02KVAN:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
 
(Není zobrazeno 12 mezilehlých verzí od 4 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
\section{Popis stavů kvantové částice}\ll{Popisstavu}
+
\chapter{Stavy a pozorovatelné v \qv é mechanice}
 +
\ll{Popisstavu}
  
\sv a \rc e  má v \qv é mechanice stejnou roli jako
+
\sv a \rc e  má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního
Newtonova rovnice v
+
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic,
mechanice klasické, {\bf popisuje časový vývoj fyzikálního
+
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic
+
\qv é mechanice.
odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních
+
rovnic, \sv a \rc e
+
je parciální diferenciální
+
rovnicí. Z tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu
+
stavu v daném okamžiku v klasické a \qv é mechanice.
+
%\input{stav_pro.sub}
+
\subsection{Stavový prostor}
+
{\small Stav klasického systému v daném okamžiku je určen hodnotou
+
všech poloh a rychlostí či  poloh a hybností jednotlivých hmotných bodů.
+
Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových
+
rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
+
  
\special{src: 17 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální
 
rovnicí 1. řádu v čase a %podle Cauchyho věty o řešení PDR
 
%(mezi které \sv a \rc e samoz
 
její řešení %\sv y \rc e (aspoň pro jistý časový interval)
 
je (při daných okrajových podmínkách) určeno volbou
 
počáteční podmínky $\psi (\vec{x},t=t_0)= g(\vec{x})$.
 
tj. funkcí $g$.
 
Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr}) popisuje časový vývoj
 
kvantové částice, %v potenciálu $V$,
 
pak docházíme k závěru, že
 
{\bf okamžitý stav kvantové částice %tohoto fyzikálního systému
 
je určen komplexní funkcí tří proměnných} (Jak zvláštní!). Této
 
funkci se obvykle říká {\em stavová či vlnová funkce částice}.
 
  
\special{src: 33 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na stavové
+
\section{Stavový prostor}
funkce jistá omezení.
+
\ll{stavprost}
Podmínka \rf{konecnanorma}) platí pro
+
libovolný čas $t$ a musíme proto požadovat,
+
aby každá funkce $g(\vec x)$ popisující stav
+
kvantové částice splňovala podmínku ($\vec x\equiv (x,y,z)$)
+
\be \int_{\bf R^3} |g(\vec x)|^2 d^3x <\infty.\ll{konecnanormag}\ee
+
Tyto funkce nazýváme {\em kvadraticky integrovatelné} (na
+
$\real^3$ s mírou $d^3x$). Mimo to funkce $g$ a $Cg$, kde $C$ je libovolné komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
+
\begin{cvi}
+
Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve
+
vzdálenosti $(r,r+dr)$ od jádra, je-li popsán (v čase $t_0$) funkcí
+
\be g(x,y,z)=Ae^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_0},
+
\ll{zsv}\ee
+
kde $a_0=0,53\times10^{-8}$ cm je tzv. Bohrův poloměr vodíku?
+
Viz \cite{kv:qm}.
+
\ll{ex:pstvodat}
+
\end{cvi}
+
  
Díky Minkovského nerovnosti
+
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných
\[ (\int_{\real^3}|f+g|^2d^3x)^{1/2}\leq(\int_{\real^3}|f|^2d^3x)^{1/2}
+
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
+(\int_{\real^3}|g|^2d^3x)^{1/2},\]
+
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}), tvoří kvadraticky integrovatelné funkce
+
lineární prostor.
+
Odtud plyne tzv. {\bf princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: {\em Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1,\ \psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a\psi_1+b\psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}
+
\begin{cvi}
+
Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném
+
prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal})
+
kvadraticky integrovatelná?
+
\ll{ex:hilbspvb}
+
\end{cvi}
+
\begin{cvi}
+
Leží \db ova vlna \rf{dbvlna}) ve výše uvedeném
+
prostoru?
+
\end{cvi}
+
Na lineárním vektorovém prostoru stavových
+
funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma}) je
+
%Později ukážeme, že na tomto prostoru lze však
+
možno zavést ještě
+
bohatší matematickou strukturu, která má pro konstrukci
+
kvantové mechaniky zásadní význam.
+
Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, což
+
pak použijeme k
+
předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv
+
ém sytému v daném stavu.
+
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
+
Více či méně zevrubné poučení o Hilbertových prostorech je možno
+
najít v mnoha učebnicích (viz např. \cite{beh:lokf} a citace tam
+
uvedené). Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme
+
používat v této přednášce.
+
{\small
+
\bd {\em Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru
+
$V$ (ne nutně konečně rozměrném)
+
nazveme zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$
+
splňující
+
\[ F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
+
F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),\]
+
\[F(af,g)=a^*F(f,g),\ F(f,ag)=aF(f,g), \]
+
kde $a\in\complex$ $f,g,h\in V$ a hvězdička znamená komplexní
+
sdružení.
+
\ed
+
{\bf Příklad:}
+
Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na
+
$\real^N$ lze
+
zavést sesquilineární %positivní symetrickou
+
formu předpisem
+
\be F(g_1,g_2)\equiv(g_1,g_2):=
+
\int_{\bf R^N} g_1^*(\vec x)g_2(\vec x)d^Nx.\ll{ss}\ee
+
\bd
+
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$ nazveme {\em
+
symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
+
\be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2}\ee
+
\ed
+
\bc Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen
+
tehdy, když $F(f,f)\in \real$.
+
\ll{symfor}\ec
+
\bd
+
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \complex$ nazveme {\em
+
pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
+
\be F(f,f)\geq 0.\ee
+
Pokud navíc
+
\be F(f,f)=0\Leftrightarrow f=0, \ee
+
pak tuto formu nazveme {\em striktně pozitivní}.
+
\ed
+
Sesquilineární forma \rf{ss}) je pozitivní (a tedy i symetrická).
+
\bt Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$
+
{\em Schwartzovu nerovnost}
+
\be |F(f,g)|^2\leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwartz}\ee
+
Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\complex$
+
tak, že
+
\be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0\ {\rm nebo}\
+
F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn}\ee
+
\et
+
Důkaz: Nechť $f,g\in V$.
+
Pak z pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé
+
$\beta\in\complex$
+
\be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^*
+
F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g)
+
\ll{possesq}\ee
+
Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F(f,g)^*$ dostaneme
+
\rf{schwartz}). Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty
+
komplexního čísla
+
plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část
+
tvrzení($\alpha=0$).
+
  
\special{src: 142 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno
 +
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje
 +
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice v $\R^3$ je určen komplexní funkcí tří
 +
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{vlnová funkce částice}.
  
Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.
+
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na vlnové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas
$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v \rf{possesq}), pak dostaneme
+
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)
nerovnost \rf{schwartz}). Druhou část tvrzení dokážeme takto:
+
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
Nechť platí první rovnost v \rf{schwrovn}).
+
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d^3 x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné nenulové komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
Z nerovnosti
+
\[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
+
pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s \rf{schwartz})
+
dává
+
$|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost platí,
+
pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v \rf{schwrovn}).
+
{\flushright Q.E.D.}
+
} %small
+
\bd Sesquilineární striktně pozitivní forma
+
na komplexním lineárním vektorovém prostoru
+
$V$ se nazývá {\em skalární součin}.
+
Lineární vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá
+
{\em unitární} nebo též {\em pre--hilbertův}.
+
\ed
+
{\bf Příklad:} Na prostoru $\complex^N$ lze zavést skalární součin
+
způsobem
+
\be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn}\ee
+
  
\special{src: 166 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+\dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí
 +
  \be g(x,y,z)=Ae^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}}, \ll{zsv} \ee
 +
  kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.
 +
  \ll{ex:pstvodat}
 +
\ec
  
Ze cvičení \ref{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwartzovy nerovnosti je snadné ukázat, že
+
Díky Minkowského nerovnosti
indukuje na prostoru $V$ normu $||f||:=\sqrt{(f,f)}$
+
\[
a metriku $\rho(f,g):=||f-g||$
+
  \left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2}
 
+
    \leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},
\special{src: 172 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
\bd Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá
+
{\em Hilbertův}.
+
\ed
+
{\bf Příklad:} Prostor $\complex^N$ se skalárním součinem
+
\rf{sscn}) je Hilbertův.
+
 
+
\special{src: 180 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{\small
+
Sesquilineární forma \rf{ss}) na prostoru kvadraticky integrabilních
+
funkcí
+
není striktně pozitivní.
+
Považujeme-li však funkce lišící se na množině míry nula za
+
"stejné", tzn. provedeme-li jistou faktorizaci (viz
+
\cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný
+
obvykle \qintrn, na kterém pak \rf{ss}) definuje
+
skalární součin.
+
V normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor
+
úplný, a tedy Hilbertův.% (viz \cite{beh:lokf}).
+
}%small
+
\\{\bf Příklad:} Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na
+
intervalu $(a,b)\subset\real$, kde $a$ i $b$ mohou být i
+
$\pm\infty$ a
+
\[ (f,g):=\int_a^b f^*(x)g(x)dx \]
+
je Hilbertův.
+
 
+
\special{src: 200 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
V dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi
+
kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami
+
funkcí lišícími se na množině míry nula.
+
Můžeme tedy shrnout, že  {\bf %fyzikálně interpretovatelná řešení
+
funkce \rf{konecnanormag}) popisující stavy kvantové částice
+
tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.
+
\bt [Rieszovo lemma] Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak
+
existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\hil$ takový, že pro všechna
+
$f\in\hil$ platí
+
\[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
+
\et
+
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\hil$
+
je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce
+
%Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
+
$\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv. "bra--ketového formalismu",
+
který je v \qv é \mi ce často používán.
+
 
+
\vskip 1cm Důležitým pojmem v teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv. ortonormální
+
baze.
+
(často ne zcela správně nazývaná ortonormální baze). {\small \bd Vektory $x,y$ v Hilbertově
+
prostoru $\hil$ nazveme {\em ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme
+
{\em ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z
+
množiny $M$ platí $||x||=1$ nazveme ji {\em ortonormální} \ed \bd Vektor $x\in \hil$ nazveme {\em
+
ortogonální k množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
+
nazýváme {\em ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$. \ed Je snadné ukázat, že
+
ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$. \bt Je-li ${\cal G}$ uzavřený
+
podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in{\cal G}$ a $z\in {\cal G}^\perp$, tak
+
že $x=y+z$, t.zn. $\hil={\cal G}\bigoplus{\cal G}^\perp$. \et Důsledkem tohoto tvrzení je existence
+
lineárního operátoru $E_{\cal G}:x\lim y$, který se nazývá {\em ortogonální projektor} na ${\cal G}$.
+
}%small
+
\bd {\em Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový
+
prostor, $B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$. \ed
+
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v obvyklém
+
smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární kombinaci prvků baze.
+
Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako "nekonečnou lineární kombinaci" prvků
+
ortonormální baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ ||f||:=(f,f)$. \\{\bf Příklad:}
+
Nechť $(a,b)$ je omezený interval v $\real,\ c:=b-a,\ m\in \integer$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi
+
imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v prostoru tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$.
+
\bd Nechť $B$ je ortonormální baze v Hilbertově prostoru $\hil$. {\em Fourierovými koeficienty vektoru}
+
$f\in\hil$ {\em pro bazi $B$} nazveme skalární součiny (b,f), kde $b\in B$. \ed
+
 
+
\special{src: 272 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Hilbertovy prostory, se kterými v \qv é \mi ce pracujeme
+
(například \qintspace),
+
%jsou seperabilní a pro ně platí, že
+
mají nejvýše spočetnou
+
ortonormální bazi $B=\{e_j\}$. V takovýchto
+
prostorech platí pro každé $f\in\hil$
+
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp}\ee
+
\be ||f||^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2 \ll{parseval}\ee
+
Tyto vztahy se nazývají {\em Fourierův rozvoj} a {\em Parsevalova
+
rovnost.}
+
 
+
\special{src: 285 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
V kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze,
+
jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.
+
\bc Najděte ortonormální bazi  v $\complex^2$, jejíž prvky jsou
+
vlastními vektory matice
+
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}
+
0&1\\1&0
+
\end{array}
+
\right)
+
 
\]
 
