02KVAN2:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
 
(Není zobrazeno 9 mezilehlých verzí od jednoho dalšího uživatele.)
Řádka 6: Řádka 6:
 
\subsection{Jiný výběr báze Hilbertova prostoru}
 
\subsection{Jiný výběr báze Hilbertova prostoru}
 
%==============================================
 
%==============================================
Pro jednoduchost budeme v celé kapitole předpokládat bezspinovou částici v $\real^3$ resp. $\real$. Případná zobecnění na částici se spinem, popř. systémy více částic budou zřejmá.
+
Pro jednoduchost budeme v celé kapitole předpokládat bezespinovou částici v $\real^3$, příp. $\real$. Případná zobecnění na částici se spinem, popř. systémy více částic budou zřejmá.
  
Vlnovou funkci $\psi(\vec{x})$ lze psát
+
Závislost vlnové funkce $\psi(\vec{x})$ na $x$ lze psát
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHpsix}
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHpsix}
 
\psi(\vec{x}) = \int \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}) \psi(\vec{y}) d^3y = \braket{\vec{x}}{\psi}
 
\psi(\vec{x}) = \int \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}) \psi(\vec{y}) d^3y = \braket{\vec{x}}{\psi}
 
\end{equation}  
 
\end{equation}  
 
a chápat ji jako skalární součin abstraktního vektoru $\ket{\psi}$ a zobecněného vlastního vektoru polohy $\ket{\vec{x}}$:
 
a chápat ji jako skalární součin abstraktního vektoru $\ket{\psi}$ a zobecněného vlastního vektoru polohy $\ket{\vec{x}}$:
$\hat{\vec{X}} \ket{\vec{x}} = \vec{x} \ket{\vec{x}}$ splňujícího
+
$\hat{\vec{X}} \ket{\vec{x}} = \vec{x} \ket{\vec{x}}$, vyjádřeného zobecněnou vlnovou funkcí
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketx}
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketx}
\int \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}} d^3x = \opone, \quad
+
\psi_{\vec{x}} (\vec{y}) = \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}).
\ket{\vec{x}} = \psi_{\vec{x}} (\vec{y}) = \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}).
+
\end{equation}
\end{equation}  
+
 
 +
Přestože symboly $\ket{\vec x}$ netvoří bázi Hilbertova prostoru (ani nejsou jeho prvky), v~mnoha případech s nimi lze pracovat, jako by tvořily. Například můžeme formálně psát
 +
\begin{equation} \label{ZQM:VBHjedn}
 +
  \int \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}} d^3x = \opone,
 +
\end{equation}
 +
což interpretujeme jako možnost vložit takový „rozklad jednotky“ na libovolné místo, kam by šel vložit jednotkový operátor, jako ku příkladu mezi vektory ve skalárním součinu:
 +
\begin{equation*}
 +
  \begin{aligned}
 +
    \braket{\varphi}{\psi} &=
 +
    \int \varphi(\vec x)^\ast \psi(\vec x) d^3x
 +
    = \int \left( \braket{\vec{x}}{\varphi} \right)^\ast \braket{\vec{x}}{\psi} d^3x =\\
 +
    &= \int \braket{\varphi}{\vec x} \braket{\vec{x}}{\psi} d^3x
 +
    = \bra{\varphi} \underbrace{ \left( \int \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}} d^3x \right) }_{\opone} \ket{\psi}
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
Aplikací rozkladu jednotky \eqref{ZQM:VBHjedn} na $\ket{\psi}$ získáváme
 +
\begin{equation*}
 +
\ket{\psi} = \opone\ket{\psi} = \int \ket{\vec{x}} \braket{\vec{x}}{\psi} d^3x
 +
= \int \psi(\vec x) \ket{\vec{x}} d^3x,
 +
\end{equation*}
 +
kde hodnoty $\psi(\vec x)$ zastupují funkci Fourierových koeficientů, se
 +
kterými se tvarem pravé strany \eqref{ZQM:VBHpsix} shodují.
  
Ket $\ket{\vec{x}}$ lze chápat jako zápis funkce $\psi_{\vec{x}} (\vec{y})$, prostřednictvím její vlastní hodnoty.
+
S rovnicí \eqref{ZQM:VBHketx} se lze setkat ve tvaru
 +
\begin{equation*}
 +
\braket{\vec{y}}{\vec{x}} = \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}),
 +
\end{equation*}
 +
který vypadá jako definiční předpis ortonormální báze, ale s normalizací k $\delta$-funkci místo k jedničce. Matematicky však nelze mluvit o skalárním součinu zobecněných vlastních vektorů odpovídajícím konkrétním hodnotám $\vec{x}$ a $\vec{y}$ z důvodu $\ket{\vec{x}}, \ket{\vec{y}} \not\in \hilbert$.
  
Doposavad jsme budovali kvantovou mechaniku zapsanou v bázi $\hilbert$ tvořené zobecněnými vlastními vektory operátoru polohy $\hat{\vec{X}}$ (tzv. polohová neboli x-reprezentace kvantové mechaniky). Lze si představit, že je možno pracovat i v jiných bázích. Lze se setkat s
+
Až dosud jsme budovali kvantovou mechaniku zapsanou v této „spojité bázi“ tvořené zobecněnými vlastními vektory operátoru polohy $\hat{\vec{X}}$ (tzv. polohová neboli $x$- nebo $q$-reprezentace kvantové mechaniky). Pochopitelně je možno pracovat i v jiných bázích. Často se lze setkat s
 
\begin{enumerate}[$(1)$]
 
\begin{enumerate}[$(1)$]
 
\item bází tvořenou vlastními vektory hybnosti $\ket{\vec{p}}$:
 
\item bází tvořenou vlastními vektory hybnosti $\ket{\vec{p}}$:
 
$\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = \vec{p} \ket{\vec{p}}$
 
$\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = \vec{p} \ket{\vec{p}}$
(hybnostní neboli p-reprezentace),
+
(hybnostní neboli $p$-reprezentace),
 
\item bází tvořenou ÚMP obsahující hamiltonián $\hat{H}$ (energetická reprezentace).
 
\item bází tvořenou ÚMP obsahující hamiltonián $\hat{H}$ (energetická reprezentace).
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
  
Rozebereme si nejprve důvěrně známou x-reprezentaci. Vezměme si libovolný operátor $\hat{A}$, dva stavy $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi} \in \hilbert$ a zkoumejme výraz $\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi}$. Pro zobecněné vektory polohy $\ket{\vec{x}}$, $\ket{\vec{y}}$ můžeme na základě \eqref{ZQM:VBHpsix}, \eqref{ZQM:VBHketx} psát
+
V těchto bázích můžeme vyjadřovat nejen stavové vektory, ale i operátory, a tak se zcela od $x$-reprezentace odpoutat. Uvědomme si nejprve, jak předpis operátorů odráží $x$-reprezentaci v nám známých případech. Vezměme libovolný operátor $\hat{A}$, dva stavy $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi} \in \hilbert$ a zkoumejme výraz $\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi}$. Pro zobecněné vektory polohy $\ket{\vec{x}}$, $\ket{\vec{y}}$ můžeme na základě \eqref{ZQM:VBHpsix}, \eqref{ZQM:VBHjedn} psát
 
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA1}
 
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA1}
 
\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &=
 
\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &=
Řádka 35: Řádka 60:
 
\left( \int d^3y \: \ket{\vec{y}} \bra{\vec{y}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
 
\left( \int d^3y \: \ket{\vec{y}} \bra{\vec{y}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
 
&= \int d^3x \int d^3y \: \braket{\varphi}{\vec{x}} \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \braket{\vec{y}}{\psi} =
 
&= \int d^3x \int d^3y \: \braket{\varphi}{\vec{x}} \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \braket{\vec{y}}{\psi} =
\int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})} \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \psi(\vec{y}),
+
\int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})} \, \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \, \psi(\vec{y}).
 
\end{align}
 
\end{align}
kde výraz $\brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}}$ představuje maticový element operátoru $\hat{A}$ v bázi $(\ket{\vec{x}})$. Zkusme určit tento element pro operátory $\hat{X}_i$, $\hat{P}_i$, jejichž explicitní vyjádření známe. Užitím \eqref{ZQM:VBHketx} je možno hledaný součin psát jako
+
Zde výraz $\brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}}$ představuje maticový element operátoru $\hat{A}$ v bázi $(\ket{\vec{x}})_{\vec{x}\in\real^3}$. Zkusme určit tento element pro operátory $\hat{X}_i$, $\hat{P}_i$, jež jsme zvyklí definovat přes jejich působení na vlnovou funkci $\psi(\vec{x})$. Užitím \eqref{ZQM:VBHketx} je možno hledaný součin psát jako
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
 
\brapigket{\vec{x}}{\hat{X}_i}{\vec{y}} &= \int d^3z \: \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{x}) z_i \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y})
 
\brapigket{\vec{x}}{\hat{X}_i}{\vec{y}} &= \int d^3z \: \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{x}) z_i \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y})
Řádka 44: Řádka 69:
 
\delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y}) = -i \hbar \parcder{}{x_i} \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}).
 
\delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y}) = -i \hbar \parcder{}{x_i} \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}).
 
\end{align*}
 
\end{align*}
V maticových elementech operátorů v x-reprezentaci se objevují distribuce. Ty nabývají konkrétního fyzikálního významu až ve skalárním součinu \eqref{ZQM:VBHmatreprA1}. Například pro skalární součin s operátorem $\hat{X}_i$ platí na základě předposlední rovnosti
+
Tyto maticové elementy jakožto funkce $\vec{x}$ a $\vec{y}$ ekvivalentně vyjadřují vztahy běžně zapisované jako $\hat{X} = x\times, \hat{P} = -i\hbar \hat{\nabla}$, jak se můžeme přesvědčit. Vidíme, že se v nich objevují distribuce. Ty nabývají konkrétního fyzikálního významu až ve skalárním součinu \eqref{ZQM:VBHmatreprA1}. Například pro skalární součin s operátorem $\hat{X}_i$ platí na základě předposlední rovnosti
 
\[
 
\[
 
\brapigket{\varphi}{\hat{X}_i}{\psi} = \int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})}  
 
\brapigket{\varphi}{\hat{X}_i}{\psi} = \int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})}  
Řádka 56: Řádka 81:
 
\subsubsection{Hybnostní reprezentace}
 
\subsubsection{Hybnostní reprezentace}
 
%============================
 
%============================
Vlastní funkcí operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ v x-reprezentaci je funkce $\ket{\vec{p}}$ splňující
+
Vlastní funkcí operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ v $x$-reprezentaci je funkce $\ket{\vec{p}}$ splňující
 
\[
 
\[
\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = -i \hbar \nabla \ket{\vec{p}}.
+
\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = \vec{p} \ket{\vec{p}}.
 
\]
 
\]
Této rovnici vyhovují funkce, jež jsou číselným násobkem funkce $e^{\frac{i \vec{p} \cdot \vec{x}}{\hbar}}$, přičemž z důvodu normalizace k $\delta$-funkci se volí (zapsáno v x-reprezentaci)
+
Této rovnici vyhovují (v $x$-reprezentaci) funkce $\ket{\vec{p}} \buildrel \wedge\over= \psi_{\vec{p}}(\vec{x})$, jež jsou číselným násobkem funkce $e^{\frac{i \vec{p} \cdot \vec{x}}{\hbar}}$, přičemž z důvodu normalizace k $\delta$-funkci se volí
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp1}
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp1}
\ket{\vec{p}} = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} = \braket{\vec{x}}{\vec{p}}.
+
\psi_{\vec{p}}(\vec{x}) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} =: \braket{\vec{x}}{\vec{p}}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Vlastní vektory $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ tak splňují
+
Vlastní vektory $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ pak splňují
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp2}
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp2}
 
\int d^3p \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}} = \opone, \quad \braket{\vec{p}}{\vec{q}} = \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{q}).
 
\int d^3p \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}} = \opone, \quad \braket{\vec{p}}{\vec{q}} = \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{q}).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Vlnovou funkci $\psi^P(\vec{p})$ v hybnostní reprezentaci budeme zapisovat způsobem (podle vzoru zavedeného v x-reprezentaci)
+
Vlnovou funkci $\psi^P(\vec{p})$ v hybnostní reprezentaci budeme zapisovat způsobem (podle vzoru zavedeného v $x$-reprezentaci)
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp3}
 
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp3}
 
\psi^P(\vec{p}) = \braket{\vec{p}}{\psi}.
 
\psi^P(\vec{p}) = \braket{\vec{p}}{\psi}.
 
\end{equation}  
 
\end{equation}  
Nyní se budeme věnovat otázce, jaký je vztah mezi $\psi^P(\vec{p})$ a $\psi(\vec{x})$. Zřejmě na základě \eqref{ZQM:VBHketx},  \eqref{ZQM:VBHketp1} a \eqref{ZQM:VBHketp2} platí
+
 
 +
Nyní se budeme věnovat otázce, jaký je vztah mezi $\psi^P(\vec{p})$ a $\psi(\vec{x})$. Zřejmě na základě \eqref{ZQM:VBHjedn},  \eqref{ZQM:VBHketp1} a \eqref{ZQM:VBHketp2} platí
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
 
\psi^P(\vec{p}) &= \braket{\vec{p}}{\psi} = \int d^3x \: \braket{\vec{p}}{\vec{x}} \braket{\vec{x}}{\psi} =
 
\psi^P(\vec{p}) &= \braket{\vec{p}}{\psi} = \int d^3x \: \braket{\vec{p}}{\vec{x}} \braket{\vec{x}}{\psi} =
 
\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi(\vec{x}) d^3x, \\
 
\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi(\vec{x}) d^3x, \\
 
\psi(\vec{x}) &= \braket{\vec{x}}{\psi} = \int d^3p \: \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \braket{\vec{p}}{\psi} =
 
\psi(\vec{x}) &= \braket{\vec{x}}{\psi} = \int d^3p \: \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \braket{\vec{p}}{\psi} =
\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi^P(\vec{p}) d^3p.
+
\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi^P(\vec{p}) d^3p,
 
\end{align*}
 
\end{align*}
Jedná se tedy o přímou a zpětnou Fourierovu transformaci. Do nové báze $(\ket{\vec{p}})$ je však třeba převézt i operátory. Buď $\hat{A}$ libovolný operátor na $\hilbert$, $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi}$ dva stavy na $\hilbert$ (v x-reprezentaci), $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ vlastní funkce operátoru $\hat{\vec{P}}$. Potom na základě \eqref{ZQM:VBHketp2}, \eqref{ZQM:VBHketp3}  
+
převodním vztahem je tedy přímá a zpětná Fourierova transformace. Díky normalizační konstantě zvolené v \eqref{ZQM:VBHketp1} se jedná o unitární verzi Fourierovy transformace, která zachovává $L^2$ normu funkcí, tedy platí
 +
\begin{equation*}
 +
  \int \bigl| \psi(\vec{x}) \bigr|^2 d^3x = 1
 +
  \quad \Leftrightarrow \quad
 +
  \int \bigl| \psi^P(\vec{p}) \bigr|^2 d^3p = 1.
 +
\end{equation*}
 +
Do nové báze $(\ket{\vec{p}})$ je však třeba převést i operátory. Buď $\hat{A}$ libovolný operátor na $\hilbert$, $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi}$ dva stavy na $\hilbert$ (v $x$-reprezentaci), $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ zobecněné vlastní funkce operátoru $\hat{\vec{P}}$. Potom na základě \eqref{ZQM:VBHketp2}, \eqref{ZQM:VBHketp3}  
 
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA2}
 
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA2}
 
\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &= \bra{\varphi}
 
\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &= \bra{\varphi}
 
\left( \int d^3p \: \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}}  \right) \hat{A}
 
\left( \int d^3p \: \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}}  \right) \hat{A}
 
\left( \int d^3q \: \ket{\vec{q}} \bra{\vec{q}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
 
\left( \int d^3q \: \ket{\vec{q}} \bra{\vec{q}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
&= \int d^3p \int d^3q \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \brapigket{\vec{p}}{\hat{A}}{\vec{q}} \psi^P(\vec{q}).
+
&= \int d^3p \int d^3q \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \, \brapigket{\vec{p}}{\hat{A}}{\vec{q}} \, \psi^P(\vec{q}).
 
\end{align}
 
\end{align}
Opět zvolíme za $\hat{A}$ operátor $\hat{X}_i$ resp. $\hat{P}_i$, jejichž působení v x-reprezentaci známe. Nejprve využijeme explicitního vyjádření $\ket{\vec{p}}$ z \eqref{ZQM:VBHketp1} k určení maticového elementu operátoru $\hat{X}_i$ v bázi $(\ket{\vec{p}})$
+
Opět zvolíme za $\hat{A}$ operátor $\hat{X}_i$ resp. $\hat{P}_i$, jejichž působení v $x$-reprezentaci známe. Nejprve využijeme explicitního vyjádření $\ket{\vec{p}}$ z \eqref{ZQM:VBHketp1} k určení maticového elementu operátoru $\hat{X}_i$ v bázi $(\ket{\vec{p}})_{\vec{p}\in\real^3}$
 
\[
 
\[
 
\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} =
 
\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} =
Řádka 126: Řádka 158:
 
&= \int d^3p \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[p_i\right] \psi^P(\vec{p})
 
&= \int d^3p \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[p_i\right] \psi^P(\vec{p})
 
\end{align*}
 
\end{align*}
a tedy operátor polohy resp. hybnosti nabývá v hybnostní reprezentaci podoby
+
a tedy operátor polohy, resp. hybnosti, nabývá v hybnostní reprezentaci podoby
 
\[
 
\[
\hat{X}_i^P = i \hbar \parcder{}{p_i}, \quad \text{resp.} \quad \hat{P}_i^P=p_i \cdot.
+
\hat{X}_i^P = i \hbar \parcder{}{p_i}, \quad \text{resp.} \quad \hat{P}_i^P=p_i \times.
 
