02KVAN2:Kapitola11: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(interpunkce)
(Změněno pořadí výkladu, větší důraz na teorii pole a odvození jednotlivých vztahů, menší na závěrečný přechod V → ∞)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
\section{Kvantování klasických polí}
 
\section{Kvantování klasických polí}
Tato, poslední, kapitola poznámek si klade za cíl stručné shrnutí látky z přednášky, ale je na místě poznamenat, že kvantováním polí se bude příští rok zabývat dvousemestrální předmět a tudíž zde není ani zdaleka možné projít všechny aspekty látky. Berte kapitolu jako přípravu na další rok. Z historických důvodů se tomuto postupu někdy říká \textit{druhá kvantizace}, kvantování polí je ale název věrnější.
+
Tato, poslední, kapitola poznámek si klade za cíl stručné shrnutí látky z přednášky, ale je na místě poznamenat, že kvantováním polí se bude příští rok zabývat dvousemestrální předmět a tudíž zde není ani zdaleka možné projít všechny aspekty látky. Berte kapitolu jako přípravu na další rok. Z historických důvodů se tomuto postupu někdy říká \textit{druhé kvantování}, kvantování polí je ale název věrnější.
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
\subsection{Konstrukce \texorpdfstring{$\hat{H}$}{H} pro systémy s proměnným počtem částic}
+
\subsection{Připomenutí: klasická teorie pole}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Abychom mohli konstruovat hamiltoniány systémů s proměnným počtem částic, je vhodné uhodnout jejich interakce na základě fyzikálního rozboru situace.
+
Začneme stručným zopakováním základních vzorců a pouček klasické teorie pole v~Lag\-rangeově a Hamiltonově formalismu.
  
\subsubsection*{Např. nejhrubší odhad absorpce a emise záření}
+
\subsubsection*{Hustota lagrangiánu}
Předpokládejme atom popsaný hamiltoniánem $\hat{H}_P$, model, který lze v nejhrubším přiblížení použít pro popis interakce takového atomu s polem částic daným $\kreak{a}, \anihilak{a}$, je
+
Centrální význam lagrangiánu $L(q^1, \ldots, q^s, \dot q^1, \ldots, \dot q^s, t)$ v teorii pole přebírá \textit{hustota lagrangiánu}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H} = \hat{H}_P + \sum_a \left( \hat{U}_a \kreak{a} + \hat{U}_a^{\dagger} \anihilak{a} \right) + \sum_{a,b} \hat{U}_{ab} \kreak{a} \anihilak{b} + \ldots
+
\mathscr{L}(\varphi^1, \ldots, \varphi^s, \varphi^1_{,\mu}, \ldots, \varphi^s_{,\mu}, x^\mu),
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde první suma je v tomto tvaru, aby byla hermitovsky sdružená, kde členy s $\hat{U}$ obsahují \textit{atomové} proměnné, píšu to v kurzívě, protože i tyhle členy jsou operátory - působící na atomovou část Hilbertova prostoru. Dále požadujeme $\hat{U}_{ab} = \hat{U}_{ba}^{\dagger}$ a speciálně $\hat{U}_{aa} = f(a) I$ opět kvůli samosdruženosti. Operátory $\kreak{a}, \anihilak{a}$ jsou kreační a anihilační operátory pro vhodnou jednočásticovou ÚMP. Tečky pak značí členy, které už zanedbáváme. Správně by mezi operátory měla být tenzořítka a bylo by vhodné rozepsat na kterých Hilbertových prostorech který operátor působí, ale snad je to zřejmé. Dále uvidíme čemu který člen v rozvoji odpovídá, naším cílem je v jednotlivých členech najít popis absorpce a emise částic $\kreak{a}, \anihilak{a}$ za současné excitace/deexcitace atomu...
+
z níž můžeme určit $L = \int \mathscr{L} \dif V$. V takto utvořeném lagrangiánu na místě obecných souřadnic vystupují \textit{pole} $\varphi^i(x^\mu)$, typicky závisející na souřadnicích a čase, kompaktně dohromady zapsaných jako čtveřice prostoročasových souřadnic. V hustotě lagrangiánu se kromě obecných rychlostí $\dot\varphi^i := \varphi^i_{,t} := \partial_t\varphi^i$ může vyskytovat závislost i na derivacích $\varphi^i$ podle $x, y, z$. Tomuto musejí být uzpůsobeny Euler-Lagrangeovy rovnice, které získávají tvar
 +
\begin{equation}
 +
\sum_\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \frac{\partial\mathscr L}{\partial\varphi^i_{,\mu}} - \frac{\partial\mathscr L}{\partial\varphi^i} = 0.
 +
\label{}
 +
\end{equation}
 +
Derivace zcela vlevo se rozumí počítaná v soustavě souřadnic $(x^\mu)$, tedy $\varphi^i$ apod. se v~ní již neuvažují jako nezávislé proměnné lagrangiánu, ale jako funkce souřadnic a~času. V~soustavě jedné proměnné by se takto chovala úplná časová derivace.
  
Výpočty budeme provádět v poruchovém rozvoji za předpokladu, že známe spektrum $\hat{H}_P$
+
\subsubsection*{Hustota hamiltoniánu}
 +
Teorii pole můžeme formulovat i v Hamiltonově formalismu. Na rozdíl od předchozího případu, nezávislého na volbě vztažné soustavy, v Hamiltonově formalismu získává časová souřadnice výhradní roli oproti prostorovým. Volíme tedy obecné hybnosti jako derivace podle časové změny $\varphi^i$,
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H}_P \ket{\xi} = \xi \ket{\xi}.
+
\Pi_i = \frac{\partial\mathscr L}{\partial\varphi^i_{,t}} = \frac{\partial\mathscr L}{\partial\dot\varphi^i},
 +
\label{pole:hybnost}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Označme
+
a Legendreovu transformaci provedeme též pouze v záměně $\dot\varphi^i \leftrightarrow \Pi_i$. Výsledkem je hamiltonián, který lze psát opět jako integrál $H = \int \mathscr{H} \dif V$ z \textit{hustoty hamiltoniánu}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H}_0 = \hat{H}_P + \sum_a \epsilon_a \kreak{a} \anihilak{a},
+
\mathscr{H} = \Pi_i \dot\varphi^i - \mathscr{L} = \mathscr{H}(\varphi^1, \ldots, \varphi^s, \varphi^1_{,k}, \ldots, \varphi^s_{,k}, \Pi_1, \ldots, \Pi_s, x^i, t)
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
u něj totiž známe vlastní vektory, umíme je napsat
+
Věnujte pozornost nezávislým proměnným: obecná rychlost $\dot\varphi^i$ se nahradila obecnou hybností $\Pi_i$, ale ostatní (prostorové) derivace $\varphi^i$ zůstávají! To má vliv na mnoho aspektů teorie. Zejména pohybové rovnice je třeba psát pomocí funkcionálních (či variačních) derivací%
 +
\footnote{Jak jsme je zavedli v kapitole \ref{sec:funkcionalni derivace}.}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\ket{\xi} \left( \prod_{a} \frac{\kreak{a}^{n_a}}{\sqrt{n_a !}} \right) \ket{0} = \ket{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots},
+
\begin{aligned}
 +
\dot\varphi^i(\vec x, t) &= \frac{\delta H}{\delta\Pi_i(\vec x, t)} = \frac{\partial\mathscr{H}(\vec{x},t)}{\partial\Pi_i}, \\
 +
\dot\Pi_i(\vec x, t) &= -\frac{\delta H}{\delta\varphi^i(\vec x, t)} = -\frac{\partial\mathscr{H}(\vec{x},t)}{\partial\varphi^i} + \sum_k \frac{\partial}{\partial x^k}\frac{\partial\mathscr{H}(\vec{x},t)}{\partial\varphi^i_{,k}},
 +
\end{aligned}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
to se hodí pro poruchovou teorii.
+
které berou ohled na možnost výskytu nezávislé polní proměnné i jejích derivací.
  
Obvykle budeme počítat pravděpodobnosti
+
\subsubsection*{Poissonovy závorky}
 +
Podobným způsobem jako pohybové rovnice je potřeba upravit Poissonovy závorky. V~každý okamžik můžeme vyhodnotit Poissonovu závorku dvou stavových funkcí jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
W_{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots; t_0 \rightarrow \xi'; n_1', \ldots, n_a', \ldots; t_1}
+
\{F,G\} = \int \dif^3 x \sum_{i=1}^s \left( \frac{\delta F}{\delta\varphi^i(\vec x,t)} \frac{\delta G}{\delta\Pi_i(\vec x,t)} - \frac{\delta F}{\delta\Pi_i(\vec x,t)} \frac{\delta G}{\delta\varphi^i(\vec x,t)} \right).
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
které do prvního řádu umíme napsat velmi podobně jako v kapitolce o propagátoru lineárního harmonického oscilátoru
+
Pohyb soustavy pak můžeme tradičně psát jako Poissonovu závorku s hamiltoniánem (ne hustotou). Poněkud je ale třeba upravit kanonické Poissonovy závorky: zejména nemůžeme používat samotné $\varphi^i$, $\Pi_i$, protože se nejedná o stavové funkce.
 +
Na skutečné trajektorii soustavy budou jak $\varphi^i$ tak $\Pi_i$ funkcemi souřadnic a času, a o stavových funkcích tak můžeme mluvit pouze po vyhodnocení těchto veličin v nějakých souřadnicích (ale stejném čase).
 +
Jejich Poissonova závorka vede na zobecněné funkce:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
W_{\ldots} \approx F(t_1 - t_0) \abs{\brapigket{\xi'; n_1', \ldots, n_a', \ldots}{\sum_a \left( \hat{U}_a \kreak{a} + \hat{U}_a^{\dagger} \anihilak{a} \right) + \sum_{a\neq b} \kreak{a} \anihilak{b}}{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots}}^2
+
\{\varphi^i(\vec x, t), \Pi_j(\vec y, t)\} = \delta_{ij} \delta^3(\vec x - \vec y).
 +
\label{pole:kanon}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
\subsubsection*{Interpretace členů}
+
%================================================================================
 
+
\subsection{Jak kvantovat klasická pole}
\subsubsection*{\texorpdfstring{$\hat{U}_a \kreak{a}$}{Ua a}:}
+
%================================================================================
Rozepíšeme element $\brapigket{\xi'; n_1', \ldots, n_a', \ldots}{\hat{U}_a \kreak{a}}{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots}$ díky tomu na kterou část operátory netriviálně působí:
+
Kvantování se standardně provádí podle návodu:
 +
\begin{enumerate}
 +
%
 +
\item Uvažujte klasickou volnou (neinteragující) polní teorii danou hustotou lagrangiánu. (Interakce začleníme později.)
 +
%
 +
\item Nalezněte řešení pohybových rovnic z Lagrangeova formalismu ve formě superpozice rovinných vln.
 +
%
 +
\item Vyjádřete amplitudy rovinných vln $a^i(\vec{k})$ a jejich komplexní sdružení pomocí polí a jejich kanonických hybností \eqref{pole:hybnost},
 +
%\begin{equation}
 +
% \Pi_i = \parcder{\mathscr{L}(\varphi^i, \varphi^i_{,\mu})}{(\varphi^i_{,t})},
 +
%\end{equation}
 +
pro které klasicky postulujeme Poissonovy závorky \eqref{pole:kanon}.
 +
%
 +
\item Přeškálujte veličiny $a^i(\vec{k})$, aby platilo
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\brapigket{\xi'; n_1', \ldots, n_a', \ldots}{\hat{U}_a \kreak{a}}{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots} = \brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi} \brapigket{0}{\left( \prod_{b}^{} \frac{\anihilak{b}^{n_b'}}{\sqrt{n_b' !}} \right) \kreak{a} \left( \prod_{c}^{} \frac{\kreak{c}^{n_c}}{\sqrt{n_c !}} \right)}{0},
+
  i\hbar \{ a^i(\vec{k}), \overline{a}^j(\vec{k}') \} = \delta_{ij}\delta^3(\vec{k}-\vec{k}').
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Nyní bychom rádi prokomutovali operátor $\kreak{a}$ doleva, ten komutuje se všemi umocněnými anihilačními operátory v levém součinu až na $\anihilak{a}^{n_a'}$, takže mezivýsledek je
+
%
 +
\item Zaveďte $\mathscr{H} = \Pi_i \dot\varphi^i - \mathscr{L}$, z něj spočítejte $H = \int \dif ^3 x \mathscr{H}$ a ověřte, že
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi} \brapigket{0}{\frac{\anihilak{a}^{n_a'} \kreak{a}}{\sqrt{n_a' !}} \left( \prod_{b \neq a}^{} \frac{\anihilak{b}^{n_b'}}{\sqrt{n_b' !}} \right) \ldots}{0}, \label{eq:mezivysledek}
+
H = \sum_i \int \dif^3 k E(i, \vec{k}) \overline{a}^i(\vec{k}) a^i(\vec{k})
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Z toho, že $\komut{\anihilak{a}}{\kreak{a}} = 1$ se indukcí snadno ukáže
+
je součtem energií uvažované superpozice rovinných vln.
 +
%
 +
\item Kvantujte použitím principu korespondence
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\frac{\anihilak{a}^{n_a'} \kreak{a}}{\sqrt{n_a' !}} = \kreak{a} \anihilak{a}^{n_a'} + \frac{\sqrt{n_a'} \anihilak{a}^{n_a' - 1}}{\sqrt{(n_a' - 1)!}},
+
\begin{aligned}
 +
\{F, G\} &\mapsto \frac{1}{i\hbar} [\hat F, \hat G], \\
 +
\varphi^i(\vec{x}, t), \Pi_i(\vec{x}, t) &\mapsto \hat{\varphi}_i(\vec{x}, t), \hat{\Pi}_i(\vec{x}, t) \\
 +
a^i(\vec{k}), \overline{a}^i(\vec{k}) &\mapsto \hat{a}_{i,\vec{k}}, \hat{a}^\dagger_{i,\vec{k}}, \\
 +
H &\mapsto \hat{H} = \sum_i \int \dif^3 k E(i, \vec{k}) \hat{a}^\dagger_{i,\vec{k}} \hat{a}_{i,\vec{k}}.
 +
\end{aligned}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
pokud tohle dosadíme do \eqref{eq:mezivysledek}, díky pořadí operátorů můžeme zapomenout na $\kreak{a} \anihilak{a}^{n_a'}$ a přepsat \eqref{eq:mezivysledek} na
+
Odsud okamžitě plyne $[\hat{a}_{i,\vec{k}}, \hat{a}^\dagger_{j,\vec{k}'}] = \delta_{ij} \delta^3(\vec{k}-\vec{k}')$, jak má platit pro spojité bosonové kreační a anihilační operátory. Všimněte si, že hamiltonián se přepisuje v „normálním uspořádání“. Počítat jej přímo náhradou $\varphi, \Pi$ za operátory ve vzorci pro $\mathscr{H}$ by vedlo k zákeřným nekonečnům, která se pak musejí složitě odstraňovat.
\begin{eqnarray}
+
%
&&\brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi} \sqrt{n_a'} \braket{n_1', \ldots, n_a' - 1, \ldots}{n_1, \ldots, n_a, \ldots} = \notag \\
+
\item Postulujte existenci a jedinečnost normalizovaného stavu s nejnižší energií, \textit{vakua} $\ket{0}$, splňujícího \eqref{eq:anihilakkk}.
&&=  \underbrace{\sqrt{n_a'}}_{\sqrt{n_a + 1}} \brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi} \delta_{n_1' n_1} \ldots \delta_{n_a', n_a + 1} \ldots
+
Fockův prostor pak generujeme působením operátorů $\kreak{\alpha}$ na $\ket{0}$. Takto získané stavy ($\kreak{\alpha_1} \ldots \kreak{\alpha_n} \ket{0}$) interpretujeme jako stavy obsahující $n$ kvant pole $\varphi$. Tyto stavy pak mají energii/hybnost danou jako součet energií/hybností stavů $\kreak{\alpha_k} \ket{0}$, proto stav $\kreak{\alpha} \ket{0}$ interpretujeme jako částici pole $\varphi$, např. foton, ve stavu $\ket{\alpha}$ a obecně stav $\kreak{\alpha_1} \ldots \kreak{\alpha_n} \ket{0}$ jako $n$-částicový stav.
\end{eqnarray}
+
%
Takže je vidět, že tento člen popisuje proces, při kterém dojde k vyzáření částice ve stavu $a$ a současně změnu stavu atomu $\xi \longrightarrow \xi'$, je totiž nenulový jen pro $n_a' = n_a +1$...
+
\item Interakční členy v klasickém $\mathscr{L}$ vyjádřete také pomocí $\anihilak{i,\vec{k}}$, $\kreak{i,\vec{k}}$ a započítejte je poruchově.
 +
\end{enumerate}
  
\subsubsection*{\texorpdfstring{$\hat{U}_a^{\dagger} \anihilak{a}$}{Ua+ a}:}
 
Podobným postupem (jen bychom komutovali doprava) bychom ukázali
 
\begin{eqnarray}
 
\ldots &=& \brapigket{\xi'}{\hat{U}_a^{\dagger}}{\xi} \sqrt{n_a} \braket{n_1', \ldots, n_a', \ldots}{n_1, \ldots, n_a - 1, \ldots} \notag \\
 
&=& \overline{\brapigket{\xi}{\hat{U}_a^\dagger}{\xi'}} \sqrt{n_a} \delta_{n_1 n_1'} \ldots \delta_{n_a', n_a -1},
 
\end{eqnarray}
 
tento člen je nenulový pouze pro $n_a' = n_a - 1$, takže popisuje přesně opačný proces k tomu předchozímu.
 
 
Dohromady tak můžeme psát
 
\begin{eqnarray}
 
W_{\mathrm{emise} \: n_a \rightarrow n_a + 1} &\sim & (n_a + 1) \abs{\brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi}}^2, \label{eq:emise}\\
 
W_{\mathrm{absorpce} \: n_a \rightarrow n_a - 1} &\sim & (n_a) \abs{\brapigket{\xi}{\hat{U}_a}{\xi'}}^2. \label{eq:absorpce}
 
\end{eqnarray}
 
 
Už zbývá jen otázka jak získat $\hat{U}_a$, $\sum_a \epsilon_a \kreak{a} \anihilak{a}$ apod. Odpověď je kvantováním polní teorie.
 
