Součásti dokumentu 02KVAN2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Dráhový integrál}
Propagátor udává časový vývoj systému. Z minulé kapitoly víme, že bychom ho mohli dostat z řešení Schrödingerovy rovnice. Ovšem propagátor se dá získat i z dráhového integrálu, což je objekt, který se pokusíme osvětlit v této kapitole.
%================================================================================
\subsection{Opravdu všechny možné historie}
%================================================================================
V kapitole \ref{sec:propagator} jsme pro propagátor odvodili vztah \eqref{Prop:q_m}. Není důvod, proč místo jednoho mezičasu $t_m$ nezjemnit rozdělení na $N$ intervalů, jak ukazuje obrázek~\ref{fig:PI:Nintervalu}, a případně zkusit uvažovat limitu $N \to +\infty$. Uvažujme tedy propagátor zapsaný jako maticový element
\begin{equation}
\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_i, t_i} = \bra{\vec{x}_f} \hat{U}(t_f, t_i) \ket{\vec{x}_i, t_i},
\end{equation}
kde časový vývoj na intervalu $\langle t_i, t_f \rangle$ rozdělíme na malé podintervaly doby $\Delta t$, kde
\begin{equation}
\Delta t = \frac{t_f-t_i}{N+1}, \quad N \in \mathbb{N}.
\end{equation}
Dále v časech $t_k = t_i + k \Delta t$ rozepíšeme mezistav vždy pomocí rozkladu jednotky
\begin{equation}
\opone = \int \dif^3 x_k \ket{\vec{x}_k} \bra{\vec{x}_k}
\end{equation}
a dostaneme tak
\begin{equation}
\begin{aligned}
\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_i, t_i} &= \int \dif^3 x_1 \ldots \dif^3 x_N \\
&\qquad \brapigket{\vec{x}_f}{\hat{U}(t_f, t_N)}{\vec{x}_N} \brapigket{\vec{x}_N}{\hat{U}(t_N, t_{N-1})}{\vec{x}_{N-1}} \ldots \brapigket{\vec{x}_1}{\hat{U}(t_1, t_i)}{\vec{x}_i} \\
&= \int \dif^3 x_1 \ldots \dif^3 x_N \prod_{k=1}^{N+1} \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}},
\end{aligned}
\label{eq:rozkladvyvoje}
\end{equation}
kde jsme pro pohodlnost označili též $(t_0, t_{N+1}) = (t_i, t_f)$ a $(\vec{x}_0, \vec{x}_{N+1}) = (\vec{x}_i, \vec{x}_f)$.
\begin{figure}[t]
\centering
\includegraphics{drahy-2}
\caption{Několik možných trajektorií mezi dvěma fixními polohami v ekvidistantním dělení času na $N+1$ intervalů.}
\label{fig:PI:Nintervalu}
\end{figure}
Z rovnice \eqref{ZQM:SchrEqOp} je zřejmé, že pro malá $\Delta t$
\begin{equation}
\hat{U}(t_k, t_{k-1}) \approx I - \frac{i}{\hbar} \Delta t \hat{H}(t_k).
\end{equation}
Pokud navíc předpokládáme $\hat{H}(t) = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} + V(\hat{\vec{x}}, t)$ (jak ve zbytku kapitoly budeme), použitím vztahů $(1+az)(1+bz) \approx 1+(a+b)z$ a $e^z \approx 1 + z$, obou platných do prvního řádu v $z$, dostáváme
\begin{equation}
\hat{U}(t_k, t_{k-1})
\approx I - \frac{i}{\hbar} \Delta t \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} - \frac{i}{\hbar} \Delta t V(\hat{\vec{x}}, t_k)
\approx \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \Delta t V(\hat{\vec{x}}, t_k) \right) \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \Delta t \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} \right).
