02KVAN:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Obsah stránky nahrazen textem „%\wikiskriptum{02KVAN}“)
Řádka 1: Řádka 1:
\wikiskriptum{02KVAN}
+
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
+
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a
+
magnetismu, termodynamiky, ...) je popis {\em množiny stavů a
+
určení časového
+
vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení
+
měřitelných veličin tzv. {\em pozorovatelných},
+
%-- {\em dynamických proměnných},
+
které jsou pro zkoumaný systém relevantní, a
+
předpovězení vývoje jejich hodnot.
+
% parametrů, které jsme pro daný systém schopni změřit.
+
Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie,
+
elektrická a magnetická intenzita, teplota, objem atd.
+
 
+
\special{src: 13 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru
+
stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny
+
%tzv.  jež jsou funkcemi času, případně místa
+
a fyzikální zákony určující
+
jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi.
+
Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých
+
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření.
+
Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se
+
zdálo, že vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny
+
fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není
+
pravda, a že klasická fyzika nedokáže bezesporně popsat
+
některé jevy, ke kterým dochází v důsledku interakcí na atomární
+
úrovni.}
+
\bc Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou
+
formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice.
+
Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální
+
veličiny jsou určeny?
+
\ec
+
 
+
\special{src: 34 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Základní
+
fyzikální objekty -- {\bf hmota a záření} --
+
jsou v klasické fyzice {\bf popsány zcela odlišným
+
způsobem}. Hmotné objekty jsou lokalizované a řídí se Newtonovými
+
pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se
+
Maxwellovými polními rovnicemi. Dochází u něj k vlnovým
+
jevům např. interferenci a ohybu.
+
 
+
\special{src: 44 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
V makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob
+
popisu  kvalitativně různých objektů zcela logický.
+
Pokusy prováděné počátkem tohoto století však ukázaly, že pro
+
popis objektů v mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní,
+
ba dokonce vedou k předpovědím které jsou v rozporu s
+
pozorováními.
+
 
+
\special{src: 53 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu,
+
který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají
+
okolo kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce.
+
Podle této představy
+
jsou elektrony klasické, elektricky
+
nabité (na rozdíl od planet!) částice.
+
Problém je však v tom, že z teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu
+
po zakřivené dráze měly produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní
+
mechanické energie.}
+
 
+
\special{src: 65 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by
+
měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít
+
konečnou, dokonce velmi krátkou  (cca $10^{-10}$ sec)
+
dobu života.
+
Obě tyto předpovědi jsou v rozporu s pozorováním. Smířit tento
+
rozpor teorie a experimentu se podařilo až kvantové mechanice za
+
cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v tomto
+
případě elektronu jako částice pohybující se po nějaké dráze.
+
\begin{cvi}Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v
+
atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou částici
+
pohybující se po kruhové dráze o (Bohrově) poloměru
+
$a\approx 10^{-10}$ m. (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52)
+
\end{cvi}
+
 
+
\special{src: 81 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
K dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u zrodu \qv é
+
mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa,
+
%vyzařovací zákon,
+
fotoefekt a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v
+
příštích podkapitolách.
+
Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i
+
představy o čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.
+
 
+
\special{src: 91 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
\subsection{Planckův vyzařovací zákon}
+
 
+
\special{src: 95 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Jedním z problémů klasické %termodynamiky
+
fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření
+
%závislost hustoty energie záření $\rho(\nu,T)$
+
tzv. absolutně černého tělesa, přesněji její závislost
+
na frekvenci záření a teplotě tělesa.
+
 
+
\special{src: 103 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{\em Absolutně černé těleso}, tzn. těleso které neodráží žádné vnější
+
záření, lze realizovat otvorem v dutině, jejíž vnější stěny jsou vodivé a jsou
+
ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické
+
záření, jehož experimentálně změřené spektrální rozdělení
+
%rozdělovací funkce tj. závislost intenzity záření na frekvenci a teplotě
+
je v rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
+
%\subsubsection{Klasický popis záření černého tělesa,
+
%Rayleigh--Jeansův zákon}
+
 
