02KVAN:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
 
(Není zobrazeno 21 mezilehlých verzí od 5 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a
+
\chapter{Stavy a pozorovatelné v \qv é mechanice}
magnetismu, termodynamiky, ...) je popis {\em množiny stavů a
+
\ll{Popisstavu}
určení časového
+
vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení
+
měřitelných veličin tzv. {\em pozorovatelných},
+
%-- {\em dynamických proměnných},
+
které jsou pro zkoumaný systém relevantní, a
+
předpovězení vývoje jejich hodnot.
+
% parametrů, které jsme pro daný systém schopni změřit.
+
Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie,
+
elektrická a magnetická intenzita, teplota, objem atd.
+
  
\special{src: 13 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\sv a \rc e  má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního
 +
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic,
 +
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a
 +
\qv é mechanice.
  
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru
 
stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny
 
%tzv.  jež jsou funkcemi času, případně místa
 
a fyzikální zákony určující
 
jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi.
 
Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých
 
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření.
 
Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se
 
zdálo, že vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny
 
fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není
 
pravda, a že klasická fyzika nedokáže bezesporně popsat
 
některé jevy, ke kterým dochází v důsledku interakcí na atomární
 
úrovni.}
 
\bc Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou
 
formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice.
 
Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální
 
veličiny jsou určeny?
 
\ec
 
  
\special{src: 34 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Základní
 
fyzikální objekty -- {\bf hmota a záření} --
 
jsou v klasické fyzice {\bf popsány zcela odlišným
 
způsobem}. Hmotné objekty jsou lokalizované a řídí se Newtonovými
 
pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se
 
Maxwellovými polními rovnicemi. Dochází u něj k vlnovým
 
jevům např. interferenci a ohybu.
 
  
\special{src: 44 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\section{Stavový prostor}
 +
\ll{stavprost}
  
V makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob
+
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných
popisu  kvalitativně různých objektů zcela logický.
+
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
Pokusy prováděné počátkem tohoto století však ukázaly, že pro
+
popis objektů v mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní,
+
ba dokonce vedou k předpovědím které jsou v rozporu s
+
pozorováními.
+
  
\special{src: 53 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno
 +
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje
 +
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice v $\R^3$ je určen komplexní funkcí tří
 +
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{vlnová funkce částice}.
  
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu,
+
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na vlnové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas
který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají
+
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)
okolo kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce.
+
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
Podle této představy
+
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d^3 x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné nenulové komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
jsou elektrony klasické, elektricky
+
nabité (na rozdíl od planet!) částice.
+
Problém je však v tom, že z teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu
+
po zakřivené dráze měly produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní
+
mechanické energie.}
+
  
\special{src: 65 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+\dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí
 +
  \be g(x,y,z)=Ae^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}}, \ll{zsv} \ee
 +
  kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.
 +
  \ll{ex:pstvodat}
 +
\ec
  
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by
+
Díky Minkowského nerovnosti
měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít
+
\[
konečnou, dokonce velmi krátkou  (cca $10^{-10}$ sec)
+
  \left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2}
dobu života.
+
    \leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},
Obě tyto předpovědi jsou v rozporu s pozorováním. Smířit tento
+
\]
rozpor teorie a experimentu se podařilo až kvantové mechanice za
+
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v tomto
+
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$,
případě elektronu jako částice pohybující se po nějaké dráze.
+
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná nenulová komplexní čísla.}
\begin{cvi}Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v
+
atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou částici
+
pohybující se po kruhové dráze o (Bohrově) poloměru
+
$a\approx 10^{-10}$ m. (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52)
+
\end{cvi}
+
  
\special{src: 81 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?
 +
  \ll{ex:hilbspvb}
 +
\ec
  
K dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u zrodu \qv é
 
mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa,
 
%vyzařovací zákon,
 
fotoefekt a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v
 
příštích podkapitolách.
 
Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i
 
představy o čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.
 
 
\special{src: 91 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\subsection{Planckův vyzařovací zákon}
 
 
\special{src: 95 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Jedním z problémů klasické %termodynamiky
 
fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření
 
%závislost hustoty energie záření $\rho(\nu,T)$
 
tzv. absolutně černého tělesa, přesněji její závislost
 
na frekvenci záření a teplotě tělesa.
 
 
\special{src: 103 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
{\em Absolutně černé těleso}, tzn. těleso které neodráží žádné vnější
 
záření, lze realizovat otvorem v dutině, jejíž vnější stěny jsou vodivé a jsou
 
ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické
 
záření, jehož experimentálně změřené spektrální rozdělení
 
%rozdělovací funkce tj. závislost intenzity záření na frekvenci a teplotě
 
je v rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
 
%\subsubsection{Klasický popis záření černého tělesa,
 
%Rayleigh--Jeansův zákon}
 
 
\special{src: 114 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Oscilací atomů stěn dutiny  zahřáté na teplotu $T$ se v dutině
 
vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf} Kap.8), jež je zdrojem záření černého
 
tělesa.
 
Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$
 
musí splňovat Maxwellovy--Lorentzovy rovnice beze zdrojů
 
%tj. s nulovou pravou stranou %splňujícím
 
\be {\rm div} \vec{E}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0. \ll{ml1} \ee
 
\be {\rm div} \vec{B}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0. \ll{ml2}\ee
 
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby
 
tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole
 
byly na
 
stěnách dutiny nulové (viz např. \cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
 
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
 
kde
 
$\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně
 
dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto pole je ekvivalentní
 
systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
 
 
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1})--\rf{podnast}). Z II. serie Maxwellových --Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem
 
\be \vec E = -{\rm grad}\ \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = {\rm rot}\ \vec{A'}.\ee
 
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací
 
dosáhnout toho, že elektromagnetické
 
potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují $\phi=0,\ div\vec{A}=0$ a
 
okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách dutiny.
 
 
\special{src: 143 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Kalibrační transformace
 
\be \phi(\vec x,t)=\phi'(\vec x,t)-%\frac{1}{c}
 
\frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t)\ee
 
\be \vec A(\vec x,t)=\vec A'(\vec x,t)+grad\ \lambda(\vec x,t), \ee
 
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí
 
$\lambda$, která splňuje rovnice
 
\be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee
 
\be %\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\lambda
 
\triangle \lambda=-div \vec A' \ee
 
spolu s okrajovými podmínkami na stěnách
 
\be \vec N\times grad\  \lambda=-\vec N\times\vec A'.\ee
 
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí ${\rm div} \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
 
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
 
 
\special{src: 159 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o hraně $L$.
 
