02KVAN2:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Nové jednodušší odvození W–E věty a jejího lemmatu, upraveno značení, přidány nové informace, opraveny překlepy)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
%\wikiskriptum{02KVAN2}
  
\section{Tenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorém}
+
\section{Tenzorové operátory, Wigner--Eckartův teorém}
  
 
\begin{define} \label{MomH:DefLm1m2l}
 
\begin{define} \label{MomH:DefLm1m2l}
Mějme ÚMP tvořenou $\hat{A}, \hat{L}^2, \hat{L}_3$ a jí příslušné vlastní vektory $\ket{a,l,m}$ splňujících relace \\
+
Mějme ÚMP tvořenou $\hat{A}, \hat{L}^2, \hat{L}_3$ a jí příslušné vlastní vektory $\ket{a,l,m}$ splňující relace
\[
+
\begin{equation}
\hat{L}_\pm \ket{a,l,m} = \alpha^{(\pm)}(l,m) \ket{a,l,m \pm 1}.
+
  \begin{aligned}
\]
+
    \hat{L}_\pm \ket{a,l,m} &= \alpha^{(\pm)}(l,m) \ket{a,l,m \pm 1}, \\
 +
    \hat{L}_3 \ket{a,l,m} &= \hbar m \ket{a,l,m}.
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{MomH:PlusMinus3}
 +
\end{equation}
 
Pak definujeme
 
Pak definujeme
 
\begin{equation} \label{MomH:DefSymb}
 
\begin{equation} \label{MomH:DefSymb}
\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)} = \brapigket{a,l,m_1}{\vec{L}}{a,l,m_2}
+
\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)} = \brapigket{a,l,m_1}{\vec{L}}{a,l,m_2},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 +
tedy
 +
\begin{equation*}
 +
\vec{L} \ket{a,l,m_2} = \sum_{m_1,m_2} \vec{L}_{m_1m_2}^{(l)} \ket{a,l,m_1}.
 +
\end{equation*}
 
\end{define}
 
\end{define}
  
\begin{remark}
+
Jedná se pouze o jiný, stručnější, zápis relací \eqref{MomH:PlusMinus3} v
Můžeme si povšimnout, že $\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)}$ nezávisí na $a$. To můžeme odůvodnit rozpisem $\vec{L}$ pomocí posunovacích operátorů a jeho dosazením do \eqref{MomH:DefSymb}
+
kartézských složkách $L$ namísto tzv. sférických složek $\{L_+, L_-, L_3\}$;
 +
hodnoty $\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)}$ souvisejí s $\alpha^{(\pm)}(l,m_2)$ triviálními
 +
vztahy plynoucími z převodních rovnic
 
\[
 
\[
 
\vec{L} = \Biggl( \frac{\hat{L}_+ + \hat{L}_-}{2},  \frac{\hat{L}_+ - \hat{L}_-}{2i}, \hat{L}_3 \Biggr).
 
\vec{L} = \Biggl( \frac{\hat{L}_+ + \hat{L}_-}{2},  \frac{\hat{L}_+ - \hat{L}_-}{2i}, \hat{L}_3 \Biggr).
 
\]
 
\]
\end{remark}
+
Důležitější je si povšimnout, že $\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)}$ nezávisí na
 +
$a$, a tedy ani na volbě radiální pozorovatelné $\hat{A}$, a že aplikace
 +
$\hat{\vec{L}}$ nemění hodnotu $l$.
  
 
\begin{theorem} \label{TOp:VMnetreba}
 
\begin{theorem} \label{TOp:VMnetreba}
Mějme 2 posloupnosti vektorů $\left( \ket{a, l_1, m_1} \right)_{m_1 = -l_1}^{l_1}$;
+
Mějme 2 posloupnosti vektorů $\left( \ket{a, l_1, m_1} \right)_{m_1 = -l_1}^{l_1}$ a
 
$\left( \ket{b, l_2, m_2} \right)_{m_2 = -l_2}^{l_2}$ takových, že  
 
$\left( \ket{b, l_2, m_2} \right)_{m_2 = -l_2}^{l_2}$ takových, že  
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
\hat{\vec{L}} \ket{a, l_1, m_1} &= \sum_{n = -l_1}^{l_1} \vec{L}_{nm_1}^{(l_1)} \ket{a, l_1, n}, \\  
+
\hat{\vec{L}} \ket{a, l_1, m_1} &= \sum_{m' = -l_1}^{l_1}
\hat{\vec{L}} \ket{b, l_2, m_2} &= \sum_{n = -l_2}^{l_2} \vec{L}_{nm_2}^{(l_2)} \ket{b, l_2, n}.  
+
    \vec{L}_{m'm_1}^{(l_1)} \ket{a, l_1, m'}, \\  
 +
\hat{\vec{L}} \ket{b, l_2, m_2} &= \sum_{m' = -l_2}^{l_2}
 +
    \vec{L}_{m'm_2}^{(l_2)} \ket{b, l_2, m'}.  
 
\end{align*}
 
\end{align*}
 
 
 
Potom platí:
 
Potom platí:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \delta_{l_1l_2} \delta_{m_1m_2} F(l_1,l_2,a,b),
+
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \delta_{l_1l_2} \delta_{m_1m_2} F(l_1,a,b),
 
\label{TOp:braket}
 
\label{TOp:braket}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
 
\noindent kde $F(l_1,l_2,a,b)$ je neznámá funkce proměnných $l_1,l_2,a,b$ (měli bychom si povšimnout především nezávislosti  
+
\noindent kde $F$ je neznámá funkce proměnných $l_1,a,b$ (měli bychom si povšimnout především nezávislosti  
 
pravé strany rovnosti \eqref{TOp:braket} na konkrétních hodnotách $m_1, m_2$).
 
pravé strany rovnosti \eqref{TOp:braket} na konkrétních hodnotách $m_1, m_2$).
 
\end{theorem} \begin{proof}
 
\end{theorem} \begin{proof}
Z předpokladů věty vyplývá, že
+
Předpoklady věty, přeformulované zpět v jazyce posunovacích operátorů a $L_3$, je
\begin{align*}  
+
možné zapsat ve tvaru
\hat{L}_\pm \ket{a, l_1, m_1} &= \alpha^{(\pm)}(l_1,m_1) \ket{a, l_1, m_1 \pm 1}, \quad
+
\begin{equation}
m_1 \in \left\{ -l_1 \ldots l_1 \right\},\\  
+
  \label{TOp:LemmaPM3}
\hat{L}_\pm \ket{b, l_2, m_2} &= \alpha^{(\pm)}(l_2,m_2) \ket{b, l_2, m_2 \pm 1}, \quad
+
  \begin{aligned}  
m_2 \in \left\{ -l_2 \ldots l_2 \right\}.
+
    \hat{L}_\pm \ket{a, l_1, m_1} &= \alpha^{(\pm)}(l_1,m_1) \ket{a, l_1, m_1 \pm 1}, \\
\end{align*}
+
    \hat{L}_\pm \ket{b, l_2, m_2} &= \alpha^{(\pm)}(l_2,m_2) \ket{b, l_2, m_2 \pm 1}, \\
 +
    \hat{L}_3 \ket{a, l_1, m_1} &= \hbar m_1 \ket{a, l_1, m_1}, \\
 +
    \hat{L}_3 \ket{b, l_2, m_2} &= \hbar m_2 \ket{b, l_2, m_2}.
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation}
  
Využijeme vyjádření $\hat{L}_-\hat{L}_+ = \hat{L}^2 - \hat{L}_3^2 - \hat{L}_3$ (odvozené v \eqref{MomH:PosunOpL2}), tento operátor obložíme následujícím způsobem $\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b, l_2, m_2}$ a pokusíme se najít jeho další vyjádření. Nejdříve necháme působit operátor $\hat{L}_-\hat{L}_+$ na ket $\ket{b,l_2,m_2}$. Získáme tak
+
Pomocí rozkladu \eqref{MomH:PosunOpL2} lze též odvodit, i když se předpoklady
 +
o $\hat{\vec{L}}^2$ výslovně nezmiňují,
 
\begin{subequations}
 
\begin{subequations}
\begin{align} \label{TOp:DkL+L-a}
+
  \label{TOp:LemmaL2}
\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b, l_2, m_2} &=
+
  \begin{equation}
  \brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}^2 - \hat{L}_3^2 - \hat{L}_3}{b, l_2, m_2} = \nonumber \\
+
    \begin{aligned}
  &= \Bigl(l_2(l_2+1)-m_2(m_2+1)\Bigr) \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2}, 
+
      \hat{\vec{L}}^2 \ket{a, l_1, m_1} &= (\hat{L}_-\hat{L}_+ + \hat{L}_3^2 +
\end{align}
+
      \hbar \hat{L}_3) \ket{a, l_1, m_1} =\\
\noindent kde si můžeme povšimnout, že výraz před výsledný braketem je $(\alpha^{(+)}(l_2,m_2))^2$. Nyní necháme operátor
+
      &= \alpha^{(-)}(l_1,m+1) \alpha^{(+)}(l_1,m) \ket{a,
$\hat{L}_-\hat{L}_+$ působit na bra $\bra{a,l_1,m_1}$, čímž získáme
+
      l_1, m_1} + \hbar^2 m^2 \ket{a, l_1, m_1} + \hbar^2 m \ket{a, l_1, m_1} =\\
\begin{align} \label{TOp:DkL+L-b}
+
      &= \hbar^2 l_1(l_1+1) \ket{a, l_1, m_1}
\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b, l_2, m_2} &=
+
    \end{aligned}
  \Bigl(l_1(l_1+1)-m_1(m_1+1)\Bigr) \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \nonumber \\
+
  \end{equation}
  &= (\alpha^{(+)}(l_1,m_1))^2 \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2}.
+
  a podobně
\end{align}
+
  \begin{equation}
\noindent Další možností je nechat působit $\hat{L}_-$ na bra $\bra{a,l_1,m_1}$ (dojde ke komplexnímu sdružení) a
+
    \hat{\vec{L}}^2 \ket{b, l_2, m_2} = \hbar^2 l_2(l_2+1) \ket{b, l_2, m_2}.
$\hat{L}_+$ na ket $\ket{b,l_2,m_2}$. Dostaneme tak
+
  \end{equation}
\begin{align} \label{TOp:DkL+L-c}
+
\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b, l_2, m_2} =
+
\alpha^{(+)}(l_1,m_1) \alpha^{(+)}(l_2,m_2) \braket{a,l_1,m_1+1}{b,l_2,m_2+1}.
+
\end{align}
+
\end{subequations}
+
\noindent Stejný postup můžeme zopakovat pro $\hat{L}_+\hat{L}_- = \hat{L}^2 - \hat{L}_3^2 + \hat{L}_3$. Dojdeme tak k vyjádřením
+
\begin{subequations}
+
\begin{align}
+
\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_+\hat{L}_-}{b, l_2, m_2} &=
+
(\alpha^{(-)}(l_2,m_2))^2 \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} \label{TOp:DkL-L+a} \\
+
&= (\alpha^{(-)}(l_1,m_1))^2 \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} \label{TOp:DkL-L+b} \\
+
&= \alpha^{(-)}(l_1,m_1) \alpha^{(-)}(l_2,m_2) \braket{a,l_1,m_1-1}{b,l_2,m_2-1}. \label{TOp:DkL-L+c}
+
\end{align}
+
 
\end{subequations}
 
\end{subequations}
  
Odečtením \eqref{TOp:DkL+L-b} od  \eqref{TOp:DkL+L-a} dostáváme  
+
Zkoumejme výraz $\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{L}_3}{b,l_2,m_2}$. Operátor můžeme
\begin{equation} \label{TOp:DkOdecteni}
+
nechat působit na ket nebo na bra, na tom výsledek nemůže záviset. Pomocí
\left( (\alpha^{(+)}(l_2,m_2))^2 - (\alpha^{(+)}(l_1,m_1))^2 \right)
+
\eqref{TOp:LemmaPM3} tak dostáváme rovnost
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = 0,
+
\begin{equation*}
 +
\hbar m_2 \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \hbar m_1
 +
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2},
 +
\end{equation*}
 +
z níž plyne, že skalární součin $\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2}$ může být
 +
nenulový pouze tehdy, kdy $m_1 = m_2$.
 +
 
 +
Podobně pomocí výrazu $\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{\vec{L}}^2}{b,l_2,m_2}$ a
 +
připravených rovností \eqref{TOp:LemmaL2} získáváme, že
 +
$\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2}$ je nutně roven $0$ v případech $l_1 \ne l_2$.
 +
Odsud již je skalární součin vymezen na tvar
 +
\begin{equation}
 +
\label{TOp:X}
 +
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \delta_{l_1l_2} \delta_{m_1m_2} X,
 
\end{equation}
 
\end{equation}
\noindent čímž se nám rozpadá řešení na dva podpřípady. S ohledem na nezápornost $\alpha^{(\pm)}(l,m)$ pro všechna $l,m$ je rovnost \eqref{TOp:DkOdecteni} splněna pro
+
kde $X$ může záviset již jen na $a$, $b$ a společných hodnotách $l$, $m$.
\begin{equation} \label{TOp:DkRovnostAlf}
+
\alpha^{(+)}(l_2,m_2) = \alpha^{(+)}(l_1,m_1).
+
\end{equation}
+
\noindent Pokud jsou oba oba koeficienty různé od nuly, získáváme z rovností \eqref{TOp:DkL+L-b}, \eqref{TOp:DkL+L-c}
+
\begin{equation} \label{TOp:DkRovnostBraketu}
+
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \braket{a,l_1,m_1+1}{b,l_2,m_2+1}.
+
\end{equation}
+
\noindent Pokud jsou oba koeficienty $\alpha^{(+)}(l_2,m_2) = \alpha^{(+)}(l_1,m_1) = 0$, musí nutně na základě definice koeficientů $\alpha^{(\pm)}$ být $l_2=m_2$, $l_1=m_1$. V tomto případě však nemůžeme beztrestně odvodit rovnost \eqref{TOp:DkRovnostBraketu}. Tento případ je třeba dokázat stejným postupem aplikovaným na rovnice \eqref{TOp:DkL-L+a} - \eqref{TOp:DkL-L+c}.
+
  
