heemp}\ee | ||
+ | diverguje. | ||
+ | } | ||
+ | \bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}).\ec | ||
+ | |||
+ | \special{src: 317 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty | ||
+ | energie dobře popisuje | ||
+ | funkce navržená M. Planckem ve tvaru | ||
+ | \be \fbox{\LARGE$ | ||
+ | \rho(\nu,T)= | ||
+ | \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} | ||
+ | $}\ ,\ll{planck}\ee | ||
+ | kde | ||
+ | experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62\times | ||
+ | 10^{-34}$ Js. (Viz obr.1) | ||
+ | \begin {figure}[hbtp] | ||
+ | % \begin{center} | ||
+ | \hskip 2cm\special{em:graph s_planck.gif} \vskip 5cm | ||
+ | \caption | ||
+ | {Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně | ||
+ | černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300K, 1500 K} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | \bc Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací | ||
+ | funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s teplotou | ||
+ | (Wienův posunovací zákon)? | ||
+ | \ec | ||
+ | \bc Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení | ||
+ | hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě | ||
+ | Rayleighova -- Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od | ||
+ | veličiny měřené o 5 procent. | ||
+ | Jak velký je tento rozdíl v oblasti | ||
+ | maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na | ||
+ | teplotě? | ||
+ | \ec | ||
+ | \bc Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa | ||
+ | podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro | ||
+ | danou teplotu. | ||
+ | \ec | ||
+ | K odvození rozdělovací funkce \rf{planck}) | ||
+ | je třeba učinit následující podivný | ||
+ | předpoklad (Max Planck, 1900): | ||
+ | |||
+ | \special{src: 356 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z energetického hlediska | ||
+ | ekvivalentní %(viz \rf{ergempole}) ) | ||
+ | elektromagnetickému poli v | ||
+ | dutině, {\em nemohou nabývat libovolných hodnot energie, ale pouze | ||
+ | takových, které jsou %se liší o | ||
+ | celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn. | ||
+ | $E_n=n\epsilon_0$. | ||
+ | Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.} | ||
+ | \[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \] | ||
+ | |||
+ | \special{src: 368 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$ | ||
+ | a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s | ||
+ | frekvencí $\nu$ a energií $E_n$ je | ||
+ | \[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \] | ||
+ | Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty | ||
+ | P_n=1$. Sečtením geometrické řady | ||
+ | \[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{n | ||
+ | h\nu}{kT}}=1/[1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}]. \] | ||
+ | |||
+ | \special{src: 379 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí | ||
+ | $\nu$ je pak | ||
+ | \[ \overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n | ||
+ | = A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} = | ||
+ | A^{-1}[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}]= | ||
+ | \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. \] | ||
+ | Energii elektromagnetického pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu, | ||
+ | \nu+d\nu>$ pak opět spočítáme jako součin (\ref{pocetstavu}) střední hodnoty | ||
+ | energie oscilátorů s frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s frekvencemi uvnitř | ||
+ | daného intervalu, z čehož dostaneme Planckovu formuli | ||
+ | \rf{planck}). | ||
+ | |||
+ | \special{src: 393 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp}) spočítaná z takto | ||
+ | určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost | ||
+ | odpovídá Stefan--Boltzmannovu zákonu. | ||
+ | \[ | ||
+ | \epsilon(T)= | ||
+ | \frac{8\pi}{c^3}h\int_0^\infty\frac{\nu^3} | ||
+ | {e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu | ||
+ | =\frac{8\pi}{c^3}\frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty | ||
+ | \frac{x^3}{e^x-1}dx=\kappa T^4, \] | ||
+ | kde | ||
+ | \[ \kappa=\frac{8\pi k^4}{c^3h^3}\frac{\pi^4 }{15}. \] | ||
+ | |||
+ | \special{src: 407 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | {\bf Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa | ||
+ | lze odvodit pomocí předpokladu, že {\em energie harmonického | ||
+ | oscilátoru s frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskretních | ||
+ | hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta. | ||
+ | %jejíž experimentálně určená hodnota je $h = 6.62\times 10^{-27}$ erg s. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 415 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v rozporu s naší zkušeností, | ||
+ | neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické | ||
+ | oscilátory | ||
+ | hluboko pod mezí pozorovacích chyb. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 422 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u atomů (konkrétně rtuti) v serii pokusů Francka a Hertze v letech 1914--1919 (viz \cite{uhl:uvaf}). | ||
+ | \subsection{Fotoefekt} | ||
+ | Potvrzením Planckovy hypotézy o kvantovém charakteru energie | ||
+ | elektromagnetického pole bylo i | ||
+ | Einsteinovo vysvětlení fotoefektu -- emise | ||
+ | elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v | ||
+ | roce 1903. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 432 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl | ||
+ | Milikan v roce 1916 (viz obr.2). Na fotokatodu zapojenou do elektrického obvodu | ||
+ | dopadá monochromatické světlo s frekvencí $\nu$, která se | ||
+ | postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj | ||
+ | stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole, | ||
+ | které vrací | ||
+ | elektrony emitované světelným zářením zpět. | ||
+ | \begin{figure}[hbtp] | ||
+ | |||
+ | %TexCad Options | ||
+ | %\grade{\on} | ||
+ | %\emlines{\off} | ||
+ | %\beziermacro{\off} | ||
+ | %\reduce{\on} | ||
+ | %\snapping{\on} | ||
+ | %\quality{2.00} | ||
+ | %\graddiff{0.01} | ||
+ | %\snapasp{1} | ||
+ | %\zoom{1.00} | ||
+ | \unitlength 1mm | ||
+ | \linethickness{0.4pt} | ||
+ | \begin{picture}(105.00,85.00) | ||
+ | %\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00) | ||
+ | \put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | \put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]} | ||
+ | %\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00) | ||
+ | \put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00) | ||
+ | \put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | \put(100.00,50.00){\circle{10.00}} | ||
+ | %\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00) | ||
+ | \put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}} | ||
+ | \multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00) | ||
+ | \put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00) | ||
+ | \put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00) | ||
+ | \put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00) | ||
+ | \put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00) | ||
+ | \put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00) | ||
+ | \put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00) | ||
+ | \put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00) | ||
+ | \put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00) | ||
+ | \put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00) | ||
+ | \put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00) | ||
+ | \put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00) | ||
+ | \put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | \put(65.00,15.00){\circle{10.00}} | ||
+ | %\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00) | ||
+ | \put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}} | ||
+ | \multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00) | ||
+ | \put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00) | ||
+ | \put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00) | ||
+ | \put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}} | ||
+ | \multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00) | ||
+ | \put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}} | ||
+ | \multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00) | ||
+ | \put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}} | ||
+ | \multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}} | ||
+ | %\end | ||
+ | \put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}} | ||
+ | \put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}} | ||
+ | \put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}} | ||