\]
 
\]
  
 
Hybnostní reprezentace umožňuje díky triviálnímu tvaru operátoru $\hat{P}_i^P$ v jistých fyzikálních situacích přechod k jednoduššímu hamiltoniánu a tím k jednoduššímu řešení Schrödingerovy rovnice. Hamiltonián je v hybnostní reprezentaci možno zapsat
 
Hybnostní reprezentace umožňuje díky triviálnímu tvaru operátoru $\hat{P}_i^P$ v jistých fyzikálních situacích přechod k jednoduššímu hamiltoniánu a tím k jednoduššímu řešení Schrödingerovy rovnice. Hamiltonián je v hybnostní reprezentaci možno zapsat
 
\[
 
\[
\hat{H}^P = \frac{\sum_i p_i^2 \cdot}{2M} + V\left( i \hbar \nabla_p \right).
+
\hat{H}^P = \frac{\sum_i p_i^2 \times}{2M} + V\left( i \hbar \hat{\nabla}_p \right).
 
\]
 
\]
V případě $V(\hat{\vec{x}}) \equiv 0$ je hamiltonián v p-reprezentaci triviální. Přechod k p-reprezentaci je výhodný i v případě $V(\hat{\vec{x}}) \sim \hat{\vec{x}}$. V ostatních případech se však uchylujeme k x-reprezentaci (stačí si představit hamiltonián v případě $V(\hat{\vec{x}}) \sim \frac{1}{\hat{\vec{x}}}$).
+
V případě $V(\hat{\vec{x}}) \equiv 0$ je hamiltonián v $p$-reprezentaci triviální. Přechod k $p$-reprezentaci je výhodný i v případě závislosti $V$ na $\vec{x}$ nejvýše lineárního řádu. V ostatních případech nepřináší okamžité zjednodušení (stačí si představit hamiltonián v případě $V(\hat{\vec{x}}) \sim \frac{1}{\widehat{|\vec{x}|}}$).
  
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
S p-reprezentací jsme se setkali v zimě při řešení Schrödingerovy rovnice volné částice.
+
S $p$-reprezentací jsme se mlčky setkali již v zimě při řešení Schrödingerovy rovnice volné částice.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
  
Řádka 145: Řádka 177:
 
\subsubsection{Energetická reprezentace}
 
\subsubsection{Energetická reprezentace}
 
%============================
 
%============================
Mějme dánu ÚMP obsahující $\hat{H}$. Nechť vlastní vektory ÚMP $(\ket{n})$ tvoří ortonormální bázi v $\hilbert$.
+
Mějme dánu ÚMP obsahující $\hat{H}$. Předpokládejme čistě bodové spektrum $\hat{H}$. Nechť vlastní vektory ÚMP $(\ket{n})_{n\in\mathscr{I}}$ tvoří ortonormální bázi v $\hilbert$. Za předpokladu, že bázové vektory spadají do definičního oboru všech fyzikálně zajímavých operátorů, lze místo operátoru $\hat{A}$ počítat s příslušnou „nekonečněrozměrnou maticí“%
\footnote{Pokud je $\hat{H}$ operátor s čistě bodovým spektrem, je $ (\ket{n})$ bází $\hilbert$ v korektním matematickém smyslu.}
+
\footnote{V této formě kvantovou mechaniku zkoumali W. Heisenberg, M. Born a P. Jordan.}
Za předpokladu, že definiční obor všech fyzikálně zajímavých operátorů obsahuje $(\ket{n})$, lze místo operátoru $\hat{A}$ počítat s příslušnou $\infty$-rozměrnou maticí operátoru $\hat{A}$ v bázi $( \ket{n} )$  
+
operátoru $\hat{A}$ v~bázi $(\ket{n})_{n\in\mathscr{I}}$  
 
\[
 
\[
 
\hat{A}_{nm} = \brapigket{n}{\hat{A}}{m}.
 
\hat{A}_{nm} = \brapigket{n}{\hat{A}}{m}.
Řádka 160: Řádka 192:
 
\sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \brapigket{n}{\hat{A}}{k} \brapigket{k}{\hat{B}}{m} \right) \bra{m} = \\
 
\sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \brapigket{n}{\hat{A}}{k} \brapigket{k}{\hat{B}}{m} \right) \bra{m} = \\
 
&= \sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \hat{A}_{nk} \hat{B}_{km} \right) \bra{m} =
 
&= \sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \hat{A}_{nk} \hat{B}_{km} \right) \bra{m} =
\sum_{n,m} \ket{n} (\hat{A} \cdot \hat{B})_{nm} \bra{m}
+
\sum_{n,m} \ket{n} (\hat{A} \cdot \hat{B})_{nm} \bra{m}.
 
\end{align*}
 
\end{align*}
Skládání operátorů je v energetické reprezentaci představováno násobením matic.
+
Skládání operátorů je v energetické reprezentaci představováno násobením matic, zobecněným na spočetnou dimenzi.
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Snadno nahlédneme, že pokud $\hat{H}$ má nedegenerované spektrum, bude v energetické reprezentaci představován diagonální maticí.
+
Snadno nahlédneme, že $\hat{H}$ bude v~energetické reprezentaci představován diagonální maticí.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
  
Časový vývoj bazických vektorů je triviální, jak vidno ze Schrödingerovy rovnice, kde klademe $\psi = \ket{n}$
+
Časový vývoj bazických vektorů je triviální, jak vidno ze Schrödingerovy rovnice, kde klademe $\ket{\psi} = \ket{n}$:
 
\[
 
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi = E_n \psi.
+
i \hbar \frac{\partial \ket{n}}{\partial t} = \hat{H} \ket{n} = E_n \ket{n}.
 
\]
 
\]
 
a tedy
 
a tedy
Řádka 176: Řádka 208:
 
\]
 
\]
  
Výhodou energetické reprezentace je snadný popis časového vývoje, neboť každý vektor $\ket{\varphi} \in \hilbert$ je možno rozložit do báze vektorů $( \ket{n} )$, jejichž časový vývoj známe. Netriviální tvar operátorů $\hat{X}$, $\hat{P}$ bohužel vede ke složitější konstrukci fyzikálně interpretovatelných pozorovatelných.
+
Výhodou energetické reprezentace je snadný popis časového vývoje, neboť každý vektor $\ket{\varphi} \in \hilbert$ je možno rozložit do báze vektorů $( \ket{n} )_{n\in\mathscr{I}}$, jejichž časový vývoj známe. Netriviální tvar operátorů $\hat{X}$, $\hat{P}$ bohužel vede ke složitější konstrukci fyzikálně interpretovatelných pozorovatelných.
  
 
\begin{example}
 
\begin{example}
Řádka 183: Řádka 215:
 
Ze zimy víme, že $\hat{H}$ tvoří ÚMP jednorozměrného harmonického oscilátoru. Označme $\ket{n}$ příslušné vlastní funkce splňující  
 
Ze zimy víme, že $\hat{H}$ tvoří ÚMP jednorozměrného harmonického oscilátoru. Označme $\ket{n}$ příslušné vlastní funkce splňující  
 
\[
 
\[
\hat{H} \ket{n} = \hbar \omega (n + \frac{1}{2}) \ket{n}.
+
\hat{H} \ket{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \ket{n}.
 
\]  
 
\]  
Víme, že $( \ket{n} )_{n \in \priroz_0}$ tvoří úplnou ortonormální bázi $\hilbert$.
+
Víme, že $( \ket{n} )_{n \in \priroz_0}$ tvoří úplnou ortonormální bázi $\hilbert$. Při popisu HO se s výhodou užije kreační $(\kreak{})$ a anihilační $(\anihilak{})$ operátor
Při popis HO se s výhodou užije kreační $\hat{a}^+$ a anihilační $\hat{a}$ operátor
+
 
\begin{equation} \label{ZQM:KreakAnihilak}
 
\begin{equation} \label{ZQM:KreakAnihilak}
\hat{a}^+ = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} - \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right), \quad
+
\kreak{} = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} - \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right), \quad
\hat{a} = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} + \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right).
+
\anihilak{} = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} + \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
Hamiltonián je potom možno zapsat
 
Hamiltonián je potom možno zapsat
 
\[
 
\[
\hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^+ \hat{a} + \frac{1}{2} \right).
+
\hat{H} = \hbar \omega \left( \kreak{}\!\anihilak{} + \frac{1}{2} \right).
 
\]
 
\]
 
Ze zimy rovněž víme
 
Ze zimy rovněž víme
 
\[
 
\[
\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \left( \hat{a}^+ \right) ^n \ket{0},
+
\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\kreak{}) ^n \ket{0},
 
\]
 
\]
 
odkud je možno odvodit
 
odkud je možno odvodit
 
\[
 
\[
\hat{a} \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1}, \quad
+
\anihilak{} \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1}, \quad
\hat{a}^+ \ket{n} = \sqrt{n+1} \ket{n+1}, \quad
+
\kreak{} \ket{n} = \sqrt{n+1} \ket{n+1}, \quad
\hat{a}^+ \hat{a} \ket{n} = n \ket{n},
+
\kreak{}\!\anihilak{} \ket{n} = n \ket{n},
 
\]
 
\]
kde $\hat{a}^+ \hat{a}$ se nazývá operátor počtu energetických kvant. Maticové elementy kreačního operátoru $\hat{a}^+$
+
kde $\kreak{}\!\anihilak{}$ se nazývá operátor počtu energetických kvant. Maticové elementy kreačního operátoru $\kreak{}$
 
\[
 
\[
\hat{a}^+_{nm} = \brapigket{n}{\hat{a}^+}{m} = \sqrt{m+1} \braket{n}{m+1} = \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1},
+
(\kreak{})_{nm} = \brapigket{n}{\kreak{}}{m} = \sqrt{m+1} \braket{n}{m+1} = \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1},
 
\]
 
\]
jež je možno zapsat maticově
+
jež je možno zapsat maticově%
 
\footnote{Řádky a sloupce indexujeme od nuly.}
 
\footnote{Řádky a sloupce indexujeme od nuly.}
 
\[
 
\[
\hat{a}^+ = \left( \begin{array}{cccc}
+
\kreak{} = \begin{pmatrix}
 
0  &  &  &    \\
 
0  &  &  &    \\
 
\sqrt{1} & 0 &  &  \\
 
\sqrt{1} & 0 &  &  \\
 
& \sqrt{2} & 0 &  \\
 
& \sqrt{2} & 0 &  \\
 
&  & \ddots & \ddots \\
 
&  & \ddots & \ddots \\
\end{array} \right).
+
\end{pmatrix}.
 
\]
 
\]
Podobně můžeme zapsat maticově operátor $\hat{a}$. Jelikož operátory $\hat{x}$ a $\hat{p}$ je možno na základě \eqref{ZQM:KreakAnihilak} zapsat jako lineární kombinaci $\hat{a}^+$, $\hat{a}$, můžeme snadno obdržet jejich maticové elementy
+
Podobně můžeme zapsat maticově operátor $\anihilak{}$, operátor počtu energetických kvant $\kreak{}\!\anihilak{}$ či hamiltonián $\hat{H}$ (poslední dvě budou v bázi energetických stavů diagonální). Jelikož operátory $\hat{x}$ a $\hat{p}$ je možno na základě \eqref{ZQM:KreakAnihilak} zapsat jako lineární kombinaci $\kreak{}$, $\anihilak{}$, můžeme snadno obdržet také jejich maticové elementy
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
 
\hat{P}_{nm} &= -i \sqrt{\frac{M \omega \hbar}{2}}  
 
\hat{P}_{nm} &= -i \sqrt{\frac{M \omega \hbar}{2}}  
Řádka 226: Řádka 257:
 
\left( \sqrt{m} \delta_{n,m-1} + \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1}  \right).
 
\left( \sqrt{m} \delta_{n,m-1} + \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1}  \right).
 
\end{align*}
 
\end{align*}
Ověřme v maticové reprezentaci platnost komutační relace $\komut{\hat{P}}{\hat{X}} = -i \hbar \opone$. $\komut{\hat{P}}{\hat{X}}$ v maticové reprezentaci představuje matici. Najdeme její $i,j$-tý prvek
+
Ověřme v maticové reprezentaci platnost komutační relace $\komut{\hat{P}}{\hat{X}} = -i \hbar \opone$. $\komut{\hat{P}}{\hat{X}}$ v~maticové reprezentaci představuje matici. Najdeme její $i,j$-tý prvek
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
 
\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} &=  
 
\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} &=  
Řádka 238: Řádka 269:
 
\sqrt{k+1} \sqrt{j} \delta_{i,k+1} \delta_{k,j-1} \right).
 
\sqrt{k+1} \sqrt{j} \delta_{i,k+1} \delta_{k,j-1} \right).
 
\end{align*}
 
\end{align*}
Výraz v poslední závorce je nenulový jedině pro $i=j$, a to pro hodnoty $k=i\pm1$. Snadno nahlédneme, že pro všechna $i,j \in \priroz_0$  
+
Výraz v poslední závorce je nenulový jedině pro $i=j$, a to pro hodnoty $k=j\pm1$. Ponecháním jediného nenulového členu z nekonečné sumy (v případě $j=0$ z druhé sumy nezůstane žádný) zůstane pro všechna $i,j \in \priroz_0$  
 
\[
 
\[
\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} = - i \hbar \delta_{ij}.
+
\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} = -i\hbar \left( (j+1) \delta_{ij} - j \delta_{ij} \right) = - i \hbar \delta_{ij}.
 
\]
 
\]
Tím je však komutační relace dokázána. Doporučuji však ověřit výpočet přes maticový rozpis. Rovněž můžete zkusit zapsat maticově hamiltonián $\hat{H}$ a operátor počtu energetických kvant $\hat{a}^+\hat{a}$.
+
Tím je komutační relace dokázána. Vyzkoušejte si však také dospět k výsledku násobením matic v jejich tabulkovém zápisu.
 
\end{example}
 
\end{example}
  
Řádka 253: Řádka 284:
 
\stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi}} = \frac{\brapigket{\psi}{\hat{A}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
 
\stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi}} = \frac{\brapigket{\psi}{\hat{A}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
 
\]   
 
\]   
Definujme nyní unitární operátor $\hat{U}$ ($\hat{U}^+ = \hat{U}^{-1}$) a zkusme určit střední hodnotu operátoru $\hat{A}$ v novém stavu $\ket{\tilde{\psi}}=\hat{U}\ket{\psi}$. Zřejmě platí
+
Definujme nyní unitární operátor $\hat{U}$ ($\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$) a zkusme určit střední hodnotu operátoru $\hat{A}$ v novém stavu $\ket{\tilde{\psi}}=\hat{U}\ket{\psi}$. Zřejmě platí
 
\[
 
\[
 
\stredni{\hat{A}}_{\ket{\tilde{\psi}}} = \frac{\brapigket{\hat{U}\psi}{\hat{A}}{\hat{U}\psi}}{\braket{\hat{U}\psi}{\hat{U}\psi}}
 
\stredni{\hat{A}}_{\ket{\tilde{\psi}}} = \frac{\brapigket{\hat{U}\psi}{\hat{A}}{\hat{U}\psi}}{\braket{\hat{U}\psi}{\hat{U}\psi}}
= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^+\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\brapigket{\psi}{\hat{U}^+\hat{U}}{\psi}}
+
= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^\dagger\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\brapigket{\psi}{\hat{U}^\dagger\hat{U}}{\psi}}
= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^+\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
+
= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^\dagger\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
 
\]
 
\]
  
 
Protože chceme zachovat rovnost s původní střední hodnotou, musíme rovněž přejít k novému operátoru $\hat{\tilde{A}}$, který bude splňovat rovnost
 
Protože chceme zachovat rovnost s původní střední hodnotou, musíme rovněž přejít k novému operátoru $\hat{\tilde{A}}$, který bude splňovat rovnost
 
\begin{equation} \label{ZQM:TransfOp}
 
\begin{equation} \label{ZQM:TransfOp}
\hat{A}=\hat{U}^+ \hat{\tilde{A}} \hat{U}.
+
\hat{A}=\hat{U}^\dagger \hat{\tilde{A}} \hat{U}; \qquad
 +
\hat{\tilde{A}}=\hat{U} \hat{A} \hat{U}^\dagger.
 
\end{equation}  
 
\end{equation}  
 
Potom
 
Potom
Řádka 270: Řádka 302:
 
a předpovědi kvantové mechaniky zůstávají nezměněny.
 
a předpovědi kvantové mechaniky zůstávají nezměněny.
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Víme, že podobnostní transformace \eqref{ZQM:TransfOp} spektrum operátoru nemění.
+
  Jedná se o podobnostní transformaci a o té víme, že nemění spektrum operátoru.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
  
Získané poznatky brzy využijeme. Než však postoupíme dále, připomeňme si, jak kvantová mechanika přistupuje k popisu časového vývoje částice. Při popisu kvantového systému jsme vycházeli z hamiltoniánu klasické částice. Poté, užitím principu korespondence, jsme přešli k operátoru $\hat{H}$  
+
Získané poznatky brzy využijeme. Než však postoupíme dále, připomeňme si, jak kvantová mechanika přistupuje k popisu časového vývoje částice. Při popisu kvantového systému jsme vycházeli z hamiltoniánu klasické částice. Poté, užitím principu korespondence, jsme přešli k operátoru $\hat{H}$. Časový vývoj kvantové částice je určen Schrödingerovou rovnicí
\footnote{povšimněme si, že pokud hamiltonián klasické částice nezávisel na čase, je na čase nezávislý i operátor $\hat{H}$.}.
+
Časový vývoj kvantové částice je určen Schrödingerovou rovnicí
+
 
+
 
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEq}
 
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEq}
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi,
+
i \hbar \frac{\partial \ket{\psi}}{\partial t} = \hat{H} \ket{\psi},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
která společně s počáteční podmínkou $\ket{\psi_0} = \ket{\psi(t_0)}$ jednoznačně určuje stav částice v libovolném čase $t$.
+
která společně s počáteční podmínkou $\ket{\psi_0} = \ket{\psi(t_0)}$ jednoznačně určuje stav částice v~libovolném čase $t$. Princip superpozice implikuje, že transformaci $\ket{\psi(t_0)}$ na $\ket{\psi(t)}$ musí popisovat lineární operátor. Pro každé $t_0$, $t$ tak definujeme \textbf{evoluční operátor} $\hat{U}(t,t_0)$ splňující
Z provedených úvah je zřejmé, že musí existovat tzv. \textit{Evoluční operátor} $\hat{U}(t,t_0)$, který ze stavu
+
$\ket{\psi(\vec{x},t_0)}$ vytvoří $\ket{\psi(\vec{x},t)}$, tedy
+
\footnote{na časový vývoj stavu $\ket{\psi(\vec{x},t)}$ je možno pohlížet jako na parametrickou křivku $\ket{\psi(t)}$ v $\hilbert$.}
+
 
+
 
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOp}
 
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOp}
 
\ket{\psi(t)} =  \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)}.
 