\end{equation}
Tento přepis obložíme vektory $\ket{\vec{x}_i}$ a použijeme výsledek \eqref{Prop:volnacastice} minulé kapitoly:
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} \approx\\
&\quad \approx \exp\left( - \frac{i}{\hbar} \Delta t V(\vec{x}_k, t_k) \right) \brapigket{\vec{x}_k}{\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \Delta t \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} \right)}{\vec{x}_{k-1}} \\
&\quad = \exp\left( - \frac{i}{\hbar} \Delta t V(\vec{x}_k, t_k) \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t_k-t_{k-1})} \right)^{\frac{3}{2}} \exp\left( \frac{i m (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})^2}{2 \hbar (t_k-t_{k-1})} \right) \\
&\quad = \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3}{2}} \exp \left( \frac{im}{2\hbar}\Delta t \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 - \frac{i}{\hbar} \Delta t V(\vec{x}_k, t_k) \right)
\end{aligned}
\label{eq:element_prop}
\end{equation}
Všimněme si pečlivě výrazu vzniklého tímto výpočtem v exponenciále, ve kterém již vystupují samé klasické proměnné (žádné operátory). Po vytknutí společných faktorů zbývá
\begin{equation}
\frac{i}{\hbar} \Delta t \left( \frac{m}{2} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 - V(\vec{x}_k, t_k) \right),
\end{equation}
kde výraz ve velké závorce je hodnota (klasického) lagrangiánu s formálně dosazenou rychlostí
\begin{equation}
L\left( x_k, \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{t_k-t_{k-1}}, t_k \right).
\label{PI:L-diskretni}
\end{equation}
V předchozím jsme použili řadu aproximací platných do prvního řádu v $\Delta t$. Budou tedy tím přesnější, čím $\Delta t$ zvolíme nižší, a ideálně lze očekávat, že dosáhnou přesného výsledku v limitě $N \to +\infty$, kde $\Delta t \to 0$. Tehdy také integrace v~\eqref{eq:rozkladvyvoje} přes všechny kombinace $(x_1, x_2, \ldots, x_N)$ přejde v integraci přes \textsl{všechny trajektorie} a argument v~\eqref{PI:L-diskretni} skutečně v rychlost v čase $t = t_k$ dané trajektorii odpovídající. Detaily oprávněnosti a existence takové limity se ve většině fyzikálních publikací nerozebírají.
Dosazením \eqref{eq:element_prop} do \eqref{eq:rozkladvyvoje} a uvažováním limity $N \to +\infty$ tedy dospíváme k výsledku
\begin{equation}
\begin{aligned}
\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_i, t_i} &= \lim_{N \to +\infty}
\int \dif^3 x_1 \ldots \dif^3 x_N \prod_{k=1}^{N+1} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3}{2}} e^{\frac{i}{\hbar} L(x_k, (x_k - x_{k-1})/\Delta t, t_k) \Delta t} \\
&= \lim_{N \to +\infty} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} \int \dif^3 x_1 \ldots \dif^3 x_N e^{\frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} L(x_k, (x_k - x_{k-1})/\Delta t, t_k) \Delta t},
\end{aligned}
\label{}
\end{equation}
což je definiční vztah \textbf{dráhového integrálu}. Pro zjednodušení zápisu se symbolicky zavádí „míra“ na prostoru všech trajektorií spojujících $x_i$ s $x_f$ v odpovídajících pevných časech $t_i$ a $t_f$
\begin{equation}
\mathscr{D}\vec{x}(t) \equiv \lim_{N \to \infty} \left( \prod_{k=1}^{N} \dif^3 x_k \right) \left( \frac{m(N+1)}{2 \pi i \hbar (t_f - t_i)} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}}
\end{equation}
a rovnice zapisuje ve tvaru
\begin{equation}
\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_i, t_i} = \int \mathscr{D}\vec{x}(t) e^{\frac{i}{h} \int_{t_i}^{t_f} L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}, t) \dif t} = \int \mathscr{D}\vec{x}(t) e^{\frac{i}{\hbar} S[\vec{x}(t)]},
\label{eq:drahaSakci}
\end{equation}
kde v exponentu v integrandu rozpoznáváme (klasickou) akci, dobře známou z teoretické fyziky. Tento integrál se interpretuje jako integrál přes všechny dráhy spojující počáteční a koncový bod v odpovídajících časech.
Obecně se lze setkat s tvrzením, že do integrálu \eqref{eq:drahaSakci} přispívají hlavně trajektorie blízké trajektorii extremální, klasické. To souvisí s pozorováním, že změna akce s výchylkou od trajektorie je v oblastech vzdálených od klasické trajektorie lineární, takže pouhým zvětšováním výchylky lze snadno najít dvojice trajektorií, které k dráhovému integrálu přispějí s opačnými znaménky. Výchylky od extremální trajektorie akci mění až ve druhém řádu, takže jejich členy $e^{iS}$ interferují konstruktivně.
