Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\chapter{Zobecněné vlastní funkce}
\ll{zobvlf}
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled
jednoduchý. Podmínka
\be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee
dává diferenciální rovnice
\be
-i\hbar\frac{\pd\phi}{\pd x_j}=p_j\phi \ \ j=1,2,3,
\ee
které mají řešení
\be
\phi_{\vec{p}}(\vex)=Ae^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vex}. \ll{zvfoh}
\ee
Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné
$\vec{p}\in\C^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v~Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří však do spojité, nikoliv bodové, části spektra.
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem \rf{spvv} je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části spektra
odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$,
které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí.
Příkladem takové husté podmnožiny je \textbf{Schwartzův prostor} $\mathscr S(\R^3)$ obsahující tzv. \emph{rychle ubývající funkce}, pro něž platí: $\psi\in$ \qintspace{}
a
\be
\norm{\psi}_{\vec j,\vec k}=\sup \left|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\pd^{k_1}}{\pd x_1^{k_1}} \frac{\pd^{k_2}}{\pd x_2^{k_2}} \frac{\pd^{k_3}}{\pd x_3^{k_3}} f \right| < \infty
\ll{prryubfci}
\ee
pro všechna $(\vec{j},\vec{k})\in\Z_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~$\mathscr{S}(\R^3)$ je, že Fourierova transformace
\be
\widetilde \psi(\vec{p}) \equiv (\mathcal{F}\psi)(\vec{p})= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3}\int_{\R^3} e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vex} \psi(\vex)\,d^3x
\ll{Fourier}
\ee
je bijekcí $\mathscr S(\R^3)$ na $\mathscr S(\R^3)$ (viz~\cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar
\be
\psi(\vec{x}) = (\mathcal{F}^{-1}\widetilde{\psi})(\vex) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3} \int_{\R^3} e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vex} \widetilde \psi(\vec p)\,d^3k,
\ll{invFourier}
\ee
odkud snadno dostaneme, že platí
\begin{equation}
\label{FfFg}
(\mathcal{F}\psi,\mathcal{F}\phi)=(\psi,\phi)
\end{equation}
Pro $\psi\in\mathscr S(\R^3)$ můžeme definovat \uv{skalární součin} $(\phi_{\vec{p}},\psi)$ stejně jako kdyby $\phi_{\vec{p}}$ ležely v~\qintspace{}
\be
(\phi_{\vec{p}},\psi) = A^* \int_{\R^3} e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vex}\psi(\vex)\,d^3x = A^*({2\pi\hbar})^{\frac{3}{2}}(\mathcal{F}\psi)(\vec{p}),
\ll{psip}
\ee
neboť tento integrál je Fourierovou transformací \fc e $\psi$, která je definována pro všechny \fc e z~$\mathscr S(\R^3)$. Zobecněné vlastní funkce hybnosti tak můžeme chápat jako temperované distribuce, tj. spojité lineární funkcionály na prostoru testovacích funkcí $\mathscr S(\R^3)$. Rovnice pro
funkcionály $\Phi_{\vec{p}}\in \mathscr S(\R^3)^*$ má tvar
\be
(\hat{P}_j\Phi_{\vec{p}})(\psi)=(\hat{P}_j \phi_{\vec{p}},\psi)=(\phi_{\vec{p}},\hat{P}_j \psi)=p_j(\phi_{\vec{p}},\psi)=p_j\Phi_{\vec{p}}(\psi),\quad \forall \psi\in\mathscr S(\R^3)
\ll{rceprophip}.
\ee
Její řešení má tvar \rf{zvfoh}. Tyto funkce pak nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Dá se ukázat, že je můžeme libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace.
To je také důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap.~\ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou
hybností.
\bc
Nechť
\be
\label{aprox:p}
\phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{\frac{i}{\hbar} p' x}=Ae^{\frac{i}{\hbar} px}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}.