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
\subsection{Jak kvantovat klasická pole}
+
\subsubsection{Volné reálné Klein-Gordonovo pole
 +
(\texorpdfstring{$c = 1$, $\hbar = 1$}{c = 1, ħ = 1})}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Kvantování se standardně provádí podle kuchařky:
+
Příklad uvedeme na tzv. reálném skalárním poli,%
\begin{enumerate}
+
\footnote{Takový popis se přiřazuje Higgsovu bosonu.}
\item Uvažujte klasickou volnou (neinteragující) polní teorii, např.
+
daném lorentzovsky invariantní hustotou lagrangiánu
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2.
+
\mathscr{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi \partial^\mu \varphi - \frac{1}{2} m^2 \varphi^2 = \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \varphi_{,\mu} \varphi_{,\nu} - \frac{1}{2} m^2 \varphi^2,
 
\end{equation}
 
\end{equation}
\item Nalezněte řešení pohybových rovnic z Lagrangiovského formalismu ve formě superpozice rovinných vln.\\
+
kde $(x^\mu) = (t, x, y, z)$. Napíšeme pohybové rovnice
Pohybové rovnice rovnice, připomínáme, jsou
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\partial_\mu \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} - \parcder{\mathscr{L}}{\phi} = 0,\label{eq:pohyboveRovnice}
+
  \begin{aligned}
 +
    \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\varphi_{,\kappa}} &= \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \delta^\kappa_\mu \varphi_{,\nu} + \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \varphi_{,\mu} \delta^\kappa_\nu = \eta^{\kappa\nu} \varphi_{,\nu}, \\
 +
    0 = \partial_\kappa\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\varphi_{,\kappa}} - \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\varphi} &= \partial_\kappa (\eta^{\kappa\nu} \varphi_{,\nu}) + m^2 \varphi = \eta^{\mu\nu} \varphi_{,\mu,\nu} + m^2 \varphi = \square\varphi + m^2\varphi,
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{pole:kg}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
ty (snad) umíme vyřešit.
+
kde jsme použili d'Alembertova operátoru $\square$. Než rovnice začneme řešit, připravíme si ještě rovnou obecnou hybnost volbou $\kappa=0$ v první z rovnic:
\item Definujte obecnou hybnost
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\Pi = \parcder{\mathscr{L}(\phi, \partial_\mu \phi)}{(\partial_0 \phi)},
+
\Pi = \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\varphi_{,0}} = \eta^{0\nu} \varphi_{,\nu} = \dot\varphi.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
pro kterou klasicky postulujeme Poissonovy závorky v daném čase
+
Rovnice \eqref{pole:kg}, známá jako rovnice Klein--Gordonova, má nekonečně mnoho řešení tvaru rovinné vlny
\begin{equation}
+
\komut{\phi(\vec{x}, t)}{\Pi(\vec{y}, t)}_{\mathrm{P.B.}} = \delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{y}).
+
\end{equation}
+
\item V řešení \eqref{eq:pohyboveRovnice} nalezněte klasické objekty (funkce!) $a_a$, $\overline{a_a}$ takové, že pro ně platí \[\komut{a_a}{\overline{a_{a'}}}_{\mathrm{P.B.}} = K \delta(a - a'),\] obvykle to jsou Fourierovy koeficienty v rozvoji $\phi$, $\Pi$ do rovinných vln.
+
 
+
\item Zaveďte $\mathscr{H} = \Pi \partial_0 \phi - \mathscr{L}$, z toho spočítejte $H = \int \dif ^3 x \mathscr{H}$\\
+
A ověřte, že $H = \sum_a \left(\int_a \right) \epsilon_a \overline{a_a} a_a$ je energií uvažované superpozice rovinných vln.
+
\item Kvantujte!\\
+
Postulujte kanonické komutační relace po nahrazení
+
\begin{eqnarray}
+
\phi, \Pi &\longrightarrow & \hat{\phi}, \hat{\Pi}, \\
+
\komut{}{}_{\mathrm{P.B.}} &\longrightarrow & \komut{}{}, \\
+
\komut{\hat{\phi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{y}, t)}& = &i \hbar \delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{y}).
+
\end{eqnarray}
+
Dle principu korespondence pak $\kreak{a}$ a $\anihilak{a}$ vyhovují komutačním relacím pro kreační a anihilační operátory. Hamiltonián má také spektrum jako hamiltonián systému nerozlišitelných neinteragujících částic. Postulujeme proto existenci stavu s nejnižší energií, vakuum $\ket{0}$, pomocí anihilačního operátoru \eqref{eq:anihilakkk}. Fockův prostor pak generujeme působením operátorů $\kreak{a}$ na $\ket{0}$. Takto získané stavy ($\kreak{i_1} \ldots \kreak{i_n} \ket{0}$) interpretujeme jako stavy obsahující $n$ kvant pole $\phi$. Tyto stavy pak mají energii/hybnost danou jako součet energií/hybností stavů $\kreak{i_k} \ket{0}$, proto stav $\kreak{i_k} \ket{0}$ interpretujeme jako částici pole $\phi$, např. foton..., a stav $\kreak{i_1} \ldots \kreak{i_n} \ket{0}$ jako $n$-částicový stav.
+
\item Interakční členy v klasickém $\mathscr{L}$ vyjádřete také pomocí $\anihilak{a}$, $\kreak{a}$, započítejte je poruchově.
+
\end{enumerate}
+
 
+
%================================================================================
+
\subsubsection{Volné reálné Klein-Gordonovo pole (\texorpdfstring{$c = 1$,
+
$\hbar = 1$}{c = 1, ħ = 1})}
+
%================================================================================
+
Zabývejme se polem s hustotou Lagrangiánu
+
\begin{eqnarray}
+
\mathscr{L} (\phi(\vec{x}, t), \partial_\mu \phi(\vec{x}, t)) &=& \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2, \\
+
\partial_\mu &=& (\partial_t, \partial_x, \partial_y, \partial_z), \\
+
\partial^\mu &=& \eta^{\mu \nu} \partial_\nu, \\
+
\mathscr{L} (\ldots) &=& \frac{1}{2} \eta^{\mu \nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2.
+
\end{eqnarray}
+
Napíšeme pohybové rovnice
+
 
\begin{eqnarray}
 
\begin{eqnarray}
\parcder{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} &=& \frac{1}{2} \partial_\kappa \phi \eta^{\nu \kappa} \delta^\mu_\nu + \frac{1}{2} \partial_\nu \phi \eta^{\nu \kappa} \delta^\mu_\kappa \notag\\
+
\varphi_{\vec{k}} (\vec{x}, t) = e^{i\left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k}) t \right)}.
&=& \partial^\mu \phi \longrightarrow \\
+
0 = \partial_\mu \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} - \parcder{\mathscr{L}}{\phi} &=& \partial_\mu (\partial^\mu \phi) + m^2 \phi = \square \phi + m^2 \phi, \label{eq:kgrovnice}
+
 
\end{eqnarray}
 
\end{eqnarray}
kde jsme použili d'Alembertova operátoru $\square$. Než rovnice začneme řešit, připravíme si ještě rovnou obecnou hybnost
+
Dosazení do \eqref{pole:kg} dá podmínku
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\Pi = \parcder{\mathscr{L}(\phi, \partial_\mu \phi)}{(\partial_0 \phi)} = 2 \frac{1}{2} \partial^0 \phi = \partial^0 \phi.
+
\omega(\vec{k})^2 = \vec{k}^2 + m^2.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Rovnice \eqref{eq:kgrovnice} má nekonečně mnoho řešení parametrizovaných reálným vektorem $\vec{k}$, která jsme viděli už mnohokrát, proto bez okolků
+
Obecné řešení pohybových rovnic s požadavkem na reálnost $\varphi$ tedy je
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation}
\phi_{\vec{k}} (\vec{x}, t) = e^{i\left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k}) t \right)},
+
\varphi(\vec{x}, t) = \int \dif^3 k \left( a(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} + \overline{a}(\vec{k}) e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right),
\end{eqnarray}
+
\end{equation}
které po dosazení dá $\omega$
+
kde
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\omega(\vec{k}) = \sqrt{\vec{k}^2 + m^2}.
 
\omega(\vec{k}) = \sqrt{\vec{k}^2 + m^2}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Obecné řešení pohybových rovnic s požadavkem na reálnost $\phi$ tedy je
+
Řešení rovnic dosadíme do připravené obecné hybnosti
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\phi(\vec{x}, t) = \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \left( a(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} + \overline{a(\vec{k})} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right),
+
\Pi(\vec{x}) = \dot\varphi = -i \int \dif^3 k \omega(\vec{k}) \left( a(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} - \overline{a}(\vec{k}) e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde faktor $\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}} \sqrt{2 \omega(\vec{k})}}$ je pouze normalizace funkce $a(\vec{k})$ tak, aby splňovala správně Poissonovy závorky.
 
  
Řešení rovnic dosadíme do připravené obecné hybnosti
+
Při hledání vyjádření $a, \overline{a}$ pomocí $\varphi, \Pi$ zkusíme zpětnou Fourierovu transformaci
\begin{eqnarray}
+
\Pi(\vec{x}) &=& \parcder{\mathscr{L}}{\overset{.}{\phi}} = \overset{.}{\phi} = \notag\\
+
&=& -i \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} \sqrt{\frac{\omega(\vec{k})}{2}} \left( a(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} - \overline{a(\vec{k})} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right).
+
\end{eqnarray}
+
Jelikož jsme drzí a v integrálu vidíme Fourierovu transformaci, hádáme, že $a(\vec{k})$ lze napsat jako
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
a(\vec{k}) = \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} e^{-i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \phi (\vec{x}, t) + i \Pi (\vec{x}, t) \right].
+
\frac{1}{(2\pi)^3} \int \dif^3 x e^{-i(\vec{k}\vec{x}-\omega(\vec{k})t)} \varphi(\vec{x},t) = \ldots = a(\vec{k}) + \overline{a}(-\vec{k}) e^{2i\omega(\vec{k})t}.
 +
\end{equation}
 +
Nadbytečného výrazu s $\overline{a}$ se zbavíme transformací $\Pi$, kde vystoupí tytéž dva členy se vzájemně opačnými znaménky:
 +
\begin{equation}
 +
\frac{1}{(2\pi)^3} \int \dif^3 x e^{-i(\vec{k}\vec{x}-\omega(\vec{k})t)} \Pi(\vec{x},t) = \ldots = -i\omega(\vec{k})a(\vec{k}) + i\omega(\vec{k})\overline{a}(-\vec{k}) e^{2i\omega(\vec{k})t}.
 +
\end{equation}
 +
Celkově tedy
 +
\begin{equation}
 +
a(\vec{k}) = \frac{1}{2(2\pi)^3} \int \dif^3 x \left( \varphi(\vec{x},t) + \frac{i}{\omega(\vec{k})} \Pi(\vec{x},t) \right) e^{-i(\vec{k}\vec{x} - \omega(\vec{k})t)}
 +
\end{equation}
 +
a jeho komplexní sdružení
 +
\begin{equation}
 +
\overline{a}(\vec{k}) = \frac{1}{2(2\pi)^3} \int \dif^3 x \left( \varphi(\vec{x},t) - \frac{i}{\omega(\vec{k})} \Pi(\vec{x},t) \right) e^{i(\vec{k}\vec{x} - \omega(\vec{k})t)}.
 +
\end{equation}
 +
 
 +
S touto volbou škály by vycházelo
 +
\begin{equation}
 +
  \begin{aligned}
 +
    \{a(\vec{k}), \overline{a}(\vec{k}')\} &= \frac{1}{4(2\pi)^6} \int \dif^3 x \int \dif^3 y e^{-i(\vec{k}\vec{x}-\omega(\vec{k})t} e^{i(\vec{k}'\vec{y} - \omega(\vec{k}')t} \times{}\\
 +
    &\qquad{}\times \left\{ \varphi(\vec{x},t) + \frac{i}{\omega(\vec{k})} \Pi(\vec{x},t), \varphi(\vec{x},t) - \frac{i}{\omega(\vec{k})} \Pi(\vec{x},t) \right\} = \\
 +
    &{}= \frac{-i}{2(2\pi)^3\omega(\vec{k})} \delta^3(\vec{k}-\vec{k}')
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation}
 +
namísto požadovaného $-i\delta^3(\vec{k}-\vec{k}')$, upravíme proto definice $a(\vec{k})$ a $\overline{a}(\vec{k})$ opravným faktorem $\sqrt{2(2\pi)^3\omega(\vec k)}$ na
 +
\begin{equation}
 +
  \begin{aligned}
 +
    \tilde{a}(\vec{k}) &= \frac{1}{\sqrt{2(2\pi)^3 \omega(\vec{k})}} \int \dif^3 \: x e^{-i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \varphi (\vec{x}, t) + i \Pi (\vec{x}, t) \right], \\
 +
    \overline{\tilde{a}}(\vec{k}) &= \frac{1}{\sqrt{2(2\pi)^3 \omega(\vec{k})}} \int \dif^3 x \: e^{+i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \varphi (\vec{x}, t) - i \Pi (\vec{x}, t) \right], \\
 +
    \varphi(\vec{x}, t) &= \frac{1}{\sqrt{2(2\pi)^3 \omega(\vec{k})}} \int \dif^3 k \left( \tilde{a}(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} + \overline{\tilde{a}}(\vec{k}) e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right), \\
 +
    \Pi(\vec{x}) &= \frac{-i\sqrt{\omega(\vec{k})}}{\sqrt{2(2\pi)^3}} \int \dif^3 k \left( \tilde{a}(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} - \overline{\tilde{a}}(\vec{k}) e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right).
 +
  \end{aligned}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
To se ověří přímým dosazením do pravé strany za vypočítané $\phi$ a $\Pi$, kde čtenář najde spoustu integrálně zapsaných delta funkcí a jejich působení a po jejich pečlivých seškrtáních mu vyjde správný výsledek, $a(\vec{k})$. Celkově pak napíšeme
 
\begin{eqnarray}
 
a(\vec{k}) &=& \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} e^{-i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \phi (\vec{x}, t) + i \Pi (\vec{x}, t) \right], \\
 
\overline{a(\vec{k})} &=& \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} e^{+i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \phi (\vec{x}, t) - i \Pi (\vec{x}, t) \right].
 
\end{eqnarray}
 
  
 
Kvantujme!
 
Kvantujme!
 
\begin{eqnarray}
 
\begin{eqnarray}
\komut{\hat{\phi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)} &=& i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}), \\
+
\komut{\hat{\varphi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)} &=& i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}), \\
\komut{\hat{\phi}(\vec{x}, t)}{\hat{\phi}(\vec{x}, t)} &=& 0, \\
+
\komut{\hat{\varphi}(\vec{x}, t)}{\hat{\varphi}(\vec{x}, t)} &=& 0, \\
 
\komut{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)} &=& 0.
 
\komut{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)} &=& 0.
 
\end{eqnarray}
 
\end{eqnarray}
Dále bychom měli ověřit, že $a(\vec{k}) \rightarrow \anihilak{\vec{k}}$ a $\overline{a(\vec{k})} \rightarrow \kreak{\vec{k}}$ tak, jak jsme je zvolili, splňují správné komutační relace. Přímým dosazením a použitím postulovaných komutačních relací pro $\hat{\Pi}$ a $\hat{\phi}$ by se ukázalo, že skutečně
+
Přímým dosazením a použitím postulovaných komutačních relací pro $\hat{\Pi}$ a $\hat{\varphi}$ by se ukázalo, že pak skutečně také
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\komut{\anihilak{\vec{k}}}{\kreak{\vec{l}}} = \delta^{(3)}(\vec{k} - \vec{l}),
+
  \begin{aligned}
 +
    \komut{\anihilak{\vec{k}}}{\kreak{\vec{l}}} &= \delta^{(3)}(\vec{k} - \vec{l}), \\
 +
    \komut{\anihilak{\vec{k}}}{\anihilak{\vec{l}}} &= 0, \\
 +
    \komut{\kreak{\vec{k}}}{\kreak{\vec{l}}} &= 0,
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{pole:komut-aa}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
jak má být a stejně
+
jak má být.
\begin{eqnarray}
+
\komut{\anihilak{\vec{k}}}{\anihilak{\vec{l}}} & = & 0, \\
+
\komut{\kreak{\vec{k}}}{\kreak{\vec{l}}} & = & 0.
+
\end{eqnarray}
+
  
Pokusíme se nyní zkonstruovat hamiltonián (operátor) volného K.-G. pole tak, jak jsme naznačili v kuchařce, dosadíme za vypočítané členy a upravíme, zase s delta funkcemi apod.
+
Pokusme se nyní sestavit hamiltonián volného Klein--Gordonova pole přímým výpočtem s „ostříškovanými“ členy:%
\begin{eqnarray}
+
\footnote{Pro stručnost $\omega' := \omega(\vec{k}')$.}
\hat{H} &=& \int \left( \hat{\Pi} \partial_t \hat{\phi} - \hat{\mathscr{L}} \right) \dif^3 x \notag \\
+
\begin{equation}
&=& \int \dif^3 x \left[ \frac{1}{2} \hat{\Pi}^2 (\vec{x}, t) \frac{1}{2} \partial_i \hat{\phi} \partial_i \hat{\phi} + \frac{m^2}{2} \hat{\phi}^2 \right] \notag \\
+
\begin{aligned}
& \vdots & \notag \\
+
\hat H &= \int \mathscr{H} \dif^3 x = \int \left( \hat{\Pi} \dot{\hat{\varphi}} - \hat{\mathscr{L}} \right) \dif^3 x \\
&=& \int \dif^3 k \: \omega (\vec{k}) \frac{\kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}} + \anihilak{\vec{k}} \kreak{\vec{k}} }{2} \notag \\
+
&= \frac{1}{2} \int \left( \hat{\Pi}^2 + (\mathop{\mathrm{grad}} \hat\varphi)^2 + m^2\hat\varphi^2 \right) \dif^3 x \\
&=\int \dif^3 k \: \omega (\vec{k}) (\kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}} + \underline{\frac{1}{2}}),
+
%&\hskip 6pt\vdots \\
\end{eqnarray}
+
&= \frac{1}{4(2\pi)^3} \int \dif^3 x \int \dif^3 k \int \dif^3 k' \frac{1}{\sqrt{\omega\omega'}} \times{} \\
kde se podtržený člen získaný z komutátoru zanedbává (zlý jazyk by řekl, že se tak zanedbává nekonečná energie, ale kdo by to dělal) a říká se tomu volba hladiny energie vakua, tento proces dává správné výsledky, proto se používá.
+
&\qquad \left( -\omega\omega' \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{i(\vec k+\vec k')\vec x - i(\omega+\omega')t} - \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{i(\vec k-\vec k')\vec x - i(\omega-\omega')t} - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{\ldots} + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{\ldots} \right) \right. \\
 +
&\qquad \left. {}- \vec k\cdot\vec k' \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{i(\vec k+\vec k')\vec x - i(\omega+\omega')t} - \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{i(\vec k-\vec k')\vec x - i(\omega-\omega')t} - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{\ldots} + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{\ldots} \right) \right. \\
 +
&\qquad \left. {}+ m^2 \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{i(\vec k+\vec k')\vec x - i(\omega+\omega')t} + \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{i(\vec k-\vec k')\vec x + i(\omega-\omega')t} - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{\ldots} + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{\ldots} \right) \right) \\
 +
%
 +
&= \int \dif^3 k \int \dif^3 k' \frac{1}{4\sqrt{\omega\omega'}} \times{} \\
 +
&\qquad \left( -\omega\omega' \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') - \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') \right) \right. \\
 +
&\qquad \left. {}- \vec k\cdot\vec k' \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') - \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') \right) \right. \\
 +
&\qquad \left. {}+ m^2 \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') + \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') \right) \right) \\
 +
%
 +
&= \int \dif^3 k \frac{1}{4\omega} \left( \underbrace{(-\omega^2+|\vec k|^2+m^2)}_0\left(\anihilak{\vec k}^2 + (\kreak{\vec k})^2\right) + \underbrace{(\omega^2+|\vec k|^2+m^2)}_{2\omega^2}\left(\kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}} + \anihilak{\vec{k}} \kreak{\vec{k}}\right) \right) \\
 +
%
 +
&= \int \dif^3 k \: \omega(\vec{k}) \frac{\kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}} + \anihilak{\vec{k}} \kreak{\vec{k}}}{2}
 +
\end{aligned}
 +
\label{}
 +
\end{equation}
 +
Vzorec vyšel ve smíšeném uspořádání kreačních a anihilačních operátorů. Pokus převést jej na normální uspořádání $\kreak{}\anihilak{}$ padne na skutečnosti, že bychom potřebovali komutátor $\kreak{}$ a $\anihilak{}$ se \textit{stejným} $\vec{k}$, který je podle \eqref{pole:komut-aa} úměrný $\delta(0)$! Protože tento člen v teorii harmonického oscilátoru udává hladinu nulové energie, naše pole by mělo nekonečnou energii už ve vakuovém stavu.
  