%================================================================================
\subsubsection{Výhody a nevýhody dráhového integrálu}
%================================================================================
Zápis pomocí dráhového integrálu umožňuje snadno zkonstruovat poruchový rozvoj propagátoru (ano, to nás čeká a nemine) a přes matematickou nekorektnost, kterou jsme si dovolili, výsledky dobře souhlasí s těmi, které jdou získat z tradičnějšího, operátorového, přístupu.
Nebylo dokázáno, zda $\mathscr{D} \vec{x}$ je mírou v pravém slova smyslu, a tak výpočty integrálů jsou matematicky nekorektní. (Výzva pro další generaci fyziků!)
Obdobná tvrzení platí i v kvantové teorii pole: co lze kvantovat kanonickým (operátorovým) přístupem, lze popsat i pomocí dráhového (funkcionálního) integrálu a fyzikálně měřitelné předpovědi jsou stejné. Ve většině případů je ale postup s dráhovým integrálem mnohem snazší (např. kalibrační teorie ve standardním modelu) a řadu systémů fyzikové jinak než pomocí dráhového integrálu popsat vůbec neumí. Proto se funkcionální integrál všeobecně v QFT (Quantum Field Theory) používá navzdory matematické nekorektnosti.
%================================================================================
\subsection{Volná částice}
%================================================================================
Náš nově nabitý kanón necháme pochopitelně poprvé vystřelit na volnou částici a spočítáme její propagátor přímo z definiční limity dráhového integrálu.
Již při prvním pohledu na výpočet, který nás čeká, je vidět, že bychom si měli připravit následující vzoreček (zobecnění gaussovských integrálů)
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^N} e^{-\lambda \sum_{n=1}^{N+1} (x_n - x_{n-1})^2} \dif x_1 \ldots \dif x_N = \sqrt{\frac{\pi^N}{(N+1) \lambda^N}} e^{-\frac{\lambda}{N+1} (x_{N+1} - x_0)^2},
\end{equation}
platný pro $\mathop{\mathrm{Re}} \lambda > 0$. Dokážeme ho indukcí.
První krok $N=1$ dokážeme pomocí gaussovských integrálů (konvergentních díky stejné podmínce na $\lambda$):
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}} e^{-\lambda ((x_1 - x_0)^2 + (x_2 - x_1)^2)}\dif x_1 = e^{-\lambda (x_0^2 + x_2^2)} \sqrt{\frac{\pi}{2 \lambda}} e^{\frac{4 \lambda^2 (x_0 + x_2)^2}{4 \cdot 2\lambda}} = \sqrt{\frac{\pi}{2 \lambda}} e^{-\frac{\lambda}{2}(x_0 - x_2)^2},
\end{equation*}
indukční krok provedeme od $N-1$ k $N$:
\begin{align}
\int_{\mathbb{R}^N} e^{-\lambda \sum_{n=1}^{N+1} (x_n - x_{n-1})^2} \dif x_1 \ldots \dif x_N & \overset{\mathrm{IP}}{=} \int_{\mathbb{R}} \sqrt{\frac{\pi^{N-1}}{N \lambda^{N-1}}} e^{- \frac{\lambda}{N} (x_N - x_0)^2 - \lambda (x_{N+1} - x_N)^2} \dif x_N = \notag \\
&= \sqrt{\frac{\pi^{N-1}}{N \lambda^{N-1}}} e^{-\frac{\lambda}{N} x_0^2 -\lambda x_{N+1}^2} \sqrt{\frac{\pi N}{\lambda (N+1)}} e^{\frac{4 \lambda^2 (x_0 + N x_{N+1})^2 N}{4 \lambda N^2 (N+1)}} \notag \\
&= \sqrt{\frac{\pi^N}{(N+1) \lambda^N}} e^{-\frac{\lambda}{N+1} (x_{N+1} - x_0)^2}.
\end{align}
Zpět k příkladu.
\begin{equation}
\propU{0}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} e^{\frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \frac{m}{2 \Delta t} (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})^2},
\end{equation}
každý z těchto integrálů je divergentní, opět provedeme regularizaci
\begin{equation}
\lambda = - \frac{i m}{2 \hbar \Delta t} \longrightarrow - \frac{i (m + i \varepsilon)}{2 \hbar \Delta t},
\end{equation}
a provedeme výpočet pomocí připraveného vzorečku a pošleme $\varepsilon$ do nuly:
\begin{equation}
\lim_{N \rightarrow \infty} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} \left( \frac{2 \pi \hbar \Delta t}{-i m} \right)^{\frac{3N}{2}} \frac{1}{(N+1)^\frac{3}{2}} \exp \left( \frac{im}{2 \hbar \Delta t (N+1)} (\vec{x}_{N+1} - \vec{x}_0)^2 \right).