Vraťme se nyní k rovnici \eqref{TOp:DkOdecteni}. Druhou možností pro její vyřešení je
+
Pro tvrzení věty zbývá dokázat, že závislost $X$ na $m_{1,2}$ musí být
\[
+
konstantní. Za tímto účelem využijeme ještě potřetí vyjádření
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = 0.
+
\eqref{MomH:PosunOpL2} a, tentokrát již za předpokladu $l_1 = l_2 \wedge m_1 =
\]
+
m_2$, vypočítáme zvlášť člen
\noindent Za předpokladů $\alpha^{(+)}(l_2,m_2) \neq 0$$, \alpha^{(+)}(l_1,m_1) \neq 0$ plyne z rovností \eqref{TOp:DkL+L-b} a \eqref{TOp:DkL+L-c}  
+
\begin{equation*}
\[
+
\begin{aligned}
\braket{a,l_1,m_1+1}{b,l_2,m_2+1} = 0.
+
\brapigket{a,l,m}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b,l,m} &= \brapigket{a,l,m}{(\hat{L}^2 -
\]
+
\hat{L}_3^2 - \hat{L}_3)}{b,l,m} =\\
\noindent podívejme se, co se stane, pokud je BÚNO $\alpha^{(+)}(l_1,m_1) = 0, m_1=l_1$ (případ, kdy oba koeficienty jsou nulové, je již vyřešen). Pak je totiž i rovnost \eqref{TOp:DkL+L-c} triviálně splněna. Na tento případ je třeba znovu použít rovnice \eqref{TOp:DkL-L+a} - \eqref{TOp:DkL-L+c}.
+
&= \hbar^2(l(l+1) - m(m+1)) \braket{a,l,m}{b,l,m}.
 +
\end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
Zbývající dosud nevyzkoušená kombinace při výpočtu téhož členu je nechat
 +
působit $\hat{L}_+$ na ket a $\hat{L}_-$ na bra. Pro účinek na bra
 +
nezapomeneme, že $(\hat{L}_-)^\dagger = \hat{L}_+$, takže ve výsledku se
 +
dvakrát objeví $\alpha^{(+)}(l,m)$:
 +
\begin{equation*}
 +
  \begin{aligned}
 +
    \brapigket{a,l,m}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b,l,m}
 +
    &= \left( \hat{L}_+ \ket{a,l,m} \right)^\dagger \left( \hat{L}_+ \ket{b,l,m}
 +
    \right) =\\
 +
    &= \left( \alpha^{(+)}(l,m) \right)^2 \braket{a,l,m+1}{b,l,m+1} =\\
 +
    &= \hbar^2 (l(l+1) - m(m+1)) \braket{a,l,m+1}{b,l,m+1}.
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
Porovnáním obou výsledků je zřejmé, že pro všechna $m$, $-l \le m < l$
 +
\begin{equation*}
 +
\braket{a,l,m}{b,l,m} = \braket{a,l,m+1}{b,l,m+1}
 +
\end{equation*}
 +
a tedy, že veličina $X$ v \eqref{TOp:X} nezávisí na $m$ a lze ji psát jako
 +
$F(l,a,b)$, jak tvrdí věta.
 +
\end{proof}
  
Dokázali jsme zatím, proč je pravá strana rovnosti \eqref{TOp:braket} nezávislá na konkrétních hodnotách $m_1$, $m_2$. Zbývá nám obhájit existenci  $\delta_{l_1l_2} \delta_{m_1m_2}$.
+
Porozumění operátoru momentu hybnosti umožní klasifikovat tenzorové operátory.
 
+
Z klasické fyziky totiž víme, že tenzorový (či skalární, vektorový) charakter
Na základě rovností \eqref{TOp:DkRovnostAlf}, \eqref{TOp:DkRovnostBraketu} můžeme psát
+
veličin je dán jejich vlastnostmi při transformacích prostoru. V
\begin{align*}
+
eukleidovských prostorech je postačující uvažovat rotace. Transformace při
\Bigl(l_2(l_2+1)-m_2(m_2+1)\Bigr) &= \Bigl(l_1(l_1+1)-m_1(m_1+1)\Bigr)  \\
+
rotacích jsou v klasické teoretické fyzice svázány s Poissonovými závorkami se
\Bigl(l_2(l_2+1)-(m_2+1)(m_2+2)\Bigr) &= \Bigl(l_1(l_1+1)-(m_1+1)(m_1+2)\Bigr).
+
složkami momentu hybnosti, jakožto generátorů grupy rotací. Ve fyzice kvantové
\end{align*}
+
tedy budeme analogicky očekávat definici tenzorového operátoru založenou na
\noindent Odečtením těchto rovnic dostáváme
+
komutátorech s operátory složek momentu hybnosti. Tak je motivována
\[
+
následující definice:
2(m_1+1)= 2(m_2+1) \Rightarrow m_1 = m_2,  
+
\]
+
\noindent a zpětným dosazením
+
\[
+
l_2(l_2+1) = l_1(l_1+1) \Rightarrow l_1 = l_2.
+
\]
+
Tím je však tvrzení věty dokázáno.
+
\end{proof}
+
  
 
\begin{define} \label{DIrTenzOp}
 
\begin{define} \label{DIrTenzOp}
\textbf{Ireducibilní tenzorový operátor l-tého řádu $\hat{\tenzop}(l)$} je soubor $(2l+1)$ operátorů $(\hat{T}(l,m))_{m=-l}^l$ takových, že
+
\textbf{Ireducibilní tenzorový operátor $k$-tého řádu $\hat{\tenzop}(k)$} je soubor $(2k+1)$ operátorů $(\hat{T}(k,q))_{q=-k}^k$ takových, že
 
\begin{align} \label{TOp:DefIrTenzOp1}
 
\begin{align} \label{TOp:DefIrTenzOp1}
\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(l,m)} &= m \hat{T}(l,m), \nonumber \\
+
\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(k,q)} &= \hbar q \hat{T}(k,q), \nonumber \\
\komut{\hat{L}_\pm}{\hat{T}(l,m)} &= \alpha^{(\pm)}(l,m) \hat{T}(l,m \pm 1).
+
\komut{\hat{L}_\pm}{\hat{T}(k,q)} &= \alpha^{(\pm)}(k,q) \hat{T}(k,q \pm 1).
 
\end{align}
 
\end{align}
 
\end{define}
 
\end{define}
Řádka 131: Řádka 156:
 
Podmínky \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} lze ekvivalentně zapsat užitím definice \ref{MomH:DefLm1m2l}
 
Podmínky \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} lze ekvivalentně zapsat užitím definice \ref{MomH:DefLm1m2l}
 
\begin{equation} \label{TOp:DefIrTenzOp2}
 
\begin{equation} \label{TOp:DefIrTenzOp2}
\komut{\hat{\vec{L}}}{\hat{T}(l,m)} = \sum_{n=-l}^l \vec{L}_{n m}^{(l)} \hat{T}(l,n).
+
\komut{\hat{\vec{L}}}{\hat{T}(k,q)} = \sum_{q'=-k}^k
 +
    \vec{L}_{q' q}^{(k)} \hat{T}(k,q').
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
 
\end{remark}
 
\end{remark}
  
\begin{remark}
+
Často budeme potřebovat počítat maticový element operátoru $\hat{T}(k,q)$ v
Často budeme potřebovat počítat \textbf{maticový element operátoru $\hat{T}(k,q)$ v bázích $\ket{a,L,M}, \ket{b,l,m}$}:
+
bázích $\ket{a,l_1,m_1}$, $\ket{b,l_2,m_2}$ --
$\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m}$ pro různá $M,m$. V dalším využijeme vlastností $\hat{\vec{L}}$ ke zjednodušení výpočtů výrazů tohoto typu.  
+
$\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2}$ -- pro různá $m_1$, $m_2$. V dalším
\end{remark}
+
využijeme vlastností $\hat{\vec{L}}$ ke zjednodušení výpočtů výrazů tohoto
 +
typu.  
  
Mějme dvě ÚMP $(\hat{A}, \hat{L}^2, \hat{L}_3)$, $(\hat{B}, \hat{L}^2, \hat{L}_3)$ a vlastní vektory $\ket{a,L,M}$, $\ket{b,l,m}$ vyhovující podmínkám
+
Mějme dvě ÚMP $(\hat{A}, \hat{L}^2, \hat{L}_3)$, $(\hat{B}, \hat{L}^2,
 +
\hat{L}_3)$ a vlastní vektory $\ket{a,l_1,m_1}$, $\ket{b,l_2,m_2}$ vyhovující podmínkám
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
\hat{A} \ket{a,L,M} &= a \ket{a,L,M}, &\hat{B} \ket{b,l,m} &= b \ket{b,l,m}, \\
+
\hat{A} \ket{a,l_1,m_1} &= a \ket{a,l_1,m_1},
\hat{L}^2 \ket{a,L,M} &= L(L+1) \ket{a,L,M}, &\hat{L}^2 \ket{b,l,m} &= l(l+1) \ket{b,l,m}, \\
+
      &\hat{B} \ket{b,l_2,m_2} &= b \ket{b,l_2,m_2}, \\
\hat{L}_3 \ket{a,L,M} &= M \ket{a,L,M}, &\hat{L}_3 \ket{b,l,m} &= m \ket{b,l,m}, \\
+
\hat{L}^2 \ket{a,l_1,m_1} &= \hbar^2 l_1(l_1+1) \ket{a,l_1,m_1},
\komut{\hat{A}}{\hat{\vec{L}}} &= 0, &\komut{\hat{B}}{\hat{\vec{L}}} &= 0.
+
      &\hat{L}^2 \ket{b,l_2,m_2} &= \hbar^2 l_2(l_2+1) \ket{b,l_2,m_2}, \\
 +
\hat{L}_3 \ket{a,l_1,m_1} &= \hbar m_1 \ket{a,l_1,m_1},
 +
      &\hat{L}_3 \ket{b,l_2,m_2} &= \hbar m_2 \ket{b,l_2,m_2}.
 
\end{align*}
 
\end{align*}
 
 
Dále mějme $a,L,b,l=const.$ Tím pádem $m \in \left\{ -l, \ldots, l \right\}$, $M \in \left\{ -L, \ldots, L \right\}$. Rovněž mějme definovánu složku ireducibilního tenzorového operátoru $\hat{T}(k,q)$. Upravme vektor  
+
Uvažujme pevně zvolené $a,b,l_1,l_2$. Tím pádem $m_1 \in \left\{ -l_1, \ldots, l_1
$\hat{\vec{L}} \hat{T} (k,q)  \ket{b,l,m}$
+
\right\}$, $m_2 \in \left\{ -l_2, \ldots, l_2 \right\}$. Rovněž mějme
 +
definovánu složku ireducibilního tenzorového operátoru $\hat{T}(k,q)$. Upravme
 +
vektor  
 +
$\hat{\vec{L}} \hat{T} (k,q)  \ket{b,l_2,m_2}$
 
\begin{align} \label{TOp:WigEckOdv1}
 
\begin{align} \label{TOp:WigEckOdv1}
\hat{\vec{L}} \hat{T} (k,q) \ket{b,l,m} &=  
+
\hat{\vec{L}} \hat{T} (k,q) \ket{b,l_2,m_2} &=  
\left( \komut{\hat{\vec{L}}}{\hat{T} (k,q)} + \hat{T} (k,q) \hat{\vec{L}} \right) \ket{b,l,m} = \nonumber \\
+
\left( \komut{\hat{\vec{L}}}{\hat{T} (k,q)} + \hat{T} (k,q) \hat{\vec{L}} \right) \ket{b,l_2,m_2} = \nonumber \\
&= \sum_{q'=-k}^k \vec{L}_{q'q}^{(k)} \left( \hat{T}(k,q') \ket{b,l,m} \right) +
+
&= \sum_{q'=-k}^k \vec{L}_{q'q}^{(k)} \left( \hat{T}(k,q') \ket{b,l_2,m_2} \right) +
\sum_{n=-l}^l \vec{L}_{nm}^{(l)} \left( \hat{T}(k,q) \ket{b,l,n} \right).  
+
\sum_{m'=-l_2}^{l_2} \vec{L}_{m' m_2}^{(l)} \left( \hat{T}(k,q) \ket{b,l_2,m'} \right).  
 
\end{align}
 
\end{align}
  
\noindent Při úpravě bylo užito věty \ref{TOp:VMnetreba} a poznámky u definice \ref{DIrTenzOp}  
+
Při úpravě bylo užito věty \ref{TOp:VMnetreba} a poznámky u definice \ref{DIrTenzOp}  
(rovnost \eqref{TOp:DefIrTenzOp2}). Zavedeme-li označení
+
(rovnost \eqref{TOp:DefIrTenzOp2}). Zavedeme-li označení%
 +
\footnote{Pozor, nejedná se nutně o normalizované ani o vzájemně ortogonální
 +
vektory.}
 
\[
 
\[
\ket{k,q,b,l,m} = \hat{T}(k,q) \ket{b,l,m},
+
\ket{k,q,b,l_2,m_2} = \hat{T}(k,q) \ket{b,l_2,m_2},
 
\]
 
\]
 +
potom stavy $\ket{k,q,b,l_2,m_2}$ se z hlediska komutačních relací s
 +
$\hat{\vec{L}}$ chovají stejně jako stavy $\ket{k,q} \ket{l,m}$ v úloze
 +
skládání dvou momentů hybnosti, neboť
 +
\begin{equation}
 +
  \begin{aligned}
 +
    \hat{\vec{L}} \ket{k,q} \ket{l,m} &= \left( \hat{\vec{L}}_{(1)} \ket{k,q}
 +
    \right) \ket{l,m} + \ket{k,q} \left( \hat{\vec{L}}_{(2)} \ket{l,m}
 +
    \right) =\\
 +
    &= \sum_{q'=-k}^k \vec{L}_{q'q}^{(k)} \ket{k,q'} \ket{l,m} +
 +
    \sum_{m'=-l}^{l} \vec{L}_{m'm}^{(l)} \ket{k,q} \ket{l,m'},
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{TOp:WigEckOdv2}
 +
\end{equation}
 +
kde bylo rovněž použito rovnosti \eqref{TOp:DefIrTenzOp2}. Vidíme, že výrazy \eqref{TOp:WigEckOdv1} a \eqref{TOp:WigEckOdv2} jsou formálně stejné.
  
\noindent potom stavy $\ket{k,q,b,l,m}$ se z hlediska komutačních relací s $\hat{\vec{L}}$ chovají stejně jako stavy
+
Díky této shodě můžeme zadefinovat vlastní vektory „složeného“ momentu
$\ket{k,q} \ket{l,m}$ v úloze skládání 2 momentů hybnosti. neboť
+
hybnosti
\begin{align} \label{TOp:WigEckOdv2}
+
\begin{equation}
\hat{\vec{L}} \ket{k,q} \ket{l,m} &= \left( \hat{\vec{L}}_{(1)} \ket{k,q} \right) \ket{l,m} +
+
\ket{z(b,k,l_2);l,m} := \sum_{m_2=-l_2}^{l_2} \sum_{q=-k}^k (k,l_2,q,m_2|l,m)
\ket{k,q} \left( \hat{\vec{L}}_{(2)} \ket{l,m} \right) = \nonumber \\
+
\hat{T}(k,q)\ket{b,l_2,m_2},
&= \sum_{q'=-k}^k \vec{L}_{q'q}^{(k)} \ket{k,q'} \ket{l,m} +
+
\label{TOp:WigEckSlozene}
\sum_{n=-l}^l \vec{L}_{nm}^{(l)} \ket{k,q} \ket{l,n},
+
\end{equation}
\end{align}
+
uvozovky proto, že na místě složeného momentu vystupuje opět $\hat{\vec{L}}$:
 
+
\noindent kde bylo rovněž použito rovnosti \eqref{TOp:DefIrTenzOp2}. Vidíme, že výrazy \eqref{TOp:WigEckOdv1} a \eqref{TOp:WigEckOdv2} jsou formálně stejné. Označme $\ket{b(k,l),L',M'}$ vlastní vektor operátorů $\hat{L}^2, \hat{L}_3$ splňující
+
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
\hat{L}^2 \ket{b(k,l),L',M'} &= L'(L'+1) \ket{b(k,l),L',M'}, \\
+
\hat{L}^2 \ket{z(b,k,l_2);l,m} &= \hbar^2 l(l+1) \ket{z(b,k,l_2);l,m}, \\
\hat{L}_3 \ket{b(k,l),L',M'} &= M' \ket{b(k,l),L',M'}.
+
\hat{L}_3 \ket{z(b,k,l_2);l,m} &= \hbar m \ket{z(b,k,l_2);l,m}.
 