Podobně by se odvodil vztah pro hybnost $\hat{\vec{P}}$ (všechny složky), celkově můžeme shrnout
+
Budeme se proto držet naší kuchařky a hamiltonián sestavíme s vynuceným normálním uspořádáním
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation}
\hat{H} &=& \int \dif^3 k \: \omega (\vec{k}) \kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}}, \\
+
\hat H = \int \dif^3 k \: \omega(\vec{k}) \kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}}.
\hat{\vec{P}} &=&  \int \dif^3 k  \: \vec{k} \kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}}.
+
\label{}
\end{eqnarray}
+
\end{equation}
 +
Tento postup dává dobré výsledky.
  
Doposud jsme tiše mlčeli o tom, kde se K.-G. pole vzalo a proč je zajímavé. Přijde se na něj tak, že člověk požaduje invarianci systému vůči Lorentzovým transformacím. Historicky se řešení jeho pohybových rovnic tudíž chápalo jako kvantová relativistická volná částice, teorie však byla nekonzistentní a tak se nyní používá jednak jako hezký příklad pole, které lze kvantovat a dostat tak bosonový Fockův prostor. A druhak se mu říká skalární pole a jediným skalárním polem v QFT je, ano, uhodli jste, Higgsovo bosonové pole.
+
Podobně by se odvodil vztah pro hybnost $\hat{\vec{P}}$
 +
\begin{equation}
 +
\hat{\vec{P}} =  \int \dif^3 k  \: \vec{k} \kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}}.
 +
\end{equation}
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
\subsection{Kvantování ELMA pole}
+
\subsection{Kvantování elektromagnetického pole}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Poslední pole, které zde budeme kvantovat, je elektromagnetické a ukážeme si, kde že se berou fotony, a spočítáme v nejhrubším přiblížení interakci takového pole s atomem.
 
  
Budeme se opět držet kuchařky, ovšem ELMA pole má tu nevýhodu na výpočet, že je kalibračně invariantní, tahle invariance se ale nesmí objevit jako nezávislé pole s hybnostmi ve výsledku, tam se smí objevit pouze fyzikální stupně volnosti. Tahle obtíž se dá řešit různě, my zafixujeme kalibraci a potom budeme kvantovat. Tento postup je však nevhodný pro práci v teorii elementárních částic, kvantové chromodynamice apod.
+
Analogií ukázaného postupu zkusíme nakvantovat elektromagnetické pole, jehož jednotlivé excitace jsou fotony. Spočítáme také v nejhrubší aproximaci jeho interakci s elektronem.
 +
 
 +
Budeme se opět držet kuchařky, ovšem el.-mag. pole má tu nevýhodu na výpočet, že je kalibračně invariantní, jeho invariance vzhledem k volbě kalibrace se nesmí objevit jako nezávislé pole s hybnostmi ve výsledku.%
 +
\footnote{Kalibrační invariance například to znemožňuje přechod k hamiltonovské formulaci, protože obecné hybnosti ve „směrech“ odpovídajících těmto stupňům volnosti by vyšly nulové.}
 +
Tahle obtíž se dá řešit různě, my zvolíme kalibraci fixně a potom budeme kvantovat. Tento postup je jednoduchý a funguje dobře, je však nevhodný pro práci v teorii elementárních částic, kvantové chromodynamice apod.
  
Připomeneme, že hustota Lagrangiánu ELMA pole je
+
Připomeneme, že hustota lagrangiánu elektromagnetického pole je
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{L} = - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu},
+
\mathscr{L} = - \frac{1}{4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
kde
 
kde
Řádka 213: Řádka 254:
 
F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu  - \partial_\nu A_\mu,
 
F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu  - \partial_\nu A_\mu,
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde $A$ musí splňovat
+
a dává pro pole $A_\mu$ pohybové rovnice
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu \left( \partial_\mu A^\mu \right) = 0.
+
\partial_\mu \partial^\mu A_\nu - \partial_\nu \left( \partial^\mu A_\mu \right) = 0.
 +
  \label{pole:pr-A}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Bez rozebírání detailů, volíme Coulombovu kalibraci (Coulomb/radiation gauge):
+
Obecné hybnosti jsou (až na konstantní faktor) složky elektrické intenzity:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{A} = 0,
+
  \begin{aligned}
 +
    \Pi_i &= \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial A_{i,t}} = \frac{1}{c} \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial A_{i,0}} = \frac{1}{c\mu_0} (A_{i,0} - A_{0,i}) = \frac{1}{\mu_0c} (-\frac{1}{c} A^i_{,t} - A^0_{,i}) ={} \\
 +
    &= \frac{1}{\mu_0 c^2} \left( -\frac{\partial A^i}{\partial t} - \frac{\partial \varphi}{\partial x^i} \right) = \varepsilon_0 E^i.
 +
  \end{aligned}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
ta však není Lorentzovsky invariantní a od teď už pracujeme v jedné vybrané soustavě souřadné, tenhle detail se dá odstranit, ale nám nebude působit potíže.
 
  
Z pohybových rovnic s touto kalibrací dostaneme
+
Fixní kalibraci zvolíme Coulombovu, danou vzorci
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\partial_i \partial^i A^0 = 0 \Rightarrow A^0 = \varphi = 0,
+
\varphi = 0, \quad \vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{A} = 0.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
jako jediné řešení, které splňuje $A^\mu \underset{\abs{\vec{x}}\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0$.
+
Je třeba zdůraznit, že tyto rovnice nejsou invariantní vůči Lorentzově transformaci: závisí na volbě směru časové osy. Dá se postupovat i volbou (slabší) Lorentzovy kalibrace, ale ta problém řeší jen částečně a je pak potřeba dalších kroků.
  
Dohromady tak rovnici pro $\vec{A}$ lze zapsat
+
V rovnici \eqref{pole:pr-A} tak zmizí druhý člen a zbude rovnice pro netriviální složky (tří)-vektoru $\vec{A}$:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\square \vec{A} = 0,
+
\square \vec{A} = 0.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
ta má řešení v podobě rovinných vln
+
Řešení v podobě \textit{polarizovaných} rovinných vln
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\vec{A}_{\vec{k}} (\vec{x}, t) = \vec{\epsilon} e^{i(\vec{k}\vec{x} - \omega(\vec{k})t)},
 
\vec{A}_{\vec{k}} (\vec{x}, t) = \vec{\epsilon} e^{i(\vec{k}\vec{x} - \omega(\vec{k})t)},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde
+
musí splňovat
 
\begin{eqnarray}
 
\begin{eqnarray}
\omega^2(\vec{k}) - \vec{k}^2 &=& 0,\notag \\
+
  \begin{aligned}
\omega(\vec{k}) = \abs{\vec{k}},
+
    \omega^2(\vec{k}) - |\vec{k}|^2 &= 0,\notag \\
 +
    \omega(\vec{k}) &= |\vec{k}|
 +
  \end{aligned}
 
\end{eqnarray}
 
\end{eqnarray}
a polarizace $\vec{\epsilon}$ je téměř určena kalibrační podmínkou (jsou dva LN kolmé vektory na vektor $\vec{k}$)
+
a vazbu na směr polarizace $\vec{\epsilon}$ udává kalibrační podmínka
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{A} = 0 \Leftrightarrow \vec{k} \cdot \vec{\epsilon} = 0.
+
\vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{A} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{k} \cdot \vec{\epsilon} = 0.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Obecné (reálné) řešení v podobě kombinace rovinných vln se dvěma možnými polarizacemi tak vypadá
+
To má pro každé nenulové $\vec{k}$ dvě lineárně nezávislá řešení.
\begin{eqnarray}
+
&\vec{A}_{\vec{k}} (\vec{x}, t) =  \sum_{\lambda = 1}^{2} \int & \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \notag \\
+
&& \cdot \left( a(\vec{k}, \lambda) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + \overline{a(\vec{k}, \lambda)} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} \right), \label{eq:potencial}
+
\end{eqnarray}
+
kde stále
+
\begin{eqnarray}
+
\vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda') = \delta_{\lambda \lambda'} \\
+
\vec{k} \cdot \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) = 0.
+
\end{eqnarray}
+
Hamiltonián spočítáme přesně podle kuchařky (opět $\hbar = 1, c = 1$) jako
+
\begin{eqnarray}
+
H &=& \int \dif^3 x \mathscr{H} = \frac{1}{2} \int \dif^3 x \left( \overset{.}{\vec{A}}^2 - \vec{A} \bigtriangleup \vec{A} \right) \notag \\
+
&=& \frac{1}{2} \int \dif^3 x \left( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \right)\notag \\
+
&=& \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \dif^3 k \frac{1}{2} \abs{\vec{k}} \left( \overline{a(\vec{k}, \lambda)} a(\vec{k}, \lambda) + a(\vec{k}, \lambda) \overline{a(\vec{k}, \lambda)} \right),
+
\end{eqnarray}
+
kde $\vec{E}$ a $\vec{B}$ jsou intenzita a indukce elektromagnetického pole.
+
  
Zase bychom chtěli přejít $a(\vec{k}, \lambda) \longrightarrow \anihilak{\vec{k}, \lambda}$, $\overline{a(\vec{k}, \lambda)} \longrightarrow \kreak{\vec{k}, \lambda}$ tak, že
+
Obecné (reálné) řešení v podobě kombinace rovinných vln se dvěma možnými polarizacemi tak vypadá%
 +
\footnote{Zahrnuli jsme již správný faktor k amplitudě $a$.}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\komut{\anihilak{\vec{k}, \lambda}}{\kreak{\vec{k}', \lambda}} = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta^{(3)}\left( \vec{k} - \vec{k}' \right), \label{eq:komutatorELMA}
+
  \vec{A}(\vec{x}, t) = \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega(\vec{k}) \varepsilon_0}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda)
 +
  \left( a(\vec{k}, \lambda) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + \overline{a(\vec{k}, \lambda)} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} \right),
 +
  \label{eq:potencial}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
s touhle volbou bychom pak z předchozích vztahů napsali
+
kde stále
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H} = \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \dif^3 k \omega (\vec{k}) \left( \kreak{\vec{k}, \lambda} \anihilak{\vec{k}, \lambda} + \underline{\frac{1}{2}}\right),
+
  \begin{aligned}
 +
    \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda') &= \delta_{\lambda \lambda'} \\
 +
    \vec{k} \cdot \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) &= 0,
 +
  \end{aligned}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde opět zanedbáme podtrženou část energie jako volbu nulové energie vakua. Podobně by se ukázalo
+
a obecná hybnost
\begin{equation}
+
\hat{\vec{P}} =  \int \dif^3 k  \:  \sum_{\lambda = 1}^{2} \vec{k} \kreak{\vec{k}, \lambda} \anihilak{\vec{k}, \lambda}.
+
\end{equation}
+
Narozdíl od kvantování skalárního pole zde ovšem neplatí jednoduché Poissonovy závorky a tudíž
+
\begin{equation}
+
\komut{\hat{A}_i (\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}_j (\vec{y}, t)} \neq \delta_{i j} \delta^{(3)}\left( \vec{x} - \vec{y}' \right),
+
\end{equation}
+
kvůli volbě kalibrace.
+
 
+
Podíváme se jaké Poissonovy závorky (komutátory) by obecná hybnost měla splňovat.
+
\begin{equation}
+
\Pi_j = \parcder{\mathscr{L}}{\overset{.}{A_j}} = \overset{.}{A_j},
+
\end{equation}
+
sem bychom hned dosadili z \eqref{eq:potencial} a pak už bychom dopočítali komutátor $\komut{\hat{A}_i (\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}_j (\vec{y}, t)}$ za předpokladu (požadavku) \eqref{eq:komutatorELMA} na
+
 
\begin{eqnarray}
 
\begin{eqnarray}
\komut{\hat{A}_i (\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}_j (\vec{y}, t)} &=& \ldots = i \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^3} \left( \delta_{i j} - \frac{k_i k_j}{\abs{\vec{k}}^2}\right) e^{i \vec{k} (\vec{x} - \vec{y})} \notag \\
+
  \begin{aligned}
  &=& i \delta_{i j}^{\mathrm{tr}} (\vec{x} - \vec{y}),
+
    \vec{\Pi}(\vec{x}, t) = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec A}{\partial t} &= \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{\hbar\varepsilon_0}{2 \omega(\vec{k})}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \times{}\\
 +
    &\qquad {}\times
 +
    \left( -i\omega(\vec k) a(\vec{k}, \lambda) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + i\omega(\vec k) \overline{a(\vec{k}, \lambda)} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} \right),
 +
  \end{aligned}
 
\end{eqnarray}
 
\end{eqnarray}
kde $\delta_{i j}^{\mathrm{tr}}$ je \textit{transversální} delta funkce, což je jen Fourierův obraz projektoru do roviny kolmé na $\vec{k}$. Je možné ji zapsat jako
+
Hustota hamiltoniánu pak vyjádřená pomocí $a$ vychází
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\delta_{i j}^{\mathrm{tr}} (\vec{x} - \vec{y}) = \delta_{i j} \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}) + \partial_i \partial_j \frac{1}{4 \pi \abs{\vec{x} - \vec{y}}}.
+
  \begin{aligned}
 +
    \mathscr{H} &= \Pi^i A_{i,t} - \mathscr{L} = \frac{1}{2\varepsilon_0} (\Pi^i)^2 + \frac{1}{4\mu_0} (A_{i,j} - A_{j,i})^2
 +
      \qquad \left( = \frac{\varepsilon_0}{2} |\vec E|^2 + \frac{1}{2\mu_0} |\vec B|^2 \right)\\
 +
    &= \ldots = \sum_{\lambda=1}^2 \int \dif^3 k \: \hbar \omega(\vec k) a(\vec{k}, \lambda) \overline{a(\vec{k}, \lambda)}.
 +
  \end{aligned}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Takže pro ELMA pole platí trošku jiné fundamentální komutační relace.
 
