02KVAN:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
 
(Není zobrazeno 10 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
\section{Zrod \qv é mechaniky}\ll{ZrodQM}
+
\chapter{Zrod \qv é mechaniky}
 +
\ll{ZrodQM}
  
 
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a magnetismu, termodynamiky, ...) je popis \emph{množiny stavů a
 
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a magnetismu, termodynamiky, ...) je popis \emph{množiny stavů a
určení časového vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení měřitelných veličin tzv.~\emph{pozorovatelných}, které jsou  
+
určení časového vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení měřitelných veličin tzv.~\emph{pozorovatelných}, které jsou
pro zkoumaný systém relevantní, a předpovězení vývoje jejich hodnot. Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, elektrická a  
+
pro zkoumaný systém relevantní, a předpovězení vývoje jejich hodnot. Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, elektrická a
 
magnetická intenzita, teplota, objem atd.
 
magnetická intenzita, teplota, objem atd.
  
\small{Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny a fyzikální  
+
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny a fyzikální
zákony určující jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých  
+
zákony určující jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se zdálo, že  
+
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se zdálo, že
vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není pravda, a že klasická fyzika  
+
vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není pravda, a že klasická fyzika
 
nedokáže bezesporně popsat některé jevy, ke kterým dochází v~důsledku interakcí na atomární úrovni.}
 
nedokáže bezesporně popsat některé jevy, ke kterým dochází v~důsledku interakcí na atomární úrovni.}
  
 
\bc
 
\bc
Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište  
+
  Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište
rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny?
+
  rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny?
 
\ec
 
\ec
  
Základní fyzikální objekty -- \textbf{hmota a záření} -- jsou v~klasické fyzice \textbf{popsány zcela odlišným způsobem}. Hmotné objekty jsou
+
Základní fyzikální objekty --- \textbf{hmota a záření} --- jsou v~klasické fyzice \textbf{popsány zcela odlišným způsobem}. Hmotné objekty
lokalizované a řídí se Newtonovými pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se Maxwellovými polními rovnicemi. Dochází
+
jsou lokalizované a řídí se Newtonovými pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se Maxwellovými polními rovnicemi.
u~něj k~vlnovým jevům např.~interferenci a ohybu.
+
Dochází u~něj k~vlnovým jevům např.~interferenci a ohybu.
  
V~makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob popisu  kvalitativně různých objektů zcela logický. Pokusy prováděné počátkem
+
V~makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob popisu  kvalitativně různých objektů zcela logický. Pokusy prováděné
tohoto století však ukázaly, že pro popis objektů v~mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, ba dokonce vedou k~předpovědím, které jsou  
+
počátkem tohoto století však ukázaly, že pro popis objektů v~mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, ba dokonce vedou k~předpovědím,
v~rozporu s~pozorováními.
+
které jsou v~rozporu s~pozorováními.
  
\small{Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají okolo kladně
+
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají okolo
nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. Podle této představy jsou elektrony klasické, elektricky nabité (na rozdíl od planet!) částice.
+
kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. Podle této představy jsou elektrony klasické, elektricky nabité (na rozdíl od
Problém je však v~tom, že z~teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu po zakřivené dráze měly produkovat elektromagnetické  
+
planet!) částice. Problém je však v~tom, že z~teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu po zakřivené dráze měly
záření na úkor své vlastní mechanické energie.}
+
produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní mechanické energie.}
  
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít konečnou, dokonce velmi krátkou
+
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít konečnou, dokonce velmi
(cca $10^{-10}$ s) dobu života. Obě tyto předpovědi jsou v~rozporu s pozorováním. Smířit tento rozpor teorie a experimentu se podařilo až kvantové  
+
krátkou (cca.~$10^{-10}$ s) dobu života. Obě tyto předpovědi jsou v~rozporu s pozorováním. Smířit tento rozpor teorie a experimentu se
mechanice za cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v~tomto případě elektronu jako částice pohybující se po nějaké dráze.
+
podařilo až kvantové mechanice za cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v~tomto případě elektronu jako částice pohybující
 +
se po nějaké dráze.
  
\begin{cvi}
+
\bc
Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v~atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou částici pohybující se po kruhové dráze o~(Bohrově)  
+
  Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v~atomu vodíku, pokud jej považujeme za klasickou částici pohybující se po kruhové dráze
poloměru $a \approx 10^{-10}$ m. (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52)
+
  o~(Bohrově) poloměru $a \approx 10^{-10} \ \mathrm{m}$ (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52).
\end{cvi}
+
\ec
  
K~dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u~zrodu \qv é mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, fotoefekt a Comptonův  
+
K~dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u~zrodu \qv é mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, fotoefekt
rozptyl elektronů, které popíšeme v~příštích podkapitolách. Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i představy o~čistě vlnové  
+
a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v~příštích podkapitolách. Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i
povaze elektromagnetického záření.
+
představy o~čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.
  
\subsection{Planckův vyzařovací zákon}
 
  
\special{src: 95 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\section{Planckův vyzařovací zákon}
  
Jedním z problémů klasické %termodynamiky
+
Jedním z~problémů klasické fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření tzv.~absolutně černého tělesa, přesněji její závislost
fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření
+
na frekvenci záření a teplotě tělesa.
%závislost hustoty energie záření $\rho(\nu,T)$
+
tzv. absolutně černého tělesa, přesněji její závislost
+
na frekvenci záření a teplotě tělesa.
+
  
\special{src: 103 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\emph{Absolutně černé těleso}, tzn.~těleso které neodráží žádné vnější záření, lze realizovat otvorem v~dutině, jejíž vnější stěny jsou
 +
vodivé a jsou ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické záření, jehož experimentálně změřené
 +
spektrální rozdělení je v~rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
  
{\em Absolutně černé těleso}, tzn. těleso které neodráží žádné vnější
+
Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v~dutině vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf}, kap.~8), jež je zdrojem
záření, lze realizovat otvorem v dutině, jejíž vnější stěny jsou vodivé a jsou
+
záření černého tělesa. Jeho složky $\vec E(\vex,t), \vec B(\vex,t)$ musí splňovat Maxwellovy-Lorentzovy rovnice beze zdrojů
ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické
+
\be \div \vec{E}=0,\ \ \ \rot \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\pd \vec{E}}{\pd t}=0, \ll{ml1} \ee
záření, jehož experimentálně změřené spektrální rozdělení
+
\be \div \vec{B}=0,\ \ \ \rot \vec E + \frac{\pd \vec{B}}{\pd t}=0 \ll{ml2} \ee
%rozdělovací funkce tj. závislost intenzity záření na frekvenci a teplotě
+
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole byly na stěnách dutiny nulové (viz
je v rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
+
např.~\cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
%\subsubsection{Klasický popis záření černého tělesa,
+
%Rayleigh--Jeansův zákon}
+
 
+
\special{src: 114 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
 
+
Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v dutině
+
vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf} Kap.8), jež je zdrojem záření černého
+
tělesa.
+
Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$
+
musí splňovat Maxwellovy--Lorentzovy rovnice beze zdrojů
+
%tj. s nulovou pravou stranou %splňujícím
+
\be {\rm div} \vec{E}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0. \ll{ml1} \ee
+
\be {\rm div} \vec{B}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0. \ll{ml2}\ee
+
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby
+
tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole
+
byly na
+
stěnách dutiny nulové (viz např. \cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
+
 
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
 
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
kde
+
kde $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto
$\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně
+
pole je ekvivalentní systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto pole je ekvivalentní
+
systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
+
  
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1})--\rf{podnast}). Z II. serie Maxwellových --Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem
+
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1}-\rf{podnast}. Z~II.~serie Maxwellových-Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické
\be \vec E = -{\rm grad}\ \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = {\rm rot}\ \vec{A'}.\ee
+
pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací
+
\be \vec E = -\grad \phi' -\frac{\pd \vec{A'}}{\pd t},\ \ \vec B = \rot \vec{A'}.\ee
dosáhnout toho, že elektromagnetické
+
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací dosáhnout toho, že elektromagnetické potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují
potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují $\phi=0,\ div\vec{A}=0$ a
+
$\phi=0,\div\vec{A}=0$ a okrajové podmínky $\vec N \times \vec A = 0$ na stěnách dutiny.
okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách dutiny.
+
  
\special{src: 143 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Kalibrační transformace
 +
\be \phi(\vex,t) = \phi'(\vex,t)-\frac{\pd\lambda}{\pd t}(\vex,t) \ee
 +
\be \vec A(\vex,t) = \vec A'(\vex,t) + \grad \lambda(\vex,t), \ee
 +
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí $\lambda$, která splňuje rovnice
 +
\be \frac{\pd \lambda}{\pd t}=\phi' \ee
 +
\be \lapl \lambda = -\div \vec A' \ee
 +
spolu s~okrajovými podmínkami na stěnách
 +
\be \vec N \times \grad \lambda = -\vec N \times \vec A'. \ee
  
Kalibrační transformace
+
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí $\div \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
\be \phi(\vec x,t)=\phi'(\vec x,t)-%\frac{1}{c}
+
\frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t)\ee
+
\be \vec A(\vec x,t)=\vec A'(\vec x,t)+grad\ \lambda(\vec x,t), \ee
+
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí
+
$\lambda$, která splňuje rovnice
+
\be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee
+
\be %\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\lambda
+
\triangle \lambda=-div \vec A' \ee
+
spolu s okrajovými podmínkami na stěnách
+
\be \vec N\times grad\  \lambda=-\vec N\times\vec A'.\ee
+
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí ${\rm div} \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
+
 
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
 
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
  
\special{src: 159 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o~hraně $L$. Rozložíme složky vektorového potenciálu do trojné Fourierovy řady (viz
 +
např.~\cite{uhl:uvaf})
  
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o hraně $L$.
+
\be A_1(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_1(\vec{m},t) \cos\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right) \sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four1} \ee
Rozložíme složky vektorového potenciálu do
+
\be A_2(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_2(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four2}\ee
trojné Fourierovy řady (viz např. \cite{uhl:uvaf}).
+
\be A_3(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_3(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right). \ll{Four3}\ee
  
\special{src: 165 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Důvod pro tento speciální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
 
+
\be {A}_1(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_1(\vec{m},t)
+
\cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
+
\ll{Four1}\ee
+
\be {A}_2(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_2(\vec{m},t)
+
\sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
+
\ll{Four2}\ee
+
\be {A}_3(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_3(\vec{m},t)
+
\sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L)
+
\ll{Four3}\ee
+
%f_i(\vec{m},\vec{x}),
+
%kde $f_i$ jsou vhodně vybrané funkce (viz
+
Důvod pro tento speciální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky
+
$\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
+
 
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
 
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $<-L,L>\times
+
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $\langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle$ jako spojitou
<-L,L>\times<-L,L>$ jako spojitou funkci lichou v proměnných $x_2,x_3$. O
+
funkci lichou v~proměnných $x_2,x_3$. O~hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji nicméně prodloužit sudě v~$x_1$.
hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji
+
Fourierův rozklad liché spojité funkce na intervalu $\langle -L,L \rangle$ lze provést pomocí funkcí $\sin\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$, zatímco rozklad sudé
nicméně prodloužit sudě v $x_1$. Fourierův rozklad liché spojité
+
funkce pomocí funkcí $\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}. Důležité je, že podmínka
funkce na intervalu $<-L,L>$ lze provést pomocí funkcí $\sin
+
mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé funkce pomocí funkcí $\cos
+
mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}). Důležité je,
+
že podmínka
+
 
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
 
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl
+
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např.~pomocí funkcí
od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např. pomocí funkcí $\cos
+
$\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$ pro sudá rozšíření $A_1$ v~$x_2,x_3$. Stejnou argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem \rf{Four2}, \rf{Four3}.
mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v $x_2,x_3$.
+
Stejnou
+
argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem
+
\rf{Four2},\ref{Four3}).
+
  
\special{src: 197 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Z~rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
 
+
\be \frac{1}{c^2}\frac{\pd^2}{\pd t^2}A_i-\lapl A_i=0, \ll{vlnrce} \ee
Z rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
+
které dostaneme  z~\rf{ml1}, pak plyne, že koeficienty $\vec Q_{\vec{m}}(t) \equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in \Z_+^3$ (trojice
\be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle
+
celých nezáporných čísel) splňují jednoduché \rc e
A_i=0, \ll{vlnrce}\ee
+
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0, \ll{rceHO} \ee
které dostaneme  z \rf{ml1}), pak plyne, že koeficienty
+
$\vec Q_{\vec{m}}(t)\equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in {\bf
+
Z}_+^3$ (trojice celých nezáporných čísel)
+
splňují jednoduché
+
\rc e
+
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0
+
\ll{rceHO}\ee
+
 
kde
 
kde
 
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
 
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
 
a $c$ je rychlost světla.
 
a $c$ je rychlost světla.
  