Rozložíme složky vektorového potenciálu do
 
trojné Fourierovy řady (viz např. \cite{uhl:uvaf}).
 
 
\special{src: 165 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\be {A}_1(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_1(\vec{m},t)
 
\cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
 
\ll{Four1}\ee
 
\be {A}_2(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_2(\vec{m},t)
 
\sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
 
\ll{Four2}\ee
 
\be {A}_3(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_3(\vec{m},t)
 
\sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L)
 
\ll{Four3}\ee
 
%f_i(\vec{m},\vec{x}),
 
%kde $f_i$ jsou vhodně vybrané funkce (viz
 
Důvod pro tento specální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky
 
$\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
 
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
 
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $<-L,L>\times
 
<-L,L>\times<-L,L>$ jako spojitou funkci lichou v proměnných $x_2,x_3$. O
 
hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji
 
nicméně prodloužit sudě v $x_1$. Fourierův rozklad liché spojité
 
funkce na intervalu $<-L,L>$ lze provést pomocí funkcí $\sin
 
mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé funkce pomocí funkcí $\cos
 
mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}). Důležité je,
 
že podmínka
 
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
 
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl
 
od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např. pomocí funkcí $\cos
 
mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v $x_2,x_3$.
 
Stejnou
 
argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem
 
\rf{Four2},\ref{Four3}).
 
 
\special{src: 197 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Z rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
 
\be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle
 
A_i=0, \ll{vlnrce}\ee
 
které dostaneme  z \rf{ml1}), pak plyne, že koeficienty
 
$\vec Q_{\vec{m}}(t)\equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in {\bf
 
Z}_+^3$ (trojice celých nezáporných čísel)
 
splňují jednoduché
 
\rc e
 
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0
 
\ll{rceHO}\ee
 
kde
 
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
 
a $c$ je rychlost světla.
 
 
\special{src: 213 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Kalibrační podmínka $div \vec A=0$ přejde na tvar
 
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0 \ll{kalpod}\ee
 
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m\in\integer_+^3$
 
existují dvě lineárně nezávislé funkce
 
$Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující \rf{rceHO},\ref{kalpod}), což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
 
 
\bc
 
\bc
Ze vzorců \rf{Four1})--\rf{Four3}) odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$.
+
  Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?
 
\ec
 
\ec
  
\special{src: 224 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Na lineárním vektorovém prostoru vlnových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou
 +
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův,
 +
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
  
Energie elektromagnetického pole
 
\[ {\cal E}= \frac{1}{2}\int(\epsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \]
 
po dosazení \rf{Four1})--\rf{Four3})  a integraci přejde na tvar
 
\be {\cal E} = \frac{\epsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in {\bf
 
Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec
 
m}^2).
 
%=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}{E^\alpha_{\vec m}}.
 
%= \sum energií\ harmonických\  oscilátorů
 
\ll{ergempole}\ee
 
  
  
Z rovnic \rf{rceHO},\ref{ergempole}) vidíme, že {elektromagnetické pole v uzavřené
 
dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých
 
harmonických oscilátorů} (stojatých vln)
 
číslovaných vektory $\vec m \in {\bf Z}_+^3$.
 
% s frekvencemi \rf{omgm}).
 
  
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány
+
\section{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii elektromagnetického pole
+
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené).
ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v sumě (\ref{ergempole}).
+
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
Na druhé straně však víme, že elektromagnetické pole je v termodynamické rovnováze
+
{\small
se stěnami dutiny o teplotě $T$ a lze jej tedy
+
\bd
popsat metodami  statistické fyziky.
+
  \textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení
Z tohoto hlediska je možno na {\em elektromagnetické pole v dutině pohlížet jako na soubor
+
  $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
oscilátorů, přičemž
+
  \[
každý z nich
+
    F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
může interakcí s termostatem nabývat různých
+
    F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),
energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s energií ${\epsilon}(s)$ je dána
+
  \]
Boltzmannovou statistikou s rozdělovací funkcí.
+
  \[
\be P(s,T)= A(T)\ e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }
+
    F(\alpha f,g)=\alpha^*F(f,g),\ F(f,\alpha g)=\alpha F(f,g),
%=\prod_{\vec m,\alpha} P^\alpha_{\vec m},\ \ P^\alpha_{\vec m}\propto e^{-{E^\alpha_{\vec m}}/(kT) },
+
  \]
\ll{boltzman}\ee
+
  kde $\alpha\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička značí komplexní sdružení.
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}J/grad$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
+
\ed
\[ \sum_s P(s,T)=1.\] Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů
+
s vlastními frekvencemi
+
$\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi)=c|\vec{m}|/(2L)$
+
$$\overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_s \epsilon(s)P(s,T),$$
+
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v
+
intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$, pak lze spočítat jako součet středních
+
energií
+
oscilátorů s frekvencemi v témže intervalu.
+
  
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$.
+
\noindent \bp
Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů s pevným $\vec m$ bod v ${\bf Z}_+^3$, pak v důsledku \rf{omgm})
+
Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
množina oscilátorů s
+
\be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee
frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ leží v jednom oktantu
+
\ep
kulové
+
slupky poloměru $\frac{2L\nu}{c}$ a tloušťky $\frac{2L}{c}d\nu$ v prostoru
+
vektorů v ${\bf Z}^3$. Energie oscilátorů s frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$
+
je pak rovna součtu energií (\ref{ergempole}) avšak pouze přes body v této slupce, tedy
+
%\be n(\nu)=2\,\frac{1}{8}\left(\frac{2L}{c}\right)^3 4\pi \nu^2 d\nu=V\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
+
\be  d\bar{\cal E}=2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm
+
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu=
+
V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
+
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla.
+
Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole)
+
s danou frekvencí tedy je
+
\be \rho(\nu,T)
+
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2 .
+
\ll{spechus1}\ee
+
  
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných
+
\bd
kladných hodnot $E(q,p)=\alpha p^2 +
+
  Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
\beta q^2$ %, což odpovídá klasickým představám
+
  \be F(g,f)=[F(f,g)]^*\overset{ozn.}{=}F^*(f,g) \ll{ss2} \ee
a rozdělovací funkce
+
\ed
%tohoto podsouboru je
+
souboru stavů oscilátoru  daných hybností $p$ a polohou $q$ je
+
\[ P(q,p)= A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
+
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
+
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
+
a energie pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
+
\nu+d\nu>$ je
+
\[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \]
+
(Rayleigh--Jeansova formule).
+
Tato rozdělovací funkce
+
%Toto záření absolutně černého tělesa
+
však neodpovídá experimentálním hodnotám pro
+
velké frekvence $\nu$. Navíc celková hustota energie elektromagnetického pole
+
\be \epsilon=\int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll {heemp}\ee
+
diverguje.
+
}
+
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}).\ec
+
  