+
\special{src: 114 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Oscilací atomů stěn dutiny  zahřáté na teplotu $T$ se v dutině
+
vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf} Kap.8), jež je zdrojem záření černého
+
tělesa.
+
Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$
+
musí splňovat Maxwellovy--Lorentzovy rovnice beze zdrojů
+
%tj. s nulovou pravou stranou %splňujícím
+
\be {\rm div} \vec{E}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0. \ll{ml1} \ee
+
\be {\rm div} \vec{B}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0. \ll{ml2}\ee
+
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby
+
tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole
+
byly na
+
stěnách dutiny nulové (viz např. \cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
+
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
+
kde
+
$\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně
+
dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto pole je ekvivalentní
+
systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
+
 
+
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1})--\rf{podnast}). Z II. serie Maxwellových --Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem
+
\be \vec E = -{\rm grad}\ \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = {\rm rot}\ \vec{A'}.\ee
+
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací
+
dosáhnout toho, že elektromagnetické
+
potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují $\phi=0,\ div\vec{A}=0$ a
+
okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách dutiny.
+
 
+
\special{src: 143 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Kalibrační transformace
+
\be \phi(\vec x,t)=\phi'(\vec x,t)-%\frac{1}{c}
+
\frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t)\ee
+
\be \vec A(\vec x,t)=\vec A'(\vec x,t)+grad\ \lambda(\vec x,t), \ee
+
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí
+
$\lambda$, která splňuje rovnice
+
\be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee
+
\be %\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\lambda
+
\triangle \lambda=-div \vec A' \ee
+
spolu s okrajovými podmínkami na stěnách
+
\be \vec N\times grad\  \lambda=-\vec N\times\vec A'.\ee
+
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí ${\rm div} \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
+
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
+
 
+
\special{src: 159 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o hraně $L$.
+
Rozložíme složky vektorového potenciálu do
+
trojné Fourierovy řady (viz např. \cite{uhl:uvaf}).
+
 
+
\special{src: 165 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
\be {A}_1(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_1(\vec{m},t)
+
\cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
+
\ll{Four1}\ee
+
\be {A}_2(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_2(\vec{m},t)
+
\sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
+
\ll{Four2}\ee
+
\be {A}_3(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_3(\vec{m},t)
+
\sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L)
+
\ll{Four3}\ee
+
%f_i(\vec{m},\vec{x}),
+
%kde $f_i$ jsou vhodně vybrané funkce (viz
+
Důvod pro tento specální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky
+
$\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
+
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
+
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $<-L,L>\times
+
<-L,L>\times<-L,L>$ jako spojitou funkci lichou v proměnných $x_2,x_3$. O
+
hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji
+
nicméně prodloužit sudě v $x_1$. Fourierův rozklad liché spojité
+
funkce na intervalu $<-L,L>$ lze provést pomocí funkcí $\sin
+
mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé funkce pomocí funkcí $\cos
+
mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}). Důležité je,
+
že podmínka
+
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
+
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl
+
od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např. pomocí funkcí $\cos
+
mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v $x_2,x_3$.
+
Stejnou
+
argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem
+
\rf{Four2},\ref{Four3}).
+
 
+
\special{src: 197 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Z rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
+
\be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle
+
A_i=0, \ll{vlnrce}\ee
+
které dostaneme  z \rf{ml1}), pak plyne, že koeficienty
+
$\vec Q_{\vec{m}}(t)\equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in {\bf
+
Z}_+^3$ (trojice celých nezáporných čísel)
+
splňují jednoduché
+
\rc e
+
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0
+
\ll{rceHO}\ee
+
kde
+
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
+
a $c$ je rychlost světla.
+
 
+
\special{src: 213 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Kalibrační podmínka $div \vec A=0$ přejde na tvar
+
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0 \ll{kalpod}\ee
+
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m\in\integer_+^3$
+
existují dvě lineárně nezávislé funkce
+
$Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující \rf{rceHO},\ref{kalpod}), což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
+
\bc
+
Ze vzorců \rf{Four1})--\rf{Four3}) odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$.
+
\ec
+
 
