02KVAN2:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Opravy značení a výkladu, nový obrázek)
(V jednom rozměru použita druhá derivace místo Laplace, ten patří až ke 3D situaci)
 
(Není zobrazeno 6 mezilehlých verzí od stejného uživatele.)
Řádka 7: Řádka 7:
 
\subsection{Všechny možné historie}
 
\subsection{Všechny možné historie}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Uvažujme vlnovou funkci (pro jednoduchost jednorozměrnou) $\psi(q_i, t_i)$ v čase $t_i$. \textbf{Propagátor} $\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i}$ je integrační jádro, které nám umožní napsat vlnovou funkci v~nějakém pozdějším čase $t_f$ podobně jako v Huygens–Fresnelově principu pro vlnění:
+
Uvažujme vlnovou funkci (pro jednoduchost jednorozměrnou) $\psi(q_i, t_i)$ v čase $t_i$. \textbf{Propagátor} $\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i}$ je jednoznačně určené integrační jádro, které nám umožní napsat vlnovou funkci v~nějakém pozdějším čase $t_f$ podobně jako v Huygens–Fresnelově principu pro vlnění:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\psi (q_f, t_f) = \bra{q_f} \hat{U} (t_f, t_i) \ket{\psi_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i \label{eq:prop}
 
\psi (q_f, t_f) = \bra{q_f} \hat{U} (t_f, t_i) \ket{\psi_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i \label{eq:prop}
Řádka 20: Řádka 20:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q_m}{t_m} \prop{q_m}{t_m}{q_i}{t_i} \dif q_m.
 
\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q_m}{t_m} \prop{q_m}{t_m}{q_i}{t_i} \dif q_m.
 +
  \label{Prop:q_m}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
Jinými slovy na přechod z $(q_i, t_i)$ do $(q_f, t_f)$ můžeme nahlížet jako na přechod skrz \textsl{všechny možné mezibody} $q_m$, které mohou ležet i kdekoli mimo interval vymezený $q_i$ a $q_f$, jak ukazuje obr.~\ref{fig:cesty}.
 
Jinými slovy na přechod z $(q_i, t_i)$ do $(q_f, t_f)$ můžeme nahlížet jako na přechod skrz \textsl{všechny možné mezibody} $q_m$, které mohou ležet i kdekoli mimo interval vymezený $q_i$ a $q_f$, jak ukazuje obr.~\ref{fig:cesty}.
Řádka 30: Řádka 31:
 
\end{figure}
 
\end{figure}
  
Hezká ilustrace tohoto principu je dvouštěrbinový experiment, u něhož dostaneme interferenční obrazec na stínítku pouze, pokud se přestaneme ptát, kterou štěrbinou částice proletěla, a místo toho řekneme, že částice proletěla oběma štěrbinami najednou.
+
Hezká ilustrace tohoto principu je průchod světla optickou štěrbinou. Víme, že dochází k difrakci (ohybu), namísto toho, aby některé paprsky prošly a jiné byly pohlceny. Teprve když tloušťka štěrbiny jde k nekonečnu a světelné vlny tak skrz ní mohou projít kterýmkoli bodem roviny, dostáváme v limitě neporušený průchod paprsku.
  
 
Ukážeme nyní, že propagátor je vlastně maticový element operátoru časového vývoje. Ve Schrödingerově obraze
 
Ukážeme nyní, že propagátor je vlastně maticový element operátoru časového vývoje. Ve Schrödingerově obraze
Řádka 39: Řádka 40:
 
Ještě elegantnější zápis získáme v Heisenbergově obraze, kde
 
Ještě elegantnější zápis získáme v Heisenbergově obraze, kde
 
\[
 
\[
   \ket{\psi}^H = U(t,t_0)^{-1} \ket{\psi(t)}^S
+
   \ket{\psi^H} = U(t,t_0)^{-1} \ket{\psi^S(t)}
 
\]
 
\]
 
pro libovolně fixně zvolený referenční čas $t_0$. Definujme zobecněný stav $\ket{q,t}$, který odpovídá zobecněnému vlastnímu stavu $\ket{q}$ v čase $t$, tedy
 
pro libovolně fixně zvolený referenční čas $t_0$. Definujme zobecněný stav $\ket{q,t}$, který odpovídá zobecněnému vlastnímu stavu $\ket{q}$ v čase $t$, tedy
 
\[
 
\[
   \ket{q,t}^H = U(t,t_0)^{-1} \ket{q}^S.
+
   \ket{q,t} := U(t,t_0)^{-1} \ket{q}.
 