\special{src: 317 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 
+
  Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty
+
  \ll{symfor}
energie  dobře popisuje
+
funkce navržená M. Planckem ve tvaru
+
\be \fbox{\LARGE$
+
\rho(\nu,T)=
+
\frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}
+
$}\ ,\ll{planck}\ee
+
kde
+
experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62\times
+
10^{-34}$ Js. (Viz obr.1)
+
\begin {figure}[hbtp]
+
%  \begin{center}
+
\hskip 2cm\special{em:graph s_planck.gif} \vskip 5cm
+
\caption
+
{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně
+
černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300K, 1500 K}
+
\end{figure}
+
\bc Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací
+
funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s teplotou
+
(Wienův posunovací zákon)?
+
 
\ec
 
\ec
\bc Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení
 
hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě
 
Rayleighova -- Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od
 
veličiny měřené o 5 procent.
 
Jak velký je tento rozdíl v oblasti
 
maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na
 
teplotě?
 
\ec
 
\bc Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa
 
podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro
 
danou teplotu.
 
\ec
 
K odvození rozdělovací funkce \rf{planck})
 
je třeba učinit následující podivný
 
předpoklad (Max Planck, 1900):
 
  
\special{src: 356 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bd
 +
  Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
 +
  \be F(f,f) \geq 0. \ee
 +
  Pokud navíc
 +
  \be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee
 +
  pak tuto formu nazveme \textbf{pozitivně definitní}, resp. striktně pozitivní.
 +
\ed
  
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je  z energetického hlediska
+
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep
ekvivalentní %(viz \rf{ergempole}) )
+
elektromagnetickému poli v
+
dutině, {\em nemohou nabývat libovolných hodnot energie, ale pouze
+
takových, které jsou %se liší o
+
celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.
+
$E_n=n\epsilon_0$.
+
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
+
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
+
  
\special{src: 368 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bt
 +
  Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}
 +
  \be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee
 +
  Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že
 +
  \be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee
  
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$
+
  \begin{proof}
a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s
+
    Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
frekvencí $\nu$ a energií $E_n$ je
+
    \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
+
    Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty
+
    čísla plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
P_n=1$. Sečtením geometrické řady
+
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{n
+
h\nu}{kT}}=1/[1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}]. \]
+
  
\special{src: 379 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
    Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak
 +
    dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti
 +
    \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
 +
    pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost
 +
    platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.
 +
  \end{proof}
 +
\et
 +
} %konec prostředí \small
  
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí
+
\bd
$\nu$ je pak
+
  Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární
\[ \overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
+
  vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.
= A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} =
+
\ed
A^{-1}[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}]=
+
\frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. \]
+
Energii elektromagnetického pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
+
\nu+d\nu>$ pak opět spočítáme jako součin (\ref{pocetstavu}) střední hodnoty
+
energie oscilátorů s frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s frekvencemi uvnitř
+
daného intervalu, z čehož dostaneme Planckovu formuli
+
\rf{planck}).
+
  
\special{src: 393 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bp
 +
  Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
 +
  \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
 +
\ep
  
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp}) spočítaná z takto
+
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru
určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
+
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$
odpovídá Stefan--Boltzmannovu zákonu.
+
\[
+
\epsilon(T)=
+
\frac{8\pi}{c^3}h\int_0^\infty\frac{\nu^3}
+
{e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu
+
=\frac{8\pi}{c^3}\frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty
+
\frac{x^3}{e^x-1}dx=\kappa T^4, \]
+
kde
+
\[ \kappa=\frac{8\pi k^4}{c^3h^3}\frac{\pi^4 }{15}. \]
+
  
\special{src: 407 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bd
 +
  Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.
 +
\ed
  
{\bf Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa
+
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep
lze odvodit pomocí předpokladu, že {\em energie harmonického
+
oscilátoru s frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskretních
+
hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
+
%jejíž experimentálně určená hodnota je $h = 6.62\times 10^{-27}$ erg s.
+
  
\special{src: 415 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
{\small
 +
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na
 +
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle
 +
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).
 +
}%small
  
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v rozporu s naší zkušeností,
+
\bp
neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické
+
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$, tj. $L^2((a,b),\dx)\overset{ozn.}{=}L^2(a,b)$ se skalárním součinem
oscilátory
+
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)\dx \]
hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
+
je Hilbertův.
 +
\ep
  
\special{src: 422 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry
 +
nula. Můžeme tedy shrnout, že  \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice v $\R^3$ tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor $\mathcal{H} = L^2(\R^3,\d^3x)$}.
  
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u atomů (konkrétně rtuti) v serii pokusů Francka a Hertze v letech 1914--1919 (viz \cite{uhl:uvaf}).
+
\bt [Rieszovo lemma]
\subsection{Fotoefekt}
+
  Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\Hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\Hil$ takový, že pro všechna $f\in\Hil$ platí
Potvrzením Planckovy hypotézy o kvantovém charakteru energie
+
  \[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
elektromagnetického pole bylo i
+
\et
Einsteinovo vysvětlení fotoefektu -- emise
+
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v
+
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán, a se kterým se podrobněji seznámíme v kapitole \ref{kets}.
roce 1903.
+
  
\special{src: 432 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\vskip 1cm
  
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl
+
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze.
Milikan v roce 1916 (viz obr.2). Na fotokatodu zapojenou do elektrického obvodu
+
{\small
dopadá monochromatické světlo s frekvencí $\nu$, která se
+
\bd
postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj
+
  Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole,
+
  \textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme
které vrací
+
  ji \textbf{ortonormální}.
elektrony emitované světelným zářením zpět.
+
\ed
\begin{figure}[hbtp]
+
\bd
 +
  Vektor $x\in \Hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \Hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
 +
  nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.
 +
\ed
 +
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.
 +
\bt
 +
  Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že
 +
  $x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).
 +
\et
 +
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.
 +
}%small
 +
\bd
 +
  \textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.
 +
\ed
 +
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární
 +
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální
 +
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.
  