+
\special{src: 224 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Energie elektromagnetického pole
+
\[ {\cal E}= \frac{1}{2}\int(\epsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \]
+
po dosazení \rf{Four1})--\rf{Four3})  a integraci přejde na tvar
+
\be {\cal E} = \frac{\epsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in {\bf
+
Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec
+
m}^2).
+
%=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}{E^\alpha_{\vec m}}.
+
%= \sum energií\ harmonických\  oscilátorů
+
\ll{ergempole}\ee
+
 
+
 
+
Z rovnic \rf{rceHO},\ref{ergempole}) vidíme, že {elektromagnetické pole v uzavřené
+
dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých
+
harmonických oscilátorů} (stojatých vln)
+
číslovaných vektory $\vec m \in {\bf Z}_+^3$.
+
% s frekvencemi \rf{omgm}).
+
 
+
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány
+
žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii elektromagnetického pole
+
ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v sumě (\ref{ergempole}).
+
Na druhé straně však víme, že elektromagnetické pole je v termodynamické rovnováze
+
se stěnami dutiny o teplotě $T$ a lze jej tedy
+
popsat metodami  statistické fyziky.
+
Z tohoto hlediska je možno na {\em elektromagnetické pole v dutině pohlížet jako na soubor
+
oscilátorů, přičemž
+
každý z nich
+
může interakcí s termostatem nabývat různých
+
energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s energií ${\epsilon}(s)$ je dána
+
Boltzmannovou statistikou s rozdělovací funkcí.
+
\be P(s,T)= A(T)\ e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }
+
%=\prod_{\vec m,\alpha} P^\alpha_{\vec m},\ \ P^\alpha_{\vec m}\propto e^{-{E^\alpha_{\vec m}}/(kT) },
+
\ll{boltzman}\ee
+
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}J/grad$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
+
\[ \sum_s P(s,T)=1.\] Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů
+
s vlastními frekvencemi
+
$\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi)=c|\vec{m}|/(2L)$
+
$$\overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_s \epsilon(s)P(s,T),$$
+
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v
+
intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$, pak lze spočítat jako součet středních
+
energií
+
oscilátorů s frekvencemi v témže intervalu.
+
 
+
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$.
+
Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů s pevným $\vec m$ bod v ${\bf Z}_+^3$, pak v důsledku \rf{omgm})
+
množina oscilátorů s
+
frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ leží v jednom oktantu
+
kulové
+
slupky poloměru $\frac{2L\nu}{c}$ a tloušťky $\frac{2L}{c}d\nu$ v prostoru
+
vektorů v ${\bf Z}^3$. Energie oscilátorů s frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$
+
je pak rovna součtu energií (\ref{ergempole}) avšak pouze přes body v této slupce, tedy
+
%\be n(\nu)=2\,\frac{1}{8}\left(\frac{2L}{c}\right)^3 4\pi \nu^2 d\nu=V\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
+
\be  d\bar{\cal E}=2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm
+
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu=
+
V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
+
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla.
+
Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole)
+
s danou frekvencí tedy je
+
\be \rho(\nu,T)
+
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2 .
+
\ll{spechus1}\ee
+
 
+
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných
+
kladných hodnot $E(q,p)=\alpha p^2 +
+
\beta q^2$ %, což odpovídá klasickým představám
+
a rozdělovací funkce
+
%tohoto podsouboru je
+
souboru stavů oscilátoru  daných hybností $p$ a polohou $q$ je
+
\[ P(q,p)= A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
+
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
+
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
+
a energie pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
+
\nu+d\nu>$ je
+
\[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \]
+
(Rayleigh--Jeansova formule).
+
Tato rozdělovací funkce
+
%Toto záření absolutně černého tělesa
+
však neodpovídá experimentálním hodnotám pro
+
velké frekvence $\nu$. Navíc celková hustota energie elektromagnetického pole
+
\be \epsilon=\int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll {heemp}\ee
+
diverguje.
+
}
+
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}).\ec
+
 