\special{src: 213 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Kalibrační podmínka $\div \vec A=0$ přejde na tvar
 +
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0, \ll{kalpod} \ee
 +
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m \in \Z_+^3$ existují dvě lineárně nezávislé funkce $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující
 +
\rf{rceHO}, \rf{kalpod}, což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
  
Kalibrační podmínka $div \vec A=0$ přejde na tvar
 
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0 \ll{kalpod}\ee
 
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m\in\integer_+^3$
 
existují dvě lineárně nezávislé funkce
 
$Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující \rf{rceHO},\ref{kalpod}), což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
 
 
\bc
 
\bc
Ze vzorců \rf{Four1})--\rf{Four3}) odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$.
+
  Ze vzorců \rf{Four1}-\rf{Four3} odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vex,t)$ a $\vec B(\vex,t)$.
 
\ec
 
\ec
 
\special{src: 224 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
 
Energie elektromagnetického pole
 
Energie elektromagnetického pole
\[ {\cal E}= \frac{1}{2}\int(\epsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \]
+
\[ \mathcal{E} = \half\int(\varepsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)\d V \]
po dosazení \rf{Four1})--\rf{Four3}a integraci přejde na tvar
+
po dosazení \rf{Four1}-\rf{Four3} a integraci přejde na tvar
\be {\cal E} = \frac{\epsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in {\bf
+
\be
Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec
+
  \mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in \Z_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec m}^2).
m}^2).
+
  \ll{ergempole}
%=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}{E^\alpha_{\vec m}}.
+
\ee
%= \sum energií\ harmonických\  oscilátorů
+
\ll{ergempole}\ee
+
  
 +
Z~rovnic \rf{rceHO}, \rf{ergempole} vidíme, že {elektromagnetické pole v~uzavřené dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých harmonických
 +
oscilátorů} (stojatých vln) číslovaných vektory $\vec m \in \Z_+^3$.
  
Z rovnic \rf{rceHO},\ref{ergempole}) vidíme, že {elektromagnetické pole v uzavřené
+
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii
dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých
+
elektromagnetického pole ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v~sumě \rf{ergempole}. Na druhé straně však víme, že
harmonických oscilátorů} (stojatých vln)
+
elektromagnetické pole je v~termodynamické rovnováze se stěnami dutiny o~teplotě $T$ a lze jej tedy popsat metodami  statistické fyziky.
číslovaných vektory $\vec m \in {\bf Z}_+^3$.
+
Z tohoto hlediska je možno na \emph{elektromagnetické pole v~dutině pohlížet jako na soubor oscilátorů, přičemž každý z~nich může interakcí
% s frekvencemi \rf{omgm}).
+
s~termostatem nabývat různých energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s~energií ${\epsilon}(s)$ je dána Boltzmannovou
 +
statistikou s~rozdělovací funkcí
 +
\be P(s,T) = A(T) e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }, \ll{boltzman} \ee
 +
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J/K}$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
 +
\[ \sum_s P(s,T)=1. \]
  
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány
+
Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů s~vlastními frekvencemi
žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii elektromagnetického pole
+
$\nu = \frac{\omega_{\vec{m}}}{2\pi} = \frac{c\norm{\vec{m}}}{2L}$
ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v sumě (\ref{ergempole}).
+
\[\overline{\epsilon(\nu,T)} = \sum_s \epsilon(s)P(s,T), \]
Na druhé straně však víme, že elektromagnetické pole je v termodynamické rovnováze
+
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$, pak lze spočítat jako součet
se stěnami dutiny o teplotě $T$ a lze jej tedy
+
středních energií oscilátorů s~frekvencemi v~témže intervalu.
popsat metodami  statistické fyziky.
+
Z tohoto hlediska je možno na {\em elektromagnetické pole v dutině pohlížet jako na soubor
+
oscilátorů, přičemž
+
každý z nich
+
může interakcí s termostatem nabývat různých
+
energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s energií ${\epsilon}(s)$ je dána
+
Boltzmannovou statistikou s rozdělovací funkcí.
+
\be P(s,T)= A(T)\ e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }
+
%=\prod_{\vec m,\alpha} P^\alpha_{\vec m},\ \ P^\alpha_{\vec m}\propto e^{-{E^\alpha_{\vec m}}/(kT) },
+
\ll{boltzman}\ee
+
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}J/K$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
+
\[ \sum_s P(s,T)=1.\] Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů
+
s vlastními frekvencemi
+
$\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi)=c|\vec{m}|/(2L)$
+
$$\overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_s \epsilon(s)P(s,T),$$
+
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v
+
intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$, pak lze spočítat jako součet středních
+
energií
+
oscilátorů s frekvencemi v témže intervalu.
+
  
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$.
+
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$. Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů
Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů s pevným $\vec m$ bod v ${\bf Z}_+^3$, pak v důsledku \rf{omgm})
+
s~pevným $\vec m$ bod v $\Z_+^3$, pak v~důsledku \rf{omgm} množina oscilátorů s~frekvencemi v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$
množina oscilátorů s
+
leží v~jednom oktantu kulové slupky poloměru $2L\nu/c$ a tloušťky $2L\d\nu/c$ v~prostoru vektorů v~$\Z^3$. Energie oscilátorů s~frekvencemi
frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ leží v jednom oktantu
+
v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je pak rovna součtu energií \rf{ergempole} avšak pouze přes body v~této slupce, tedy
kulové
+
\be
slupky poloměru $\frac{2L\nu}{c}$ a tloušťky $\frac{2L}{c}d\nu$ v prostoru
+
  \d\bar{\mathcal{E}}
vektorů v ${\bf Z}^3$. Energie oscilátorů s frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$
+
    = 2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 \d m
je pak rovna součtu energií (\ref{ergempole}) avšak pouze přes body v této slupce, tedy
+
    = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 \d\nu
%\be n(\nu)=2\,\frac{1}{8}\left(\frac{2L}{c}\right)^3 4\pi \nu^2 d\nu=V\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
+
    = V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 \d\nu, \ll{pocetstavu} \ee
\be  d\bar{\cal E}=2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm
+
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla. Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole) s~danou frekvencí tedy je
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu=
+
\be \rho(\nu,T) = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2. \ll{spechus1} \ee
V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
+
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla.
+
Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole)
+
s danou frekvencí tedy je
+
\be \rho(\nu,T)
+
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2 .
+
\ll{spechus1}\ee
+
  
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných
+
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o~klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných kladných hodnot
kladných hodnot $E(q,p)=\alpha p^2 +
+
$E(q,p)=\alpha p^2 + \beta q^2$ a rozdělovací funkce souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je
\beta q^2$ %, což odpovídá klasickým představám
+
\[ P(q,p) = A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
a rozdělovací funkce
+
%tohoto podsouboru je
+
souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je
+
\[ P(q,p)= A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
+
 
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
 
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
 
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
 
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
a energie pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
+
a energie pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je
\nu+d\nu>$ je
+
\[ \rho(\nu,T)\d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT \d\nu \]
\[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \]
+
(Rayleigh-Jeansova formule). Tato rozdělovací funkce však neodpovídá experimentálním hodnotám pro velké frekvence $\nu$. Navíc celková
(Rayleigh--Jeansova formule).
+
hustota energie elektromagnetického pole
Tato rozdělovací funkce
+
\be \epsilon = \int_0^\infty \rho(\nu,T)\d\nu \ll{heemp}\ee
%Toto záření absolutně černého tělesa
+
diverguje.}
však neodpovídá experimentálním hodnotám pro
+
velké frekvence $\nu$. Navíc celková hustota energie elektromagnetického pole
+
\be \epsilon=\int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll {heemp}\ee
+
diverguje.
+
}
+
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}).\ec
+
  
\special{src: 317 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}. \ec
 +
 
 +
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty energie dobře popisuje funkce navržená M.~Planckem ve tvaru
 +
\be \fbox{\LARGE$\rho(\nu,T) = \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} $} \ ,\ll{planck} \ee
 +
kde experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62 \times 10^{-34}$ Js (viz obr.~\ref{fig:blackbody}).
  
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty
 
energie  dobře popisuje
 
funkce navržená M. Planckem ve tvaru
 
\be \fbox{\LARGE$
 
\rho(\nu,T)=
 
\frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}
 
$}\ ,\ll{planck}\ee
 
kde
 
experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62\times
 
10^{-34}$ Js. (Viz obr.1)
 
 
\begin {figure}[hbtp]
 
\begin {figure}[hbtp]
\begin{center}
+
  \centering
\hskip 2cm\special{em:graph s_planck.gif} \vskip 5cm
+
  \includegraphics[scale=.18]{blackbody.pdf}
\caption
+
  \caption{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300 K, 1500 K} \ll{fig:blackbody}
{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně
+
černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300K, 1500 K}
+
 
\end{figure}
 
\end{figure}
\bc Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací
+
 
funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s teplotou
+
\bc
(Wienův posunovací zákon)?
+
  Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s~teplotou
 +
  (Wienův posunovací zákon)?
 
\ec
 
\ec
\bc Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení
+
 
hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě
+
\bc
Rayleighova -- Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od
+
  Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě
veličiny měřené o 5 procent.
+
  Rayleighova-Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od veličiny měřené o~5 procent. Jak velký je tento rozdíl v~oblasti
Jak velký je tento rozdíl v oblasti
+
  maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na teplotě?
maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na
+
teplotě?
+
 
\ec
 
\ec
\bc Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa
+
 
podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro
+
\bc
danou teplotu.
+
  Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro
 +
  danou teplotu.
 