%TexCad Options
+
\bp
%\grade{\on}
+
  Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.
%\emlines{\off}
+
\ep
%\beziermacro{\off}
+
%\reduce{\on}
+
%\snapping{\on}
+
%\quality{2.00}
+
%\graddiff{0.01}
+
%\snapasp{1}
+
%\zoom{1.00}
+
\unitlength 1mm
+
\linethickness{0.4pt}
+
\begin{picture}(105.00,85.00)
+
%\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00)
+
\put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}}
+
%\end
+
\put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]}
+
%\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00)
+
\put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}}
+
%\end
+
%\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00)
+
\put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}}
+
%\end
+
\put(100.00,50.00){\circle{10.00}}
+
%\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00)
+
\put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}}
+
\multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
+
%\end
+
%\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00)
+
\put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}}
+
%\end
+
%\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00)
+
\put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}}
+
%\end
+
%\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00)
+
\put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}}
+
%\end
+
%\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00)
+
\put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}}
+
%\end
+
%\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00)
+
\put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}}
+
%\end
+
%\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00)
+
\put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}}
+
%\end
+
%\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00)
+
\put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}}
+
%\end
+
%\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00)
+
\put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}}
+
%\end
+
%\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00)
+
\put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}}
+
%\end
+
%\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00)
+
\put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}}
+
%\end
+
%\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00)
+
\put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}}
+
%\end
+
%\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00)
+
\put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}}
+
%\end
+
\put(65.00,15.00){\circle{10.00}}
+
%\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00)
+
\put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}}
+
\multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
+
%\end
+
%\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00)
+
\put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}}
+
%\end
+
%\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00)
+
\put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}}
+
%\end
+
%\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00)
+
\put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}}
+
\multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
+
%\end
+
%\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00)
+
\put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}}
+
\multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
+
%\end
+
%\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00)
+
\put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}}
+
\multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
+
%\end
+
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}}
+
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}
+
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}
+
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatick\'e‚ sv\v{e}tlo s frekvenc\'i $\nu$ }}
+
\end{picture}
+
  
 +
\bd
 +
  Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme
 +
  skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.
 +
\ed
  
\caption{Milikanovo zapojení pro měření fotoefektu}
+
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), jsou {\bf separabilní} - mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^\infty$. V~takovýchto prostorech platí pro každé $f\in\Hil$
\end{figure}
+
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee
 +
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee
 +
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}  
  
\special{src: 446 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
  
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane
 
procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného záření
 
je lineární.
 
\[U_s=\frac{h}{e}(\nu-\nu_0)\]
 
 
\special{src: 453 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou
 
fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v
 
tom, že v procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum
 
záření -- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
 
úměrná frekvenci $E=h\nu$. ("...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves wtihout dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.") Kinetická energie emitovaného
 
elektronu je
 
\be E_{kin}=eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{foton}-E_{ion}.
 
\ll{ekine}\ee
 
 
\special{src: 464 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{ion}/h$, kde $E_{ion}$ je
 
ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází ani při
 
zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných
 
pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$
 
získávají elektrony energii \rf{ekine}).
 
Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu se shodovala s
 
konstantou určenou ze záření černého tělesa.
 
 
\special{src: 474 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
{\bf Závěr:} Existují {\em kvanta světelného záření -- fotony},
 
která působí v
 
elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie jednoho
 
fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a
 
$h$ je konstanta určená z Planckova vyzařovacího zákona.
 
 
\bc
 
\bc
Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka
+
  Najděte ortonormální bázi  v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice
mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z nich se dostane do oka
+
  \[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]
pozorovatele ve vzdálenosti 10 km? (Poloměr čočky oka je asi 5 mm.)
+
%Kolik fotonů emituje anténa vysílače o výkonu 1 W vysílající
+
%na krátkých vlnách 30 m?
+
 
\ec
 
\ec
\subsection{Comptonův rozptyl}
 
  
\special{src: 490 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Obecně můžeme shrnout popis možných stavů kvantové částice do následujícího postulátu:
  
V roce 1923 provedl A.H. Compton pokus, který měl odhalit, zda se
+
\begin{post}
kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn. zda vedle
+
Stavový prostor kvantové částice je separabilní Hilbertův prostor $\mathcal{H}$. Stav kvantové částice je popsán nenulovým vektorem $\psi\in\mathcal{H}$.
energie mají též definovanou hybnost. V tomto pokusu byl měřen
+
\end{post}
rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v jehož krystalické
+
mříži jsou elektrony relativně volné.
+
  
\special{src: 498 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
{Striktně vzato stavu kvantové částice odpovídá paprsek, tj. jednorozměrný podprostor v $\mathcal{H}$ (viz. postulát q1-b v \cite{beh:lokf}). Každý paprsek je ale jednoznačně určen nějakým nenulovým vektorem $\psi$. Vzhledem k pravděpodobnostní intrepretaci stavu v kvantové mechanice budeme (až na vyjímky, kde to explicitně zmíníme) uvažovat normalizované vektory, tj. $\|\psi\|=1$.}
  
 +
Volba Hilbertova prostoru závisí na konkretním problému. Budeme ji provádět "intuitivně", např. pro částici v prostoru je přirozené zvolit $\mathcal{H} = L^2(\R^3,d^3x)$, protože pak můžeme přímo interpretovat vlnové funkce $\psi(\vec{x})\in\mathcal{H}$ jako amplitudy pravděpodobnosti nalezení částice v daném bodě prostoru. Analogicky, pro částici na přímce (např. lineární harmonický oscilátor) volíme $\mathcal{H} = L^2(\R,dx)$. V některých případech bude mít Hilbertův prostor konečnou dimenzi, např. pro spin $\frac{1}{2}$, který má dva jednoznačně rozlišitelné stavy (spin nahoru/dolů do pevně zvoleného směru), je $\mathcal{H} = \C^2$.
  
\special{src: 501 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět
+
\section{Pozorovatelné a jejich spektra}
vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce (tj. všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv. tlak
+
\ll{pozorovatelne}
světla. V klidové soustavě elektronu pak dojde k emisi záření
+
se stejnou vlnovou délkou a nulovou střední hybností.
+
V laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_e$ a
+
energii $E_e$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu
+
změnu vlnové délky záření
+
\be
+
(\Delta\lambda)_{klas}=\lambda_0\frac{cP_e}{E_e-cP_e}
+
(1-cos\Theta),
+
\ll{compclas}\ee
+
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny,
+
$\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření,
+
$E_e,P_e$
+
jsou velikost energie a hybnosti elektronu, které s délkou ozařování rostou.
+
}
+
  
\special{src: 520 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie,
 +
momentu hybnosti,...). Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda
 +
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné
 +
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím bodu fázového prostoru. Možné hodnoty, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit, jsou dány oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie
 +
stavu $(\vec p,\vec q)$ je
 +
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
 +
a její obor hodnot je $\Rp$.
  