+
\special{src: 317 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty
+
energie  dobře popisuje
+
funkce navržená M. Planckem ve tvaru
+
\be \fbox{\LARGE$
+
\rho(\nu,T)=
+
\frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}
+
$}\ ,\ll{planck}\ee
+
kde
+
experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62\times
+
10^{-34}$ Js. (Viz obr.1)
+
\begin {figure}[hbtp]
+
%  \begin{center}
+
\hskip 2cm\special{em:graph s_planck.gif} \vskip 5cm
+
\caption
+
{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně
+
černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300K, 1500 K}
+
\end{figure}
+
\bc Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací
+
funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s teplotou
+
(Wienův posunovací zákon)?
+
\ec
+
\bc Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení
+
hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě
+
Rayleighova -- Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od
+
veličiny měřené o 5 procent.
+
Jak velký je tento rozdíl v oblasti
+
maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na
+
teplotě?
+
\ec
+
\bc Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa
+
podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro
+
danou teplotu.
+
\ec
+
K odvození rozdělovací funkce \rf{planck})
+
je třeba učinit následující podivný
+
předpoklad (Max Planck, 1900):
+
 
+
\special{src: 356 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je  z energetického hlediska
+
ekvivalentní %(viz \rf{ergempole}) )
+
elektromagnetickému poli v
+
dutině, {\em nemohou nabývat libovolných hodnot energie, ale pouze
+
takových, které jsou %se liší o
+
celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.
+
$E_n=n\epsilon_0$.
+
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
+
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
+
 
+
\special{src: 368 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$
+
a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s
+
frekvencí $\nu$ a energií $E_n$ je
+
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
+
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty
+
P_n=1$. Sečtením geometrické řady
+
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{n
+
h\nu}{kT}}=1/[1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}]. \]
+
 
+
\special{src: 379 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí
+
$\nu$ je pak
+
\[ \overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
+
= A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} =
+
A^{-1}[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}]=
+
\frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. \]
+
Energii elektromagnetického pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
+
\nu+d\nu>$ pak opět spočítáme jako součin (\ref{pocetstavu}) střední hodnoty
+
energie oscilátorů s frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s frekvencemi uvnitř
+
daného intervalu, z čehož dostaneme Planckovu formuli
+
\rf{planck}).
+
 
+
\special{src: 393 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp}) spočítaná z takto
+
určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
+
odpovídá Stefan--Boltzmannovu zákonu.
+
\[
+
\epsilon(T)=
+
\frac{8\pi}{c^3}h\int_0^\infty\frac{\nu^3}
+
{e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu
+
=\frac{8\pi}{c^3}\frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty
+
\frac{x^3}{e^x-1}dx=\kappa T^4, \]
+
kde
+
\[ \kappa=\frac{8\pi k^4}{c^3h^3}\frac{\pi^4 }{15}. \]
+
 
+
\special{src: 407 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{\bf Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa
+
lze odvodit pomocí předpokladu, že {\em energie harmonického
+
oscilátoru s frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskretních
+
hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
+
%jejíž experimentálně určená hodnota je $h = 6.62\times 10^{-27}$ erg s.
+
 
+
\special{src: 415 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v rozporu s naší zkušeností,
+
neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické
+
oscilátory
+
hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
+
 
+
\special{src: 422 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u atomů (konkrétně rtuti) v serii pokusů Francka a Hertze v letech 1914--1919 (viz \cite{uhl:uvaf}).
+
\subsection{Fotoefekt}
+
Potvrzením Planckovy hypotézy o kvantovém charakteru energie
+
elektromagnetického pole bylo i
+
Einsteinovo vysvětlení fotoefektu -- emise
+
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v
+
roce 1903.
+
 