\end{equation}
Využijeme, že $\Delta t (N+1) = t_f - t_i$ a že $(\vec{x}_0, \vec{x}_{N+1}) = (\vec{x}_i, \vec{x}_f)$ a po zkrácení konstant dostáváme
\begin{equation}
\propU{0}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} = \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t_f-t_i)} \right)^{\frac{3}{2}} e^{\frac{im(\vec{x}_f - \vec{x}_i)^2}{2 \hbar (t_f - t_i)}}.
\end{equation}
To je stejný výsledek, jako jsme dostali dříve v~\eqref{Prop:volnacastice}. Značení propagátoru volné částice jako $K_0(\ldots)$ zde zavedené už budeme dodržovat až do konce poznámek.
%================================================================================
\subsection{Harmonický oscilátor}
%================================================================================
Ukážeme si nyní na příkladu harmonického oscilátoru, které trajektorie přispívají do dráhového integrálu nejvíc. Uvažujeme tedy langrangián 1D harmonického oscilátoru:
\begin{equation}
L = \frac{m \dot{x}^2}{2} - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2.
\end{equation}
Budeme nějak potřebovat formalizovat všechny trajektorie v konfiguračním prostoru, to uděláme rozdělením obecné trajektorie $x(t)$ následovně:
\begin{equation}
x(t) = x_\text{kl}(t) + y(t),
\end{equation}
kde $x_\text{kl}(t)$ je klasická trajektorie, kterou lze získat např. z variace akce, a $y(t)$ je nějaká funkce, která nám právě umožní proběhnout všechny možné trajektorie. Obě funkce musejí zároveň odpovídat určitým okrajovým podmínkám, zvolíme je takto:
\begin{align}
x(t_i) &= x_i = x_\text{kl}(t_i) + 0, \label{eq:okrajovePodminky} \\
x(t_f) &= x_f = x_\text{kl}(t_f) + 0. \notag
\end{align}
Rádi bychom nyní využili zápisu \eqref{eq:drahaSakci} k výpočtu propagátoru. Tušíme, že se nám bude hodit si připomenout, že pro klasickou trajektorii platí
\begin{equation}
\delta S = 0 = \delta \left( \int_{x_\text{kl}} L \dif t \right). \label{eq:variacAakce}
\end{equation}
Podívejme se na akci v exponentu \eqref{eq:drahaSakci}
\begin{equation}
S[x(t)] = S[x_\text{kl}(t) + y(t)] = \int_{t_i}^{t_f} \left( \frac{m (\dot{x}_\text{kl} + \dot{y})^2}{2} - \frac{m \omega^2}{2} (x_\text{kl} + y)^2 \right) \dif t,
\end{equation}
vnitřek integrálu lze rozepsat a dostat tak akci podél klasické trajektorie, akci podél $y(t)$ a smíšené členy
\begin{equation}
S[x(t)] = S[x_\text{kl}(t)] + S[y(t)] + \int \ldots.
\end{equation}
Poslední člen se dá rozepsat pomocí Taylorova rozvoje funkce dvou proměnných. Pro harmonický oscilátor a obecně pro tzv. separovatelné lagrangiány (lagrangiány kvadratické v $x$ a $\dot{x}$) platí, že díky Euler--Lagrangeovým rovnicím pro klasickou trajektorii a okrajovým podmínkám \eqref{eq:okrajovePodminky}, je poslední integrál roven nule. Pro ostatní lagrangiány to díky E.--L. rovnicím platí pouze pro první člen jeho Taylorova rozvoje.
Rozepišme nyní vztah \eqref{eq:drahaSakci} s využitím nově nabytých znalostí
\begin{equation}
\int \mathscr{D}x(t) e^{\frac{i}{\hbar} S[x(t)]} = e^{\frac{i}{\hbar} S[x_\text{kl}(t)]} \int_{ y(t_{0})=0 \atop y(t_{f})=0 } \mathscr{D}y(t) e^{\frac{i}{\hbar} S[y(t)]}, \label{eq:drahaOscilatoru}
\end{equation}
a všimneme si, že integrál už nezávisí na $x_\text{kl}(t_i)$ ani $x_\text{kl}(t_f)$ a je to pouze funkce $(t_f - t_i)$.