  
Náš postup zde je zcela opačný než obvykle, běžně se dopočítají Poissonovy závorky obecné hybnosti s polem a z nich se ukáže, že volba $a, \overline{a}$ splňuje správné Poissonovy závorky, pak se kvantuje. My jsme komutátor obecné hybnosti a pole našli z předpokládaného komutátoru kreačních a anihilačních operátorů, snad to postupu neubralo na kráse.
+
Kvantování kalibračně invariantní teorie přináší dvě další překvapení: dokud nemáme Hamiltonův formalizmus, nemáme ani Poissonovy závorky. Fixní kalibrace, pokud je dostupná, tento problém řeší, ale naopak se může stát, že kalibrační vzorce jsou ve formě holonomních vazeb (jak je tomu v případě Coulombovy kalibrace) a musíme pak zavádět obecné souřadnice.%
 +
\footnote{V nich pak je možno vyjádřit Poissonovy závorky \textit{původních} souřadnic a hybností jakožto stavových funkcí.}
  
%================================================================================
+
My se tedy vydáme cestou nejmenšího odporu a místo komutátorů souřadnic a hybností postulujeme rovnou komutátory kreačních a anihilačních operátorů
\subsubsection{Interakce ELMA pole s látkou}
+
%================================================================================
+
Nyní už máme všechno připraveno na výpočet interakce fotonů s látkou (elektrony v obalech atomů). Povšimněme si, že je to poprvé během studia na FJFI, kdy se započítává vliv látky (atomů) na pole samotné, v předchozích výpočtech se vždy pole odráželo, procházelo, polarizovalo atd. ale fundamentálně (např. počet částic) se interakcí samotnou neměnilo. Hilbertův prostor našeho systému bude dán tenzorovým součinem
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{H}_{\mathrm{atom}} \otimes \mathscr{F}_{\mathrm{B}} \left( \mathscr{H} \right)^{\otimes 2},
+
  \komut{\hat{a}_{\vec{k},\lambda}}{\hat{a}^\dagger_{\vec{k}',\lambda'}} = \delta_{\lambda\lambda'} \delta^3(\vec{k}-\vec{k}').
 +
\label{pole:komut-aa-EM}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde $\mathscr{H}$ je Hilbertův prostor jednoho volného fotonu, $\otimes 2$ je zde kvůli dvěma možným polarizacím.
+
Složky souřadnic $\vec A(\vec x, t)$ a hybností $\vec\Pi(\vec x,t)$ vyjádřených pomocí těchto operátorů pak komutují jako
 
+
Celkový hamiltonián pak napíšeme do formalismu předchozích kapitol jako součet tří členů
+
\begin{eqnarray}
+
\hat{H} = && \hat{H}_{\mathrm{atom}} = - \frac{\hbar^2}{2m} \triangle + \frac{Q}{r}\notag \\
+
&& + \hat{H}_{\mathrm{int}} = - \frac{e}{m} \hat{A}_i (\vec{x}) \hat{P}_i + \frac{e^2}{2m} \hat{A}_i (\vec{x}) \hat{A}_i (\vec{x}) \notag \\
+
&& + \hat{H}_{\mathrm{EM}} = \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \dif^3 k \omega (\vec{k}) \kreak{\vec{k}, \lambda} \anihilak{\vec{k}, \lambda},
+
\end{eqnarray}
+
kde za $\hat{A}_i (\vec{x})$ je ještě potřeba dosadit z \eqref{eq:potencial}. Tento hamiltonián jsme dostali přímo rozepsáním známého
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H} = \frac{\left( \hat{\vec{P}} - e \hat{\vec{A}} \right)^2}{2m} + e \hat{\varphi} + \frac{1}{2} \int \dif^3 x \left( \hat{\vec{E}}^2 + \hat{\vec{B}}^2 \right).
+
  \begin{aligned}
 +
    &\komut{A_i(\vec x, t)}{\Pi_j(\vec y, t)} ={} \\
 +
    &= \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\lambda'=1}^2 \int \dif^3 k \int \dif^3 k' \frac{-i\hbar\omega(\vec k')}{2(2\pi)^3 \sqrt{\omega(\vec k)\omega(\vec k')}} \epsilon_i(\vec{k},\lambda) \epsilon_j(\vec{k}',\lambda') \times{}\\
 +
    &\qquad {}\times \komut{ \anihilak{\vec{k}, \lambda} e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + \kreak{\vec{k}, \lambda} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)}}{\anihilak{\vec{k}', \lambda'} e^{i (\vec{k}' \vec{y} - \omega(\vec{k}') t)} - \kreak{\vec{k}', \lambda'} e^{-i (\vec{k}' \vec{y} - \omega(\vec{k}') t)}} \\
 +
    &= \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\lambda'=1}^2 \int \dif^3 k \int \dif^3 k' \frac{-i\hbar\omega(\vec k')}{2(2\pi)^3 \sqrt{\omega(\vec k)\omega(\vec k')}} \epsilon_i(\vec{k},\lambda) \epsilon_j(\vec{k}',\lambda') \times{}\\
 +
    &\qquad {}\times \left( -e^{i \vec{k} \vec{x} - i \vec{k}' \vec{y} - i(\omega(\vec{k}) - \omega(\vec{k}')) t} \delta_{\lambda\lambda'} \delta^3(\vec{k} - \vec{k}') - e^{-i \vec{k} \vec{x} + i \vec{k}' \vec{y} + i(\omega(\vec{k}) - \omega(\vec{k}')) t} \delta_{\lambda\lambda'} \delta^3(\vec{k} - \vec{k}') \right) \\
 +
    &= \sum_{\lambda=1}^2 \int \dif^3 k \frac{i\hbar}{2(2\pi)^3} \underbrace{\epsilon_i(\vec{k},\lambda) \epsilon_j(\vec{k},\lambda)}_{P_{ij}(\vec k)} \left( e^{i \vec{k} (\vec{x} - \vec{y})} + e^{i \vec{k} (\vec{y} - \vec{x})} \right)
 +
  \end{aligned}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Atomová část hamiltoniánu je velmi kompaktně zapsaná, ale skutečně představuje i komplikovanější jádro než jenom jeden nebo dva protony. Předpokládáme, že příspěvek od $\hat{H}_{\mathrm{atom}}$ a $\hat{H}_{\mathrm{EM}}$ umíme spočítat, nakonec, věnovali jsme tomu několik kapitol. A provedeme poslední krok kuchařky a započítáme $\hat{H}_{\mathrm{int}}$ poruchově.
+
Pokud by nyní na místě $P_{ij}(\vec k)$ vystupovalo $\delta_{ij}$ (jak by se stalo, kdyby pro dané $\vec k$ vektory $\vec\epsilon(\vec k, \lambda)$ byly tři a tvořily ON bázi), výraz by se zjednodušil na kanonický komutátor $i\hbar\delta_{ij}\delta^3(\vec{x} - \vec{y})$. Projektoru $P(\vec k)$ ale „chybí“ vektor ve směru $\vec k$, platí pro něj
 
+
Budeme chtít používat nestacionární poruchovou teorii, budeme tedy pracovat v Diracově reprezentaci (tj. volná dynamika je v Heisenbergově reprezentaci). To nám umožní spočítat $W_{\mathrm{emise}}$ a $W_{\mathrm{absorpce}}$ v daném systému (obecné vztahy viz. \eqref{eq:emise}, \eqref{eq:absorpce}) a kdybychom chtěli, i další členy rozvoje.
+
 
+
Obdobně se postupuje i ve fundamentálních teoriích elementárních částic, ale v této aplikaci je třeba zvážit i další problémy, např.
+
\begin{enumerate}
+
\item Fockův prostor stavů je konstruován pomocí složek $\hat{H}$ volných neinteragujících částic. Do jaké míry je oprávněné jeho použití pro interagující částice?
+
\item Problémy s kalibračními stupni volnosti se ještě zvětší při použití neabelovských kalibračních teorií (elektroslabé, silné interakce).
+
\item Divergující členy v poruchových rozvojích $\longrightarrow$ renormalizace atd.
+
\end{enumerate}
+
 
+
Pro korektnost nyní přejdeme do \textit{krabice} a zase se vrátíme k $\hbar = c = 1$, abychom mohli používat výsledky z kapitoly o kvantování ELMA pole. Objem krabice označíme
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
V = \prod_{i=1}^3 (0, a_i),
+
  P_{ij}(\vec k) = \delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{|k|^2}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kvantování by nyní proběhlo úplně stejně jako jsme to provedli, jen bychom jako řešení pohybových rovnic z hustoty Lagrangiánu dostali diskrétní hodnoty vlnového čísla
+
a jeho Fourierův obraz je namísto delta funkce takzvaná \textit{transverzální} delta funkce
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
k_i^{(n_i)} = \underbrace{\frac{2 \pi}{a_i}}_{\Delta k_i} n_i, \: n_i \in \mathbb{Z}, \label{eq:k}
+
\delta_{i j}^{\mathrm{tr}} (\vec{x} - \vec{y}) = \delta_{i j} \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}) + \partial_i \partial_j \frac{1}{4 \pi \abs{\vec{x} - \vec{y}}}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
pro okrajové podmínky takové, že pole je na okrajích krabice nulové. Ve vyjádření vektorového potenciálu \eqref{eq:potencial} by se integrál změnil na sumu a po kvantování bychom dostali
+
S tímto označením platí
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{\vec{A}} (\vec{x}, t) = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \frac{\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda)}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \left[ \Anihilak{\vec{k}, \lambda} e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + \Kreak{\vec{k}, \lambda} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} \right], \label{eq:kpotencial}
+
  \komut{A_i(\vec x, t)}{\Pi_j(\vec y, t)} = i\hbar \delta_{i j}^{\mathrm{tr}} (\vec{x} - \vec{y}).
 +
\label{pole:komut-Api}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde suma je přes $\vec{k}$ tvaru \eqref{eq:k}. Velká $\hat{A}$ pro kreační a anihilační operátory píšeme proto, že pracujeme v krabici, jinak se zavedou stejně jako dřív. Operátor $\hat{\vec{A}} (\vec{x}, t)$ předpokládáme za zapsaný Heisenbergově obrazu. Kdybychom jej chtěli ve Schrödingerově, zvolíme si $t=t_0$ libovolně, žádnou předpověď tím nezměníme. Hamiltonián bychom opět dostali
+
Jedná se o důsledek vazby, kterou jsme mezi souřadnice zavedli volbou Coulombovy kalibrace.%
 +
\footnote{Výsledek \eqref{pole:komut-Api} lze získat i zcela klasicky ve formě Poissonových závorek a odsud pak odvodit \eqref{pole:komut-aa-EM}. Potřebujete k tomu však teorii, kterou jste neprobírali.}
 +
 
 +
%================================================================================
 +
\subsubsection{Interakce elektromagnetického pole s látkou}
 +
%================================================================================
 +
 
 +
Nyní už máme všechno připraveno na poslední krok kuchařky, výpočet interakce fotonů s částicemi. Hamiltonián nabité částice v el.-mag. poli jsme samozřejmě uměli sestavit již dávno, tam ale potenciál vystupoval jako externí proměnná a nemohli jsme tak zachytit reakci pole na pohyb částice, jen jednosměrnou akci Lorentzovy síly. Nový popis nám tak umožní kvantově popsat vztah mezi urychlováním nabitých částic v poli a pohlcováním či vyzařováním energie ve formě fotonů. Budeme uvažovat elektron, tedy $q = -e$.
 +
 
 +
Hilbertův prostor našeho systému bude dán tenzorovým součinem Hilbertova prostoru volného hmotného bodu a Fockova prostoru elektromagnetického pole. Celkový hamiltonián pak napíšeme do formalismu předchozích kapitol jako součet tří členů
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
H = \frac{1}{2} \int_V \dif^3 x \left( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \right) = \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \omega (\vec{k}) \overline{A(\vec{k}, \lambda)} A(\vec{k}, \lambda),
+
\begin{aligned}
 +
\hat{H} ={} &\frac{\hat{\vec{P}}^2}{2m} && \quad(\hat{H}_\textrm{částice}) \\
 +
&{}+ \frac{e}{2m} \{ \hat{\vec{P}}, \hat{\vec{A}} \} + \frac{e^2}{2m} \hat{\vec{A}} \hat{\vec{A}} - e \hat{\varphi} && \quad(\hat{H}_\textrm{int}) \\
 +
&{}+ \sum_{\lambda=1}^2 \int \dif^3 k \: \hbar\omega(\vec k) \kreak{\vec{k},\lambda} \anihilak{\vec{k},\lambda} && \quad(\hat{H}_\textrm{pole})
 +
\end{aligned}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
což by po kvantování dalo
+
kde za $\hat{A}_i$ je ještě potřeba dosadit z \eqref{eq:potencial}, v operátorové verzi a s polohou vyjádřenou $\hat{\vec{X}}$. Tento hamiltonián jsme dostali přímo roznásobením známého
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H} = \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \omega(\vec{k}) \Kreak{\vec{k}, \lambda} \Anihilak{\vec{k}, \lambda},
+
H = \frac{(\vec P - q \vec A)^2}{2m} + q \varphi + \int \dif^3 x \left( \frac{\varepsilon_0}{2} \vec{E}^2(\vec x) + \frac{1}{2\mu_0} \vec{B}^2(\vec x) \right)
 
\end{equation}
 
\end{equation}
s komutačními relacemi
+
a dosazením kvantových verzí všech zúčastněných veličin. (Ve Schrödingerově obraze volíme $t = 0$, tedy
\begin{eqnarray}
+
\komut{\Anihilak{\vec{k}, \lambda}}{ \Kreak{\vec{k}', \lambda'}} &=& \delta_{\vec{k} \vec{k}'} \delta_{\lambda \lambda'}, \\
+
\komut{\Anihilak{\vec{k}, \lambda}}{ \Anihilak{\vec{k}', \lambda'}} &=& \komut{\Kreak{\vec{k}, \lambda}}{ \Kreak{\vec{k}', \lambda'}} = 0.
+
\end{eqnarray}
+
Dalo by se ověřit z komutačních relací a tvaru $\hat{H}$, že $\hat{\vec{A}} (\vec{x}, t)$ vyhovuje pohybové rovnici v Heisenbergově obrazu, tj.
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
i \hbar \parcder{\hat{A}}{t} (\vec{x}, t) = \komut{\hat{\vec{A}} (\vec{x}, t)}{\hat{H}},
+
  \hat{\vec{A}}(\hat{\vec{X}}) =
 +
  \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega(\vec{k}) \varepsilon_0}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda)  
 +
  \left( \anihilak{\vec{k}, \lambda} e^{i \vec{k} \hat{\vec{X}}} + \kreak{\vec{k}, \lambda} e^{-i \vec{k} \hat{\vec{X}}} \right),
 +
\label{pole:qpotencial}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
a také kalibrační podmínce
+
o správnou hodnotu v čase $t$ by se postaral vývoj operátoru podle \eqref{ZQM:HeissOpEqTime}.)
\begin{equation}
+
\bigtriangledown \cdot \vec{A} (\vec{x}, t) = 0,
+
\end{equation}
+
což nás opravňuje mluvit o \eqref{eq:kpotencial} jako o operátoru v Heisenbergově obrazu.
+
  
Rádi bychom poslali $V \longrightarrow \infty$, abychom ověřili, jestli dostáváme správný výsledek z předchozí kapitoly, při tomto přechodu určitě $\Delta k_i \longrightarrow 0$ a sumy přejdou v limity integrálních součtů jako
+
Hamiltonián $\hat{H}_\textrm{částice}$ popisuje pohyb volné částice a $\hat{H}_\textrm{pole}$ nerušený časový vývoj pole, oba umíme dobře počítat. Dohromady je označíme $\hat{H}_0$ a zbývající člen $\hat{H}_\textrm{int}$ budeme uvažovat jako poruchu tohoto volného hamiltoniánu. To je oprávněné, pokud $|eA| \ll |P|$. V prvním řádu pak můžeme zahodit druhý člen $\hat{H}_\textrm{int}$ a rovněž rovnou škrtneme třetí, protože ve zvolené kalibraci je $\varphi$ nulové. Za parametr poruchy pro poruchový rozvoj můžeme vzít kupříkladu $e$.
\begin{eqnarray}
+
\sum_{\vec{k}} f (\vec{k}) &=& \sum_{\vec{j} \in \mathbb{Z}^3} f \left( k_1^{(j_1)}, k_2^{(j_2)}, k_3^{(j_3)} \right) \underbrace{\frac{\Delta k_1 \Delta k_2 \Delta k_3}{(2 \pi)^3} V}_{1} \notag \\
+
&\Downarrow & \notag \\
+
\frac{1}{V} \sum_{\vec{k}} f(\vec{k}) &\longrightarrow & \frac{1}{(2 \pi)^3} \int \dif^3 k f(\vec{k}).
+
\end{eqnarray}
+
Protože v této limitě už nebude záležet na směru, označíme $\Delta k = \frac{(2 \pi)^3}{V}$ a dostaneme vztah mezi kreačními a anihilačními operátory pro krabici a pro neomezený prostor
+
\begin{equation}
+
\anihilak{\vec{k} \lambda} = \lim_{V \rightarrow \infty} \frac{\Anihilak{\vec{k} \lambda}}{\sqrt{\Delta k}} = \lim_{V \rightarrow \infty} \frac{\Anihilak{\vec{k} \lambda} \sqrt{V}}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}}, \: \hbar = 1.
+
\end{equation}
+
V této limitě pak dostáváme dříve odvozené operátory, komutační relace... pro spojitá $\vec{k}$.
+
  
V čase $t=t_0$, který zvolíme $t_0 = 0$ jsou operátory ve Schrödingerově obraze stejné jako v Heisenbergově, rozepíšeme je, aby byly jasnější
+
Z nestacionární poruchové teorie pro časově nezávislou poruchu známe vztah \eqref{PM:NPTpr2vysl}. Pro naše účely uvažujme, stejně jako při jeho odvození, počáteční i koncový stav jako vlastní stavy $\hat{H}_0$, nechť ovšem navíc jsou tenzorovými součiny nějakých vlastních stavů $\hat{H}_\textrm{částice}$ a $\hat{H}_\textrm{pole}$. Pro pravděpodobnost přechodu tedy platí
\begin{eqnarray}
+
\hat{H} &=& \hat{H}_{\mathrm{atom}} + \hat{H}_{\mathrm{int}} + \hat{H}_{\mathrm{EM}}, \\
+
\hat{H}_{\mathrm{atom}} &=& \ldots \: \mathrm{se} \: Z \: \mathrm{elektrony}, \\
+
\hat{H}_{\mathrm{int}} &=& - \sum_{j=1}^Z \frac{e^{(j)}}{M^{(j)}} \hat{\vec{A}} (\vec{x}^{(j)}, 0) \cdot \hat{\vec{P}}^{(j)}, \\
+
\hat{H}_{\mathrm{EM}} &=& \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \dif^3 k \omega (\vec{k}) \kreak{\vec{k}, \lambda} \anihilak{\vec{k}, \lambda},
+
\end{eqnarray}
+
kde jsme v interakčním hamiltoniánu zanedbali členy úměrné $\hat{A} \hat{A}$ a zvolili určité pořadí operátorů, které si ale před kvantováním můžeme zvolit libovolně, protože se jedná o násobení funkcí. Uvidíme jaký výsledek toto pořadí dá a později uznáme, že jsme zvolili správně. $M^{(j)}$ jsou hmotnosti elektronů v atomu a $e^{(j)}$ jejich náboje.
+
 