\ec
 
\ec
K odvození rozdělovací funkce \rf{planck})
 
je třeba učinit následující podivný
 
předpoklad (Max Planck, 1900):
 
  
\special{src: 356 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
K~odvození rozdělovací funkce \rf{planck} je třeba učinit následující podivný předpoklad (Max Planck, 1900):
  
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z energetického hlediska
+
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z~energetického hlediska ekvivalentní elektromagnetickému poli v~dutině, \emph{nemohou nabývat
ekvivalentní %(viz \rf{ergempole}) )
+
libovolných hodnot energie, ale pouze takových, které jsou celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.~$E_n=n\epsilon_0$.
elektromagnetickému poli v
+
dutině, {\em nemohou nabývat libovolných hodnot energie, ale pouze
+
takových, které jsou %se liší o
+
celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.
+
$E_n=n\epsilon_0$.
+
 
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
 
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
 
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
 
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
  
\special{src: 368 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$ a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s~frekvencí $\nu$ a
 
+
energií $E_n$ je
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$
+
a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s
+
frekvencí $\nu$ a energií $E_n$ je
+
 
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
 
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty
+
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z~normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty P_n=1$. Sečtením geometrické řady
P_n=1$. Sečtením geometrické řady
+
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{nh\nu}{kT}}=\frac{1}{1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}}. \]
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{n
+
h\nu}{kT}}=1/[1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}]. \]
+
  
\special{src: 379 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí $\nu$ je pak
 
+
\[
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí
+
  \overline{\epsilon(\nu,T)}
$\nu$ je pak
+
    = \sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
\[ \overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
+
    = A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}}
= A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} =
+
    = A^{-1}\left[-\frac{\pd A}{\pd(\frac{1}{kt})}\right]
A^{-1}[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}]=
+
    = \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}.
\frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. \]
+
\]
Energii elektromagnetického pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
+
Energii elektromagnetického pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ pak opět spočítáme jako součin
\nu+d\nu>$ pak opět spočítáme jako součin (\ref{pocetstavu}) střední hodnoty
+
(\ref{pocetstavu}) střední hodnoty energie oscilátorů s~frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s~frekvencemi uvnitř daného intervalu, z~čehož
energie oscilátorů s frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s frekvencemi uvnitř
+
dostaneme Planckovu formuli \rf{planck}.
daného intervalu, z čehož dostaneme Planckovu formuli
+
\rf{planck}).
+
 
+
\special{src: 393 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
  
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp}) spočítaná z takto
+
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp} spočítaná z~takto určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
+
odpovídá Stefanovu-Boltzmannovu zákonu.
odpovídá Stefan--Boltzmannovu zákonu.
+
 
\[
 
\[
\epsilon(T)=
+
  \epsilon(T)
\frac{8\pi}{c^3}h\int_0^\infty\frac{\nu^3}
+
    = \frac{8\pi}{c^3}h \int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}\d\nu
{e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu
+
    = \frac{8\pi}{c^3} \frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\dx
=\frac{8\pi}{c^3}\frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty
+
    = \kappa T^4,
\frac{x^3}{e^x-1}dx=\kappa T^4, \]
+
\]
 
kde
 
kde
\[ \kappa=\frac{8\pi k^4}{c^3h^3}\frac{\pi^4 }{15}. \]
+
\[ \kappa = \frac{8\pi k^4}{c^3h^3} \frac{\pi^4 }{15}. \]
  
\special{src: 407 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\textbf{Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa lze odvodit pomocí předpokladu, že \emph{energie harmonického oscilátoru
 +
s~frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskrétních hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
  
{\bf Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa
+
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v~rozporu s naší zkušeností, neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou
lze odvodit pomocí předpokladu, že {\em energie harmonického
+
nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické oscilátory hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
oscilátoru s frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskretních
+
hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
+
%jejíž experimentálně určená hodnota je $h = 6.62\times 10^{-27}$ erg s.
+
  
\special{src: 415 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u~atomů (konkrétně rtuti) v~sérii pokusů Francka a Hertze v~letech 1914-1919
 +
(viz \cite{uhl:uvaf}).
  
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v rozporu s naší zkušeností,
 
neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické
 
oscilátory
 
hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
 
  
\special{src: 422 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u atomů (konkrétně rtuti) v serii pokusů Francka a Hertze v letech 1914--1919 (viz \cite{uhl:uvaf}).
+
\section{Fotoefekt}
\subsection{Fotoefekt}
+
Potvrzením Planckovy hypotézy o~kvantovém charakteru energie elektromagnetického pole bylo i Einsteinovo vysvětlení fotoefektu --- emise
Potvrzením Planckovy hypotézy o kvantovém charakteru energie
+
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v~roce 1903.
elektromagnetického pole bylo i
+
Einsteinovo vysvětlení fotoefektu -- emise
+
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v
+
roce 1903.
+
  
\special{src: 432 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl Millikan v~roce 1916 (viz obr.~\ref{fig:millikan}). Na fotokatodu zapojenou do
 +
elektrického obvodu dopadá monochromatické světlo s~frekvencí $\nu$, která se postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj
 +
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole, které vrací elektrony emitované světelným zářením zpět.
  
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl
 
Milikan v roce 1916 (viz obr.2). Na fotokatodu zapojenou do elektrického obvodu
 
dopadá monochromatické světlo s frekvencí $\nu$, která se
 
postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj
 
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole,
 
které vrací
 
elektrony emitované světelným zářením zpět.
 
 
\begin{figure}[hbtp]
 
\begin{figure}[hbtp]
  
Řádka 475: Řádka 346:
 
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}
 
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}
 
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}
 
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatick\'e‚ sv\v{e}tlo s frekvenc\'i $\nu$ }}
+
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatické světlo s frekvencí $\nu$ }}
 
\end{picture}
 
\end{picture}
  
 
+
\caption{Millikanovo zapojení pro měření fotoefektu} \ll{fig:millikan}
\caption{Milikanovo zapojení pro měření fotoefektu}
+
 
\end{figure}
 
\end{figure}
  
\special{src: 446 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane
+
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného
procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného záření
+
záření je lineární.
je lineární.
+
\[ U_s = \frac{h}{e}(\nu-\nu_0) \]
\[U_s=\frac{h}{e}(\nu-\nu_0)\]
+
  
\special{src: 453 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v~tom, že
 +
v~procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum záření --- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
 +
úměrná frekvenci $E=h\nu$. (\uv{\emph{...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves without
 +
dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.}}) Kinetická energie emitovaného elektronu je
 +
\be E_{\mathrm{kin}} = eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{\mathrm{foton}}-E_{\mathrm{ion}}. \ll{ekine} \ee
  
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou
+
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{\mathrm{ion}}/h$, kde $E_{\mathrm{ion}}$ je ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází
fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v
+
ani při zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$ získávají
tom, že v procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum
+
elektrony energii \rf{ekine}. Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu, se shodovala s~konstantou určenou ze záření černého tělesa.
záření -- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
+
úměrná frekvenci $E=h\nu$. ("...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves wtihout dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.") Kinetická energie emitovaného
+
elektronu je
+
\be E_{kin}=eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{foton}-E_{ion}.
+
\ll{ekine}\ee
+
  
\special{src: 464 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\textbf{Závěr:} Existují \emph{kvanta světelného záření --- fotony}, která působí v~elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie
 +
jednoho fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a $h$ je konstanta určená z~Planckova vyzařovacího zákona.
  
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{ion}/h$, kde $E_{ion}$ je
 
ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází ani při
 
zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných
 
pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$
 
získávají elektrony energii \rf{ekine}).
 
Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu se shodovala s
 
konstantou určenou ze záření černého tělesa.
 
 
\special{src: 474 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
{\bf Závěr:} Existují {\em kvanta světelného záření -- fotony},
 
která působí v
 
elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie jednoho
 
fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a
 
$h$ je konstanta určená z Planckova vyzařovacího zákona.
 
 
\bc
 
\bc
Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka
+
  Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z~nich se dostane do oka
mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z nich se dostane do oka
+
  pozorovatele ve vzdálenosti $10 \ \mathrm{km}$? (Poloměr čočky oka je asi $5 \ \mathrm{mm}$.)
pozorovatele ve vzdálenosti 10 km? (Poloměr čočky oka je asi 5 mm.)
+
%Kolik fotonů emituje anténa vysílače o výkonu 1 W vysílající
+
%na krátkých vlnách 30 m?
+
 
\ec
 
\ec
\subsection{Comptonův rozptyl}
 
  
\special{src: 490 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
V roce 1923 provedl A.H. Compton pokus, který měl odhalit, zda se
 
kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn. zda vedle
 
energie mají též definovanou hybnost. V tomto pokusu byl měřen
 
rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v jehož krystalické
 
mříži jsou elektrony relativně volné.
 
  
\special{src: 498 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\section{Comptonův rozptyl}
  
 +
V~roce 1923 provedl A.~H.~Compton pokus, který měl odhalit, zda se kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn.~zda vedle
 +
energie mají též definovanou hybnost. V~tomto pokusu byl měřen rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v~jehož
 +
krystalické mříži jsou elektrony relativně volné.
  
\special{src: 501 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce
 
+
(tj.~všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv.~tlak světla. V~klidové soustavě elektronu pak dojde k~emisi záření se stejnou
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět
+
vlnovou délkou a nulovou střední hybností. V~laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_{\mathrm{e}}$ a energii
vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce (tj. všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv. tlak
+
$E_{\mathrm{e}}$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu změnu vlnové délky záření
světla. V klidové soustavě elektronu pak dojde k emisi záření
+
\be (\triangle\lambda)_{\mathrm{klas}}=\lambda_0\frac{cP_{\mathrm{e}}}{E_{\mathrm{e}}-cP_{\mathrm{e}}}(1-\cos\Theta), \ll{compclas} \ee
se stejnou vlnovou délkou a nulovou střední hybností.
+
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny, $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření, $E_{\mathrm{e}},P_{\mathrm{e}}$ jsou
V laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_e$ a
+
velikost energie a hybnosti elektronu, které s~délkou ozařování rostou.}
energii $E_e$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu
+
změnu vlnové délky záření
+
\be
+
(\Delta\lambda)_{klas}=\lambda_0\frac{cP_e}{E_e-cP_e}
+
(1-cos\Theta),
+
\ll{compclas}\ee
+
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny,
+
$\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření,
+
$E_e,P_e$
+
jsou velikost energie a hybnosti elektronu, které s délkou ozařování rostou.
+
}
+
  
\special{src: 520 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Podívejme se jak bude tento jev probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni chovají jako částice s~danou energií a hybností (viz
 +
obr.~\ref{fig:compton}).
  
Podívejme se jak bude tento jev %proces %podobná formule
 
probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni
 
chovají jako částice s danou energií a hybností (viz
 
Obr.\ref{fig:compton}).
 
 
\begin{figure}
 
\begin{figure}
  
Řádka 594: Řádka 426:
 
\end{picture}
 
\end{picture}
  
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu}\ll{fig:compton}
+
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu} \ll{fig:compton}
 
\end{figure}
 
\end{figure}
V tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření
+
 
popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu ("... when an X-ray quantum is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."),
+
V~tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu (\uv{\emph{... when an X-ray quantum
při které se celková energie a hybnost zachovává.
+
is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron.}}), při které se celková energie a hybnost zachovává.
\be \epsilon_{\nu_0}+m_ec^2=\epsilon_{\nu}+ E_e
+
\be \epsilon_{\nu_0}+m_{\mathrm{e}} c^2 = \epsilon_{\nu}+ E_{\mathrm{e}} \ll{zachovanienergie} \ee
\ll{zachovanienergie} \ee
+
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec{p}_{\nu}+\vec p_{\mathrm{e}},\ll{zachovani hybnosti} \ee
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec p_{\nu}+\vec p_{e},\ll{zachovani hybnosti} \ee
+
 
kde
 
kde
\[ \vec p_e=\frac{m_e\vec v_e}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\ \
+
\[ \vec{p}_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} \vec{v}_{\mathrm{e}}}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\ \quad E_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} c^2}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\]
E_e=\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\]
+
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \quad |\vec{p}_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \ |\vec p_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
+
a $v_{\mathrm{e}}$ je rychlost odraženého elektronu. Ze zákona zachování hybnosti plyne
a $v_e$ je rychlost odraženého elektronu.
+
\[ (\vec{p}_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2 = \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)= \]
Ze zákona zachování hybnosti plyne
+
\[ {\vec{p}_{\mathrm{e}}}{}^2 = \frac{m_{\mathrm{e}}^2 v_{\mathrm{e}}^2}{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2} = E_{\mathrm{e}}^2/c^2-m_{\mathrm{e}}^2c^2. \]
\[ (\vec p_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2=
+
Použijeme-li ještě zákon zachování energie, pak algebraickými úpravami dostaneme
\frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)=\]
+
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}(1-\cos \Theta), \ll{compton2} \ee
\[ {\vec p_e}{}^2=\frac{m_e^2v_e^2}{1-v_e^2/c^2}=E_e^2/c^2-m_e^2c^2. \]
+
což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v~závislosti na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
Použijeme-li ještě zákon zachování energie,
+
Veličina $\frac{\hbar}{m_{\mathrm{e}} c}$ se často nazývá \emph{Comptonova vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}$ m.
pak algebraickými úpravami dostaneme
+
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_ec}(1-\cos \Theta),
+
\ll{compton2}\ee
+
což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v závislosti
+
na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
+
Veličina
+
$\frac{\hbar}{m_ec}$ se často nazývá {\em Comptonova
+
vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}m$.
+
  
\special{src: 555 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření velikosti $P_{\mathrm{e}}$,
 +
pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
 +
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{(\lambda_0 P_{\mathrm{e}}+h)c}{\sqrt{m_{\mathrm{e}}^2c^4+P_{\mathrm{e}}^2c^2}-P_{\mathrm{e}}c}(1-\cos\Theta). \ll{compton} \ee
 +
Pro $P_{\mathrm{e}}\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli \rf{compclas}. Comptonovy vzorce \rf{compton} resp.~\rf{compton2} se však
 +
experimentálně potvrdily i pro krátkovlné rentgenovské záření.
  