+
\special{src: 432 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl
+
Milikan v roce 1916 (viz obr.2). Na fotokatodu zapojenou do elektrického obvodu
+
dopadá monochromatické světlo s frekvencí $\nu$, která se
+
postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj
+
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole,
+
které vrací
+
elektrony emitované světelným zářením zpět.
+
\begin{figure}[hbtp]
+
%%\input{fotoefkt.pic}
+
\caption{Milikanovo zapojení pro měření fotoefektu}
+
\end{figure}
+
 
+
\special{src: 446 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane
+
procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného záření
+
je lineární.
+
\[U_s=\frac{h}{e}(\nu-\nu_0)\]
+
 
+
\special{src: 453 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou
+
fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v
+
tom, že v procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum
+
záření -- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
+
úměrná frekvenci $E=h\nu$. ("...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves wtihout dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.") Kinetická energie emitovaného
+
elektronu je
+
\be E_{kin}=eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{foton}-E_{ion}.
+
\ll{ekine}\ee
+
 
+
\special{src: 464 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{ion}/h$, kde $E_{ion}$ je
+
ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází ani při
+
zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných
+
pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$
+
získávají elektrony energii \rf{ekine}).
+
Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu se shodovala s
+
konstantou určenou ze záření černého tělesa.
+
 
+
\special{src: 474 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{\bf Závěr:} Existují {\em kvanta světelného záření -- fotony},
+
která působí v
+
elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie jednoho
+
fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a
+
$h$ je konstanta určená z Planckova vyzařovacího zákona.
+
\bc
+
Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka
+
mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z nich se dostane do oka
+
pozorovatele ve vzdálenosti 10 km? (Poloměr čočky oka je asi 5 mm.)
+
%Kolik fotonů emituje anténa vysílače o výkonu 1 W vysílající
+
%na krátkých vlnách 30 m?
+
\ec
+
\subsection{Comptonův rozptyl}
+
 
+
\special{src: 490 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
V roce 1923 provedl A.H. Compton pokus, který měl odhalit, zda se
+
kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn. zda vedle
+
energie mají též definovanou hybnost. V tomto pokusu byl měřen
+
rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v jehož krystalické
+
mříži jsou elektrony relativně volné.
+
 
+
\special{src: 498 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
 
+
\special{src: 501 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět
+
vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce (tj. všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv. tlak
+
světla. V klidové soustavě elektronu pak dojde k emisi záření
+
se stejnou vlnovou délkou a nulovou střední hybností.
+
V laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_e$ a
+
energii $E_e$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu
+
změnu vlnové délky záření
+
\be
+
(\Delta\lambda)_{klas}=\lambda_0\frac{cP_e}{E_e-cP_e}
+
(1-cos\Theta),
+
\ll{compclas}\ee
+
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny,
+
$\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření,
+
$E_e,P_e$
+
jsou velikost energie a hybnosti elektronu, které s délkou ozařování rostou.
+
}
+
 
+
\special{src: 520 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Podívejme se jak bude tento jev %proces %podobná formule
+
probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni
+
chovají jako částice s danou energií a hybností (viz
+
Obr.\ref{fig:compton}).
+
\begin{figure}
+
%%\input{compton1.pic}
+
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu}\ll{fig:compton}
+
\end{figure}
+
V tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření
+
popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu ("... when an X-ray quantum is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."),
+
při které se celková energie a hybnost zachovává.
+
\be \epsilon_{\nu_0}+m_ec^2=\epsilon_{\nu}+ E_e
+
\ll{zachovanienergie} \ee
+
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec p_{\nu}+\vec p_{e},\ll{zachovani hybnosti} \ee
+
kde
+
\[ \vec p_e=\frac{m_e\vec v_e}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\ \
+
E_e=\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\]
+
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \ |\vec p_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
+
a $v_e$ je rychlost odraženého elektronu.
+
Ze zákona zachování hybnosti plyne
+
\[ (\vec p_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2=
+
\frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)=\]
+
\[ {\vec p_e}{}^2=\frac{m_e^2v_e^2}{1-v_e^2/c^2}=E_e^2/c^2-m_e^2c^2. \]
+
Použijeme-li ještě zákon zachování energie,
+
pak algebraickými úpravami dostaneme
+
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_ec}(1-\cos \Theta),
+
\ll{compton2}\ee
+
což je vzorec pro  vlnovou délku emitovaného záření v závislosti
+
na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
+
Veličina
+
$\frac{\hbar}{m_ec}$ se často nazývá {\em Comptonova
+
vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}m$.
+
 