+
Fockův prostor ještě zapíšeme jako
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{H}_{\mathrm{atom}} \otimes \mathscr{F}_{\mathrm{B}} \left( \mathscr{H}_{\mathrm{EM}} \right),
+
  W_{\ket{i_\textrm{č}, i_\textrm{p}} \rightarrow \ket{f_\textrm{č}, f_\textrm{p}}}(T) = \frac{1}{\hbar^2} \abs{\brapigket{f_\textrm{č}, f_\textrm{p}}{\hat{H}_\textrm{int}}{i_\textrm{č}, i_\textrm{p}}}^2 I_T\left( \frac{E_f - E_i}{\hbar} \right),
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde $\mathscr{H}_{\mathrm{EM}}$ je jednočásticový prostor se dvěma polarizacemi $\lambda = 1, 2$. Na tomto Fockově prostoru budeme uvažovat reprezentace pomocí obsazovacích čísel. Budeme dále uvažovat pouze stavy s určeným, konečným počtem fotonů, předpokládáme, že nás zajímá jen konečný počet nenulových obsazovacích čísel $n_1, \ldots, n_N$, kde $K$-tý stav má vlnový vektor $\vec{k}_K$ a polarizaci $\vec{\epsilon} (\vec{k}_K, \lambda_K)$, dostaneme tak stavy
+
kde
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\ket{n_1, \ldots, n_N; \sum_{j} n_j = n},
+
  \hat{H}_\textrm{int} = \frac{e}{2m} (\hat{\vec{P}}\hat{\vec{A}}(\hat{\vec{X}}) + \hat{\vec{A}}(\hat{\vec{X}})\hat{\vec{P}}).
 +
  \label{pole:Hint}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde informace za středníkem je redundantní, protože $n$ je vždy součet všech $n_j$ a chceme jen zdůraznit počet částic. Na těchto vektorech dostáváme standardní působení příslušných kreačních a anihilačních operátorů v \eqref{eq:kpotencial} a působení $\hat{\vec{A}}$ na pro nás zajímavé vektory v nulovém čase tak lze zapsat pomocí maticových elementů (jediné nenulové)
+
a $E_{i,f}$ značí celkové energie (vlastní hodnoty $\hat{H}_0$) počátečního a koncového stavu. Funkce $I_T$, jak víme z páté kapitoly, je zodpovědná za potlačení pravděpodobnosti přechodu pro velké rozdíly energií, a popisuje tak (přibližné) zachování celkové energie při interakci. Pro delší časy $T$ se energie zachovává přesněji. Věnujme se nyní hlavně skalárnímu součinu vystupujícímu před ní.
\begin{eqnarray}
+
\brapigket{n_1, \ldots, n_j + 1, \ldots; n+1}{\hat{\vec{A}} (\vec{x}^{(j)}, 0)}{n_1, \ldots, n_j, \ldots; n} &=& \frac{\sqrt{n_j + 1}}{\sqrt{V}} \frac{\vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j)}{\sqrt{2 \omega (\vec{k}_j)}} e^{-i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}} \notag \\
+
\brapigket{n_1, \ldots, n_j - 1, \ldots; n-1}{\hat{\vec{A}} (\vec{x}^{(j)}, 0)}{n_1, \ldots, n_j, \ldots; n} &=& \frac{\sqrt{n_j}}{\sqrt{V}} \frac{\vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j)}{\sqrt{2 \omega (\vec{k}_j)}} e^{i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}}. \notag
+
\end{eqnarray}
+
  
Abychom mohli pokračovat, uvedeme jeden z možných způsobů zápisu delta funkce, jehož důkaz zainteresovaný čtenář nalezne např. v dodatku \cite{for:ukt}
+
Následující odvození se provede nejsnadněji, nahradíme-li $\hat{\vec{A}}$ jeho diskrétní verzí, která umožňuje jen diskrétní hodnoty vektoru $\vec{k}$. Toho se dosáhne tak, uvažujeme-li místo prostoru $\mathbb{R}^3$ jen krychle o straně $a$ (s periodickými okrajovými podmínkami). V~takovém omezeném prostoru jsou rovinné postupné vlny umožněny jen s vektory
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\frac{1 - \cos \left( \left( E_1 - E_0 \right) \frac{\Delta t}{\hbar} \right)}{\pi \left( E_1 - E_0 \right)^2 \frac{\Delta t}{\hbar}} \underset{\Delta t \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \delta \left( \frac{E_1 - E_0}{\hbar} \right).
+
  \vec{k} = \frac{2\pi}{a} (n_1, n_2, n_3), \quad n_j \in \mathbb{Z}.
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Z nestacionární poruchové teorie máme pro pravděpodobnost přechodu ze stavu $i$ (initial) do $f$ (final) pravděpodobnost
+
Kvantování pak dá namísto \eqref{pole:qpotencial}%
 +
\footnote{Zkuste si to!}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
w = \frac{\abs{\braket{\psi_f}{\psi_i}}^2}{\Delta t},
+
  \hat{\vec{A}}(\hat{\vec{X}}) = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega(\vec{k}) \varepsilon_0}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \left( \anihilak{\vec{k}, \lambda} e^{i \vec{k} \hat{\vec{X}}} + \kreak{\vec{k}, \lambda} e^{-i\vec{k} \hat{\vec{X}}} \right),
 +
\label{pole:dqpotencial}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
do čehož když dosadíme z odvozených vztahů, pošleme $\Delta t \rightarrow \infty$ a použijeme vzoreček pro delta funkci, můžeme psát
+
kde kreační a anihilační operátory nyní mají diskrétní stupně volnosti, tedy
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
w_{(i, n_j) \rightarrow (f, n_j \pm 1)} = 2 \pi \abs{M_{(f, n_j \pm 1), (i, n_j)}}^2 \delta (E_i - E_f \mp E_j),
+
  \komut{\anihilak{\vec{k}_j, \lambda}}{\kreak{\vec{k}_l, \lambda'}} = \delta_{\lambda\lambda'} \delta_{jl}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde $E_j = \omega (\vec{k}_j)$, pokud $\hbar = 1$ a $i, f$ označují počáteční a koncový stav atomu a jako $M_{\ldots}$ jsme si označili
+
a volný hamiltonián vychází
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
M_{(f, n_j \pm 1), (i, n_j)} = \brapigket{n_1, \ldots, n_j \pm 1, \ldots; n \pm 1}{\brapigket{f}{\hat{H}_{\mathrm{int}}}{i}}{n_1, \ldots, n_j, \ldots; n}.
+
  \hat{H} = \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\vec{k}} \hbar\omega(\vec{k}) \kreak{\vec{k}, \lambda}\anihilak{\vec{k}, \lambda}.
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
To lze vyčíslit pro $+$:
+
Pro dostatečně velké $a$ se stírají rozdíly mezi takto popsaným polem a původním, nediskretizovaným, elektromagnetickému poli. Detailům limitního přechodu se zde nebudeme věnovat, zaujatý čtenář je najde ve \cite{for:ukt}.
\begin{equation}
+
 
M_{(f, n_j + 1), (i, n_j)} = \sqrt{\frac{n_j + 1}{V}} \left( - \frac{\vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j)}{\sqrt{2 \omega (\vec{k_j})}} \right) \sum_{j=1}^Z \frac{e^{(j)}}{M^{(j)}} \brapigket{f}{e^{-i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}} \cdot \hat{\vec{P}}^{(j)}}{i},
+
Toto přiblížení má výhodu, že v něm máme elegantní vyjádření vlastních stavů $\hat{H}_\textrm{pole}$ -- přes obsazovací čísla jednotlivých kombinací $(\vec{k}, \lambda)$:
\end{equation}
+
a podobně pro $-$
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
M_{(f, n_j - 1), (i, n_j)} = \sqrt{\frac{n_j}{V}} \left( - \frac{\vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j)}{\sqrt{2 \omega (\vec{k_j})}} \right) \sum_{j=1}^Z \frac{e^{(j)}}{M^{(j)}} \brapigket{i}{e^{+i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}} \cdot \hat{\vec{P}}^{(j)}}{f}.
+
  \ket{i_\textrm{pole}} = \ket{n_1, n_2, \ldots} =: \prod_j \frac{\left(\kreak{\vec{k}_j, \lambda_j}\right)^{n_j}}{\sqrt{n_j!}} \ket{vac}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Díky $\delta (E_i - E_f \mp E_j)$ ve vztahu pro pravděpodobnost musí být $E_j = E_i \mp E_f$, aby byla nenulová.
 
  
Zabývejme se dále pouze $+$ případem, mínus by se počítal podobně. Pro dlouhé vlnové délky ve srovnání s rozměry atomu lze položit (velmi malé vlnové číslo)
+
Provedeme ještě jedno přiblížení, takzvanou \textit{dipólovou aproximaci}. Ta předpokládá, že typická vlnová délka pole je mnohem větší než měřítko polohy částice -- jinými slovy, že uvažujeme vlny tak dlouhé, že pohyb částice, na kterou působí, je ve srovnání~s jejich vlnovou délkou zanedbatelný. V tom případě můžeme přestat psát $x$-závislost vektorového potenciálu, což nepochybně všechny úvahy výrazně zjednoduší:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
e^{-i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}} \approx 1,
+
  \hat{\vec{A}} \approx \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega(\vec{k}) \varepsilon_0}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) (\anihilak{\vec{k}, \lambda} + \kreak{\vec{k}, \lambda})
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
a maticový element $\hat{\vec{P}}^{(j)}$ se tak dá přepsat pomocí
+
Přinejmenším v \eqref{pole:Hint} poté operátory $\hat{\vec{P}}$ a $\hat{\vec{A}}$ komutují a navíc působí na různé části Hilbertova prostoru, takže
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{\vec{P}}^{(j)} = M^{(j)} \frac{1}{i} \komut{\hat{\vec{X}}^{(j)}}{\hat{H}_0},
+
  \begin{aligned}
 +
    &W_{\ket{i_\textrm{č}, i_\textrm{p}} \rightarrow \ket{f_\textrm{č}, f_\textrm{p}}}(T) \approx \frac{1}{\hbar^2} I_T\left( \frac{E_f - E_i}{\hbar} \right) \abs{\frac{e}{m}\brapigket{f_\textrm{č}}{\hat{\vec{P}}}{i_\textrm{č}} \brapigket{f_\textrm{p}}{\hat{\vec{A}}}{i_\textrm{p}}}^2 \\
 +
    &\qquad = \frac{e^2}{2m^2\hbar\varepsilon_0 V} I_T(\cdots) \abs{ \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\vec k} \frac{1}{\sqrt{\omega(\vec k)}} \brapigket{f_\textrm{č}}{(\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \hat{\vec{P}})}{i_\textrm{č}} \brapigket{f_\textrm{p}}{(\anihilak{\vec{k}, \lambda} + \kreak{\vec{k}, \lambda})}{i_\textrm{p}} }^2
 +
  \end{aligned}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde $\hat{H}_0$ je hamiltonián volného elektronu, na
+
Proč se aproximace nazývá dipólová, se dozvíme, využijeme-li následujícího triku:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\brapigket{f}{\frac{\hat{\vec{P}}^{(j)}}{M^{(j)}}}{i} \approx \frac{1}{i} (E_i - E_f) \brapigket{f}{\vec{x}^{(j)}}{i}.
+
  \hat{\vec{P}} = \frac{m}{i\hbar} \komut{\hat{\vec{X}}}{\hat{H}_\textrm{částice}}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
+
a vlastnost, že $\ket{i_\textrm{č}}$ a $\ket{f_\textrm{č}}$ jsou vlastní stavy volného částicového Hamiltoniánu s energiemi $E_i^{(\textrm{č})}$, resp. $E_f^{(\textrm{č})}$:
Zavedeme-li operátor elektrického dipólového momentu
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{\vec{D}} = \sum_{j=1}^Z e^{(j)} \hat{\vec{X}}^{(j)},
+
  \brapigket{f_\textrm{č}}{\hat{\vec{P}}}{i_\textrm{č}} = \frac{m}{i\hbar} \brapigket{f_\textrm{č}}{(\hat{\vec{X}} \hat{H_\textrm{č}} - \hat{H_\textrm{č}} \hat{\vec{X}})}{i_\textrm{č}} = \frac{m}{i\hbar} (E_i^{(\textrm{č})} - E_f^{(\textrm{č})}) \brapigket{f_\textrm{č}}{\hat{\vec{X}}}{i_\textrm{č}}.
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
můžeme v tzv. dipólové aproximaci zapsat mezivýsledek jako
+
Pak totiž lze psát
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
M_{(f, n_j + 1), (i, n_j)} = \sqrt{\frac{n_j + 1}{V}} i \sqrt{\frac{E_i - E_f}{2}} \vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j) \brapigket{f}{\hat{\vec{D}}}{i}.
+
  W_{\ket{i_\textrm{č}, i_\textrm{p}} \rightarrow \ket{f_\textrm{č}, f_\textrm{p}}}(T) \approx \frac{1}{2\hbar^3\varepsilon_0 V} I_T(\cdots) \abs{ \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\vec k} \frac{\Delta E^{(\textrm{č})}}{\sqrt{\omega(\vec k)}} \brapigket{f_\textrm{č}}{(\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \hat{\vec{D}})}{i_\textrm{č}} \brapigket{f_\textrm{p}}{(\anihilak{\vec{k}, \lambda} + \kreak{\vec{k}, \lambda})}{i_\textrm{p}} }^2\!\!,
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Díky tomu, že $M_{\ldots}$ vystupuje v pravděpodobnostech v kvadrátu, pro $n_j +1$ se rozpadne na dva členy a ty se dají jasně interpretovat jako spontánní a stimulovaná emise.
+
kde $\hat{\vec D} = e \hat{\vec X}$ je operátor dipólového momentu částice.
  
S tímto výsledkem se dá dále pracovat, pro $\infty > V \gg 0$ lze spektrální hustotu záření $N_{\vec{k}_j, \lambda_j}$ psát jako
+
Vidíme, že z hlediska pole jsou jediné povolené přechody (s nenulovou pravděpodobností v první řádu rozvoje) takové, kde $\ket{f_\textrm{p}}$ má překryv buď s $\kreak{\vec{k},\lambda} \ket{i_\textrm{p}}$ nebo s~$\anihilak{\vec{k},\lambda} \ket{i_\textrm{p}}$. Tedy takové, ve kterých v jednom z módů vznikne nebo zanikne právě jeden foton. Navíc víme odpovídající skalární součiny,
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\frac{N_{\vec{k}_j, \lambda_j}}{\Delta k} \dif^3 k \approx \frac{V}{(2 \pi)^3} N_{\vec{k}_j, \lambda_j} k^2 \dif k \dif \Omega.
+
\begin{aligned}
 +
\brapigket{n_1,n_2,\ldots,n_j+1,\ldots}{\kreak{\vec{k}_j,\lambda_j}}{n_1,n_2,\ldots,n_j,\ldots} &= \sqrt{n_j + 1}, \\
 +
\brapigket{n_1,n_2,\ldots,n_j+1,\ldots}{\anihilak{\vec{k}_j,\lambda_j}}{n_1,n_2,\ldots,n_j,\ldots} &= \sqrt{n_j},
 +
\end{aligned}
 +
\label{pole:bosony}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Z toho hustota fotonů s polarizací $\lambda$ a hybností $\vec{k}$ takovými, že
+
ze kterých snadno dopočítáme pravděpodobnost \textit{emise}
\begin{eqnarray}
+
\abs{\vec{k}} \in (k_0, k_0 + \dif k), \\
+
\frac{\vec{k}}{\abs{k}} \in \dif \Omega,
+
\end{eqnarray}
+
kde $\dif \Omega$ je kolem nějakého jednotkového vektoru $\vec{n}$, je
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\frac{1}{(2 \pi)^3} N_{\vec{k}, \lambda} k^2 \dif k \dif \Omega .
+
W_\text{emise do $\vec{k}_j, \lambda_j$}(T) \approx \frac{1}{2\hbar^2\varepsilon_0 V} I_T \left( \frac{\Delta E^\textrm{(celk)}}{\hbar} \right) \frac{(\Delta E^{(\textrm{č})})^2}{\Delta E^{(\textrm{p})}} \abs{ \brapigket{f_\textrm{č}}{(\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \hat{\vec{D}})}{i_\textrm{č}} }^2 (n_j + 1)
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Pro spektrální hustotu toku energie $I(\ldots)$ potom platí ($\omega = k$)
+
a pravděpodobnost \textit{absorpce}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
I(\omega, k) \dif \omega \dif \Omega = \frac{k^3}{(2 \pi)^3} N_{\vec{k}, \lambda} \dif k \dif \Omega,
+
W_\text{absorpce $\vec{k}_j, \lambda_j$}(T) \approx \frac{1}{2\hbar^2\varepsilon_0 V} I_T \left( \frac{\Delta E^\textrm{(celk)}}{\hbar} \right) \frac{(\Delta E^{(\textrm{č})})^2}{|\Delta E^{(\textrm{p})}|} \abs{ \brapigket{f_\textrm{č}}{(\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \hat{\vec{D}})}{i_\textrm{č}} }^2 n_j
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
a z toho získáváme
+
 
 +
Pěkný výsledek je, že pravděpodobnost emise se dá rozložit na pravděpodobnost \textit{stimulované} emise, číselně rovnou pravděpodobnosti absorpce, která je přímo úměrná počtu fotonů v daném módu přítomných (a necitlivá k žádným ostatním fotonům), a pravděpodobnost \textit{spontánní} emise, nezávislou na polních proměnných. Dále člen s $\hat{\vec{D}}$ zodpovídá za známé geometrické rozložení vyzařování dipólu. Tyto vlastnosti dobře popisují experimentálně ověřené fakty.
 +
 
 +
Pro velké (ale konečné) objemy se ještě hodí asymptotický vztah
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
I(\omega, k) = \frac{k^3}{(2 \pi)^3} N_{\vec{k}, \lambda}.
+
  \frac{I_T(\omega)}{T} \overset{t \to +\infty}{\longrightarrow} \pi\delta(\omega),
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
+
který pro velké hodnoty $T$ zajišťuje zachování celkové energie
Pravděpodobnost přechodu z $\ket{i}$ do $\ket{f}$ za jednotku času s absorpcí fotonu s polarizací $\lambda$ a hybností z oblasti $\Omega_{k}$ kolem $\vec{k}$ takového, že $\abs{\vec{k}} = \abs{E_f - E_i}$, tedy je
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
w_{if} \left( \lambda, \Delta k \right) = \sum_{\Omega_{k}} w_{(i, n_j) \rightarrow (f, n_j - 1)} = 2 \pi \sum_{\Omega_{k}} \abs{M_{(f, n_j - 1), (i, n_j)}}^2 \delta (E_i - E_f + E_j).
+
  \Delta E^\textrm{(celk)} = 0, \quad \Delta E^{(\textrm{p})} = -\Delta E^{(\textrm{č})}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Po provedení limity $V \rightarrow \infty$ lze v dipólové aproximaci vyjádřit (po integraci přes $\dif k$ se díky volbě jednotek $\hbar = 1$ použije delta funkce)
+
a navíc umožňuje psát výsledek ve formě pravděpodobností za jednotku času. Počet fotonů v módu $\ket{\vec{k}_j, \lambda_j}$ je pak možno brát jako hustotu počtu fotonů (v počátečním stavu) s danou hybností na prostorový úhel v jistém okolí $\vec{k}_j$ a s danou polarizací. Detaily opět viz \cite{for:ukt}.
\begin{eqnarray}
+
 