\]
\ec
+
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
Příklady ortonormálních bazí v nekonečně rozměrných Hilbertových
+
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$,
prostorech ukážeme v dalších kapitolách.
+
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná nenulová komplexní čísla.}
%\input{pozorova.sub}
+
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}\ll{pozorovatelne}
+
{\small V klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět
+
výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny
+
(energie, momentu hybnosti, ...) .
+
  
\special{src: 305 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 
+
  Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?
Stav systému (např. jedné či
+
  \ll{ex:hilbspvb}
více částic) je určen
+
bodem {fázového} prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností,
+
podle toho zda používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu
+
formulaci) a
+
fyzikální veličiny -- {\em pozorovatelné} %-- v klasické mechanice je pak možno
+
jsou definovány jako reálné funkce na fázovém prostoru. %Víme též, že t
+
%Tento  popis %stavu soustavy hmotných bodů,
+
% je {úplný}, neboť h
+
Hodnotu každé mechanické veličiny
+
%můžeme vypočítat ze znalosti
+
pro systém v daném stavu dostaneme
+
vyhodnocením příslušné funkce v odpovídajícím
+
bodu fázového prostoru.
+
Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je
+
dáno oborem hodnot této funkce.
+
Např. kinetická energie stavu $(\vec p,\vec q)$ je
+
\[ E_{kin}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
+
a její spektrum je $\real_+$.
+
 
+
\special{src: 327 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{Tento popis je nezávislý na dynamice} tj. na časovém vývoji systému
+
a je
+
tak názorný, že se mu v klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
+
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak
+
podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis
+
těchže kinematických pojmů v kvantové mechanice.
+
%Výše uvedená fakta lze pak shrnout např. tak, že stav
+
%klasického mechanického systému lze popsat bodem
+
%soustavy $N$ hmotných bodů bez vazeb je popsán bodem
+
%$6N$-rozměrného --
+
%, který je určen okamžitou hodnotou
+
%všech poloh a hybností jednotlivých hmotných bodů.
+
}
+
 
+
\special{src: 343 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Otázka, na kterou chceme odpovědět v tomto paragrafu zní:
+
%, je třeba napřed znát odpověď na druhou otázku:
+
{Jaké matematické objekty přiřadíme v \qv é \mi ce
+
pozorovatelným?}
+
{Jak bylo konstatováno v minulém paragrafu, { stavový prostor
+
kvantové částice} je %lineární prostor
+
množina kvadraticky integrabilních funkcí
+
tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným přiřazovali funkce na
+
tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou
+
teorii pole, která se pro náš cíl -- popis objektů mikrosvěta --
+
ukázala neadekvátní.}
+
Místo toho {\bf kvantová %mechanika
+
teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené
+
lineární operátory na %stavovém
+
prostoru stavových funkcí}. Způsob
+
přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán
+
fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
+
experimentálním ověřováním  %kvantové
+
teorie.
+
 
+
\special{src: 365 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Pro sledování analogií s klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti.
+
V kvantové mechanice hmotné částice je {\bf kartézským složkám polohy částice
+
přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
+
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$}
+
\ll{xoper}\ee
+
a {\bf kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální
+
derivace}
+
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial
+
x_j}(\vec x)$}
+
\ll{poper}\ee
+
Definici operátoru hybnosti už jsme de
+
facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna})
+
z \db ovy hypotézy.
+
 
+
\special{src: 381 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Existuje mnoho zdůvodnění %tohoto
+
přiřazení \rf{xoper},\ref{poper}).
+
%která zatím pomineme. Poznamenejme pouze, že v
+
V každém z nich je však třeba vyslovit nějaké
+
předpoklady, které jsou více či méně ekvivalentní
+
\rf{xoper},\ref{poper}).
+
 
+
\special{src: 390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících
+
klasickou analogii jsou
+
konstruovány podle {\em principu korespondence}, tzn. jsou
+
formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako
+
odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v klasickém
+
případě. Např.
+
operátor celkové energie částice v silovém poli potenciálu $V$ je
+
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) =
+
-\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \]
+
kde $\triangle=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$.
+
 
+
\special{src: 403 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti.
+
 
\ec
 
\ec
Vzhledem k tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor,
 
důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich
 
definičních oborů, což je obecně dosti delikátní problém.
 
Je samozřejmě nutné, aby příslušné
 
operace byly na funkcích z definičního oboru
 
definovány a jejich výsledek ležel v \qintspace {}
 
(takže například funkce z definičního
 
oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné
 
a  derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
 
%plynou z následujícího
 
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že
 
%Základní předpoklad pro \oper y odpovídající fyzikálním veličinám zní:
 
{\bf spektrum lineárního operátoru přiřazeného
 
fyzikální veličině musí být shodné s množinou hodnot, které lze
 
pro danou veličinu naměřit}.%, přičemž
 
  
\special{src: 423 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 
+
  Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?
Problémů s definičními obory operátorů se v tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v následující vsuvce.
+
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např. na \cite{beh:lokf}.
+
\bc\ll{nekpoja} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě", tj. v potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
+
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
+
\ec
+
\bc Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní  potenciálové jámě tj. v potenciálu $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
+
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \real$.
+
 
\ec
 
\ec
  
\special{src: 434 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Na lineárním vektorovém prostoru vlnových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou
 +
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův,
 +
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
  
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v Hilbertově
 
prostoru}
 
Teorie operátorů v Hilbertově prostoru je téma
 
samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat
 
obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. Shrneme zde pouze
 
nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
 
  
\special{src: 443 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Pod lineárním operátorem v Hilbertově prostoru $\hil$ budeme
 
rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde
 
definiční obor $D_T$ je lineární podprostor $\hil$.
 
Je-li Hilbertův prostor %je lineární vektorový prostor. Je-li
 
konečně
 
rozměrný pak teorie lineárních zobrazení je relativně jednoduchá
 
a redukuje se na teorii matic.
 
V \qv é teorii se však vyskytují především  nekonečně rozměrné
 
prostory, což přináší mnoho technických problémů.
 
% pro teorii lineárních operátorů.
 
Některé z nich lze řešit, pokud budeme používat pouze
 
%Budeme se zabývat výhradně tzv.
 
{\em hustě definované}
 
operátory, tj. takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, kde pruh
 
značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou
 
$\hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
 
  
\special{src: 462 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\section{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
 
+
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené).
 
+
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
\special{src: 465 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
{\small
 
+
\bd
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako
+
  \textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení
operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
+
  $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
\bd Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je {\em omezený},
+
  \[
pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí
+
    F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
\[ ||\hat B g||\leq c||g|| \]
+
    F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),
 +
  \]
 +
  \[
 +
    F(\alpha f,g)=\alpha^*F(f,g),\ F(f,\alpha g)=\alpha F(f,g),
 +
  \]
 +
  kde $\alpha\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička značí komplexní sdružení.
 
\ed
 
\ed
  
\special{src: 474 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\noindent \bp
 
+
Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
Normou $||g||$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním
+
\be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee
součinem $||g||:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze spojitě
+
\ep
rozšířit na celé $\hil$.
+
\\ \pri Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice
+
vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\cap L^1(\real^3,dx^3)$. Pro
+
ostatní funkce je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}}
+
\[ \tilde g(\vec p)\equiv(\hat F g)(\vec p):=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\real^3}
+
e^{-i\vec p\vec x}g(\vec x)dx^3                                \]
+
je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
+
 
+
\special{src: 486 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
  
 
\bd
 
\bd
Nechť $\hat B$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat B^\dagger $
+
  Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
nazveme {\em sdruženým k} $\hat B$, pokud pro všechna $f,g\in\hil$
+
  \be F(g,f)=[F(f,g)]^*\overset{ozn.}{=}F^*(f,g) \ll{ss2} \ee
\[ (f,\hat Bg)=(\hat B^\dagger f,g) \]
+
 
\ed
 
\ed
Z Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k danému omezenému
+
 
operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
+
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol}\ee
+
Omezené operátory na $\hil$ tvoří komplexní algebru a platí
+
\be (a\hat B +\hat C)^\dagger =a^*\hat B^\dagger +\hat C^\dagger ,\ \ (\hat B\hat
+
C)^\dagger =\hat C^\dagger \hat B^\dagger . \ll{algop}\ee
+
 
\bc
 
\bc
Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu
+
  Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.
operátoru $\hat M$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice
+
  \ll{symfor}
odpovídá operátoru $\hat M^\dagger$?
+
 
\ec
 
\ec
\bd Operátor $\hat B$ na $\hil$ nazýváme {\em hermitovský}, pokud je
+
 
omezený a platí $\hat B^\dagger =\hat B$.
+
\bd
 +
  Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
 +
  \be F(f,f) \geq 0. \ee
 +
  Pokud navíc
 +
  \be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee
 +
  pak tuto formu nazveme \textbf{pozitivně definitní}, resp. striktně pozitivní.
 
\ed
 
\ed
\pri Operátor $\hat Q$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde
 
$b-a<\infty$,
 
definovaný
 
\[ (\hat Q f)(x):=xf(x) \]
 
je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat Q$ není omezený.)
 
\bt Operátor $\hat E$ je ortogonální projektor (na $Ran\ \hat E$)
 
právě tehdy, když je hermitovský a
 
splňuje $\hat E^2=\hat E$.
 
\et
 
  
\special{src: 517 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep
  
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě
+
\bt
definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich definice vychází z následujícího faktu:
+
  Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}
 +
  \be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee
 +
  Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že
 +
  \be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee
  
\special{src: 522 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
  \begin{proof}
 +
    Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
 +
    \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
 +
    Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního
 +
    čísla plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
  
\bt Je-li $\hat T$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro
+
    Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak
každé $f\in\hil$ existuje {\em nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové,
+
    dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti
že pro všechna $g\in D_T$ platí
+
    \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
\be (f,\hat Tg)=(h,g) \ll{sad1}\ee
+
    pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost
 +
    platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.
 +
  \end{proof}
 
\et
 
\et
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
+
} %konec prostředí \small
\bd Nechť $\hat T$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor
+
 
operátoru $\hat T^\dagger $ {\em sdruženého k} $\hat T$ je množina všech
+
\bd
$f\in\hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}), přičemž $\hat T^\dagger f:=h$
+
  Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární
\ed
+
  vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.
\bd Operátor $\hat T$ je {\em samosdružený}, pokud je hustě
+
definovaný a $\hat T=\hat T^\dagger $.
+
 
\ed
 
\ed
  
\special{src: 538 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bp
 +
  Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
 +
  \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
 +
\ep
  
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
+
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru
 +
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$
  
\special{src: 542 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bd
 
+
  Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.
\bd Operátor $\hat S$ je {\em symetrický}, pokud je hustě
+
definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat Sg)=(\hat Sf,g) $, tj.
+
$D_S\subset D_{S^\dagger}$.
+
 
\ed
 
\ed
  
\special{src: 549 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep
  
Je zřejmé, že každý hermitovský operátor je samosdružený; opak
+
{\small
neplatí.
+
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na
\\ \pri Operátor $\hat Q, (\hat Q\psi)(x):=x\psi(x)$
+
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle
s definičním oborem $D_X:=\{\psi\in
+
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).
L^2(\real,dx):\int_\real x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ je samosdružený.
+
}%small
  
\special{src: 557 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bp
 +
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$, tj. $L^2((a,b),\dx)\overset{ozn.}{=}L^2(a,b)$ se skalárním součinem
 +
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)\dx \]
 +
je Hilbertův.
 +
\ep
  
Doplníme-li definici \rf{poper}) operátoru $\hat P_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené (viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
+
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry
 +
nula. Můžeme tedy shrnout, že  \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice v $\R^3$ tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor $\mathcal{H} = L^2(\R^3,\d^3x)$}.
  
\special{src: 561 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bt [Rieszovo lemma]
 +
  Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\Hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\Hil$ takový, že pro všechna $f\in\Hil$ platí
 +
  \[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
 +
\et
 +
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
 +
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán, a se kterým se podrobněji seznámíme v kapitole \ref{kets}.
  
Hustě definované operátory
+
\vskip 1cm
netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy
+
\rf{algop}) musí být proto pro neomezené operátory
+
náležitě modifikovány, stejně jako i \rf{invol}).
+
  
\special{src: 568 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze.
 