\ket{\psi(t)} =  \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Podíváme se na vlastnosti tohoto operátoru. Zvolme libovolně $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L_2$ $(\real^3)$ a zkusme určit časovou derivaci jejich skalárního součinu
+
Podíváme se na vlastnosti tohoto operátoru. Zvolme libovolně $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L^2(\real^3)$ a zkusme určit časovou derivaci jejich skalárního součinu
 
\[
 
\[
 
\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} =
 
\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} =
\braket{\frac{d \varphi(t)}{dt}}{\psi(t)} + \braket{\varphi(t)}{\frac{d \psi(t)}{dt}}.
+
  \left( \frac{d}{dt} \ket{\varphi(t)} \right)^\dagger \ket{\psi(t)} + \bra{\varphi(t)} \left( \frac{d}{dt} \ket{\psi(t)} \right).
 
\]
 
\]
 
\noindent Dosazením za časové derivace ze Schrödingerovy rovnice \eqref{ZQM:SchrEq}
 
\noindent Dosazením za časové derivace ze Schrödingerovy rovnice \eqref{ZQM:SchrEq}
 
\[
 
\[
\braket{\frac{1}{i \hbar} \hat{H} \varphi (t)}{\psi(t)} + \braket{\varphi (t)}{\frac{1}{i \hbar} \hat{H} \psi(t)} =
+
  -\frac{1}{i\hbar} \left( \hat{H} \ket{\varphi(t)} \right)^\dagger \ket{\psi(t)} + \frac{1}{i\hbar} \bra{\varphi(t)} \left( \hat{H} \ket{\psi(t)} \right) =
\frac{i}{\hbar} \Bigl(  \braket{\hat{H} \varphi (t)}{\psi(t)} - \braket{\varphi (t)}{\hat{H} \psi(t)} \Bigr)
+
  \frac{1}{i\hbar} \bra{\varphi(t)} \left( -\hat{H}^\dagger + \hat{H} \right) \ket{\psi(t)}
 
\]
 
\]
 
\noindent a díky samosdruženosti $\hat{H}$ dostáváme
 
\noindent a díky samosdruženosti $\hat{H}$ dostáváme
Řádka 307: Řádka 332:
 
\begin{align} \label{ZQM:EvolOpDer2}
 
\begin{align} \label{ZQM:EvolOpDer2}
 
\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} &=  
 
\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} &=  
\frac{d}{dt} \braket{\hat{U}(t,t_0) \varphi(t_0)}{\hat{U}(t,t_0) \psi(t_0)} =
+
\frac{d}{dt} \left( \hat{U}(t,t_0) \ket{\varphi(t_0)} \right)^\dagger \left( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \right) =
\frac{d}{dt} \brapigket{\varphi(t_0)} {\hat{U}^+(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)} {\psi(t_0)} = \nonumber \\
+
\frac{d}{dt} \brapigket{\varphi(t_0)} {\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)} {\psi(t_0)} = \nonumber \\
&= \brapigket{\varphi(t_0)} {\frac{d}{dt} \left[ \hat{U}^+(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) \right]} {\psi(t_0)}.
+
&= \brapigket{\varphi(t_0)} {\frac{d}{dt} \left[ \hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) \right]} {\psi(t_0)}.
 
\end{align}
 
\end{align}
\noindent Tento braket však musí být na základě \eqref{ZQM:EvolOpDer1} roven nule pro všechna $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L_2 (\real^3)$. Operátor $\hat{U}^+(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)$ tedy musí být konstantní v čase. Na základě definice evolučního operátoru \eqref{ZQM:EvolOp} musí platit
+
\noindent Tento braket však musí být na základě \eqref{ZQM:EvolOpDer1} roven nule pro všechna $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L^2 (\real^3)$. Operátor $\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)$ tedy musí být konstantní v čase. Na základě definice evolučního operátoru \eqref{ZQM:EvolOp} aplikované pro $t = t_0$ musí platit
 
\[
 
\[
\ket{\psi(t_0)} = \hat{U}(t_0,t_0) \ket{\psi(t_0)} = \opone \ket{\psi(t_0)},
+
\hat{U}(t_0,t_0) = \opone,
 
\]
 
\]
 
a tedy
 
a tedy
 
\[
 
\[
\hat{U}^+(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) = \hat{U}^+(t_0,t_0) \hat{U}(t_0,t_0) = \opone,
+
\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) = \hat{U}^\dagger(t_0,t_0) \hat{U}(t_0,t_0) = \opone,
 
\]
 
\]
což je relace unitárnosti operátoru $\hat{U}(t,t_0)$. Zvolme 3 libovolné časy $t_1$, $t_2$, $t_3$. Potom jistě pro stav $\ket{\psi}$ platí
+
což je relace unitárnosti operátoru $\hat{U}(t,t_0)$.
 +
 
 +
Zvolme 3 libovolné časy $t_1$, $t_2$, $t_3$. Potom jistě pro stav $\ket{\psi}$ platí
 
\begin{subequations}
 
\begin{subequations}
 
\begin{align}
 
\begin{align}
Řádka 329: Řádka 356:
 
\end{subequations}
 
\end{subequations}
 
kde vynásobením \eqref{ZQM:EvolOpRel2} zleva operátorem $\hat{U}^{-1}(t_2,t_1)$ a porovnáním s \eqref{ZQM:EvolOpRel1} snadno nahlédneme, že
 
kde vynásobením \eqref{ZQM:EvolOpRel2} zleva operátorem $\hat{U}^{-1}(t_2,t_1)$ a porovnáním s \eqref{ZQM:EvolOpRel1} snadno nahlédneme, že
\[
+
\begin{subequations}
\hat{U}(t_1,t_2) = \hat{U}^{-1}(t_2,t_1)
+
\label{ZQM:EvolOpVlastnosti}
\]
+
\begin{equation}
 +
  \hat{U}(t_1,t_2) = \hat{U}^{-1}(t_2,t_1) = \hat{U}^\dagger(t_2,t_1)
 +
\end{equation}
 
a triviálně z \eqref{ZQM:EvolOpRel3}
 
a triviálně z \eqref{ZQM:EvolOpRel3}
\[
+
\begin{equation}
\hat{U}(t_3,t_1) = \hat{U}(t_3,t_2) \hat{U}(t_2,t_1).
+
  \hat{U}(t_3,t_1) = \hat{U}(t_3,t_2) \hat{U}(t_2,t_1).
\]
+
\end{equation}
 +
\end{subequations}
 
Pokud navíc hamiltonián nezávisí na čase,
 
Pokud navíc hamiltonián nezávisí na čase,
 
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOpRel4}
 
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOpRel4}
\hat{U}(t_1+T,t_0+T) = \hat{U}(t_1,t_0) = \hat{U}(t_1-t_0,0) \equiv \hat{U}(t_1-t_0),
+
\hat{U}(t_1+T,t_0+T) = \hat{U}(t_1,t_0) = \hat{U}(t_1-t_0,0) =: \hat{U}(t_1-t_0),
 
\end{equation}  
 
\end{equation}  
můžeme zbavit evoluční operátor jedné proměnné.
+
můžeme zbavit evoluční operátor jedné nezávislé proměnné.
  
Předpokládejme Hamiltonián nezávisející na čase $\hat{H} \neq \hat{H}(t)$ a přepišme Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} užitím zavedeného unitárního evolučního operátoru $\hat{U}(t,t_0)$
+
Přepišme Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} užitím zavedeného unitárního evolučního operátoru $\hat{U}(t,t_0)$:
 
\[
 
\[
 
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Bigl( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \Bigr) =  
 
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Bigl( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \Bigr) =  
\hat{H} \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)},
+
\hat{H}(t) \Bigl( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \Bigr).
 
\]
 
\]
kde můžeme beztrestně zkrátit $\ket{\psi(t_0)}$ a získat tak operátorovou diferenciální rovnici
+
Můžeme na obou stranách zkrátit obecný $\ket{\psi(t_0)}$ a získat tak operátorovou diferenciální rovnici
 
+
 
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEqOp}
 
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEqOp}
i \hbar \frac{\partial \hat{U}(t,t_0)}{\partial t} = \hat{H} \hat{U}(t,t_0),
+
i \hbar \frac{\partial \hat{U}(t,t_0)}{\partial t} = \hat{H}(t) \hat{U}(t,t_0).
 +
\end{equation}
 +
 
 +
V případě $\hat{H} \neq \hat{H}(t)$ má okamžité řešení
 +
\begin{equation}
 +
  \hat{U}(t,t_0) = \hat{U}(t-t_0) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} (t-t_0) \hat{H} \right),
 +
  \label{ZQM:ExpH}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
která díky nezávislosti hamiltoniánu na čase a rovnosti \eqref{ZQM:EvolOpRel4} má řešení
+
kde s operátorem v exponentu je možno se vypořádat buď užitím Taylorova rozvoje, nebo pomocí spektrálního rozkladu operátoru (viz Modrá smrt)
\[
+
\hat{U}(t,t_0) = \hat{U}(t-t_0) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right),
+
\]
+
kde s operátorem v exponentu je možno se vypořádat buď užitím Taylorova rozvoje, nebo pomocí spektrálního rozkladu operátoru (viz. Modrá smrt :))
+
 
\[
 
\[
 
e^{i \hat{A}} = \int e^{i \lambda} \hat{dE_{\lambda}}.
 
e^{i \hat{A}} = \int e^{i \lambda} \hat{dE_{\lambda}}.
 
\]
 
\]
 
+
Pokud navíc $\hat{H}$ má úplný systém vlastních vektorů $(\ket{n})_{n\in\mathscr{I}}$: $\hat{H} \ket{n} = E_n \ket{n}$, potom
Pokud navíc $\hat{H}$ má úplný systém vlastních vektorů $(\ket{n})$: $\hat{H} \ket{n} = E_n \ket{n}$, potom
+
 
\[
 
\[
 
\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right) \ket{n} =  
 
\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right) \ket{n} =  
Řádka 373: Řádka 403:
 
kde $\psi_n$ představuje příslušný Fourierův koeficient $\psi_n = \braket{n}{\psi}$.
 
kde $\psi_n$ představuje příslušný Fourierův koeficient $\psi_n = \braket{n}{\psi}$.
  
Doposud jsme budovali kvantovou teorii v tzv. Schrödingerově reprezentaci, která se v literatuře nejčastěji užívá. V této reprezentaci jsou operátory obvykle neměnné v čase, zatímco vlnové funkce se v čase mění podle Schrödingerovy rovnice. Využijeme získaných poznatků k zavedení dalších, v literatuře užívaných, reprezentací kvantové mechaniky ekvivalentních k reprezentaci Schrödingerově: Heissenbergovu a Diracovu reprezentaci.
+
Doposud jsme budovali kvantovou teorii v tzv. Schrödingerově reprezentaci, která se v literatuře nejčastěji užívá. V této reprezentaci jsou operátory obvykle neměnné v~čase, zatímco vlnové funkce se v čase mění podle Schrödingerovy rovnice. Využijeme získaných poznatků k zavedení dalších, v literatuře užívaných, reprezentací kvantové mechaniky ekvivalentních k reprezentaci Schrödingerově: Heisenbergovy a Diracovy reprezentace.
  
  
 
%============================
 
%============================
\subsubsection{Heissenbergova reprezentace}
+
\subsubsection{Heisenbergova reprezentace}
 
%============================
 
%============================
 
Mějme $\hat{U}(t,t_0)$ evoluční operátor definovaný v \eqref{ZQM:EvolOp}. Předpokládejme, že uvažovaná kvantová částice je popsána vlnovou funkcí ve Schrödingerově reprezentaci $\ket{\psi^S(t)}$. Definujme Heisenbergovu vlnovou funkci $\ket{\psi^H(t)}$ způsobem
 
Mějme $\hat{U}(t,t_0)$ evoluční operátor definovaný v \eqref{ZQM:EvolOp}. Předpokládejme, že uvažovaná kvantová částice je popsána vlnovou funkcí ve Schrödingerově reprezentaci $\ket{\psi^S(t)}$. Definujme Heisenbergovu vlnovou funkci $\ket{\psi^H(t)}$ způsobem
Řádka 384: Řádka 414:
 
= \ket{\psi^S(t_0)}.
 
= \ket{\psi^S(t_0)}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Musí se ovšem změnit i operátor, aby předpovědi kvantové mechaniky zůstali zachovány. Buď $\hat{A}^S$ operátor ve Schrödingerově reprezentaci. Potom dle \eqref{ZQM:TransfOp} musí odpovídající operátor v Heissenbergově reprezentaci $\hat{A}^H(t)$ mít tvar
+
Musí se ovšem změnit i operátor, aby předpovědi kvantové mechaniky zůstaly zachovány. Buď $\hat{A}^S$ operátor ve Schrödingerově reprezentaci. Potom dle \eqref{ZQM:TransfOp} musí odpovídající operátor v Heisenbergově reprezentaci $\hat{A}^H(t)$ mít tvar
 
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOp}
 
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOp}
\hat{A}^H(t) = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \hat{A}^S (\hat{U}^+)^{-1}(t,t_0) =
+
\hat{A}^H(t) = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \hat{A}^S (\hat{U}^\dagger)^{-1}(t,t_0) =
\hat{U}^+(t,t_0) \hat{A}^S \hat{U}(t,t_0).
+
\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S \hat{U}(t,t_0).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Je zřejmé, že v Heissenbergově reprezentaci se vlnové funkce s časem nemění. Na čase jsou závislé operátory. Je to tedy opačné, než u reprezentace Schrödingerovy, kde byl popis stavů popsán Schrödingerovou rovnicí, zatímco operátory zůstávaly neměnné. Pokusme se najít obdobu Schrödingerovy rovnice, která bude popisovat časový vývoj operátorů. V dalším předpokládáme nezávislost hamiltoniánu ve Schrödingerově reprezentaci na čase, tedy $\hat{H}^S \neq \hat{H}^S(t)$. Zderivujme podle času rovnost  
+
Je zřejmé, že v Heisenbergově reprezentaci se vlnové funkce s časem nemění. Na čase jsou namísto nich závislé operátory přiřazené pozorovatelným fyzikálním veličinám.
\eqref{ZQM:HeissOp}
+
%Je to tedy opačné, než u reprezentace Schrödingerovy, kde byl popis stavů popsán Schrödingerovou rovnicí, zatímco operátory zůstávaly neměnné.
\footnote{kvůli přehlednosti nebudu uvádět závislost operátorů na čase. Operátory $\hat{U}$, $\hat{A}^S$, $\hat{A}^H$, $\hat{H}^H$ předpokládáme všechny na čase závislé, zatímco operátor $\hat{H}^S$ je dle předpokladu na čase nezávislý.}
+
Pokusme se najít obdobu Schrödingerovy rovnice, která bude popisovat časový vývoj operátorů (nad rámec jejich případné vlastní, explicitní časové závislosti $A^S(t)$).
 +
%V dalším předpokládáme nezávislost hamiltoniánu ve Schrödingerově reprezentaci na čase, tedy $\hat{H}^S \neq \hat{H}^S(t)$.  
 +
Zderivujme podle času rovnost \eqref{ZQM:HeissOp}%
 +
%\footnote{Kvůli přehlednosti nebudeme uvádět závislost operátorů na čase. Operátory $\hat{U}$, $\hat{A}^S$, $\hat{A}^H$ předpokládáme všechny na čase závislé, zatímco operátor $\hat{H}^S$ je dle předpokladu na čase nezávislý.}
 
\[
 
\[
\frac{d}{dt}\hat{A}^H = \frac{d}{dt} ( \hat{U}^+ \hat{A}^S \hat{U} ) =  
+
  \begin{aligned}
\frac{d}{dt} ( \hat{U}^+ ) \hat{A}^S \hat{U} + \hat{U}^+ \frac{d}{dt} ( \hat{A}^S ) \hat{U} +  
+
    \frac{d}{dt}\hat{A}^H(t) &= \frac{d}{dt} \left( \hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S(t) \hat{U}(t,t_0) \right) =
\hat{U}^+ \hat{A}^S \frac{d}{dt} ( \hat{U} ).
+
    \frac{d}{dt} \bigl( \hat{U}^\dagger(t,t_0) \bigr) \hat{A}^S(t) \hat{U}(t,t_0) +{} \\
 +
    &\qquad {}+ \hat{U}^\dagger(t,t_0) \frac{d}{dt} \bigl( \hat{A}^S(t) \bigr) \hat{U}(t,t_0) +  
 +
    \hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S(t) \frac{d}{dt} \bigl( \hat{U}(t,t_0) \bigr).
 +
  \end{aligned}
 
\]
 
\]
Dosazením časových derivací operátorů z \eqref{ZQM:SchrEqOp}  
+
Sem dosadíme časové derivace operátorů z \eqref{ZQM:SchrEqOp} a zapíšeme pro kompaktnost bez časových proměnných
 
\[
 
\[
-\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^+ \hat{H}^S \hat{A}^S \hat{U} + \hat{U}^+ \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} +  
+
-\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{H}^S \hat{A}^S \hat{U} + \hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} +  
\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^+ \hat{A}^S \hat{H}^S \hat{U}
+
\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{A}^S \hat{H}^S \hat{U}.
 