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony  hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření
+
\textbf{Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou energii, ale i hybnost, jejíž velikost je
velikosti $P_e$, pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
+
nepřímo úměrná vlnové délce záření $\norm{\vec{p}} = h/\lambda$.
\be \lambda-\lambda_0=
+
\frac{(\lambda_0 P_e+h)c}{\sqrt{m_e^2c^4+P_e^2c^2}-P_ec}(1-\cos
+
\Theta).
+
\ll{compton}\ee
+
Pro $P_e\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli
+
\rf{compclas}).
+
Comptonovy vzorce \rf{compton}) resp. \rf{compton2})
+
se však experimentálně potvrdily
+
i pro krátkovlné rentgenovské záření.
+
  
\special{src: 569 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova záření.
 +
\ec
  
 
+
\bc
\special{src: 572 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
  Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož zdrojem je elektron --- pozitronová anihilace
 
+
  \[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
{\bf Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou
+
  v~klidu?
energii, ale i hybnost, jejíž velikost je nepřímo úměrná vlnové
+
délce záření $|\vec p| = h/\lambda$.
+
\bc Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova
+
záření.
+
\ec
+
\bc Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož
+
zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace
+
\[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
+
v klidu?
+
 
\ec
 
\ec
  
\special{src: 586 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
\subsection{Shrnutí}
 
  
\special{src: 590 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Z výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt
+
\section{Shrnutí}
%v předchozích podkapitolách
+
 
plyne, že v mikrosvětě, tj. při zkoumání atomárních jevů:
+
Z~výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt plyne, že v~mikrosvětě, tj.~při zkoumání atomárních jevů:
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item
+
  \item Existují fyzikální objekty --- kvanta, kvantové částice --- mající jak vlnový tak částicový charakter.
Existují fyzikální objekty -- kvanta, kvantové částice --
+
  \item Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např.~energie či momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn.~tyto veličiny se mohou měnit
%Ztrácí se rozdíl mezi hmotnými objekty a zářením.
+
        pouze o~konečné přírustky.
mající jak vlnový tak částicový charakter.
+
% a chová se podobně jako soubor částic.
+
% a hmotné objekty přestávají mít čistě částicový charakter.
+
\item
+
Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např. energie či
+
momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn. tyto veličiny se mohou
+
měnit pouze o konečné přírustky.
+
%nabývají než se očekávalo
+
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo
+
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a
ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
+
použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
 
fyzikálních systémů.
 
fyzikálních systémů.
  
\special{src: 612 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Z~pedagogických důvodů začneme její výklad popisem jedné kvantové částice bez vazeb, jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
 +
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u~každé fyzikální teorie \textbf{se nejedná o~odvození ve smyslu, na které jsme
 +
zvyklí z~matematiky, nýbrž o~sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, jejichž správnost musí prověřit experimenty.}
 +
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž postuloval.
  
Z pedagogických důvodů začneme její výklad popisem
 
jedné kvantové částice bez vazeb,
 
jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
 
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u každé fyzikální teorie {\bf se nejedná o odvození
 
%Slovo "odvodíme" v minulém odstavci je přitom třeba chápatnikoliv
 
ve smyslu, na který jsme zvyklí z matematiky, nýbrž o
 
sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, %konstrukci,
 
jejichž správnost musí prověřit experimenty.}
 
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž
 
postuloval.
 
%další vývoj její správnost prověřil do té
 
%%míry, že na počátku tohoto století byla považována za
 
%neotřesitelné dogma.jí nyní považujeme
 
%a uvěřitelných
 
\subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
 
%\input{debrogli.sub}
 
%Strategicko--pedagogický plán této kapitoly je následující:
 
%Z \db ovy hypotézy odvodíme \sv u rovnici pro volnou částici a
 
%postulujeme její zobecnění pro částici v silovém poli. Poté z
 
%matematické formy \sv y \rc e a pravděpodobnostní interpretace %jejích
 
%řešení odvodíme strukturu stavového prostoru.
 
%Pro popis kvantových stavů z
 
%Zavedeme pojem pozorovatelných, jejich spektra a
 
%kompatibility a  tyto pojmy pak využijeme k popisu
 
%kvantově--mechanického stavu a fyzikálním předpovědím.
 
  
\special{src: 640 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Z vysvětlení experimentálních fakt v předchozích kapitolách
+
\section{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
plyne, že při zkoumání atomárních jevů
+
\label{chap:dbschr}
záření přestává
+
mít čistě vlnový charakter a chová se v některých aspektech jako
+
soubor částic.
+
Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem -- kvantové \cc e -- popisující fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
+
  
\special{src: 649 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Z~vysvětlení experimentálních fakt v~předchozích kapitolách plyne, že při zkoumání atomárních jevů záření přestává mít čistě vlnový charakter
 +
a chová se v~některých aspektech jako soubor částic. Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem --- kvantové \cc e --- popisující
 +
fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
  
Pod vlivem poznatků o duálním částicově--vlnovém charakteru
+
Pod vlivem poznatků o~duálním částicově-vlnovém charakteru světla De Broglie v~roce 1923 usoudil, že tento dualismus je vlastností všech
světla
+
mikroskopických objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.~elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo
De Broglie v roce 1923 usoudil, že tento %částicově--vlnový
+
jako částice, podle toho jaké jevy, v~nichž se účastní, zkoumáme. Vyslovil hypotézu, že \emph{pro popis jevů na atomární úrovni je třeba
dualismus je vlastností všech mikroskopických
+
přiřadit volným kvantovým částicím s~hybností $\vec p$ a energií $E$ --- nikoliv bod fázového prostoru, nýbrž rovinnou monochromatickou vlnu
objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.
+
$\psi_{\vec p,E}$, jejíž frekvence je (stejně jako pro foton) úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti částice,
elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo jako částice,
+
přesněji funkci}
podle toho jaké jevy, v nichž se účastní, zkoumáme.
+
\be\mbox{\Large $\psi_{\vec p,E}(\vex,t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vex-Et) } $}, \ll{dbvlna} \ee
Vyslovil hypotézu, že {\em pro popis jevů na atomární
+
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar := h/2\pi = 1.054 572 \times 10^{-34}$ Js.
úrovni je třeba přiřadit volným
+
kvantovým částicím s hybností $\vec p$ a energií $E$ -- nikoliv bod fázového prostoru nýbrž rovinou monochromatickou vlnu $\psi_{\vec p,E}$,
+
jejíž frekvence je (stejně jako pro foton)
+
úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti
+
částice, přesněji funkci}
+
\be\mbox{\Large $
+
\psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A
+
e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $},
+
\ll{dbvlna}\ee
+
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar:=h/2\pi=1.054 572\times10^{-34}$ Js.
+
  
\special{src: 670 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy, je třeba si uvědomit, že v~té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové
 
+
vlastnosti hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o~několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy,
+
%vynikne zejména tehdy,
+
je třeba si uvědomit, že
+
v té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové vlastnosti
+
hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o
+
několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na
+
 
krystalech.
 
krystalech.
\bc Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu
+
 
kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10
+
\bc
$\mu$g pohybující se rychlostí zvuku.
+
  Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o~hmotnosti $10 \ \mu\mathrm{g}$
 +
  pohybující se rychlostí zvuku.
 
\ec
 
\ec
\bc Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozměrech $1\times 1.5$ m.
+
 
 +
\bc
 +
  Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku $(m = 0.1 \ \mathrm{kg})$ obdélníkovitým otvorem ve zdi o~rozměrech
 +
  $1\times 1.5 \ \mathrm{m}$.
 
\ec
 
\ec
\bc Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm?
+
 
 +
\bc
 +
  Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s~charakteristickou vzdáleností
 +
  atomů $0.1 \ \mathrm{nm}$?
 
\ec
 
\ec
  
\special{src: 688 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií stejný jako u~klasické volné částice $E=\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}$ (případně $E=\sqrt{\vec{p}^{\,2}c^2+m^2c^4}$
 +
pro kvantum pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna nesplňuje  vlnovou rovnici \rf{vlnrce}, která
 +
plyne z~teorie elektromagnetického pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje. Tuto \rc i našel v~roce 1925 E.~Schr\"{o}dinger a nese
 +
jeho jméno.
  
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií %\db ovy vlny je
+
K~odvození \rc e pro \db ovy vlny je nejsnazší vyjít z~výše uvedených klasických vztahů mezi energií a hybností, které vlastně představují
stejný jako u
+
disperzní relace, a použít identity
klasické volné částice $E=\vec{p}^2/2m$ %pro nerelativistický případ či
+
\be p_j\psi = -i\hbar\frac{\pd}{\pd x_j} \psi, \quad E \psi=i\hbar\frac{\pd}{\pd t} \psi \ll{imps} \ee
(případně $E=\sqrt{\vec{p}^2c^2+m^2c^4}$ pro kvantum pohybující se rychlostí
+
plynoucí z~popisu kvant příslušnou \db ovou vlnou. Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna
+
\be
%pro hmotnou částici
+
  \frac{\pd\psi}{\pd t}
nesplňuje  vlnovou rovnici \rf{vlnrce}), která plyne z teorie elektromagnetického
+
    = -\frac{i}{\hbar}\sum_{j=1}^3\frac{p_j^2}{2m}\psi
pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje.
+
    = -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{j=1}^3\left(-\hbar^2\frac{\pd^2}{\pd x_j^2}\right) \psi.
Tuto \rc i našel v roce 1925 E. Schr\"{o}dinger a nese jeho jméno.
+
  \ll{srvolna}
%\input{schr_rce.sub}
+
\ee
  
\special{src: 701 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
E.~Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
 +
\be  \frac{\pd\psi}{\pd t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
 +
i pro kvantovou částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem $V(\vex)$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci
 +
takovéto kvantové \cc e se obvykle píše ve tvaru
 +
\be \fbox{\LARGE $i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\lapl\psi + V(\vex)\psi$} \ll{sr} \ee
 +
a nazývá se \emph{Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární operátor na pravé straně \sv y \rc e
 +
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\lapl+ \hat V(\vex) \ll{hamiltonian} \ee
 +
se nazývá \emph{hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence učebnic kvantové mechaniky, že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
  
K odvození \rc e pro \db ovy vlny
+
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna} pro \uv{volnou \qv ou částici} (což může být např.~elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není
je nejsnazší vyjít z výše uvedených klasických vztahů mezi
+
pouze \db ova vlna, ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných. Díky linearitě \sv y \rc e je řešením \rf{srvolna} i lineární superpozice
energií a hybností, které vlastně představují disperzní relace,
+
\db ových vln odpovídajících různým hybnostem
a použít identity
+
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}\tilde\psi(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}\left( \vec{p}\cdot\vex-\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}t\right)}\d^3p. \ll{vlnbalik} \ee
\be p_i\psi%(\vec{x},t}
+
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna} má jenom některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou
=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} \psi, E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps}\ee
+
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o~její poloze. Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její vlastnosti,
plynoucí z popisu kvant
+
např.~lokalizovatelnost v~určité části prostoru, pak musíme použít jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
%vztah mezi hodnotou složek hybnosti a
+
příslušnou \db ovou vlnou.
+
Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
+
\be \frac{\partial\psi}{\partial t}=
+
-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^3\frac{p_i^2}{2m}\psi=
+
-\frac{i}{2m\hbar}\sum_{i=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial
+
x_i^2})\psi \ll{srvolna}\ee
+
  