+
{\small
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru,
+
což je rozšíření
+
pojmu vlastních hodnot matice.
+
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
+
%definovat pouze pro tzv. uzavřené operátory.
+
%\bd {\em Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
+
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \]
+
%Operátor $\hat T$ je {\em uzavřený},
+
%pokud jeho graf je uzavřená množina v $\hil\times\hil$.
+
%\ed
+
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
+
%celá komplexní rovina.
+
 
\bd
 
\bd
{\em Spektrum $\sigma(\hat T)$ %uzavřeného
+
  Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme
operátoru} $\hat T$ je množina
+
  \textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme
komplexních čísel $\lambda $ pro které operátor $(\hat
+
  ji \textbf{ortonormální}.
T-\lambda\hat\unit)$ není bijekcí $D_T\lim\hil$.
+
 
\ed
 
\ed
 
+
\bd
\special{src: 589 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
  Vektor $x\in \Hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \Hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
 
+
  nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna
+
\ed
vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$
+
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.
takový, že $\hat T\psi=\lambda \psi$, pak operátor $\hat
+
T-\lambda\hat\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat T)$ vlastních čísel
+
operátoru $\hat T$ nazýváme {\em bodovým spektrem}.
+
Mimo těchto bodů však do spektra
+
patří i komplexní čísla pro která operátor $\hat T - \lambda\hat\unit
+
$
+
není surjektivní. Ty tvoří
+
body tzv. {\em spojité či  reziduální části spektra}.
+
 
+
{\bf Důvod, proč v kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly
+
přiřazeny samosdružené operátory tkví v tom, že platí
+
 
\bt
 
\bt
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\real$.
+
  Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že
 +
  $x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).
 
\et
 
\et
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty
+
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.
pozorovatelných.
+
}%small
}
+
\bd
 +
  \textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.
 +
\ed
 +
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární
 +
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální
 +
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.
  
\special{src: 612 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bp
 +
  Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.
 +
\ep
  
Spektrum (čistě spojité) každého z operátorů \rf{xoper},\ref{poper})
+
\bd
je {\bf R}
+
  Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme
(viz \cite{beh:lokf}),
+
  skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.
což odpovídá experimentálnímu faktu, že ani pro \qv ou částici
+
\ed
%je možno v principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
+
%hybnosti částice.
+
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.
+
  
\special{src: 622 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), jsou {\bf separabilní} - mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^\infty$. V~takovýchto prostorech platí pro každé $f\in\Hil$
 +
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee
 +
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee
 +
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}  
  
Na druhé straně  jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle
+
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité
+
zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v silovém poli harmonického oscilátoru.
+
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}\ll{qho}
+
Ukážeme, že přiřazení
+
\rf{xoper},\ref{poper}) a princip korespondence  vysvětlují
+
Planckův předpoklad o diskrétnosti spektra energie harmonického
+
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz \ref{podkap:coulomb} ) jeden z hlavních argumentů pro správnost
+
takto budované teorie.
+
Operátor energie -- hamiltonián
+
\qv é částice pohybující se v silovém poli harmonického
+
oscilátoru je podle principu korespondence
+
\be \hat H
+
= -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + \frac{M}{2}\omega^2 \vec{x}^2.
+
\ll{lho3}\ee
+
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na
+
kvadraticky integrovatelné funkce,
+
%splňující podmínku \rf{konecnanorma}),
+
pak množina vlastních hodnot
+
, tj. čísel $\lambda$ pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$
+
splňující
+
\be \hat H\psi=\lambda\psi, \ll{vlfce}\ee
+
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.
+
  
\special{src: 648 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 
+
  Najděte ortonormální bázi v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice
Operátor \rf{lho3}) je součtem tří operátorů \[\hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3,\]
+
  \[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]
\[H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \] a můžeme se pokusit hledat
+
vlastní funkce operátoru \rf{lho3}) ve faktorizovaném tvaru \be \psi(\vec
+
x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi}\ee Rovnice \rf{vlfce}) pak přejde na tvar \be (\hat
+
H_1\psi_1)\psi_2 \psi_3+\psi_1(\hat H_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat
+
H_3\psi_3)=\lambda\psi_1\psi_2\psi_3. \ll{rozkladH}\ee Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ %a vlastní
+
funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$ \[ \hat H_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \] pak získáme i vlastní
+
čísla operátoru \rf{lho3}) \be \lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \ee Později ukážeme, že tímto postupem
+
jsme získali všechna vlastní čísla.
+
 
+
\special{src: 668 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
%Spektrum tohoto operátoru vyšetříme v . Nyní se omezíme na
+
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy %nalezení vlast
+
operátor
+
\be \fbox{\Large$\hat H
+
= -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ .
+
\ll{lho1}\ee
+
  Tento operátor lze považovat za operátor energie {\em
+
jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj. kvantové \cc e
+
pohybující se pouze v jednom rozměru (na přímce).
+
 
+
\special{src: 680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
\begin{tvr} Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1})
+
působícího v prostoru %$\cal L^2(\bf R,dx)$
+
kvadraticky integrovatelných %spojitých
+
funkcí jedné proměnné %je čistě bodové a
+
je tvořena reálnými čísly \fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\bf
+
Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu
+
právě jedna vlastní funkce
+
\be \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $}\ee
+
kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou {\em Hermitovy
+
polynomy}
+
\be H_n(z):=
+
\sum_{k=0}^{[n/2]}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},
+
\ll{herpoldef}\ee
+
kde $[r]$ je celá část reálného čísla $r$.
+
\ll{slho}\end{tvr}
+
Důkaz:
+
%Bodové spektrum operátoru \rf{lho1}) je tvořeno
+
Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky
+
integrabilní řešení $\psi: \real\rightarrow\complex$ diferenciální rovnice
+
\be %\hat H\psi=
+
-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2
+
{x}^2\psi=\lambda\psi.
+
\ll{eqlho1}\ee
+
Tato rovnice je lineární ODR 2.řádu a v oboru spojitě
+
diferencovatelných funkcí má řešení pro každé
+
$\lambda$.
+
Ukážeme, že podmínka kvadratické integrability je splněna jen pro
+
\be \lambda=\hbar \omega(n+\half). \ll{hokvan}\ee
+
%Pro zjednodušení zápisu
+
Přechodem k nové (bezrozměrné) proměnné
+
$\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x,\ \psi(x)=\phi(\xi)$ dostaneme
+
rovnici ve tvaru
+
\be \phi"-\xi^2\phi+\Lambda\phi=0 \ll{hobezr}\ee
+
kde $\Lambda=2\lambda/(\hbar\omega)$.
+
 
+
\special{src: 717 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Z teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný
+
bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr}) singularitu,
+
je nekonečno.
+
Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\lim\pm\infty$
+
se řešení této rovnice chová jako
+
\be \phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}%(const+O(\xi))
+
.\ll{rozphi}\ee
+
Je zřejmé, že
+
kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle
+
ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v exponentě
+
\rf{rozphi}). Zvolíme tedy ansatz
+
\be \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi) \ll{hoansatz}\ee
+
a budeme se zajímat o řešení rovnice
+
\be u"=2\xi u' +(1-\Lambda)u \ll{hermrce}\ee
+
která v nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.
+
 
+
\special{src: 735 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce}) do
+
komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi,u$
+
a $u'$ a její řešení je holomorfní funkcí $\xi$ v celé komplexní
+
rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady
+
\be u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\
+
s\in\integer_+ \ll{radau}\ee
+
Jejím dosazením do \rf{hermrce}) a porovnáním členů se stejnou
+
mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$
+
\[ s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0 \]
+
\be a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m
+
\ll{rran}\ee
+
 
+
\special{src: 749 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
%Neboť rekurentní relace \rf/rran/((0
+
Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran}) je nenulový pro všechna
+
$m$, pak se řada \rf{radau}) pro $\xi\lim\infty$ chová jako
+
$exp(\xi^2)$ a řešení \rc e \rf{hobezr}) není kvadraticky
+
integrovatelné. To lze usoudit např. z porovnání rekurentní formule (\ref{rran}) pro dosti velká $m$ se stejným vztahem pro koeficienty řady $exp(\xi^2)$.
+
Kvadraticky integrovatelná řešení mohou
+
existovat pouze tehdy, pokud řada (\ref{radau}) je konečná, tj. existuje $N$ takové, že $a_m=0$ pro
+
$m>N$. To nastane tehdy  a jen tehdy, když
+
\be a_1=0, \ 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \ N \ \mathrm{ sude \ nezaporne}.\ll{kvantlam} \ee
+
V tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce
+
\rf{hoansatz}) je kvadraticky integrovatelná.
+
 
+
\special{src: 763 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Z podmínky \rf{kvantlam}) plyne, že \rc e \rf{hermrce}) má
+
kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud
+
$ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1}) má kvadraticky
+
integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}).
+
 
+
\special{src: 770 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$
+
\be H_n(\xi)=\sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol}\ee
+
jež řeší rovnici \rf{hermrce}) jsou pak určeny rekurentní relací
+
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m,
+
\ll{rrherpol}\ee
+
přičemž pro sudá či lichá  $n$ (tj. $s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se
+
sudým respektive lichým $m$.
+
 
+
\special{src: 780 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak
+
řešením relace \rf{rrherpol}) je
+
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\
+
k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee
+
%Polynomy \rf{herpol}) se nazývají{\em Hermitovy}.
+
{\flushright Q.E.D.}
+
\bc Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.
+
\ec
+
\bc Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
+
\be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee
+
Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2}) splňuje rovnici
+
\rf{hermrce}).
+
\ec
+
\bc \ll{cvvytvfce}Ukažte, že
+
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp[x^2-(x-\xi)^2] \]
+
 
\ec
 
\ec
  
\special{src: 799 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Obecně můžeme shrnout popis možných stavů kvantové částice do následujícího postulátu:
  
Důsledkem tvrzení \rf{slho}) je, že
+
\begin{post}
energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s
+
Stavový prostor kvantové částice je separabilní Hilbertův prostor $\mathcal{H}$. Stav kvantové částice je popsán nenulovým vektorem $\psi\in\mathcal{H}$.
potenciálem $V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může
+
\end{post}
nabývat  pouze hodnot z diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$,
+
\ $n\in {\bf Z_+}\}$.
+
  
\special{src: 807 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
{Striktně vzato stavu kvantové částice odpovídá paprsek, tj. jednorozměrný podprostor v $\mathcal{H}$ (viz. postulát q1-b v \cite{beh:lokf}). Každý paprsek je ale jednoznačně určen nějakým nenulovým vektorem $\psi$. Vzhledem k pravděpodobnostní intrepretaci stavu v kvantové mechanice budeme (až na vyjímky, kde to explicitně zmíníme) uvažovat normalizované vektory, tj. $\|\psi\|=1$.}
  
Tento závěr je ve shodě s Planckovou hypotézou použitou pro
+
Volba Hilbertova prostoru závisí na konkretním problému. Budeme ji provádět "intuitivně", např. pro částici v prostoru je přirozené zvolit $\mathcal{H} = L^2(\R^3,d^3x)$, protože pak můžeme přímo interpretovat vlnové funkce $\psi(\vec{x})\in\mathcal{H}$ jako amplitudy pravděpodobnosti nalezení částice v daném bodě prostoru. Analogicky, pro částici na přímce (např. lineární harmonický oscilátor) volíme $\mathcal{H} = L^2(\R,dx)$. V některých případech bude mít Hilbertův prostor konečnou dimenzi, např. pro spin $\frac{1}{2}$, který má dva jednoznačně rozlišitelné stavy (spin nahoru/dolů do pevně zvoleného směru), je $\mathcal{H} = \C^2$.
odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého
+
tělesa až na člen $\half\hbar\omega$, představující tzv. "nulové
+
kmity". Jeho příspěvek k energii je možno považovat za aditivní
+
konstantu, kterou (ve shodě s tzv. renormalizační procedurou
+
kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně
+
energie.
+
\bc Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky 1 m a hmotnosti 1 kg.
+
\ec
+
  
\special{src: 819 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Nyní se můžeme vrátit k původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}). Z rozkladu \rf{rozkladH})
+
\section{Pozorovatelné a jejich spektra}
je zřejmé, že funkce \be \psi(x_1,x_2,x_3)=\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3),
+
\ll{pozorovatelne}
\ll{rozkladvlfci}\ee kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}), jsou vlastními \fc emi \oper u
+
\rf{lho3}) s vlastními čísly $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.
+
  
\special{src: 831 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie,
 +
momentu hybnosti,...). Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda
 +
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné
 +
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím bodu fázového prostoru. Možné hodnoty, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit, jsou dány oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie
 +
stavu $(\vec p,\vec q)$ je
 +
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
 +
a její obor hodnot je $\Rp$.
  