+ | \put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatick\'e‚ sv\v{e}tlo s frekvenc\'i $\nu$ }} | ||
+ | \end{picture} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \caption{Milikanovo zapojení pro měření fotoefektu} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 446 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane | ||
+ | procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného záření | ||
+ | je lineární. | ||
+ | \[U_s=\frac{h}{e}(\nu-\nu_0)\] | ||
+ | |||
+ | \special{src: 453 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou | ||
+ | fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v | ||
+ | tom, že v procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum | ||
+ | záření -- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou | ||
+ | úměrná frekvenci $E=h\nu$. ("...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves wtihout dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.") Kinetická energie emitovaného | ||
+ | elektronu je | ||
+ | \be E_{kin}=eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{foton}-E_{ion}. | ||
+ | \ll{ekine}\ee | ||
+ | |||
+ | \special{src: 464 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{ion}/h$, kde $E_{ion}$ je | ||
+ | ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází ani při | ||
+ | zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných | ||
+ | pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$ | ||
+ | získávají elektrony energii \rf{ekine}). | ||
+ | Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu se shodovala s | ||
+ | konstantou určenou ze záření černého tělesa. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 474 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | {\bf Závěr:} Existují {\em kvanta světelného záření -- fotony}, | ||
+ | která působí v | ||
+ | elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie jednoho | ||
+ | fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a | ||
+ | $h$ je konstanta určená z Planckova vyzařovacího zákona. | ||
+ | \bc | ||
+ | Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka | ||
+ | mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z nich se dostane do oka | ||
+ | pozorovatele ve vzdálenosti 10 km? (Poloměr čočky oka je asi 5 mm.) | ||
+ | %Kolik fotonů emituje anténa vysílače o výkonu 1 W vysílající | ||
+ | %na krátkých vlnách 30 m? | ||
+ | \ec | ||
+ | \subsection{Comptonův rozptyl} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 490 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | V roce 1923 provedl A.H. Compton pokus, který měl odhalit, zda se | ||
+ | kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn. zda vedle | ||
+ | energie mají též definovanou hybnost. V tomto pokusu byl měřen | ||
+ | rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v jehož krystalické | ||
+ | mříži jsou elektrony relativně volné. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 498 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \special{src: 501 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | {\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět | ||
+ | vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce (tj. všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv. tlak | ||
+ | světla. V klidové soustavě elektronu pak dojde k emisi záření | ||
+ | se stejnou vlnovou délkou a nulovou střední hybností. | ||
+ | V laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_e$ a | ||
+ | energii $E_e$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu | ||
+ | změnu vlnové délky záření | ||
+ | \be | ||
+ | (\Delta\lambda)_{klas}=\lambda_0\frac{cP_e}{E_e-cP_e} | ||
+ | (1-cos\Theta), | ||
+ | \ll{compclas}\ee | ||
+ | kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny, | ||
+ | $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření, | ||
+ | $E_e,P_e$ | ||
+ | jsou velikost energie a hybnosti elektronu, které s délkou ozařování rostou. | ||
+ | } | ||
+ | |||
+ | \special{src: 520 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Podívejme se jak bude tento jev %proces %podobná formule | ||
+ | probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni | ||
+ | chovají jako částice s danou energií a hybností (viz | ||
+ | Obr.\ref{fig:compton}). | ||
+ | \begin{figure} | ||
+ | |||
+ | %TexCad Options | ||
+ | %\grade{\on} | ||
+ | %\emlines{\off} | ||
+ | %\beziermacro{\off} | ||
+ | %\reduce{\on} | ||
+ | %\snapping{\on} | ||
+ | %\quality{2.00} | ||
+ | %\graddiff{0.01} | ||
+ | %\snapasp{1} | ||
+ | %\zoom{1.00} | ||
+ | \unitlength 1.00mm | ||
+ | \linethickness{0.2pt} | ||
+ | \begin{picture}(90.00,50.00) | ||
+ | %\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00) | ||
+ | \put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}} | ||
+ | \put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00) | ||
+ | \put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}} | ||
+ | \multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} | ||
+ | %\end | ||
+ | %\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00) | ||
+ | \put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}} | ||
+ | \multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}} | ||
+ | %\end | ||
+ | \put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}} | ||
+ | \put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}} | ||
+ | \put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}} | ||
+ | \end{picture} | ||
+ | |||
+ | \caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu}\ll{fig:compton} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | V tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření | ||
+ | popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu ("... when an X-ray quantum is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."), | ||
+ | při které se celková energie a hybnost zachovává. | ||
+ | \be \epsilon_{\nu_0}+m_ec^2=\epsilon_{\nu}+ E_e | ||
+ | \ll{zachovanienergie} \ee | ||
+ | \be \vec p_{\nu_0}+0=\vec p_{\nu}+\vec p_{e},\ll{zachovani hybnosti} \ee | ||
+ | kde | ||
+ | \[ \vec p_e=\frac{m_e\vec v_e}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\ \ | ||
+ | E_e=\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\] | ||
+ | \[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \ |\vec p_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \] | ||
+ | a $v_e$ je rychlost odraženého elektronu. | ||
+ | Ze zákona zachování hybnosti plyne | ||
+ | \[ (\vec p_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2= | ||
+ | \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)=\] | ||
+ | \[ {\vec p_e}{}^2=\frac{m_e^2v_e^2}{1-v_e^2/c^2}=E_e^2/c^2-m_e^2c^2. \] | ||
+ | Použijeme-li ještě zákon zachování energie, | ||
+ | pak algebraickými úpravami dostaneme | ||
+ | \be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_ec}(1-\cos \Theta), | ||
+ | \ll{compton2}\ee | ||
+ | což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v závislosti | ||
+ | na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu. | ||
+ | Veličina | ||
+ | $\frac{\hbar}{m_ec}$ se často nazývá {\em Comptonova | ||
+ | vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}m$. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 555 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření | ||
+ | velikosti $P_e$, pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na | ||
+ | \be \lambda-\lambda_0= | ||
+ | \frac{(\lambda_0 P_e+h)c}{\sqrt{m_e^2c^4+P_e^2c^2}-P_ec}(1-\cos | ||
+ | \Theta). | ||
+ | \ll{compton}\ee | ||
+ | Pro $P_e\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli | ||
+ | \rf{compclas}). | ||
+ | Comptonovy vzorce \rf{compton}) resp. \rf{compton2}) | ||
+ | se však experimentálně potvrdily | ||
+ | i pro krátkovlné rentgenovské záření. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 569 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \special{src: 572 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | {\bf Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou | ||
+ | energii, ale i hybnost, jejíž velikost je nepřímo úměrná vlnové | ||
+ | délce záření $|\vec p| = h/\lambda$. | ||
+ | \bc Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova | ||
+ | záření. | ||
+ | \ec | ||
+ | \bc Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož | ||
+ | zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace | ||
+ | \[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \] | ||
+ | v klidu? | ||
+ | \ec | ||
+ | |||
+ | \special{src: 586 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | \subsection{Shrnutí} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 590 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Z výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt | ||
+ | %v předchozích podkapitolách | ||