+
\special{src: 555 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony  hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření
+
velikosti $P_e$, pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
+
\be \lambda-\lambda_0=
+
\frac{(\lambda_0 P_e+h)c}{\sqrt{m_e^2c^4+P_e^2c^2}-P_ec}(1-\cos
+
\Theta).
+
\ll{compton}\ee
+
Pro $P_e\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli
+
\rf{compclas}).
+
Comptonovy vzorce \rf{compton}) resp. \rf{compton2})
+
se však experimentálně potvrdily
+
i pro krátkovlné rentgenovské záření.
+
 
+
\special{src: 569 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
 
+
\special{src: 572 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{\bf Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou
+
energii, ale i hybnost, jejíž velikost je nepřímo úměrná vlnové
+
délce záření $|\vec p| = h/\lambda$.
+
\bc Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova
+
záření.
+
\ec
+
\bc Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož
+
zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace
+
\[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
+
v klidu?
+
\ec
+
 
+
\special{src: 586 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
\subsection{Shrnutí}
+
 
+
\special{src: 590 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Z výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt
+
%v předchozích podkapitolách
+
plyne, že v mikrosvětě, tj. při zkoumání atomárních jevů:
+
\begin{enumerate}
+
\item
+
Existují fyzikální objekty -- kvanta, kvantové částice --
+
%Ztrácí se rozdíl mezi hmotnými objekty a zářením.
+
mající jak vlnový tak částicový charakter.
+
% a chová se podobně jako soubor částic.
+
% a hmotné objekty přestávají mít čistě částicový charakter.
+
\item
+
Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např. energie či
+
momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn. tyto veličiny se mohou
+
měnit pouze o konečné přírustky.
+
%nabývají než se očekávalo
+
\end{enumerate}
+
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo
+
ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
+
fyzikálních systémů.
+
 
+
\special{src: 612 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Z pedagogických důvodů začneme její výklad popisem
+
jedné kvantové částice bez vazeb,
+
jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
+
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u každé fyzikální teorie {\bf se nejedná o odvození
+
%Slovo "odvodíme" v minulém odstavci je přitom třeba chápatnikoliv
+
ve smyslu, na který jsme zvyklí z matematiky, nýbrž o
+
sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, %konstrukci,
+
jejichž správnost musí prověřit experimenty.}
+
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž
+
postuloval.
+
%další vývoj její správnost prověřil do té
+
%%míry, že na počátku tohoto století byla považována za
+
%neotřesitelné dogma.jí nyní považujeme
+
%a uvěřitelných
+
\subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
+
%\input{debrogli.sub}
+
%Strategicko--pedagogický plán této kapitoly je následující:
+
%Z \db ovy hypotézy odvodíme \sv u rovnici pro volnou částici a
+
%postulujeme její zobecnění pro částici v silovém poli. Poté z
+
%matematické formy \sv y \rc e a pravděpodobnostní interpretace %jejích
+
%řešení odvodíme strukturu stavového prostoru.
+
%Pro popis kvantových stavů z
+
%Zavedeme pojem pozorovatelných, jejich spektra a
+
%kompatibility a  tyto pojmy pak využijeme k popisu
+
%kvantově--mechanického stavu a fyzikálním předpovědím.
+
 
+
\special{src: 640 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Z vysvětlení experimentálních fakt v předchozích kapitolách
+
plyne, že při zkoumání atomárních jevů
+
záření přestává
+
mít čistě vlnový charakter a chová se v některých aspektech jako
+
soubor částic.
+
Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem -- kvantové \cc e -- popisující fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
+
 