\]
 
\]
 
Tyto stavy mají význam pohybující se vztažné soustavy, protože
 
Tyto stavy mají význam pohybující se vztažné soustavy, protože
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
   {}^H\braket{q,t}{\psi}^H = {}^S\brapigket{q}{U(t,t_0)}{\psi(t_0)}^S = {}^S\braket{q}{\psi(t)}^S = \psi(q,t).
+
   \braket{q,t}{\psi^H} = \brapigket{q}{U(t,t_0)}{\psi^S(t_0)} = \braket{q}{\psi(t)} = \psi(q,t).
 
   \label{eq:pohyb}
 
   \label{eq:pohyb}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
Díky tomu, že ortonormální báze stavů zůstává při časovém vývoji ortonormální, můžeme psát
 
Díky tomu, že ortonormální báze stavů zůstává při časovém vývoji ortonormální, můžeme psát
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
{}^H\braket{q_f, t_f}{\psi}^H = \int {}^H\braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}^H\braket{q_i, t_i}{\psi}^H \dif q_i,
+
\braket{q_f, t_f}{\psi^H} = \int \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}\braket{q_i, t_i}{\psi^H} \dif q_i,
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
což díky \eqref{eq:pohyb} znamená
 
což díky \eqref{eq:pohyb} znamená
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\psi(q_f, t_f) = \int {}^H\braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}^H \psi(q_i, t_i) \dif q_i,
+
\psi(q_f, t_f) = \int \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i,
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
odsud plyne zápis
 
odsud plyne zápis
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} = {}^H\braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}^H.
+
\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} = \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Řádka 71: Řádka 72:
 
\int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \bra{y} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} = \int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \prop{y}{t}{q_i}{t_i}.
 
\int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \bra{y} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} = \int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \prop{y}{t}{q_i}{t_i}.
 
\end{align}
 
\end{align}
Je-li $\hat{H} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta +V(q,t)$, potom
+
Je-li $\hat{H} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2} +V(q,t)$, potom
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\bra{q} \hat{H} \ket{y} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta (\delta \left( q - y \right) ) + V(q,t) \delta \left( q - y \right),  
+
\bra{q} \hat{H} \ket{y} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2} (\delta \left( q - y \right) ) + V(q,t) \delta \left( q - y \right),  
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
a po přetažení derivace z delta funkce k propagátoru dostaneme
 
a po přetažení derivace z delta funkce k propagátoru dostaneme
\begin{align}
 
i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = &\int \dif y \delta (q-y) \left( - \frac{{\hbar}^2}{2m} \right) \Delta_y \prop{y}{t}{q_i}{t_i} + \\
 
&\int \dif y V(q,t) \delta (q-y) \prop{y}{t}{q_i}{t_i}, \notag
 
\end{align}
 
a to dává:
 
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta  \prop{q}{t}{q_i}{t_i} + V(q,t)  \prop{q}{t}{q_i}{t_i},
+
  \begin{aligned}
 +
    i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = &\int \dif y \delta (q-y) \left( - \frac{{\hbar}^2}{2m} \right) \frac{\partial^2}{\partial y^2} \prop{y}{t}{q_i}{t_i} +{} \\
 +
    &{}+ \int \dif y V(q,t) \delta (q-y) \prop{y}{t}{q_i}{t_i}.
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation}
 +
To dává:
 +
\begin{equation}
 +
i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} + V(q,t)  \prop{q}{t}{q_i}{t_i},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
což je hledaná rovnice, která by ve 3D vypadala (postup úplně stejný):
 
což je hledaná rovnice, která by ve 3D vypadala (postup úplně stejný):
Řádka 139: Řádka 142:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
a přepíšeme výsledek v hybností reprezentaci do $q$-reprezentace
 