\special{src: 718 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 
+
  Nechť $V(\vex)=0$ (volná částice) a vlnová \fc e částice má v~čase $t_0$ (\uv{lokalizovaný}) tvar
E. Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
+
  \be g(\vex)=C\exp \left\{ -A\vex^{\,2}+\vec B\vex \right\} \ll{mvb}\ee
\be \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
+
  Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y
i pro kvantovou
+
  \rc e $\psi(\vex,t)$, které v~čase $t_0$ má tvar $g(\vex)$, tj.~splňuje počáteční podmínku $\psi(\vex,t_0)=g(\vex),$
částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem
+
  %(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
$V(\vec{x})$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci
+
  kde $\Re  A>0,\ \vec B\in\C^3,\ C\in\C$.
takovéto kvantové \cc e se obvykle
+
  \ll{ex:vlnbal}
píše ve tvaru
+
\ec
\be\fbox{\LARGE $
+
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vec{x})\psi
+
$}\ll{sr}\ee
+
a nazývá se {\em Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární
+
operátor na pravé straně \sv y \rc e
+
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vec{x})
+
\ll{hamiltonian} \ee
+
se nazývá {\em hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence
+
učebnic kvantové mechaniky,
+
že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
+
 
+
\special{src: 738 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
  
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna}) pro "volnou \qv ou částici"
+
\bc
(což může být např.
+
  Nechť \fc e $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není pouze \db ova vlna,
+
  \[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp \left\{ -i\frac{Mg}{\hbar}\left(zt+\frac{gt^3}{6}\right) \right\} \, \psi\left(x,y,z+\frac{gt^2}{2},t\right) \]
ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných.
+
  je řešením \sv y \rc e pro \cc i v~homogenním gravitačním poli (Avronova-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
Díky linearitě \sv
+
\rc e je řešením \rf{srvolna}) i lineární superpozice \db ových vln odpovídajících různým hybnostem
+
\be \psi(\vec{x},t)=\int_{\real^3}\tilde\psi(\vec
+
p)e^{\frac{i}{\hbar}(\vec p\vec x-\frac{p^2}{2m}t)}dp^3.
+
\ll{vlnbalik}\ee
+
%$\psi =\psi(x,t)$.
+
%$\psi: {\bf D \->\complex,\ \ \bf D \part
+
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna}) má jenom
+
některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou
+
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o její
+
poloze.
+
Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její
+
vlastnosti, např. lokalizovatelnost v určité části prostoru, pak musíme použít
+
jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
+
\begin{cvi}
+
Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a  vlnová \fc e částice má v čase $t_0$ ("lokalizovaný") tvar
+
\be g(\vec x)=C\exp[-A\vex^2+\vec B\vec x] \ll{mvb}\ee
+
Pomocí Fourierovy
+
transformace určete řešení \sv y
+
\rc e $\psi(\vec x,t)$, které v čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj. splňuje počáteční podmínku
+
$\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$
+
%(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
+
kde $Re\  A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$.
+
\ll{ex:vlnbal}
+
\end{cvi}
+
\bc Nechť $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
+
\[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]
+
je řešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním gravitačním poli (Avron-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
+
 
\ec
 
\ec
\special{src: 770 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
\subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}
 
  
\special{src: 774 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny
+
\section{Bornova interpretace vlnové funkce}
připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
+
význam, neboli problém {\em fyzikální interpretace řešení
+
\sv y \rc e.}
+
  
\special{src: 781 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
 +
význam, neboli problém \emph{fyzikální interpretace řešení \sv y \rc e}.
  
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické
+
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální
mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná
+
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný. Problém interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je rovnicí v~komplexním
jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální
+
oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce. Podotázkou tohoto problému pak je, zda všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný.
+
Problém %jejich
+
interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je
+
rovnicí v
+
komplexním oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce.
+
Podotázkou tohoto problému pak je, zda
+
všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
+
  
\special{src: 794 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho
 +
statistická interpretace (Max Born, 1926):
  
Po mnoha marných pokusech interpretovat    řešení \sv y \rc e jako
+
\textbf{Řešení \sv y \rc e udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení částice v~různých oblastech prostoru: Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y
silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho statistická
+
\rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$ je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice
interpretace (Max Born, 1926):
+
v~okamžiku $t$ v~místě s~kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
%Problém interpretace řešení \sv y \rc e řeší Bornův postulát:
+
  
\special{src: 801 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna} v~oblasti $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$?
 +
\ec
  
{\bf  Řešení \sv y \rc e %obsahuje veškerou informaci
+
\bc
udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení
+
  \ll{casvmvb}
částice v různých oblastech prostoru:
+
  Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y \rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní
+
  \be \psi(\vex,t) = Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}} \chi(t)^{-3/2}\exp \left\{ -A\frac{\left(\vex-\frac{\vec B}{2A}\right)^2}{\chi(t)} \right\} \ll{mvbt}\ee
hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$
+
  \[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v okamžiku $t$ v místě
+
  z~příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$? Jak se mění poloha jejího maxima s~časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění
s kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
+
  s~časem? Za jak dlouho se zdvojnásobí \uv{šířka} vlnového balíku pro elektron lokalizovaný s~přesností $1 \ \mathrm{cm}$ a pro hmotný bod o~hmotě
\begin{cvi}
+
  $1 \ \mathrm{g}$, jehož těžiště je lokalizováno s~přesností $10^{-6} \ \mathrm{m}$?
Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané
+
  \ll{ex:pstvb}
de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna}) v oblasti
+
\ec
$(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ?
+
 
\end{cvi}
+
Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice? Pravděpodobnost nalezení částice v~oblasti $G\subset\R^3$ je úměrná
\begin{cvi}\ll{casvmvb}
+
\[ \int_G |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz. \]
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
+
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z~požadavku, aby pravděpodobnost nalezení částice \uv{kdekoliv} se rovnala jedné. Tuto podmínku lze snadno
\be \psi(\vec x,t)=Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}}
+
splnit, položíme-li hustotu pravděpodobnosti rovnou
\chi(t)^{-3/2}\exp\{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}\} \ll{mvbt}\ee
+
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1} |\psi(x,y,z,t)|^2, \ll{pst} \ee
\[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
+
z příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$?
+
Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je
+
rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem?
+
%Jaká je rychlost rozplývání
+
Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku
+
pro elektron lokalizovaný s přesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotě 1 gram
+
jehož těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m?
+
\ll{ex:pstvb}\end{cvi}
+
{Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice?}
+
Pravděpodobnost nalezení částice v oblasti $O\subset{\bf R}^3$
+
je úměrná
+
\[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \]
+
%přirozeným způsobem jako
+
%četnost výskytu v oblasti $O$ dělená četností výskytu "kdekoliv"
+
%tj. v ${\bf R^3}$ pak
+
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z požadavku,
+
%Je zřejmě přirozené považovat,
+
aby pravděpodobnost nalezení částice "kdekoliv" se rovnala
+
jedné.
+
% takže fyzikální význam mají řešení, pro která platí
+
%\[ =1 \]
+
%Vzhledem k tomu, že množina řešení \sv y \rc e je lineární
+
%prostor, pak
+
Tuto podmínku lze snadno splnit, položíme-li hustotu
+
pravděpodobnosti rovnou
+
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1}
+
|\psi(x,y,z,t)|^2,
+
\ll{pst}\ee
+
%vydělením libovolného řešení $\psi$ číslem $1/\sqrt{A(\psi)}$,
+
 
kde
 
kde
\be A(\psi)=\int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz ,\ll{norma}\ee
+
\be A(\psi) = \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz, \ll{norma} \ee
 
pokud tento integrál existuje.
 
pokud tento integrál existuje.
  
\special{src: 853 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Fyzikálně snadno interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která splňují
 +
\be \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz <\infty. \ll{konecnanorma} \ee
 +
Těmi se budeme v~následujícím textu zabývat především.
 +
 
 +
\section{Dvouštěrbinový experiment}
 +
 
 +
Na závěr této úvodní kapitoly si rozebereme dvoušterbinový experiment, na kterém lze krásně ilustrovat rozdíly mezi chováním klasických částic, klasické vlny a kvantových částic. V tomoto experimentu měříme intenzitu  na stínítku po průchodu šterbinami v překážce. Budeme uvažovat tři konfigurace experimentu (viz. obrázek~\ref{fig:ds1}): 1) jen šterbina $S_1$, 2) jen šterbina $S_2$, 3) obě šterbiny otevřené. V situacích 1) a 2) bude intezita na stínítku v bodě $x$ dána nějakou funkcí $I_j(x)$, $j=1,2$, nezávisle na tom, s čím experiment provádíme. V poslední konfiguraci, kdy jsou obě štěrbiny otevřené, tomu už tak nebude.
 +
 
 +
\begin{figure}
 +
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{s1full.png}\hfill
 +
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{s2full.png}\hfill
 +
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{s1s2.png}
 +
\caption{Tři varianty experimentu - 1) pouze štěrbina $S_1$, 2) pouze šterbina $S_2$, 3) obě šterbiny otevřené. {$Z$ představuje zdroj klasických částic, vlnění nebo kvantových částic.} V poslední konfiguraci závisí průběh intenzity na stínítku na tom, s čím experiment provádíme.}
 +
\label{fig:ds1}
 +
\end{figure}
 +
 
 +
\begin{itemize}
 +
\item[a)] Klasické částice
 +
 
 +
{Předpokládáme, že zdroj $Z$ vysílá částice náhodně a rovnoměrně v rozmezí nějakého úhlu tak, aby mohly projít oběma šterbinami. V konfiguraci 1) a 2) je intenzita $I_j(x)$ úměrná pravděpodobnosti dopadu $p_j(x)$ jedné částice do místa $x$ po průchodu štěrbinou $S_j$. Pokud jsou otevřené obě štěrbiny, je pravděpodobnost dopadu do $x$ rovna součtu pravděpodobností $p_1(x)$ a $p_2(x)$. Intenzity se tedy sčítají}
 +
$$
 +
I_3(x) = I_1(x) + I_2(x).
 +
$$
 +
Tvar výsledné intenzity je na obrázku~\ref{fig:ds2} vlevo.
 +
 
 +
\item[b)] Klasická vlna
 +
 
 +
Vlnění po průchodu šterbinou $S_j$ můžeme popsat nějakou komplexní funkcí (amplitudou) $A_j(x)$, intenzita na stínítku je pak dána kvadrátem absolutní hodnoty z amplitudy, tj. $I_j(x) = |A_j(x)|^2$. Ve třetí konfiguraci experimentu je amplituda vlny dána součtem amplitud
 +
$$
 +
A_3(x) = A_1(x) + A_2(x).
 +
$$
 +
Výsledná intezita pak není součtem intezit $I_1(x)$ a $I_2(x)$, ale liší se o interferenční člen
 +
$$
 +
I_3(x) = |A_3(x)|^2 = I_1(x) + I_2(x) + \overline{A}_1(x)A_2(x) + A_1(x)\overline{A}_2(x).
 +
$$
 +
Ten může být kladný nebo záporný, v závislosti na vzájemné fázi amplitud $A_j(x)$. V některých bodech tedy dojde ke zvýšení intenzity (konstruktivní interference), v některých ke snížení (destruktivní interference), viz. interferenční obrazec na obrázku \ref{fig:ds2} vpravo.
 +
 
 +
\begin{figure}
 +
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{ballfull.png}\hfill
 +
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{wavefull.png}
 +
\caption{Vlevo: Dvouštěrbinový experiment s klasickými částicemi. Intenzity dopadů se sčítají. Vpravo: Dvouštěrbinový experiment s klasickou vlnou. Sčítají se amplitudy, ne intenzity.}
 +
\label{fig:ds2}
 +
\end{figure}
 +
 