\end{align*}
 
\end{align*}
 +
Veličina $z$ je blíže neurčená, je důležité se v ní nesnažit identifikovat
 +
vlastní číslo operátorů $\hat A$ ani $\hat B$. Je však jednoznačně určena
 +
původními hodnotami $b, k, l_2$.
  
Jistě si zaslouží drobnou poznámku člen $b(k,l)$, který ve vektoru $\ket{b(k,l),L',M'}$ vystupuje. V předchozí kapitole jsme používali označení $\ket{l_1,l_2,l,m}$ pro vlastní vektor příslušející čtveřici operátorů
+
Inverzní transformace k \eqref{TOp:WigEckSlozene} zní
$\hat{\vec{L}}_{(1)}^2, \hat{\vec{L}}_{(2)}^2, \hat{\vec{L}}^2, \hat{L}_3$. Dvojici čísel $l_1,l_2$ přeznačíme na $k,l$
+
\begin{equation*}
a dále budeme charakterizovat pouze jednou hodnotou $b(k,l)$, která bude zdůrazňovat, že i operátor $\hat{\tenzop}(k)$ hraje ve vektoru $\ket{b(k,l),L',M'}$ roli.
+
  \hat{T}(k,q)\ket{b,l_2,m_2} = \sum_{l=|k-l_2|}^{k+l_2} \sum_{m=-l}^l
\footnote{Vektor $\ket{b(k,l),L',M'}$, nemá se společnými vlastními vektory trojice operátorů $\hat{A},\hat{L}^2,\hat{L}_3$: $\ket{a,l,m}$ nic společného, ačkoliv se jejich značení může jevit podobné.}
+
  (k,l_2,q,m_2|l,m)\,\ket{z(b,k,l_2);l,m}.
Z rozkladu vektoru $\ket{l_1,l_2,l,m}$ do báze vektorů
+
\end{equation*}
$\left\{ \ket{l_1, m_1} \ket{l_2, m_2} \right\}_{m_1\in\left\{-l_1, \ldots, l_1\right\};
+
m_2\in\left\{-l_2, \ldots, l_2\right\}}$ zavedené v \eqref{MomH:DefCG} užitím CG koeficientů, plyne pro naše vektory rozklad
+
\[
+
\ket{b(k,l),L',M'} = \sum_{m=-l}^l \sum_{q=-k}^k (k,l,q,m|L',M')\hat{T}(k,q)\ket{b,l,m},
+
\]
+
  
\noindent k němuž existuje inverzní transformace
+
Vraťme se zpět k maticovému elementu a dosaďme do něj z předchozí rovnosti
 
\[
 
\[
\hat{T}(k,q)\ket{b,l,m} = \sum_{L'=|k-l|}^{k+l} \sum_{M'=-L'}^{L'} (k,l,q,m|L',M') \ket{b(k,l),L',M'}.
+
\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2} = \bra{a,l_1,m_1}) \left(
 +
  \sum_{l=|k-l_2|}^{k+l_2} \sum_{m=-l}^l (k,l_2,q,m_2|l,m)\,\ket{z(b,k,l_2);l,m}
 +
  \right),
 
\]
 
\]
 
+
přičemž na základě ortogonality vlastních vektorů $\hat{L}^2$, $\hat{L}_3$ je
Vraťme se zpět k maticovému elementu a dosaďme do něj z předchozí rovnosti
+
zřejmé, že jediný nenulový člen v celém výrazu je člen pro $l=l_1$, $m=m_1$, tedy
 
\[
 
\[
\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m} = (\ket{a,L,M})^+ \left( \sum_{L'=|k-l|}^{k+l} \sum_{M'=-L'}^{L'} (k,l,q,m|L',M')   
+
\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2} = (k,l_2,q,m_2|l_1,m_1)\,
\ket{b(k,l),L',M'} \right),
+
   \braket{a,l_1,m_1}{z(b,k,l_2);l_1,m_1},
 
\]
 
\]
 
+
navíc na základě věty \ref{TOp:VMnetreba} víme, že braket na pravé straně
\noindent přičemž na základě ortogonality vlastních vektorů je zřejmé, že jediný nenulový člen v celém výraze je člen pro $L=L',M=M'$. Tedy
+
nezávisí na hodnotě $m_1$ -- je pouze funkcí $a$, $l_1$ a $z$, kde $z$ v sobě
 +
zahrnuje $b$, $k$ a $l_2$. Celkově tedy
 
\begin{equation} \label{TOp:WignerEckart}
 
\begin{equation} \label{TOp:WignerEckart}
\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m} = (k,l,q,m|L,M) \braket{a,L,M}{b(k,l),L,M},
+
\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2} = (k,l_2,q,m_2|l_1,m_1)\,
 +
  F(a,b,k,l_1,l_2).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
kde na základě věty \ref{TOp:VMnetreba} víme, že braket na pravé straně nezávisí na hodnotě $M \in \{-L, \ldots, L\}$, neboť můžeme psát
+
Rovnost \eqref{TOp:WignerEckart} je matematickým vyjádřením
\[
+
\textbf{Wigner--Eckartova teorému}, který nám usnadňuje určování maticových
\braket{a,L,M}{b(k,l),L,M} = F(a,k,l,L).
+
elementů. Známe-li totiž $\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2}$ pro
\]
+
jednu hodnotu $q,m_1,m_2$, známe ho díky Wigner--Eckartovu teorému
 +
\eqref{TOp:WignerEckart} i pro libovolné jiné hodnoty stejných veličin, tj.
 +
místo $(2l_1+1)(2l_2+1)(2k+1)$ výpočtů stačí provést jediný! Za povšimnutí
 +
obzvláště stojí, že současně získáme „zadarmo“ maticové elementy
 +
\textsl{různých} pozorovatelných $T(k,-k), \ldots, T(k,+k)$.
  
Rovnost \eqref{TOp:WignerEckart} je matematickým vyjádřením \textbf{Wigner-Eckartova teorému}, který nám umožňuje snadné určování maticových elementů. Známe-li totiž $\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m}$ pro jednu hodnotu $M,q,m$, známe ho díky Wigner-Eckartovu teorému \eqref{TOp:WignerEckart} i pro libovolné jiné hodnoty, tj. místo $(2L+1)(2l+1)(2k+1)$ výpočtů stačí provést jediný!
+
Povšimněme si CG koeficientu vystupujícího na pravé straně
 +
\eqref{TOp:WignerEckart}. Odpovídá skládání momentů hybnosti $(l_2,m_2)$ (ket
 +
levé strany) s $(k,q)$ (operátor) za získání $(l_1,m_1)$ (bra levé strany).
 +
Tenzorový operátor se tedy při aplikaci na vlastní stav hybnosti chová, jako
 +
kdyby k němu přičetl další moment hybnosti, kde $k$ hraje roli vedlejšího a
 +
$q$ magnetického kvantového čísla. Například pro nenulovost maticového
 +
elementu musí čísla $l_1$, $l_2$, $k$ splňovat trojúhelníkovou nerovnost.
 +
Další okamžitý výsledek je, že pro $q \ne 0$ je
 +
$\brapigket{a,l,m}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m}$ nutně rovno $0$.
  
Obvyklý způsob zápisu Wigner-Eckartova teorému využívá Wignerovy $3j$-symboly, jejichž vztah mezi CG koeficienty popisuje rovnost \eqref{MomH:Wigner3j}. Platí
+
Obvyklý způsob zápisu Wigner--Eckartova teorému využívá Wignerovy $3j$-symboly,
 +
jejichž vztah k CG koeficientům popisuje rovnost \eqref{MomH:Wigner3j}.
 +
Platí
 
\begin{align}
 
\begin{align}
\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m} &= (-1)^{L-M}
+
\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2} &= (-1)^{l_1-m_1}
 
\left( \begin{array}{ccc}
 
\left( \begin{array}{ccc}
L & k & l \\
+
l_1 & k & l_2 \\
-M & q & m
+
-m_1 & q & m_2
 
\end{array} \right)
 
\end{array} \right)
(a,L\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l) = \nonumber \\
+
(a,l_1\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l_2) = \nonumber \\
&= (-1)^{L+k-l} \frac{(k,l,q,m|L,M)}{(2L+1)^{1/2}}(a,L\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l), \label{TOp:WignerEckart1}
+
&= (-1)^{l_1+k-l_2}
 +
  \frac{(k,l_2,q,m_2|l_1,m_1)}{(2l_1+1)^{1/2}}(a,l_1\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l_2),
 +
  \label{TOp:WignerEckart1}
 
\end{align}  
 
\end{align}  
  
\noindent kde $(a,L\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l)$ se nazývá \textbf{redukovaný maticový element} a je určen levou stranou pro jednu hodnotu $M,q,m$ takovou, že  
+
\noindent kde $(a,l_1\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l_2)$ se nazývá
 +
\textbf{redukovaný maticový element} a je určen levou stranou pro jednu
 +
hodnotu $q,m_1,m_2$ takovou, že  
 
   $\D \left( \begin{array}{ccc}
 
   $\D \left( \begin{array}{ccc}
L & k & l \\
+
l_1 & k & l_2 \\
-M & q & m
+
-m_1 & q & m_2
 
\end{array} \right) \neq 0$.
 
\end{array} \right) \neq 0$.
 
Redukovaný maticový element nemá přímý fyzikální význam.  
 
Redukovaný maticový element nemá přímý fyzikální význam.  
  
Podívejme se na nejjednodušší příklady tenzorových operátorů.
+
Podívejme se nyní na nejjednodušší příklady tenzorových operátorů.
  
 
\begin{enumerate}[$(I)$]
 
\begin{enumerate}[$(I)$]
 
\item \textbf{Skalární operátor}, tj. ireducibilní tenzorový operátor nultého řádu. Podle \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} musí skalární
 
\item \textbf{Skalární operátor}, tj. ireducibilní tenzorový operátor nultého řádu. Podle \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} musí skalární
operátor $\hat{\tenzop}(0) \equiv \hat{T}(0,0)$ splňovat
+
operátor $\hat{\tenzop}(0) \equiv (\hat{T}(0,0))$ splňovat
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
 
\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(0,0)} = 0, \quad \komut{\hat{L}_{\pm}}{\hat{T}(0,0)} = 0,
 
\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(0,0)} = 0, \quad \komut{\hat{L}_{\pm}}{\hat{T}(0,0)} = 0,
 
\end{align*}
 
\end{align*}
\noindent kde první podmínka vlastně znamená, že skalární operátor je invariantní vůči rotaci. Skalární operátor má jeden nenulový maticový element, neboť dle \eqref{TOp:WignerEckart} je
+
    tedy i $\komut{\hat{L}_{1,2}}{\hat{T}(0,0)} = 0$. Tyto podmínky jinými
\[
+
    slovy říkají, že $T(0,0)$ je invariantní vůči rotaci. Skalární operátor má
\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(0,0)}{b,l,m} = (0,l,0,m|L,M) \braket{a,L,M}{b(0,l),L,M}
+
    jeden nenulový maticový element pro $l_2, m_2 = \const$, neboť dle
 +
    \eqref{TOp:WignerEckart} je
 +
    \[
 +
\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(0,0)}{b,l_2,m_2} = (0,l_2,0,m_2|l_1,m_1)
 +
      F(a,b,l_1,l_2)
 
\]
 
\]
\noindent a CG koeficient na pravé straně je nenulový jedině v případě $l=L, m=M$.
+
    a CG koeficient na pravé straně je nenulový jedině v případě
 +
    $l_1=l_2, m_1=m_2$. Maticový element
 +
    $\brapigket{a,l,m}{\hat{T}(0,0)}{b,l,m}$ bude pouze funkcí $a,b,l$.
 
\item \textbf{Vektorový operátor}. Kartézské souřadnice vektorového operátoru $\hat{\vec{V}}=$ $(\hat{V}_1,\hat{V}_2,\hat{V}_3)$  
 
\item \textbf{Vektorový operátor}. Kartézské souřadnice vektorového operátoru $\hat{\vec{V}}=$ $(\hat{V}_1,\hat{V}_2,\hat{V}_3)$  
 
vyhovují komutačním relacím  
 
vyhovují komutačním relacím  
 
\begin{equation} \label{TOp:KomutVektOp}  
 
\begin{equation} \label{TOp:KomutVektOp}  
\komut{\hat{V}_j}{\hat{L}_k} = i \epsilon_{jkl} \hat{V}_l
+
\komut{\hat{L}_j}{\hat{V}_k} = i \hbar \epsilon_{jkl} \hat{V}_l
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
a vzájemně si jednoznačně odpovídají s ireducibilním tenzorovým operátorem prvního řádu
 
a vzájemně si jednoznačně odpovídají s ireducibilním tenzorovým operátorem prvního řádu
Řádka 268: Řádka 340:
 
\noindent pro všechna $m \in \{ -1, 0, 1 \}$.  
 
\noindent pro všechna $m \in \{ -1, 0, 1 \}$.  
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\begin{dusl}
 
Mějme vektorový operátor $\hat{\vec{L}}$ a zkusme určit jeho maticové elementy pro částici v $s$-stavu.
 
\[
 
\brapigket{\alpha,0,0}{\hat{\vec{L}}}{\beta,0,0},
 
\]
 
kde po dosazení z \eqref{TOp:WignerEckart} vzniknou CG koeficienty tvaru $(1,0,q,0|0,0)$, $q \in \{ -1, 0, 1\}$. Ty jsou všechny identicky rovny nule. To má za důsledek (jak brzy uvidíme), že $s$-stav je neovlivnitelný poruchovou teorií do 1. řádu.
 
\end{dusl}
 
  
 
\begin{example}
 
\begin{example}
 
Mějme definován vektorový operátor $\hat{\vec{V}}$ a ireducibilní tenzorový operátor prvního řádu $\hat{\mathbb{T}}(1)$ definován dle \eqref{TOp:PridruzTenzOp}. Pokusíme se najít střední hodnotu první a druhé složky operátoru $\hat{\vec{V}}$ ve stavu popsaném vektorem $\ket{\beta,l,m}$ (hledáme tedy hodnoty součinů $\brapigket{\beta,l,m}{\hat{V}_{1,2}}{\beta,l,m}$). Platí
 
Mějme definován vektorový operátor $\hat{\vec{V}}$ a ireducibilní tenzorový operátor prvního řádu $\hat{\mathbb{T}}(1)$ definován dle \eqref{TOp:PridruzTenzOp}. Pokusíme se najít střední hodnotu první a druhé složky operátoru $\hat{\vec{V}}$ ve stavu popsaném vektorem $\ket{\beta,l,m}$ (hledáme tedy hodnoty součinů $\brapigket{\beta,l,m}{\hat{V}_{1,2}}{\beta,l,m}$). Platí
\begin{align} \label{TOp:VektorNaTenzor}
+
\begin{align*}
 
\hat{V}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\hat{T}(1,-1)-\hat{T}(1,1)\Bigr), \quad  
 
\hat{V}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\hat{T}(1,-1)-\hat{T}(1,1)\Bigr), \quad  
 
\hat{V}_2 = \frac{i}{\sqrt{2}}\Bigl(\hat{T}(1,-1)+\hat{T}(1,1)\Bigr).
 