a přepíšeme výsledek v hybností reprezentaci do $q$-reprezentace
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation}
\propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \int \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \propRA{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} \braket{\vec{p}_i}{\vec{x}_i} \dif^3 p \dif^3 p_i \notag\\
+
  \begin{aligned}
= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \int \dif^3 p \dif^3 p_i \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right) e^{i \frac{\vec{p}\vec{x}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)} e^{ - i \frac{\vec{p}_i\vec{x}_i}{\hbar}} \notag \\
+
    \tpropRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} &= \int \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \propRA{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} \braket{\vec{p}_i}{\vec{x}_i} \dif^3 p \dif^3 p_i \\
= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar)^3} e^{i \frac{\left(\vec{x} - \vec{x}_i\right)\vec{p}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)}, \label{eq:volny_prop}
+
    &= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \int \dif^3 p \dif^3 p_i \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right) e^{i \frac{\vec{p}\vec{x}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)} e^{ - i \frac{\vec{p}_i\vec{x}_i}{\hbar}} \\
\end{eqnarray}
+
    &= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar)^3} e^{i \frac{\left(\vec{x} - \vec{x}_i\right)\vec{p}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)},
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{eq:volny_prop}
 +
\end{equation}
 
což je ale divergentní integrál. To pro nás ale není překvapivé, i na levé straně je zobecněná funkce. Integrál lze přesto různými způsoby spočítat. Jedna cesta vedoucí k cíli by byla vektor $\ket{\vec{x}_i}$ v~\eqref{eq:volny_prop} nahradit funkcí k $\delta$-funkci konvergující a limitu provést až jako poslední krok. V částicové fyzice je běžnější alternativou postup \textbf{regularizace}, který si na tomto snadném příkladu ilustrujeme.
 
což je ale divergentní integrál. To pro nás ale není překvapivé, i na levé straně je zobecněná funkce. Integrál lze přesto různými způsoby spočítat. Jedna cesta vedoucí k cíli by byla vektor $\ket{\vec{x}_i}$ v~\eqref{eq:volny_prop} nahradit funkcí k $\delta$-funkci konvergující a limitu provést až jako poslední krok. V částicové fyzice je běžnější alternativou postup \textbf{regularizace}, který si na tomto snadném příkladu ilustrujeme.
  
Řádka 164: Řádka 170:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta \left( \pm (t-t_i) \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t-t_i)} \right)^{\frac{3}{2}} \exp\left( \frac{i m (\vec{x} - \vec{x}_i)^2}{2 \hbar (t-t_i)} \right),
 
\propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta \left( \pm (t-t_i) \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t-t_i)} \right)^{\frac{3}{2}} \exp\left( \frac{i m (\vec{x} - \vec{x}_i)^2}{2 \hbar (t-t_i)} \right),
 +
  \label{Prop:volnacastice}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
který si dobře zapamatujeme, protože spolu s výsledkem v hybnostní reprezentaci ho budeme extenzivně využívat v dalších kapitolách.
 
který si dobře zapamatujeme, protože spolu s výsledkem v hybnostní reprezentaci ho budeme extenzivně využívat v dalších kapitolách.
Řádka 194: Řádka 201:
 
a to je na první pohled Gaussovo rozdělení se střední kvadratickou odchylkou
 
a to je na první pohled Gaussovo rozdělení se střední kvadratickou odchylkou
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\sigma = \sqrt{\frac{1+\alpha^2}{2 \alpha^2}} = \sqrt{\frac{m^2 + (2 \hbar t)^2}{2 m^2}},
+
\sigma = \sqrt{\frac{1+\alpha^2}{2 \alpha^2}} = \sqrt{\frac{m^2 + (2 \hbar t)^2}{2 m^2}}.
\end{equation}
+
která je samozřejmě zajímavá hlavně v limitním případě
+
\begin{equation}
+
\lim_{t\rightarrow \infty} \sigma = \infty.
+
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Takže vlnový balík se rozplývá stejně jako v zimě. Navíc je dobré si povšimnout, že pro $t\rightarrow 0$ dostáváme původní vlnovou funkci, což je dobře.
+
Vlnový balík se rozplývá stejně jako v zimě. Všimněme si hlavně limit pro $t\rightarrow 0$, kde dostáváme původní vlnovou funkci, a $t \to +\infty$, kde $\sigma$ roste asymptoticky lineárně v~čase (shodně jako u Brownova pohybu).