\]
 
\]
a díky unitaritě $\hat{U}$ a rovnosti operátorů \eqref{ZQM:HeissOp} můžeme beztrestně psát
+
Navíc díky unitaritě $\hat{U}$ a rovnosti operátorů \eqref{ZQM:HeissOp} můžeme psát
 
\begin{align} \label{ZQM:HeissOpEqTime}
 
\begin{align} \label{ZQM:HeissOpEqTime}
\frac{d}{dt}\hat{A}^H &= - \frac{1}{i \hbar} \hat{U}^+ \hat{H}^S (\hat{U} \hat{U}^+) \hat{A}^S \hat{U} +  
+
\frac{d}{dt}\hat{A}^H &= - \frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{H}^S (\hat{U} \hat{U}^\dagger) \hat{A}^S \hat{U} +  
\hat{U}^+ \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} +  
+
\hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} +  
\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^+ \hat{A}^S (\hat{U} \hat{U}^+) \hat{H}^S \hat{U} = \nonumber \\
+
\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{A}^S (\hat{U} \hat{U}^\dagger) \hat{H}^S \hat{U} = \nonumber \\
&= -\frac{1}{i \hbar} \left( \hat{H}^H \hat{A}^H - \hat{A}^H \hat{H}^H \right) + \hat{U}^+ \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U}
+
&= - \frac{1}{i \hbar} (\hat{U}^\dagger \hat{H}^S \hat{U}) (\hat{U}^\dagger \hat{A}^S \hat{U}) +  
 +
\frac{1}{i \hbar} (\hat{U}^\dagger \hat{A}^S \hat{U}) (\hat{U}^\dagger \hat{H}^S \hat{U}) +
 +
\hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} = \nonumber \\
 +
&= -\frac{1}{i \hbar} \left( \hat{H}^H \hat{A}^H - \hat{A}^H \hat{H}^H \right) + \hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U},
 
\end{align}
 
\end{align}
Pokud $\hat{A}^S \neq \hat{A}^S (t)$, můžeme hledanou rovnici zapsat ve tvaru
+
tedy
 
+
 
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOpEq}
 
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOpEq}
\frac{d}{dt} \hat{A}^H (t) = \frac{1}{i \hbar} \komut{\hat{A}^H}{\hat{H}^H}  
+
\frac{d}{dt} \hat{A}^H (t) = \frac{1}{i \hbar} \komut{\hat{A}^H(t)}{\hat{H}^H(t)} + \hat{U}^\dagger(t,t_0) \frac{d}{dt} \bigl(\hat{A}^S(t)\bigr) \hat{U}(t,t_0).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Pokud by operátor $\hat{A}^S$ na čase závisel, je pozornému čtenáři na základě \eqref{ZQM:HeissOpEqTime} zřejmé, jaký tvar by měl výsledek. Komutátor na pravé straně rovnosti je možné zapsat ještě dvěma ekvivalentními způsoby, které plynou jednak z unitárnosti $\hat{U}$ a jednak z komutace operátorů $\komut{\hat{H}}{\hat{U}}=0$.
 
\[
 
\komut{\hat{A}^H}{\hat{H}^H} = \komut{\hat{A}^H}{\hat{H}^S} = \komut{\hat{A}^S}{\hat{H}^S}^H,
 
\]
 
kde například $\komut{\hat{A}}{\hat{H}}^H$ je možno dle \eqref{ZQM:HeissOp} zapsat
 
\[
 
\komut{\hat{A}^S}{\hat{H}^S}^H = \hat{U}^+ \komut{\hat{A}^S}{\hat{H}^S}^S \hat{U}
 
\]
 
  
Rovnice \eqref{ZQM:HeissOpEq} je přímou obdobou časového vývoje pozorovatelných v klasické mechanice
+
Rovnice \eqref{ZQM:HeissOpEq} je pro pozorovatelné bez explicitní časové závislosti $A^S$ přímou obdobou časového vývoje pozorovatelných v klasické mechanice
 
\begin{equation} \label{ZQM:klasvyvpoz1}  
 
\begin{equation} \label{ZQM:klasvyvpoz1}  
 
\dot{a} = \{ a, H \},  
 
\dot{a} = \{ a, H \},  
Řádka 430: Řádka 460:
 
pokud chápeme $\frac{1}{i\hbar} \komut{\cdot}{\cdot}$ jako kvantový analog klasické Poissonovy závorky $\{ \cdot , \cdot \}$.
 
pokud chápeme $\frac{1}{i\hbar} \komut{\cdot}{\cdot}$ jako kvantový analog klasické Poissonovy závorky $\{ \cdot , \cdot \}$.
  
Výhodou Heissenbergovy reprezentace je přímá analogie s klasickou mechanikou. Někdy je možné ji s výhodou využít k popisu rozptylu. Její nevýhodou oproti Schrödingerově reprezentaci však zůstává složitější řešení časového vývoje, neboť místo parciálních diferenciálních rovnic pro vektory z $\hilbert$ máme podobné rovnice pro operátory.
+
Výhodou Heisenbergovy reprezentace je přímá analogie s klasickou mechanikou. Někdy je možné ji s výhodou využít k popisu rozptylu. Její nevýhodou oproti Schrödingerově reprezentaci však zůstává složitější řešení časového vývoje, neboť místo parciálních diferenciálních rovnic pro vektory z $\hilbert$ máme podobné rovnice pro operátory.
  
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
Snadno nahlédneme z rovnosti \eqref{ZQM:HeissOp}, že hamiltonián systému, který není pod vlivem časově proměnných vnějších polí, je v Heisenbergově i Schrödingerově reprezentaci představován tímtéž časově nezávislým operátorem
 
Snadno nahlédneme z rovnosti \eqref{ZQM:HeissOp}, že hamiltonián systému, který není pod vlivem časově proměnných vnějších polí, je v Heisenbergově i Schrödingerově reprezentaci představován tímtéž časově nezávislým operátorem
 
\[
 
\[
\hat{H}^H(t)=\hat{H}^S
+
\hat{H}^H(t)=\hat{H}^S.
 +
\]
 +
Pak také
 +
\[
 +
  \komut{\hat{U}(t,t_0)}{\hat{H}^S} = 0, \qquad
 +
  \frac{d}{dt} A^H(t) = \komut{A^H(t)}{H^S}
 
\]
 
\]
 +
pro $A^S \ne A^S(t)$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
  
Řádka 442: Řádka 478:
 
\subsubsection{Diracova reprezentace} \label{KapitolaDiracovaReprezentace}
 
\subsubsection{Diracova reprezentace} \label{KapitolaDiracovaReprezentace}
 
%============================
 
%============================
Poruchový obraz, jak je někdy Diracova reprezentace nazývána, kombinuje vlastnosti Schrödingerovy a Heissenbergovy reprezentace a s výhodou se užívá u některých výpočtů s časově závislou poruchou. Předpokládejme hamiltonián ve tvaru
+
\textbf{Poruchový} nebo \textbf{interakční obraz}, jak je někdy Diracova reprezentace nazývána, kombinuje vlastnosti Schrödingerovy a Heisenbergovy reprezentace a s výhodou se užívá u některých výpočtů s časově závislou poruchou (viz kapitola 5). Předpokládejme hamiltonián ve tvaru
 
\[
 
\[
 
\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t),
 
\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t),
 
\]
 
\]
kde umíme řešit Schrödingerovu rovnici s $\hat{H}_0 \neq \hat{H}_0(t)$ a člen $\hat{V} (t)$ představuje (malou) časově závislou poruchu. Definujme nyní operátor $\hat{U}_0$ způsobem
+
kde umíme řešit Schrödingerovu rovnici s $\hat{H}_0 \neq \hat{H}_0(t)$ a člen $\hat{V} (t)$ představuje jeho časově závislou poruchu. Definujme nyní operátor $\hat{U}_0$ způsobem
 
\begin{equation} \label{ZQM:DirEvOp}
 
\begin{equation} \label{ZQM:DirEvOp}
 
\hat{U}_0 (t,t_1) = \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 (t-t_1) \right).
 
\hat{U}_0 (t,t_1) = \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 (t-t_1) \right).
Řádka 455: Řádka 491:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Podobně jako u Heissenbergovy reprezentace definujeme vlnovou funkci v Diracově reprezentaci $\ket{\psi^D(t)}$ a operátor $\hat{A}^D$ pomocí nového unitárního operátoru $\hat{U}_0$ způsobem  
+
Podobně jako u Heisenbergovy reprezentace definujeme vlnovou funkci v Diracově reprezentaci $\ket{\psi^D(t)}$ a operátor $\hat{A}^D$ pomocí nového unitárního operátoru $\hat{U}_0$ způsobem  
 
\begin{subequations}
 
\begin{subequations}
 
\begin{align}
 
\begin{align}
\ket{\psi^D(t)} &= \hat{U}_0^+(t,t_0) \ket{\psi^S(t)}, \label{ZQM:DirVec} \\
+
\ket{\psi^D(t)} &= \hat{U}_0^\dagger(t,t_0) \ket{\psi^S(t)}, \label{ZQM:DirVec} \\
\hat{A}^D(t) &= \hat{U}_0^+(t,t_0) \hat{A}^S(t) \hat{U}_0(t,t_0). \label{ZQM:DirOp}
+
\hat{A}^D(t) &= \hat{U}_0^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S(t) \hat{U}_0(t,t_0). \label{ZQM:DirOp}
 
\end{align}
 
\end{align}
 
\end{subequations}
 
\end{subequations}
Řádka 466: Řádka 502:
 
\[
 
\[
 
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} =  
 
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} =  
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left( \hat{U}_0^+ \right) \ket{\psi^S} +  
+
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left( \hat{U}_0^\dagger \right) \ket{\psi^S} +  
i\hbar \hat{U}_0^+ \frac{\partial}{\partial t} \left( \ket{\psi^S} \right),
+
i\hbar \hat{U}_0^\dagger \frac{\partial}{\partial t} \left( \ket{\psi^S} \right),
 
\]
 
\]
kde užijeme rovnosti \eqref{ZQM:DirOpEq} pro časovou derivaci operátoru $\hat{U}_0^+$ a Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} pro časovou derivaci $\ket{\psi^S}$
+
kde užijeme rovnosti \eqref{ZQM:DirOpEq} pro časovou derivaci operátoru $\hat{U}_0^\dagger$ a Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} pro časovou derivaci $\ket{\psi^S}$
 
\[
 
\[
 
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} =  
 
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} =  
i\hbar \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat{U}_0^+ \hat{H}_0 \right) \ket{\psi^S} +  
+
i\hbar \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat{U}_0^\dagger \hat{H}_0 \right) \ket{\psi^S} +  
i\hbar \hat{U}_0^+ \left(\frac{1}{i\hbar} \hat{H} \ket{\psi^S} \right).
+
i\hbar \hat{U}_0^\dagger \left(\frac{1}{i\hbar} \hat{H} \ket{\psi^S} \right).
 
\]
 
\]
Dále přechodem k Diracově reprezentaci pomocí vztahů \eqref{ZQM:DirVec} \eqref{ZQM:DirOp} dostáváme kýžený výsledek
+
Dále přechodem k Diracově reprezentaci pomocí vztahů \eqref{ZQM:DirVec} \eqref{ZQM:DirOp} dostáváme
 
\begin{align} \label{ZQM:DirVF}
 
\begin{align} \label{ZQM:DirVF}
 
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} &=  
 
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} &=  
- \hat{U}_0^+ \hat{H}_0 \hat{U}_0 \ket{\psi^D} + \hat{U}_0^+ \hat{H} \hat{U}_0 \ket{\psi^D} =
+
- \hat{U}_0^\dagger \hat{H}_0 \hat{U}_0 \ket{\psi^D} + \hat{U}_0^\dagger \hat{H} \hat{U}_0 \ket{\psi^D} =
 
- \hat{H}_0^D \ket{\psi^D} + \hat{H}^D \ket{\psi^D} =    \nonumber \\
 
- \hat{H}_0^D \ket{\psi^D} + \hat{H}^D \ket{\psi^D} =    \nonumber \\
 
&= \hat{V}^D(t) \ket{\psi^D(t)}.
 
&= \hat{V}^D(t) \ket{\psi^D(t)}.
 
\end{align}
 
\end{align}
  
Stejným postupem jako u Heissenbergovy reprezentace bychom odvodili z rovnosti \eqref{ZQM:DirOp} vztah pro časovou derivaci operátoru
+
Stejným postupem jako u Heisenbergovy reprezentace bychom odvodili z rovnosti \eqref{ZQM:DirOp} vztah pro časovou derivaci operátoru
 
\begin{equation} \label{ZQM:DirOpTime}
 
\begin{equation} \label{ZQM:DirOpTime}
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{A}^D(t) = \komut{\hat{A}^D(t)}{\hat{H}_0^D(t)}.
+
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{A}^D(t) = \komut{\hat{A}^D(t)}{\hat{H}_0}
 +
+ i\hbar \hat{U}_0^\dagger(t,t_0) \frac{d}{dt} \bigl(\hat{A}^S(t)\bigr) \hat{U}_0(t,t_0).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
 
V Diracově reprezentaci se část dynamiky systému odráží v časové závislosti stavových vektorů \eqref{ZQM:DirVF} a část v závislosti operátorů odpovídajících dynamickým proměnným \eqref{ZQM:DirOpTime}.
 
V Diracově reprezentaci se část dynamiky systému odráží v časové závislosti stavových vektorů \eqref{ZQM:DirVF} a část v závislosti operátorů odpovídajících dynamickým proměnným \eqref{ZQM:DirOpTime}.
  
Tato reprezentace je výhodná, pokud umíme najít evoluční operátor příslušející $\hat{H}_0$ (výraz \eqref{ZQM:DirEvOp}) a chceme poruchovým výpočtem zjistit, jaký je časový vývoj systému v případě započtení časově závislého potenciálu $\hat{V}(t)$.
+
Tato reprezentace je výhodná, pokud umíme najít evoluční operátor příslušející $\hat{H}_0$ (výraz \eqref{ZQM:DirEvOp}) a chceme poruchovým výpočtem zjistit, jaký je časový vývoj systému v~případě započtení časově závislého potenciálu $\hat{V}(t)$.
  
 
\begin{example}
 
\begin{example}
Zapište operátor polohy a hybnosti částice v homogenním gravitačním poli v Heissenbergově reprezentaci.
+
Zapište operátor polohy a hybnosti částice v homogenním gravitačním poli v~Heisenbergově reprezentaci.
  
Budeme uvažovat jednorozměrný případ. Hamiltonián částice ve Schrödingerově reprezentaci známe
+
Budeme uvažovat jednorozměrný případ. Hamiltonián částice ve Schrödingerově reprezentaci známe%
 
\footnote{V dalším operátory bez indexu budou představovat operátory ve Schrödingerově reprezentaci.}
 
\footnote{V dalším operátory bez indexu budou představovat operátory ve Schrödingerově reprezentaci.}
 
\[
 
\[
Řádka 510: Řádka 547:
 
\frac{d \hat{p}^H(t)}{dt} = - mg.
 
\frac{d \hat{p}^H(t)}{dt} = - mg.
 
\]
 
\]
Tuto soustavu můžeme z důvodu vzájemné komutace operátorů řešit stejně jako rovnice pro $c-$číselné funkce. Dospíváme tak k řešení
+
Tuto soustavu můžeme řešit stejně jako rovnice pro číselné funkce. Dospíváme tak k řešení%
\footnote{Místo číselných integračních konstant získáváme však koeficienty operátorové}
+
\footnote{Místo číselných integračních konstant získáváme však koeficienty operátorové.}
 
\[
 
\[
 
\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{C}_1; \quad
 
\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{C}_1; \quad
 
\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{C}_1 t}{m} + \hat{C}_2.
 
\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{C}_1 t}{m} + \hat{C}_2.
 
\]
 
\]
Pokud k úloze dodáme požadavek, aby v čase $t=0$ byli operátory polohy a hybnosti v obou reprezentacích totožné, tedy $\hat{p}^H(0) = \hat{p}_0$, $\hat{x}^H(0) = \hat{x}_0$, získáváme neurčené operátory $\hat{C}_1$, $\hat{C}_2$
+
Pokud k úloze dodáme požadavek, aby v čase $t=0$ byly operátory polohy a hybnosti v obou reprezentacích totožné, tedy $\hat{p}^H(0) = \hat{p}_0$, $\hat{x}^H(0) = \hat{x}_0$, získáváme neurčené operátory $\hat{C}_1$, $\hat{C}_2$
 
\[
 
\[
 
\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{p}_0; \quad
 
\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{p}_0; \quad
 
\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{p}_0 t}{m} + \hat{x}_0.
 
\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{p}_0 t}{m} + \hat{x}_0.
 