Podívejme se jak bude tento jev %proces %podobná formule
+
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni
+
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických
chovají jako částice s danou energií a hybností (viz
+
pojmů v~kvantové mechanice.
Obr.\ref{fig:compton}).
+
\begin{figure}
+
  
%TexCad Options
+
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno
%\grade{\on}
+
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným
%\emlines{\off}
+
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů
%\beziermacro{\off}
+
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru
%\reduce{\on}
+
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
%\snapping{\on}
+
experimentálním ověřováním teorie.
%\quality{2.00}
+
%\graddiff{0.01}
+
%\snapasp{1}
+
%\zoom{1.00}
+
\unitlength 1.00mm
+
\linethickness{0.2pt}
+
\begin{picture}(90.00,50.00)
+
%\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00)
+
\put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}}
+
\put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}}
+
%\end
+
%\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00)
+
\put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}}
+
\multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}}
+
%\end
+
%\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00)
+
\put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}}
+
\multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}}
+
%\end
+
\put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}}
+
\put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}}
+
\put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}}
+
\end{picture}
+
  
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu}\ll{fig:compton}
+
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice v $\R^3$ je
\end{figure}
+
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
V tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření
+
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee
popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu ("... when an X-ray quantum is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."),
+
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}
při které se celková energie a hybnost zachovává.
+
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vex):=-i\hbar\dfrac{\pd\psi}{\pd x_j}(\vex)$} \ll{poper} \ee
\be \epsilon_{\nu_0}+m_ec^2=\epsilon_{\nu}+ E_e
+
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.
\ll{zachovanienergie} \ee
+
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec p_{\nu}+\vec p_{e},\ll{zachovani hybnosti} \ee
+
kde
+
\[ \vec p_e=\frac{m_e\vec v_e}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\ \
+
E_e=\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\]
+
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \ |\vec p_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
+
a $v_e$ je rychlost odraženého elektronu.
+
Ze zákona zachování hybnosti plyne
+
\[ (\vec p_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2=
+
\frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)=\]
+
\[ {\vec p_e}{}^2=\frac{m_e^2v_e^2}{1-v_e^2/c^2}=E_e^2/c^2-m_e^2c^2. \]
+
Použijeme-li ještě zákon zachování energie,
+
pak algebraickými úpravami dostaneme
+
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_ec}(1-\cos \Theta),
+
\ll{compton2}\ee
+
což je vzorec pro  vlnovou délku emitovaného záření v závislosti
+
na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
+
Veličina
+
$\frac{\hbar}{m_ec}$ se často nazývá {\em Comptonova
+
vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}m$.
+
  
\special{src: 555 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně
 +
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.
  
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony  hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření
+
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence},
velikosti $P_e$, pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
+
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
\be \lambda-\lambda_0=
+
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
\frac{(\lambda_0 P_e+h)c}{\sqrt{m_e^2c^4+P_e^2c^2}-P_ec}(1-\cos
+
\[ E(\hat Q_j,\hat P_j) = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]
\Theta).
+
kde $\lapl=\sum\limits_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.
\ll{compton}\ee
+
Pro $P_e\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli
+
\rf{compclas}).
+
Comptonovy vzorce \rf{compton}) resp. \rf{compton2})
+
se však experimentálně potvrdily
+
i pro krátkovlné rentgenovské záření.
+
  
\special{src: 569 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec
  
 +
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů,
 +
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich
 +
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) diferencovatelné a jejich derivace musí být kvadraticky integrabilní). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
 +
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot,
 +
které lze pro danou veličinu naměřit}.
  
\special{src: 572 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.
 
+
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.
{\bf Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou
+
\bc
energii, ale i hybnost, jejíž velikost je nepřímo úměrná vlnové
+
  \ll{nekpoja}
délce záření $|\vec p| = h/\lambda$.
+
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě},
\bc Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova
+
  tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
záření.
+
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
 
\ec
 
\ec
\bc Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož
+
\bc
zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace
+
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu
\[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
+
  $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
v klidu?
+
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.
 
\ec
 
\ec
  
\special{src: 586 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
\subsection{Shrnutí}
 
  
\special{src: 590 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\section{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
 +
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány.
 +
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
  
Z výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt
+
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá
%v předchozích podkapitolách
+
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických
plyne, že v mikrosvětě, tj. při zkoumání atomárních jevů:
+
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$,
\begin{enumerate}
+
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
\item
+
Existují fyzikální objekty -- kvanta, kvantové částice --
+
%Ztrácí se rozdíl mezi hmotnými objekty a zářením.
+
mající jak vlnový tak částicový charakter.
+
% a chová se podobně jako soubor částic.
+
% a hmotné objekty přestávají mít čistě částicový charakter.
+
\item
+
Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např. energie či
+
momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn. tyto veličiny se mohou
+
měnit pouze o konečné přírustky.
+
%nabývají než se očekávalo
+
\end{enumerate}
+
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo
+
ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
+
fyzikálních systémů.
+
  
\special{src: 612 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
  
Z pedagogických důvodů začneme její výklad popisem
+
\bd
jedné kvantové částice bez vazeb,
+
  Lineární operátor $\hat B:\df\hat B\to\Hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in\df\hat B$ platí
jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
+
  \[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u každé fyzikální teorie {\bf se nejedná o odvození
+
\ed
%Slovo "odvodíme" v minulém odstavci je přitom třeba chápatnikoliv
+
ve smyslu, na který jsme zvyklí z matematiky, nýbrž o
+
sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, %konstrukci,
+
jejichž správnost musí prověřit experimenty.}
+
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž
+
postuloval.
+
%další vývoj její správnost prověřil do té
+
%%míry, že na počátku tohoto století byla považována za
+
%neotřesitelné dogma.jí nyní považujeme
+
%a uvěřitelných
+
\subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
+
%\input{debrogli.sub}
+
%Strategicko--pedagogický plán této kapitoly je následující:
+
%Z \db ovy hypotézy odvodíme \sv u rovnici pro volnou částici a
+
%postulujeme její zobecnění pro částici v silovém poli. Poté z
+
%matematické formy \sv y \rc e a pravděpodobnostní interpretace %jejích
+
%řešení odvodíme strukturu stavového prostoru.
+
%Pro popis kvantových stavů z
+
%Zavedeme pojem pozorovatelných, jejich spektra a
+
%kompatibility a  tyto pojmy pak využijeme k popisu
+
%kvantově--mechanického stavu a fyzikálním předpovědím.
+
  
\special{src: 640 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze
 +
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.
  