 +
\item[c)] Kvantové částice
 +
 
 +
V případě kvantových částic jsou intezity úměrné pravděpodobnostem dopadu do daného bodu, stejně jako pro klasické částice. Ta je dle Bornova postulátu dána kvadrátem absolutní hodnoty vlnové funkce, tedy $I_j(x) \sim |\psi_j(x)|^2$, kde $\psi_j(x)$ je vlnová funkce popisující stav částice po průchodu šterbinou $S_j$. Pokud jsou otevřené obě šterbiny, je vlnová funkce částice dána superpozicí
 +
$$
 +
\psi(x) = \psi_1(x) + \psi_2(x).
 +
$$
 +
Stejně jako v případě vlnění se sčítají amplitudy a výsledná intezita dopadů vytváří interferenční obrazec
 +
$$
 +
I_3(x) \sim |\psi_1(x)|^2 + |\psi_1(x)|^2 + \overline{\psi}_1(x)\psi_2(x) + \psi_1(x)\overline{\psi}_2(x) ,
 +
$$
 +
podobně jako na obrázku \ref{fig:ds2} vpravo. {\bf To platí i v případě, kdy tok kvantových částic (např. elektronů) bude velmi slabý, tj. kdy v experimentu je každém okamžiku maximálně jedna částice.} Na stínítko budou dopadat jednotlivé elektrony náhodně podle pravděpodobnostního rozdělení $|\psi(x)|^2$ a interferenční obrazec se objeví po dostatečně dlouhém sbírání dat. Kvantová částice tedy \emph{\uv{ interferuje sama se sebou }}.
 +
 
 +
Podstatné pro získání interferenčního obrazce je to, že v této konfiguraci experimentu není možné určit, kterou ze šterbin $S_1$ nebo $S_2$ částice prošla. Pokud se to pokusíme určit (resp. pokud je byť jen v principu možné informaci o trajektorii získat), experimenty ukazují, že interferenční obrazec zmizí. Uvažujme čtvrtou konfiguraci experimentu, kde mezi šterbiny umístíme zdroj světla. Elektrony budou se světlem interagovat a u šterbiny $S_1$ nebo $S_2$ uvidíme záblesk. Tímto měřením můžeme určit, kterou šterbinou elektron prošel. Stav elektronu pak už ale nebude popsán superpozicí $\psi_1(x)+\psi_2(x)$, ale jen vlnovou funkcí $\psi_1(x)$ nebo $\psi_2(x)$. Intezita dopadu elektronů na stínítko pak bude dána součtem intezit, stejně jako v pro klasické částice.
 +
\end{itemize}
  
Fyzikálně    snadno
+
Závěrem můžeme říci, že mikroskopické objekty mají jak vlastnosti částic, tak vlastnosti vlnění. Tyto vlastnosti jsou ale komplementární - podle typu experimentu se chovají buď jako částice, nebo jako vlny, nikdy oboje naráz. Pokud se snažíme určit částicové vlastnosti (jako např. trajektorii v dvouštěrbinovém experimentu) tak vlnové vlastnosti (jako interference) zmizí.
interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která
+
splňují
+
\be \int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty.\ll{konecnanorma}\ee
+
Těmi se budeme v následujícím textu zabývat především.
+

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:42

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Zrod \qv é mechaniky}
\ll{ZrodQM}
 
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a magnetismu, termodynamiky, ...) je popis \emph{množiny stavů a
určení časového vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení měřitelných veličin tzv.~\emph{pozorovatelných}, které jsou
pro zkoumaný systém relevantní, a předpovězení vývoje jejich hodnot. Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, elektrická a
magnetická intenzita, teplota, objem atd.
 
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny a fyzikální
zákony určující jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se zdálo, že
vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není pravda, a že klasická fyzika
nedokáže bezesporně popsat některé jevy, ke kterým dochází v~důsledku interakcí na atomární úrovni.}
 
\bc
  Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište
  rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny?
\ec
 
Základní fyzikální objekty --- \textbf{hmota a záření} --- jsou v~klasické fyzice \textbf{popsány zcela odlišným způsobem}. Hmotné objekty
jsou lokalizované a řídí se Newtonovými pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se Maxwellovými polními rovnicemi.
Dochází u~něj k~vlnovým jevům např.~interferenci a ohybu.
 
V~makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob popisu  kvalitativně různých objektů zcela logický. Pokusy prováděné
počátkem tohoto století však ukázaly, že pro popis objektů v~mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, ba dokonce vedou k~předpovědím,
které jsou v~rozporu s~pozorováními.
 
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají okolo
kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. Podle této představy jsou elektrony klasické, elektricky nabité (na rozdíl od
planet!) částice. Problém je však v~tom, že z~teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu po zakřivené dráze měly
produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní mechanické energie.}
 
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít konečnou, dokonce velmi
krátkou (cca.~$10^{-10}$ s) dobu života. Obě tyto předpovědi jsou v~rozporu s pozorováním. Smířit tento rozpor teorie a experimentu se
podařilo až kvantové mechanice za cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v~tomto případě elektronu jako částice pohybující
se po nějaké dráze.
 
\bc
  Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v~atomu vodíku, pokud jej považujeme za klasickou částici pohybující se po kruhové dráze
  o~(Bohrově) poloměru $a \approx 10^{-10} \ \mathrm{m}$ (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52).
\ec
 
K~dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u~zrodu \qv é mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, fotoefekt
a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v~příštích podkapitolách. Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i
představy o~čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.
 
 
\section{Planckův vyzařovací zákon}
 
Jedním z~problémů klasické fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření tzv.~absolutně černého tělesa, přesněji její závislost
na frekvenci záření a teplotě tělesa.
 
\emph{Absolutně černé těleso}, tzn.~těleso které neodráží žádné vnější záření, lze realizovat otvorem v~dutině, jejíž vnější stěny jsou
vodivé a jsou ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické záření, jehož experimentálně změřené
spektrální rozdělení je v~rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
 
Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v~dutině vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf}, kap.~8), jež je zdrojem
záření černého tělesa. Jeho složky $\vec E(\vex,t), \vec B(\vex,t)$ musí splňovat Maxwellovy-Lorentzovy rovnice beze zdrojů
\be \div \vec{E}=0,\ \ \ \rot \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\pd \vec{E}}{\pd t}=0, \ll{ml1} \ee
\be \div \vec{B}=0,\ \ \ \rot \vec E + \frac{\pd \vec{B}}{\pd t}=0 \ll{ml2} \ee
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole byly na stěnách dutiny nulové (viz
např.~\cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
kde $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto
pole je ekvivalentní systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
 
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1}-\rf{podnast}. Z~II.~serie Maxwellových-Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické
pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem
\be \vec E = -\grad \phi' -\frac{\pd \vec{A'}}{\pd t},\ \ \vec B = \rot \vec{A'}.\ee
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací dosáhnout toho, že elektromagnetické potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují
$\phi=0,\div\vec{A}=0$ a okrajové podmínky $\vec N \times \vec A = 0$ na stěnách dutiny.
 
Kalibrační transformace
\be \phi(\vex,t) = \phi'(\vex,t)-\frac{\pd\lambda}{\pd t}(\vex,t) \ee
\be \vec A(\vex,t) = \vec A'(\vex,t) + \grad \lambda(\vex,t), \ee
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí $\lambda$, která splňuje rovnice
\be \frac{\pd \lambda}{\pd t}=\phi' \ee
\be \lapl \lambda = -\div \vec A' \ee
spolu s~okrajovými podmínkami na stěnách
\be \vec N \times \grad \lambda = -\vec N \times \vec A'. \ee
 
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí $\div \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
 
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o~hraně $L$. Rozložíme složky vektorového potenciálu do trojné Fourierovy řady (viz
např.~\cite{uhl:uvaf})
 
\be A_1(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_1(\vec{m},t) \cos\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right) \sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four1} \ee
\be A_2(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_2(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four2}\ee
\be A_3(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_3(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right). \ll{Four3}\ee
 
Důvod pro tento speciální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $\langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle$ jako spojitou
funkci lichou v~proměnných $x_2,x_3$. O~hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$  žádnou informaci nemáme, můžeme ji nicméně prodloužit sudě v~$x_1$.
Fourierův rozklad liché spojité funkce na intervalu $\langle -L,L \rangle$ lze provést pomocí funkcí  $\sin\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$, zatímco rozklad sudé
funkce pomocí funkcí $\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}. Důležité je, že podmínka
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např.~pomocí funkcí
$\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$ pro sudá rozšíření $A_1$ v~$x_2,x_3$. Stejnou argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem \rf{Four2}, \rf{Four3}.
 
Z~rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
\be \frac{1}{c^2}\frac{\pd^2}{\pd t^2}A_i-\lapl A_i=0, \ll{vlnrce} \ee
které dostaneme  z~\rf{ml1}, pak plyne, že koeficienty $\vec Q_{\vec{m}}(t) \equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in \Z_+^3$ (trojice
celých nezáporných čísel) splňují jednoduché \rc e
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0, \ll{rceHO} \ee
kde
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
a $c$ je rychlost světla.
 
Kalibrační podmínka $\div \vec A=0$ přejde na tvar
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0, \ll{kalpod} \ee
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m \in \Z_+^3$ existují dvě lineárně nezávislé funkce $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující
\rf{rceHO}, \rf{kalpod}, což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
 
\bc
  Ze vzorců \rf{Four1}-\rf{Four3} odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vex,t)$ a $\vec B(\vex,t)$.
\ec
 
Energie elektromagnetického pole
\[ \mathcal{E} = \half\int(\varepsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)\d V \]
po dosazení \rf{Four1}-\rf{Four3} a integraci přejde na tvar
\be
  \mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in \Z_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec m}^2).
  \ll{ergempole}
\ee
 
Z~rovnic \rf{rceHO}, \rf{ergempole} vidíme, že {elektromagnetické pole v~uzavřené dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých harmonických
oscilátorů} (stojatých vln) číslovaných vektory $\vec m \in \Z_+^3$.
 
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii
elektromagnetického pole ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v~sumě \rf{ergempole}. Na druhé straně však víme, že
elektromagnetické pole je v~termodynamické rovnováze se stěnami dutiny o~teplotě $T$ a lze jej tedy popsat metodami  statistické fyziky.
Z tohoto hlediska je možno na \emph{elektromagnetické pole v~dutině pohlížet jako na soubor oscilátorů, přičemž každý z~nich může interakcí
s~termostatem nabývat různých energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s~energií ${\epsilon}(s)$ je dána Boltzmannovou
statistikou s~rozdělovací funkcí
\be P(s,T) = A(T) e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }, \ll{boltzman} \ee
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J/K}$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
\[ \sum_s P(s,T)=1. \]
 
Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů s~vlastními frekvencemi
$\nu = \frac{\omega_{\vec{m}}}{2\pi} = \frac{c\norm{\vec{m}}}{2L}$
\[\overline{\epsilon(\nu,T)} = \sum_s \epsilon(s)P(s,T), \]
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$, pak lze spočítat jako součet
středních energií oscilátorů s~frekvencemi v~témže intervalu.
 
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$. Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů
s~pevným $\vec m$ bod v $\Z_+^3$, pak v~důsledku \rf{omgm} množina oscilátorů s~frekvencemi v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$
leží v~jednom oktantu kulové slupky poloměru $2L\nu/c$ a tloušťky $2L\d\nu/c$ v~prostoru vektorů v~$\Z^3$. Energie oscilátorů s~frekvencemi
v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je pak rovna součtu energií \rf{ergempole} avšak pouze přes body v~této slupce, tedy
\be
  \d\bar{\mathcal{E}}
    = 2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 \d m
    = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 \d\nu
    = V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 \d\nu, \ll{pocetstavu} \ee
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla. Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole) s~danou frekvencí tedy je
\be \rho(\nu,T) = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2. \ll{spechus1} \ee
 
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o~klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných kladných hodnot
$E(q,p)=\alpha p^2 + \beta q^2$ a rozdělovací funkce souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je
\[ P(q,p) = A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
a energie pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je
\[ \rho(\nu,T)\d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT \d\nu \]
(Rayleigh-Jeansova formule). Tato rozdělovací funkce však neodpovídá experimentálním hodnotám pro velké frekvence $\nu$. Navíc celková
hustota energie elektromagnetického pole
\be \epsilon = \int_0^\infty \rho(\nu,T)\d\nu \ll{heemp}\ee
diverguje.}
 
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}. \ec
 
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty energie dobře popisuje funkce navržená M.~Planckem ve tvaru
\be \fbox{\LARGE$\rho(\nu,T) = \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} $} \ ,\ll{planck} \ee
kde experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62 \times 10^{-34}$ Js (viz obr.~\ref{fig:blackbody}).
 