+ | plyne, že v mikrosvětě, tj. při zkoumání atomárních jevů: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item | ||
+ | Existují fyzikální objekty -- kvanta, kvantové částice -- | ||
+ | %Ztrácí se rozdíl mezi hmotnými objekty a zářením. | ||
+ | mající jak vlnový tak částicový charakter. | ||
+ | % a chová se podobně jako soubor částic. | ||
+ | % a hmotné objekty přestávají mít čistě částicový charakter. | ||
+ | \item | ||
+ | Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např. energie či | ||
+ | momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn. tyto veličiny se mohou | ||
+ | měnit pouze o konečné přírustky. | ||
+ | %nabývají než se očekávalo | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo | ||
+ | ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických | ||
+ | fyzikálních systémů. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 612 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Z pedagogických důvodů začneme její výklad popisem | ||
+ | jedné kvantové částice bez vazeb, | ||
+ | jejímž typickým reprezentantem je například elektron. | ||
+ | Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u každé fyzikální teorie {\bf se nejedná o odvození | ||
+ | %Slovo "odvodíme" v minulém odstavci je přitom třeba chápatnikoliv | ||
+ | ve smyslu, na který jsme zvyklí z matematiky, nýbrž o | ||
+ | sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, %konstrukci, | ||
+ | jejichž správnost musí prověřit experimenty.} | ||
+ | Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž | ||
+ | postuloval. | ||
+ | %další vývoj její správnost prověřil do té | ||
+ | %%míry, že na počátku tohoto století byla považována za | ||
+ | %neotřesitelné dogma.jí nyní považujeme | ||
+ | %a uvěřitelných | ||
+ | \subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e} | ||
+ | %\input{debrogli.sub} | ||
+ | %Strategicko--pedagogický plán této kapitoly je následující: | ||
+ | %Z \db ovy hypotézy odvodíme \sv u rovnici pro volnou částici a | ||
+ | %postulujeme její zobecnění pro částici v silovém poli. Poté z | ||
+ | %matematické formy \sv y \rc e a pravděpodobnostní interpretace %jejích | ||
+ | %řešení odvodíme strukturu stavového prostoru. | ||
+ | %Pro popis kvantových stavů z | ||
+ | %Zavedeme pojem pozorovatelných, jejich spektra a | ||
+ | %kompatibility a tyto pojmy pak využijeme k popisu | ||
+ | %kvantově--mechanického stavu a fyzikálním předpovědím. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 640 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Z vysvětlení experimentálních fakt v předchozích kapitolách | ||
+ | plyne, že při zkoumání atomárních jevů | ||
+ | záření přestává | ||
+ | mít čistě vlnový charakter a chová se v některých aspektech jako | ||
+ | soubor částic. | ||
+ | Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem -- kvantové \cc e -- popisující fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 649 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Pod vlivem poznatků o duálním částicově--vlnovém charakteru | ||
+ | světla | ||
+ | De Broglie v roce 1923 usoudil, že tento %částicově--vlnový | ||
+ | dualismus je vlastností všech mikroskopických | ||
+ | objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např. | ||
+ | elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo jako částice, | ||
+ | podle toho jaké jevy, v nichž se účastní, zkoumáme. | ||
+ | Vyslovil hypotézu, že {\em pro popis jevů na atomární | ||
+ | úrovni je třeba přiřadit volným | ||
+ | kvantovým částicím s hybností $\vec p$ a energií $E$ -- nikoliv bod fázového prostoru nýbrž rovinou monochromatickou vlnu $\psi_{\vec p,E}$, | ||
+ | jejíž frekvence je (stejně jako pro foton) | ||
+ | úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti | ||
+ | částice, přesněji funkci} | ||
+ | \be\mbox{\Large $ | ||
+ | \psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A | ||
+ | e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $}, | ||
+ | \ll{dbvlna}\ee | ||
+ | kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar:=h/2\pi=1.054 572\times10^{-34}$ Js. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 670 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy, | ||
+ | %vynikne zejména tehdy, | ||
+ | je třeba si uvědomit, že | ||
+ | v té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové vlastnosti | ||
+ | hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o | ||
+ | několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na | ||
+ | krystalech. | ||
+ | \bc Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu | ||
+ | kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10 | ||
+ | $\mu$g pohybující se rychlostí zvuku. | ||
+ | \ec | ||
+ | \bc Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozměrech $1\times 1.5$ m. | ||
+ | \ec | ||
+ | \bc Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm? | ||
+ | \ec | ||
+ | |||
+ | \special{src: 688 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií %\db ovy vlny je | ||
+ | stejný jako u | ||
+ | klasické volné částice $E=\vec{p}^2/2m$ %pro nerelativistický případ či | ||
+ | (případně $E=\sqrt{\vec{p}^2c^2+m^2c^4}$ pro kvantum pohybující se rychlostí | ||
+ | blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna | ||
+ | %pro hmotnou částici | ||
+ | nesplňuje vlnovou rovnici \rf{vlnrce}), která plyne z teorie elektromagnetického | ||
+ | pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje. | ||
+ | Tuto \rc i našel v roce 1925 E. Schr\"{o}dinger a nese jeho jméno. | ||
+ | %\input{schr_rce.sub} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 701 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | K odvození \rc e pro \db ovy vlny | ||
+ | je nejsnazší vyjít z výše uvedených klasických vztahů mezi | ||
+ | energií a hybností, které vlastně představují disperzní relace, | ||
+ | a použít identity | ||
+ | \be p_i\psi%(\vec{x},t} | ||
+ | =-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} \psi, E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps}\ee | ||
+ | plynoucí z popisu kvant | ||
+ | %vztah mezi hodnotou složek hybnosti a | ||
+ | příslušnou \db ovou vlnou. | ||
+ | Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu | ||
+ | \be \frac{\partial\psi}{\partial t}= | ||
+ | -\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^3\frac{p_i^2}{2m}\psi= | ||
+ | -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{i=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial | ||
+ | x_i^2})\psi \ll{srvolna}\ee | ||
+ | |||
+ | \special{src: 718 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | E. Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice | ||
+ | \be \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee | ||
+ | i pro kvantovou | ||
+ | částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem | ||
+ | $V(\vec{x})$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci | ||
+ | takovéto kvantové \cc e se obvykle | ||
+ | píše ve tvaru | ||
+ | \be\fbox{\LARGE $ | ||
+ | i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vec{x})\psi | ||
+ | $}\ll{sr}\ee | ||
+ | a nazývá se {\em Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární | ||
+ | operátor na pravé straně \sv y \rc e | ||
+ | \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vec{x}) | ||
+ | \ll{hamiltonian} \ee | ||
+ | se nazývá {\em hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence | ||
+ | učebnic kvantové mechaniky, | ||
+ | že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.) | ||
+ | |||
+ | \special{src: 738 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna}) pro "volnou \qv ou částici" | ||
+ | (což může být např. | ||
+ | elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není pouze \db ova vlna, | ||
+ | ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných. | ||
+ | Díky linearitě \sv | ||
+ | \rc e je řešením \rf{srvolna}) i lineární superpozice \db ových vln odpovídajících různým hybnostem | ||
+ | \be \psi(\vec{x},t)=\int_{\real^3}\tilde\psi(\vec | ||
+ | p)e^{\frac{i}{\hbar}(\vec p\vec x-\frac{p^2}{2m}t)}dp^3. | ||
+ | \ll{vlnbalik}\ee | ||
+ | %$\psi =\psi(x,t)$. | ||
+ | %$\psi: {\bf D \->\complex,\ \ \bf D \part | ||
+ | To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna}) má jenom | ||
+ | některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou | ||
+ | a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o její | ||
+ | poloze. | ||
+ | Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její | ||
+ | vlastnosti, např. lokalizovatelnost v určité části prostoru, pak musíme použít | ||
+ | jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna. | ||
+ | \begin{cvi} | ||
+ | Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a vlnová \fc e částice má v čase $t_0$ ("lokalizovaný") tvar | ||