Aktuální verze z 3. 5. 2018, 16:34

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVAN2Hoskoant 6. 5. 201411:44
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůPotocvac 12. 6. 201711:17
Header editovatHlavičkový souborPotocvac 12. 6. 201718:07 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaHoskoant 6. 5. 201410:48 predmluva.tex
Kapitola1 editovatAlgebraická teorie momentu hybnostiPotocvac 8. 6. 201813:31 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatTenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorémKubuondr 13. 6. 201812:22 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatDalší ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechanikyKubuondr 13. 6. 201813:00 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatMatice hustoty a smíšené kvantové stavyKubuondr 12. 6. 201809:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPřibližné metody v kvantové mechaniceKubuondr 9. 6. 201821:23 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatPropagátorPotocvac 3. 5. 201816:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatDráhový integrálKubuondr 5. 4. 202017:09 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTeorie rozptyluKubuondr 13. 6. 201807:54 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPartiční sumaKubuondr 13. 6. 201808:14 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatReprezentace vícečásticových systémůKubuondr 11. 6. 201809:34 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatKvantování klasických políKubuondr 13. 6. 201810:45 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatLiteraturaHoskoant 6. 5. 201410:53 kapitolaA.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:wkb-1.pdf wkb-1.pdf
Image:wkb-2.pdf wkb-2.pdf
Image:wkb-3.pdf wkb-3.pdf
Image:wkb-4.pdf wkb-4.pdf
Image:wkb-5.pdf wkb-5.pdf
Image:wkb-ho.pdf wkb-ho.pdf
Image:itw-1.pdf itw-1.pdf
Image:drahy-1.pdf drahy-1.pdf
Image:drahy-2.pdf drahy-2.pdf
Image:feynman-1.pdf feynman-1.pdf
Image:feynman-2.pdf feynman-2.pdf
Image:feynman-3.pdf feynman-3.pdf
Image:feynman-4.pdf feynman-4.pdf
Image:rozptyl-1.pdf rozptyl-1.pdf
Image:rozptyl-2.pdf rozptyl-2.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Propagátor}\label{sec:propagator}
 
Otázka dráhového integrálu a propagátorů se historicky váže hlavně k postavě Richarda Feynmana, jehož pojednání o štěrbinovém experimentu lze doporučit jako zajímavou četbu pro rozšíření motivační části poznámek. Tato kapitola jinak vychází hlavně z knihy Quantum Field Theory \cite{ryd:QFT}.
 
%================================================================================
\subsection{Všechny možné historie}
%================================================================================
Uvažujme vlnovou funkci (pro jednoduchost jednorozměrnou) $\psi(q_i, t_i)$ v čase $t_i$. \textbf{Propagátor} $\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i}$ je jednoznačně určené integrační jádro, které nám umožní napsat vlnovou funkci v~nějakém pozdějším čase $t_f$ podobně jako v Huygens–Fresnelově principu pro vlnění:
\begin{equation}
	\psi (q_f, t_f) = \bra{q_f} \hat{U} (t_f, t_i) \ket{\psi_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i \label{eq:prop}
\end{equation}
Pokud bychom za počáteční stav formálně dosadili zobecněný vlastní stav polohy, zůstal by na pravé straně \eqref{eq:prop} propagátor samotný, který je tak možné interpretovat jako amplitudu pravděpodobnosti přechodu z místa $q_i$ v čase $t_i$ do $q_f$ v čase $t_f$. Nicméně odpovídající rozdělení pravděpodobnosti je pochopitelně nenormalizovatelné (protože takové bylo pro počáteční stav).
 
Rozdělme nyní časový interval $ \left\langle t_i, t_f \right\rangle $ do dvou podintervalů $ \left\langle t_i, t_m \right\rangle $ a $ \left( t_m, t_f \right\rangle $. Pokud použijeme definici propagátoru dvakrát pro výpočet $\psi(q_f,t_f)$ z $\psi(q_i,t_i)$ přes pomocnou funkci $\psi(q_m,t_m)$, dostaneme
\begin{equation}
	\psi (q_f, t_f) = \int\int \prop{q_f}{t_f}{q_m}{t_m} \prop{q_m}{t_m}{q_i}{t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i \dif q_m,
\end{equation}
což nám dává rovnost platnou pro propagátor
\begin{equation}
	\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q_m}{t_m} \prop{q_m}{t_m}{q_i}{t_i} \dif q_m.
  \label{Prop:q_m}
\end{equation}
Jinými slovy na přechod z $(q_i, t_i)$ do $(q_f, t_f)$ můžeme nahlížet jako na přechod skrz \textsl{všechny možné mezibody} $q_m$, které mohou ležet i kdekoli mimo interval vymezený $q_i$ a $q_f$, jak ukazuje obr.~\ref{fig:cesty}.
 