\deriv{w_{if}^{\mathrm{absorpce}} (\lambda, \vec{k})}{\Omega} &=& \pi I(E_f - E_i, \vec{k}) \abs{\vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \brapigket{f}{\hat{\vec{D}}}{i}}^2, \\
+
Tento explicitní výpočet dává příklad obecné interpretace nejjednodušších členů interakčního hamiltoniánu. Obecně členy tvaru $\hat{O} \kreak{i}$ (doprovázené $\hat{O}^\dagger \anihilak{i}$ pro samosdruženost hamiltoniánu) odpovídají interakcím, při kterých je do pole vyzářena / z pole pohlcena jedna částice, za současné změny stavu druhého fyzikálního systému. Díky faktorům \eqref{pole:bosony} je pravděpodobnost absorpce přímo úměrná počtu částic (excitací) pole, které jsou v odpovídajícím módu k dispozici, a pravděpodobnost emise je navýšena o možnost spontánní emise. Členy kombinující $\kreak{i} \anihilak{i}$ odpovídají volné oscilaci pole. Další členy vyšších řádů bychom interpretovali podobným způsobem:
\deriv{w_{if}^{\mathrm{stim.}} (\lambda, \vec{k})}{\Omega} &=& \pi I(E_f - E_i, \vec{k}) \abs{\vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \brapigket{i}{\hat{\vec{D}}}{f}}^2, \\
+
\begin{enumerate}
\deriv{w_{if}^{\mathrm{spont.}} (\lambda, \vec{k})}{\Omega} &=& \frac{k^3}{8 \pi^2} \abs{\vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \brapigket{f}{\hat{\vec{D}}}{i}}^2,
+
\item $\hat{O} \hat{a}^\dagger_i \hat{a}_j + \hat{O}^\dagger \hat{a}_i \hat{a}^\dagger_j$: rozptýlení částice pole na bodové částici za současné změny stavu částice,
\end{eqnarray}
+
\item $\hat{a}^\dagger_i \hat{b}_j + \hat{a}_i \hat{b}^\dagger_j$ (za přítomnosti dvou polí): změna druhu jedné polní částice na jiný,
pravděpodobnosti absorpce, stimulované emise a spontánní emise. Vidíme, že hlavní rozdíl ve výsledcích je ten, že koeficient spontánní emise nezávisí na intenzitě/počtu částic s danou polarizací a hybností/energií -- na rozdíl od stimulované emise a absorpce, což je očekávaný charakter řešení.
+
\item $\hat{a}^\dagger_i \hat{b}_j \hat{b}_k + \hat{a}_i \hat{b}^\dagger_j \hat{b}^\dagger_k$: rozpad částice jednoho pole na dvě částice jiného, syntéza jedné částice srážkou dvou částic druhého pole
 +
\end{enumerate}
 +
a tak dále.
 +
 
 +
Obdobně jako u elektromagnetického pole se postupuje i ve fundamentálních teoriích elementárních částic, ale v této aplikaci je třeba zvážit i další problémy, např.
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Fockův prostor stavů je konstruován pomocí řešení volných neinteragujících částic. Kanonická hybnost má jiný význam pro interagující částici, než pro volnou. Do jaké míry je oprávněné použití $\hat{H}_0$ pro interagující částice?
 +
\item Problémy s kalibračními stupni volnosti se ještě zvětší při použití neabelovských kalibračních teorií (elektroslabé, silné interakce).
 +
\item Poruchové rozvoje mají tendenci nekonvergovat. Jsou pak potřeba pokročilé techniky jako renormalizační teorie a podobně.
 +
\end{enumerate}
 +
Tyto problémy už opravdu přenecháme kvantové teorii pole.

Verze z 24. 5. 2018, 16:31

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVAN2Hoskoant 6. 5. 201411:44
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůPotocvac 12. 6. 201711:17
Header editovatHlavičkový souborPotocvac 12. 6. 201718:07 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaHoskoant 6. 5. 201410:48 predmluva.tex
Kapitola1 editovatAlgebraická teorie momentu hybnostiPotocvac 8. 6. 201813:31 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatTenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorémKubuondr 13. 6. 201812:22 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatDalší ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechanikyKubuondr 13. 6. 201813:00 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatMatice hustoty a smíšené kvantové stavyKubuondr 12. 6. 201809:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPřibližné metody v kvantové mechaniceKubuondr 9. 6. 201821:23 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatPropagátorPotocvac 3. 5. 201816:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatDráhový integrálKubuondr 5. 4. 202017:09 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTeorie rozptyluKubuondr 13. 6. 201807:54 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPartiční sumaKubuondr 13. 6. 201808:14 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatReprezentace vícečásticových systémůKubuondr 11. 6. 201809:34 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatKvantování klasických políKubuondr 13. 6. 201810:45 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatLiteraturaHoskoant 6. 5. 201410:53 kapitolaA.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:wkb-1.pdf wkb-1.pdf
Image:wkb-2.pdf wkb-2.pdf
Image:wkb-3.pdf wkb-3.pdf
Image:wkb-4.pdf wkb-4.pdf
Image:wkb-5.pdf wkb-5.pdf
Image:wkb-ho.pdf wkb-ho.pdf
Image:itw-1.pdf itw-1.pdf
Image:drahy-1.pdf drahy-1.pdf
Image:drahy-2.pdf drahy-2.pdf
Image:feynman-1.pdf feynman-1.pdf
Image:feynman-2.pdf feynman-2.pdf
Image:feynman-3.pdf feynman-3.pdf
Image:feynman-4.pdf feynman-4.pdf
Image:rozptyl-1.pdf rozptyl-1.pdf
Image:rozptyl-2.pdf rozptyl-2.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Kvantování klasických polí}
Tato, poslední, kapitola poznámek si klade za cíl stručné shrnutí látky z přednášky, ale je na místě poznamenat, že kvantováním polí se bude příští rok zabývat dvousemestrální předmět a tudíž zde není ani zdaleka možné projít všechny aspekty látky. Berte kapitolu jako přípravu na další rok. Z historických důvodů se tomuto postupu někdy říká \textit{druhé kvantování}, kvantování polí je ale název věrnější.
 
%================================================================================
\subsection{Připomenutí: klasická teorie pole}
%================================================================================
Začneme stručným zopakováním základních vzorců a pouček klasické teorie pole v~Lag\-rangeově a Hamiltonově formalismu.
 
\subsubsection*{Hustota lagrangiánu}
Centrální význam lagrangiánu $L(q^1, \ldots, q^s, \dot q^1, \ldots, \dot q^s, t)$ v teorii pole přebírá \textit{hustota lagrangiánu}
\begin{equation}
\mathscr{L}(\varphi^1, \ldots, \varphi^s, \varphi^1_{,\mu}, \ldots, \varphi^s_{,\mu}, x^\mu),
\end{equation}
z níž můžeme určit $L = \int \mathscr{L} \dif V$. V takto utvořeném lagrangiánu na místě obecných souřadnic vystupují \textit{pole} $\varphi^i(x^\mu)$, typicky závisející na souřadnicích a čase, kompaktně dohromady zapsaných jako čtveřice prostoročasových souřadnic. V hustotě lagrangiánu se kromě obecných rychlostí $\dot\varphi^i := \varphi^i_{,t} := \partial_t\varphi^i$ může vyskytovat závislost i na derivacích $\varphi^i$ podle $x, y, z$. Tomuto musejí být uzpůsobeny Euler-Lagrangeovy rovnice, které získávají tvar
\begin{equation}
\sum_\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \frac{\partial\mathscr L}{\partial\varphi^i_{,\mu}} - \frac{\partial\mathscr L}{\partial\varphi^i} = 0.
\label{}
\end{equation}
Derivace zcela vlevo se rozumí počítaná v soustavě souřadnic $(x^\mu)$, tedy $\varphi^i$ apod. se v~ní již neuvažují jako nezávislé proměnné lagrangiánu, ale jako funkce souřadnic a~času. V~soustavě jedné proměnné by se takto chovala úplná časová derivace.
 
\subsubsection*{Hustota hamiltoniánu}
Teorii pole můžeme formulovat i v Hamiltonově formalismu. Na rozdíl od předchozího případu, nezávislého na volbě vztažné soustavy, v Hamiltonově formalismu získává časová souřadnice výhradní roli oproti prostorovým. Volíme tedy obecné hybnosti jako derivace podle časové změny $\varphi^i$,
\begin{equation}
\Pi_i = \frac{\partial\mathscr L}{\partial\varphi^i_{,t}} = \frac{\partial\mathscr L}{\partial\dot\varphi^i},
\label{pole:hybnost}
\end{equation}
a Legendreovu transformaci provedeme též pouze v záměně $\dot\varphi^i \leftrightarrow \Pi_i$. Výsledkem je hamiltonián, který lze psát opět jako integrál $H = \int \mathscr{H} \dif V$ z \textit{hustoty hamiltoniánu}
\begin{equation}
\mathscr{H} = \Pi_i \dot\varphi^i - \mathscr{L} = \mathscr{H}(\varphi^1, \ldots, \varphi^s, \varphi^1_{,k}, \ldots, \varphi^s_{,k}, \Pi_1, \ldots, \Pi_s, x^i, t)
\label{}
\end{equation}
Věnujte pozornost nezávislým proměnným: obecná rychlost $\dot\varphi^i$ se nahradila obecnou hybností $\Pi_i$, ale ostatní (prostorové) derivace $\varphi^i$ zůstávají! To má vliv na mnoho aspektů teorie. Zejména pohybové rovnice je třeba psát pomocí funkcionálních (či variačních) derivací%
\footnote{Jak jsme je zavedli v kapitole \ref{sec:funkcionalni derivace}.}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot\varphi^i(\vec x, t) &= \frac{\delta H}{\delta\Pi_i(\vec x, t)} = \frac{\partial\mathscr{H}(\vec{x},t)}{\partial\Pi_i}, \\
\dot\Pi_i(\vec x, t) &= -\frac{\delta H}{\delta\varphi^i(\vec x, t)} = -\frac{\partial\mathscr{H}(\vec{x},t)}{\partial\varphi^i} + \sum_k \frac{\partial}{\partial x^k}\frac{\partial\mathscr{H}(\vec{x},t)}{\partial\varphi^i_{,k}},
\end{aligned}
\label{}
\end{equation}
které berou ohled na možnost výskytu nezávislé polní proměnné i jejích derivací.
 
\subsubsection*{Poissonovy závorky}
Podobným způsobem jako pohybové rovnice je potřeba upravit Poissonovy závorky. V~každý okamžik můžeme vyhodnotit Poissonovu závorku dvou stavových funkcí jako
\begin{equation}
\{F,G\} = \int \dif^3 x \sum_{i=1}^s \left( \frac{\delta F}{\delta\varphi^i(\vec x,t)} \frac{\delta G}{\delta\Pi_i(\vec x,t)} - \frac{\delta F}{\delta\Pi_i(\vec x,t)} \frac{\delta G}{\delta\varphi^i(\vec x,t)} \right).
\label{}
\end{equation}
Pohyb soustavy pak můžeme tradičně psát jako Poissonovu závorku s hamiltoniánem (ne hustotou). Poněkud je ale třeba upravit kanonické Poissonovy závorky: zejména nemůžeme používat samotné $\varphi^i$, $\Pi_i$, protože se nejedná o stavové funkce.
Na skutečné trajektorii soustavy budou jak $\varphi^i$ tak $\Pi_i$ funkcemi souřadnic a času, a o stavových funkcích tak můžeme mluvit pouze po vyhodnocení těchto veličin v nějakých souřadnicích (ale stejném čase).
Jejich Poissonova závorka vede na zobecněné funkce:
\begin{equation}
\{\varphi^i(\vec x, t), \Pi_j(\vec y, t)\} = \delta_{ij} \delta^3(\vec x - \vec y).
\label{pole:kanon}
\end{equation}
 
%================================================================================
\subsection{Jak kvantovat klasická pole}
%================================================================================
Kvantování se standardně provádí podle návodu:
\begin{enumerate}
%
\item Uvažujte klasickou volnou (neinteragující) polní teorii danou hustotou lagrangiánu. (Interakce začleníme později.)
%
\item Nalezněte řešení pohybových rovnic z Lagrangeova formalismu ve formě superpozice rovinných vln.
%
\item Vyjádřete amplitudy rovinných vln $a^i(\vec{k})$ a jejich komplexní sdružení pomocí polí a jejich kanonických hybností \eqref{pole:hybnost},
%\begin{equation}
%	\Pi_i = \parcder{\mathscr{L}(\varphi^i, \varphi^i_{,\mu})}{(\varphi^i_{,t})},
%\end{equation}
pro které klasicky postulujeme Poissonovy závorky \eqref{pole:kanon}.
%
\item Přeškálujte veličiny $a^i(\vec{k})$, aby platilo
\begin{equation}
  i\hbar \{ a^i(\vec{k}), \overline{a}^j(\vec{k}') \} = \delta_{ij}\delta^3(\vec{k}-\vec{k}').
\label{}
\end{equation}
%
\item Zaveďte $\mathscr{H} = \Pi_i \dot\varphi^i - \mathscr{L}$, z něj spočítejte $H = \int \dif ^3 x \mathscr{H}$ a ověřte, že
\begin{equation}
H = \sum_i \int \dif^3 k E(i, \vec{k}) \overline{a}^i(\vec{k}) a^i(\vec{k})
\label{}
\end{equation}
je součtem energií uvažované superpozice rovinných vln.
%
\item Kvantujte použitím principu korespondence
\begin{equation}
\begin{aligned}
\{F, G\} &\mapsto \frac{1}{i\hbar} [\hat F, \hat G], \\
\varphi^i(\vec{x}, t), \Pi_i(\vec{x}, t) &\mapsto \hat{\varphi}_i(\vec{x}, t), \hat{\Pi}_i(\vec{x}, t) \\
a^i(\vec{k}), \overline{a}^i(\vec{k}) &\mapsto \hat{a}_{i,\vec{k}}, \hat{a}^\dagger_{i,\vec{k}}, \\
H &\mapsto \hat{H} = \sum_i \int \dif^3 k E(i, \vec{k}) \hat{a}^\dagger_{i,\vec{k}} \hat{a}_{i,\vec{k}}.
\end{aligned}
\label{}
\end{equation}
Odsud okamžitě plyne $[\hat{a}_{i,\vec{k}}, \hat{a}^\dagger_{j,\vec{k}'}] = \delta_{ij} \delta^3(\vec{k}-\vec{k}')$, jak má platit pro spojité bosonové kreační a anihilační operátory. Všimněte si, že hamiltonián se přepisuje v „normálním uspořádání“. Počítat jej přímo náhradou $\varphi, \Pi$ za operátory ve vzorci pro $\mathscr{H}$ by vedlo k zákeřným nekonečnům, která se pak musejí složitě odstraňovat.
%
\item Postulujte existenci a jedinečnost normalizovaného stavu s nejnižší energií, \textit{vakua} $\ket{0}$, splňujícího \eqref{eq:anihilakkk}.
Fockův prostor pak generujeme působením operátorů $\kreak{\alpha}$ na $\ket{0}$. Takto získané stavy ($\kreak{\alpha_1} \ldots \kreak{\alpha_n} \ket{0}$) interpretujeme jako stavy obsahující $n$ kvant pole $\varphi$. Tyto stavy pak mají energii/hybnost danou jako součet energií/hybností stavů $\kreak{\alpha_k} \ket{0}$, proto stav $\kreak{\alpha} \ket{0}$ interpretujeme jako částici pole $\varphi$, např. foton, ve stavu $\ket{\alpha}$ a obecně stav $\kreak{\alpha_1} \ldots \kreak{\alpha_n} \ket{0}$ jako $n$-částicový stav.
%
\item Interakční členy v klasickém $\mathscr{L}$ vyjádřete také pomocí $\anihilak{i,\vec{k}}$, $\kreak{i,\vec{k}}$ a započítejte je poruchově.
\end{enumerate}
 
 
%================================================================================
\subsubsection{Volné reálné Klein-Gordonovo pole
(\texorpdfstring{$c = 1$, $\hbar = 1$}{c = 1, ħ = 1})}
%================================================================================
Příklad uvedeme na tzv. reálném skalárním poli,%
\footnote{Takový popis se přiřazuje Higgsovu bosonu.}
daném lorentzovsky invariantní hustotou lagrangiánu
\begin{equation}
\mathscr{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi \partial^\mu \varphi - \frac{1}{2} m^2 \varphi^2 = \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \varphi_{,\mu} \varphi_{,\nu} - \frac{1}{2} m^2 \varphi^2,
\end{equation}
kde $(x^\mu) = (t, x, y, z)$. Napíšeme pohybové rovnice
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\varphi_{,\kappa}} &= \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \delta^\kappa_\mu \varphi_{,\nu} + \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \varphi_{,\mu} \delta^\kappa_\nu = \eta^{\kappa\nu} \varphi_{,\nu}, \\
    0 = \partial_\kappa\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\varphi_{,\kappa}} - \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\varphi} &= \partial_\kappa (\eta^{\kappa\nu} \varphi_{,\nu}) + m^2 \varphi = \eta^{\mu\nu} \varphi_{,\mu,\nu} + m^2 \varphi = \square\varphi + m^2\varphi,
  \end{aligned}
  \label{pole:kg}
\end{equation}
kde jsme použili d'Alembertova operátoru $\square$. Než rovnice začneme řešit, připravíme si ještě rovnou obecnou hybnost volbou $\kappa=0$ v první z rovnic:
\begin{equation}
	\Pi = \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\varphi_{,0}} = \eta^{0\nu} \varphi_{,\nu} = \dot\varphi.
\end{equation}
Rovnice \eqref{pole:kg}, známá jako rovnice Klein--Gordonova, má nekonečně mnoho řešení tvaru rovinné vlny
\begin{eqnarray}
	\varphi_{\vec{k}} (\vec{x}, t) = e^{i\left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k}) t \right)}.
\end{eqnarray}
Dosazení do \eqref{pole:kg} dá podmínku
\begin{equation}
	\omega(\vec{k})^2 = \vec{k}^2 + m^2.
\end{equation}
Obecné řešení pohybových rovnic s požadavkem na reálnost $\varphi$ tedy je
\begin{equation}
	\varphi(\vec{x}, t) = \int \dif^3 k \left( a(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} + \overline{a}(\vec{k}) e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right),
\end{equation}
kde
\begin{equation}
	\omega(\vec{k}) = \sqrt{\vec{k}^2 + m^2}.
\end{equation}
Řešení rovnic dosadíme do připravené obecné hybnosti
\begin{equation}
	\Pi(\vec{x}) = \dot\varphi = -i \int \dif^3 k \omega(\vec{k}) \left( a(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} - \overline{a}(\vec{k}) e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right).
\end{equation}
 