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To
+
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
plyne z následujících dvou tvrzení (viz např \cite{beh:lokf} 4.3.4, 4.3.5).
+
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických
\bt \ll{tr38}
+
pojmů v~kvantové mechanice.
Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1})
+
\be \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}
+
x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x),  \ \
+
K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
+
\ll{nvlfcelho}\ee
+
je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky
+
integrovatelných funkcí \qintline.
+
\et
+
  
\special{src: 845 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno
 +
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným
 +
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů
 +
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru
 +
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
 +
experimentálním ověřováním teorie.
  
\bt \ll{tr39}
+
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice v $\R^3$ je
Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}),
+
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho})
+
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee
je ortonormální bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky
+
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}
integrovatelných funkcí \qintspace.
+
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vex):=-i\hbar\dfrac{\pd\psi}{\pd x_j}(\vex)$} \ll{poper} \ee
\et
+
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.
Pro \fc e (\ref{nvlfcelho}) a (\ref{rozkladvlfci}) se často používá ketové značení $\psi_n\equiv |\,n>,\ \psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3}\equiv |\,n_1n_2n_3>$.
+
  
\special{src: 855 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně
 +
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.
  
Z tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1}) a
+
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence},
\rf{lho3}) jsou čistě bodová (\cite{beh:lokf} 7.3.9). Nejsou však stejná.
+
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1}) -- operátoru energie
+
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
jednorozměrného harmonického oscilátoru -- se liší od spektra
+
\[ E(\hat Q_j,\hat P_j) =  -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]
trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega$.
+
kde $\lapl=\sum\limits_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.
  
\special{src: 863 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec
  
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor
+
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů,
každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na
+
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich
multiplikativní konstantu, %-- jednorozměrný podprostor,
+
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) diferencovatelné a jejich derivace musí být kvadraticky integrabilní). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních
+
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot,
funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních
+
které lze pro danou veličinu naměřit}.
funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem
+
$\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí
+
\rf{rozkladvlfci}), kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot
+
$(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$.
+
Rozměr tohoto podprostoru je šest. Jednoduchou
+
kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr
+
podprostoru vlastních
+
funkcí operátoru \rf{lho3}) s vlastním číslem
+
$\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$.
+
  
\special{src: 880 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.
 
+
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.
Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá {\em základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají {\em excitované}.
+
\bc
\bc Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?
+
  \ll{nekpoja}
 +
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě},
 +
  tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
 +
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
 
\ec
 
\ec
\bc Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
 
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \]
 
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í (\ref{nvlfcelho}).
 
\ec
 
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}\ll{Slmomhyb}
 
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou
 
složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim
 
odpovídají operátory
 
\be \hat L_j =\epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l=
 
-i\hbar\epsilon_{jkl}x_k
 
\frac{\partial}{\partial x_l}.
 
\ll{momhyb}\ee
 
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší
 
přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$
 
\be x=r\sin \theta \cos\phi,\ y=r\sin \theta \sin\phi,\ z=r\cos \theta
 
\ll{sfersource}\ee
 
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess}\ee
 
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\
 
\hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích?
 
\ec
 
Operátory $\hat L_j$ mají  ve sférických souřadnicích tvar
 
\be \hat L_x= i\hbar (\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}
 
+\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta})
 
\ll{lx}\ee
 
\be \hat L_y= i\hbar(\sin\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}
 
-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta})
 
\ll{ly}\ee
 
\be \hat L_z= -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}.\ll{lz}\ee
 
Vzhledem k tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i
 
všechny operátory $L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky
 
nejjednodušší však je hledat spektrum operátoru $L_z$, neboť to
 
znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici
 
\be -ih \frac{\partial}{\partial\phi}\Psi(r,\theta,\phi)=
 
\lambda\Psi(r,\theta,\phi).\ee
 
Její řešení je
 
\be
 
\psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},
 
\ee
 
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. %Vzhledem k tomu že
 
Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen %(absolutně)
 
spojitými funkcemi v $\real^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a
 
$\phi$ je
 
azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru.
 
%předpokládáme, že vlnová funkce je v prostoru spojitá,
 
Musí tedy platit
 
\[ \psi(r,\theta,\phi=0)=\psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]
 
Z této podmínky plyne, {\em že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti
 
mohou nabývat pouze hodnot}
 
\be \lambda=  m\hbar, {\rm kde}\ m\in\integer. \ee
 
\bc "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
 
\ec
 
\subsection{Stav kvantového systému}
 
V analogii s klasickou mechanikou by
 
přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice,
 
např. elektronu, bylo zjistit, jakou komplexní funkcí
 
popsat stav s danou polohou a hybností. Ač se to na první
 
pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící
 
zdravému rozumu (ve skutečnosti  však pouze naší makroskopické
 
zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje.
 
Důvod je
 
zhruba řečeno ten, že měření hybnosti změní podstatně polohu \qv
 
é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např. experimentálně potvrzené difrakci elektronů).
 
 
\special{src: 948 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo
 
jiné v
 
odpovědi na otázku:
 
{Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?}
 
Stavem fyzikálního systému pak obecně %charakterizovat
 
budeme nazývat soubor hodnot všech
 
měření, která jsme na daném systému v daném okamžiku schopni
 
provést a
 
otázka, kterou  chceme zodpovědět v této podkapitole zní:
 
{\bf Jakou vlnovou %počáteční
 
\fc  i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.
 
elektronu v atomu vodíku), {\bf který je v daném okamžiku v
 
nějakém stavu?}
 
 
\special{src: 964 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
V příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v
 
odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému
 
oscilátoru s energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci
 
$\psi_n(x)$.
 
To je v souladu s následujícím postulátem \qv é \mi ky:
 
 
\special{src: 972 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
{\bf Stav \qv é částice, pro kterou naměříme %-li pro kvantový systém
 
hodnotu $\alpha$ %fyzikální veličiny
 
pozorovatelné $A$ %, pak stav tohoto systému popíšeme
 
je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní
 
funkcí operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}
 
\be \hat A g_\alpha=\alpha g_\alpha. \ll{vlfcea}\ee
 
 
\special{src: 981 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\begin{cvi}
 
%Jakou vlnovou \fc i přiřadíme jednorozměrnému operátoru s energií
 
%$\hbar\omega(n+\half)$ ? %
 
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru
 
s energií $\hbar\omega(n+\half)$ v
 
bodě $x$ ? Spočítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,...$ a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě.
 
\end{cvi}
 
V případě jednorozměrného harmonického oscilátoru % příkladu \ref{vflho}
 
jsou vlnové funkce určeny %energií stavu
 
jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu,
 
která nemá při jejich interpretaci žádný význam).
 
%kterou lze určit z normovací podmínky analogické \rf{k}) ).
 
%vlastní funkce operátoru \rf{lho1} tvoří jednorozměrný podprostor
 
To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru
 
jsou jednoznačně určeny svou energií.
 
{\small \begin {cvi}
 
% (poznamenejme, že u
 
Je stav klasické
 
částice na přímce určen energií jednoznačně?
 
\end{cvi} }
 
% k stavu -- bodu fázového prostoru nestačí).
 
 
\special{src: 1005 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více
 
fyzikálních veličin.
 
Při jejich výběru %fyzikálních veličin $(A_1\ldots,A_K)$
 
%charakterizujících stav kvantové částice
 
je však třeba být opatrnější než u částice klasické.
 
Je představitelné, že i
 
minimální interakce mikroobjektu s přístroji nutná pro měření
 
může změnit jeho stav, který byl vyhodnocen z měření předchozích.
 
Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v jakém měření
 
jednotlivých veličin provedeme, což je z hlediska popisu stavu nepřípustné.
 
%a je proto pochopitelné, že
 
%měřitelným veličinám jsou v \qv é mechanice
 
%přiřazeny operátory, při
 
%jejichž násobení záleží na pořadí.
 
%Jak bylo konstatováno v paragrafu ref{pozorovatelne},  na \qv ém %systému
 
%obecně nelze provést měření různých fyzikálních veličin,
 
%aniž by výsledek jednoho % měření
 
%neznehodnotil platnost měření předcházejících.
 
 
\special{src: 1026 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Pro {\em experimentální popis} stavu \qv ého systému
 
je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze %na daném stavu
 
provést, aniž by výsledek jednoho % měření
 
znehodnotil platnost měření %předcházejících
 
ostatních. Fyzikální veličiny -- pozorovatelné, pro které
 
je toto splněno nazýváme {\em kompatibilní}.
 
Jejich výsledky
 
provedené v jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů)
 
lze pak použít k definici stavu.
 
 
\special{src: 1038 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
{\small V klasické mechanice pojem kompatibility měření  prakticky neexistuje,
 
předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných k
 
určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární
 
úrovni a menší tomu tak být nemusí.}
 
 
\special{src: 1045 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze
 
ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných je
 
ekvivalentní tomu, %Z tohoto požadavku plyne,
 
že {\bf operátory $\hat A_j$ přiřazené
 
kompatibilním fyzikálním veličinám  $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně
 
komutují                          }
 
\be [\hat A_j,\hat A_k]=0. \ll{komop}\ee
 
Pro operátory s čistě bodovými spektry plyne z této podmínky existence
 
ortonormální baze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů
 
$(\hat A_1\ldots,\hat  A_K)$.
 
 
\special{src: 1058 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých
 
pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice
 
přiřadíme \oper y \rf{xoper}) a \rf{poper}), pak docházíme k
 
závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v jednom směru jsou
 
nekompatibilní, neboť
 
\begin{equation}{\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k]=i\hbar\delta_{jk}. $}}
 
\ll{xpcom}\ee
 
To je mimo jiné důvod, proč v \qv é mechanice
 
neexistuje obdoba klasického stavu částice
 
-- stav s danou polohou a hybností. Z relací neurčitosti se
 
dovíme, že každý \qv ý stav zaujímá "fázový objem"
 
alespoň $(2\pi\hbar)^3$.
 
\bc Jsou kompatibilní složky polohy v různých směrech?
 
\ec
 
\bc Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v různých směrech?
 
\ec
 
 
\special{src: 1076 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy  jednu vlastní hodnotu
 
operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí.
 
Příkladem jsou například \fc e \rf{rozkladvlfci}), které jsou
 
vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3}) pro tutéž
 
hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega,\ n=n_1+n_2+n_3$, ale pro
 
různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé.
 
V takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné
 
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$,
 
výsledky jejichž měření mohou  rozlišit, kterou funkci (opět až
 
na konstantu) máme přiřadit danému stavu. Pozorovatelné
 
$(A_2,\ldots,A_K)$
 
musí být kompatibilní s pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme
 
použili k částečnému určení (k zúžení prostoru kandidátů na) vlnové
 
funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.
 
 
\special{src: 1093 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj. souboru výsledků
 
měření kompatibilních fyzikálních veličin %$(A_1\ldots,A_K)$
 
se řídí požadavkem:
 
{\bf Vlnová  funkce, která popisuje stav určený hodnotami
 
$(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$
 
měření {\em kompatibilních} fyzikálních veličin
 
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím
 
\be \hat A_i g=\alpha_i  g,\hskip 1cm  i=1,\ldots,K. \ll{spvv}\ee
 
Znamená to tedy, že musí být {\em společnou} vlastní funkcí {\em komutujících} operátorů
 
$\hat A_i$.}
 
 
\special{src: 1106 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme
 
{\em úplná množina pozorovatelných} a jim odpovídající množina operátorů se nazývá {\em úplný soubor
 
komutujících operátorů}. \bt Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s čistě bodovými spektry (t.j. takovými,
 
jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný soubor komutujících operátorů tehdy a jen
 
tehdy, pokud pro každou $k$--tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr podprostoru
 
společných vlastních stavů roven jedné. \et Důkaz je proveden v \cite{beh:lokf} (14.2.2).
 