\begin{figure}
\centering
	\includegraphics[width=7cm]{drahy-1}
  \caption{Možné vývoje systému mezi fixními polohami $q_i$ v čase $t_i$ a $q_f$ v čase $t_f$, uvažujeme-li mezistav v čase $t_m$, $t_i < t_m < t_f$.}
\label{fig:cesty}
\end{figure}
 
Hezká ilustrace tohoto principu je průchod světla optickou štěrbinou. Víme, že dochází k difrakci (ohybu), namísto toho, aby některé paprsky prošly a jiné byly pohlceny. Teprve když tloušťka štěrbiny jde k nekonečnu a světelné vlny tak skrz ní mohou projít kterýmkoli bodem roviny, dostáváme v limitě neporušený průchod paprsku.
 
Ukážeme nyní, že propagátor je vlastně maticový element operátoru časového vývoje. Ve Schrödingerově obraze
\[
  \psi(q_f,t_f) = \braket{q_f}{\psi(t_f)} = \brapigket{q_f}{\hat{U}(t_f,t_i)}{\psi(t_i)} = \int \underbrace{\brapigket{q_f}{\hat{U}(t_f,t_i)}{q_i}}_{\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i}} \underbrace{\braket{q_i}{\psi(t_i)}}_{\psi(q_i,t_i)} \dif q_i.
\]
 
Ještě elegantnější zápis získáme v Heisenbergově obraze, kde
\[
  \ket{\psi^H} = U(t,t_0)^{-1} \ket{\psi^S(t)}
\]
pro libovolně fixně zvolený referenční čas $t_0$. Definujme zobecněný stav $\ket{q,t}$, který odpovídá zobecněnému vlastnímu stavu $\ket{q}$ v čase $t$, tedy
\[
  \ket{q,t} := U(t,t_0)^{-1} \ket{q}.
\]
Tyto stavy mají význam pohybující se vztažné soustavy, protože
\begin{equation}
  \braket{q,t}{\psi^H} = \brapigket{q}{U(t,t_0)}{\psi^S(t_0)} = \braket{q}{\psi(t)} = \psi(q,t).
  \label{eq:pohyb}
\end{equation}
Díky tomu, že ortonormální báze stavů zůstává při časovém vývoji ortonormální, můžeme psát
\begin{equation}
	\braket{q_f, t_f}{\psi^H} = \int \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}\braket{q_i, t_i}{\psi^H} \dif q_i,
\end{equation}
což díky \eqref{eq:pohyb} znamená
\begin{equation}
	\psi(q_f, t_f) = \int \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i,
\end{equation}
odsud plyne zápis
\begin{equation}
	\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} = \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}.
\end{equation}
 
%================================================================================
\subsection{Rovnice pro propagátor}
%================================================================================
Jakou rovnici propagátor musí splňovat zjistíme, když zkusíme spočítat jeho časovou derivaci (a $q_f, t_f$ přeznačíme na $q, t$):
\begin{align}
	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = \bra{q} i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} = \bra{q} \hat{H} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} \notag\\
	 \int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \bra{y} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} = \int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \prop{y}{t}{q_i}{t_i}.
\end{align}
Je-li $\hat{H} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2} +V(q,t)$, potom
\begin{equation}
	\bra{q} \hat{H} \ket{y} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2} (\delta \left( q - y \right) ) + V(q,t) \delta \left( q - y \right), 
\end{equation}
a po přetažení derivace z delta funkce k propagátoru dostaneme
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = &\int \dif y \delta (q-y) \left( - \frac{{\hbar}^2}{2m} \right) \frac{\partial^2}{\partial y^2} \prop{y}{t}{q_i}{t_i} +{} \\
    &{}+ \int \dif y V(q,t) \delta (q-y) \prop{y}{t}{q_i}{t_i}.
  \end{aligned}
\end{equation}
To dává:
\begin{equation}
	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} + V(q,t)  \prop{q}{t}{q_i}{t_i},
\end{equation}
což je hledaná rovnice, která by ve 3D vypadala (postup úplně stejný):
\begin{equation}
	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta  \prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} + V(\vec{x},t)  \prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i}.
\end{equation}
Neboli  $\prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i}$ je řešením Schrödingerovy rovnice (jakožto funkce proměnné $\vec{x}$ parametrizovaná časem $t$) s~počáteční podmínkou
\begin{equation}
	\prop{\vec{x}}{t_i}{\vec{x}_i}{t_i} = \delta ^{(3)} (\vec{x} - \vec{x}_i).
\end{equation}
 