\hat{V}_2 = \frac{i}{\sqrt{2}}\Bigl(\hat{T}(1,-1)+\hat{T}(1,1)\Bigr).
\end{align}
+
\end{align*}
 
\noindent Potřebujeme zjistit, jak vypadají hodnoty maticových elementů
 
\noindent Potřebujeme zjistit, jak vypadají hodnoty maticových elementů
 
\[
 
\[
 
\brapigket{\beta,l,m}{\hat{T}(1,\pm1)}{\beta,l,m},
 
\brapigket{\beta,l,m}{\hat{T}(1,\pm1)}{\beta,l,m},
 
\]
 
\]
\noindent neboť střední hodnoty $\hat{V}_1, \hat{V}_2$ jsou jejich lineární kombinací. Podle Wigner-Eckartova teorému \eqref{TOp:WignerEckart} platí
+
\noindent neboť střední hodnoty $\hat{V}_1, \hat{V}_2$ jsou jejich lineární
 +
kombinací. Podle Wigner--Eckartova teorému \eqref{TOp:WignerEckart} platí
 
\[
 
\[
\brapigket{\beta,l,m}{\hat{T}(1,\pm1)}{\beta,l,m} = (1,l,\pm1,m|l,m) \braket{\beta,l,m}{\beta(1,l),l,m}.
+
\brapigket{\beta,l,m}{\hat{T}(1,\pm1)}{\beta,l,m} = (1,l,\pm1,m|l,m)
 +
  \braket{\beta,l,m}{z(\beta,l),l,m}.
 
\]
 
\]
\noindent Jelikož CG koeficienty na pravé straně jsou rovny nule, jsou nulové rovněž hledané střední hodnoty operátorů $\hat{V}_1, \hat{V}_2$.
+
\noindent Jelikož CG koeficienty na pravé straně jsou rovny nule (je porušeno pravidlo součtu $m$), jsou nulové rovněž hledané střední hodnoty operátorů $\hat{V}_1, \hat{V}_2$.
 
\end{example}
 
\end{example}
 +
 +
Pro další příklady bude užitečné následující tvrzení.
  
 
\begin{theorem} \label{TOp:VZjednodusseniPrikladu}
 
\begin{theorem} \label{TOp:VZjednodusseniPrikladu}
Řádka 303: Řádka 371:
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
\noindent Poznamenejme, že operátoru $1/\hat{L}^2$ působí na vektor $\ket{a,l,m}$ způsobem
+
Poznamenejme, že inverze operátoru $\hat{L}^2$ se nejsnáze definuje
 +
pomocí spektrálního rozkladu: na vektor $\ket{a,l,m}$ působí dle vztahu
 
\[
 
\[
\frac{1}{\hat{L}^2} \ket{a,l,m} = \frac{1}{l(l+1)} \ket{a,l,m}.
+
\frac{1}{\hat{L}^2} \ket{a,l,m} = \frac{1}{\hbar^2 l(l+1)} \ket{a,l,m}.
 
\]
 
\]
Podívejme se, zda-li spolu nekomutují operátory $\hat{\vec{L}}$ a $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}$
+
Podívejme se, zdali spolu nekomutují operátory $\hat{\vec{L}}$ a $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}$
 
\[
 
\[
 
\komut{\hat{L}_j}{\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}} =
 
\komut{\hat{L}_j}{\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}} =
Řádka 315: Řádka 384:
 
\[
 
\[
 
\hat{L}_i \komut{\hat{L}_j}{\hat{V}_i} + \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_i} \hat{V}_i =  
 
\hat{L}_i \komut{\hat{L}_j}{\hat{V}_i} + \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_i} \hat{V}_i =  
\hat{L}_i i \epsilon_{jik} \hat{V}_k + i \epsilon_{jik} \hat{L}_k \hat{V}_i =
+
\hat{L}_i i\hbar \epsilon_{jik} \hat{V}_k + i\hbar \epsilon_{jik} \hat{L}_k \hat{V}_i =
i \epsilon_{jik}(\hat{L}_i \hat{V}_k + \hat{L}_k \hat{V}_i) = 0.
+
i\hbar \epsilon_{jik}(\hat{L}_i \hat{V}_k + \hat{L}_k \hat{V}_i) = 0.
 
\]
 
\]
Víme navíc, že $\frac {\hat{\vec{L}} \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}$ je vektorový operátor. Na základě Wigner-Eckartova teorému \eqref{TOp:WignerEckart} stačí rovnost \eqref{TOp:WEvzorec} dokázat pro konkrétní složku $\hat{\vec{V}}$ a pro konkrétní hodnoty $m'$, $m$, pro něž CG koeficient $(1,l,q,m|l,m') \neq 0$. Zvolíme $q=0$, $m=m'=l$. Díky volbě $q=0$ víme, že na místě $\hat{\vec{V}}$ na levé straně rovnosti \eqref{TOp:WEvzorec} můžeme očekávat $\hat{V}_3$. Začneme s úpravou pravé strany. Nejprve využijeme dokázané komutační relace
+
Odsud plyne, že $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}$ je skalární operátor,
 +
totéž platí i pro $\hat{L}^2$ a potažmo jeho inverzi. Z~vlastností komutátorů
 +
na součinu \eqref{MomH:KomutacniTrik} pak rychle plyne, že $\frac
 +
{\hat{\vec{L}} \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}$ je
 +
vektorový operátor. Na základě Wigner--Eckartova teorému
 +
\eqref{TOp:WignerEckart} stačí rovnost \eqref{TOp:WEvzorec} dokázat pro
 +
konkrétní složku $\hat{\vec{V}}$ a pro konkrétní hodnoty $m'$, $m$, pro něž CG
 +
koeficient $(1,l,q,m|l,m') \neq 0$. Zvolíme $q=0$, $m=m'=l$. Díky volbě $q=0$
 +
víme, že na místě $\hat{\vec{V}}$ na levé straně rovnosti \eqref{TOp:WEvzorec}
 +
můžeme očekávat $\hat{V}_3$. Začneme s úpravou pravé strany. Nejprve využijeme
 +
dokázané komutační relace
 
\[
 
\[
 
\brapigket{a,l,l} {\frac {\hat{L}_3 \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}} {a,l,l} =
 
\brapigket{a,l,l} {\frac {\hat{L}_3 \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}} {a,l,l} =
\frac{l}{l(l+1)} \brapigket{a,l,l}{(\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}})}{a,l,l},
+
\frac{\hbar l}{\hbar^2l(l+1)} \brapigket{a,l,l}{(\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}})}{a,l,l},
 
\]
 
\]
 
kde dále skalární součin operátorů $(\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}})$ roznásobíme a komponenty impulsmomentu vyjádříme pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$
 
kde dále skalární součin operátorů $(\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}})$ roznásobíme a komponenty impulsmomentu vyjádříme pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$
 
\[
 
\[
\frac{1}{l+1} \brapigket{a,l,l}{\left(\hat{L}_3\hat{V}_3 + \frac{1}{2}(\hat{L}_+ + \hat{L}_-) \hat{V}_1 +
+
\frac{1}{\hbar(l+1)} \brapigket{a,l,l}{\left(\hat{L}_3\hat{V}_3 + \frac{1}{2}(\hat{L}_+ + \hat{L}_-) \hat{V}_1 +
 
\frac{1}{2i} ( \hat{L}_+ - \hat{L}_-) \hat{V}_2\right)}{a,l,l}.
 
\frac{1}{2i} ( \hat{L}_+ - \hat{L}_-) \hat{V}_2\right)}{a,l,l}.
 
\]
 
\]
 
\noindent Operátor $\hat{L}_-$ necháme působit na bra $\bra{a,l,l}$ (což dá nulu). Využijeme komutace operátorů $\komut{\hat{L}_3}{\hat{V}_3}$, operátor $\hat{L}_3$ necháme působit a celý výraz roztrhneme na dvě části
 
\noindent Operátor $\hat{L}_-$ necháme působit na bra $\bra{a,l,l}$ (což dá nulu). Využijeme komutace operátorů $\komut{\hat{L}_3}{\hat{V}_3}$, operátor $\hat{L}_3$ necháme působit a celý výraz roztrhneme na dvě části
 
\[
 
\[
\frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{L}_+  
+
\frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{2\hbar(l+1)}\brapigket{a,l,l}{\hat{L}_+  
(\frac{1}{2}\hat{V}_1 + \frac{1}{2i}\hat{V}_2)}{a,l,l}
+
(\hat{V}_1 - i\hat{V}_2)}{a,l,l}
 
\]
 
\]
a výraz $\frac{1}{2}\hat{V}_1 + \frac{1}{2i}\hat{V}_2$ převedeme na složky tenzorového operátoru užitím \eqref{TOp:VektorNaTenzor}
+
a výraz $\hat{V}_1 - i\hat{V}_2$ převedeme na složky tenzorového operátoru
 +
užitím \eqref{TOp:PridruzTenzOp}: $\hat{V}_1 - i\hat{V}_2 = \sqrt{2}
 +
\hat{V}(1,-1)$. Zpětným dosazením potom dostáváme
 
\[
 
\[
\frac{1}{2}\hat{V}_1 + \frac{1}{2i}\hat{V}_2 = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \left[ (\hat{V}(1,-1)-\hat{V}(1,1)) +
+
\frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{\sqrt{2}\hbar(l+1)}
(\hat{V}(1,-1)+ \hat{V}(1,1)) \right]  = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{V}(1,-1).
+
\]
+
\noindent Zpětným dosazením potom dostáváme
+
\[
+
\frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{(l+1)\sqrt{2}}
+
 
\brapigket{a,l,l}{\hat{L}_+ \hat{V}(1,-1)}{a,l,l} = \]
 
\brapigket{a,l,l}{\hat{L}_+ \hat{V}(1,-1)}{a,l,l} = \]
\[= \frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{(l+1)\sqrt{2}}  
+
\[= \frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{\sqrt{2}\hbar(l+1)}  
 
\brapigket{a,l,l}{\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)} + \hat{V}(1,-1) \hat{L}_+}{a,l,l}.
 
\brapigket{a,l,l}{\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)} + \hat{V}(1,-1) \hat{L}_+}{a,l,l}.
 
\]
 
\]
 
\noindent Působení $\hat{L}_+$ na pravou stranu braketu dává nulu, zatímco komutátor $\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)}$ je dle \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} roven
 
\noindent Působení $\hat{L}_+$ na pravou stranu braketu dává nulu, zatímco komutátor $\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)}$ je dle \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} roven
 
\[
 
\[
\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)} = \alpha^{(+)}(1,-1) \hat{V}(1,0)=\sqrt{2} \hat{V}_3.
+
\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)} = \alpha^{(+)}(1,-1) \hat{V}(1,0)=\sqrt{2}
 +
  \hbar \hat{V}_3.
 
\]
 
\]
 
\noindent Dosazením pak dostáváme
 
\noindent Dosazením pak dostáváme
Řádka 353: Řádka 430:
 
\left( \frac{l}{l+1} + \frac{1}{l+1} \right) \brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} = \brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l},
 
\left( \frac{l}{l+1} + \frac{1}{l+1} \right) \brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} = \brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l},
 
\]
 
\]
\noindent což bylo dokázati. Pomocí Wigner-Eckartova teorému můžeme odůvodnit platnost rovnosti pro všechny složky
+
\noindent což bylo dokázati. Pomocí Wigner--Eckartova teorému můžeme odůvodnit
 +
platnost rovnosti pro všechny složky.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
  
Řádka 366: Řádka 444:
 
\[
 
\[
 
\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\frac{\hat{L}_3 \cdot (\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)})}{\hat{L}^2}}{l_1,l_2;l,m}=
 
\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\frac{\hat{L}_3 \cdot (\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)})}{\hat{L}^2}}{l_1,l_2;l,m}=
\frac{m}{l(l+1)} \brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}}{l_1,l_2;l,m},
+
\frac{m}{\hbar l(l+1)} \brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}}{l_1,l_2;l,m},
 +
\]
 +
kde vyjádřením součinu operátorů $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}$ ve
 +
tvaru%
 +
\footnote{Operátory různých složek $\hat{\vec{L}}$ a $\hat{\vec{L}}_{(1)}$
 +
nekomutují, ale stejných složek ano; díky tomu $\hat{\vec{L}} \cdot
 +
\hat{\vec{L}}_{(1)} = \hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}$. Bez tohoto
 +
pozorování by použitý rozklad nefungoval.}
 +
\[
 +
\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}
 +
  = \frac{1}{2} \left( \hat{L}_{(1)}^2 + \hat{L}^2 -
 +
  (\hat{\vec{L}} - \hat{\vec{L}}_{(1)})^2  \right)
 +
  = \frac{1}{2} \left( \hat{L}_{(1)}^2 + \hat{L}^2 - \hat{L}_{(2)}^2 \right)
 
\]
 
\]
\noindent kde vyjádřením součinu operátorů $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}$ ve tvaru
+
dostáváme hledaný výsledek
 
\[
 
\[
\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)} = \frac{1}{2} \left( \hat{L}_{(1)}^2 + \hat{L}^2 -
+
\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{L}_{(1)3}}{l_1,l_2;l,m} = \frac{\hbar m}{2l(l+1)}\left( l_1(l_1+1)+l(l+1)-l_2(l_2+1)  \right).
(\hat{\vec{L}} - \hat{\vec{L}}_{(1)})^2 \right)
+
 
\]
 
\]
\noindent dostáváme hledaný výsledek
+
Věta \ref{TOp:VZjednodusseniPrikladu} nám nedá odpověď pro $l=0$ (získaný
 +
výsledek na $l=0$ nelze ani rozšířit), ale tím zbývá jediná neznámá
 
\[
 
\[
\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{L}_{(1)3}}{l_1,l_2;l,m} = \frac{m}{2l(l+1)}\left( l_1(l_1+1)+l(l+1)-l_2(l_2+1)  \right).
+
\brapigket{l_1,l_2;0,0}{\hat{L}_{(1)3}}{l_1,l_2;0,0},
 
\]
 
\]
 +
a to ještě jedině v případě $l_1 = l_2$, protože jinak by hodnota $l=0$ nebyla
 +
dosažitelná kvůli trojúhelníkové nerovnosti. V tomto případě získáme výsledek
 +
$0$ snadno na základě symetrie mezi $\hat{L}_{(1)}$ a $\hat{L}_{(2)}$
 +
a známé střední hodnoty $\langle \hat{L}_3 \rangle = \langle \hat{L}_{(1)3} + \hat{L}_{(2)3} \rangle = 0$.
  