 
\special{src: 1122 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Poznamenejme, že úplná
 
množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (např. jednu \cc i) a jí odpovídající
 
úplný soubor komutujících operátorů
 
nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí
 
typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak
 
způsob přechodu od jedné množiny ke druhé a odpovídající
 
reinterpretace výsledků.
 
 
\special{src: 1132 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Pro experimentální účely jsou velmi důležité
 
úplné množiny pozorovatelných %pro jednu kvantovou částici je tvořená
 
obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to relativně
 
snadno měřitelná veličina.
 
 
\special{src: 1139 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných
 
pro popis stavu kvantové \cc e v poli centrálních sil je energie,
 
kvadrát momentu hybnosti a jedna jeho složka.
 
\subsection{Kvantová částice v centrálně symetrickém
 
potenciálu}\ll{ssec:csympot}
 
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí
 
centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii.
 
Příkladem je částice v Coulombově poli,
 
či  harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
 
 
\special{src: 1151 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Operátor energie pro kvantovou částici v centrálně symetrickém
 
potenciálu má obecný tvar
 
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle+ \hat V(r),
 
\ll{sspot}\ee
 
kde
 
\be    [ \hat V (r)\psi](x,y,z):=V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z).
 
\ll{roper}\ee
 
 
\special{src: 1161 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot}) má čistě bodové
 
spektrum, pak stavy \cc e v centrálním poli
 
je možno jednoznačně určit hodnotami
 
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou
 
jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné %v tomto případě
 
tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
 
 
\special{src: 1170 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\begin{cvi} Spočítejte komutátory
 
\be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\
 
\ll{loper1}\ee
 
kde
 
\be \hat L_j:=\epsilon_{jkl}\hat Q_k\hat P_l. \ll{loper}\ee
 
\end{cvi}
 
\begin{cvi} Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}),
 
$L_3\equiv L_z$ a
 
\be \hat L^2:=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2. \ll{lkvad}\ee
 
\end{cvi}
 
 
\special{src: 1183 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Pro kvantově mechanický popis %\cc e v centrálním poli je nutno napřed
 
je důležité zjistit jakých
 
hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
 
 
\special{src: 1189 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Pro výpočet vlastních hodnot
 
je vhodné přejít do sférických souřadnic. %, neboť pak lze %tyto operátory zapsat ve tvaru
 
Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
 
\be \hat L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\ll{lzsfer}\ee
 
\be \hat L^2=
 
-\hbar^2[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+
 
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
 
(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})]
 
\ll{lkvadsfer}\ee
 
\be  \hat H = - \frac{\hbar^2}{2M}\left[(\frac{\partial^2}{\partial r^2}
 
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}
 
\left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+
 
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
 
(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})
 
\right)\right] +\hat V(r)
 
\ll{hsfer}\ee
 
%\be \hat H= \hat H_r + \frac{1}{r^2}\hat L^2 \ee
 
%\be \hat L^2= \hat L^2_\theta +\frac{1}{\sin^2\theta}\hatL_z^2. \ee
 
\bc S použitím vzorců \rf{lx}) -- \rf{lz}) ukažte, že operátor
 
$\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}).
 
\ec
 
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}). \ec
 
 
\special{src: 1214 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}\ll{ssmomhyb} Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením
 
rovnice pro vlastní hodnoty \be \hat L^2\psi=\lambda\psi \ll{vlfcel2}\ee a zároveň vlastními funkcemi
 
operátoru $\hat L_z$. Z vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer}) plyne, že řešením \rc e
 
\rf{vlfcel2}) budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální
 
diferenciální rovnici \be \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2}+
 
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\theta} (\sin\theta\frac{\partial
 
\Psi}{\partial\theta})+\frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi=0. \ll{pdrl2}\ee Vzhledem k tomu, že hledáme řešení
 
\rf{vlfcel2}), která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v podkapitole
 
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru \be \Psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{  i m\phi}, \ m\in\integer,
 
\ll{vlfcelz}\ee budeme hledat řešení  rovnice \rf{vlfcel2}) rovněž v tomto faktorizovaném tvaru.
 
 
\special{src: 1243 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Rovnice \rf{pdrl2}) přejde faktorizací \rf{vlfcelz}) na obyčejnou diferenciální rovnici \be
 
\frac{d}{dt}[(1-t^2)\frac{dF}{dt}]+(\frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2})F=0, \ll{odrl2}\ee kde
 
$t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v této rovnici vystupuje pouze jako (např. předem
 
zvolený) parametr. To je důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$.
 
Podmínka integrability \rf{konecnanorma})  pro $F$ v tomto případě zní \[
 
\int_{\real^3}|\psi(x,y,z)|^2dxdydz= \int_{<0,\infty>\times<0,\pi>\times<0,2\pi>}
 
|\Psi(r,\theta,\phi)|^2r^2\sin\theta drd\theta d\phi \] \be
 
=2\pi\int_{<0,\infty>\times<0,\pi>}|\chi(r,\theta)|^2r^2 dr \sin\theta d\theta
 
=2\pi\int_0^\infty\int_{-1}^1|F(r,t)|^2r^2 drdt<\infty. \ll{kvadintss}\ee Definiční obor operátoru $\hat
 
L^2$ však  tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná na
 
$<-1,1>$.
 
 
\special{src: 1260 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Řešení rovnice \rf{odrl2}) je poměrně pracné (viz např. \cite{for:ukt},
 
str. 70--72). Dá se vyjádřit způsobem
 
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
 
kde $U$ je \fc e na intervalu $<0,1>$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
 
\be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x)+(a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x)+cU(r,x)=0, \ll{gauss}\ee
 
kde
 
\[ x=(t+1)/2,\ a=-1-|m|,\ b=2(1+|m|),\ c=|m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}.\]
 
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
 
%(s koeficienty závislými na $r$)
 
\be U(r,x)=R_1(r)U_1(x)+R_2(r)U_2(x),
 
\ee
 
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv. hypergeometrických funkcí.
 
Pro obecné $\lambda$ a $m$ však tato řešení
 
nejsou konečná v okolí koncových bodů intervalu $<0,1>$.
 
Podmínku konečnosti funkce $F$
 
%kvadratické integrability \rf{kvadintss})
 
lze splnit pouze když $U$ je polynom v $x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
 
\be \lambda=l(l+1)\hbar^2,\ l\in\integer_+,\ \ m\in\integer,\ |m|\leq
 
l.\ee
 
Řešení rovnice \rf{odrl2}) v tomto případě má tvar
 
\be F(r,t)=R(r)P_l^m(t), \ll{fakf}\ee
 
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
 
\be P_l^m(t):=\frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}
 
(t^2-1)^l. \ll{plmt}\ee
 
\bc Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta):=P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v $\sin\theta$ a $\cos\theta$.
 
\ec
 
Funkce
 
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi):=C_{lm}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi} $}\ ,\ll{ylm}\ee
 
které jsou řešením \rf{pdrl2}) a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s vlastními čísly
 
$\lambda=l(l+1)\hbar^2,\ \mu=m\hbar$ se nazývají {\em kulové funkce}.
 
{\bf Množina  všech kulových funkcí
 
\[ \{ Y_{lm},\  l\in\integer_+,\ \ m\in\integer,\ |m|\leq
 
l \},\]
 
kde
 
\be |C_{lm}|^2=\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
 
tvoří ortonormální bazi v prostoru funkcí kvadraticky
 
integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v
 
$L^2(<0,\pi>\times<0,2\pi>,sin\theta d\theta d\phi)$.
 
%Tento fakt zdůvodňuje oprávněnost volby \rf{fakpsi}) a plyne z něj,
 
Odtud plyne, že {\em množina
 
\be \{l(l+1)\hbar^2,\ l\in\integer_+\} \ll{spektrl2}\ee
 
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.
 
 
\special{src: 1308 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají {\em orbitální} respektive
 
{\em magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu
 
často závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla,
 
mají stavy s daným $l$ ustálené spektroskopické značení
 
$s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro $l=0,1,2,\ldots$.
 
 
\special{src: 1316 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Z kulových funkcí je možno pro částici s daným
 
momentem hybnosti charakterizovaným čísly $(l,m)$
 
předpovědět {\bf pravděpodobnost
 
nalezení částice v daném prostorovém úhlu} $\Omega$
 
\be dw=\rho(\theta,\phi)d\Omega=|Y_{lm}(\theta,\phi)|^2d\Omega. \ee
 
%(kde předpokládáme funkce normalizované na jednotkové kouli).
 
 
\bc
 
\bc
Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v daném prostorovém úhlu
+
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu
pro stavy $s, p, d$.
+
  $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
 +
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.
 
\ec
 
\ec
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}
 
Ze vzorců (\ref{vlfcelz}), (\ref{fakf}), (\ref{ylm}) plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
 
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi}\ee
 
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet
 
energetického spektra částice v poli centrálních sil, neboť
 
hamiltonián \rf{sspot}) má ve sférických souřadnicích tvar
 
\rf{hsfer}) a díky
 
\rf{lkvadsfer}) jej lze vyjádřit
 
způsobem
 
\be  \hat H = - \frac{\hbar^2}{2M}\left[
 
(\frac{\partial^2}{\partial r^2}
 
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r})
 
-\frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right]+
 
\hat V(r).
 
\ll{hsfer2}\ee
 
Použijeme-li  faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}), pak pro výpočet
 
vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou
 
zároveň vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$,
 
dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
 
\be
 
-\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R"(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] +
 
V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0,
 
\ll{hsfervfce}\ee
 
kde
 
\be V_{eff}(r)=V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}.
 
\ll{veff}\ee
 
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
 
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\chi"(r)+
 
V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0,
 
\ll{rcekhi}\ee
 
což je rovnice formálně shodná s rovnicí pro kvantovou \cc i na
 
polopřímce v poli
 
potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$
 
%(viz \rf{kvadintss}))
 
přejde
 
na podmínku
 
\be \int_{\real_+}|\chi(r)|^2 dr<\infty. \ee
 
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě
 
dodatečnou okrajovou podmínku
 
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi}\ee
 
která plyne např. z požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R( r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v bodě $0$. Tato podmínka rovněž
 
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer})
 
(viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
 
  
\special{src: 1376 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Uvědomme si, že v kartézských souřadnicích by problém nalezení
 
spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně
 
obtížný. Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést
 
řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto
 
postupu se říká separace proměnných a je možný, pokud
 
původní problém má nějakou symetrii, v tomto případě sférickou.
 
  
\special{src: 1385 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\section{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
 +
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány.
 +
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
  
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi}) je možná až tehdy
+
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá
zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
+
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických
 +
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$,
 +
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
  
\special{src: 1390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
  
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická
+
\bd
funkce}
+
  Lineární operátor $\hat B:\df\hat B\to\Hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in\df\hat B$ platí
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat
+
  \[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]
řešení diferenciální rovnice
+
\ed
\be xy"(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1}\ee
+
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
+
\be zw"(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
+
kde $\alpha=c/a,\ \gamma=b$.
+
  
\special{src: 1401 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze
 +
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.
  