Mnoho výpočtů se později zjednoduší, když navíc zavedeme propagátory respektující kauzalitu, tj. nulové pro $t_f<t_i$ resp. $t_f>t_i$: \textbf{retardovaný propagátor}
\begin{equation}
	\propR{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta (t_f - t_i) \prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i}
\end{equation}
a \textbf{advancovaný propagátor}
\begin{equation}
	\propA{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta (t_i - t_f) \prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i},
\end{equation}
kde $\theta$ je Heavisideova funkce.
 
% (zbytečné vědět)
 
%A hned můžeme ukázat, že retardovaný, resp. advanceovaný propagátor jsou Greenovými funkcemi Schrödingerovy rovnice, neboť
%\begin{equation}
%	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \pm i \hbar \delta (t - t_i) K^{(\pm)}(\ldots) - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta K^{(\pm)} (\ldots) + V(\vec{x},t) K^{(\pm)} (\ldots),
%\end{equation}
%což se, díky počáteční podmínce na propagátor a vlastnostem delta funkce v čase, dá přepsat na
%\begin{equation}
%	\left( i \hbar \frac{\dif}{\dif t} - \hat{H} \right) \propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \pm i \hbar \delta(t-t_i) \delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{x}_i).
%\end{equation}
 
%================================================================================
\subsection{Volná částice} \label{ssec:volna}
%================================================================================
Zde se budeme, jak název napovídá, zabývat systémem s hamiltoniánem $\hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m}$. Abychom si usnadnili postup, přejdeme nyní do hybností reprezentace, kde
\begin{equation}
	\tprop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} \equiv \braket{\vec{p}, t}{\vec{p}_i, t_i},
\end{equation}
podobně jako dříve. Když se podíváme na Schrödingerovu rovnici v této reprezentaci, obdržíme
\begin{equation}
	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \tprop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} = \frac{\vec{p}^2}{2m} \tprop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i}.
\end{equation} 
Ta má řešení
\begin{equation}
	\tprop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} = e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)} \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right),
\end{equation}
resp. pro retardovaný/advancovaný propagátor obdobně:
\begin{equation}
	\tpropRA{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} = \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right) e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)}.
\end{equation}
 
Náš cíl je ovšem propagátor v $q$-reprezentaci. Abychom se k němu dostali, připomeneme si
\begin{equation}
	\braket{\vec{x}}{\vec{p}} = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}\vec{x}}{\hbar}},
\end{equation}
a přepíšeme výsledek v hybností reprezentaci do $q$-reprezentace
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \tpropRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} &= \int \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \propRA{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} \braket{\vec{p}_i}{\vec{x}_i} \dif^3 p \dif^3 p_i \\
    &= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \int \dif^3 p \dif^3 p_i \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right) e^{i \frac{\vec{p}\vec{x}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)} e^{ - i \frac{\vec{p}_i\vec{x}_i}{\hbar}} \\
    &= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar)^3} e^{i \frac{\left(\vec{x} - \vec{x}_i\right)\vec{p}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)},
  \end{aligned}
  \label{eq:volny_prop}
\end{equation}
což je ale divergentní integrál. To pro nás ale není překvapivé, i na levé straně je zobecněná funkce. Integrál lze přesto různými způsoby spočítat. Jedna cesta vedoucí k cíli by byla vektor $\ket{\vec{x}_i}$ v~\eqref{eq:volny_prop} nahradit funkcí k $\delta$-funkci konvergující a limitu provést až jako poslední krok. V částicové fyzice je běžnější alternativou postup \textbf{regularizace}, který si na tomto snadném příkladu ilustrujeme.
 