\]
 
\]
Podíváme se ještě na vývoj středních hodnot. Jestliže počáteční střední hodnoty operátorů ve Schrödingerově reprezentaci měli hodnoty $\stredni{\hat{p}}_{\psi_0} = p_0$, $\stredni{\hat{x}}_{\psi_0} = x_0$, dostáváme povědomý časový vývoj operátorů v Heissenbergově reprezentaci
+
Podíváme se ještě na vývoj středních hodnot. Jestliže počáteční střední hodnoty operátorů ve Schrödingerově reprezentaci měly hodnoty $\stredni{\hat{p}}_{\psi_0} = p_0$, $\stredni{\hat{x}}_{\psi_0} = x_0$, dostáváme známý časový vývoj operátorů v Heisenbergově reprezentaci
 
\[
 
\[
 
\stredni{\hat{p}^H(t)}_{\psi} = p_0 - mgt, \quad
 
\stredni{\hat{p}^H(t)}_{\psi} = p_0 - mgt, \quad
Řádka 530: Řádka 567:
  
 
\begin{example}
 
\begin{example}
Určete časový vývoj operátoru komponenty spinu elektronu v homogenním magnetickém poli $\vec{B}=(0,0,B)$. Gravitaci neuvažujte. Užijte Heissenbergovu reprezentaci.
+
Určete časový vývoj operátoru komponenty spinu elektronu v homogenním magnetickém poli $\vec{B}=(0,0,B)$. Gravitaci neuvažujte. Užijte Heisenbergovu reprezentaci.
  
 
Hamiltonián nabité částice v magnetickém poli má tvar
 
Hamiltonián nabité částice v magnetickém poli má tvar
Řádka 536: Řádka 573:
 
\hat{H} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B},
 
\hat{H} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B},
 
\]
 
\]
\noindent kde $\hat{\vec{\mu}}$ představuje operátor vlastního magnetického momentu (spinu), jež je definován pomocí operátoru komponent spinu $\hat{\vec{s}}$
+
\noindent kde $\hat{\vec{\mu}}$ představuje operátor vlastního magnetického momentu (spinu), jenž je definován pomocí operátoru komponent spinu $\hat{\vec{s}}$
 
\[
 
\[
 
\hat{\vec{\mu}} = \frac{\mu \hat{\vec{s}}}{s}; \quad
 
\hat{\vec{\mu}} = \frac{\mu \hat{\vec{s}}}{s}; \quad
 
\hat{\vec{s}} = \frac{1}{2} (\hat{\sigma}_1, \hat{\sigma}_2, \hat{\sigma}_3).
 
\hat{\vec{s}} = \frac{1}{2} (\hat{\sigma}_1, \hat{\sigma}_2, \hat{\sigma}_3).
 
\]
 
\]
Magnetický moment $\mu$ nabývá pro elektron hodnoty $\mu = \frac{e \hbar}{2 m_e c}$ a spin $s=1/2$. $\hat{\sigma}_i$ představuje \textit{Pauliho matice}
+
Magnetický moment $\mu$ nabývá pro elektron hodnoty $\mu = \frac{e \hbar}{2 m_e c}$ a spin $s=1/2$. $\hat{\sigma}_i$ představují Pauliho matice
  
 
\begin{equation}  \label{ZQM:PaulihoMatice}
 
\begin{equation}  \label{ZQM:PaulihoMatice}
\hat{\sigma}_1 = \left( \begin{array}{cc}
+
\hat{\sigma}_1 = \begin{pmatrix}
 
     0 & 1 \\
 
     0 & 1 \\
     1 & 0 \\ \end{array} \right), \quad
+
     1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad
   \hat{\sigma}_2 = \left( \begin{array}{cc}
+
   \hat{\sigma}_2 = \begin{pmatrix}
 
     0 & -i \\
 
     0 & -i \\
     i & 0 \\ \end{array} \right), \quad
+
     i & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad
   \hat{\sigma}_3 = \left( \begin{array}{cc}
+
   \hat{\sigma}_3 = \begin{pmatrix}
 
     1 & 0 \\
 
     1 & 0 \\
     0 & -1 \\ \end{array} \right),
+
     0 & -1 \\ \end{pmatrix},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
jež vyhovují komutačním relacím
 
jež vyhovují komutačním relacím
Řádka 569: Řádka 606:
 
\frac{d \hat{\sigma}_3^H (t)}{dt} = 0,
 
\frac{d \hat{\sigma}_3^H (t)}{dt} = 0,
 
\]
 
\]
jež doplněním počátečních podmínek $\hat{\sigma}_i^H (0) = \hat{\sigma}_i$ (podmínka stejného tvaru operátorů v Heissenbergově a Schrödingerově reprezentaci v počátečním čase) vede na řešení
+
jež doplněním počátečních podmínek $\hat{\sigma}_i^H (0) = \hat{\sigma}_i$ (podmínka stejného tvaru operátorů v Heisenbergově a Schrödingerově reprezentaci v počátečním čase) vede na řešení
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
 
\hat{\sigma}_1^H (t) &= \hat{\sigma}_1 \cos(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \sin(\mu_0 Bt), \quad
 
\hat{\sigma}_1^H (t) &= \hat{\sigma}_1 \cos(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \sin(\mu_0 Bt), \quad
Řádka 575: Řádka 612:
 
\hat{\sigma}_2^H (t) &= - \hat{\sigma}_1 \sin(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \cos(\mu_0 Bt).
 
\hat{\sigma}_2^H (t) &= - \hat{\sigma}_1 \sin(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \cos(\mu_0 Bt).
 
\end{align*}
 
\end{align*}
Pokud vektor projekce spinu $\vec{p}$  
+
Pokud vektor projekce spinu $\vec{p}$ měl v počátečním čase tvar  
\footnote{Tento vektor udává např. směr polarizace}
+
měl v počátečním čase tvar  
+
 
\[
 
\[
 
\vec{p} = (p_1, p_2, p_3) = (\stredni{\hat{\sigma}_1}_{\ket{\psi_0}}, \stredni{\hat{\sigma}_2}_{\ket{\psi_0}},  
 
\vec{p} = (p_1, p_2, p_3) = (\stredni{\hat{\sigma}_1}_{\ket{\psi_0}}, \stredni{\hat{\sigma}_2}_{\ket{\psi_0}},  
 
\stredni{\hat{\sigma}_3}_{\ket{\psi_0}}), \quad \norm{\vec{p}} = 1,
 
\stredni{\hat{\sigma}_3}_{\ket{\psi_0}}), \quad \norm{\vec{p}} = 1,
 
\]  
 
\]  
je vývoj středních hodnoty $\stredni{\hat{\sigma}_i^H(t)}_{\psi}$ (a tedy i vývoj projekce spinu $\vec{p}(t)$) určen rovnicemi
+
je vývoj středních hodnot $\stredni{\hat{\sigma}_i^H(t)}_{\psi}$ (a tedy i vývoj projekce spinu $\vec{p}(t)$) určen rovnicemi
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
 
\stredni{\hat{\sigma}_1^H (t)}_{\psi} &= p_1 \cos(\mu_0 Bt) + p_2 \sin(\mu_0 Bt), \\
 
\stredni{\hat{\sigma}_1^H (t)}_{\psi} &= p_1 \cos(\mu_0 Bt) + p_2 \sin(\mu_0 Bt), \\
Řádka 589: Řádka 624:
 
\end{align*}
 
\end{align*}
  
Vlivem magnetického pole tedy dochází k otáčení roviny polarizace.
+
Vlivem magnetického pole tedy dochází k precesi spinu elektronu.
 
\end{example}
 
\end{example}
  
 
\begin{example}
 
\begin{example}
Mějme elektron v rotujícím magnetickém poli $\vec{B}=(B_1cos(\omega t),B_1sin(\omega t),B_0)$. Určete jeho stav v libovolném čase. Magnetické pole je dostatečně silné, aby bylo možné gravitaci zanedbat.
+
Mějme elektron v rotujícím magnetickém poli $\vec{B}=(B_1\cos(\omega t),B_1\sin(\omega t),B_0)$. Určete jeho stav v libovolném čase. Magnetické pole je dostatečně silné, aby bylo možné gravitaci zanedbat. Užijte Diracovu reprezentaci.
  
 
Hamiltonián má tvar (viz předchozí příklad)
 
Hamiltonián má tvar (viz předchozí příklad)
Řádka 601: Řádka 636:
 
- \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
 
- \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
 
\]
 
\]
S výhodou zde užijeme Diracovy reprezentace, kde označíme
+
Pro užití Diracovy reprezentace oddělíme časově nezávislou část $\hat{H}$ (stejnou jako v minulém příkladě) od časově závislé:
 
\begin{equation}  \label{ZQM:DirPriklad}
 
\begin{equation}  \label{ZQM:DirPriklad}
 
\hat{H}_0 = - \frac{\mu_0 \hbar B}{2} \hat{\sigma_3}; \quad
 
\hat{H}_0 = - \frac{\mu_0 \hbar B}{2} \hat{\sigma_3}; \quad
 
\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
 
\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Časový vývoj stavu v Diracově reprezentaci je určen rovnicí \eqref{ZQM:DirVF}. Potřebujeme tedy určit operátor $\hat{V}^D(t)$, k čemuž máme dvě možnosti. Použít rovnost \eqref{ZQM:DirOpTime} a získat tak časovou derivaci $\frac{d}{dt}(\hat{V}^D(t))$. Takto jsme však postupovali v předchozích dvou příkladech. Užijeme proto nyní přímo definice transformace \eqref{ZQM:DirVec} k nalezení $\hat{V}^D(t)$. Musíme tedy určit unitární operátoru $\hat{U}_0(t)$. Zjednodušme jeho definici \eqref{ZQM:DirEvOp} volbou $t_1=0$
+
Časový vývoj stavu v Diracově reprezentaci je určen rovnicí \eqref{ZQM:DirVF}. Potřebujeme tedy určit operátor $\hat{V}^D(t)$, k čemuž máme dvě možnosti. Použít rovnost \eqref{ZQM:DirOpTime} a získat tak časovou derivaci $\frac{d}{dt}(\hat{V}^D(t))$. To však kvůli vlastní časové závislosti $\hat{V}(t)$ nedá nijak elegantní rovnici, navíc jsme tak již postupovali v předchozích dvou příkladech. Užijeme proto nyní přímo definice transformace \eqref{ZQM:DirVec} k nalezení $\hat{V}^D(t)$. Musíme tedy určit unitární operátoru $\hat{U}_0(t)$. Zjednodušme jeho definici \eqref{ZQM:DirEvOp} volbou $t_1=0$
 
\[
 
\[
 
\hat{U}_0(t) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 t  \right) =  
 
\hat{U}_0(t) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 t  \right) =  
Řádka 614: Řádka 649:
 
\[
 
\[
 
\exp \left( i \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}} \right) =
 
\exp \left( i \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}} \right) =
\cos(\alpha) \mathbb{I} \cdot + i \sin(\alpha) \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}},
+
\cos(\alpha) \opone + i \sin(\alpha) \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}},
 
\]
 
\]
 
kde $\alpha \in \komplex$, $\norm{\vec{n}}=1$, $\hat{\vec{\sigma}}=(\hat{\sigma}_1,\hat{\sigma}_2,\hat{\sigma}_3)$ a $\hat{\sigma_i}$ představuje Pauliho matice \eqref{ZQM:PaulihoMatice}. Jeho použitím dostáváme
 
kde $\alpha \in \komplex$, $\norm{\vec{n}}=1$, $\hat{\vec{\sigma}}=(\hat{\sigma}_1,\hat{\sigma}_2,\hat{\sigma}_3)$ a $\hat{\sigma_i}$ představuje Pauliho matice \eqref{ZQM:PaulihoMatice}. Jeho použitím dostáváme
 
\[
 
\[
\hat{U}_0 (t) =  \left( \begin{array}{cc}
+
\hat{U}_0 (t) =  \begin{pmatrix}
 
     \exp \left( i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) & 0 \\
 
     \exp \left( i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) & 0 \\
 
     0 & \exp \left( - i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) \\
 
     0 & \exp \left( - i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) \\
   \end{array} \right).
+
   \end{pmatrix}.
 
\]
 
\]
 
Interakční hamiltonián $\hat{V}(t)$ (viz \eqref{ZQM:DirPriklad}) je možno rovněž zapsat maticově
 
Interakční hamiltonián $\hat{V}(t)$ (viz \eqref{ZQM:DirPriklad}) je možno rovněž zapsat maticově
 
\[
 
\[
\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left( \begin{array}{cc}
+
\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \begin{pmatrix}
 
     0 & \exp \left( - i \omega t \right) \\
 
     0 & \exp \left( - i \omega t \right) \\
 
     \exp \left( i \omega t \right) & 0    \\
 
     \exp \left( i \omega t \right) & 0    \\
   \end{array} \right).
+
   \end{pmatrix}.
 
\]  
 
\]  
 
Tím však máme vše připraveno pro určení $\hat{V}^D(t)$. Na základě \eqref{ZQM:DirOp} můžeme psát
 
Tím však máme vše připraveno pro určení $\hat{V}^D(t)$. Na základě \eqref{ZQM:DirOp} můžeme psát
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
\hat{V}^D(t) &= \hat{U}_0^+(t) \hat{V}(t) \hat{U}_0(t) = \\
+
\hat{V}^D(t) &= \hat{U}_0^\dagger(t) \hat{V}(t) \hat{U}_0(t) = \\
 
&= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}
 
&= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}
\left( \begin{array}{cc}
+
\begin{pmatrix}
 
     e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 \\
 
     e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 \\
 
     0 & e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
 
     0 & e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
   \end{array} \right) 
+
   \end{pmatrix}
  \left( \begin{array}{cc}
+
      \begin{pmatrix}
 
     0 & e^{- i \omega t} \\
 
     0 & e^{- i \omega t} \\
 
     e^{i \omega t} & 0    \\
 
     e^{i \omega t} & 0    \\
   \end{array} \right)
+
   \end{pmatrix}
\left( \begin{array}{cc}
+
      \begin{pmatrix}
 
     e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 \\
 
     e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 \\
 
     0 & e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
 
     0 & e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
  \end{array} \right)
+
      \end{pmatrix}
 
\end{align*}
 
\end{align*}
 
a po roznásobení matic
 
a po roznásobení matic
 
\[
 
\[
 
\hat{V}^D(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}  
 
\hat{V}^D(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}  
\left( \begin{array}{cc}
+
\begin{pmatrix}
 
     0 & \exp \left[-i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \\
 
     0 & \exp \left[-i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \\
 
     \exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] & 0    \\
 
     \exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] & 0    \\
   \end{array} \right).
+
   \end{pmatrix}.
 
\]
 
\]
 
Stav částice se spinem je popsán vektorem  
 
Stav částice se spinem je popsán vektorem  
 
$\ket{\psi^D(t)} =
 
$\ket{\psi^D(t)} =
\left(\begin{array}{c}
+
\begin{pmatrix}
 
     \ket{\psi_1(t)} \\
 
     \ket{\psi_1(t)} \\
 
     \ket{\psi_2(t)} \\
 
     \ket{\psi_2(t)} \\
   \end{array} \right)$.
+
   \end{pmatrix}$.
 
Rovnice \eqref{ZQM:DirVF} přechází po dosazení na soustavu
 
Rovnice \eqref{ZQM:DirVF} přechází po dosazení na soustavu
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
Řádka 668: Řádka 703:
 
\exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \ket{\psi_1}.
 
\exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \ket{\psi_1}.
 
\end{align*}
 
\end{align*}
Tím tento příklad uzavřeme.
+
Tím tento příklad i kapitolu uzavřeme.
 
\end{example}
 
\end{example}

Aktuální verze z 13. 6. 2018, 13:00

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVAN2Hoskoant 6. 5. 201411:44
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůPotocvac 12. 6. 201711:17
Header editovatHlavičkový souborPotocvac 12. 6. 201718:07 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaHoskoant 6. 5. 201410:48 predmluva.tex
Kapitola1 editovatAlgebraická teorie momentu hybnostiPotocvac 8. 6. 201813:31 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatTenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorémKubuondr 13. 6. 201812:22 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatDalší ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechanikyKubuondr 13. 6. 201813:00 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatMatice hustoty a smíšené kvantové stavyKubuondr 12. 6. 201809:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPřibližné metody v kvantové mechaniceKubuondr 9. 6. 201821:23 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatPropagátorPotocvac 3. 5. 201816:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatDráhový integrálKubuondr 5. 4. 202017:09 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTeorie rozptyluKubuondr 13. 6. 201807:54 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPartiční sumaKubuondr 13. 6. 201808:14 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatReprezentace vícečásticových systémůKubuondr 11. 6. 201809:34 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatKvantování klasických políKubuondr 13. 6. 201810:45 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatLiteraturaHoskoant 6. 5. 201410:53 kapitolaA.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:wkb-1.pdf wkb-1.pdf
Image:wkb-2.pdf wkb-2.pdf
Image:wkb-3.pdf wkb-3.pdf
Image:wkb-4.pdf wkb-4.pdf
Image:wkb-5.pdf wkb-5.pdf
Image:wkb-ho.pdf wkb-ho.pdf
Image:itw-1.pdf itw-1.pdf
Image:drahy-1.pdf drahy-1.pdf
Image:drahy-2.pdf drahy-2.pdf
Image:feynman-1.pdf feynman-1.pdf
Image:feynman-2.pdf feynman-2.pdf
Image:feynman-3.pdf feynman-3.pdf
Image:feynman-4.pdf feynman-4.pdf
Image:rozptyl-1.pdf rozptyl-1.pdf
Image:rozptyl-2.pdf rozptyl-2.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
\section{Další ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechaniky}
 
%==============================================
\subsection{Jiný výběr báze Hilbertova prostoru}
%==============================================
Pro jednoduchost budeme v celé kapitole předpokládat bezespinovou částici v $\real^3$, příp. $\real$. Případná zobecnění na částici se spinem, popř. systémy více částic budou zřejmá.
 