Při hledání vyjádření $a, \overline{a}$ pomocí $\varphi, \Pi$ zkusíme zpětnou Fourierovu transformaci
\begin{equation}
\frac{1}{(2\pi)^3} \int \dif^3 x e^{-i(\vec{k}\vec{x}-\omega(\vec{k})t)} \varphi(\vec{x},t) = \ldots = a(\vec{k}) + \overline{a}(-\vec{k}) e^{2i\omega(\vec{k})t}.
\end{equation}
Nadbytečného výrazu s $\overline{a}$ se zbavíme transformací $\Pi$, kde vystoupí tytéž dva členy se vzájemně opačnými znaménky:
\begin{equation}
\frac{1}{(2\pi)^3} \int \dif^3 x e^{-i(\vec{k}\vec{x}-\omega(\vec{k})t)} \Pi(\vec{x},t) = \ldots = -i\omega(\vec{k})a(\vec{k}) + i\omega(\vec{k})\overline{a}(-\vec{k}) e^{2i\omega(\vec{k})t}.
\end{equation}
Celkově tedy
\begin{equation}
a(\vec{k}) = \frac{1}{2(2\pi)^3} \int \dif^3 x \left( \varphi(\vec{x},t) + \frac{i}{\omega(\vec{k})} \Pi(\vec{x},t) \right) e^{-i(\vec{k}\vec{x} - \omega(\vec{k})t)}
\end{equation}
a jeho komplexní sdružení
\begin{equation}
\overline{a}(\vec{k}) = \frac{1}{2(2\pi)^3} \int \dif^3 x \left( \varphi(\vec{x},t) - \frac{i}{\omega(\vec{k})} \Pi(\vec{x},t) \right) e^{i(\vec{k}\vec{x} - \omega(\vec{k})t)}.
\end{equation}
 
S touto volbou škály by vycházelo
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \{a(\vec{k}), \overline{a}(\vec{k}')\} &= \frac{1}{4(2\pi)^6} \int \dif^3 x \int \dif^3 y e^{-i(\vec{k}\vec{x}-\omega(\vec{k})t} e^{i(\vec{k}'\vec{y} - \omega(\vec{k}')t} \times{}\\
    &\qquad{}\times \left\{ \varphi(\vec{x},t) + \frac{i}{\omega(\vec{k})} \Pi(\vec{x},t), \varphi(\vec{x},t) - \frac{i}{\omega(\vec{k})} \Pi(\vec{x},t) \right\} = \\
    &{}= \frac{-i}{2(2\pi)^3\omega(\vec{k})} \delta^3(\vec{k}-\vec{k}')
  \end{aligned}
\end{equation}
namísto požadovaného $-i\delta^3(\vec{k}-\vec{k}')$, upravíme proto definice $a(\vec{k})$ a $\overline{a}(\vec{k})$ opravným faktorem $\sqrt{2(2\pi)^3\omega(\vec k)}$ na
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \tilde{a}(\vec{k}) &= \frac{1}{\sqrt{2(2\pi)^3 \omega(\vec{k})}} \int \dif^3 \: x e^{-i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \varphi (\vec{x}, t) + i \Pi (\vec{x}, t) \right], \\
    \overline{\tilde{a}}(\vec{k}) &= \frac{1}{\sqrt{2(2\pi)^3 \omega(\vec{k})}} \int \dif^3 x \: e^{+i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \varphi (\vec{x}, t) - i \Pi (\vec{x}, t) \right], \\
    \varphi(\vec{x}, t) &= \frac{1}{\sqrt{2(2\pi)^3 \omega(\vec{k})}} \int \dif^3 k \left( \tilde{a}(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} + \overline{\tilde{a}}(\vec{k}) e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right), \\
    \Pi(\vec{x}) &= \frac{-i\sqrt{\omega(\vec{k})}}{\sqrt{2(2\pi)^3}} \int \dif^3 k \left( \tilde{a}(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} - \overline{\tilde{a}}(\vec{k}) e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right).
  \end{aligned}
\end{equation}
 
Kvantujme!
\begin{eqnarray}
	\komut{\hat{\varphi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)} &=& i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}), \\
	\komut{\hat{\varphi}(\vec{x}, t)}{\hat{\varphi}(\vec{x}, t)} &=& 0, \\
	\komut{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)} &=& 0.
\end{eqnarray}
Přímým dosazením a použitím postulovaných komutačních relací pro $\hat{\Pi}$ a $\hat{\varphi}$ by se ukázalo, že pak skutečně také
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{\vec{k}}}{\kreak{\vec{l}}} &= \delta^{(3)}(\vec{k} - \vec{l}), \\
    \komut{\anihilak{\vec{k}}}{\anihilak{\vec{l}}} &= 0, \\
    \komut{\kreak{\vec{k}}}{\kreak{\vec{l}}} &= 0,
  \end{aligned}
  \label{pole:komut-aa}
\end{equation}
jak má být.
 
Pokusme se nyní sestavit hamiltonián volného Klein--Gordonova pole přímým výpočtem s „ostříškovanými“ členy:%
\footnote{Pro stručnost $\omega' := \omega(\vec{k}')$.}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat H &= \int \mathscr{H} \dif^3 x = \int \left( \hat{\Pi} \dot{\hat{\varphi}} - \hat{\mathscr{L}} \right) \dif^3 x \\
&= \frac{1}{2} \int \left( \hat{\Pi}^2 + (\mathop{\mathrm{grad}} \hat\varphi)^2 + m^2\hat\varphi^2 \right) \dif^3 x \\
%&\hskip 6pt\vdots \\
&= \frac{1}{4(2\pi)^3} \int \dif^3 x \int \dif^3 k \int \dif^3 k' \frac{1}{\sqrt{\omega\omega'}} \times{} \\
&\qquad \left( -\omega\omega' \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{i(\vec k+\vec k')\vec x - i(\omega+\omega')t} - \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{i(\vec k-\vec k')\vec x - i(\omega-\omega')t} - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{\ldots} + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{\ldots} \right) \right. \\
&\qquad \left. {}- \vec k\cdot\vec k' \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{i(\vec k+\vec k')\vec x - i(\omega+\omega')t} - \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{i(\vec k-\vec k')\vec x - i(\omega-\omega')t} - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{\ldots} + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{\ldots} \right) \right. \\
&\qquad \left. {}+ m^2 \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{i(\vec k+\vec k')\vec x - i(\omega+\omega')t} + \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{i(\vec k-\vec k')\vec x + i(\omega-\omega')t} - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} e^{\ldots} + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} e^{\ldots} \right) \right) \\
%
&= \int \dif^3 k \int \dif^3 k' \frac{1}{4\sqrt{\omega\omega'}} \times{} \\
&\qquad \left( -\omega\omega' \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') - \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') \right) \right. \\
&\qquad \left. {}- \vec k\cdot\vec k' \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') - \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') \right) \right. \\
&\qquad \left. {}+ m^2 \left( \anihilak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') + \anihilak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') - \kreak{\vec k}\anihilak{\vec k'} \delta^3(\vec k-\vec k') + \kreak{\vec k}\kreak{\vec k'} \delta^3(\vec k+\vec k') \right) \right) \\
%
&= \int \dif^3 k \frac{1}{4\omega} \left( \underbrace{(-\omega^2+|\vec k|^2+m^2)}_0\left(\anihilak{\vec k}^2 + (\kreak{\vec k})^2\right) + \underbrace{(\omega^2+|\vec k|^2+m^2)}_{2\omega^2}\left(\kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}} + \anihilak{\vec{k}} \kreak{\vec{k}}\right) \right) \\
%
&= \int \dif^3 k \: \omega(\vec{k}) \frac{\kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}} + \anihilak{\vec{k}} \kreak{\vec{k}}}{2}
\end{aligned}
\label{}
\end{equation}
Vzorec vyšel ve smíšeném uspořádání kreačních a anihilačních operátorů. Pokus převést jej na normální uspořádání $\kreak{}\anihilak{}$ padne na skutečnosti, že bychom potřebovali komutátor $\kreak{}$ a $\anihilak{}$ se \textit{stejným} $\vec{k}$, který je podle \eqref{pole:komut-aa} úměrný $\delta(0)$! Protože tento člen v teorii harmonického oscilátoru udává hladinu nulové energie, naše pole by mělo nekonečnou energii už ve vakuovém stavu.
 
Budeme se proto držet naší kuchařky a hamiltonián sestavíme s vynuceným normálním uspořádáním
\begin{equation}
\hat H = \int \dif^3 k \: \omega(\vec{k}) \kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}}.
\label{}
\end{equation}
Tento postup dává dobré výsledky.
 
Podobně by se odvodil vztah pro hybnost $\hat{\vec{P}}$
\begin{equation}
\hat{\vec{P}} =  \int \dif^3 k  \: \vec{k} \kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}}.
\end{equation}
 
%================================================================================
\subsection{Kvantování elektromagnetického pole}
%================================================================================
 
Analogií ukázaného postupu zkusíme nakvantovat elektromagnetické pole, jehož jednotlivé excitace jsou fotony. Spočítáme také v nejhrubší aproximaci jeho interakci s elektronem.
 
Budeme se opět držet kuchařky, ovšem el.-mag. pole má tu nevýhodu na výpočet, že je kalibračně invariantní, jeho invariance vzhledem k volbě kalibrace se nesmí objevit jako nezávislé pole s hybnostmi ve výsledku.%
\footnote{Kalibrační invariance například to znemožňuje přechod k hamiltonovské formulaci, protože obecné hybnosti ve „směrech“ odpovídajících těmto stupňům volnosti by vyšly nulové.}
Tahle obtíž se dá řešit různě, my zvolíme kalibraci fixně a potom budeme kvantovat. Tento postup je jednoduchý a funguje dobře, je však nevhodný pro práci v teorii elementárních částic, kvantové chromodynamice apod.
 
Připomeneme, že hustota lagrangiánu elektromagnetického pole je
\begin{equation}
	\mathscr{L} = - \frac{1}{4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu},
\end{equation}
kde
\begin{equation}
	F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu  - \partial_\nu A_\mu,
\end{equation}
a dává pro pole $A_\mu$ pohybové rovnice
\begin{equation}
	\partial_\mu \partial^\mu A_\nu - \partial_\nu \left( \partial^\mu A_\mu \right) = 0.
  \label{pole:pr-A}
\end{equation}
Obecné hybnosti jsou (až na konstantní faktor) složky elektrické intenzity:
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \Pi_i &= \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial A_{i,t}} = \frac{1}{c} \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial A_{i,0}} = \frac{1}{c\mu_0} (A_{i,0} - A_{0,i}) = \frac{1}{\mu_0c} (-\frac{1}{c} A^i_{,t} - A^0_{,i}) ={} \\
    &= \frac{1}{\mu_0 c^2} \left( -\frac{\partial A^i}{\partial t} - \frac{\partial \varphi}{\partial x^i} \right) = \varepsilon_0 E^i.
  \end{aligned}
\label{}
\end{equation}
 
Fixní kalibraci zvolíme Coulombovu, danou vzorci
\begin{equation}
	\varphi = 0, \quad \vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{A} = 0.
\end{equation}
Je třeba zdůraznit, že tyto rovnice nejsou invariantní vůči Lorentzově transformaci: závisí na volbě směru časové osy. Dá se postupovat i volbou (slabší) Lorentzovy kalibrace, ale ta problém řeší jen částečně a je pak potřeba dalších kroků.
 
V rovnici \eqref{pole:pr-A} tak zmizí druhý člen a zbude rovnice pro netriviální složky (tří)-vektoru $\vec{A}$:
\begin{equation}
	\square \vec{A} = 0.
\end{equation}
Řešení v podobě \textit{polarizovaných} rovinných vln
\begin{equation}
	\vec{A}_{\vec{k}} (\vec{x}, t) = \vec{\epsilon} e^{i(\vec{k}\vec{x} - \omega(\vec{k})t)},
\end{equation}
musí splňovat
\begin{eqnarray}
  \begin{aligned}
    \omega^2(\vec{k}) - |\vec{k}|^2 &= 0,\notag \\
    \omega(\vec{k}) &= |\vec{k}|
  \end{aligned}
\end{eqnarray}
a vazbu na směr polarizace $\vec{\epsilon}$ udává kalibrační podmínka
\begin{equation}
	\vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{A} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{k} \cdot \vec{\epsilon} = 0.
\end{equation}
To má pro každé nenulové $\vec{k}$ dvě lineárně nezávislá řešení.
 
Obecné (reálné) řešení v podobě kombinace rovinných vln se dvěma možnými polarizacemi tak vypadá%
\footnote{Zahrnuli jsme již správný faktor k amplitudě $a$.}
\begin{equation}
  \vec{A}(\vec{x}, t) = \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega(\vec{k}) \varepsilon_0}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) 
  \left( a(\vec{k}, \lambda) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + \overline{a(\vec{k}, \lambda)} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} \right),
  \label{eq:potencial}
\end{equation}
kde stále
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda') &= \delta_{\lambda \lambda'} \\
    \vec{k} \cdot \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) &= 0,
  \end{aligned}
\end{equation}
a obecná hybnost
\begin{eqnarray}
  \begin{aligned}
    \vec{\Pi}(\vec{x}, t) = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec A}{\partial t} &= \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{\hbar\varepsilon_0}{2 \omega(\vec{k})}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \times{}\\
    &\qquad {}\times
    \left( -i\omega(\vec k) a(\vec{k}, \lambda) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + i\omega(\vec k) \overline{a(\vec{k}, \lambda)} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} \right),
  \end{aligned}
\end{eqnarray}
Hustota hamiltoniánu pak vyjádřená pomocí $a$ vychází
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \mathscr{H} &= \Pi^i A_{i,t} - \mathscr{L} = \frac{1}{2\varepsilon_0} (\Pi^i)^2 + \frac{1}{4\mu_0} (A_{i,j} - A_{j,i})^2
      \qquad \left( = \frac{\varepsilon_0}{2} |\vec E|^2 + \frac{1}{2\mu_0} |\vec B|^2 \right)\\
    &= \ldots = \sum_{\lambda=1}^2 \int \dif^3 k \: \hbar \omega(\vec k) a(\vec{k}, \lambda) \overline{a(\vec{k}, \lambda)}.
  \end{aligned}
\label{}
\end{equation}
 
Kvantování kalibračně invariantní teorie přináší dvě další překvapení: dokud nemáme Hamiltonův formalizmus, nemáme ani Poissonovy závorky. Fixní kalibrace, pokud je dostupná, tento problém řeší, ale naopak se může stát, že kalibrační vzorce jsou ve formě holonomních vazeb (jak je tomu v případě Coulombovy kalibrace) a musíme pak zavádět obecné souřadnice.%
\footnote{V nich pak je možno vyjádřit Poissonovy závorky \textit{původních} souřadnic a hybností jakožto stavových funkcí.}
 
My se tedy vydáme cestou nejmenšího odporu a místo komutátorů souřadnic a hybností postulujeme rovnou komutátory kreačních a anihilačních operátorů
\begin{equation}
  \komut{\hat{a}_{\vec{k},\lambda}}{\hat{a}^\dagger_{\vec{k}',\lambda'}} = \delta_{\lambda\lambda'} \delta^3(\vec{k}-\vec{k}').
\label{pole:komut-aa-EM}
\end{equation}
Složky souřadnic $\vec A(\vec x, t)$ a hybností $\vec\Pi(\vec x,t)$ vyjádřených pomocí těchto operátorů pak komutují jako
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    &\komut{A_i(\vec x, t)}{\Pi_j(\vec y, t)} ={} \\
    &= \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\lambda'=1}^2 \int \dif^3 k \int \dif^3 k' \frac{-i\hbar\omega(\vec k')}{2(2\pi)^3 \sqrt{\omega(\vec k)\omega(\vec k')}} \epsilon_i(\vec{k},\lambda) \epsilon_j(\vec{k}',\lambda') \times{}\\
    &\qquad {}\times \komut{ \anihilak{\vec{k}, \lambda} e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + \kreak{\vec{k}, \lambda} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)}}{\anihilak{\vec{k}', \lambda'} e^{i (\vec{k}' \vec{y} - \omega(\vec{k}') t)} - \kreak{\vec{k}', \lambda'} e^{-i (\vec{k}' \vec{y} - \omega(\vec{k}') t)}} \\
    &= \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\lambda'=1}^2 \int \dif^3 k \int \dif^3 k' \frac{-i\hbar\omega(\vec k')}{2(2\pi)^3 \sqrt{\omega(\vec k)\omega(\vec k')}} \epsilon_i(\vec{k},\lambda) \epsilon_j(\vec{k}',\lambda') \times{}\\
    &\qquad {}\times \left( -e^{i \vec{k} \vec{x} - i \vec{k}' \vec{y} - i(\omega(\vec{k}) - \omega(\vec{k}')) t} \delta_{\lambda\lambda'} \delta^3(\vec{k} - \vec{k}') - e^{-i \vec{k} \vec{x} + i \vec{k}' \vec{y} + i(\omega(\vec{k}) - \omega(\vec{k}')) t} \delta_{\lambda\lambda'} \delta^3(\vec{k} - \vec{k}') \right) \\
    &= \sum_{\lambda=1}^2 \int \dif^3 k \frac{i\hbar}{2(2\pi)^3} \underbrace{\epsilon_i(\vec{k},\lambda) \epsilon_j(\vec{k},\lambda)}_{P_{ij}(\vec k)} \left( e^{i \vec{k} (\vec{x} - \vec{y})} + e^{i \vec{k} (\vec{y} - \vec{x})} \right)
  \end{aligned}
\label{}
\end{equation}
Pokud by nyní na místě $P_{ij}(\vec k)$ vystupovalo $\delta_{ij}$ (jak by se stalo, kdyby pro dané $\vec k$ vektory $\vec\epsilon(\vec k, \lambda)$ byly tři a tvořily ON bázi), výraz by se zjednodušil na kanonický komutátor $i\hbar\delta_{ij}\delta^3(\vec{x} - \vec{y})$. Projektoru $P(\vec k)$ ale „chybí“ vektor ve směru $\vec k$, platí pro něj
\begin{equation}
  P_{ij}(\vec k) = \delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{|k|^2}
\label{}
\end{equation}
a jeho Fourierův obraz je namísto delta funkce takzvaná \textit{transverzální} delta funkce
\begin{equation}
	\delta_{i j}^{\mathrm{tr}} (\vec{x} - \vec{y}) = \delta_{i j} \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}) + \partial_i \partial_j \frac{1}{4 \pi \abs{\vec{x} - \vec{y}}}.
\end{equation}
S tímto označením platí
\begin{equation}
  \komut{A_i(\vec x, t)}{\Pi_j(\vec y, t)} = i\hbar \delta_{i j}^{\mathrm{tr}} (\vec{x} - \vec{y}).
\label{pole:komut-Api}
\end{equation}
Jedná se o důsledek vazby, kterou jsme mezi souřadnice zavedli volbou Coulombovy kalibrace.%
\footnote{Výsledek \eqref{pole:komut-Api} lze získat i zcela klasicky ve formě Poissonových závorek a odsud pak odvodit \eqref{pole:komut-aa-EM}. Potřebujete k tomu však teorii, kterou jste neprobírali.}
 
%================================================================================
\subsubsection{Interakce elektromagnetického pole s látkou}
%================================================================================
 
Nyní už máme všechno připraveno na poslední krok kuchařky, výpočet interakce fotonů s částicemi. Hamiltonián nabité částice v el.-mag. poli jsme samozřejmě uměli sestavit již dávno, tam ale potenciál vystupoval jako externí proměnná a nemohli jsme tak zachytit reakci pole na pohyb částice, jen jednosměrnou akci Lorentzovy síly. Nový popis nám tak umožní kvantově popsat vztah mezi urychlováním nabitých částic v poli a pohlcováním či vyzařováním energie ve formě fotonů. Budeme uvažovat elektron, tedy $q = -e$.
 