Regularizaci provedeme nahrazením%
\footnote{Často se potká ve tvaru funkčně ekvivalentního požadavku $m \to m + i\varepsilon$.}
\begin{equation}
	\frac{i}{2m} \longrightarrow \frac{i}{2m} + \varepsilon
\end{equation}
ve finálním tvaru integrálu v~\eqref{eq:volny_prop}, díky čemuž dostaneme v \eqref{eq:volny_prop} integrál gaussovského typu s kladnou reálnou částí koeficientu, který rozhoduje o konvergenci. To nám umožní integrál vyčíslit, pročež provedeme limitu a pošleme $\varepsilon$ do nuly.
 
Pro zapomnětlivé připomeneme vzoreček platný pro $\mathop{\mathrm{Re}} a > 0$
\begin{equation}
	\int_\mathbb{R} \dif x e^{-a x^2 + bx} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}}. \label{eq:gauss}
\end{equation} 
Po nahrazení a použití tohoto vzorečku dostáváme
\begin{equation}
	\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\theta \left( \pm (t-t_i) \right)}{\left( 2 \pi \hbar \right)^3} \left( \frac{\pi}{\frac{i}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mp i \varepsilon \right)(t-t_i)} \right)^{\frac{3}{2}} \exp\left( \frac{-(\vec{x} - \vec{x}_i)^2}{4 \hbar^2 \frac{i}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mp i \varepsilon \right) (t-t_i)} \right),
\end{equation}
což po zkrácení konstant a provedení limity dává výsledek
\begin{equation}
	\propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta \left( \pm (t-t_i) \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t-t_i)} \right)^{\frac{3}{2}} \exp\left( \frac{i m (\vec{x} - \vec{x}_i)^2}{2 \hbar (t-t_i)} \right),
  \label{Prop:volnacastice}
\end{equation}
který si dobře zapamatujeme, protože spolu s výsledkem v hybnostní reprezentaci ho budeme extenzivně využívat v dalších kapitolách.
 
%================================================================================
\subsubsection{Rozplývání vlnového balíku}
%================================================================================
Nyní znovu navštívíme první cvičení z prvního semestru kvantové mechaniky. Nechť je na počátku náš systém ve stavu jednorozměrného gaussovského balíku, zbaveného fyzikálních rozměrů,
\begin{equation}
	\psi_i (x, t=0) = \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} e^{-x^2},
\end{equation}
časový vývoj tohoto stavu je určen propagátorem volné částice jako
\begin{equation}
	\psi (x, t) = \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \int \dif x' \prop{x}{t}{x'}{t'=0} \psi_i (x'),
\end{equation}
pokud označíme $\alpha = \frac{m}{2 \hbar t}$, dosadíme za propagátor z předchozí kapitolky a za $\psi_i$ dosadíme gaussovský balík, dostaneme
\begin{equation}
	\psi (x, t) = \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \int \dif x' \sqrt{\frac{\alpha}{i \pi}} e^{i \alpha (x - x')^2} e^{-{x'}^2},
\end{equation}
což je gaussovský integrál. Za pomoci \eqref{eq:gauss} tak dostáváme
\begin{align}
	\psi (x, t) &= \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \sqrt{\frac{\alpha}{i \pi}} e^{i \alpha x^2} \sqrt{\frac{\pi}{1-i\alpha}} e^{\frac{-4 \alpha^2 x^2}{4 (1-i\alpha)}} \notag \\
	&= \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \sqrt{\frac{i \alpha}{i \alpha - 1}} e^{\frac{-i \alpha}{i \alpha - 1} x^2}.
\end{align} 
 
Z tohoto řešení dostaneme hustotu pravděpodobnosti
\begin{equation}
	\rho = \abs{\psi (x,t)}^2 = \sqrt{\frac{2 \alpha^2}{\pi (1 + \alpha^2)}} e^{-\frac{2 \alpha^2}{1+\alpha^2} x^2},
\end{equation}
a to je na první pohled Gaussovo rozdělení se střední kvadratickou odchylkou
\begin{equation}
	\sigma = \sqrt{\frac{1+\alpha^2}{2 \alpha^2}} = \sqrt{\frac{m^2 + (2 \hbar t)^2}{2 m^2}}.
\end{equation}
Vlnový balík se rozplývá stejně jako v zimě. Všimněme si hlavně limit pro $t\rightarrow 0$, kde dostáváme původní vlnovou funkci, a $t \to +\infty$, kde $\sigma$ roste asymptoticky lineárně v~čase (shodně jako u Brownova pohybu).