Závislost vlnové funkce $\psi(\vec{x})$ na $x$ lze psát
\begin{equation} \label{ZQM:VBHpsix}
	\psi(\vec{x}) = \int \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}) \psi(\vec{y}) d^3y = \braket{\vec{x}}{\psi}
\end{equation} 
a chápat ji jako skalární součin abstraktního vektoru $\ket{\psi}$ a zobecněného vlastního vektoru polohy $\ket{\vec{x}}$:
$\hat{\vec{X}} \ket{\vec{x}} = \vec{x} \ket{\vec{x}}$, vyjádřeného zobecněnou vlnovou funkcí
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketx}
	\psi_{\vec{x}} (\vec{y}) = \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}).
\end{equation}
 
Přestože symboly $\ket{\vec x}$ netvoří bázi Hilbertova prostoru (ani nejsou jeho prvky), v~mnoha případech s nimi lze pracovat, jako by tvořily. Například můžeme formálně psát
\begin{equation} \label{ZQM:VBHjedn}
  \int \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}} d^3x = \opone,
\end{equation}
což interpretujeme jako možnost vložit takový „rozklad jednotky“ na libovolné místo, kam by šel vložit jednotkový operátor, jako ku příkladu mezi vektory ve skalárním součinu:
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \braket{\varphi}{\psi} &=
    \int \varphi(\vec x)^\ast \psi(\vec x) d^3x
    = \int \left( \braket{\vec{x}}{\varphi} \right)^\ast \braket{\vec{x}}{\psi} d^3x =\\
    &= \int \braket{\varphi}{\vec x} \braket{\vec{x}}{\psi} d^3x
    = \bra{\varphi} \underbrace{ \left( \int \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}} d^3x \right) }_{\opone} \ket{\psi}
  \end{aligned}
\end{equation*}
Aplikací rozkladu jednotky \eqref{ZQM:VBHjedn} na $\ket{\psi}$ získáváme
\begin{equation*}
\ket{\psi} = \opone\ket{\psi} = \int \ket{\vec{x}} \braket{\vec{x}}{\psi} d^3x 
= \int \psi(\vec x) \ket{\vec{x}} d^3x,
\end{equation*}
kde hodnoty $\psi(\vec x)$ zastupují funkci Fourierových koeficientů, se 
kterými se tvarem pravé strany \eqref{ZQM:VBHpsix} shodují.
 
S rovnicí \eqref{ZQM:VBHketx} se lze setkat ve tvaru
\begin{equation*}
\braket{\vec{y}}{\vec{x}} = \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}),
\end{equation*}
který vypadá jako definiční předpis ortonormální báze, ale s normalizací k $\delta$-funkci místo k jedničce. Matematicky však nelze mluvit o skalárním součinu zobecněných vlastních vektorů odpovídajícím konkrétním hodnotám $\vec{x}$ a $\vec{y}$ z důvodu $\ket{\vec{x}}, \ket{\vec{y}} \not\in \hilbert$.
 
Až dosud jsme budovali kvantovou mechaniku zapsanou v této „spojité bázi“ tvořené zobecněnými vlastními vektory operátoru polohy $\hat{\vec{X}}$ (tzv. polohová neboli $x$- nebo $q$-reprezentace kvantové mechaniky). Pochopitelně je možno pracovat i v jiných bázích. Často se lze setkat s
\begin{enumerate}[$(1)$]
	\item bází tvořenou vlastními vektory hybnosti $\ket{\vec{p}}$:
				$\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = \vec{p} \ket{\vec{p}}$
				(hybnostní neboli $p$-reprezentace),
	\item bází tvořenou ÚMP obsahující hamiltonián $\hat{H}$ (energetická reprezentace).
\end{enumerate}
 
V těchto bázích můžeme vyjadřovat nejen stavové vektory, ale i operátory, a tak se zcela od $x$-reprezentace odpoutat. Uvědomme si nejprve, jak předpis operátorů odráží $x$-reprezentaci v nám známých případech. Vezměme libovolný operátor $\hat{A}$, dva stavy $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi} \in \hilbert$ a zkoumejme výraz $\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi}$. Pro zobecněné vektory polohy $\ket{\vec{x}}$, $\ket{\vec{y}}$ můžeme na základě \eqref{ZQM:VBHpsix}, \eqref{ZQM:VBHjedn} psát
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA1}
	\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &=
	\bra{\varphi} \left( \int d^3x \: \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}}  \right) \hat{A}
	\left( \int d^3y \: \ket{\vec{y}} \bra{\vec{y}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
	&= \int d^3x \int d^3y \: \braket{\varphi}{\vec{x}} \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \braket{\vec{y}}{\psi} =
	\int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})} \, \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \, \psi(\vec{y}).
\end{align}
Zde výraz $\brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}}$ představuje maticový element operátoru $\hat{A}$ v bázi $(\ket{\vec{x}})_{\vec{x}\in\real^3}$. Zkusme určit tento element pro operátory $\hat{X}_i$, $\hat{P}_i$, jež jsme zvyklí definovat přes jejich působení na vlnovou funkci $\psi(\vec{x})$. Užitím \eqref{ZQM:VBHketx} je možno hledaný součin psát jako
\begin{align*}
	\brapigket{\vec{x}}{\hat{X}_i}{\vec{y}} &= \int d^3z \: \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{x}) z_i \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y})
			= x_i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}), \\
	\brapigket{\vec{x}}{\hat{P}_i}{\vec{y}} &= \int d^3z \: \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{x}) \left( -i \hbar \parcder{}{z_i} \right) 
			\delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y}) = -i \hbar \parcder{}{x_i} \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}).		
\end{align*}
Tyto maticové elementy jakožto funkce $\vec{x}$ a $\vec{y}$ ekvivalentně vyjadřují vztahy běžně zapisované jako $\hat{X} = x\times, \hat{P} = -i\hbar \hat{\nabla}$, jak se můžeme přesvědčit. Vidíme, že se v nich objevují distribuce. Ty nabývají konkrétního fyzikálního významu až ve skalárním součinu \eqref{ZQM:VBHmatreprA1}. Například pro skalární součin s operátorem $\hat{X}_i$ platí na základě předposlední rovnosti
\[
	\brapigket{\varphi}{\hat{X}_i}{\psi} = \int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})} 
		x_i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}) \psi(\vec{y}) = 
	\int d^3x \: \overline{\varphi(\vec{x})} x_i \psi(\vec{x}),
\]
což je nám důvěrně známý skalární součin.
 
 
%============================
\subsubsection{Hybnostní reprezentace}
%============================
Vlastní funkcí operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ v $x$-reprezentaci je funkce $\ket{\vec{p}}$ splňující
\[
	\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = \vec{p} \ket{\vec{p}}.
\]
Této rovnici vyhovují (v $x$-reprezentaci) funkce $\ket{\vec{p}} \buildrel \wedge\over= \psi_{\vec{p}}(\vec{x})$, jež jsou číselným násobkem funkce $e^{\frac{i \vec{p} \cdot \vec{x}}{\hbar}}$, přičemž z důvodu normalizace k $\delta$-funkci se volí
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp1}
	\psi_{\vec{p}}(\vec{x}) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} =: \braket{\vec{x}}{\vec{p}}.
\end{equation}
Vlastní vektory $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ pak splňují
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp2}
	\int d^3p \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}} = \opone, \quad \braket{\vec{p}}{\vec{q}} = \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{q}).
\end{equation}
 
Vlnovou funkci $\psi^P(\vec{p})$ v hybnostní reprezentaci budeme zapisovat způsobem (podle vzoru zavedeného v $x$-reprezentaci)
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp3}
	\psi^P(\vec{p}) = \braket{\vec{p}}{\psi}.
\end{equation} 
 
Nyní se budeme věnovat otázce, jaký je vztah mezi $\psi^P(\vec{p})$ a $\psi(\vec{x})$. Zřejmě na základě \eqref{ZQM:VBHjedn},  \eqref{ZQM:VBHketp1} a \eqref{ZQM:VBHketp2} platí
\begin{align*}
	\psi^P(\vec{p}) &= \braket{\vec{p}}{\psi} = \int d^3x \: \braket{\vec{p}}{\vec{x}} \braket{\vec{x}}{\psi} =
		\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi(\vec{x}) d^3x, \\
	\psi(\vec{x}) &= \braket{\vec{x}}{\psi} = \int d^3p \: \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \braket{\vec{p}}{\psi} =
		\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi^P(\vec{p}) d^3p,	
\end{align*}
převodním vztahem je tedy přímá a zpětná Fourierova transformace. Díky normalizační konstantě zvolené v \eqref{ZQM:VBHketp1} se jedná o unitární verzi Fourierovy transformace, která zachovává $L^2$ normu funkcí, tedy platí
\begin{equation*}
  \int \bigl| \psi(\vec{x}) \bigr|^2 d^3x = 1
  \quad \Leftrightarrow \quad
  \int \bigl| \psi^P(\vec{p}) \bigr|^2 d^3p = 1.
\end{equation*}
Do nové báze $(\ket{\vec{p}})$ je však třeba převést i operátory. Buď $\hat{A}$ libovolný operátor na $\hilbert$, $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi}$ dva stavy na $\hilbert$ (v $x$-reprezentaci), $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ zobecněné vlastní funkce operátoru $\hat{\vec{P}}$. Potom na základě \eqref{ZQM:VBHketp2}, \eqref{ZQM:VBHketp3} 
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA2}
	\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &= \bra{\varphi}
	\left( \int d^3p \: \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}}  \right) \hat{A}
	\left( \int d^3q \: \ket{\vec{q}} \bra{\vec{q}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
	&= \int d^3p \int d^3q \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \, \brapigket{\vec{p}}{\hat{A}}{\vec{q}} \, \psi^P(\vec{q}).
\end{align}
Opět zvolíme za $\hat{A}$ operátor $\hat{X}_i$ resp. $\hat{P}_i$, jejichž působení v $x$-reprezentaci známe. Nejprve využijeme explicitního vyjádření $\ket{\vec{p}}$ z \eqref{ZQM:VBHketp1} k určení maticového elementu operátoru $\hat{X}_i$ v bázi $(\ket{\vec{p}})_{\vec{p}\in\real^3}$
\[
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} =
	\int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} x_i 
		\exp\left\{\frac{i \vec{q}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\}.
\]
Jelikož se přes $x_i$ integruje, vyjádříme ho prostřednictvím derivace.
\begin{align*}
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} &= 
	\int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \left( -i\hbar\parcder{}{q_i}\right) 
		\exp\left\{\frac{i \vec{q}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} = \\
	&= -i\hbar\parcder{}{q_i} \int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3}
		\exp\left\{\frac{-i}{\hbar} (\vec{p} - \vec{q})\vec{x}\right\}.
\end{align*}
Poslední integrál je na základě \eqref{ZQM:VBHketp1}, \eqref{ZQM:VBHketp2} možno vyjádřit jako $\braket{\vec{p}}{\vec{q}} = \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})$, čímž převádíme hledaný maticový element do podoby
\begin{equation} \label{ZQM:VBHhybnx}
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} = -i\hbar\parcder{}{q_i} \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}) =
		i\hbar\parcder{}{p_i} \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).
\end{equation} 
 
Stejným způsobem nalezneme maticový element operátoru $\hat{P}_i$ v bázi vlastních funkcí operátoru hybnosti. 
\begin{align} \label{ZQM:VBHhybnp}
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{P}_i}{\vec{q}} &= 
		\int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\}
		\left( - i \hbar \parcder{}{x_i}  \right)
		\exp\left\{\frac{i \vec{q}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} = \nonumber \\
		&= q_i \int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i}{\hbar} (\vec{p} - \vec{q})\vec{x}\right\} =
		q_i \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).
\end{align}
 
Dosazením \eqref{ZQM:VBHhybnx}, \eqref{ZQM:VBHhybnp} do \eqref{ZQM:VBHmatreprA2} získáváme podobu operátorů $\hat{X}_i^P$, $\hat{P}_i^P$ v hybnostní reprezentaci.
\begin{align*}
	\brapigket{\varphi}{\hat{X}_i^P}{\psi} &= \int d^3p \int d^3q \:
	   \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[i\hbar\parcder{}{p_i} \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})\right] \psi^P(\vec{q}) = \\
	   &= \int d^3p \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[i\hbar\parcder{}{p_i}\right] \psi^P(\vec{p}), \\
	\brapigket{\varphi}{\hat{P}_i^P}{\psi} &= \int d^3p \int d^3q \:
		\overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[ q_i \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}) \right] \psi^P(\vec{q}) = \\
		&= \int d^3p \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[p_i\right] \psi^P(\vec{p})
\end{align*}
a tedy operátor polohy, resp. hybnosti, nabývá v hybnostní reprezentaci podoby
\[
	\hat{X}_i^P = i \hbar \parcder{}{p_i}, \quad \text{resp.} \quad \hat{P}_i^P=p_i \times.
\]
 
Hybnostní reprezentace umožňuje díky triviálnímu tvaru operátoru $\hat{P}_i^P$ v jistých fyzikálních situacích přechod k jednoduššímu hamiltoniánu a tím k jednoduššímu řešení Schrödingerovy rovnice. Hamiltonián je v hybnostní reprezentaci možno zapsat
\[
	\hat{H}^P = \frac{\sum_i p_i^2 \times}{2M} + V\left( i \hbar \hat{\nabla}_p \right).
\]
V případě $V(\hat{\vec{x}}) \equiv 0$ je hamiltonián v $p$-reprezentaci triviální. Přechod k $p$-reprezentaci je výhodný i v případě závislosti $V$ na $\vec{x}$ nejvýše lineárního řádu. V ostatních případech nepřináší okamžité zjednodušení (stačí si představit hamiltonián v případě $V(\hat{\vec{x}}) \sim \frac{1}{\widehat{|\vec{x}|}}$).
 
\begin{remark}
	S $p$-reprezentací jsme se mlčky setkali již v zimě při řešení Schrödingerovy rovnice volné částice.
\end{remark}
 
 
%============================
\subsubsection{Energetická reprezentace}
%============================
Mějme dánu ÚMP obsahující $\hat{H}$. Předpokládejme čistě bodové spektrum $\hat{H}$. Nechť vlastní vektory ÚMP $(\ket{n})_{n\in\mathscr{I}}$ tvoří ortonormální bázi v $\hilbert$. Za předpokladu, že bázové vektory spadají do definičního oboru všech fyzikálně zajímavých operátorů, lze místo operátoru $\hat{A}$ počítat s příslušnou „nekonečněrozměrnou maticí“%
\footnote{V této formě kvantovou mechaniku zkoumali W. Heisenberg, M. Born a P. Jordan.}
operátoru $\hat{A}$ v~bázi $(\ket{n})_{n\in\mathscr{I}}$ 
\[
	\hat{A}_{nm} = \brapigket{n}{\hat{A}}{m}.
\]
Operátor $\hat{A}$ je tedy možno zapsat
\[
	\hat{A} = \sum_{n,m} \ket{n} \brapigket{n}{\hat{A}}{m} \bra{m} = \sum_{n,m} \ket{n} \hat{A}_{nm} \bra{m}
\]
a stejně pro operátor $\hat{A}\hat{B}$, pokud $\hat{A}\hat{B}$, $\hat{B}$ splňují stejné předpoklady jako operátor $\hat{A}$ výše
\begin{align*}
	\hat{A}\hat{B} &= \sum_{n,m} \ket{n} \brapigket{n}{\hat{A}\hat{B}}{m} \bra{m} = 
		\sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \brapigket{n}{\hat{A}}{k} \brapigket{k}{\hat{B}}{m} \right) \bra{m} = \\
	&= \sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \hat{A}_{nk} \hat{B}_{km} \right) \bra{m} =
		\sum_{n,m} \ket{n} (\hat{A} \cdot \hat{B})_{nm} \bra{m}.
\end{align*}
Skládání operátorů je v energetické reprezentaci představováno násobením matic, zobecněným na spočetnou dimenzi.
\begin{remark}
	Snadno nahlédneme, že $\hat{H}$ bude v~energetické reprezentaci představován diagonální maticí.
\end{remark}
 
Časový vývoj bazických vektorů je triviální, jak vidno ze Schrödingerovy rovnice, kde klademe $\ket{\psi} = \ket{n}$:
\[
	i \hbar \frac{\partial \ket{n}}{\partial t} = \hat{H} \ket{n} = E_n \ket{n}.
\]	
a tedy
\[
	\ket{n(t)} = \exp \left( - \frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \right) \ket{n(t_0)} .
\]
 
Výhodou energetické reprezentace je snadný popis časového vývoje, neboť každý vektor $\ket{\varphi} \in \hilbert$ je možno rozložit do báze vektorů $( \ket{n} )_{n\in\mathscr{I}}$, jejichž časový vývoj známe. Netriviální tvar operátorů $\hat{X}$, $\hat{P}$ bohužel vede ke složitější konstrukci fyzikálně interpretovatelných pozorovatelných.
 
\begin{example}
$1$-rozměrný harmonický oscilátor v energetické reprezentaci.
 