Z vysvětlení experimentálních fakt v předchozích kapitolách
+
\bp
plyne, že při zkoumání atomárních jevů
+
  Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce
záření přestává
+
  je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}
mít čistě vlnový charakter a chová se v některých aspektech jako
+
  \[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]
soubor částic.
+
  je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem -- kvantové \cc e -- popisující fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
+
\ep
  
\special{src: 649 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bd
 +
  Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna
 +
  $f,g\in\Hil$
 +
  \[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]
 +
\ed
  
Pod vlivem poznatků o duálním částicově--vlnovém charakteru
+
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
světla
+
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee
De Broglie v roce 1923 usoudil, že tento %částicově--vlnový
+
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí
dualismus je vlastností všech mikroskopických
+
\be
objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.
+
  (a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger .
elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo jako částice,
+
  \ll{algop}
podle toho jaké jevy, v nichž se účastní, zkoumáme.
+
\ee
Vyslovil hypotézu, že {\em pro popis jevů na atomární
+
úrovni je třeba přiřadit volným
+
kvantovým částicím s hybností $\vec p$ a energií $E$ -- nikoliv bod fázového prostoru nýbrž rovinou monochromatickou vlnu $\psi_{\vec p,E}$,
+
jejíž frekvence je (stejně jako pro foton)
+
úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti
+
částice, přesněji funkci}
+
\be\mbox{\Large $
+
\psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A
+
e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $},
+
\ll{dbvlna}\ee
+
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar:=h/2\pi=1.054 572\times10^{-34}$ Js.
+
  
\special{src: 670 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 
+
  Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy,
+
  operátoru $\hat{M}^\dagger$?
%vynikne zejména tehdy,
+
je třeba si uvědomit, že
+
v té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové vlastnosti
+
hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o
+
několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na
+
krystalech.
+
\bc Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu
+
kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10
+
$\mu$g pohybující se rychlostí zvuku.
+
\ec
+
\bc Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozměrech $1\times 1.5$ m.
+
\ec
+
\bc Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm?
+
 
\ec
 
\ec
  
\special{src: 688 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bd
 +
  Operátor $\hat{B}$ na $\Hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.
 +
\ed
  
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií %\db ovy vlny je
+
\bp
stejný jako u
+
  Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný
klasické volné částice $E=\vec{p}^2/2m$ %pro nerelativistický případ či
+
  \[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]
(případně $E=\sqrt{\vec{p}^2c^2+m^2c^4}$ pro kvantum pohybující se rychlostí
+
  je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)
blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna
+
\ep
%pro hmotnou částici
+
nesplňuje  vlnovou rovnici \rf{vlnrce}), která plyne z teorie elektromagnetického
+
pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje.
+
Tuto \rc i našel v roce 1925 E. Schr\"{o}dinger a nese jeho jméno.
+
%\input{schr_rce.sub}
+
  
\special{src: 701 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bt
 +
  Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje
 +
  $\hat{E}^2 = \hat{E}$.
 +
\et
  
K odvození \rc e pro \db ovy vlny
+
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich
je nejsnazší vyjít z výše uvedených klasických vztahů mezi
+
definice vychází z~následujícího faktu:
energií a hybností, které vlastně představují disperzní relace,
+
a použít identity
+
\be p_i\psi%(\vec{x},t}
+
=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} \psi, E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps}\ee
+
plynoucí z popisu kvant
+
%vztah mezi hodnotou složek hybnosti a
+
příslušnou \db ovou vlnou.
+
Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
+
\be  \frac{\partial\psi}{\partial t}=
+
-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^3\frac{p_i^2}{2m}\psi=
+
-\frac{i}{2m\hbar}\sum_{i=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial
+
x_i^2})\psi \ll{srvolna}\ee
+
  
\special{src: 718 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bt
 +
  Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že
 +
  pro všechna $g\in\df\hat T$ platí
 +
  \be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee
 +
\et
 +
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
 +
\bd
 +
  Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina
 +
  všech $f\in\Hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$
 +
\ed
 +
\bd
 +
  Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.
 +
\ed
  
E. Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
+
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
\be  \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
+
i pro kvantovou
+
částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem
+
$V(\vec{x})$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci
+
takovéto kvantové \cc e se obvykle
+
píše ve tvaru
+
\be\fbox{\LARGE $
+
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vec{x})\psi
+
$}\ll{sr}\ee
+
a nazývá se {\em Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární
+
operátor na pravé straně \sv y \rc e
+
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vec{x})
+
\ll{hamiltonian} \ee
+
se nazývá {\em hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence
+
učebnic kvantové mechaniky,
+
že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
+
  
\special{src: 738 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bd
 +
  Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $,
 +
  tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.
 +
\ed
  
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna}) pro "volnou \qv ou částici"
+
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.
(což může být např.
+
elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není pouze \db ova vlna,
+
ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných.
+
Díky linearitě \sv
+
\rc e je řešením \rf{srvolna}) i lineární superpozice \db ových vln odpovídajících různým hybnostem
+
\be \psi(\vec{x},t)=\int_{\real^3}\tilde\psi(\vec
+
p)e^{\frac{i}{\hbar}(\vec p\vec x-\frac{p^2}{2m}t)}dp^3.
+
\ll{vlnbalik}\ee
+
%$\psi =\psi(x,t)$.
+
%$\psi: {\bf D \->\complex,\ \ \bf D \part
+
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna}) má jenom
+
některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou
+
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o její
+
poloze.
+
Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její
+
vlastnosti, např. lokalizovatelnost v určité části prostoru, pak musíme použít
+
jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
+
\begin{cvi}
+
Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a  vlnová \fc e částice má v čase $t_0$ ("lokalizovaný") tvar
+
\be g(\vec x)=C\exp[-A\vex^2+\vec B\vec x] \ll{mvb}\ee
+
Pomocí Fourierovy
+
transformace určete řešení \sv y
+
\rc e $\psi(\vec x,t)$, které v čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj. splňuje počáteční podmínku
+
$\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$
+
%(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
+
kde $Re\  A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$.
+
\ll{ex:vlnbal}
+
\end{cvi}
+
\bc Nechť $\psi(x,y,z,t)$  je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
+
\[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]
+
je řešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním gravitačním poli (Avron-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
+
\ec
+
\special{src: 770 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
  
\subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}
+
\noindent \bp
 +
  Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$
 +
  je samosdružený.
 +
\ep
  
\special{src: 774 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené
 +
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
  
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny
+
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě
připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
+
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.
význam, neboli problém {\em fyzikální interpretace řešení
+
\sv y \rc e.}
+
  
\special{src: 781 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.
 +
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
 +
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.
 +
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
 +
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\Hil\times\Hil; x\in D_T\} \]
 +
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},
 +
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\Hil\times\Hil$.
 +
%\ed
 +
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
 +
%celá komplexní rovina.
 +
\bd
 +
  \textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného
 +
  operátoru $\hat{T}$} je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\unit)$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.
 +
\ed
  
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické
+
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že
mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná
+
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu vlastních čísel
jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální
+
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \textbf{bodovým spektrem} a značíme $\sigma_p(\hat{T})$. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný.
+
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří tzv.~\textbf{spojité spektrum} $\sigma_c(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ je hustý v $\mathcal{H}$) a \textbf{reziduální spektrum} $\sigma_r(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ není hustý v $\mathcal{H}$). Pro samosdružené operátory je reziduální spektrum prázdné.
Problém %jejich
+
interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je
+
rovnicí v
+
komplexním oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce.
+
Podotázkou tohoto problému pak je, zda
+
všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
+
  
\special{src: 794 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí:
 
+
\bt
Po mnoha marných pokusech interpretovat    řešení \sv y \rc e jako
+
  Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.
silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho statistická
+
\et
interpretace (Max Born, 1926):
+
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.
%Problém interpretace řešení \sv y \rc e řeší Bornův postulát:
+
}
  
\special{src: 801 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Popis pozorovatelných v kvantové mechanice můžeme shrnout do následující postulátu:
  
{\bf  Řešení \sv y \rc e %obsahuje veškerou informaci
+
\begin{post}
udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení
+
\label{post:poz}
částice v různých oblastech prostoru:
+
Pozorovatelným veličinám v kvantové mechanice odpovídají samosdružené operátory na stavovém prostoru $\mathcal{H}$. Možné výsledky měření pozorovatelné tvoří spektrum příslušného operátoru.
Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y \rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní
+
\end{post}
hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$
+
je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v okamžiku $t$ v místě
+
s kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
+
\begin{cvi}
+
Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané
+
de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna}) v oblasti
+
$(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ?
+
\end{cvi}
+
\begin{cvi}\ll{casvmvb}
+
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
+
\be \psi(\vec x,t)=Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}}
+
\chi(t)^{-3/2}\exp\{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}\} \ll{mvbt}\ee
+
\[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
+
z příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$?
+
Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je
+
rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem?
+
%Jaká je rychlost rozplývání
+
Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku
+
pro elektron lokalizovaný s přesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotě 1 gram
+
jehož těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m?
+
\ll{ex:pstvb}\end{cvi}
+
{Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice?}
+
Pravděpodobnost nalezení částice v oblasti $O\subset{\bf R}^3$
+
je úměrná
+
\[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \]
+
%přirozeným způsobem jako
+
%četnost výskytu v oblasti $O$ dělená četností výskytu "kdekoliv"
+
%tj. v ${\bf R^3}$ pak
+
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z požadavku,
+
%Je zřejmě přirozené považovat,
+
aby pravděpodobnost nalezení částice "kdekoliv" se rovnala
+
jedné.
+
% takže fyzikální význam mají řešení, pro která platí
+
%\[ =1 \]
+
%Vzhledem k tomu, že množina řešení \sv y \rc e je lineární
+
%prostor, pak
+
Tuto podmínku lze snadno splnit, položíme-li hustotu
+
pravděpodobnosti rovnou
+
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1}
+
|\psi(x,y,z,t)|^2,
+
\ll{pst}\ee
+
%vydělením libovolného řešení $\psi$ číslem $1/\sqrt{A(\psi)}$,
+
kde
+
\be A(\psi)=\int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz ,\ll{norma}\ee
+
pokud tento integrál existuje.
+
  
\special{src: 853 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Fyzikálně    snadno
+
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že
interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která
+
ani pro \qv ou částici
splňují
+
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
\be \int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty.\ll{konecnanorma}\ee
+
%hybnosti částice.
Těmi se budeme v následujícím textu zabývat především.
+
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:48

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Stavy a pozorovatelné v \qv é mechanice}
\ll{Popisstavu}
 
\sv a \rc e  má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic,
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a
\qv é mechanice.
 
 
 
 
\section{Stavový prostor}
\ll{stavprost}
 
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
 
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice v $\R^3$ je určen komplexní funkcí tří
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{vlnová funkce částice}.
 
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na vlnové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d^3 x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné nenulové komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
 
\bc
  Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+\dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí
  \be g(x,y,z)=Ae^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}}, \ll{zsv} \ee
  kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.
  \ll{ex:pstvodat}
\ec
 
Díky Minkowského nerovnosti
\[
  \left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2}
    \leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},
\]
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$,
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná nenulová komplexní čísla.}
 
\bc
  Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?
  \ll{ex:hilbspvb}
\ec
 
\bc
  Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?
\ec
 
Na lineárním vektorovém prostoru vlnových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův,
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
 
 
 
 
\section{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené).
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
{\small
\bd
  \textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení
  $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
  \[
    F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
    F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),
  \]
  \[
    F(\alpha f,g)=\alpha^*F(f,g),\ F(f,\alpha g)=\alpha F(f,g),
  \]
  kde $\alpha\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička značí komplexní sdružení.
\ed
 
\noindent \bp
 Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
 \be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee
\ep
 
\bd
  Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
  \be F(g,f)=[F(f,g)]^*\overset{ozn.}{=}F^*(f,g)  \ll{ss2} \ee
\ed
 
\bc
  Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.
  \ll{symfor}
\ec
 
\bd
  Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
  \be F(f,f) \geq 0. \ee
  Pokud navíc
  \be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee
  pak tuto formu nazveme \textbf{pozitivně definitní}, resp. striktně pozitivní.
\ed
 
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep
 
\bt
  Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}
  \be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee
  Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že
  \be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee
 
  \begin{proof}
    Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
    \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
    Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního
    čísla plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
 
    Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak
    dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti
    \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
    pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost
    platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.
  \end{proof}
\et
} %konec prostředí \small
 
\bd
  Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární
  vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.
\ed
 
\bp
  Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
  \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
\ep
 
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$
 
\bd
  Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.
\ed
 
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep
 
{\small
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).
}%small
 
\bp
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$, tj. $L^2((a,b),\dx)\overset{ozn.}{=}L^2(a,b)$ se skalárním součinem
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)\dx \]
je Hilbertův.
\ep
 
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry
nula. Můžeme tedy shrnout, že  \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice v $\R^3$ tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor $\mathcal{H} = L^2(\R^3,\d^3x)$}.
 