  
 
\begin{example}
 
\begin{example}
Užijte Wigner-Eckartova teorému k výpočtu Starkova jevu v poruchové teorii do 1. řádu pro základní a první excitovaný stav elektronu v atomu vodíku.
+
Užijte Wigner--Eckartova teorému k výpočtu Starkova jevu v poruchové teorii do 1. řádu pro základní a první excitovaný stav elektronu v atomu vodíku.
  
 
Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního vnějšího elektrostatického pole. Elektron atomu vodíku v homogenním elektrostatickém poli $\vec{E}=(0,0,E)$ můžeme popsat hamiltoniánem
 
Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního vnějšího elektrostatického pole. Elektron atomu vodíku v homogenním elektrostatickém poli $\vec{E}=(0,0,E)$ můžeme popsat hamiltoniánem
Řádka 389: Řádka 483:
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
 
\hat{H}_0 \ket{n,l,m} &= \frac{-R}{n^2} \ket{n,l,m},  \\
 
\hat{H}_0 \ket{n,l,m} &= \frac{-R}{n^2} \ket{n,l,m},  \\
\hat{L}^2 \ket{n,l,m} &= l(l+1) \ket{n,l,m}, \qquad l \in \{0, 1, \dots, n-1 \},  \\
+
\hat{L}^2 \ket{n,l,m} &= \hbar^2 l(l+1) \ket{n,l,m}, &&\hskip-80pt l \in \{0, 1, \dots, n-1 \},  \\
\hat{L}_3 \ket{n,l,m} &= m \ket{n,l,m}, \qquad  m \in \{-l, \dots, l \},
+
\hat{L}_3 \ket{n,l,m} &= \hbar m \ket{n,l,m}, &&\hskip-80pt m \in \{-l, \dots, l \},
 
\end{align*}
 
\end{align*}
kde $R$ značí Rydbergovu energii, která pro atom vodíku nabývá hodnoty $R \approx 13,6 eV$. $n$ nazýváme hlavní kvantové číslo ($n=1,2,\dots$). Při $n=1$ mluvíme o základním stavu, $n=2$ o 1. excitovaném... Je zřejmé, že mimo základní stav jsou všechny hladiny energie degenerované. Poslední člen hamiltoniánu chápeme jako poruchový člen. Z výše uvedeného plyne nutnost použít poruchové teorie pro degenerované spektrum (viz \cite{hlav:QM}). Dle této teorie je naším úkolem najít matici $\mathbb{B}$ s elementy tvaru
+
kde $R$ značí Rydbergovu energii, která pro atom vodíku nabývá hodnoty $R \approx 13,6 eV$. $n$ nazýváme hlavní kvantové číslo ($n=1,2,\dots$). Při $n=1$ mluvíme o základním stavu, $n=2$ o 1. excitovaném atd. Je zřejmé, že mimo základní stav jsou všechny hladiny energie degenerované. Poslední člen hamiltoniánu chápeme jako poruchový člen. Z výše uvedeného plyne nutnost použít poruchové teorie pro degenerované spektrum (viz \cite{hlav:QM}). Dle této teorie je naším úkolem najít matici $\mathbb{B}$ s elementy tvaru
 
\begin{equation} \label{TOp:StarkElement}
 
\begin{equation} \label{TOp:StarkElement}
 
\mathbb{B}_{ij} = \mathbb{B}_{(L,M),(l,m)} = \brapigket{n,L,M}{eE\hat{X}_3}{n,l,m},
 
\mathbb{B}_{ij} = \mathbb{B}_{(L,M),(l,m)} = \brapigket{n,L,M}{eE\hat{X}_3}{n,l,m},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
jejíž vlastní hodnoty představují 1. opravy energie.
+
jejíž vlastní hodnoty představují 1. opravy energie. V dalším budeme uvažovat
\footnote{V dalším budeme uvažovat maticový element bez $eE$}
+
maticový element bez $eE$.
  
Víme, že k vektorovému operátoru $\hat{\vec{X}}$ existuje ireducibilní tenzorový operátor 1. řádu $\hat{\mathbb{T}}(1)$ tak, že $\hat{X}_3 = \hat{T}(1,0)$ (viz \eqref{TOp:PridruzTenzOp}). Tím máme vše připraveno k nasazení Wigner-Eckartova teorému, jež použijeme zapsaný ve tvaru \eqref{TOp:WignerEckart1}.  
+
Víme, že k vektorovému operátoru $\hat{\vec{X}}$ existuje ireducibilní tenzorový operátor 1. řádu $\hat{\mathbb{T}}(1)$ tak, že $\hat{X}_3 = \hat{T}(1,0)$ (viz \eqref{TOp:PridruzTenzOp}). Tím máme vše připraveno k nasazení Wigner--Eckartova teorému, jež použijeme zapsaný ve tvaru \eqref{TOp:WignerEckart1}.  
Věnujme se nejprve základnímu stavu. Zde máme jediný možný maticový elemet
+
Věnujme se nejprve základnímu stavu. Zde máme jediný možný maticový element
 
\[
 
\[
 
\brapigket{1,0,0}{\hat{T}(1,0)}{1,0,0} = (1,0,0,0|0,0) (-1) (1,0 \left\|\hat{\tenzop}(1)\right\| 1,0).
 
\brapigket{1,0,0}{\hat{T}(1,0)}{1,0,0} = (1,0,0,0|0,0) (-1) (1,0 \left\|\hat{\tenzop}(1)\right\| 1,0).
 
\]
 
\]
Díky nulovosti CG koeficientu na pravé straně můžeme prohlásit, že ke Starkově jevu na základním stavu při poruchové teorie do prvního řádu nedochází.
+
Díky nulovosti CG koeficientu na pravé straně (porušena trojúhelníková nerovnost mezi hodnotami $1,0,0$) můžeme prohlásit, že ke Starkově jevu na základním stavu při poruchové teorie do prvního řádu nedochází.%
\footnote{Poruchová teorie do druhého řádu by vedla k rozštěpení energetického hladiny i pro základní stav.}
+
\footnote{Poruchová teorie do druhého řádu by vedla k posunu energetické hladiny i pro základní stav.}
 
 
 
Přistupme k 1. excitovanému stavu. Zde musíme obdržet matici $4\times4$, neboť ve vlastním vektoru  
 
Přistupme k 1. excitovanému stavu. Zde musíme obdržet matici $4\times4$, neboť ve vlastním vektoru  
 
$\ket{2,l,m}$ musí uspořádaná dvojice
 
$\ket{2,l,m}$ musí uspořádaná dvojice
$(l,m) \in \{(0,0),(1,-1),(1,0),(1,1) \}$. Dále o hledané matici předem víme, že bude samosdružená, neboť
+
$(l,m)$ procházet množinu $\{(0,0),\allowbreak (1,-1),\allowbreak (1,0),\allowbreak (1,1) \}$. Dále o hledané matici předem víme, že bude samosdružená, neboť
 
\[
 
\[
 
\brapigket{n,L,M}{\hat{X}_3}{n,l,m} = \brapigket{n,l,m}{\hat{X}_3}{n,L,M}^\ast.
 
\brapigket{n,L,M}{\hat{X}_3}{n,l,m} = \brapigket{n,l,m}{\hat{X}_3}{n,L,M}^\ast.
 
\]
 
\]
Využijme opět Wigner-Eckartova teorému k určení maticových elementů
+
Využijme opět Wigner--Eckartova teorému k určení maticových elementů
 
\begin{equation}  \label{TOp:StarkExc2}
 
\begin{equation}  \label{TOp:StarkExc2}
 
\brapigket{2,L,M}{\hat{T}(1,0)}{2,l,m} = (1,l,0,m|L,M) \frac{(-1)^{L+1-l}}{(2L+1)^{1/2}}
 
\brapigket{2,L,M}{\hat{T}(1,0)}{2,l,m} = (1,l,0,m|L,M) \frac{(-1)^{L+1-l}}{(2L+1)^{1/2}}
 
(2,L \left\|\hat{\tenzop}(1)\right\| 2,l).
 
(2,L \left\|\hat{\tenzop}(1)\right\| 2,l).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Snadno nalezneme možné hodnoty $(l,m,L,M)$, aby CG koeficinet byl triviálně nenulový. Zůstane nám pět možných kandidátů na nenulový maticový element
+
Snadno nalezneme možné hodnoty $(l,m,L,M)$, aby CG koeficient byl triviálně nenulový. Zůstane nám pět možných kandidátů na nenulový maticový element
 
\begin{subequations}
 
\begin{subequations}
 
\begin{align}
 
\begin{align}
Řádka 428: Řádka 522:
 
\end{align}
 
\end{align}
 
\end{subequations}
 
\end{subequations}
CG koeficient vystupující na pravé straně posledníh maticového elementu je rovněž nulový (již netriviálně). Zbývají nám 4 kandidáti, které musíme napočítat přímo z tvarů vlastních vektorů. Zde jsou jejich explicitní vyjádření
+
CG koeficient vystupující na pravé straně posledního maticového elementu je
 +
rovněž nulový (již netriviálně). Zbývají nám 4 kandidáti, které již musíme
 +
napočítat přímo z~tvarů vlastních vektorů. Zde jsou jejich explicitní
 +
vyjádření:
 
\[
 
\[
 
\ket{2,0,0} = \frac{(1-\rho/2) e^{-\rho/2}}{\sqrt{8 \pi a_0^3}}, \quad  
 
\ket{2,0,0} = \frac{(1-\rho/2) e^{-\rho/2}}{\sqrt{8 \pi a_0^3}}, \quad  
\ket{2,1,0} = \frac{\rho e^{-\rho/2} cos(\vartheta)}{\sqrt{32 \pi a_0^3}}, \quad
+
\ket{2,1,0} = \frac{\rho e^{-\rho/2} \cos(\vartheta)}{\sqrt{32 \pi a_0^3}}, \quad
\ket{2,1,1} = \frac{\rho e^{-\rho/2} sin(\vartheta) e^{i \varphi}}{\sqrt{64 \pi a_0^3}},  
+
\ket{2,1,1} = \frac{\rho e^{-\rho/2} \sin(\vartheta) e^{i \varphi}}{\sqrt{64 \pi a_0^3}},  
 
\]
 
\]
kde $a_0$ představuje Bohrův poloměr, $\rho = r/a_0$. Přešli jsme k novým, sférickým souřadnicím  
+
kde $a_0$ představuje Bohrův poloměr, $\rho = r/a_0$. Přešli jsme ke sférickým souřadnicím  
$(x,y,z) \mapsto (r,\vartheta,\varphi)$ s jakobiánem $|\mathscr{J}|=r^2 sin(\vartheta)$. Transformace ovlivnila i operátor
+
$(x,y,z) \mapsto (\rho,\vartheta,\varphi)$ s jakobiánem $|\mathscr{J}|=a_0^3
$\hat{X}_3 = r cos(\vartheta)$.
+
\rho^2 \sin(\vartheta)$. Transformace ovlivnila i vyjádření operátoru
 +
$\hat{X}_3 = a_0 \rho \cos(\vartheta)$.
  
 
Určeme nyní maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat4} přímo z definice skalárního součinu. Po pečlivém dosazení a úpravě integrandu dostáváme
 
Určeme nyní maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat4} přímo z definice skalárního součinu. Po pečlivém dosazení a úpravě integrandu dostáváme
Řádka 443: Řádka 541:
 
\brapigket{2,1,1}{\hat{X}_3}{2,1,1} =  
 
\brapigket{2,1,1}{\hat{X}_3}{2,1,1} =  
 
\frac{a_0}{64 \pi} \int\limits_{\real^+} d\rho \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^\pi d\vartheta  
 
\frac{a_0}{64 \pi} \int\limits_{\real^+} d\rho \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^\pi d\vartheta  
\rho ^5 e^{-\rho} sin^3(\vartheta) cos(\vartheta) = 0.
+
\rho ^5 e^{-\rho} \sin^3(\vartheta) \cos(\vartheta) = 0.
 
\]
 
\]
 
To ovšem znamená, že redukovaný maticový element na pravé straně \eqref{TOp:StarkExc2} musí být pro $l=L=1$ nulový. Tím pádem je nulový i maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat3}. Maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat2} určíme stejným postupem
 
To ovšem znamená, že redukovaný maticový element na pravé straně \eqref{TOp:StarkExc2} musí být pro $l=L=1$ nulový. Tím pádem je nulový i maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat3}. Maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat2} určíme stejným postupem
Řádka 450: Řádka 548:
 
\brapigket{2,0,0}{\hat{X}_3}{2,1,0} =  
 
\brapigket{2,0,0}{\hat{X}_3}{2,1,0} =  
 
\frac{a_0}{16 \pi} \int\limits_{\real^+} d\rho \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^\pi d\vartheta  
 
\frac{a_0}{16 \pi} \int\limits_{\real^+} d\rho \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^\pi d\vartheta  
\rho ^4 (1-\rho/2) e^{-\rho} sin(\vartheta) cos^2(\vartheta) = -3a_0
+
\rho ^4 (1-\rho/2) e^{-\rho} \sin(\vartheta) \cos^2(\vartheta) = -3a_0
 
\]
 
\]
 
a jelikož maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat1} je jeho komplexním sdružením, musí být
 
a jelikož maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat1} je jeho komplexním sdružením, musí být
Řádka 456: Řádka 554:
 
\brapigket{2,1,0}{\hat{X}_3}{2,0,0} = -3a_0.
 
\brapigket{2,1,0}{\hat{X}_3}{2,0,0} = -3a_0.
 
\]
 
\]
Vraťme se nyní k původní úloze \eqref{TOp:StarkElement} a sepišme naše výsledky do matice
+
Vraťme se nyní k původní úloze \eqref{TOp:StarkElement} a sepišme naše výsledky do matice%
\footnote{Indexaci řádkových a sloupcových prvků můžeme volit dle libosti. Musíme však zachovat stejnou indexaci v řádku a sloupci. V našem příkladě volíme $\{(0,0) \equiv 1,(1,-1) \equiv 2,(1,0) \equiv 3,(1,1) \equiv 4\}$.}
+
\footnote{Indexaci řádkových a sloupcových prvků můžeme volit dle libosti.
 +
Musíme však zachovat stejnou indexaci v řádku a sloupci. V našem příkladě
 +
volíme výše uvedené pořadí $((0,0), (1,-1), (1,0), (1,1))$.}
 
\[
 
\[
 
\mathbb{B} = \left( \begin{array}{cccc}
 
\mathbb{B} = \left( \begin{array}{cccc}
Řádka 467: Řádka 567:
 
Spektrum obsahuje vlastní čísla $\sigma_{\mathbb{B}} = \{ 0, \pm 3eEa_0 \}$.  
 
Spektrum obsahuje vlastní čísla $\sigma_{\mathbb{B}} = \{ 0, \pm 3eEa_0 \}$.  
 
Dle poruchové teorie do 1. řádu tedy dojde k rozštěpení prvního excitovaného stavu na 3 energie: $E_0=-R/4$ s degenerací 2 a $E_{1,2}=-R/4 \pm 3eEa_0$, každá s degenerací 1 (podle algebraické násobnosti vlastních čísel matice $\mathbb{B}$).
 