Ze zimy víme, že $\hat{H}$ tvoří ÚMP jednorozměrného harmonického oscilátoru. Označme $\ket{n}$ příslušné vlastní funkce splňující 
\[
	\hat{H} \ket{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \ket{n}.
\] 
Víme, že $( \ket{n} )_{n \in \priroz_0}$ tvoří úplnou ortonormální bázi $\hilbert$.  Při popisu HO se s výhodou užije kreační $(\kreak{})$ a anihilační $(\anihilak{})$ operátor
\begin{equation} \label{ZQM:KreakAnihilak}
	\kreak{} = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} - \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right), \quad
	\anihilak{} = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} + \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right).
\end{equation}
Hamiltonián je potom možno zapsat
\[
	\hat{H} = \hbar \omega \left( \kreak{}\!\anihilak{} + \frac{1}{2} \right).
\]
Ze zimy rovněž víme
\[
	\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\kreak{}) ^n \ket{0},
\]
odkud je možno odvodit
\[
	\anihilak{} \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1}, \quad
	\kreak{} \ket{n} = \sqrt{n+1} \ket{n+1}, \quad
	\kreak{}\!\anihilak{} \ket{n} = n \ket{n},
\]
kde $\kreak{}\!\anihilak{}$ se nazývá operátor počtu energetických kvant. Maticové elementy kreačního operátoru $\kreak{}$
\[
	(\kreak{})_{nm} = \brapigket{n}{\kreak{}}{m} = \sqrt{m+1} \braket{n}{m+1} = \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1},
\]
jež je možno zapsat maticově%
\footnote{Řádky a sloupce indexujeme od nuly.}
\[
\kreak{} = \begin{pmatrix}
			0  &   &   &    \\
			\sqrt{1} & 0 &  &  \\
			 & \sqrt{2} & 0 &  \\
			 &  & \ddots & \ddots \\
						\end{pmatrix}.
\]
Podobně můžeme zapsat maticově operátor $\anihilak{}$, operátor počtu energetických kvant $\kreak{}\!\anihilak{}$ či hamiltonián $\hat{H}$ (poslední dvě budou v bázi energetických stavů diagonální). Jelikož operátory $\hat{x}$ a $\hat{p}$ je možno na základě \eqref{ZQM:KreakAnihilak} zapsat jako lineární kombinaci $\kreak{}$, $\anihilak{}$, můžeme snadno obdržet také jejich maticové elementy
\begin{align*}
	\hat{P}_{nm} &= -i \sqrt{\frac{M \omega \hbar}{2}} 
		\left( \sqrt{m} \delta_{n,m-1} - \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1}   \right),   \\
	\hat{X}_{nm} &= \sqrt{\frac{\hbar}{2 M \omega}} 
		\left( \sqrt{m} \delta_{n,m-1} + \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1}   \right).	
\end{align*}
Ověřme v maticové reprezentaci platnost komutační relace $\komut{\hat{P}}{\hat{X}} = -i \hbar \opone$. $\komut{\hat{P}}{\hat{X}}$ v~maticové reprezentaci představuje matici. Najdeme její $i,j$-tý prvek
\begin{align*}
	\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} &= 
				\sum_{k=0}^{\infty} \left( \hat{P}_{ik} \hat{X}_{kj} - \hat{X}_{ik}\hat{P}_{kj}  \right) = \\
			&= - \frac{i \hbar}{2} \sum_{k=0}^{+ \infty} 
			  \biggl\{ \left( \sqrt{k} \delta_{i,k-1} - \sqrt{k+1} \delta_{i,k+1} \right)
					 \left( \sqrt{j} \delta_{k,j-1} + \sqrt{j+1} \delta_{k,j+1} \right)  \\ &  \qquad -
					 \left( \sqrt{k} \delta_{i,k-1} + \sqrt{k+1} \delta_{i,k+1} \right)
					 \left( \sqrt{j} \delta_{k,j-1} - \sqrt{j+1} \delta_{k,j+1} \right)  \biggr\} = \\
			&= - i \hbar \sum_{k=0}^{\infty}  \left( \sqrt{k} \sqrt{j+1} \delta_{i,k-1} \delta_{k,j+1} - 
					\sqrt{k+1} \sqrt{j} \delta_{i,k+1} \delta_{k,j-1} \right).
\end{align*}
Výraz v poslední závorce je nenulový jedině pro $i=j$, a to pro hodnoty $k=j\pm1$. Ponecháním jediného nenulového členu z nekonečné sumy (v případě $j=0$ z druhé sumy nezůstane žádný) zůstane pro všechna $i,j \in \priroz_0$ 
\[
	\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} = -i\hbar \left( (j+1) \delta_{ij} - j \delta_{ij} \right) = - i \hbar \delta_{ij}.
\]
Tím je komutační relace dokázána. Vyzkoušejte si však také dospět k výsledku násobením matic v jejich tabulkovém zápisu.
\end{example}
 
 
%==============================================
\subsection{Jiný popis časového vývoje}
%==============================================
Předpovědi kvantové mechaniky jsou dány skalárními součiny, v nichž vystupují pozorovatelné veličiny (operátory na $\hilbert$) a stavy (prvky $\hilbert$). Například střední hodnota pozorovatelné $\hat{A}$ ve stavu $\ket{\psi}$ je určena
\[
	\stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi}} = \frac{\brapigket{\psi}{\hat{A}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
\]  
Definujme nyní unitární operátor $\hat{U}$ ($\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$) a zkusme určit střední hodnotu operátoru $\hat{A}$ v novém stavu $\ket{\tilde{\psi}}=\hat{U}\ket{\psi}$. Zřejmě platí
\[
	\stredni{\hat{A}}_{\ket{\tilde{\psi}}} = \frac{\brapigket{\hat{U}\psi}{\hat{A}}{\hat{U}\psi}}{\braket{\hat{U}\psi}{\hat{U}\psi}}
		= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^\dagger\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\brapigket{\psi}{\hat{U}^\dagger\hat{U}}{\psi}}
		= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^\dagger\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
\]
 
Protože chceme zachovat rovnost s původní střední hodnotou, musíme rovněž přejít k novému operátoru $\hat{\tilde{A}}$, který bude splňovat rovnost
\begin{equation} \label{ZQM:TransfOp}
	\hat{A}=\hat{U}^\dagger \hat{\tilde{A}} \hat{U}; \qquad
	\hat{\tilde{A}}=\hat{U} \hat{A} \hat{U}^\dagger.
\end{equation} 
Potom
\[
	\stredni{\hat{\tilde{A}}}_{\ket{\tilde{\psi}}} = \stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi}}
\]
a předpovědi kvantové mechaniky zůstávají nezměněny.
\begin{remark}
  Jedná se o podobnostní transformaci a o té víme, že nemění spektrum operátoru.
\end{remark}
 
Získané poznatky brzy využijeme. Než však postoupíme dále, připomeňme si, jak kvantová mechanika přistupuje k popisu časového vývoje částice. Při popisu kvantového systému jsme vycházeli z hamiltoniánu klasické částice. Poté, užitím principu korespondence, jsme přešli k operátoru $\hat{H}$.  Časový vývoj kvantové částice je určen Schrödingerovou rovnicí
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEq}
	i \hbar \frac{\partial \ket{\psi}}{\partial t} = \hat{H} \ket{\psi},
\end{equation}
která společně s počáteční podmínkou $\ket{\psi_0} = \ket{\psi(t_0)}$ jednoznačně určuje stav částice v~libovolném čase $t$. Princip superpozice implikuje, že transformaci $\ket{\psi(t_0)}$ na $\ket{\psi(t)}$ musí popisovat lineární operátor. Pro každé $t_0$, $t$ tak definujeme \textbf{evoluční operátor} $\hat{U}(t,t_0)$ splňující
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOp}
	\ket{\psi(t)} =  \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)}.
\end{equation}
 
Podíváme se na vlastnosti tohoto operátoru. Zvolme libovolně $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L^2(\real^3)$ a zkusme určit časovou derivaci jejich skalárního součinu
\[
	\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} =
  \left( \frac{d}{dt} \ket{\varphi(t)} \right)^\dagger \ket{\psi(t)} + \bra{\varphi(t)} \left( \frac{d}{dt} \ket{\psi(t)} \right).
\]
\noindent Dosazením za časové derivace ze Schrödingerovy rovnice \eqref{ZQM:SchrEq}
\[
  -\frac{1}{i\hbar} \left( \hat{H} \ket{\varphi(t)} \right)^\dagger \ket{\psi(t)} + \frac{1}{i\hbar} \bra{\varphi(t)} \left( \hat{H} \ket{\psi(t)} \right) =
  \frac{1}{i\hbar} \bra{\varphi(t)} \left( -\hat{H}^\dagger + \hat{H} \right) \ket{\psi(t)}
\]
\noindent a díky samosdruženosti $\hat{H}$ dostáváme
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOpDer1}
	\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} = 0.
\end{equation}
 
Stejně tak, užitím evolučního operátoru \eqref{ZQM:EvolOp}, můžeme psát
\begin{align} \label{ZQM:EvolOpDer2}
	\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} &= 
	\frac{d}{dt} \left( \hat{U}(t,t_0) \ket{\varphi(t_0)} \right)^\dagger \left( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \right) =
	\frac{d}{dt} \brapigket{\varphi(t_0)} {\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)} {\psi(t_0)} = \nonumber \\
	&= \brapigket{\varphi(t_0)} {\frac{d}{dt} \left[ \hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) \right]} {\psi(t_0)}.
\end{align}
\noindent Tento braket však musí být na základě \eqref{ZQM:EvolOpDer1} roven nule pro všechna $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L^2 (\real^3)$. Operátor $\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)$ tedy musí být konstantní v čase. Na základě definice evolučního operátoru \eqref{ZQM:EvolOp} aplikované pro $t = t_0$ musí platit
\[
	\hat{U}(t_0,t_0) = \opone,
\]
a tedy
\[
	\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) = \hat{U}^\dagger(t_0,t_0) \hat{U}(t_0,t_0) = \opone,
\]
což je relace unitárnosti operátoru $\hat{U}(t,t_0)$.
 
Zvolme 3 libovolné časy $t_1$, $t_2$, $t_3$. Potom jistě pro stav $\ket{\psi}$ platí
\begin{subequations}
	\begin{align}
		\ket{\psi (t_1)} &= \hat{U}(t_1,t_2) \ket{\psi (t_2)}    \label{ZQM:EvolOpRel1} \\
		\ket{\psi (t_2)} &= \hat{U}(t_2,t_1) \ket{\psi (t_1)}		\label{ZQM:EvolOpRel2} \\
		\ket{\psi (t_3)} &= \hat{U}(t_3,t_2) \ket{\psi (t_2)} = \hat{U}(t_3,t_2) \hat{U}(t_2,t_1) \ket{\psi (t_1)}  
				= \hat{U}(t_3,t_1) \ket{\psi (t_1)},					\label{ZQM:EvolOpRel3}	
	\end{align}
\end{subequations}
kde vynásobením \eqref{ZQM:EvolOpRel2} zleva operátorem $\hat{U}^{-1}(t_2,t_1)$ a porovnáním s \eqref{ZQM:EvolOpRel1} snadno nahlédneme, že
\begin{subequations}
\label{ZQM:EvolOpVlastnosti}
\begin{equation}
  \hat{U}(t_1,t_2) = \hat{U}^{-1}(t_2,t_1) = \hat{U}^\dagger(t_2,t_1)
\end{equation}
a triviálně z \eqref{ZQM:EvolOpRel3}
\begin{equation}
  \hat{U}(t_3,t_1) = \hat{U}(t_3,t_2) \hat{U}(t_2,t_1).
\end{equation}
\end{subequations}
Pokud navíc hamiltonián nezávisí na čase,
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOpRel4}
	\hat{U}(t_1+T,t_0+T) = \hat{U}(t_1,t_0) = \hat{U}(t_1-t_0,0) =: \hat{U}(t_1-t_0),
\end{equation} 
můžeme zbavit evoluční operátor jedné nezávislé proměnné.
 
Přepišme Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} užitím zavedeného unitárního evolučního operátoru $\hat{U}(t,t_0)$:
\[
	i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Bigl( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \Bigr) = 
	\hat{H}(t) \Bigl( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \Bigr).
\]
Můžeme na obou stranách zkrátit obecný $\ket{\psi(t_0)}$ a získat tak operátorovou diferenciální rovnici
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEqOp}
	i \hbar \frac{\partial \hat{U}(t,t_0)}{\partial t} = \hat{H}(t) \hat{U}(t,t_0).
\end{equation}
 
V případě $\hat{H} \neq \hat{H}(t)$ má okamžité řešení
\begin{equation}
  \hat{U}(t,t_0) = \hat{U}(t-t_0) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} (t-t_0) \hat{H} \right),
  \label{ZQM:ExpH}
\end{equation}
kde s operátorem v exponentu je možno se vypořádat buď užitím Taylorova rozvoje, nebo pomocí spektrálního rozkladu operátoru (viz Modrá smrt)
\[
	e^{i \hat{A}} = \int e^{i \lambda} \hat{dE_{\lambda}}.
\]
Pokud navíc $\hat{H}$ má úplný systém vlastních vektorů $(\ket{n})_{n\in\mathscr{I}}$: $\hat{H} \ket{n} = E_n \ket{n}$, potom
\[
	\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right) \ket{n} = 
			\exp \left( -\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \right) \ket{n},
\]
a pro libovolný vektor $\ket{\psi} \in \hilbert$
\[			
	\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right) \ket{\psi} = 
			\sum_n \psi_n \exp \left( -\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \right) \ket{n},
\] 
kde $\psi_n$ představuje příslušný Fourierův koeficient $\psi_n = \braket{n}{\psi}$.
 
Doposud jsme budovali kvantovou teorii v tzv. Schrödingerově reprezentaci, která se v literatuře nejčastěji užívá. V této reprezentaci jsou operátory obvykle neměnné v~čase, zatímco vlnové funkce se v čase mění podle Schrödingerovy rovnice. Využijeme získaných poznatků k zavedení dalších, v literatuře užívaných, reprezentací kvantové mechaniky ekvivalentních k reprezentaci Schrödingerově: Heisenbergovy a Diracovy reprezentace.
 
 
%============================
\subsubsection{Heisenbergova reprezentace}
%============================
Mějme $\hat{U}(t,t_0)$ evoluční operátor definovaný v \eqref{ZQM:EvolOp}. Předpokládejme, že uvažovaná kvantová částice je popsána vlnovou funkcí ve Schrödingerově reprezentaci $\ket{\psi^S(t)}$. Definujme Heisenbergovu vlnovou funkci $\ket{\psi^H(t)}$ způsobem
\begin{equation} \label{ZQM:HeissVF}
	\ket{\psi^H(t)} = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \ket{\psi^S(t)} = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi^S(t_0)}
		= \ket{\psi^S(t_0)}.
\end{equation}
Musí se ovšem změnit i operátor, aby předpovědi kvantové mechaniky zůstaly zachovány. Buď $\hat{A}^S$ operátor ve Schrödingerově reprezentaci. Potom dle \eqref{ZQM:TransfOp} musí odpovídající operátor v Heisenbergově reprezentaci $\hat{A}^H(t)$ mít tvar
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOp}
	\hat{A}^H(t) = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \hat{A}^S (\hat{U}^\dagger)^{-1}(t,t_0) =
			\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S \hat{U}(t,t_0).
\end{equation}
 
Je zřejmé, že v Heisenbergově reprezentaci se vlnové funkce s časem nemění. Na čase jsou namísto nich závislé operátory přiřazené pozorovatelným fyzikálním veličinám.
%Je to tedy opačné, než u reprezentace Schrödingerovy, kde byl popis stavů popsán Schrödingerovou rovnicí, zatímco operátory zůstávaly neměnné.
Pokusme se najít obdobu Schrödingerovy rovnice, která bude popisovat časový vývoj operátorů (nad rámec jejich případné vlastní, explicitní časové závislosti $A^S(t)$).
%V dalším předpokládáme nezávislost hamiltoniánu ve Schrödingerově reprezentaci na čase, tedy $\hat{H}^S \neq \hat{H}^S(t)$. 
Zderivujme podle času rovnost \eqref{ZQM:HeissOp}%
%\footnote{Kvůli přehlednosti nebudeme uvádět závislost operátorů na čase. Operátory $\hat{U}$, $\hat{A}^S$, $\hat{A}^H$ předpokládáme všechny na čase závislé, zatímco operátor $\hat{H}^S$ je dle předpokladu na čase nezávislý.}
\[
  \begin{aligned}
    \frac{d}{dt}\hat{A}^H(t) &= \frac{d}{dt} \left( \hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S(t) \hat{U}(t,t_0) \right) =
    \frac{d}{dt} \bigl( \hat{U}^\dagger(t,t_0) \bigr) \hat{A}^S(t) \hat{U}(t,t_0) +{} \\
    &\qquad {}+ \hat{U}^\dagger(t,t_0) \frac{d}{dt} \bigl( \hat{A}^S(t) \bigr) \hat{U}(t,t_0) + 
    \hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S(t) \frac{d}{dt} \bigl( \hat{U}(t,t_0) \bigr).
  \end{aligned}
\]
Sem dosadíme časové derivace operátorů z \eqref{ZQM:SchrEqOp} a zapíšeme pro kompaktnost bez časových proměnných
\[
	-\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{H}^S \hat{A}^S \hat{U} + \hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} + 
		\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{A}^S \hat{H}^S \hat{U}.
\]
Navíc díky unitaritě $\hat{U}$ a rovnosti operátorů \eqref{ZQM:HeissOp} můžeme psát
\begin{align} \label{ZQM:HeissOpEqTime}
	\frac{d}{dt}\hat{A}^H &= - \frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{H}^S (\hat{U} \hat{U}^\dagger) \hat{A}^S \hat{U} + 
		\hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} + 
		\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{A}^S (\hat{U} \hat{U}^\dagger) \hat{H}^S \hat{U} = \nonumber \\
	&= - \frac{1}{i \hbar} (\hat{U}^\dagger \hat{H}^S \hat{U}) (\hat{U}^\dagger \hat{A}^S \hat{U}) + 
		\frac{1}{i \hbar} (\hat{U}^\dagger \hat{A}^S \hat{U}) (\hat{U}^\dagger \hat{H}^S \hat{U}) +
		\hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} = \nonumber \\
	&= -\frac{1}{i \hbar} \left( \hat{H}^H \hat{A}^H - \hat{A}^H \hat{H}^H \right) + \hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U},
\end{align}
tedy
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOpEq}
	\frac{d}{dt} \hat{A}^H (t) = \frac{1}{i \hbar} \komut{\hat{A}^H(t)}{\hat{H}^H(t)} + \hat{U}^\dagger(t,t_0) \frac{d}{dt} \bigl(\hat{A}^S(t)\bigr) \hat{U}(t,t_0).
\end{equation}
 
Rovnice \eqref{ZQM:HeissOpEq} je pro pozorovatelné bez explicitní časové závislosti $A^S$ přímou obdobou časového vývoje pozorovatelných v klasické mechanice
\begin{equation} \label{ZQM:klasvyvpoz1} 
	\dot{a} = \{ a, H \}, 
\end{equation}
pokud chápeme $\frac{1}{i\hbar} \komut{\cdot}{\cdot}$ jako kvantový analog klasické Poissonovy závorky $\{ \cdot , \cdot \}$.
 