+ | \be g(\vec x)=C\exp[-A\vex^2+\vec B\vec x] \ll{mvb}\ee | ||
+ | Pomocí Fourierovy | ||
+ | transformace určete řešení \sv y | ||
+ | \rc e $\psi(\vec x,t)$, které v čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj. splňuje počáteční podmínku | ||
+ | $\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$ | ||
+ | %(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}), | ||
+ | kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$. | ||
+ | \ll{ex:vlnbal} | ||
+ | \end{cvi} | ||
+ | \bc Nechť $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že | ||
+ | \[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \] | ||
+ | je řešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním gravitačním poli (Avron-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit? | ||
+ | \ec | ||
+ | \special{src: 770 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | \subsection{Bornova interpretace vlnové funkce} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 774 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny | ||
+ | připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich | ||
+ | význam, neboli problém {\em fyzikální interpretace řešení | ||
+ | \sv y \rc e.} | ||
+ | |||
+ | \special{src: 781 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Zatímco řešení pohybových rovnic klasické | ||
+ | mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná | ||
+ | jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální | ||
+ | význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný. | ||
+ | Problém %jejich | ||
+ | interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je | ||
+ | rovnicí v | ||
+ | komplexním oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce. | ||
+ | Podotázkou tohoto problému pak je, zda | ||
+ | všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 794 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako | ||
+ | silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho statistická | ||
+ | interpretace (Max Born, 1926): | ||
+ | %Problém interpretace řešení \sv y \rc e řeší Bornův postulát: | ||
+ | |||
+ | \special{src: 801 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | {\bf Řešení \sv y \rc e %obsahuje veškerou informaci | ||
+ | udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení | ||
+ | částice v různých oblastech prostoru: | ||
+ | Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y \rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní | ||
+ | hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$ | ||
+ | je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v okamžiku $t$ v místě | ||
+ | s kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)} | ||
+ | \begin{cvi} | ||
+ | Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané | ||
+ | de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna}) v oblasti | ||
+ | $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ? | ||
+ | \end{cvi} | ||
+ | \begin{cvi}\ll{casvmvb} | ||
+ | Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení | ||
+ | \be \psi(\vec x,t)=Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}} | ||
+ | \chi(t)^{-3/2}\exp\{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}\} \ll{mvbt}\ee | ||
+ | \[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \] | ||
+ | z příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$? | ||
+ | Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je | ||
+ | rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem? | ||
+ | %Jaká je rychlost rozplývání | ||
+ | Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku | ||
+ | pro elektron lokalizovaný s přesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotě 1 gram | ||
+ | jehož těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m? | ||
+ | \ll{ex:pstvb}\end{cvi} | ||
+ | {Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice?} | ||
+ | Pravděpodobnost nalezení částice v oblasti $O\subset{\bf R}^3$ | ||
+ | je úměrná | ||
+ | \[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \] | ||
+ | %přirozeným způsobem jako | ||
+ | %četnost výskytu v oblasti $O$ dělená četností výskytu "kdekoliv" | ||
+ | %tj. v ${\bf R^3}$ pak | ||
+ | Koeficient úměrnosti je možno nalézt z požadavku, | ||
+ | %Je zřejmě přirozené považovat, | ||
+ | aby pravděpodobnost nalezení částice "kdekoliv" se rovnala | ||
+ | jedné. | ||
+ | % takže fyzikální význam mají řešení, pro která platí | ||
+ | %\[ =1 \] | ||
+ | %Vzhledem k tomu, že množina řešení \sv y \rc e je lineární | ||
+ | %prostor, pak | ||
+ | Tuto podmínku lze snadno splnit, položíme-li hustotu | ||
+ | pravděpodobnosti rovnou | ||
+ | \be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1} | ||
+ | |\psi(x,y,z,t)|^2, | ||
+ | \ll{pst}\ee | ||
+ | %vydělením libovolného řešení $\psi$ číslem $1/\sqrt{A(\psi)}$, | ||
+ | kde | ||
+ | \be A(\psi)=\int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz ,\ll{norma}\ee | ||
+ | pokud tento integrál existuje. | ||
+ | |||
+ | \special{src: 853 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
+ | |||
+ | Fyzikálně snadno | ||
+ | interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která | ||
+ | splňují | ||
+ | \be \int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty.\ll{konecnanorma}\ee | ||
+ | Těmi se budeme v následujícím textu zabývat především. |
Verze z 1. 11. 2010, 01:41
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a magnetismu, termodynamiky, ...) je popis {\em množiny stavů a určení časového vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení měřitelných veličin tzv. {\em pozorovatelných}, %-- {\em dynamických proměnných}, které jsou pro zkoumaný systém relevantní, a předpovězení vývoje jejich hodnot. % parametrů, které jsme pro daný systém schopni změřit. Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, elektrická a magnetická intenzita, teplota, objem atd. \special{src: 13 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny %tzv. jež jsou funkcemi času, případně místa a fyzikální zákony určující jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se zdálo, že vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není pravda, a že klasická fyzika nedokáže bezesporně popsat některé jevy, ke kterým dochází v důsledku interakcí na atomární úrovni.} \bc Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny? \ec \special{src: 34 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Základní fyzikální objekty -- {\bf hmota a záření} -- jsou v klasické fyzice {\bf popsány zcela odlišným způsobem}. Hmotné objekty jsou lokalizované a řídí se Newtonovými pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se Maxwellovými polními rovnicemi. Dochází u něj k vlnovým jevům např. interferenci a ohybu. \special{src: 44 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel V makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob popisu kvalitativně různých objektů zcela logický. Pokusy prováděné počátkem tohoto století však ukázaly, že pro popis objektů v mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, ba dokonce vedou k předpovědím které jsou v rozporu s pozorováními. \special{src: 53 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají okolo kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. Podle této představy jsou elektrony klasické, elektricky nabité (na rozdíl od planet!) částice. Problém je však v tom, že z teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu po zakřivené dráze měly produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní mechanické energie.} \special{src: 65 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít konečnou, dokonce velmi krátkou (cca $10^{-10}$ sec) dobu života. Obě tyto předpovědi jsou v rozporu s pozorováním. Smířit tento rozpor teorie a experimentu se podařilo až kvantové mechanice za cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v tomto případě elektronu jako částice pohybující se po nějaké dráze. \begin{cvi}Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou částici pohybující se po kruhové dráze o (Bohrově) poloměru $a\approx 10^{-10}$ m. (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52) \end{cvi} \special{src: 81 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel K dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u zrodu \qv é mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, %vyzařovací zákon, fotoefekt a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v příštích podkapitolách. Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i představy o čistě vlnové povaze elektromagnetického záření. \special{src: 91 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \subsection{Planckův vyzařovací zákon} \special{src: 95 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Jedním z problémů klasické %termodynamiky fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření %závislost hustoty energie záření $\rho(\nu,T)$ tzv. absolutně černého tělesa, přesněji její závislost na frekvenci záření a teplotě tělesa. \special{src: 103 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\em Absolutně černé těleso}, tzn. těleso které neodráží žádné vnější záření, lze realizovat otvorem v dutině, jejíž vnější stěny jsou vodivé a jsou ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické záření, jehož experimentálně změřené spektrální rozdělení %rozdělovací funkce tj. závislost intenzity záření na frekvenci a teplotě je v rozporu s klasickým popisem tohoto jevu. %\subsubsection{Klasický popis záření černého tělesa, %Rayleigh--Jeansův zákon} \special{src: 114 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v dutině vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf} Kap.8), jež je zdrojem záření černého tělesa. Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$ musí splňovat Maxwellovy--Lorentzovy rovnice beze zdrojů %tj. s nulovou pravou stranou %splňujícím \be {\rm div} \vec{E}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0. \ll{ml1} \ee \be {\rm div} \vec{B}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0. \ll{ml2}\ee a okrajové podmínky, které vyžadují, aby tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole byly na stěnách dutiny nulové (viz např. \cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj. \be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee kde $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto pole je ekvivalentní systému neinteragujících harmonických oscilátorů. Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1})--\rf{podnast}). Z II. serie Maxwellových --Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem \be \vec E = -{\rm grad}\ \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = {\rm rot}\ \vec{A'}.\ee Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací dosáhnout toho, že elektromagnetické potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují $\phi=0,\ div\vec{A}=0$ a okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách dutiny. \special{src: 143 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Kalibrační transformace \be \phi(\vec x,t)=\phi'(\vec x,t)-%\frac{1}{c} \frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t)\ee \be \vec A(\vec x,t)=\vec A'(\vec x,t)+grad\ \lambda(\vec x,t), \ee která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí $\lambda$, která splňuje rovnice \be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee \be %\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\lambda \triangle \lambda=-div \vec A' \ee spolu s okrajovými podmínkami na stěnách \be \vec N\times grad\ \lambda=-\vec N\times\vec A'.\ee Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí ${\rm div} \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a normálové složky intenzit na stěnách dutiny. \special{src: 159 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o hraně $L$. Rozložíme složky vektorového potenciálu do trojné Fourierovy řady (viz např. \cite{uhl:uvaf}). \special{src: 165 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \be {A}_1(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_1(\vec{m},t) \cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L) \ll{Four1}\ee \be {A}_2(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_2(\vec{m},t) \sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L) \ll{Four2}\ee \be {A}_3(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_3(\vec{m},t) \sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L) \ll{Four3}\ee %f_i(\vec{m},\vec{x}), %kde $f_i$ jsou vhodně vybrané funkce (viz Důvod pro tento specální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují \[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \] takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $<-L,L>\times <-L,L>\times<-L,L>$ jako spojitou funkci lichou v proměnných $x_2,x_3$. O hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji nicméně prodloužit sudě v $x_1$. Fourierův rozklad liché spojité funkce na intervalu $<-L,L>$ lze provést pomocí funkcí $\sin mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé funkce pomocí funkcí $\cos mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}). Důležité je, že podmínka \[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \] už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např. pomocí funkcí $\cos mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v $x_2,x_3$. Stejnou argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem \rf{Four2},\ref{Four3}). \special{src: 197 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci \be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle A_i=0, \ll{vlnrce}\ee které dostaneme z \rf{ml1}), pak plyne, že koeficienty $\vec Q_{\vec{m}}(t)\equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in {\bf Z}_+^3$ (trojice celých nezáporných čísel) splňují jednoduché \rc e \be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0 \ll{rceHO}\ee kde \be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee a $c$ je rychlost světla. \special{src: 213 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Kalibrační podmínka $div \vec A=0$ přejde na tvar \be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0 \ll{kalpod}\ee ze kterého plyne, že pro každé $\vec m\in\integer_+^3$ existují dvě lineárně nezávislé funkce $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující \rf{rceHO},\ref{kalpod}), což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření. \bc Ze vzorců \rf{Four1})--\rf{Four3}) odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$. \ec \special{src: 224 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Energie elektromagnetického pole \[ {\cal E}= \frac{1}{2}\int(\epsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \] po dosazení \rf{Four1})--\rf{Four3}) a integraci přejde na tvar \be {\cal E} = \frac{\epsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec m}^2). %=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}{E^\alpha_{\vec m}}. %= \sum energií\ harmonických\ oscilátorů \ll{ergempole}\ee Z rovnic \rf{rceHO},\ref{ergempole}) vidíme, že {elektromagnetické pole v uzavřené dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých harmonických oscilátorů} (stojatých vln) číslovaných vektory $\vec m \in {\bf Z}_+^3$. % s frekvencemi \rf{omgm}). Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii elektromagnetického pole ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v sumě (\ref{ergempole}). Na druhé straně však víme, že elektromagnetické pole je v termodynamické rovnováze se stěnami dutiny o teplotě $T$ a lze jej tedy popsat metodami statistické fyziky. Z tohoto hlediska je možno na {\em elektromagnetické pole v dutině pohlížet jako na soubor oscilátorů, přičemž každý z nich může interakcí s termostatem nabývat různých energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s energií ${\epsilon}(s)$ je dána Boltzmannovou statistikou s rozdělovací funkcí. \be P(s,T)= A(T)\ e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} } %=\prod_{\vec m,\alpha} P^\alpha_{\vec m},\ \ P^\alpha_{\vec m}\propto e^{-{E^\alpha_{\vec m}}/(kT) }, \ll{boltzman}\ee kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}J/grad$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou \[ \sum_s P(s,T)=1.\] Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů s vlastními frekvencemi $\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi)=c|\vec{m}|/(2L)$ $$\overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_s \epsilon(s)P(s,T),$$ neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$, pak lze spočítat jako součet středních energií oscilátorů s frekvencemi v témže intervalu. Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$. Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů s pevným $\vec m$ bod v ${\bf Z}_+^3$, pak v důsledku \rf{omgm}) množina oscilátorů s frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ leží v jednom oktantu kulové slupky poloměru $\frac{2L\nu}{c}$ a tloušťky $\frac{2L}{c}d\nu$ v prostoru vektorů v ${\bf Z}^3$. Energie oscilátorů s frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ je pak rovna součtu energií (\ref{ergempole}) avšak pouze přes body v této slupce, tedy %\be n(\nu)=2\,\frac{1}{8}\left(\frac{2L}{c}\right)^3 4\pi \nu^2 d\nu=V\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee \be d\bar{\cal E}=2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm =\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu= V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla. Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole) s danou frekvencí tedy je \be \rho(\nu,T) =\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2 . \ll{spechus1}\ee {\small Předpokládáme-li, že se jedná o klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných kladných hodnot $E(q,p)=\alpha p^2 + \beta q^2$ %, což odpovídá klasickým představám a rozdělovací funkce %tohoto podsouboru je souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je \[ P(q,p)= A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \] pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$ \be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee a energie pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu, \nu+d\nu>$ je \[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \] (Rayleigh--Jeansova formule). Tato rozdělovací funkce %Toto záření absolutně černého tělesa však neodpovídá experimentálním hodnotám pro velké frekvence $\nu$. Navíc celková hustota energie elektromagnetického pole \be \epsilon=\int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll {heemp}\ee diverguje. } \bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}).\ec \special{src: 317 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty energie dobře popisuje funkce navržená M. Planckem ve tvaru \be \fbox{\LARGE$ \rho(\nu,T)= \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} $}\ ,\ll{planck}\ee kde experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62\times 10^{-34}$ Js. (Viz obr.1) \begin {figure}[hbtp] % \begin{center} \hskip 2cm\special{em:graph s_planck.gif} \vskip 5cm \caption {Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300K, 1500 K} \end{figure} \bc Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s teplotou (Wienův posunovací zákon)? \ec \bc Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě Rayleighova -- Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od veličiny měřené o 5 procent. Jak velký je tento rozdíl v oblasti maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na teplotě? \ec \bc Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro danou teplotu. \ec K odvození rozdělovací funkce \rf{planck}) je třeba učinit následující podivný předpoklad (Max Planck, 1900): \special{src: 356 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z energetického hlediska ekvivalentní %(viz \rf{ergempole}) ) elektromagnetickému poli v dutině, {\em nemohou nabývat libovolných hodnot energie, ale pouze takových, které jsou %se liší o celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn. $E_n=n\epsilon_0$. Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.} \[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \] \special{src: 368 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$ a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s frekvencí $\nu$ a energií $E_n$ je \[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \] Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty P_n=1$. Sečtením geometrické řady \[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{n h\nu}{kT}}=1/[1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}]. \] \special{src: 379 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí $\nu$ je pak \[ \overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n = A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} = A^{-1}[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}]= \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. \] Energii elektromagnetického pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu, \nu+d\nu>$ pak opět spočítáme jako součin (\ref{pocetstavu}) střední hodnoty energie oscilátorů s frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s frekvencemi uvnitř daného intervalu, z čehož dostaneme Planckovu formuli \rf{planck}). \special{src: 393 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp}) spočítaná z takto určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost odpovídá Stefan--Boltzmannovu zákonu. \[ \epsilon(T)= \frac{8\pi}{c^3}h\int_0^\infty\frac{\nu^3} {e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu =\frac{8\pi}{c^3}\frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx=\kappa T^4, \] kde \[ \kappa=\frac{8\pi k^4}{c^3h^3}\frac{\pi^4 }{15}. \] \special{src: 407 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\bf Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa lze odvodit pomocí předpokladu, že {\em energie harmonického oscilátoru s frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskretních hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta. %jejíž experimentálně určená hodnota je $h = 6.62\times 10^{-27}$ erg s. \special{src: 415 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v rozporu s naší zkušeností, neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické oscilátory hluboko pod mezí pozorovacích chyb. \special{src: 422 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u atomů (konkrétně rtuti) v serii pokusů Francka a Hertze v letech 1914--1919 (viz \cite{uhl:uvaf}). \subsection{Fotoefekt} Potvrzením Planckovy hypotézy o kvantovém charakteru energie elektromagnetického pole bylo i Einsteinovo vysvětlení fotoefektu -- emise elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v roce 1903. \special{src: 432 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl Milikan v roce 1916 (viz obr.2). Na fotokatodu zapojenou do elektrického obvodu dopadá monochromatické světlo s frekvencí $\nu$, která se postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole, které vrací elektrony emitované světelným zářením zpět. \begin{figure}[hbtp] %TexCad Options %\grade{\on} %\emlines{\off} %\beziermacro{\off} %\reduce{\on} %\snapping{\on} %\quality{2.00} %\graddiff{0.01} %\snapasp{1} %\zoom{1.00} \unitlength 1mm \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(105.00,85.00) %\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00) \put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}} %\end \put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]} %\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00) \put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}} %\end %\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00) \put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}} %\end \put(100.00,50.00){\circle{10.00}} %\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00) \put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00) \put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}} %\end %\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00) \put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}} %\end %\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00) \put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}} %\end %\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00) \put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00) \put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00) \put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}} %\end %\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00) \put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}} %\end %\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00) \put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00) \put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}} %\end %\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00) \put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}} %\end %\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00) \put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}} %\end %\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00) \put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}} %\end \put(65.00,15.00){\circle{10.00}} %\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00) \put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00) \put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00) \put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}} %\end %\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00) \put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}} \multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00) \put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}} \multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00) \put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}} \multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}} %\end \put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}} \put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}} \put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}} \put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatick\'e‚ sv\v{e}tlo s frekvenc\'i $\nu$ }} \end{picture} \caption{Milikanovo zapojení pro měření fotoefektu} \end{figure} \special{src: 446 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného záření je lineární. \[U_s=\frac{h}{e}(\nu-\nu_0)\] \special{src: 453 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v tom, že v procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum záření -- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou úměrná frekvenci $E=h\nu$. ("...