Dle poruchové teorie do 1. řádu tedy dojde k rozštěpení prvního excitovaného stavu na 3 energie: $E_0=-R/4$ s degenerací 2 a $E_{1,2}=-R/4 \pm 3eEa_0$, každá s degenerací 1 (podle algebraické násobnosti vlastních čísel matice $\mathbb{B}$).
\footnote{Dospěli jsme k výsledku, který je ve shodě s výsledkem získaným odlišným postupem v \cite{hlav:QM}.}
+
Dospěli jsme k výsledku, který je ve shodě s výsledkem získaným odlišným postupem v \cite{hlav:QM}.
 
\end{example}
 
\end{example}
  
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Výhody Wigner-Eckartova bychom docenili až na vyšších excitovaných stavech, popř. při vyšších řádech poruchové teorie. Již při druhém excitovaném stavu by matice $\mathbb{B}$ měla rozměr $9 \times 9$.
+
Výhody Wigner--Eckartova bychom docenili až na vyšších excitovaných stavech, popř. při vyšších řádech poruchové teorie. Již při druhém excitovaném stavu by matice $\mathbb{B}$ měla rozměr $9 \times 9$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}

Verze z 12. 5. 2017, 10:55

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVAN2Hoskoant 6. 5. 201411:44
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůPotocvac 12. 6. 201711:17
Header editovatHlavičkový souborPotocvac 12. 6. 201718:07 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaHoskoant 6. 5. 201410:48 predmluva.tex
Kapitola1 editovatAlgebraická teorie momentu hybnostiPotocvac 8. 6. 201813:31 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatTenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorémKubuondr 13. 6. 201812:22 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatDalší ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechanikyKubuondr 13. 6. 201813:00 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatMatice hustoty a smíšené kvantové stavyKubuondr 12. 6. 201809:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPřibližné metody v kvantové mechaniceKubuondr 9. 6. 201821:23 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatPropagátorPotocvac 3. 5. 201816:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatDráhový integrálKubuondr 5. 4. 202017:09 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTeorie rozptyluKubuondr 13. 6. 201807:54 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPartiční sumaKubuondr 13. 6. 201808:14 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatReprezentace vícečásticových systémůKubuondr 11. 6. 201809:34 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatKvantování klasických políKubuondr 13. 6. 201810:45 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatLiteraturaHoskoant 6. 5. 201410:53 kapitolaA.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:wkb-1.pdf wkb-1.pdf
Image:wkb-2.pdf wkb-2.pdf
Image:wkb-3.pdf wkb-3.pdf
Image:wkb-4.pdf wkb-4.pdf
Image:wkb-5.pdf wkb-5.pdf
Image:wkb-ho.pdf wkb-ho.pdf
Image:itw-1.pdf itw-1.pdf
Image:drahy-1.pdf drahy-1.pdf
Image:drahy-2.pdf drahy-2.pdf
Image:feynman-1.pdf feynman-1.pdf
Image:feynman-2.pdf feynman-2.pdf
Image:feynman-3.pdf feynman-3.pdf
Image:feynman-4.pdf feynman-4.pdf
Image:rozptyl-1.pdf rozptyl-1.pdf
Image:rozptyl-2.pdf rozptyl-2.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
\section{Tenzorové operátory, Wigner--Eckartův teorém}
 
\begin{define} \label{MomH:DefLm1m2l}
Mějme ÚMP tvořenou $\hat{A}, \hat{L}^2, \hat{L}_3$ a jí příslušné vlastní vektory $\ket{a,l,m}$ splňující relace
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \hat{L}_\pm \ket{a,l,m} &= \alpha^{(\pm)}(l,m) \ket{a,l,m \pm 1}, \\
    \hat{L}_3 \ket{a,l,m} &= \hbar m \ket{a,l,m}.
  \end{aligned}
  \label{MomH:PlusMinus3}
\end{equation}
Pak definujeme
	\begin{equation} 	\label{MomH:DefSymb}
		\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)} = \brapigket{a,l,m_1}{\vec{L}}{a,l,m_2},
	\end{equation}
tedy
\begin{equation*}
\vec{L} \ket{a,l,m_2} = \sum_{m_1,m_2} \vec{L}_{m_1m_2}^{(l)} \ket{a,l,m_1}.
\end{equation*}
\end{define}
 
Jedná se pouze o jiný, stručnější, zápis relací \eqref{MomH:PlusMinus3} v
kartézských složkách $L$ namísto tzv. sférických složek $\{L_+, L_-, L_3\}$;
hodnoty $\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)}$ souvisejí s $\alpha^{(\pm)}(l,m_2)$ triviálními
vztahy plynoucími z převodních rovnic
	\[
		\vec{L} = \Biggl( \frac{\hat{L}_+ + \hat{L}_-}{2},  \frac{\hat{L}_+ - \hat{L}_-}{2i}, \hat{L}_3 \Biggr).
	\]
Důležitější je si povšimnout, že $\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)}$ nezávisí na
$a$, a tedy ani na volbě radiální pozorovatelné $\hat{A}$, a že aplikace 
$\hat{\vec{L}}$ nemění hodnotu $l$.
 
\begin{theorem} \label{TOp:VMnetreba}
	Mějme 2 posloupnosti vektorů $\left( \ket{a, l_1, m_1} \right)_{m_1 = -l_1}^{l_1}$ a 
	$\left( \ket{b, l_2, m_2} \right)_{m_2 = -l_2}^{l_2}$ takových, že 
	\begin{align*}
		\hat{\vec{L}} \ket{a, l_1, m_1} &= \sum_{m' = -l_1}^{l_1}
    \vec{L}_{m'm_1}^{(l_1)} \ket{a, l_1, m'}, \\ 
		\hat{\vec{L}} \ket{b, l_2, m_2} &= \sum_{m' = -l_2}^{l_2}
    \vec{L}_{m'm_2}^{(l_2)} \ket{b, l_2, m'}. 
	\end{align*}
 
	Potom platí:
	\begin{equation}
		\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \delta_{l_1l_2} \delta_{m_1m_2} F(l_1,a,b),
	\label{TOp:braket}
	\end{equation}
 
\noindent kde $F$ je neznámá funkce proměnných $l_1,a,b$ (měli bychom si povšimnout především nezávislosti 
pravé strany rovnosti \eqref{TOp:braket} na konkrétních hodnotách $m_1, m_2$).
\end{theorem}	\begin{proof}
Předpoklady věty, přeformulované zpět v jazyce posunovacích operátorů a $L_3$, je
možné zapsat ve tvaru
\begin{equation}
  \label{TOp:LemmaPM3}
  \begin{aligned} 
    \hat{L}_\pm \ket{a, l_1, m_1} &= \alpha^{(\pm)}(l_1,m_1) \ket{a, l_1, m_1 \pm 1}, \\
    \hat{L}_\pm \ket{b, l_2, m_2} &= \alpha^{(\pm)}(l_2,m_2) \ket{b, l_2, m_2 \pm 1}, \\
    \hat{L}_3 \ket{a, l_1, m_1} &= \hbar m_1 \ket{a, l_1, m_1}, \\
    \hat{L}_3 \ket{b, l_2, m_2} &= \hbar m_2 \ket{b, l_2, m_2}.
  \end{aligned}	
\end{equation}
 
Pomocí rozkladu \eqref{MomH:PosunOpL2} lze též odvodit, i když se předpoklady
o $\hat{\vec{L}}^2$ výslovně nezmiňují,
\begin{subequations}
  \label{TOp:LemmaL2}
  \begin{equation}
    \begin{aligned}
      \hat{\vec{L}}^2 \ket{a, l_1, m_1} &= (\hat{L}_-\hat{L}_+ + \hat{L}_3^2 +
      \hbar \hat{L}_3) \ket{a, l_1, m_1} =\\
      &= \alpha^{(-)}(l_1,m+1) \alpha^{(+)}(l_1,m) \ket{a,
      l_1, m_1} + \hbar^2 m^2 \ket{a, l_1, m_1} + \hbar^2 m \ket{a, l_1, m_1} =\\
      &= \hbar^2 l_1(l_1+1) \ket{a, l_1, m_1}
    \end{aligned}
  \end{equation}
  a podobně
  \begin{equation}
    \hat{\vec{L}}^2 \ket{b, l_2, m_2} = \hbar^2 l_2(l_2+1) \ket{b, l_2, m_2}.
  \end{equation}
\end{subequations}
 
Zkoumejme výraz $\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{L}_3}{b,l_2,m_2}$. Operátor můžeme 
nechat působit na ket nebo na bra, na tom výsledek nemůže záviset. Pomocí 
\eqref{TOp:LemmaPM3} tak dostáváme rovnost
\begin{equation*}
\hbar m_2 \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \hbar m_1
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2},
\end{equation*}
z níž plyne, že skalární součin $\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2}$ může být
nenulový pouze tehdy, kdy $m_1 = m_2$.
 
Podobně pomocí výrazu $\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{\vec{L}}^2}{b,l_2,m_2}$ a
připravených rovností \eqref{TOp:LemmaL2} získáváme, že
$\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2}$ je nutně roven $0$ v případech $l_1 \ne l_2$.
Odsud již je skalární součin vymezen na tvar
\begin{equation}
\label{TOp:X}
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \delta_{l_1l_2} \delta_{m_1m_2} X,
\end{equation}
kde $X$ může záviset již jen na $a$, $b$ a společných hodnotách $l$, $m$.
 
Pro tvrzení věty zbývá dokázat, že závislost $X$ na $m_{1,2}$ musí být
konstantní. Za tímto účelem využijeme ještě potřetí vyjádření
\eqref{MomH:PosunOpL2} a, tentokrát již za předpokladu $l_1 = l_2 \wedge m_1 =
m_2$, vypočítáme zvlášť člen
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\brapigket{a,l,m}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b,l,m} &= \brapigket{a,l,m}{(\hat{L}^2 -
\hat{L}_3^2 - \hat{L}_3)}{b,l,m} =\\
&= \hbar^2(l(l+1) - m(m+1)) \braket{a,l,m}{b,l,m}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Zbývající dosud nevyzkoušená kombinace při výpočtu téhož členu je nechat
působit $\hat{L}_+$ na ket a $\hat{L}_-$ na bra. Pro účinek na bra
nezapomeneme, že $(\hat{L}_-)^\dagger = \hat{L}_+$, takže ve výsledku se
dvakrát objeví $\alpha^{(+)}(l,m)$:
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \brapigket{a,l,m}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b,l,m}
    &= \left( \hat{L}_+ \ket{a,l,m} \right)^\dagger \left( \hat{L}_+ \ket{b,l,m}
    \right) =\\
    &= \left( \alpha^{(+)}(l,m) \right)^2 \braket{a,l,m+1}{b,l,m+1} =\\
    &= \hbar^2 (l(l+1) - m(m+1)) \braket{a,l,m+1}{b,l,m+1}.
  \end{aligned}
\end{equation*}
Porovnáním obou výsledků je zřejmé, že pro všechna $m$, $-l \le m < l$
\begin{equation*}
\braket{a,l,m}{b,l,m} = \braket{a,l,m+1}{b,l,m+1}
\end{equation*}
a tedy, že veličina $X$ v \eqref{TOp:X} nezávisí na $m$ a lze ji psát jako
$F(l,a,b)$, jak tvrdí věta.
\end{proof}
 
Porozumění operátoru momentu hybnosti umožní klasifikovat tenzorové operátory.
Z klasické fyziky totiž víme, že tenzorový (či skalární, vektorový) charakter
veličin je dán jejich vlastnostmi při transformacích prostoru. V
eukleidovských prostorech je postačující uvažovat rotace. Transformace při
rotacích jsou v klasické teoretické fyzice svázány s Poissonovými závorkami se
složkami momentu hybnosti, jakožto generátorů grupy rotací. Ve fyzice kvantové
tedy budeme analogicky očekávat definici tenzorového operátoru založenou na
komutátorech s operátory složek momentu hybnosti. Tak je motivována
následující definice:
 
\begin{define} \label{DIrTenzOp}
\textbf{Ireducibilní tenzorový operátor $k$-tého řádu $\hat{\tenzop}(k)$} je soubor $(2k+1)$ operátorů $(\hat{T}(k,q))_{q=-k}^k$ takových, že
	\begin{align} \label{TOp:DefIrTenzOp1}
			\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(k,q)} &= \hbar q \hat{T}(k,q), \nonumber \\
			\komut{\hat{L}_\pm}{\hat{T}(k,q)} &= \alpha^{(\pm)}(k,q) \hat{T}(k,q \pm 1).
	\end{align}
\end{define}
 
\begin{remark}
Podmínky \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} lze ekvivalentně zapsat užitím definice \ref{MomH:DefLm1m2l}
	\begin{equation} \label{TOp:DefIrTenzOp2}
		\komut{\hat{\vec{L}}}{\hat{T}(k,q)} = \sum_{q'=-k}^k
    \vec{L}_{q' q}^{(k)} \hat{T}(k,q').
	\end{equation}
\end{remark}
 
Často budeme potřebovat počítat maticový element operátoru $\hat{T}(k,q)$ v
bázích $\ket{a,l_1,m_1}$, $\ket{b,l_2,m_2}$ --
$\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2}$ -- pro různá $m_1$, $m_2$. V dalším
využijeme vlastností $\hat{\vec{L}}$ ke zjednodušení výpočtů výrazů	tohoto
typu. 
 