+
\special{src: 649 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Pod vlivem poznatků o duálním částicově--vlnovém charakteru
+
světla
+
De Broglie v roce 1923 usoudil, že tento %částicově--vlnový
+
dualismus je vlastností všech mikroskopických
+
objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.
+
elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo jako částice,
+
podle toho jaké jevy, v nichž se účastní, zkoumáme.
+
Vyslovil hypotézu, že {\em pro popis jevů na atomární
+
úrovni je třeba přiřadit volným
+
kvantovým částicím s hybností $\vec p$ a energií $E$ -- nikoliv bod fázového prostoru nýbrž rovinou monochromatickou vlnu $\psi_{\vec p,E}$,
+
jejíž frekvence je (stejně jako pro foton)
+
úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti
+
částice, přesněji funkci}
+
\be\mbox{\Large $
+
\psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A
+
e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $},
+
\ll{dbvlna}\ee
+
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar:=h/2\pi=1.054 572\times10^{-34}$ Js.
+
 
+
\special{src: 670 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy,
+
%vynikne zejména tehdy,
+
je třeba si uvědomit, že
+
v té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové vlastnosti
+
hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o
+
několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na
+
krystalech.
+
\bc Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu
+
kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10
+
$\mu$g pohybující se rychlostí zvuku.
+
\ec
+
\bc Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozměrech $1\times 1.5$ m.
+
\ec
+
\bc Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm?
+
\ec
+
 
+
\special{src: 688 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií %\db ovy vlny je
+
stejný jako u
+
klasické volné částice $E=\vec{p}^2/2m$ %pro nerelativistický případ či
+
(případně $E=\sqrt{\vec{p}^2c^2+m^2c^4}$ pro kvantum pohybující se rychlostí
+
blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna
+
%pro hmotnou částici
+
nesplňuje  vlnovou rovnici \rf{vlnrce}), která plyne z teorie elektromagnetického
+
pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje.
+
Tuto \rc i našel v roce 1925 E. Schr\"{o}dinger a nese jeho jméno.
+
%\input{schr_rce.sub}
+
 
+
\special{src: 701 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
K odvození \rc e pro \db ovy vlny
+
je nejsnazší vyjít z výše uvedených klasických vztahů mezi
+
energií a hybností, které vlastně představují disperzní relace,
+
a použít identity
+
\be p_i\psi%(\vec{x},t}
+
=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} \psi, E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps}\ee
+
plynoucí z popisu kvant
+
%vztah mezi hodnotou složek hybnosti a
+
příslušnou \db ovou vlnou.
+
Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
+
\be  \frac{\partial\psi}{\partial t}=
+
-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^3\frac{p_i^2}{2m}\psi=
+
-\frac{i}{2m\hbar}\sum_{i=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial
+
x_i^2})\psi \ll{srvolna}\ee
+
 
+
\special{src: 718 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
E. Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
+
\be  \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
+
i pro kvantovou
+
částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem
+
$V(\vec{x})$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci
+
takovéto kvantové \cc e se obvykle
+
píše ve tvaru
+
\be\fbox{\LARGE $
+
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vec{x})\psi
+
$}\ll{sr}\ee
+
a nazývá se {\em Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární
+
operátor na pravé straně \sv y \rc e
+
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vec{x})
+
\ll{hamiltonian} \ee
+
se nazývá {\em hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence
+
učebnic kvantové mechaniky,
+
že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
+
 