\bt [Rieszovo lemma]
  Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\Hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\Hil$ takový, že pro všechna $f\in\Hil$ platí
  \[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
\et
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán, a se kterým se podrobněji seznámíme v kapitole \ref{kets}.
 
\vskip 1cm
 
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze.
{\small
\bd
  Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme
  \textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme
  ji \textbf{ortonormální}.
\ed
\bd
  Vektor $x\in \Hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \Hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
  nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.
\ed
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.
\bt
  Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že
  $x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).
\et
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.
}%small
\bd
  \textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.
\ed
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.
 
\bp
  Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.
\ep
 
\bd
  Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme
  skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.
\ed
 
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), jsou {\bf separabilní} - mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^\infty$. V~takovýchto prostorech platí pro každé $f\in\Hil$
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.} 
 
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
 
\bc
  Najděte ortonormální bázi  v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice
  \[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]
\ec
 
Obecně můžeme shrnout popis možných stavů kvantové částice do následujícího postulátu:
 
\begin{post}
Stavový prostor kvantové částice je separabilní Hilbertův prostor $\mathcal{H}$. Stav kvantové částice je popsán nenulovým vektorem $\psi\in\mathcal{H}$.
\end{post}
 
{Striktně vzato stavu kvantové částice odpovídá paprsek, tj. jednorozměrný podprostor v $\mathcal{H}$ (viz. postulát q1-b v \cite{beh:lokf}). Každý paprsek je ale jednoznačně určen nějakým nenulovým vektorem $\psi$. Vzhledem k pravděpodobnostní intrepretaci stavu v kvantové mechanice budeme (až na vyjímky, kde to explicitně zmíníme) uvažovat normalizované vektory, tj. $\|\psi\|=1$.}
 
Volba Hilbertova prostoru závisí na konkretním problému. Budeme ji provádět "intuitivně", např. pro částici v prostoru je přirozené zvolit $\mathcal{H} = L^2(\R^3,d^3x)$, protože pak můžeme přímo interpretovat vlnové funkce $\psi(\vec{x})\in\mathcal{H}$ jako amplitudy pravděpodobnosti nalezení částice v daném bodě prostoru. Analogicky, pro částici na přímce (např. lineární harmonický oscilátor) volíme $\mathcal{H} = L^2(\R,dx)$. V některých případech bude mít Hilbertův prostor konečnou dimenzi, např. pro spin $\frac{1}{2}$, který má dva jednoznačně rozlišitelné stavy (spin nahoru/dolů do pevně zvoleného směru), je $\mathcal{H} = \C^2$.
 
 
\section{Pozorovatelné a jejich spektra}
\ll{pozorovatelne}
 
V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie,
momentu hybnosti,...). Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím bodu fázového prostoru. Možné hodnoty, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit, jsou dány oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie
stavu $(\vec p,\vec q)$ je
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
a její obor hodnot je $\Rp$.
 
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických
pojmů v~kvantové mechanice.
 
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
experimentálním ověřováním teorie.
 
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice v $\R^3$ je
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vex):=-i\hbar\dfrac{\pd\psi}{\pd x_j}(\vex)$} \ll{poper} \ee
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.
 
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.
 
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence},
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
\[ E(\hat Q_j,\hat P_j) =  -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]
kde $\lapl=\sum\limits_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.
 
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec
 
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů,
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) diferencovatelné a jejich derivace musí být kvadraticky integrabilní). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot,
které lze pro danou veličinu naměřit}.
 
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.
\bc
  \ll{nekpoja}
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě},
  tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
\ec
\bc
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu
  $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.
\ec
 
 
 
\section{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány.
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
 
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$,
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
 
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
 
\bd
  Lineární operátor $\hat B:\df\hat B\to\Hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in\df\hat B$ platí
  \[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]
\ed
 
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.
 
\bp
  Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce
  je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}
  \[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]
  je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
\ep
 
\bd
  Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna
  $f,g\in\Hil$
  \[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]
\ed
 
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí
\be
  (a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger .
  \ll{algop}
\ee
 
\bc
  Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá
  operátoru $\hat{M}^\dagger$?
\ec
 
\bd
  Operátor $\hat{B}$ na $\Hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.
\ed
 
\bp
  Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný
  \[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]
  je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)
\ep
 
\bt
  Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje
  $\hat{E}^2 = \hat{E}$.
\et
 
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich
definice vychází z~následujícího faktu:
 
\bt
  Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že
  pro všechna $g\in\df\hat T$ platí
  \be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee
\et
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
\bd
  Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina
  všech $f\in\Hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$
\ed
\bd
  Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.
\ed
 
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
 
\bd
  Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $,
  tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.
\ed
 
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.
 
\noindent \bp
  Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$
  je samosdružený.
\ep
 
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
 
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.
 
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\Hil\times\Hil; x\in D_T\} \]
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\Hil\times\Hil$.
%\ed
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
%celá komplexní rovina.
\bd
  \textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného
  operátoru $\hat{T}$} je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\unit)$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.
\ed
 
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu vlastních čísel
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \textbf{bodovým spektrem} a značíme $\sigma_p(\hat{T})$. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří tzv.~\textbf{spojité spektrum} $\sigma_c(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ je hustý v $\mathcal{H}$) a \textbf{reziduální spektrum} $\sigma_r(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ není hustý v $\mathcal{H}$). Pro samosdružené operátory je reziduální spektrum prázdné.
 
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí:
\bt
  Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.
\et
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.
}
 
Popis pozorovatelných v kvantové mechanice můžeme shrnout do následující postulátu:
 
\begin{post}
\label{post:poz}
 Pozorovatelným veličinám v kvantové mechanice odpovídají samosdružené operátory na stavovém prostoru $\mathcal{H}$. Možné výsledky měření pozorovatelné tvoří spektrum příslušného operátoru.
\end{post}
 
 
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že
ani pro \qv ou částici
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
%hybnosti částice.
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.