Mějme dvě ÚMP $(\hat{A}, \hat{L}^2, \hat{L}_3)$, $(\hat{B}, \hat{L}^2,
\hat{L}_3)$ a vlastní vektory $\ket{a,l_1,m_1}$, $\ket{b,l_2,m_2}$ vyhovující podmínkám
	\begin{align*}
		\hat{A} \ket{a,l_1,m_1} &= a \ket{a,l_1,m_1},
      &\hat{B} \ket{b,l_2,m_2} &= b \ket{b,l_2,m_2}, \\
		\hat{L}^2 \ket{a,l_1,m_1} &= \hbar^2 l_1(l_1+1) \ket{a,l_1,m_1},
      &\hat{L}^2 \ket{b,l_2,m_2} &= \hbar^2 l_2(l_2+1) \ket{b,l_2,m_2}, \\
		\hat{L}_3 \ket{a,l_1,m_1} &= \hbar m_1 \ket{a,l_1,m_1},
      &\hat{L}_3 \ket{b,l_2,m_2} &= \hbar m_2 \ket{b,l_2,m_2}.
	\end{align*}
 
Uvažujme pevně zvolené $a,b,l_1,l_2$. Tím pádem $m_1 \in \left\{ -l_1, \ldots, l_1
\right\}$, $m_2 \in \left\{ -l_2, \ldots, l_2 \right\}$. Rovněž mějme
definovánu složku ireducibilního tenzorového operátoru $\hat{T}(k,q)$. Upravme
vektor 
$\hat{\vec{L}} \hat{T} (k,q)  \ket{b,l_2,m_2}$
\begin{align} \label{TOp:WigEckOdv1}
	\hat{\vec{L}} \hat{T} (k,q) \ket{b,l_2,m_2} &= 
				\left( \komut{\hat{\vec{L}}}{\hat{T} (k,q)} + \hat{T} (k,q) \hat{\vec{L}} \right) \ket{b,l_2,m_2} = \nonumber \\
				&= \sum_{q'=-k}^k \vec{L}_{q'q}^{(k)} \left( \hat{T}(k,q') \ket{b,l_2,m_2} \right) +
				\sum_{m'=-l_2}^{l_2} \vec{L}_{m' m_2}^{(l)} \left( \hat{T}(k,q) \ket{b,l_2,m'} \right). 
\end{align}
 
Při úpravě bylo užito věty \ref{TOp:VMnetreba} a poznámky u definice \ref{DIrTenzOp} 
(rovnost \eqref{TOp:DefIrTenzOp2}). Zavedeme-li označení%
\footnote{Pozor, nejedná se nutně o normalizované ani o vzájemně ortogonální 
vektory.}
\[	
	\ket{k,q,b,l_2,m_2} = \hat{T}(k,q) \ket{b,l_2,m_2},
\]
potom stavy $\ket{k,q,b,l_2,m_2}$ se z hlediska komutačních relací s
$\hat{\vec{L}}$ chovají stejně jako stavy $\ket{k,q} \ket{l,m}$ v úloze
skládání dvou momentů hybnosti, neboť 
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \hat{\vec{L}} \ket{k,q} \ket{l,m} &= \left( \hat{\vec{L}}_{(1)} \ket{k,q}
    \right) \ket{l,m} + \ket{k,q} \left( \hat{\vec{L}}_{(2)} \ket{l,m}
    \right) =\\
    &= \sum_{q'=-k}^k \vec{L}_{q'q}^{(k)} \ket{k,q'} \ket{l,m} +
    \sum_{m'=-l}^{l} \vec{L}_{m'm}^{(l)} \ket{k,q} \ket{l,m'},
  \end{aligned}
  \label{TOp:WigEckOdv2}
\end{equation}
kde bylo rovněž použito rovnosti \eqref{TOp:DefIrTenzOp2}. Vidíme, že výrazy \eqref{TOp:WigEckOdv1} a \eqref{TOp:WigEckOdv2} jsou formálně stejné.
 
Díky této shodě můžeme zadefinovat vlastní vektory „složeného“ momentu
hybnosti
\begin{equation}
\ket{z(b,k,l_2);l,m} := \sum_{m_2=-l_2}^{l_2} \sum_{q=-k}^k (k,l_2,q,m_2|l,m)
\hat{T}(k,q)\ket{b,l_2,m_2},
\label{TOp:WigEckSlozene}
\end{equation}
uvozovky proto, že na místě složeného momentu vystupuje opět $\hat{\vec{L}}$:
\begin{align*}
	\hat{L}^2 \ket{z(b,k,l_2);l,m} &= \hbar^2 l(l+1) \ket{z(b,k,l_2);l,m}, \\
	\hat{L}_3 \ket{z(b,k,l_2);l,m} &= \hbar m \ket{z(b,k,l_2);l,m}.
\end{align*}
Veličina $z$ je blíže neurčená, je důležité se v ní nesnažit identifikovat
vlastní číslo operátorů $\hat A$ ani $\hat B$. Je však jednoznačně určena
původními hodnotami $b, k, l_2$.
 
Inverzní transformace k \eqref{TOp:WigEckSlozene} zní
\begin{equation*}
  \hat{T}(k,q)\ket{b,l_2,m_2} = \sum_{l=|k-l_2|}^{k+l_2} \sum_{m=-l}^l
  (k,l_2,q,m_2|l,m)\,\ket{z(b,k,l_2);l,m}.
\end{equation*}
 
Vraťme se zpět k maticovému elementu a dosaďme do něj z předchozí rovnosti
\[
	\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2} = \bra{a,l_1,m_1}) \left(
  \sum_{l=|k-l_2|}^{k+l_2} \sum_{m=-l}^l (k,l_2,q,m_2|l,m)\,\ket{z(b,k,l_2);l,m}
  \right),
\]
přičemž na základě ortogonality vlastních vektorů $\hat{L}^2$, $\hat{L}_3$ je
zřejmé, že jediný nenulový člen v celém výrazu je člen pro $l=l_1$, $m=m_1$, tedy
\[
	\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2} = (k,l_2,q,m_2|l_1,m_1)\,
  \braket{a,l_1,m_1}{z(b,k,l_2);l_1,m_1},
\]
navíc na základě věty \ref{TOp:VMnetreba} víme, že braket na pravé straně
nezávisí na hodnotě $m_1$ -- je pouze funkcí $a$, $l_1$ a $z$, kde $z$ v sobě
zahrnuje $b$, $k$ a $l_2$. Celkově tedy
\begin{equation} \label{TOp:WignerEckart}
	\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2} = (k,l_2,q,m_2|l_1,m_1)\,
  F(a,b,k,l_1,l_2).
\end{equation}
 
Rovnost \eqref{TOp:WignerEckart} je matematickým vyjádřením
\textbf{Wigner--Eckartova teorému}, který nám usnadňuje určování maticových
elementů. Známe-li totiž $\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2}$ pro
jednu hodnotu $q,m_1,m_2$, známe ho díky Wigner--Eckartovu teorému
\eqref{TOp:WignerEckart} i pro libovolné jiné hodnoty stejných veličin, tj.
místo $(2l_1+1)(2l_2+1)(2k+1)$ výpočtů stačí provést jediný! Za povšimnutí
obzvláště stojí, že současně získáme „zadarmo“ maticové elementy
\textsl{různých} pozorovatelných $T(k,-k), \ldots, T(k,+k)$.
 
Povšimněme si CG koeficientu vystupujícího na pravé straně
\eqref{TOp:WignerEckart}. Odpovídá skládání momentů hybnosti $(l_2,m_2)$ (ket
levé strany) s $(k,q)$ (operátor) za získání $(l_1,m_1)$ (bra levé strany).
Tenzorový operátor se tedy při aplikaci na vlastní stav hybnosti chová, jako
kdyby k němu přičetl další moment hybnosti, kde $k$ hraje roli vedlejšího a
$q$ magnetického kvantového čísla. Například pro nenulovost maticového
elementu musí čísla $l_1$, $l_2$, $k$ splňovat trojúhelníkovou nerovnost.
Další okamžitý výsledek je, že pro $q \ne 0$ je
$\brapigket{a,l,m}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m}$ nutně rovno $0$.
 
Obvyklý způsob zápisu Wigner--Eckartova teorému využívá Wignerovy $3j$-symboly,
jejichž vztah k CG koeficientům popisuje rovnost \eqref{MomH:Wigner3j}.
Platí
\begin{align}
	\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(k,q)}{b,l_2,m_2} &= (-1)^{l_1-m_1}
		\left( \begin{array}{ccc}
			l_1  & k & l_2 \\
			-m_1 & q & m_2
		\end{array} \right)
		(a,l_1\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l_2) = \nonumber \\
	&= (-1)^{l_1+k-l_2}
  \frac{(k,l_2,q,m_2|l_1,m_1)}{(2l_1+1)^{1/2}}(a,l_1\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l_2),
  \label{TOp:WignerEckart1}
\end{align} 
 
\noindent kde $(a,l_1\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l_2)$ se nazývá
\textbf{redukovaný maticový element} a je určen levou stranou pro jednu
hodnotu $q,m_1,m_2$ takovou, že 
  $\D \left( \begin{array}{ccc}
			l_1  & k & l_2 \\
			-m_1 & q & m_2
		\end{array} \right) \neq 0$.
Redukovaný maticový element nemá přímý fyzikální význam. 
 
Podívejme se nyní na nejjednodušší příklady tenzorových operátorů.
 
\begin{enumerate}[$(I)$]
	\item \textbf{Skalární operátor}, tj. ireducibilní tenzorový operátor nultého řádu. Podle \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} musí skalární
			 operátor $\hat{\tenzop}(0) \equiv (\hat{T}(0,0))$ splňovat
		\begin{align*}
			\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(0,0)} = 0, \quad \komut{\hat{L}_{\pm}}{\hat{T}(0,0)} = 0,
		\end{align*}
    tedy i $\komut{\hat{L}_{1,2}}{\hat{T}(0,0)} = 0$. Tyto podmínky jinými
    slovy říkají, že $T(0,0)$ je invariantní vůči rotaci. Skalární operátor má
    jeden nenulový maticový element pro $l_2, m_2 = \const$, neboť dle
    \eqref{TOp:WignerEckart} je
    \[
			\brapigket{a,l_1,m_1}{\hat{T}(0,0)}{b,l_2,m_2} = (0,l_2,0,m_2|l_1,m_1)
      F(a,b,l_1,l_2)
		\]
    a CG koeficient na pravé straně je nenulový jedině v případě
    $l_1=l_2, m_1=m_2$. Maticový element
    $\brapigket{a,l,m}{\hat{T}(0,0)}{b,l,m}$ bude pouze funkcí $a,b,l$.
	\item \textbf{Vektorový operátor}. Kartézské souřadnice vektorového operátoru $\hat{\vec{V}}=$ $(\hat{V}_1,\hat{V}_2,\hat{V}_3)$ 
				vyhovují komutačním relacím 
		\begin{equation} \label{TOp:KomutVektOp} 
			\komut{\hat{L}_j}{\hat{V}_k} = i \hbar \epsilon_{jkl} \hat{V}_l	
		\end{equation}
			a vzájemně si jednoznačně odpovídají s ireducibilním tenzorovým operátorem prvního řádu
			$\hat{\mathbb{T}}(1)=(\hat{T}(1,1),\hat{T}(1,0),\hat{T}(1,-1))$ transformací
		\begin{align} \label{TOp:PridruzTenzOp}
			\hat{T}(1,1)= - \frac{\hat{V}_1+i\hat{V}_2}{\sqrt{2}}, \quad
			\hat{T}(1,0)=\hat{V}_3, \quad
			\hat{T}(1,-1)=\frac{\hat{V}_1-i\hat{V}_2}{\sqrt{2}}.
		\end{align}
	Příkladem vektorového operátoru jsou nám již známé operátory $\hat{\vec{X}}, \hat{\vec{P}}, \hat{\vec{L}}$. Například $\hat{\vec{L}}$ vzájemně odpovídá ireducibilnímu tenzorovému operátoru 
		\[
			\hat{\mathbb{T}}(1) = \Bigl( \hat{T}(1,1),\hat{T}(1,0),\hat{T}(1,-1) \Bigr) =
			\left( \frac{-1}{\sqrt{2}}\hat{L}_+ , \hat{L}_3, \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{L}_- \right),
		\] 
\noindent neboť jsou splněny podmínky \eqref{TOp:DefIrTenzOp1}		
		\begin{align*}
			\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(1,m)} = m \hat{T}(1,m), \quad 
			\komut{\hat{L}_{\pm}}{\hat{T}(1,m)} = \alpha^{(\pm)}(1,m) \hat{T}(1,m \pm 1),
		\end{align*}
\noindent pro všechna $m \in \{ -1, 0, 1 \}$. 
\end{enumerate}
 
\begin{example}
Mějme definován vektorový operátor $\hat{\vec{V}}$ a ireducibilní tenzorový operátor prvního řádu $\hat{\mathbb{T}}(1)$ definován dle \eqref{TOp:PridruzTenzOp}. Pokusíme se najít střední hodnotu první a druhé složky operátoru $\hat{\vec{V}}$ ve stavu popsaném vektorem $\ket{\beta,l,m}$ (hledáme tedy hodnoty součinů $\brapigket{\beta,l,m}{\hat{V}_{1,2}}{\beta,l,m}$). Platí
\begin{align*}
	\hat{V}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\hat{T}(1,-1)-\hat{T}(1,1)\Bigr), \quad 
	\hat{V}_2 = \frac{i}{\sqrt{2}}\Bigl(\hat{T}(1,-1)+\hat{T}(1,1)\Bigr).
\end{align*}
\noindent Potřebujeme zjistit, jak vypadají hodnoty maticových elementů
\[
	\brapigket{\beta,l,m}{\hat{T}(1,\pm1)}{\beta,l,m},
\]
\noindent neboť střední hodnoty $\hat{V}_1, \hat{V}_2$ jsou jejich lineární
kombinací. Podle Wigner--Eckartova teorému \eqref{TOp:WignerEckart} platí
\[
	\brapigket{\beta,l,m}{\hat{T}(1,\pm1)}{\beta,l,m} = (1,l,\pm1,m|l,m)
  \braket{\beta,l,m}{z(\beta,l),l,m}.	
\]
\noindent Jelikož CG koeficienty na pravé straně jsou rovny nule (je porušeno pravidlo součtu $m$), jsou nulové rovněž hledané střední hodnoty operátorů $\hat{V}_1, \hat{V}_2$.
\end{example}
 
Pro další příklady bude užitečné následující tvrzení.
 