+
\special{src: 738 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna}) pro "volnou \qv ou částici"
+
(což může být např.
+
elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není pouze \db ova vlna,
+
ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných.
+
Díky linearitě \sv
+
\rc e je řešením \rf{srvolna}) i lineární superpozice \db ových vln odpovídajících různým hybnostem
+
\be \psi(\vec{x},t)=\int_{\real^3}\tilde\psi(\vec
+
p)e^{\frac{i}{\hbar}(\vec p\vec x-\frac{p^2}{2m}t)}dp^3.
+
\ll{vlnbalik}\ee
+
%$\psi =\psi(x,t)$.
+
%$\psi: {\bf D \->\complex,\ \ \bf D \part
+
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna}) má jenom
+
některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou
+
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o její
+
poloze.
+
Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její
+
vlastnosti, např. lokalizovatelnost v určité části prostoru, pak musíme použít
+
jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
+
\begin{cvi}
+
Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a  vlnová \fc e částice má v čase $t_0$ ("lokalizovaný") tvar
+
\be g(\vec x)=C\exp[-A\vex^2+\vec B\vec x] \ll{mvb}\ee
+
Pomocí Fourierovy
+
transformace určete řešení \sv y
+
\rc e $\psi(\vec x,t)$, které v čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj. splňuje počáteční podmínku
+
$\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$
+
%(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
+
kde $Re\  A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$.
+
\ll{ex:vlnbal}
+
\end{cvi}
+
\bc Nechť $\psi(x,y,z,t)$  je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
+
\[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]
+
je řešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním gravitačním poli (Avron-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
+
\ec
+
\special{src: 770 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
\subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}
+
 
+
\special{src: 774 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny
+
připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
+
význam, neboli problém {\em fyzikální interpretace řešení
+
\sv y \rc e.}
+
 
+
\special{src: 781 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické
+
mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná
+
jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální
+
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný.
+
Problém %jejich
+
interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je
+
rovnicí v
+
komplexním oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce.
+
Podotázkou tohoto problému pak je, zda
+
všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
+
 
+
\special{src: 794 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Po mnoha marných pokusech interpretovat    řešení \sv y \rc e jako
+
silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho statistická
+
interpretace (Max Born, 1926):
+
%Problém interpretace řešení \sv y \rc e řeší Bornův postulát:
+
 
+
\special{src: 801 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
{\bf  Řešení \sv y \rc e %obsahuje veškerou informaci
+
udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení
+
částice v různých oblastech prostoru:
+
Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y \rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní
+
hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$
+
je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v okamžiku $t$ v místě
+
s kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
+
\begin{cvi}
+
Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané
+
de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna}) v oblasti
+
$(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ?
+
\end{cvi}
+
\begin{cvi}\ll{casvmvb}
+
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
+
\be \psi(\vec x,t)=Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}}
+
\chi(t)^{-3/2}\exp\{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}\} \ll{mvbt}\ee
+
\[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
+
z příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$?
+
Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je
+
rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem?
+
%Jaká je rychlost rozplývání
+
Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku
+
pro elektron lokalizovaný s přesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotě 1 gram
+
jehož těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m?
+
\ll{ex:pstvb}\end{cvi}
+
{Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice?}
+
Pravděpodobnost nalezení částice v oblasti $O\subset{\bf R}^3$
+
je úměrná
+
\[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \]
+
%přirozeným způsobem jako
+
%četnost výskytu v oblasti $O$ dělená četností výskytu "kdekoliv"
+
%tj. v ${\bf R^3}$ pak
+
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z požadavku,
+
%Je zřejmě přirozené považovat,
+
aby pravděpodobnost nalezení částice "kdekoliv" se rovnala
+
jedné.
+
% takže fyzikální význam mají řešení, pro která platí
+
%\[ =1 \]
+
%Vzhledem k tomu, že množina řešení \sv y \rc e je lineární
+
%prostor, pak
+
Tuto podmínku lze snadno splnit, položíme-li hustotu
+
pravděpodobnosti rovnou
+
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1}
+
|\psi(x,y,z,t)|^2,
+
\ll{pst}\ee
+
%vydělením libovolného řešení $\psi$ číslem $1/\sqrt{A(\psi)}$,
+
kde
+
\be A(\psi)=\int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz ,\ll{norma}\ee
+
pokud tento integrál existuje.
+
 
+
\special{src: 853 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Fyzikálně    snadno
+
interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která
+
splňují
+
\be \int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty.\ll{konecnanorma}\ee
+
Těmi se budeme v následujícím textu zabývat především.
+

Verze z 1. 11. 2010, 00:31

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}