Vyčíslíme nyní akci podél klasické trajektorie (viz též příklad 5.43 v~\cite{sto:TEF}), studenti třetího ročníku již vědí, že E.--L. rovnice pro 1D LHO mají obecné řešení ve tvaru
\begin{equation}
x_\text{kl} = a \sin \omega t + b \cos \omega t,
\end{equation}
kde konstanty $a$ a $b$ určíme z podmínek \eqref{eq:okrajovePodminky}
\begin{align}
x_i &= a \sin \omega t_i + b \cos \omega t_i,\\
x_f &= a \sin \omega t_f + b \cos \omega t_f.
\end{align}
Každý by tuto soustavu vyřešil svojí oblíbenou metodou a našel by
\begin{align}
a &= \frac{x_f \cos \omega t_i - x_i \cos \omega t_f}{\sin \omega (t_f - t_i)},\\
b &= \frac{x_f \sin \omega t_i - x_i \sin \omega t_f}{\sin \omega (t_f - t_i)}.
\end{align}
Po poměrně rozsáhlém výpočtu integrálu $S[x_\text{kl}(t)]$, kam dosadíme klasickou trajektorii včetně konstant $a$ a $b$, obdržíme
\begin{equation}
S[x_\text{kl}(t)] = \frac{m \omega}{2} \frac{(x_f^2 + x_i^2) \cos \omega (t_f - t_i) - 2 x_i x_f}{\sin \omega (t_f - t_i)}.
\end{equation}
Zbývající část v \eqref{eq:drahaOscilatoru} určíme pomocí dvou triků. Za prvé využijeme unitárnosti časového vývoje, který si vhodně zapíšeme pomocí propagátoru
\begin{align}
\psi(x, t_f) &= \int \dif y \prop{\alpha}{t_f}{y}{t_i} \psi(y, t_i),\\
\overline{\psi(x, t_f)} &= \int \dif z \overline{\prop{\alpha}{t_f}{z}{t_i}} \overline{\psi(z, t_i)}.
\end{align}
Unitárnost vývoje dává
\begin{equation}
\int \overline{\psi(x, t_f)} \psi(x, t_f) \dif x = \int \overline{\psi(x, t_i)} \psi(x, t_i) \dif x,
\end{equation}
kam když vlevo dosadíme pomocí propagátoru, dostaneme
\begin{equation}
\int \dif x \dif y \dif z \prop{x}{t_f}{y}{t_i} \overline{\prop{x}{t_f}{z}{t_i}} \psi(y, t_i) \overline{\psi(z, t_i)},
\end{equation}
což dohromady dává podmínku na propagátor
\begin{equation}
\int \dif x \overline{\prop{x}{t_f}{z}{t_i}} \prop{x}{t_f}{y}{t_i} = \delta(z-y). \label{eq:podminkaLHO}
\end{equation}
Jak už jsme dříve zjistili, hledaný propagátor LHO má tvar
\begin{equation}
\prop{x}{t_f}{y}{t_i} = e^{\frac{i}{\hbar} S[x_\text{kl}(t)]} F(t_f - t_i),
\end{equation}
což když dosadíme do podmínky \eqref{eq:podminkaLHO}, po několika úpravách obdžíme podmínku na absolutní hodnotu $F$, která dá řešení
\begin{equation}
\abs{F}^2 = \frac{m \omega}{2 \pi \hbar \sin \omega (t_f - t_i)},
\end{equation}
neboli
\begin{equation}
\abs{F} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_i)}}.
\end{equation}
Fázi $F$ téměř určíme z druhého triku, budeme požadovat, aby pro $\omega \rightarrow 0$ propagátor přešel v propagátor volné částice. Je konvence výsledek zapisovat takto
\begin{equation}
F(t_f - t_i) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{\frac{-i m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_i)}},
\end{equation}
což celkově dá hledaný výsledek ve tvaru
\begin{equation}
\prop{x_f}{t_f}{x_i}{t_i} = \frac{1}{2} \exp \left( \frac{i m \omega}{2 \hbar} \frac{(x_f^2 + x_i^2) \cos \omega (t_f - t_i) - 2 x_i x_f}{\sin \omega (t_f - t_i)} \right) \sqrt{\frac{-2 i m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_i)}}.
\end{equation}