\begin{theorem} \label{TOp:VZjednodusseniPrikladu}
Mějme dánu ÚMP $(\hat{A}$, $\hat{L}^2$, $\hat{L}_3)$ a k ní příslušející bázi vlastních vektorů 
$(\ket{a,l,m})$. Dále mějme dán vektorový operátor $\hat{\vec{V}}$. Potom pro $l \neq 0$ platí
\begin{equation} \label{TOp:WEvzorec}
	\brapigket{a,l,m'}{\hat{\vec{V}}}{a,l,m} = 
	\brapigket{a,l,m'} {\frac {\hat{\vec{L}} \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}} {a,l,m}.
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
Poznamenejme, že inverze operátoru $\hat{L}^2$ se nejsnáze definuje
pomocí spektrálního rozkladu: na vektor $\ket{a,l,m}$ působí dle vztahu
\[
	\frac{1}{\hat{L}^2} \ket{a,l,m} = \frac{1}{\hbar^2 l(l+1)} \ket{a,l,m}.
\]
Podívejme se, zdali spolu nekomutují operátory $\hat{\vec{L}}$ a $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}$
\[	
	\komut{\hat{L}_j}{\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}} =
	\hat{L}_i \komut{\hat{L}_j}{\hat{V}_i} + \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_i} \hat{V}_i.
\]
\noindent Výraz upravíme dále užitím komutačních relací vektorových operátorů \eqref{TOp:KomutVektOp}
\[
	\hat{L}_i \komut{\hat{L}_j}{\hat{V}_i} + \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_i} \hat{V}_i = 
	\hat{L}_i i\hbar \epsilon_{jik} \hat{V}_k + i\hbar \epsilon_{jik} \hat{L}_k \hat{V}_i =
	i\hbar \epsilon_{jik}(\hat{L}_i \hat{V}_k + \hat{L}_k \hat{V}_i) = 0.
\]
Odsud plyne, že $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}$ je skalární operátor,
totéž platí i pro $\hat{L}^2$ a potažmo jeho inverzi. Z~vlastností komutátorů
na součinu \eqref{MomH:KomutacniTrik} pak rychle plyne, že $\frac
{\hat{\vec{L}} \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}$ je
vektorový operátor. Na základě Wigner--Eckartova teorému
\eqref{TOp:WignerEckart} stačí rovnost \eqref{TOp:WEvzorec} dokázat pro
konkrétní složku $\hat{\vec{V}}$ a pro konkrétní hodnoty $m'$, $m$, pro něž CG
koeficient $(1,l,q,m|l,m') \neq 0$. Zvolíme $q=0$, $m=m'=l$. Díky volbě $q=0$
víme, že na místě $\hat{\vec{V}}$ na levé straně rovnosti \eqref{TOp:WEvzorec}
můžeme očekávat $\hat{V}_3$. Začneme s úpravou pravé strany. Nejprve využijeme
dokázané komutační relace
\[
	\brapigket{a,l,l} {\frac {\hat{L}_3 \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}} {a,l,l} =
	\frac{\hbar l}{\hbar^2l(l+1)} \brapigket{a,l,l}{(\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}})}{a,l,l},
\]
kde dále skalární součin operátorů $(\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}})$ roznásobíme a komponenty impulsmomentu vyjádříme pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$
\[
	\frac{1}{\hbar(l+1)} \brapigket{a,l,l}{\left(\hat{L}_3\hat{V}_3 + \frac{1}{2}(\hat{L}_+ + \hat{L}_-) \hat{V}_1 +
									\frac{1}{2i} ( \hat{L}_+ - \hat{L}_-) \hat{V}_2\right)}{a,l,l}.
\]
\noindent Operátor $\hat{L}_-$ necháme působit na bra $\bra{a,l,l}$ (což dá nulu). Využijeme komutace operátorů $\komut{\hat{L}_3}{\hat{V}_3}$, operátor $\hat{L}_3$ necháme působit a celý výraz roztrhneme na dvě části
\[
	\frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{2\hbar(l+1)}\brapigket{a,l,l}{\hat{L}_+ 
			(\hat{V}_1 - i\hat{V}_2)}{a,l,l}
\]
a výraz $\hat{V}_1 - i\hat{V}_2$ převedeme na složky tenzorového operátoru
užitím \eqref{TOp:PridruzTenzOp}: $\hat{V}_1 - i\hat{V}_2 = \sqrt{2}
\hat{V}(1,-1)$. Zpětným dosazením potom dostáváme
\[
	\frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{\sqrt{2}\hbar(l+1)}
		\brapigket{a,l,l}{\hat{L}_+ \hat{V}(1,-1)}{a,l,l} = \]
	\[= \frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{\sqrt{2}\hbar(l+1)} 
		\brapigket{a,l,l}{\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)} + \hat{V}(1,-1) \hat{L}_+}{a,l,l}.	
\]
\noindent Působení $\hat{L}_+$ na pravou stranu braketu dává nulu, zatímco komutátor $\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)}$ je dle \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} roven
\[
	\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)} = \alpha^{(+)}(1,-1) \hat{V}(1,0)=\sqrt{2}
  \hbar \hat{V}_3.
\]
\noindent Dosazením pak dostáváme
\[
	\left( \frac{l}{l+1} + \frac{1}{l+1} \right) \brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} = \brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l},
\]
\noindent což bylo dokázati. Pomocí Wigner--Eckartova teorému můžeme odůvodnit
platnost rovnosti pro všechny složky.
\end{proof}
 
\begin{example}
Uvažujme systém složený ze dvou podsystémů. Máme určit střední hodnotu výsledku měření třetí komponenty impulsmomentu prvního podsystému provedených ve společném vlastním stavu kvadrátů impulsmomentů obou podsystémů, třetí komponenty impulsmomentu celého systému a kvadrátu impulsmomentu celého systému.
\end{example}
Střední hodnota 3. složky impulsmomentu 1. částice je dána maticovým elementem
\[
	\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{L}_{(1)3}}{l_1,l_2;l,m},
\]
\noindent který užitím věty \ref{TOp:VZjednodusseniPrikladu} přechází na
\[
	\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\frac{\hat{L}_3 \cdot (\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)})}{\hat{L}^2}}{l_1,l_2;l,m}=
	\frac{m}{\hbar l(l+1)} \brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}}{l_1,l_2;l,m},
\]
kde vyjádřením součinu operátorů $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}$ ve
tvaru%
\footnote{Operátory různých složek $\hat{\vec{L}}$ a $\hat{\vec{L}}_{(1)}$
nekomutují, ale stejných složek ano; díky tomu $\hat{\vec{L}} \cdot
\hat{\vec{L}}_{(1)} = \hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}$. Bez tohoto
pozorování by použitý rozklad nefungoval.}
\[
	\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}
  = \frac{1}{2} \left( \hat{L}_{(1)}^2 + \hat{L}^2 -
	  (\hat{\vec{L}} - \hat{\vec{L}}_{(1)})^2  \right)
  = \frac{1}{2} \left( \hat{L}_{(1)}^2 + \hat{L}^2 - \hat{L}_{(2)}^2 \right)
\]
dostáváme hledaný výsledek
\[
 	\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{L}_{(1)3}}{l_1,l_2;l,m} = \frac{\hbar m}{2l(l+1)}\left( l_1(l_1+1)+l(l+1)-l_2(l_2+1)  \right).
\]
Věta \ref{TOp:VZjednodusseniPrikladu} nám nedá odpověď pro $l=0$ (získaný 
výsledek na $l=0$ nelze ani rozšířit), ale tím zbývá jediná neznámá
\[
\brapigket{l_1,l_2;0,0}{\hat{L}_{(1)3}}{l_1,l_2;0,0},
\]
a to ještě jedině v případě $l_1 = l_2$, protože jinak by hodnota $l=0$ nebyla 
dosažitelná kvůli trojúhelníkové nerovnosti. V tomto případě získáme výsledek 
$0$ snadno na základě symetrie mezi $\hat{L}_{(1)}$ a $\hat{L}_{(2)}$ 
a známé střední hodnoty $\langle \hat{L}_3 \rangle = \langle \hat{L}_{(1)3} + \hat{L}_{(2)3} \rangle = 0$.
 
 
\begin{example}
Užijte Wigner--Eckartova teorému k výpočtu Starkova jevu v poruchové teorii do 1. řádu pro základní a první excitovaný stav elektronu v atomu vodíku.
 
Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního vnějšího elektrostatického pole. Elektron atomu vodíku v homogenním elektrostatickém poli $\vec{E}=(0,0,E)$ můžeme popsat hamiltoniánem
\[
	\hat{H}= \frac{\hat{\vec{P}}^2}{2m_e} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 |\hat{\vec{X}}|} + e E \hat{X}_3.
\]
Poslední člen budeme považovat za malou opravu $\hat{H}_0$ popisující atom vodíku bez vnějšího elektrického pole. Vlastní funkce $\hat{H}_0$, které označíme $\ket{n,l,m}$, splňují
\begin{align*}
	\hat{H}_0 \ket{n,l,m} &= \frac{-R}{n^2} \ket{n,l,m},   \\
	\hat{L}^2 \ket{n,l,m} &= \hbar^2 l(l+1) \ket{n,l,m}, &&\hskip-80pt l \in \{0, 1, \dots, n-1 \},   \\
	\hat{L}_3 \ket{n,l,m} &= \hbar m \ket{n,l,m}, &&\hskip-80pt m \in \{-l, \dots, l \},
\end{align*}
kde $R$ značí Rydbergovu energii, která pro atom vodíku nabývá hodnoty $R \approx 13,6 eV$. $n$ nazýváme hlavní kvantové číslo ($n=1,2,\dots$). Při $n=1$ mluvíme o základním stavu, $n=2$ o 1. excitovaném atd. Je zřejmé, že mimo základní stav jsou všechny hladiny energie degenerované. Poslední člen hamiltoniánu chápeme jako poruchový člen. Z výše uvedeného plyne nutnost použít poruchové teorie pro degenerované spektrum (viz \cite{hlav:QM}). Dle této teorie je naším úkolem najít matici $\mathbb{B}$ s elementy tvaru
\begin{equation} \label{TOp:StarkElement}
	\mathbb{B}_{ij} = \mathbb{B}_{(L,M),(l,m)} = \brapigket{n,L,M}{eE\hat{X}_3}{n,l,m},
\end{equation}
jejíž vlastní hodnoty představují 1. opravy energie.  V dalším budeme uvažovat
maticový element bez $eE$.
 
Víme, že k vektorovému operátoru $\hat{\vec{X}}$ existuje ireducibilní tenzorový operátor 1. řádu $\hat{\mathbb{T}}(1)$ tak, že $\hat{X}_3 = \hat{T}(1,0)$ (viz \eqref{TOp:PridruzTenzOp}). Tím máme vše připraveno k nasazení Wigner--Eckartova teorému, jež použijeme zapsaný ve tvaru \eqref{TOp:WignerEckart1}. 
Věnujme se nejprve základnímu stavu. Zde máme jediný možný maticový element
\[
	\brapigket{1,0,0}{\hat{T}(1,0)}{1,0,0} = (1,0,0,0|0,0) (-1) (1,0 \left\|\hat{\tenzop}(1)\right\| 1,0).
\]
Díky nulovosti CG koeficientu na pravé straně (porušena trojúhelníková nerovnost mezi hodnotami $1,0,0$) můžeme prohlásit, že ke Starkově jevu na základním stavu při poruchové teorie do prvního řádu nedochází.%
\footnote{Poruchová teorie do druhého řádu by vedla k posunu energetické hladiny i pro základní stav.}
 
Přistupme k 1. excitovanému stavu. Zde musíme obdržet matici $4\times4$, neboť ve vlastním vektoru 
$\ket{2,l,m}$ musí uspořádaná dvojice
$(l,m)$ procházet množinu $\{(0,0),\allowbreak (1,-1),\allowbreak (1,0),\allowbreak (1,1) \}$. Dále o hledané matici předem víme, že bude samosdružená, neboť
\[
	\brapigket{n,L,M}{\hat{X}_3}{n,l,m} = \brapigket{n,l,m}{\hat{X}_3}{n,L,M}^\ast.
\]
Využijme opět Wigner--Eckartova teorému k určení maticových elementů
\begin{equation}  \label{TOp:StarkExc2}
	\brapigket{2,L,M}{\hat{T}(1,0)}{2,l,m} = (1,l,0,m|L,M) \frac{(-1)^{L+1-l}}{(2L+1)^{1/2}}
			(2,L \left\|\hat{\tenzop}(1)\right\| 2,l).
\end{equation}
Snadno nalezneme možné hodnoty $(l,m,L,M)$, aby CG koeficient byl triviálně nenulový. Zůstane nám pět možných kandidátů na nenulový maticový element
\begin{subequations}
\begin{align}
	\brapigket{2,1,0}{&\hat{X}_3}{2,0,0},    \label{TOp:StarkKandidat1}   \\
	\brapigket{2,0,0}{&\hat{X}_3}{2,1,0},    \label{TOp:StarkKandidat2}   \\
	\brapigket{2,1,-1}{&\hat{X}_3}{2,1,-1},  \label{TOp:StarkKandidat3}   \\
	\brapigket{2,1,1}{&\hat{X}_3}{2,1,1},    \label{TOp:StarkKandidat4}   \\
	\brapigket{2,1,0}{&\hat{X}_3}{2,1,0},    \label{TOp:StarkKandidat5}   
\end{align}
\end{subequations}
CG koeficient vystupující na pravé straně posledního maticového elementu je
rovněž nulový (již netriviálně). Zbývají nám 4 kandidáti, které již musíme
napočítat přímo z~tvarů vlastních vektorů. Zde jsou jejich explicitní
vyjádření:
\[
	\ket{2,0,0} = \frac{(1-\rho/2) e^{-\rho/2}}{\sqrt{8 \pi a_0^3}}, \quad 
	\ket{2,1,0} = \frac{\rho e^{-\rho/2} \cos(\vartheta)}{\sqrt{32 \pi a_0^3}}, \quad
	\ket{2,1,1} = \frac{\rho e^{-\rho/2} \sin(\vartheta) e^{i \varphi}}{\sqrt{64 \pi a_0^3}}, 
\]
kde $a_0$ představuje Bohrův poloměr, $\rho = r/a_0$. Přešli jsme ke sférickým souřadnicím 
$(x,y,z) \mapsto (\rho,\vartheta,\varphi)$ s jakobiánem $|\mathscr{J}|=a_0^3
\rho^2 \sin(\vartheta)$. Transformace ovlivnila i vyjádření operátoru 
$\hat{X}_3 = a_0 \rho \cos(\vartheta)$.
 
Určeme nyní maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat4} přímo z definice skalárního součinu. Po pečlivém dosazení a úpravě integrandu dostáváme
 
\[
	\brapigket{2,1,1}{\hat{X}_3}{2,1,1} = 
		\frac{a_0}{64 \pi} \int\limits_{\real^+} d\rho \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^\pi d\vartheta 
		\rho ^5 e^{-\rho} \sin^3(\vartheta) \cos(\vartheta) = 0.
\]
To ovšem znamená, že redukovaný maticový element na pravé straně \eqref{TOp:StarkExc2} musí být pro $l=L=1$ nulový. Tím pádem je nulový i maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat3}. Maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat2} určíme stejným postupem
 
\[
	\brapigket{2,0,0}{\hat{X}_3}{2,1,0} = 
		\frac{a_0}{16 \pi} \int\limits_{\real^+} d\rho \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^\pi d\vartheta 
		\rho ^4 (1-\rho/2) e^{-\rho} \sin(\vartheta) \cos^2(\vartheta) = -3a_0
\]
a jelikož maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat1} je jeho komplexním sdružením, musí být
\[
	\brapigket{2,1,0}{\hat{X}_3}{2,0,0} = -3a_0.
\]
Vraťme se nyní k původní úloze \eqref{TOp:StarkElement} a sepišme naše výsledky do matice%
\footnote{Indexaci řádkových a sloupcových prvků můžeme volit dle libosti.
Musíme však zachovat stejnou indexaci v řádku a sloupci. V našem příkladě
volíme výše uvedené pořadí $((0,0), (1,-1), (1,0), (1,1))$.}
\[
	\mathbb{B} = \left( \begin{array}{cccc}
    			0 & 0 & -3eEa_0 & 0 \\
    			0 & 0 & 0 & 0 \\
    			-3eEa_0 & 0 & 0 & 0 \\
    			0 & 0 & 0 & 0 \\	\end{array} \right).
\]
Spektrum obsahuje vlastní čísla $\sigma_{\mathbb{B}} = \{ 0, \pm 3eEa_0 \}$. 
Dle poruchové teorie do 1. řádu tedy dojde k rozštěpení prvního excitovaného stavu na 3 energie: $E_0=-R/4$ s degenerací 2 a $E_{1,2}=-R/4 \pm 3eEa_0$, každá s degenerací 1 (podle algebraické násobnosti vlastních čísel matice $\mathbb{B}$).
Dospěli jsme k výsledku, který je ve shodě s výsledkem získaným odlišným postupem v \cite{hlav:QM}.
\end{example}
 
\begin{remark}
Výhody Wigner--Eckartova bychom docenili až na vyšších excitovaných stavech, popř. při vyšších řádech poruchové teorie. Již při druhém excitovaném stavu by matice $\mathbb{B}$ měla rozměr $9 \times 9$.
\end{remark}