Výhodou Heisenbergovy reprezentace je přímá analogie s klasickou mechanikou. Někdy je možné ji s výhodou využít k popisu rozptylu. Její nevýhodou oproti Schrödingerově reprezentaci však zůstává složitější řešení časového vývoje, neboť místo parciálních diferenciálních rovnic pro vektory z $\hilbert$ máme podobné rovnice pro operátory.
 
\begin{remark}
	Snadno nahlédneme z rovnosti \eqref{ZQM:HeissOp}, že hamiltonián systému, který není pod vlivem časově proměnných vnějších polí, je v Heisenbergově i Schrödingerově reprezentaci představován tímtéž časově nezávislým operátorem
\[
	\hat{H}^H(t)=\hat{H}^S.
\]
Pak také
\[
  \komut{\hat{U}(t,t_0)}{\hat{H}^S} = 0, \qquad
  \frac{d}{dt} A^H(t) = \komut{A^H(t)}{H^S}
\]
pro $A^S \ne A^S(t)$.
\end{remark}
 
%============================
\subsubsection{Diracova reprezentace} \label{KapitolaDiracovaReprezentace}
%============================
\textbf{Poruchový} nebo \textbf{interakční obraz}, jak je někdy Diracova reprezentace nazývána, kombinuje vlastnosti Schrödingerovy a Heisenbergovy reprezentace a s výhodou se užívá u některých výpočtů s časově závislou poruchou (viz kapitola 5). Předpokládejme hamiltonián ve tvaru
\[
	\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t),
\]
kde umíme řešit Schrödingerovu rovnici s $\hat{H}_0 \neq \hat{H}_0(t)$ a člen $\hat{V} (t)$ představuje jeho časově závislou poruchu. Definujme nyní operátor $\hat{U}_0$ způsobem
\begin{equation} \label{ZQM:DirEvOp}
	\hat{U}_0 (t,t_1) = \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 (t-t_1) \right).
\end{equation}
Tento operátor je jistě unitární a bezpochyby je na základě našich předpokladů splněna operátorová rovnost \eqref{ZQM:SchrEqOp} ve tvaru
\begin{equation} \label{ZQM:DirOpEq}
	i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{U}_0 (t,t_1) = \hat{H}_0 \hat{U}_0 (t,t_1).
\end{equation}
 
Podobně jako u Heisenbergovy reprezentace definujeme vlnovou funkci v Diracově reprezentaci $\ket{\psi^D(t)}$ a operátor $\hat{A}^D$ pomocí nového unitárního operátoru $\hat{U}_0$ způsobem 
\begin{subequations}
	\begin{align}
		\ket{\psi^D(t)} &= \hat{U}_0^\dagger(t,t_0) \ket{\psi^S(t)}, 				\label{ZQM:DirVec} \\
		\hat{A}^D(t) &= \hat{U}_0^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S(t) \hat{U}_0(t,t_0). \label{ZQM:DirOp}
	\end{align}
\end{subequations}
 
Zbývá nalézt rovnice, jimiž se řídí časový vývoj $\ket{\psi^D(t)}$ a $\hat{A}^D(t)$. Budeme postupovat obdobně jako v předchozím odstavci. Aplikujme časovou derivaci nejprve na rovnost \eqref{ZQM:DirVec} (opět si dovolím v postupu neuvádět časové závislosti)
\[
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} = 
		i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left( \hat{U}_0^\dagger \right) \ket{\psi^S} + 
		i\hbar \hat{U}_0^\dagger \frac{\partial}{\partial t} \left( \ket{\psi^S} \right),
\]
kde užijeme rovnosti \eqref{ZQM:DirOpEq} pro časovou derivaci operátoru $\hat{U}_0^\dagger$ a Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} pro časovou derivaci $\ket{\psi^S}$
\[
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} = 
		i\hbar \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat{U}_0^\dagger \hat{H}_0 \right) \ket{\psi^S} + 
		i\hbar \hat{U}_0^\dagger \left(\frac{1}{i\hbar} \hat{H} \ket{\psi^S} \right).
\]
Dále přechodem k Diracově reprezentaci pomocí vztahů \eqref{ZQM:DirVec} \eqref{ZQM:DirOp} dostáváme
\begin{align} \label{ZQM:DirVF}
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} &= 
	- \hat{U}_0^\dagger \hat{H}_0 \hat{U}_0 \ket{\psi^D} + \hat{U}_0^\dagger \hat{H} \hat{U}_0 \ket{\psi^D} =
	- \hat{H}_0^D \ket{\psi^D} + \hat{H}^D \ket{\psi^D} =    \nonumber \\
	&= \hat{V}^D(t) \ket{\psi^D(t)}.
\end{align}
 
Stejným postupem jako u Heisenbergovy reprezentace bychom odvodili z rovnosti \eqref{ZQM:DirOp} vztah pro časovou derivaci operátoru
\begin{equation} \label{ZQM:DirOpTime}
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{A}^D(t) = \komut{\hat{A}^D(t)}{\hat{H}_0}
	+ i\hbar \hat{U}_0^\dagger(t,t_0) \frac{d}{dt} \bigl(\hat{A}^S(t)\bigr) \hat{U}_0(t,t_0).
\end{equation}
 
V Diracově reprezentaci se část dynamiky systému odráží v časové závislosti stavových vektorů \eqref{ZQM:DirVF} a část v závislosti operátorů odpovídajících dynamickým proměnným \eqref{ZQM:DirOpTime}.
 
Tato reprezentace je výhodná, pokud umíme najít evoluční operátor příslušející $\hat{H}_0$ (výraz \eqref{ZQM:DirEvOp}) a chceme poruchovým výpočtem zjistit, jaký je časový vývoj systému v~případě započtení časově závislého potenciálu $\hat{V}(t)$.
 
\begin{example}
Zapište operátor polohy a hybnosti částice v homogenním gravitačním poli v~Heisenbergově reprezentaci.
 
Budeme uvažovat jednorozměrný případ. Hamiltonián částice ve Schrödingerově reprezentaci známe%
\footnote{V dalším operátory bez indexu budou představovat operátory ve Schrödingerově reprezentaci.}
\[
	\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + mg \hat{x}.
\]
\noindent Operátory $\hat{p}^H$, resp. $\hat{x}^H$ je možno určit buď definičně pomocí evolučního operátoru \eqref{ZQM:HeissOp}, nebo pomocí odvozené diferenciální operátorové rovnice \eqref{ZQM:HeissOpEq}, která je v tomto případě jednodušší cestou k cíli. Snadno určíme potřebné komutátory ve Schrödingerově reprezentaci
\[
	\komut{\hat{x}}{\hat{H}} = \frac{1}{m} i \hbar \hat{p}; \quad
	\komut{\hat{p}}{\hat{H}} = - i \hbar mg
\]
a použitím \eqref{ZQM:HeissOpEq} získáváme sadu operátorových diferenciálních rovnic
\[
	\frac{d \hat{x}^H(t)}{dt} = \frac{\hat{p}^H(t)}{m}; \quad
	\frac{d \hat{p}^H(t)}{dt} = - mg.
\]
Tuto soustavu můžeme řešit stejně jako rovnice pro číselné funkce. Dospíváme tak k řešení%
\footnote{Místo číselných integračních konstant získáváme však koeficienty operátorové.}
\[
	\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{C}_1; \quad
	\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{C}_1 t}{m} + \hat{C}_2.
\]
Pokud k úloze dodáme požadavek, aby v čase $t=0$ byly operátory polohy a hybnosti v obou reprezentacích totožné, tedy $\hat{p}^H(0) = \hat{p}_0$, $\hat{x}^H(0) = \hat{x}_0$, získáváme neurčené operátory $\hat{C}_1$, $\hat{C}_2$
\[
	\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{p}_0; \quad
	\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{p}_0 t}{m} + \hat{x}_0.
\]
Podíváme se ještě na vývoj středních hodnot. Jestliže počáteční střední hodnoty operátorů ve Schrödingerově reprezentaci měly hodnoty $\stredni{\hat{p}}_{\psi_0} = p_0$, $\stredni{\hat{x}}_{\psi_0} = x_0$, dostáváme známý časový vývoj operátorů v Heisenbergově reprezentaci
\[
	\stredni{\hat{p}^H(t)}_{\psi} = p_0 - mgt, \quad
	\stredni{\hat{x}^H(t)}_{\psi} = x_0 + \frac{p_0 t}{m} - \frac{1}{2} g t^2.
\] 
\end{example}
 
 
\begin{example}
Určete časový vývoj operátoru komponenty spinu elektronu v homogenním magnetickém poli $\vec{B}=(0,0,B)$. Gravitaci neuvažujte. Užijte Heisenbergovu reprezentaci.
 
Hamiltonián nabité částice v magnetickém poli má tvar
\[
	\hat{H} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B},
\]
\noindent kde $\hat{\vec{\mu}}$ představuje operátor vlastního magnetického momentu (spinu), jenž je definován pomocí operátoru komponent spinu $\hat{\vec{s}}$
\[
	\hat{\vec{\mu}} = \frac{\mu \hat{\vec{s}}}{s}; \quad
	\hat{\vec{s}} = \frac{1}{2} (\hat{\sigma}_1, \hat{\sigma}_2, \hat{\sigma}_3).
\]
Magnetický moment $\mu$ nabývá pro elektron hodnoty $\mu = \frac{e \hbar}{2 m_e c}$ a spin $s=1/2$. $\hat{\sigma}_i$ představují Pauliho matice
 
\begin{equation}  \label{ZQM:PaulihoMatice}
	\hat{\sigma}_1 = \begin{pmatrix}
    			0 & 1 \\
    			1 & 0 \\	 \end{pmatrix}, \quad
   \hat{\sigma}_2 = \begin{pmatrix}
    			0 & -i \\
    			i & 0 \\	 \end{pmatrix}, \quad
   \hat{\sigma}_3 = \begin{pmatrix}
    			1 & 0 \\
    			0 & -1 \\	 \end{pmatrix},
\end{equation}
jež vyhovují komutačním relacím
\[
	\komut{\hat{\sigma}_i}{\hat{\sigma}_j} = 2 i \epsilon_{ijk} \hat{\sigma}_k.
\]
Hamiltonián našeho systému je možno zapsat 
\[
	\hat{H} = - \frac{\mu_0 \hbar B}{2} \hat{\sigma}_3.
\]
 
Zajímají nás operátory $\hat{\sigma}_i^H$, k jejichž určení užijeme \eqref{ZQM:HeissOpEq}. Využitím komutačních relací Pauliho matic získáváme rovnice
\[
	\frac{d \hat{\sigma}_1^H (t)}{dt} = \mu_0 B \hat{\sigma}_2^H (t), \quad
	\frac{d \hat{\sigma}_2^H (t)}{dt} = - \mu_0 B \hat{\sigma}_1^H (t), \quad
	\frac{d \hat{\sigma}_3^H (t)}{dt} = 0,
\]
jež doplněním počátečních podmínek $\hat{\sigma}_i^H (0) = \hat{\sigma}_i$ (podmínka stejného tvaru operátorů v Heisenbergově a Schrödingerově reprezentaci v počátečním čase) vede na řešení
\begin{align*}
	\hat{\sigma}_1^H (t) &= \hat{\sigma}_1 \cos(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \sin(\mu_0 Bt), \quad
			\hat{\sigma}_3^H (t) = \hat{\sigma}_3,  \\
	\hat{\sigma}_2^H (t) &= - \hat{\sigma}_1 \sin(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \cos(\mu_0 Bt).
\end{align*}
Pokud vektor projekce spinu $\vec{p}$ měl v počátečním čase tvar 
\[
	\vec{p} = (p_1, p_2, p_3) = (\stredni{\hat{\sigma}_1}_{\ket{\psi_0}}, \stredni{\hat{\sigma}_2}_{\ket{\psi_0}}, 
					\stredni{\hat{\sigma}_3}_{\ket{\psi_0}}), \quad \norm{\vec{p}} = 1,
\] 
je vývoj středních hodnot $\stredni{\hat{\sigma}_i^H(t)}_{\psi}$ (a tedy i vývoj projekce spinu $\vec{p}(t)$) určen rovnicemi
\begin{align*}
	\stredni{\hat{\sigma}_1^H (t)}_{\psi} &= p_1 \cos(\mu_0 Bt) + p_2 \sin(\mu_0 Bt), \\
	\stredni{\hat{\sigma}_2^H (t)}_{\psi} &= -p_1 \sin(\mu_0 Bt) + p_2 \cos(\mu_0 Bt), \\
	\stredni{\hat{\sigma}_3^H (t)}_{\psi} &= p_3.
\end{align*}
 
Vlivem magnetického pole tedy dochází k precesi spinu elektronu.
\end{example}
 
\begin{example}
Mějme elektron v rotujícím magnetickém poli $\vec{B}=(B_1\cos(\omega t),B_1\sin(\omega t),B_0)$. Určete jeho stav v libovolném čase. Magnetické pole je dostatečně silné, aby bylo možné gravitaci zanedbat. Užijte Diracovu reprezentaci.
 
Hamiltonián má tvar (viz předchozí příklad)
\[
	\hat{H} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B} =
	- \frac{\mu_0 \hbar B_0}{2} \hat{\sigma}_3 
	- \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
\]
Pro užití Diracovy reprezentace oddělíme časově nezávislou část $\hat{H}$ (stejnou jako v minulém příkladě) od časově závislé:
\begin{equation}  \label{ZQM:DirPriklad}
	\hat{H}_0 = - \frac{\mu_0 \hbar B}{2} \hat{\sigma_3}; \quad
	\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
\end{equation}
Časový vývoj stavu v Diracově reprezentaci je určen rovnicí \eqref{ZQM:DirVF}. Potřebujeme tedy určit operátor $\hat{V}^D(t)$, k čemuž máme dvě možnosti. Použít rovnost \eqref{ZQM:DirOpTime} a získat tak časovou derivaci $\frac{d}{dt}(\hat{V}^D(t))$. To však kvůli vlastní časové závislosti $\hat{V}(t)$ nedá nijak elegantní rovnici, navíc jsme tak již postupovali v předchozích dvou příkladech. Užijeme proto nyní přímo definice transformace \eqref{ZQM:DirVec} k nalezení $\hat{V}^D(t)$. Musíme tedy určit unitární operátoru $\hat{U}_0(t)$. Zjednodušme jeho definici \eqref{ZQM:DirEvOp} volbou $t_1=0$
\[
	\hat{U}_0(t) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 t  \right) = 
				\exp \left( i \frac{\mu_0 B_0}{2} \hat{\sigma}_3 t  \right).
\]
Využijeme vztahu dokazovaného v zimním semestru
\[
	\exp \left( i \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}} \right) =
		\cos(\alpha) \opone + i \sin(\alpha) \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}},
\]
kde $\alpha \in \komplex$, $\norm{\vec{n}}=1$, $\hat{\vec{\sigma}}=(\hat{\sigma}_1,\hat{\sigma}_2,\hat{\sigma}_3)$ a $\hat{\sigma_i}$ představuje Pauliho matice \eqref{ZQM:PaulihoMatice}. Jeho použitím dostáváme
\[
	\hat{U}_0 (t) =  \begin{pmatrix}
    			\exp \left( i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) & 0 					\\
    			0 														 & \exp \left( - i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) \\
   \end{pmatrix}.
\]
Interakční hamiltonián $\hat{V}(t)$ (viz \eqref{ZQM:DirPriklad}) je možno rovněž zapsat maticově
\[
	\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \begin{pmatrix}
    			0 & \exp \left( - i \omega t \right) 		 \\
    			\exp \left( i \omega t \right) & 0    	 \\
   \end{pmatrix}.
\] 
Tím však máme vše připraveno pro určení $\hat{V}^D(t)$. Na základě \eqref{ZQM:DirOp} můžeme psát
\begin{align*}
	\hat{V}^D(t) &= \hat{U}_0^\dagger(t) \hat{V}(t) \hat{U}_0(t) = \\
		&= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}
			\begin{pmatrix}
    			e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 									\\
    			0 										& e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
   		\end{pmatrix}
      \begin{pmatrix}
    			0 					& e^{- i \omega t} 		 \\
    			e^{i \omega t} & 0    	 					\\
   		\end{pmatrix}
      \begin{pmatrix}
    			e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 										\\
    			0 									 & e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
      \end{pmatrix}
\end{align*}
a po roznásobení matic
\[
	\hat{V}^D(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} 
			\begin{pmatrix}
    			0 											& \exp \left[-i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] 		 \\
    			\exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] & 0    	 	\\
   		\end{pmatrix}.
\]
Stav částice se spinem je popsán vektorem 
$\ket{\psi^D(t)} =
		\begin{pmatrix}
    		\ket{\psi_1(t)} \\
    		\ket{\psi_2(t)} \\
   	\end{pmatrix}$.
Rovnice \eqref{ZQM:DirVF} přechází po dosazení na soustavu
\begin{align*}
	i \hbar \frac{\partial \ket{\psi_1}}{\partial t} &= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}	
			\exp \left[-i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \ket{\psi_2},  \\
	i \hbar \frac{\partial \ket{\psi_2}}{\partial t} &= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}	
			\exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \ket{\psi_1}.
\end{align*}
Tím tento příklad i kapitolu uzavřeme.
\end{example}