Z teorie diferenciálních rovnic v komplexním oboru (shrnutí viz
+
\bp
\cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2}) lze v
+
  Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce
okolí nuly zapsat jako řadu
+
  je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada}\ee
+
  \[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]
Dosazením \rf{resrada}) do \rf{dghgr2}) a porovnáním koeficientů
+
  je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
u mocnin $z$ dostaneme
+
\ep
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam}\ee
+
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1}\ee
+
Dá se ukázat, že řady s takto určenými koeficienty konvergují pro
+
všechna $z$ a definují tzv.
+
{\em degenerované hypergeometrické \fc e}.
+
  
Pro $s=0$ a $\gamma\neq -n\in\integer_-$ má řada \rf{resrada})
+
\bd
tvar $a_0F(\alpha,\gamma,z)$, kde
+
  Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna
%jež má Taylorův rozvoj
+
  $f,g\in\Hil$
\be F(\alpha,\gamma,z)=1+\frac{\alpha}{1!\gamma}z+
+
  \[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]
\frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2+\ldots\ .
+
\ed
\ll{dghyfce}\ee
+
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \integer_+$
+
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
+
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice
+
\rf{dghgr2})
+
\be w(z)=A_1F(\alpha,\gamma,z)+
+
A_2z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2}\ee
+
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1}) pro necelá $b$ je
+
\be y(x)=C_1F(\frac{c}{a},b,-ax)+
+
C_2x^{1-b}F(\frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax). \ll{obres1}\ee
+
  
\special{src: 1433 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
 
+
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee
Vzhledem k tomu, že $a_n/a_{n-1}\lim 1/n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\lim \infty$
+
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí
jako $e^z$, přesněji (viz \cite{baterd}), \begin{equation}\label{rtoplusinf}    F(\alpha,\gamma,
+
z\rightarrow +\infty)= \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)}\,e^z
+
z^{\alpha-\gamma}[1+O(|z|^{-1})].\end{equation} Pro $z\lim -\infty\ $ \begin{equation}\label{rtominusinf}
+
F(\alpha,\gamma, z\rightarrow -\infty)=  \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)}
+
(-z)^{-\alpha}[1+O(|z|^{-1})].\end{equation} \subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor} V kapitole
+
\ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že
+
podprostory vlastních stavů  energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného
+
harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu
+
harmonického potenciálu \be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3}\ee lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou
+
množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadr\'atem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného směru
+
(směr osy $z$ není ničím určen).
+
 
+
\special{src: 1449 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Zavedeme-li v rovnici \rf{rcekhi}) stejně jako u lineárního harmonického oscilátoru
+
bezrozměrnou proměnou $\xi=r/a$, kde $a=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$,
+
dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
+
\be \Phi"(\xi)-(\xi^2+\frac{l(l+1)}{\xi^2})\Phi(\xi)+
+
\frac{2E}{\hbar\omega}\Phi(\xi)=0. \ll{rcepsi}\ee
+
%kde $\Lambda=\frac{2E}{\hbar\omega}$.
+
Řešení této rovnice se v nekonečnu chová stejně jako řešení pro
+
lineární harmonický oscilátor,
+
$\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2}(const+O(\frac{1}{\xi}))$ zatímco v
+
nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}(const+O({\xi}))$ nebo
+
$\Phi(\xi)=\xi^{-l}(const+O({\xi}))$.  Zvolíme ansatz
+
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi}\ee
+
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2})
+
\be zw"(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce}\ee
+
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku \rf{nulchi}). Obecné řešení rovnice
+
\rf{dghyrce}) pro necelá $\gamma$
+
má tvar \rf{obres2}), takže řešení, které vyhovuje podmínce \rf{nulchi})
+
je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í
+
$F(\alpha,\gamma,z)$
+
%konvergující pro všechna z.
+
V nekonečnu se tato funkce chová jako
+
$e^z$ a $\Phi(\xi)$ není \qint{} s výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \integer_-$.
+
V těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na
+
tzv. {\em zobecněné Laguerrovy polynomy}
+
\be L_n^{\gamma -1}(z)=\left(
+
\begin{array}{c}
+
{n+\gamma-1}\\{n}\end{array}\right)
+
F(-n,\gamma,z), \ee
+
definované též způsobem
+
\be L_n^{\beta}(z):=\frac{1}{n!}e^z
+
z^{-\beta}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer}\ee
+
 
+
\special{src: 1483 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Zjistili jsme tedy, že {\bf vlastní hodnoty operátoru energie harmonického
+
oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které jsou
+
navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s vlastními
+
hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde
+
$ n,l\in \integer_+,\ m\in\{-l,\ldots,l\} $
+
mají tvar}
+
\be
+
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=C_{nlm}\xi^{l}e^{-\xi^2/2}
+
L_n^{l+1/2}(\xi^2)P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}, \ll{resiho}\ee
+
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta,
+
$\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$,
+
$L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a
+
$P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e.
+
Obvykle se tyto funkce zapisují jako
+
 
\be
 
\be
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=K_{nl}\xi^{l}e^{-\xi^2/2}
+
  (a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger .
L_n^{l+1/2}(\xi^2)Y_{lm}(\theta,\phi), \ll{resiho2}\ee
+
  \ll{algop}
a zvolíme-li
+
\be |K_{nl}|=\frac{2}{\pi^{1/4}}\left({\frac{M\omega}{\hbar}}\right)^{3/4}
+
\left(
+
\frac{2^{n+1}n!}{(2n+2l+1)!!}
+
\right)^{1/2}
+
 
\ee
 
\ee
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k jedné.
 
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi
 
$3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
 
\ec
 
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá {\em radiální kvantové
 
číslo} (udává příspěvek k energii od radiálního pohybu částice) a
 
číslo $N:=2n+l$ se nazývá {\em hlavní kvantové číslo}.
 
  
\special{src: 1505 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 
+
  Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá
Z faktu, že k danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů,
+
  operátoru $\hat{M}^\dagger$?
jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že {\em degenerace
+
hladiny energie} harmonického oscilátoru je
+
$(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií,
+
je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali v paragrafu
+
\ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
+
 
+
\special{src: 1514 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
 
+
\special{src: 1517 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
\subsubsection{Coulombův potenciál}\ll{podkap:coulomb}
+
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
+
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul}\ee
+
neboť jej lze použít k popisu hladin energií elektronu v obalu atomu
+
vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800 krát
+
těžší než elektron je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to
+
jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se
+
bude jen málo lišit od energie elektronu v elektrostatickém poli
+
\rf{coul}), kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu
+
a $\epsilon$ je permitivita vakua.
+
Dosadíme-li \rf{coul}) do \rf{veff}), pak \rc e \rf{rcekhi}) přejde
+
na tvar
+
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\chi"(r)+
+
[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}]\chi(r)= E\chi(r),
+
\ll{rcekhicp}.\ee
+
Substitucí
+
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw}\ee
+
kde
+
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap}\ee
+
převedeme tuto rovnici na tvar
+
\be rw"(r)+2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2[(l+1)\kappa
+
+\frac{MQ}{\hbar^2}]w(r)=0, \ee
+
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce
+
\rf{dghgr1}). Řešení splňující podmínku \rf{nulchi}) je podle
+
\rf{obres1})
+
\be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r).
+
\ll{dghgcoul}\ee
+
Podmínka kvadratické integrability pak zní
+
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa}=-n\in \integer_- ,\ll{pintcoul}\ee
+
odkud díky \rf{kap}) plyne, že {\bf vlastní hodnoty operátoru energie
+
kvantové částice v coulombickém poli \rf{coul}) jsou}
+
\be \fbox{$E=E_{n,l}=-\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2}=
+
-\frac{R}{N^2},\
+
N,n,l\in \integer_+$}\ .
+
\ll{ecoul}\ee
+
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové
+
číslo určující hodnotu energie je $N=n+l+1$. Konstanta
+
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá {Rydbergova energie} a
+
hraje velkou roli v optické a rentgenovské spektroskopii.
+
Její hodnota pro atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je
+
$R=2,184\,\times 10^{-18}J=13,6\ eV$.
+
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul})
+
pro \rf{pintcoul}) opět
+
přejde na Laguerrův polynom, takže
+
{\bf vlastní \fc e operátoru energie
+
kvantové částice v coulombickém poli, odpovídající vlastní
+
hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je
+
navíc vlastní \fc í \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$
+
s vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
+
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
+
má tvar}
+
\be
+
\psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi)=C_{Nlm}r^{l}e^{-r/Na}
+
L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na})P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi},
+
\ll{nlmcoul}\ee
+
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta,
+
%$\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$,
+
$L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a
+
$P_{l}^{m}$ jsou přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $ \psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety
+
\be |\,Nlm>=K_{Nl}\,\left(\frac{2r}{Na}\right)^{l}e^{-r/Na}
+
L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na})Y_{lm}(\theta,\phi),
+
\ll{nlmcoul1} \ee
+
kde
+
\[ |K_{Nl}|= \frac{2}{n^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2}
+
\]
+
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce.
+
Konstanta $a$ mající rozměr délky se nazývá Bohrův poloměr. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm.
+
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s energiemi
+
$-R, \ -R/4, -R/9$.
+
\ec
+
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v Coulombově poli.
+
 
\ec
 
\ec
Z výrazu \rf{ecoul}) je zřejmé, že všechny
 
stavy \rf{nlmcoul}),  pro které $(l,m)$ leží v množině \rf{setlm})
 
mají tutéž energii. {Degenerace hladiny energie} s daným $N$, neboli
 
počet stavů s energií $R/N^2$ je
 
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn}\ee
 
  
Hodnoty energie \rf{ecoul}) částice v coulombické poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit
+
\bd
experimentálně, neboť jak už bylo řečeno v úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový
+
  Operátor $\hat{B}$ na $\Hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.
atom. Jeho záření má (v rozporu s klasickou teorií) čárové spektrum a empiricky bylo zjištěno, že frekvence
+
\ed
záření splňují tzv. Rydberg--Ritzův kombinační princip \be \nu=const(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}).
+
\ll{rrprinc}\ee objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V rámci kvantové mechaniky je snadné tuto
+
formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů emitovaných elektrony v obalu atomů je dána rozdílem
+
hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme \be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar}=
+
\frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3}(\frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2}), \ll{spekh}\ee kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$.
+
Numerická hodnota {\em Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v tomto případě $3.3\ 10^{15}\
+
sec^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v dobré shodě s naměřenými hodnotami
+
Lymanovy ($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$),... serie.
+
  
{\bf Množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul}) je ortogonální, ale netvoří
+
\bp
bazi Hilbertova prostoru}
+
  Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný
$L^2(\real_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),r^2\sin\theta
+
  \[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]
drd\theta d\phi).$ Důvod je v tom, že operátor energie pro částici
+
  je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)
v Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
+
\ep
$\sigma_c(\hat H)=[0,\infty)$.
+
Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje
+
podkapitola \ref{zobvlf}.
+
  
\special{src: 1625 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bt
 +
  Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje
 +
  $\hat{E}^2 = \hat{E}$.
 +
\et
  
\subsection{Posunovací operátory a bra--ketový formalismus}\label{posunovacioperatory}
+
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich
 +
definice vychází z~následujícího faktu:
  
\special{src: 1629 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bt
 +
  Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že
 +
  pro všechna $g\in\df\hat T$ platí
 +
  \be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee
 +
\et
 +
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
 +
\bd
 +
  Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina
 +
  všech $f\in\Hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$
 +
\ed
 +
\bd
 +
  Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.
 +
\ed
  
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazvu {\em posunovacím operátorem k operátoru $\hat B$ s posunutím} $\Delta\in\complex$ pokud
+
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
\be [\hat B,\hat A]=\Delta \hat A.\ll{posop}\ee
+
Důvod pro tento název spočívá v tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak ze \rf{posop}) ihned plyne
+
\be \hat B\hat A\psi_\lambda=(\lambda+\Delta)\hat A\psi_\lambda, \ll{posunl}\ee
+
což znamená, že $\hat A\psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.
+
  
\special{src: 1637 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bd
 +
  Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $,
 +
  tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.
 +
\ed
  
Ze vztahu \rf{posop}) rovněž ihned plyne, že pokud  operátor $\hat A$ je   posunovacím operátorem k operátoru $\hat B$ s posunutím $\Delta$, pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k operátoru $\hat B^\dagger$ s posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený (tzn. má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje aspoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že $\hat A\psi_\lambda\neq 0$ pak
+
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.
$\Delta\in\real$.
+
  
\special{src: 1642 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\noindent \bp
 +
  Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$
 +
  je samosdružený.
 +
\ep
  
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní
+
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené
spektrum. Uvedeme dva typické příklady. \subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.} Budeme se
+
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
zajímat o posunovací operátory pro operátor energie \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} +
+
\frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee Z komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze
+
odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou \be \hat a_\pm:=\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q
+
            \mp \frac{i}{M\omega}\hat P), \ll{kreanop} \ee
+
neboť
+
\be [\hat H,\hat a_\pm]=\pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma}\ee
+
Navíc platí
+
\be \hat a _-^\dagger=\hat a_+,\ [\hat a _-,\hat a_+]=\hat\unit. \ll{acoma}\ee
+
  
\special{src: 1674 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě
 +
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.
  