Hilbertův prostor našeho systému bude dán tenzorovým součinem Hilbertova prostoru volného hmotného bodu a Fockova prostoru elektromagnetického pole. Celkový hamiltonián pak napíšeme do formalismu předchozích kapitol jako součet tří členů
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{H} ={} &\frac{\hat{\vec{P}}^2}{2m} && \quad(\hat{H}_\textrm{částice}) \\
&{}+ \frac{e}{2m} \{ \hat{\vec{P}}, \hat{\vec{A}} \} + \frac{e^2}{2m} \hat{\vec{A}} \hat{\vec{A}} - e \hat{\varphi} && \quad(\hat{H}_\textrm{int}) \\
&{}+ \sum_{\lambda=1}^2 \int \dif^3 k \: \hbar\omega(\vec k) \kreak{\vec{k},\lambda} \anihilak{\vec{k},\lambda} && \quad(\hat{H}_\textrm{pole})
\end{aligned}
\label{}
\end{equation}
kde za $\hat{A}_i$ je ještě potřeba dosadit z \eqref{eq:potencial}, v operátorové verzi a s polohou vyjádřenou $\hat{\vec{X}}$. Tento hamiltonián jsme dostali přímo roznásobením známého
\begin{equation}
	H = \frac{(\vec P - q \vec A)^2}{2m} + q \varphi + \int \dif^3 x \left( \frac{\varepsilon_0}{2} \vec{E}^2(\vec x) + \frac{1}{2\mu_0} \vec{B}^2(\vec x) \right)
\end{equation}
a dosazením kvantových verzí všech zúčastněných veličin. (Ve Schrödingerově obraze volíme $t = 0$, tedy
\begin{equation}
  \hat{\vec{A}}(\hat{\vec{X}}) = 
  \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega(\vec{k}) \varepsilon_0}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) 
  \left( \anihilak{\vec{k}, \lambda} e^{i \vec{k} \hat{\vec{X}}} + \kreak{\vec{k}, \lambda} e^{-i \vec{k} \hat{\vec{X}}} \right),
\label{pole:qpotencial}
\end{equation}
o správnou hodnotu v čase $t$ by se postaral vývoj operátoru podle \eqref{ZQM:HeissOpEqTime}.)
 
Hamiltonián $\hat{H}_\textrm{částice}$ popisuje pohyb volné částice a $\hat{H}_\textrm{pole}$ nerušený časový vývoj pole, oba umíme dobře počítat. Dohromady je označíme $\hat{H}_0$ a zbývající člen $\hat{H}_\textrm{int}$ budeme uvažovat jako poruchu tohoto volného hamiltoniánu. To je oprávněné, pokud $|eA| \ll |P|$. V prvním řádu pak můžeme zahodit druhý člen $\hat{H}_\textrm{int}$ a rovněž rovnou škrtneme třetí, protože ve zvolené kalibraci je $\varphi$ nulové. Za parametr poruchy pro poruchový rozvoj můžeme vzít kupříkladu $e$.
 
Z nestacionární poruchové teorie pro časově nezávislou poruchu známe vztah \eqref{PM:NPTpr2vysl}. Pro naše účely uvažujme, stejně jako při jeho odvození, počáteční i koncový stav jako vlastní stavy $\hat{H}_0$, nechť ovšem navíc jsou tenzorovými součiny nějakých vlastních stavů $\hat{H}_\textrm{částice}$ a $\hat{H}_\textrm{pole}$. Pro pravděpodobnost přechodu tedy platí
\begin{equation}
  W_{\ket{i_\textrm{č}, i_\textrm{p}} \rightarrow \ket{f_\textrm{č}, f_\textrm{p}}}(T) = \frac{1}{\hbar^2} \abs{\brapigket{f_\textrm{č}, f_\textrm{p}}{\hat{H}_\textrm{int}}{i_\textrm{č}, i_\textrm{p}}}^2 I_T\left( \frac{E_f - E_i}{\hbar} \right),
\label{}
\end{equation}
kde
\begin{equation}
  \hat{H}_\textrm{int} = \frac{e}{2m} (\hat{\vec{P}}\hat{\vec{A}}(\hat{\vec{X}}) + \hat{\vec{A}}(\hat{\vec{X}})\hat{\vec{P}}).
  \label{pole:Hint}
\end{equation}
a $E_{i,f}$ značí celkové energie (vlastní hodnoty $\hat{H}_0$) počátečního a koncového stavu. Funkce $I_T$, jak víme z páté kapitoly, je zodpovědná za potlačení pravděpodobnosti přechodu pro velké rozdíly energií, a popisuje tak (přibližné) zachování celkové energie při interakci. Pro delší časy $T$ se energie zachovává přesněji. Věnujme se nyní hlavně skalárnímu součinu vystupujícímu před ní.
 
Následující odvození se provede nejsnadněji, nahradíme-li $\hat{\vec{A}}$ jeho diskrétní verzí, která umožňuje jen diskrétní hodnoty vektoru $\vec{k}$. Toho se dosáhne tak, uvažujeme-li místo prostoru $\mathbb{R}^3$ jen krychle o straně $a$ (s periodickými okrajovými podmínkami). V~takovém omezeném prostoru jsou rovinné postupné vlny umožněny jen s vektory
\begin{equation}
  \vec{k} = \frac{2\pi}{a} (n_1, n_2, n_3), \quad n_j \in \mathbb{Z}.
\label{}
\end{equation}
Kvantování pak dá namísto \eqref{pole:qpotencial}%
\footnote{Zkuste si to!}
\begin{equation}
  \hat{\vec{A}}(\hat{\vec{X}}) = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega(\vec{k}) \varepsilon_0}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \left( \anihilak{\vec{k}, \lambda} e^{i \vec{k} \hat{\vec{X}}} + \kreak{\vec{k}, \lambda} e^{-i\vec{k} \hat{\vec{X}}} \right),
\label{pole:dqpotencial}
\end{equation}
kde kreační a anihilační operátory nyní mají diskrétní stupně volnosti, tedy
\begin{equation}
  \komut{\anihilak{\vec{k}_j, \lambda}}{\kreak{\vec{k}_l, \lambda'}} = \delta_{\lambda\lambda'} \delta_{jl}
\label{}
\end{equation}
a volný hamiltonián vychází
\begin{equation}
  \hat{H} = \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\vec{k}} \hbar\omega(\vec{k}) \kreak{\vec{k}, \lambda}\anihilak{\vec{k}, \lambda}.
\label{}
\end{equation}
Pro dostatečně velké $a$ se stírají rozdíly mezi takto popsaným polem a původním, nediskretizovaným, elektromagnetickému poli. Detailům limitního přechodu se zde nebudeme věnovat, zaujatý čtenář je najde ve \cite{for:ukt}.
 
Toto přiblížení má výhodu, že v něm máme elegantní vyjádření vlastních stavů $\hat{H}_\textrm{pole}$ -- přes obsazovací čísla jednotlivých kombinací $(\vec{k}, \lambda)$:
\begin{equation}
  \ket{i_\textrm{pole}} = \ket{n_1, n_2, \ldots} =: \prod_j \frac{\left(\kreak{\vec{k}_j, \lambda_j}\right)^{n_j}}{\sqrt{n_j!}} \ket{vac}
\label{}
\end{equation}
 
Provedeme ještě jedno přiblížení, takzvanou \textit{dipólovou aproximaci}. Ta předpokládá, že typická vlnová délka pole je mnohem větší než měřítko polohy částice -- jinými slovy, že uvažujeme vlny tak dlouhé, že pohyb částice, na kterou působí, je ve srovnání~s jejich vlnovou délkou zanedbatelný. V tom případě můžeme přestat psát $x$-závislost vektorového potenciálu, což nepochybně všechny úvahy výrazně zjednoduší:
\begin{equation}
  \hat{\vec{A}} \approx \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega(\vec{k}) \varepsilon_0}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda)  (\anihilak{\vec{k}, \lambda} + \kreak{\vec{k}, \lambda})
\label{}
\end{equation}
Přinejmenším v \eqref{pole:Hint} poté operátory $\hat{\vec{P}}$ a $\hat{\vec{A}}$ komutují a navíc působí na různé části Hilbertova prostoru, takže
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    &W_{\ket{i_\textrm{č}, i_\textrm{p}} \rightarrow \ket{f_\textrm{č}, f_\textrm{p}}}(T) \approx \frac{1}{\hbar^2} I_T\left( \frac{E_f - E_i}{\hbar} \right) \abs{\frac{e}{m}\brapigket{f_\textrm{č}}{\hat{\vec{P}}}{i_\textrm{č}} \brapigket{f_\textrm{p}}{\hat{\vec{A}}}{i_\textrm{p}}}^2 \\
    &\qquad = \frac{e^2}{2m^2\hbar\varepsilon_0 V} I_T(\cdots) \abs{ \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\vec k} \frac{1}{\sqrt{\omega(\vec k)}} \brapigket{f_\textrm{č}}{(\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \hat{\vec{P}})}{i_\textrm{č}} \brapigket{f_\textrm{p}}{(\anihilak{\vec{k}, \lambda} + \kreak{\vec{k}, \lambda})}{i_\textrm{p}} }^2
  \end{aligned}
\label{}
\end{equation}
Proč se aproximace nazývá dipólová, se dozvíme, využijeme-li následujícího triku:
\begin{equation}
  \hat{\vec{P}} = \frac{m}{i\hbar} \komut{\hat{\vec{X}}}{\hat{H}_\textrm{částice}}
\label{}
\end{equation}
a vlastnost, že $\ket{i_\textrm{č}}$ a $\ket{f_\textrm{č}}$ jsou vlastní stavy volného částicového Hamiltoniánu s energiemi $E_i^{(\textrm{č})}$, resp. $E_f^{(\textrm{č})}$:
\begin{equation}
  \brapigket{f_\textrm{č}}{\hat{\vec{P}}}{i_\textrm{č}} = \frac{m}{i\hbar} \brapigket{f_\textrm{č}}{(\hat{\vec{X}} \hat{H_\textrm{č}} - \hat{H_\textrm{č}} \hat{\vec{X}})}{i_\textrm{č}} = \frac{m}{i\hbar} (E_i^{(\textrm{č})} - E_f^{(\textrm{č})}) \brapigket{f_\textrm{č}}{\hat{\vec{X}}}{i_\textrm{č}}.
\label{}
\end{equation}
Pak totiž lze psát
\begin{equation}
  W_{\ket{i_\textrm{č}, i_\textrm{p}} \rightarrow \ket{f_\textrm{č}, f_\textrm{p}}}(T) \approx \frac{1}{2\hbar^3\varepsilon_0 V} I_T(\cdots) \abs{ \sum_{\lambda=1}^2 \sum_{\vec k} \frac{\Delta E^{(\textrm{č})}}{\sqrt{\omega(\vec k)}} \brapigket{f_\textrm{č}}{(\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \hat{\vec{D}})}{i_\textrm{č}} \brapigket{f_\textrm{p}}{(\anihilak{\vec{k}, \lambda} + \kreak{\vec{k}, \lambda})}{i_\textrm{p}} }^2\!\!,
\label{}
\end{equation}
kde $\hat{\vec D} = e \hat{\vec X}$ je operátor dipólového momentu částice.
 
Vidíme, že z hlediska pole jsou jediné povolené přechody (s nenulovou pravděpodobností v první řádu rozvoje) takové, kde $\ket{f_\textrm{p}}$ má překryv buď s $\kreak{\vec{k},\lambda} \ket{i_\textrm{p}}$ nebo s~$\anihilak{\vec{k},\lambda} \ket{i_\textrm{p}}$. Tedy takové, ve kterých v jednom z módů vznikne nebo zanikne právě jeden foton. Navíc víme odpovídající skalární součiny,
\begin{equation}
\begin{aligned}
\brapigket{n_1,n_2,\ldots,n_j+1,\ldots}{\kreak{\vec{k}_j,\lambda_j}}{n_1,n_2,\ldots,n_j,\ldots} &= \sqrt{n_j + 1}, \\
\brapigket{n_1,n_2,\ldots,n_j+1,\ldots}{\anihilak{\vec{k}_j,\lambda_j}}{n_1,n_2,\ldots,n_j,\ldots} &= \sqrt{n_j},
\end{aligned}
\label{pole:bosony}
\end{equation}
ze kterých snadno dopočítáme pravděpodobnost \textit{emise}
\begin{equation}
W_\text{emise do $\vec{k}_j, \lambda_j$}(T) \approx \frac{1}{2\hbar^2\varepsilon_0 V} I_T \left( \frac{\Delta E^\textrm{(celk)}}{\hbar} \right) \frac{(\Delta E^{(\textrm{č})})^2}{\Delta E^{(\textrm{p})}} \abs{ \brapigket{f_\textrm{č}}{(\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \hat{\vec{D}})}{i_\textrm{č}} }^2 (n_j + 1)
\label{}
\end{equation}
a pravděpodobnost \textit{absorpce}
\begin{equation}
W_\text{absorpce $\vec{k}_j, \lambda_j$}(T) \approx \frac{1}{2\hbar^2\varepsilon_0 V} I_T \left( \frac{\Delta E^\textrm{(celk)}}{\hbar} \right) \frac{(\Delta E^{(\textrm{č})})^2}{|\Delta E^{(\textrm{p})}|} \abs{ \brapigket{f_\textrm{č}}{(\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \hat{\vec{D}})}{i_\textrm{č}} }^2 n_j
\label{}
\end{equation}
 
Pěkný výsledek je, že pravděpodobnost emise se dá rozložit na pravděpodobnost \textit{stimulované} emise, číselně rovnou pravděpodobnosti absorpce, která je přímo úměrná počtu fotonů v daném módu přítomných (a necitlivá k žádným ostatním fotonům), a pravděpodobnost \textit{spontánní} emise, nezávislou na polních proměnných. Dále člen s $\hat{\vec{D}}$ zodpovídá za známé geometrické rozložení vyzařování dipólu. Tyto vlastnosti dobře popisují experimentálně ověřené fakty.
 
Pro velké (ale konečné) objemy se ještě hodí asymptotický vztah
\begin{equation}
  \frac{I_T(\omega)}{T} \overset{t \to +\infty}{\longrightarrow} \pi\delta(\omega),
\label{}
\end{equation}
který pro velké hodnoty $T$ zajišťuje zachování celkové energie
\begin{equation}
  \Delta E^\textrm{(celk)} = 0, \quad \Delta E^{(\textrm{p})} = -\Delta E^{(\textrm{č})}
\label{}
\end{equation}
a navíc umožňuje psát výsledek ve formě pravděpodobností za jednotku času. Počet fotonů v módu $\ket{\vec{k}_j, \lambda_j}$ je pak možno brát jako hustotu počtu fotonů (v počátečním stavu) s danou hybností na prostorový úhel v jistém okolí $\vec{k}_j$ a s danou polarizací. Detaily opět viz \cite{for:ukt}.
 
Tento explicitní výpočet dává příklad obecné interpretace nejjednodušších členů interakčního hamiltoniánu. Obecně členy tvaru $\hat{O} \kreak{i}$ (doprovázené $\hat{O}^\dagger \anihilak{i}$ pro samosdruženost hamiltoniánu) odpovídají interakcím, při kterých je do pole vyzářena / z pole pohlcena jedna částice, za současné změny stavu druhého fyzikálního systému. Díky faktorům \eqref{pole:bosony} je pravděpodobnost absorpce přímo úměrná počtu částic (excitací) pole, které jsou v odpovídajícím módu k dispozici, a pravděpodobnost emise je navýšena o možnost spontánní emise. Členy kombinující $\kreak{i} \anihilak{i}$ odpovídají volné oscilaci pole. Další členy vyšších řádů bychom interpretovali podobným způsobem:
\begin{enumerate}
\item $\hat{O} \hat{a}^\dagger_i \hat{a}_j + \hat{O}^\dagger \hat{a}_i \hat{a}^\dagger_j$: rozptýlení částice pole na bodové částici za současné změny stavu částice,
\item $\hat{a}^\dagger_i \hat{b}_j + \hat{a}_i \hat{b}^\dagger_j$ (za přítomnosti dvou polí): změna druhu jedné polní částice na jiný,
\item $\hat{a}^\dagger_i \hat{b}_j \hat{b}_k + \hat{a}_i \hat{b}^\dagger_j \hat{b}^\dagger_k$: rozpad částice jednoho pole na dvě částice jiného, syntéza jedné částice srážkou dvou částic druhého pole
\end{enumerate}
a tak dále.
 
Obdobně jako u elektromagnetického pole se postupuje i ve fundamentálních teoriích elementárních částic, ale v této aplikaci je třeba zvážit i další problémy, např.
\begin{enumerate}
\item Fockův prostor stavů je konstruován pomocí řešení volných neinteragujících částic. Kanonická hybnost má jiný význam pro interagující částici, než pro volnou. Do jaké míry je oprávněné použití $\hat{H}_0$ pro interagující částice?
\item Problémy s kalibračními stupni volnosti se ještě zvětší při použití neabelovských kalibračních teorií (elektroslabé, silné interakce).
\item Poruchové rozvoje mají tendenci nekonvergovat. Jsou pak potřeba pokročilé techniky jako renormalizační teorie a podobně.
\end{enumerate}
Tyto problémy už opravdu přenecháme kvantové teorii pole.