\begin {figure}[hbtp]
  \centering
  \includegraphics[scale=.18]{blackbody.pdf}
  \caption{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300 K, 1500 K} \ll{fig:blackbody}
\end{figure}
 
\bc
  Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s~teplotou
  (Wienův posunovací zákon)?
\ec
 
\bc
  Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě
  Rayleighova-Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od veličiny měřené o~5 procent. Jak velký je tento rozdíl v~oblasti
  maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na teplotě?
\ec
 
\bc
  Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro
  danou teplotu.
\ec
 
K~odvození rozdělovací funkce \rf{planck} je třeba učinit následující podivný předpoklad (Max Planck, 1900):
 
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z~energetického hlediska ekvivalentní elektromagnetickému poli v~dutině, \emph{nemohou nabývat
libovolných hodnot energie, ale pouze takových, které jsou celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.~$E_n=n\epsilon_0$.
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
 
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$ a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s~frekvencí $\nu$ a
energií $E_n$ je
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z~normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty P_n=1$. Sečtením geometrické řady
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{nh\nu}{kT}}=\frac{1}{1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}}. \]
 
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí $\nu$ je pak
\[
  \overline{\epsilon(\nu,T)}
    = \sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
    = A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}}
    = A^{-1}\left[-\frac{\pd A}{\pd(\frac{1}{kt})}\right]
    = \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}.
\]
Energii elektromagnetického pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ pak opět spočítáme jako součin
(\ref{pocetstavu}) střední hodnoty energie oscilátorů s~frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s~frekvencemi uvnitř daného intervalu, z~čehož
dostaneme Planckovu formuli \rf{planck}.
 
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp} spočítaná z~takto určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
odpovídá Stefanovu-Boltzmannovu zákonu.
\[
  \epsilon(T)
    = \frac{8\pi}{c^3}h \int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}\d\nu
    = \frac{8\pi}{c^3} \frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\dx
    = \kappa T^4,
\]
kde
\[ \kappa = \frac{8\pi k^4}{c^3h^3} \frac{\pi^4 }{15}. \]
 
\textbf{Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa lze odvodit pomocí předpokladu, že \emph{energie harmonického oscilátoru
s~frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskrétních hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
 
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v~rozporu s naší zkušeností, neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou
nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické oscilátory hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
 
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u~atomů (konkrétně rtuti) v~sérii pokusů Francka a Hertze v~letech 1914-1919
(viz \cite{uhl:uvaf}).
 
 
 
\section{Fotoefekt}
Potvrzením Planckovy hypotézy o~kvantovém charakteru energie elektromagnetického pole bylo i Einsteinovo vysvětlení fotoefektu --- emise
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v~roce 1903.
 
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl Millikan v~roce 1916 (viz obr.~\ref{fig:millikan}). Na fotokatodu zapojenou do
elektrického obvodu dopadá monochromatické světlo s~frekvencí $\nu$, která se postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole, které vrací elektrony emitované světelným zářením zpět.
 
\begin{figure}[hbtp]
 
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(105.00,85.00)
%\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00)
\put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}}
%\end
\put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]}
%\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00)
\put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}}
%\end
%\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00)
\put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
\put(100.00,50.00){\circle{10.00}}
%\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00)
\put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00)
\put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
%\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}}
%\end
%\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00)
\put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}}
%\end
%\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00)
\put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}}
%\end
%\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00)
\put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}}
%\end
%\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00)
\put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}}
%\end
%\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00)
\put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}}
%\end
%\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00)
\put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}}
%\end
%\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}}
%\end
%\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00)
\put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}}
%\end
%\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00)
\put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
%\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00)
\put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}}
%\end
\put(65.00,15.00){\circle{10.00}}
%\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00)
\put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00)
\put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}}
%\end
%\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00)
\put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}}
%\end
%\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00)
\put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
%\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00)
\put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
%\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00)
\put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}}
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatické světlo s frekvencí $\nu$ }}
\end{picture}
 
\caption{Millikanovo zapojení pro měření fotoefektu} \ll{fig:millikan}
\end{figure}
 
 
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného
záření je lineární.
\[ U_s = \frac{h}{e}(\nu-\nu_0) \]
 
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v~tom, že
v~procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum záření --- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
úměrná frekvenci $E=h\nu$. (\uv{\emph{...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves without
dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.}}) Kinetická energie emitovaného elektronu je
\be E_{\mathrm{kin}} = eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{\mathrm{foton}}-E_{\mathrm{ion}}. \ll{ekine} \ee
 
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{\mathrm{ion}}/h$, kde $E_{\mathrm{ion}}$ je ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází
ani při zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$ získávají
elektrony energii \rf{ekine}. Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu, se shodovala s~konstantou určenou ze záření černého tělesa.
 
\textbf{Závěr:} Existují \emph{kvanta světelného záření --- fotony}, která působí v~elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie
jednoho fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a $h$ je konstanta určená z~Planckova vyzařovacího zákona.
 
\bc
  Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z~nich se dostane do oka
  pozorovatele ve vzdálenosti $10 \ \mathrm{km}$? (Poloměr čočky oka je asi $5 \ \mathrm{mm}$.)
\ec
 
 
 
\section{Comptonův rozptyl}
 
V~roce 1923 provedl A.~H.~Compton pokus, který měl odhalit, zda se kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn.~zda vedle
energie mají též definovanou hybnost. V~tomto pokusu byl měřen rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v~jehož
krystalické mříži jsou elektrony relativně volné.
 
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce
(tj.~všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv.~tlak světla. V~klidové soustavě elektronu pak dojde k~emisi záření se stejnou
vlnovou délkou a nulovou střední hybností. V~laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_{\mathrm{e}}$ a energii
$E_{\mathrm{e}}$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu změnu vlnové délky záření
\be (\triangle\lambda)_{\mathrm{klas}}=\lambda_0\frac{cP_{\mathrm{e}}}{E_{\mathrm{e}}-cP_{\mathrm{e}}}(1-\cos\Theta), \ll{compclas} \ee
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny, $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření, $E_{\mathrm{e}},P_{\mathrm{e}}$ jsou
velikost energie a hybnosti elektronu, které s~délkou ozařování rostou.}
 
Podívejme se jak bude tento jev probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni chovají jako částice s~danou energií a hybností (viz
obr.~\ref{fig:compton}).
 
\begin{figure}
 
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.2pt}
\begin{picture}(90.00,50.00)
%\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}}
\put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}}
%\end
%\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00)
\put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00)
\put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}}
\multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}}
%\end
\put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}}
\put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}}
\put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}}
\end{picture}
 
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu} \ll{fig:compton}
\end{figure}
 
V~tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu (\uv{\emph{... when an X-ray quantum
is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron.}}), při které se celková energie a hybnost zachovává.
\be \epsilon_{\nu_0}+m_{\mathrm{e}} c^2 = \epsilon_{\nu}+ E_{\mathrm{e}} \ll{zachovanienergie} \ee
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec{p}_{\nu}+\vec p_{\mathrm{e}},\ll{zachovani hybnosti} \ee
kde
\[ \vec{p}_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} \vec{v}_{\mathrm{e}}}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\ \quad E_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} c^2}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\]
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \quad |\vec{p}_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
a $v_{\mathrm{e}}$ je rychlost odraženého elektronu. Ze zákona zachování hybnosti plyne
\[ (\vec{p}_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2 = \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)= \]
\[ {\vec{p}_{\mathrm{e}}}{}^2 = \frac{m_{\mathrm{e}}^2 v_{\mathrm{e}}^2}{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2} = E_{\mathrm{e}}^2/c^2-m_{\mathrm{e}}^2c^2. \]
Použijeme-li ještě zákon zachování energie, pak algebraickými úpravami dostaneme
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}(1-\cos \Theta), \ll{compton2} \ee
což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v~závislosti na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
Veličina $\frac{\hbar}{m_{\mathrm{e}} c}$ se často nazývá \emph{Comptonova vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}$ m.
 
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření velikosti $P_{\mathrm{e}}$,
pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{(\lambda_0 P_{\mathrm{e}}+h)c}{\sqrt{m_{\mathrm{e}}^2c^4+P_{\mathrm{e}}^2c^2}-P_{\mathrm{e}}c}(1-\cos\Theta). \ll{compton} \ee
Pro $P_{\mathrm{e}}\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli \rf{compclas}. Comptonovy vzorce \rf{compton} resp.~\rf{compton2} se však
experimentálně potvrdily i pro krátkovlné rentgenovské záření.
 
\textbf{Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou energii, ale i hybnost, jejíž velikost je
nepřímo úměrná vlnové délce záření $\norm{\vec{p}} = h/\lambda$.
 
\bc
  Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova záření.
\ec
 
\bc
  Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož zdrojem je elektron --- pozitronová anihilace
  \[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
  v~klidu?
\ec
 
 
 
 
\section{Shrnutí}
 
Z~výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt plyne, že v~mikrosvětě, tj.~při zkoumání atomárních jevů:
\begin{enumerate}
  \item Existují fyzikální objekty --- kvanta, kvantové částice --- mající jak vlnový tak částicový charakter.
  \item Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např.~energie či momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn.~tyto veličiny se mohou měnit
        pouze o~konečné přírustky.
\end{enumerate}
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a
použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
fyzikálních systémů.
 
Z~pedagogických důvodů začneme její výklad popisem jedné kvantové částice bez vazeb, jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u~každé fyzikální teorie \textbf{se nejedná o~odvození ve smyslu, na které jsme
zvyklí z~matematiky, nýbrž o~sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, jejichž správnost musí prověřit experimenty.}
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž postuloval.
 
 
 
\section{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
\label{chap:dbschr}
 
Z~vysvětlení experimentálních fakt v~předchozích kapitolách plyne, že při zkoumání atomárních jevů záření přestává mít čistě vlnový charakter
a chová se v~některých aspektech jako soubor částic. Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem --- kvantové \cc e --- popisující
fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
 
Pod vlivem poznatků o~duálním částicově-vlnovém charakteru světla De Broglie v~roce 1923 usoudil, že tento dualismus je vlastností všech
mikroskopických objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.~elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo
jako částice, podle toho jaké jevy, v~nichž se účastní, zkoumáme. Vyslovil hypotézu, že \emph{pro popis jevů na atomární úrovni je třeba
přiřadit volným kvantovým částicím s~hybností $\vec p$ a energií $E$ --- nikoliv bod fázového prostoru, nýbrž rovinnou monochromatickou vlnu
$\psi_{\vec p,E}$, jejíž frekvence je (stejně jako pro foton) úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti částice,
přesněji funkci}
\be\mbox{\Large $\psi_{\vec p,E}(\vex,t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vex-Et) } $}, \ll{dbvlna} \ee
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar := h/2\pi = 1.054 572 \times 10^{-34}$ Js.
 
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy, je třeba si uvědomit, že v~té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové
vlastnosti hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o~několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na
krystalech.
 