\ee
Ukažte, že platí
$$
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} (\phi_{p,\epsilon},\psi) = A^*\sqrt{2\pi\hbar}\,\widetilde\psi(p),\quad \forall\psi\in \mathscr S(\R).
$$
\ec
Z~definice Fourierovy transformace \rf{Fourier} a její inverze lze jednoduchým výpočtem ukázat, že
\be
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3} \int_{\R^3} e^{\frac{i}{\hbar}{\vec{p}}\cdot(\vex-\vec{y})} \d^3z=\delta(\vex-\vec{y}).
\ee
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}, totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$ platí
\be
(\phi_{\vec{p}\,'},\phi_{\vec{p}}) \equiv \int_{\R^3}\phi_{\vec{p}}(\vex)\phi_{\vec{p}\,'}^*(\vex) \d^3x=\delta(\vec{p}-\vec{p}\,').
\ll{dnormp}
\ee
Pro tuto volbu konstanty $A$ je skalární součin \rf{psip} přímo roven Fourierově transformaci funkce $\psi$. Můžeme pak odvodit následující identitu
$$
\psi(\vec{x}) = \int_{\R^3} (\phi_{\vec{p}},\psi)\, \phi_{\vec{p}}(\vex)\, d^3p,
$$
která připomíná rozklad vektoru do ortonormální báze.
Ještě výraznější je \uv{zobecněnost} vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice
\[
\hat{Q}_j\psi=a_j\psi,\ j=1,2,3
\]
má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=a_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace{} ekvivalentní nulové \fc i. V rámci distribucí ale rovnice má řešení, je jím Diracova $\delta$-funkce
\be
\delta_{\vec{a}}(\vec{x}) = \delta(\vec{x}-\vec{a}),
\ll{zvfop}
\ee
která působí na testovací funkce $\psi\in\mathscr S(\R^3)$ způsobem
$$
(\delta_{\vec{a}},\psi) = \psi(\vec{a}).
$$
Snadno ověříme, že skutečně platí
\be\ll{vlfceQ}
(\hat{Q}_j \delta_{\vec{a}},\psi) = (\delta_{\vec{a}},\hat{Q}_j \psi) = a_j(\delta_{\vec{a}},\psi),\quad \forall \psi\in\mathscr S(\R^3).
\ee
Podobně jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh} i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop} lze libovolně přesně aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{}.
\bc
Nechť
\be
\label{aprox:x}
\delta_{a,\varepsilon}(x) := \begin{cases} 0 & \text{ pro $|x-a|>\varepsilon$} \\ \\ \dfrac{1}{2\varepsilon} & \text{ pro $|x-a|\leq \varepsilon$} \end{cases}
\ee
Ukažte, že platí
$$
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} (\delta_{a,\varepsilon},\psi) = \psi(a),\quad \forall\psi\in \mathscr S(\R).
$$
\ec
Analogicky vztahu \rf{dnormp} platí rovnost
\be
(\delta_{\vec{a}'},\delta_{\vec{a}}) \equiv \int_{\R^3}\delta_{\vec{a}}(\vex)\delta_{\vec{a}'}(\vex) \d^3x=\delta(\vec{a}-\vec{a}'),
\ll{dnormx}
\ee
tedy i zobecněné vlastní funkce polohy jsou normalizovány k $\delta$-funkci. Identity \rf{dnormp} a \rf{dnormx} je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na $\mathscr S(\R^N)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální.
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice
v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice
v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e
\be
\label{zobec:coulomb}
\phi_{klm}(r,\theta,\varphi) =R_{kl}(r) Y_{lm}(\theta,\varphi),
\ee
kde $k=\pm\frac{\sqrt{2ME}}{\hbar}$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm} a
\be
R_{kl}(r)=C_{kl}r^le^{ikr} F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right)
\ll{zovlfcecoul}.
\ee
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí
\[
\int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right) \ F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r\right)r^2dr
\]
\be=K_{kl}\delta(k-k'),\ee
kde $K_{kl}$ je konstanta.
Z~výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o~chování objektů mikrosvěta. Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.