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves wtihout dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.") Kinetická energie emitovaného elektronu je \be E_{kin}=eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{foton}-E_{ion}. \ll{ekine}\ee \special{src: 464 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{ion}/h$, kde $E_{ion}$ je ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází ani při zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$ získávají elektrony energii \rf{ekine}). Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu se shodovala s konstantou určenou ze záření černého tělesa. \special{src: 474 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\bf Závěr:} Existují {\em kvanta světelného záření -- fotony}, která působí v elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie jednoho fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a $h$ je konstanta určená z Planckova vyzařovacího zákona. \bc Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z nich se dostane do oka pozorovatele ve vzdálenosti 10 km? (Poloměr čočky oka je asi 5 mm.) %Kolik fotonů emituje anténa vysílače o výkonu 1 W vysílající %na krátkých vlnách 30 m? \ec \subsection{Comptonův rozptyl} \special{src: 490 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel V roce 1923 provedl A.H. Compton pokus, který měl odhalit, zda se kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn. zda vedle energie mají též definovanou hybnost. V tomto pokusu byl měřen rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v jehož krystalické mříži jsou elektrony relativně volné. \special{src: 498 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \special{src: 501 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce (tj. všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv. tlak světla. V klidové soustavě elektronu pak dojde k emisi záření se stejnou vlnovou délkou a nulovou střední hybností. V laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_e$ a energii $E_e$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu změnu vlnové délky záření \be (\Delta\lambda)_{klas}=\lambda_0\frac{cP_e}{E_e-cP_e} (1-cos\Theta), \ll{compclas}\ee kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny, $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření, $E_e,P_e$ jsou velikost energie a hybnosti elektronu, které s délkou ozařování rostou. } \special{src: 520 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Podívejme se jak bude tento jev %proces %podobná formule probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni chovají jako částice s danou energií a hybností (viz Obr.\ref{fig:compton}). \begin{figure} %TexCad Options %\grade{\on} %\emlines{\off} %\beziermacro{\off} %\reduce{\on} %\snapping{\on} %\quality{2.00} %\graddiff{0.01} %\snapasp{1} %\zoom{1.00} \unitlength 1.00mm \linethickness{0.2pt} \begin{picture}(90.00,50.00) %\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00) \put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}} \put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}} %\end %\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00) \put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end %\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00) \put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}} \multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}} %\end \put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}} \put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}} \put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}} \end{picture} \caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu}\ll{fig:compton} \end{figure} V tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu ("... when an X-ray quantum is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."), při které se celková energie a hybnost zachovává. \be \epsilon_{\nu_0}+m_ec^2=\epsilon_{\nu}+ E_e \ll{zachovanienergie} \ee \be \vec p_{\nu_0}+0=\vec p_{\nu}+\vec p_{e},\ll{zachovani hybnosti} \ee kde \[ \vec p_e=\frac{m_e\vec v_e}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\ \ E_e=\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\] \[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \ |\vec p_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \] a $v_e$ je rychlost odraženého elektronu. Ze zákona zachování hybnosti plyne \[ (\vec p_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2= \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)=\] \[ {\vec p_e}{}^2=\frac{m_e^2v_e^2}{1-v_e^2/c^2}=E_e^2/c^2-m_e^2c^2. \] Použijeme-li ještě zákon zachování energie, pak algebraickými úpravami dostaneme \be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_ec}(1-\cos \Theta), \ll{compton2}\ee což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v závislosti na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu. Veličina $\frac{\hbar}{m_ec}$ se často nazývá {\em Comptonova vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}m$. \special{src: 555 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření velikosti $P_e$, pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na \be \lambda-\lambda_0= \frac{(\lambda_0 P_e+h)c}{\sqrt{m_e^2c^4+P_e^2c^2}-P_ec}(1-\cos \Theta). \ll{compton}\ee Pro $P_e\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli \rf{compclas}). Comptonovy vzorce \rf{compton}) resp. \rf{compton2}) se však experimentálně potvrdily i pro krátkovlné rentgenovské záření. \special{src: 569 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \special{src: 572 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\bf Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou energii, ale i hybnost, jejíž velikost je nepřímo úměrná vlnové délce záření $|\vec p| = h/\lambda$. \bc Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova záření. \ec \bc Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace \[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \] v klidu? \ec \special{src: 586 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \subsection{Shrnutí} \special{src: 590 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt %v předchozích podkapitolách plyne, že v mikrosvětě, tj. při zkoumání atomárních jevů: \begin{enumerate} \item Existují fyzikální objekty -- kvanta, kvantové částice -- %Ztrácí se rozdíl mezi hmotnými objekty a zářením. mající jak vlnový tak částicový charakter. % a chová se podobně jako soubor částic. % a hmotné objekty přestávají mít čistě částicový charakter. \item Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např. energie či momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn. tyto veličiny se mohou měnit pouze o konečné přírustky. %nabývají než se očekávalo \end{enumerate} Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických fyzikálních systémů. \special{src: 612 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z pedagogických důvodů začneme její výklad popisem jedné kvantové částice bez vazeb, jejímž typickým reprezentantem je například elektron. Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u každé fyzikální teorie {\bf se nejedná o odvození %Slovo "odvodíme" v minulém odstavci je přitom třeba chápatnikoliv ve smyslu, na který jsme zvyklí z matematiky, nýbrž o sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, %konstrukci, jejichž správnost musí prověřit experimenty.} Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž postuloval. %další vývoj její správnost prověřil do té %%míry, že na počátku tohoto století byla považována za %neotřesitelné dogma.jí nyní považujeme %a uvěřitelných \subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e} %\input{debrogli.sub} %Strategicko--pedagogický plán této kapitoly je následující: %Z \db ovy hypotézy odvodíme \sv u rovnici pro volnou částici a %postulujeme její zobecnění pro částici v silovém poli. Poté z %matematické formy \sv y \rc e a pravděpodobnostní interpretace %jejích %řešení odvodíme strukturu stavového prostoru. %Pro popis kvantových stavů z %Zavedeme pojem pozorovatelných, jejich spektra a %kompatibility a tyto pojmy pak využijeme k popisu %kvantově--mechanického stavu a fyzikálním předpovědím. \special{src: 640 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Z vysvětlení experimentálních fakt v předchozích kapitolách plyne, že při zkoumání atomárních jevů záření přestává mít čistě vlnový charakter a chová se v některých aspektech jako soubor částic. Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem -- kvantové \cc e -- popisující fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních. \special{src: 649 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Pod vlivem poznatků o duálním částicově--vlnovém charakteru světla De Broglie v roce 1923 usoudil, že tento %částicově--vlnový dualismus je vlastností všech mikroskopických objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např. elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo jako částice, podle toho jaké jevy, v nichž se účastní, zkoumáme. Vyslovil hypotézu, že {\em pro popis jevů na atomární úrovni je třeba přiřadit volným kvantovým částicím s hybností $\vec p$ a energií $E$ -- nikoliv bod fázového prostoru nýbrž rovinou monochromatickou vlnu $\psi_{\vec p,E}$, jejíž frekvence je (stejně jako pro foton) úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti částice, přesněji funkci} \be\mbox{\Large $ \psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $}, \ll{dbvlna}\ee kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar:=h/2\pi=1.054 572\times10^{-34}$ Js. \special{src: 670 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy, %vynikne zejména tehdy, je třeba si uvědomit, že v té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové vlastnosti hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na krystalech. \bc Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10 $\mu$g pohybující se rychlostí zvuku. \ec \bc Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozměrech $1\times 1.5$ m. \ec \bc Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm? \ec \special{src: 688 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií %\db ovy vlny je stejný jako u klasické volné částice $E=\vec{p}^2/2m$ %pro nerelativistický případ či (případně $E=\sqrt{\vec{p}^2c^2+m^2c^4}$ pro kvantum pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna %pro hmotnou částici nesplňuje vlnovou rovnici \rf{vlnrce}), která plyne z teorie elektromagnetického pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje. Tuto \rc i našel v roce 1925 E. Schr\"{o}dinger a nese jeho jméno. %\input{schr_rce.sub} \special{src: 701 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel K odvození \rc e pro \db ovy vlny je nejsnazší vyjít z výše uvedených klasických vztahů mezi energií a hybností, které vlastně představují disperzní relace, a použít identity \be p_i\psi%(\vec{x},t} =-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} \psi, E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps}\ee plynoucí z popisu kvant %vztah mezi hodnotou složek hybnosti a příslušnou \db ovou vlnou. Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu \be \frac{\partial\psi}{\partial t}= -\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^3\frac{p_i^2}{2m}\psi= -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{i=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x_i^2})\psi \ll{srvolna}\ee \special{src: 718 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel E. Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice \be \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee i pro kvantovou částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem $V(\vec{x})$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci takovéto kvantové \cc e se obvykle píše ve tvaru \be\fbox{\LARGE $ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vec{x})\psi $}\ll{sr}\ee a nazývá se {\em Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární operátor na pravé straně \sv y \rc e \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vec{x}) \ll{hamiltonian} \ee se nazývá {\em hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence učebnic kvantové mechaniky, že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.) \special{src: 738 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna}) pro "volnou \qv ou částici" (což může být např. elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není pouze \db ova vlna, ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných. Díky linearitě \sv \rc e je řešením \rf{srvolna}) i lineární superpozice \db ových vln odpovídajících různým hybnostem \be \psi(\vec{x},t)=\int_{\real^3}\tilde\psi(\vec p)e^{\frac{i}{\hbar}(\vec p\vec x-\frac{p^2}{2m}t)}dp^3. \ll{vlnbalik}\ee %$\psi =\psi(x,t)$. %$\psi: {\bf D \->\complex,\ \ \bf D \part To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna}) má jenom některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o její poloze. Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její vlastnosti, např. lokalizovatelnost v určité části prostoru, pak musíme použít jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna. \begin{cvi} Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a vlnová \fc e částice má v čase $t_0$ ("lokalizovaný") tvar \be g(\vec x)=C\exp[-A\vex^2+\vec B\vec x] \ll{mvb}\ee Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y \rc e $\psi(\vec x,t)$, které v čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj. splňuje počáteční podmínku $\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$ %(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}), kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$. \ll{ex:vlnbal} \end{cvi} \bc Nechť $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že \[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \] je řešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním gravitačním poli (Avron-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit? \ec \special{src: 770 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel \subsection{Bornova interpretace vlnové funkce} \special{src: 774 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich význam, neboli problém {\em fyzikální interpretace řešení \sv y \rc e.} \special{src: 781 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Zatímco řešení pohybových rovnic klasické mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný. Problém %jejich interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je rovnicí v komplexním oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce. Podotázkou tohoto problému pak je, zda všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná. \special{src: 794 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho statistická interpretace (Max Born, 1926): %Problém interpretace řešení \sv y \rc e řeší Bornův postulát: \special{src: 801 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel {\bf Řešení \sv y \rc e %obsahuje veškerou informaci udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení částice v různých oblastech prostoru: Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y \rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$ je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v okamžiku $t$ v místě s kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)} \begin{cvi} Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna}) v oblasti $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ? \end{cvi} \begin{cvi}\ll{casvmvb} Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení \be \psi(\vec x,t)=Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}} \chi(t)^{-3/2}\exp\{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}\} \ll{mvbt}\ee \[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \] z příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$? Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem? %Jaká je rychlost rozplývání Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku pro elektron lokalizovaný s přesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotě 1 gram jehož těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m? \ll{ex:pstvb}\end{cvi} {Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice?} Pravděpodobnost nalezení částice v oblasti $O\subset{\bf R}^3$ je úměrná \[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \] %přirozeným způsobem jako %četnost výskytu v oblasti $O$ dělená četností výskytu "kdekoliv" %tj. v ${\bf R^3}$ pak Koeficient úměrnosti je možno nalézt z požadavku, %Je zřejmě přirozené považovat, aby pravděpodobnost nalezení částice "kdekoliv" se rovnala jedné. % takže fyzikální význam mají řešení, pro která platí %\[ =1 \] %Vzhledem k tomu, že množina řešení \sv y \rc e je lineární %prostor, pak Tuto podmínku lze snadno splnit, položíme-li hustotu pravděpodobnosti rovnou \be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1} |\psi(x,y,z,t)|^2, \ll{pst}\ee %vydělením libovolného řešení $\psi$ číslem $1/\sqrt{A(\psi)}$, kde \be A(\psi)=\int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz ,\ll{norma}\ee pokud tento integrál existuje. \special{src: 853 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Fyzikálně snadno interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která splňují \be \int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty.\ll{konecnanorma}\ee Těmi se budeme v následujícím textu zabývat především.