\bc
  Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o~hmotnosti $10 \ \mu\mathrm{g}$
  pohybující se rychlostí zvuku.
\ec
 
\bc
  Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku $(m = 0.1 \ \mathrm{kg})$ obdélníkovitým otvorem ve zdi o~rozměrech
  $1\times 1.5 \ \mathrm{m}$.
\ec
 
\bc
  Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s~charakteristickou vzdáleností
  atomů $0.1 \ \mathrm{nm}$?
\ec
 
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií stejný jako u~klasické volné částice $E=\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}$ (případně $E=\sqrt{\vec{p}^{\,2}c^2+m^2c^4}$
pro kvantum pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna nesplňuje  vlnovou rovnici \rf{vlnrce}, která
plyne z~teorie elektromagnetického pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje. Tuto \rc i našel v~roce 1925 E.~Schr\"{o}dinger a nese
jeho jméno.
 
K~odvození \rc e pro \db ovy vlny je nejsnazší vyjít z~výše uvedených klasických vztahů mezi energií a hybností, které vlastně představují
disperzní relace, a použít identity
\be p_j\psi = -i\hbar\frac{\pd}{\pd x_j} \psi, \quad E \psi=i\hbar\frac{\pd}{\pd t} \psi \ll{imps} \ee
plynoucí z~popisu kvant příslušnou \db ovou vlnou. Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
\be
  \frac{\pd\psi}{\pd t}
    = -\frac{i}{\hbar}\sum_{j=1}^3\frac{p_j^2}{2m}\psi
    = -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{j=1}^3\left(-\hbar^2\frac{\pd^2}{\pd x_j^2}\right) \psi.
  \ll{srvolna}
\ee
 
E.~Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
\be  \frac{\pd\psi}{\pd t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
i pro kvantovou částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem $V(\vex)$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci
takovéto kvantové \cc e se obvykle píše ve tvaru
\be \fbox{\LARGE $i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\lapl\psi + V(\vex)\psi$} \ll{sr} \ee
a nazývá se \emph{Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární operátor na pravé straně \sv y \rc e
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\lapl+ \hat V(\vex) \ll{hamiltonian} \ee
se nazývá \emph{hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence učebnic kvantové mechaniky, že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
 
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna} pro \uv{volnou \qv ou částici} (což může být např.~elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není
pouze \db ova vlna, ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných. Díky linearitě \sv y \rc e je řešením \rf{srvolna} i lineární superpozice
\db ových vln odpovídajících různým hybnostem
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}\tilde\psi(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}\left( \vec{p}\cdot\vex-\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}t\right)}\d^3p. \ll{vlnbalik} \ee
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna} má jenom některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o~její poloze. Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její vlastnosti,
např.~lokalizovatelnost v~určité části prostoru, pak musíme použít jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
 
\bc
  Nechť $V(\vex)=0$ (volná částice) a  vlnová \fc e částice má v~čase $t_0$ (\uv{lokalizovaný}) tvar
  \be g(\vex)=C\exp \left\{ -A\vex^{\,2}+\vec B\vex \right\} \ll{mvb}\ee
  Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y
  \rc e $\psi(\vex,t)$, které v~čase $t_0$ má tvar $g(\vex)$, tj.~splňuje počáteční podmínku $\psi(\vex,t_0)=g(\vex),$
  %(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
  kde $\Re  A>0,\ \vec B\in\C^3,\ C\in\C$.
  \ll{ex:vlnbal}
\ec
 
\bc
  Nechť \fc e $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
  \[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp \left\{ -i\frac{Mg}{\hbar}\left(zt+\frac{gt^3}{6}\right) \right\} \, \psi\left(x,y,z+\frac{gt^2}{2},t\right) \]
  je řešením \sv y \rc e pro \cc i v~homogenním gravitačním poli (Avronova-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
\ec
 
 
 
\section{Bornova interpretace vlnové funkce}
 
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
význam, neboli problém \emph{fyzikální interpretace řešení \sv y \rc e}.
 
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný. Problém interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je rovnicí v~komplexním
oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce. Podotázkou tohoto problému pak je, zda všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
 
Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho
statistická interpretace (Max Born, 1926):
 
\textbf{Řešení \sv y \rc e udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení částice v~různých oblastech prostoru: Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y
\rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$ je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice
v~okamžiku $t$ v~místě s~kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
 
\bc
  Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna} v~oblasti $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$?
\ec
 
\bc
  \ll{casvmvb}
  Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
  \be \psi(\vex,t) = Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}} \chi(t)^{-3/2}\exp \left\{ -A\frac{\left(\vex-\frac{\vec B}{2A}\right)^2}{\chi(t)} \right\} \ll{mvbt}\ee
  \[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
  z~příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$? Jak se mění poloha jejího maxima s~časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění
  s~časem? Za jak dlouho se zdvojnásobí \uv{šířka} vlnového balíku pro elektron lokalizovaný s~přesností $1 \ \mathrm{cm}$ a pro hmotný bod o~hmotě
  $1 \ \mathrm{g}$, jehož těžiště je lokalizováno s~přesností $10^{-6} \ \mathrm{m}$?
  \ll{ex:pstvb}
\ec
 
Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice? Pravděpodobnost nalezení částice v~oblasti $G\subset\R^3$ je úměrná
\[ \int_G |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz. \]
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z~požadavku, aby pravděpodobnost nalezení částice \uv{kdekoliv} se rovnala jedné. Tuto podmínku lze snadno
splnit, položíme-li hustotu pravděpodobnosti rovnou
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1} |\psi(x,y,z,t)|^2, \ll{pst} \ee
kde
\be A(\psi) = \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz, \ll{norma} \ee
pokud tento integrál existuje.
 
Fyzikálně snadno interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která splňují
\be \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz <\infty. \ll{konecnanorma} \ee
Těmi se budeme v~následujícím textu zabývat především.
 
\section{Dvouštěrbinový experiment}
 
Na závěr této úvodní kapitoly si rozebereme dvoušterbinový experiment, na kterém lze krásně ilustrovat rozdíly mezi chováním klasických částic, klasické vlny a kvantových částic. V tomoto experimentu měříme intenzitu  na stínítku po průchodu šterbinami v překážce. Budeme uvažovat tři konfigurace experimentu (viz. obrázek~\ref{fig:ds1}): 1) jen šterbina $S_1$, 2) jen šterbina $S_2$, 3) obě šterbiny otevřené. V situacích 1) a 2) bude intezita na stínítku v bodě $x$ dána nějakou funkcí $I_j(x)$, $j=1,2$, nezávisle na tom, s čím experiment provádíme. V poslední konfiguraci, kdy jsou obě štěrbiny otevřené, tomu už tak nebude. 
 
\begin{figure}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{s1full.png}\hfill
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{s2full.png}\hfill
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{s1s2.png}
\caption{Tři varianty experimentu - 1) pouze štěrbina $S_1$, 2) pouze šterbina $S_2$, 3) obě šterbiny otevřené. {$Z$ představuje zdroj klasických částic, vlnění nebo kvantových částic.} V poslední konfiguraci závisí průběh intenzity na stínítku na tom, s čím experiment provádíme.}
\label{fig:ds1}
\end{figure}
 
\begin{itemize}
\item[a)] Klasické částice
 
{Předpokládáme, že zdroj $Z$ vysílá částice náhodně a rovnoměrně v rozmezí nějakého úhlu tak, aby mohly projít oběma šterbinami. V konfiguraci 1) a 2) je intenzita $I_j(x)$ úměrná pravděpodobnosti dopadu $p_j(x)$ jedné částice do místa $x$ po průchodu štěrbinou $S_j$. Pokud jsou otevřené obě štěrbiny, je pravděpodobnost dopadu do $x$ rovna součtu pravděpodobností $p_1(x)$ a $p_2(x)$. Intenzity se tedy sčítají}
$$
I_3(x) = I_1(x) + I_2(x).
$$
Tvar výsledné intenzity je na obrázku~\ref{fig:ds2} vlevo.
 
\item[b)] Klasická vlna
 
Vlnění po průchodu šterbinou $S_j$ můžeme popsat nějakou komplexní funkcí (amplitudou) $A_j(x)$, intenzita na stínítku je pak dána kvadrátem absolutní hodnoty z amplitudy, tj. $I_j(x) = |A_j(x)|^2$. Ve třetí konfiguraci experimentu je amplituda vlny dána součtem amplitud
$$
A_3(x) = A_1(x) + A_2(x).
$$
Výsledná intezita pak není součtem intezit $I_1(x)$ a $I_2(x)$, ale liší se o interferenční člen
$$
I_3(x) = |A_3(x)|^2 = I_1(x) + I_2(x) + \overline{A}_1(x)A_2(x) + A_1(x)\overline{A}_2(x).
$$
Ten může být kladný nebo záporný, v závislosti na vzájemné fázi amplitud $A_j(x)$. V některých bodech tedy dojde ke zvýšení intenzity (konstruktivní interference), v některých ke snížení (destruktivní interference), viz. interferenční obrazec na obrázku \ref{fig:ds2} vpravo.
 
\begin{figure}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{ballfull.png}\hfill
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{wavefull.png}
\caption{Vlevo: Dvouštěrbinový experiment s klasickými částicemi. Intenzity dopadů se sčítají. Vpravo: Dvouštěrbinový experiment s klasickou vlnou. Sčítají se amplitudy, ne intenzity.}
\label{fig:ds2}
\end{figure}
 
\item[c)] Kvantové částice
 
V případě kvantových částic jsou intezity úměrné pravděpodobnostem dopadu do daného bodu, stejně jako pro klasické částice. Ta je dle Bornova postulátu dána kvadrátem absolutní hodnoty vlnové funkce, tedy $I_j(x) \sim |\psi_j(x)|^2$, kde $\psi_j(x)$ je vlnová funkce popisující stav částice po průchodu šterbinou $S_j$. Pokud jsou otevřené obě šterbiny, je vlnová funkce částice dána superpozicí
$$
\psi(x) = \psi_1(x) + \psi_2(x).
$$
Stejně jako v případě vlnění se sčítají amplitudy a výsledná intezita dopadů vytváří interferenční obrazec
$$
I_3(x) \sim |\psi_1(x)|^2 + |\psi_1(x)|^2 + \overline{\psi}_1(x)\psi_2(x) + \psi_1(x)\overline{\psi}_2(x) ,
$$
podobně jako na obrázku \ref{fig:ds2} vpravo. {\bf To platí i v případě, kdy tok kvantových částic (např. elektronů) bude velmi slabý, tj. kdy v experimentu je každém okamžiku maximálně jedna částice.} Na stínítko budou dopadat jednotlivé elektrony náhodně podle pravděpodobnostního rozdělení $|\psi(x)|^2$ a interferenční obrazec se objeví po dostatečně dlouhém sbírání dat. Kvantová částice tedy \emph{\uv{ interferuje sama se sebou }}.
 
Podstatné pro získání interferenčního obrazce je to, že v této konfiguraci experimentu není možné určit, kterou ze šterbin $S_1$ nebo $S_2$ částice prošla. Pokud se to pokusíme určit (resp. pokud je byť jen v principu možné informaci o trajektorii získat), experimenty ukazují, že interferenční obrazec zmizí. Uvažujme čtvrtou konfiguraci experimentu, kde mezi šterbiny umístíme zdroj světla. Elektrony budou se světlem interagovat a u šterbiny $S_1$ nebo $S_2$ uvidíme záblesk. Tímto měřením můžeme určit, kterou šterbinou elektron prošel. Stav elektronu pak už ale nebude popsán superpozicí $\psi_1(x)+\psi_2(x)$, ale jen vlnovou funkcí $\psi_1(x)$ nebo $\psi_2(x)$. Intezita dopadu elektronů na stínítko pak bude dána součtem intezit, stejně jako v pro klasické částice.
\end{itemize}
 
Závěrem můžeme říci, že mikroskopické objekty mají jak vlastnosti částic, tak vlastnosti vlnění. Tyto vlastnosti jsou ale komplementární - podle typu experimentu se chovají buď jako částice, nebo jako vlny, nikdy oboje naráz. Pokud se snažíme určit částicové vlastnosti (jako např. trajektorii v dvouštěrbinovém experimentu) tak vlnové vlastnosti (jako interference) zmizí.