Ze \rf{posunl}) a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne  pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho})
+
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci}\ee
+
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
Operátor $\hat a_+$ tedy "zvyšuje energii stavu" o $\hbar\omega$ a nazývá se obvykle {\em kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se z podobného důvodu nazývá {\em anihilační}.
+
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.
 +
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
 +
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\Hil\times\Hil; x\in D_T\} \]
 +
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},
 +
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\Hil\times\Hil$.
 +
%\ed
 +
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
 +
%celá komplexní rovina.
 +
\bd
 +
  \textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného
 +
  operátoru $\hat{T}$} je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\unit)$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.
 +
\ed
  
\special{src: 1680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že
 +
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu vlastních čísel
 +
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \textbf{bodovým spektrem} a značíme $\sigma_p(\hat{T})$. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor
 +
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří tzv.~\textbf{spojité spektrum} $\sigma_c(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ je hustý v $\mathcal{H}$) a \textbf{reziduální spektrum} $\sigma_r(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ není hustý v $\mathcal{H}$). Pro samosdružené operátory je reziduální spektrum prázdné.
  
 +
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí:
 +
\bt
 +
  Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.
 +
\et
 +
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.
 +
}
  
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}), \rf{acoma}) platí
+
Popis pozorovatelných v kvantové mechanice můžeme shrnout do následující postulátu:
\be \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-)=
+
    {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half). \ee
+
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá "operátorem počtu energetických kvant".
+
  
\special{src: 1691 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\begin{post}
 +
\label{post:poz}
 +
Pozorovatelným veličinám v kvantové mechanice odpovídají samosdružené operátory na stavovém prostoru $\mathcal{H}$. Možné výsledky měření pozorovatelné tvoří spektrum příslušného operátoru.
 +
\end{post}
  
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a
 
anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s nejnižší energií
 
$\psi_0$ totiž musí platit \be \hat a_-\psi_0=0 \ll{anih0}\ee a dosadíme-li do \rf{kreanop}) vyjádření
 
operátorů $\hat Q,\ \hat P$ \rf{xoper}), \rf{poper}), rovnice \rf{anih0}) přejde na tvar \be
 
\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0=0, \ee kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální
 
rovnici 1. řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme. \be \psi_0(\xi)=Ce^{-\xi^2/2}. \ee Porovnáním
 
této \fc e s \rf{vlfcelho}) zjistíme, že se skutečně jedná o vlastní \fc i energie jednorozměrného
 
harmonického oscilátoru s vlastním číslem $\half \hbar\omega$. Stavy  s energiemi $\hbar\omega(n+\half)$
 
dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s nejnižší energií \be \psi_n(\xi)=K_n\hat
 
a_+^n\psi_0(\xi)=\frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \
 
K_n^{-1}=(\frac{\hbar\pi}{M\omega})^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.\label{ntylho}\ee  Volba fáze
 
normalizačních konstant \rf{nvlfcelho}) vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru
 
určuje i fázi koeficientů $\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s přijatou fázovou
 
konvencí \rf{nvlfcelho}), kde všechny normalizační koeficienty jsou kladné. \bc Ukažte, že platí \[ \hat
 
a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec \bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v \rf{akopnavlfci}). \ec
 
  
Poznamenejme ještě nakonec, že  stav s nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. {\em
+
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že
Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru \be \hat
+
ani pro \qv ou částici
a_-\rho_\lambda=\lambda\rho_\lambda. \ee Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme \be
+
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
\rho_\lambda(\xi)=C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}.\label{kohstav}\ee Tyto stavy hrají významnou
+
%hybnosti částice.
roli zejména v kvantové optice.
+
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.
 
+
\subsubsection{Moment hybnosti}  Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho
+
nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, ale i $l$. Alternativou jsou posunovací
+
operátory \be \hat L_\pm:=L_1\pm i\hat L_2 \ll{pm}.\ee Pro ně lze snadno dokázat komutační relace \be [\hat
+
L_3,\hat L_\pm]=\pm \hbar \hat L_\pm,\ [\hat L^2,\hat L_\pm]=0 \ee a přechodem do sférických souřadnic \be
+
\hat L_\pm Y_{lm}=\alpha^\pm_{lm}Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha}\ee \be \hat L_+Y_{ll}=0,\  \hat L_-
+
Y_{l,-l}=0,\label{yll0} \ee kde $\alpha^\pm_{lm}\in \complex$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v
+
podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{yll0}) a \rf{posalpha}) použít pro výpočet
+
kulových funkcí. \bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-]=2\hbar\hat L_3. \ee \ec \bc Napište
+
operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec Koeficienty
+
$\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha}) až na fázi. Přijmeme-li tzv. Condon-Shortleyovu
+
konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je
+
reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant $C_{lm}$ \rf{normconsY}) pro $Y_{l,m}$
+
jako $(-1)^m$. \bc \label{alplm}Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec \bc Spočítejte "maticové
+
elementy" $(Y_{lm},\hat L_kY_{l'm'})$. \ec
+
 
+
\subsubsection{Bra-ketový formalismus} Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv. "ketů" $|\ >$ a "bra"
+
$<\ |$, což obecně není nic jiného než označení prvků Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li
+
normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=|n>$, pak ketové vyjádření
+
vztahu \rf{ntylho}) je \[ |\,n>=K_n \hat a_+^n |\,0>. \] Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního
+
součinu pro libovolné $f\in$\qintline \[ (\psi_n,f)\equiv(|n>,|f>)=<n|f> \] (skalární součin = závorka =
+
bracket =$<$ bra$|$ket$>$ ), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi vlastních funkcí
+
energie jednorozměrného harmonického oscilátoru má v bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar \be f
+
\equiv|f>=\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|f> \ll{relupl},\ee což se často zapisuje jako
+
$\sum_{n=0}^{\infty}|n><n|=\hat\unit$.
+
 
+
Z komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy \be \hat a_-^m\hat a_+^n|0>=0\
+
{\rm pro}\ n< m,\ \ \ \ \ \ \hat a_-^m\hat a_+^n|0>=n!\,\hat a_+^{n-m}|0> \ {\rm pro}\ n\geq m, \ee ze
+
kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů \[|n>= \frac{1}{\sqrt{n!}}\hat a_+^n |0>,\] která v
+
bra-ketovém vyjádření má jednoduchý tvar \be <m|n>=\delta_{mn}.\ee
+
 
+
Operátory $\hat O$ v \qintline \, lze zapsat v tzv. energetické reprezentaci pomocí maticových elementů
+
$<n|\hat O|m>$ způsobem \be \hat O f \equiv \hat O |f>= \sum_{n=0}^\infty|n><n|\hat O |f>=
+
\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty|n><n|\hat O|m><m| f>, \ee kde \be <n|\hat O|m>:= (\psi_n,\hat O\psi_m).
+
\ee \bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v jednorozměrném případě\ec
+
 
+
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů  $ |l,m>$ nebo vlastní funkce
+
isotropního harmonického oscilátoru pomocí ketů $ |N,l,m>$.
+
 
+
 
+
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}\ll{zobvlf} Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce
+
souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled jednoduchý. Podmínka \be
+
\hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee dává diferenciální rovnice \be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial
+
x_j}=p_j\phi  \ \ j=1,2,3, \ee které mají řešení \be \phi_{\vec p}(\vec x)=Ae^{i\vec p\, \vec x/\hbar},
+
\ll{zvfoh}\ee jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v tom, že tyto \fc e
+
nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné $\vec p\in\complex^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v
+
Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich
+
spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří
+
však do spojité nikoliv bodové části spektra.
+
 
+
\special{src: 1771 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem
+
\rf{spvv}) je možno provést pouze pro hodnoty z bodové části
+
spektra odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra
+
lze přiřadit pouze tzv. {\em zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, které
+
nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat
+
skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s \fc emi ležícími v husté podmnožině kvadraticky
+
integrovatelných funkcí.
+
 
+
\special{src: 1731 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Příkladem takové husté podmnožiny je {\em prostor rychle ubývajících funkcí} ${\cal S}(\real^3)$ obsahující
+
funkce $f\in$ \qintspace splňující \be {\rm sup}|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial
+
x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f|<\infty
+
\ll{prryubfci}\ee pro všechna $(\vec j,\vec k)\in\integer_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z ${\cal
+
S}(\real^3)$  je, že Fourierova transformace \be \tilde f(\vec k) \equiv ({\cal F}f)(\vec
+
k):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{-i\vec k \vex} f(\vex)d^3x \ll{Fourier}\ee je bijekcí ${\cal
+
S}(\real^3)$ na ${\cal S}(\real^3)$ (viz \cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar \be ({\cal
+
F}^{-1}\tilde f)(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{i\vec k \vex} \tilde f(\vec k)d^3k=({\cal F}\tilde
+
f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee odkud snadno dostaneme, že \begin{equation}\label{FfFg}
+
    ({\cal F}f,{\cal F}g)=(f,g)
+
\end{equation}
+
 
+
Pro $f\in{\cal S}(\real^3)$ můžeme definovat "skalární součiny" $(\phi_{\vec p},f)$ a $(f,\phi_{\vec p})$
+
(přesněji lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec p}$ ležely v
+
\qintspace{}. \be\ll{psip} \Phi_{\vec p}(f)\equiv(\phi_{\vec p},f)
+
:=\int_{\real^3} A^*e^{-i\vec p \vec x/\hbar}f(\vec x)d^3x
+
=A^*({2\pi})^{3/2}({\cal F}f)(\frac{\vec p}{\hbar}), \ee
+
\be \ll{invft}
+
(f,\phi_{\vec p}):=(\phi_{\vec p},f)^*
+
=A({2\pi})^{3/2}({\cal F}f^*)(-\frac{\vec p}{\hbar}),\ee neboť tyto integrály jsou
+
(inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z ${\cal
+
S}(\real^3)$. Rovnice pro funkcionály $\Phi_{\vec p}$ má tvar \be (\hat P_j\Phi_{\vec p})(f)=
+
(\hat P_j \phi_{\vec p},f)=(\phi_{\vec p},\hat P_j f)=p_j(\phi_{\vec p},f)=p_j\Phi_{\vec p}(f),\ \forall
+
f\in {\cal S}(\real^3) \ll{rceprophip}\ee a funkce \rf{zvfoh}) nazýváme {\bf zobecněné vlastní \fc e
+
hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z \qintspace. To je také
+
důvod proč je s úspěchem můžeme použít k popisu tzv. rozptylových stavů (viz kap. \ref{potrozptyl}), jež
+
jsou určeny počáteční a konečnou hybností. \bc Nechť \[ \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}
+
\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon
+
x}{\hbar}. \] Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$ \ec
+
 
+
 
+
Ještě výraznější je "zobecněnost" vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice \[ \hat
+
Q_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3 \] má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové
+
\fc e jsou však v \qintspace { ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení problému konstrukce zobecněných
+
vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\real^3$, %zavést. K
+
jejich konstrukci lze použít tzv. $\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující
+
vlastnosti: \be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda
+
\ll{dcond1}\ee \be \int_\real \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee
+
 
+
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky
+
\rf{dcond1},\ref{dcond2}), nicméně lze definovat jiné matematické
+
objekty pro které lze obě podmínky splnit.
+
\\{\bf Příklad}: Nejjednodušší způsob je pohlížet na
+
$\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť
+
\[ f_{a,\lambda}(x):= 0\ \for |x-\lambda|>a \]
+
\[ f_{a,\lambda}(x):= 1/2a\ \for |x-\lambda|\leq a. \]
+
Pak podmínky \rf{dcond1}), \rf{dcond2}) jsou splněny pro
+
%každou $f_{a,\lambda}$ a podmínku \rf{dcond1}) lze splnit, když
+
$a\rightarrow 0$.\\
+
Z tohoto příkladu je snadno vidět, že i
+
zobecněné vlastní funkce operátoru polohy  \rf{zvfop})
+
lze aproximovat funkcemi z prostoru \qintspace{} podobně jako
+
zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}).
+
 
+
\special{src: 1830 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Přesnější definici pojmu $\delta$-- \fc e je možno podat v rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou
+
spojité lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^n)$. Uvedeme pouze, že v této teorii je (jednorozměrná)
+
$\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,.)$ na ${\cal S(\real)}$ definovaného ve
+
shodě s \rf{dcond2})způsobem %Definujeme-li pro $f\in{\cal S(\real)}$
+
\be
+
\int_\real\delta_\lambda(x)f(x)\equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).\ee  Rovnost \[
+
x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x) \] pak znamená \be (\hat Q
+
\delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat Q f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in {\cal S}(\real^3), \ee
+
(což je vztah analogický k \rf{rceprophip}) ) a v tomto smyslu je \be \delta_{\vec a}(\vec
+
x)\equiv\delta(\vec a-\vec x):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3) \ll{zvfop}\ee zobecněnou
+
vlastní funkcí polohy s vlastní hodnotou $\vec a$.
+
 
+
Z definice Fourierovy transformace (\ref{Fourier}) a její inverze lze jednoduchým výpočtem  ukázat, že
+
\be \int_{\real^3}e^{i{\vec z}(\vec
+
x-\vec y)} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vec x-\vec y), \ee t.j.
+
\be {\cal F}[\phi_{\vec p}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec p/\hbar} \ll{fourfip}\ee
+
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}), totiž
+
že je lze {\em "normalizovat k $\delta$--\fc i"}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$ \be (\phi_{\vec
+
p'},\phi_{\vec p}) \equiv \int_{\real^3}\phi_{\vec p}(\vec x)\phi_{\vec p'}^*(\vec x) d^3x=\delta(\vec
+
p-\vec p') .\ll{dnormp}\ee Podobně  i pro \rf{zvfop}) platí \be (\delta_{\vec a'},\delta_{\vec a}) \equiv
+
\int_{\real^3}\delta_{\vec a}(\vec x)\delta_{\vec a'}(\vec x) d^3x=\delta(\vec a-\vec a') .\ll{dnormx}\ee
+
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na ${\cal S}(\real^n)$ a
+
zápis pomocí integrálů je poněkud formální.
+
 
+
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec a}\equiv |\,\vec a>,\ \phi_{\vec
+
p}\equiv|\,\vec p>$. Vztahy \rf{zvfoh}), (\ref{dnormx}), (\ref{dnormp}), (\ref{dcond2}) a (\ref{invft}) pak
+
lze zapsat jako \[  <\vec x\,|\vec p\,>=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec p\, \vec x/\hbar},\  <\vec
+
x\,|\vec x\,'>=\delta (\vex-\vex\,'),\ <\vec p\,|\vec p\,'>=\delta(\vec p-\vec p\,'), \] \[ <\vec
+
x\,|\,\psi>=\psi(\vec x),\ \ <\vec p\,|\,\psi>=\hbar^{-3/2}\tilde\psi(\frac{\vec p}{\hbar}) \]
+
a je možno psát analog relace úplnosti (\ref{relupl}) \[ |\psi>=\int_{\real^3}d^3x\,|\vec x><\vec
+
x\,|\psi>=\int_{\real^3}d^3p\,|\vec p><\vec p\,|\psi>. \]
+
 
+
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části
+
spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice v coulombickém poli spočítaných v předchozím paragrafu leží  ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům
+
částice v Coulombově potenciálu s kladnou energií (tzv. rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní
+
\fc e
+
\be \psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm}, \ee
+
kde $k=\pm\sqrt{2mE}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm}) a
+
\be
+
R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr}
+
F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr)
+
\ll{zovlfcecoul}.\ee
+
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru
+
konstant $C_{kl}$ normalizovány k $\delta$--\fc i, neboť platí
+
\[ \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r}
+
F^*(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr)
+
F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r)r^2dr\]\be=K_{kl}\delta(k-k'),
+
\ee
+
kde $K_{kl}$ je konstanta.
+
 
+
\special{src: 1899 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Z výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o chování objektů mikrosvěta.
+
 
+
\special{src: 1903 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.
+

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:48

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Stavy a pozorovatelné v \qv é mechanice}
\ll{Popisstavu}
 
\sv a \rc e  má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic,
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a
\qv é mechanice.
 
 
 
 
\section{Stavový prostor}
\ll{stavprost}
 
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
 
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice v $\R^3$ je určen komplexní funkcí tří
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{vlnová funkce částice}.
 
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na vlnové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d^3 x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné nenulové komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
 
\bc
  Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+\dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí
  \be g(x,y,z)=Ae^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}}, \ll{zsv} \ee
  kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.
  \ll{ex:pstvodat}
\ec
 
Díky Minkowského nerovnosti
\[
  \left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2}
    \leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},
\]
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$,
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná nenulová komplexní čísla.}
 
\bc
  Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?
  \ll{ex:hilbspvb}
\ec
 
\bc
  Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?
\ec
 
Na lineárním vektorovém prostoru vlnových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův,
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
 
 
 
 
\section{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené).
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
{\small
\bd
  \textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení
  $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
  \[
    F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
    F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),
  \]
  \[
    F(\alpha f,g)=\alpha^*F(f,g),\ F(f,\alpha g)=\alpha F(f,g),
  \]
  kde $\alpha\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička značí komplexní sdružení.
\ed
 
\noindent \bp
 Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
 \be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee
\ep
 
\bd
  Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
  \be F(g,f)=[F(f,g)]^*\overset{ozn.}{=}F^*(f,g)  \ll{ss2} \ee
\ed
 
\bc
  Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.
  \ll{symfor}
\ec
 
\bd
  Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
  \be F(f,f) \geq 0. \ee
  Pokud navíc
  \be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee
  pak tuto formu nazveme \textbf{pozitivně definitní}, resp. striktně pozitivní.
\ed
 
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep
 
\bt
  Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}
  \be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee
  Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že
  \be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee
 
  \begin{proof}
    Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
    \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
    Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního
    čísla plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
 
    Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak
    dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti
    \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
    pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost
    platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.
  \end{proof}
\et
} %konec prostředí \small
 
\bd
  Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární
  vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.
\ed
 
\bp
  Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
  \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
\ep
 
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$
 
\bd
  Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.
\ed
 
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep
 
{\small
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).
}%small
 
\bp
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$, tj. $L^2((a,b),\dx)\overset{ozn.}{=}L^2(a,b)$ se skalárním součinem
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)\dx \]
je Hilbertův.
\ep
 
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry
nula. Můžeme tedy shrnout, že  \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice v $\R^3$ tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor $\mathcal{H} = L^2(\R^3,\d^3x)$}.
 
\bt [Rieszovo lemma]
  Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\Hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\Hil$ takový, že pro všechna $f\in\Hil$ platí
  \[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
\et
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán, a se kterým se podrobněji seznámíme v kapitole \ref{kets}.
 
\vskip 1cm
 
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze.
{\small
\bd
  Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme
  \textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme
  ji \textbf{ortonormální}.
\ed
\bd
  Vektor $x\in \Hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \Hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
  nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.
\ed
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.
\bt
  Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že
  $x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).
\et
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.
}%small
\bd
  \textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.
\ed
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.
 
\bp
  Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.
\ep
 
\bd
  Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme
  skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.
\ed
 
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), jsou {\bf separabilní} - mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^\infty$. V~takovýchto prostorech platí pro každé $f\in\Hil$
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.} 
 
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
 
\bc
  Najděte ortonormální bázi  v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice
  \[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]
\ec
 
Obecně můžeme shrnout popis možných stavů kvantové částice do následujícího postulátu:
 
\begin{post}
Stavový prostor kvantové částice je separabilní Hilbertův prostor $\mathcal{H}$. Stav kvantové částice je popsán nenulovým vektorem $\psi\in\mathcal{H}$.
\end{post}
 
{Striktně vzato stavu kvantové částice odpovídá paprsek, tj. jednorozměrný podprostor v $\mathcal{H}$ (viz. postulát q1-b v \cite{beh:lokf}). Každý paprsek je ale jednoznačně určen nějakým nenulovým vektorem $\psi$. Vzhledem k pravděpodobnostní intrepretaci stavu v kvantové mechanice budeme (až na vyjímky, kde to explicitně zmíníme) uvažovat normalizované vektory, tj. $\|\psi\|=1$.}
 
Volba Hilbertova prostoru závisí na konkretním problému. Budeme ji provádět "intuitivně", např. pro částici v prostoru je přirozené zvolit $\mathcal{H} = L^2(\R^3,d^3x)$, protože pak můžeme přímo interpretovat vlnové funkce $\psi(\vec{x})\in\mathcal{H}$ jako amplitudy pravděpodobnosti nalezení částice v daném bodě prostoru. Analogicky, pro částici na přímce (např. lineární harmonický oscilátor) volíme $\mathcal{H} = L^2(\R,dx)$. V některých případech bude mít Hilbertův prostor konečnou dimenzi, např. pro spin $\frac{1}{2}$, který má dva jednoznačně rozlišitelné stavy (spin nahoru/dolů do pevně zvoleného směru), je $\mathcal{H} = \C^2$.
 
 
\section{Pozorovatelné a jejich spektra}
\ll{pozorovatelne}
 
V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie,
momentu hybnosti,...). Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím bodu fázového prostoru. Možné hodnoty, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit, jsou dány oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie
stavu $(\vec p,\vec q)$ je
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
a její obor hodnot je $\Rp$.
 
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických
pojmů v~kvantové mechanice.
 
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
experimentálním ověřováním teorie.
 
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice v $\R^3$ je
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vex):=-i\hbar\dfrac{\pd\psi}{\pd x_j}(\vex)$} \ll{poper} \ee
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.
 
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.
 
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence},
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
\[ E(\hat Q_j,\hat P_j) =  -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]
kde $\lapl=\sum\limits_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.
 
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec
 
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů,
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) diferencovatelné a jejich derivace musí být kvadraticky integrabilní). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot,
které lze pro danou veličinu naměřit}.
 
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.
\bc
  \ll{nekpoja}
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě},
  tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
\ec
\bc
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu
  $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.
\ec
 
 
 
\section{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány.
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
 
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$,
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
 
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
 
\bd
  Lineární operátor $\hat B:\df\hat B\to\Hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in\df\hat B$ platí
  \[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]
\ed
 
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.
 
\bp
  Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce
  je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}
  \[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]
  je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
\ep
 
\bd
  Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna
  $f,g\in\Hil$
  \[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]
\ed
 
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí
\be
  (a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger .
  \ll{algop}
\ee
 
\bc
  Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá
  operátoru $\hat{M}^\dagger$?
\ec
 
\bd
  Operátor $\hat{B}$ na $\Hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.
\ed
 
\bp
  Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný
  \[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]
  je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)
\ep
 
\bt
  Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje
  $\hat{E}^2 = \hat{E}$.
\et
 
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich
definice vychází z~následujícího faktu:
 
\bt
  Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že
  pro všechna $g\in\df\hat T$ platí
  \be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee
\et
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
\bd
  Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina
  všech $f\in\Hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$
\ed
\bd
  Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.
\ed
 
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
 
\bd
  Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $,
  tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.
\ed
 
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.
 
\noindent \bp
  Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$
  je samosdružený.
\ep
 
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
 
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.
 
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\Hil\times\Hil; x\in D_T\} \]
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\Hil\times\Hil$.
%\ed
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
%celá komplexní rovina.
\bd
  \textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného
  operátoru $\hat{T}$} je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\unit)$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.
\ed
 
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu vlastních čísel
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \textbf{bodovým spektrem} a značíme $\sigma_p(\hat{T})$. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří tzv.~\textbf{spojité spektrum} $\sigma_c(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ je hustý v $\mathcal{H}$) a \textbf{reziduální spektrum} $\sigma_r(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ není hustý v $\mathcal{H}$). Pro samosdružené operátory je reziduální spektrum prázdné.
 
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí:
\bt
  Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.
\et
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.
}
 
Popis pozorovatelných v kvantové mechanice můžeme shrnout do následující postulátu:
 
\begin{post}
\label{post:poz}
 Pozorovatelným veličinám v kvantové mechanice odpovídají samosdružené operátory na stavovém prostoru $\mathcal{H}$. Možné výsledky měření pozorovatelné tvoří spektrum příslušného operátoru.
\end{post}
 
 
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že
ani pro \qv ou částici
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
%hybnosti částice.
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.