Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\chapter{Jednoduché kvantové systémy}
\section{Energie harmonického oscilátoru}
\ll{qho}
Ukážeme, že přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper} a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o~diskrétnosti spektra energie harmonického
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz~\ref{podkap:coulomb}) jeden z~hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie.
Operátor energie --- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence
\begin{equation} \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + \frac{1}{2}M \omega^2 x^2. \ll{lho3} \end{equation}
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, pak množina vlastních hodnot, tj.~čísel $E$
pro která existuje funkce $\psi(\vex)$ splňující
\begin{equation} \hat H\psi = E\psi, \ll{vlfce} \end{equation}
je diskrétní a odpovídá (až na jistou aditivní konstantu) Planckově hypotéze.
Operátor \rf{lho3} je součtem tří operátorů
\[ \hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3, \]
\[ H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx_j^2} + \frac{1}{2}M\omega^2 {x_j}^2 \]
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru \rf{lho3} ve faktorizovaném tvaru
\begin{equation} \psi(\vex)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi} \end{equation}
Rovnice \rf{vlfce} pak přejde na tvar
\begin{equation}
(\hat{H}_1 \psi_1) \psi_2 \psi_3 + \psi_1(\hat{H}_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat{H}_3\psi_3) = E\psi_1\psi_2\psi_3.
\ll{rozkladH}
\end{equation}
Nalezneme-li vlastní čísla $E_j$ funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$
\[ \hat{H}_j\psi_j=E_j\psi_j, \]
pak získáme i vlastní čísla operátoru \rf{lho3}
\begin{equation} E = E_1+E_2+E_3. \end{equation}
Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla.
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor
\begin{equation} \fbox{\Large$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx^2} + \frac{1}{2}M\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1} \end{equation}
Tento operátor lze považovat za operátor energie \emph{jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom
rozměru (na přímce).
\begin{tvr}
\ll{slho}
Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1} působícího v~prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly
\fbox {$E_n = \hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce
\begin{equation} \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\frac{\xi^2}{2}}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $} \end{equation}
kde $\displaystyle\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy}
\begin{equation} H_n(z) := \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef} \end{equation}
kde $\lfloor r\rfloor$ je dolní celá část reálného čísla $r$.
\begin{proof}
%Bodové spektrum operátoru \rf{lho1} je tvořeno
Napřed je třeba nalézt čísla $E$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \R\to\C$ diferenciální
rovnice
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2\psi}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi = E\psi.
\ll{eqlho1}
\end{equation}
Tato rovnice je lineární ODR 2.~řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $E$. Ukážeme, že podmínka kvadratické
integrability je splněna jen pro
\begin{equation}
E_n = \hbar \omega \left( n+\half \right),\ n\in\Z_+.
\ll{hokvan}
\end{equation}
Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\displaystyle\xi :=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$, $\phi(\xi) := \psi(x)$ dostaneme rovnici ve tvaru
\begin{equation}
\phi'' - \xi^2 \phi + \lambda \phi = 0
\ll{hobezr}
\end{equation}
kde $\lambda := \frac{2E}{\hbar\omega}$.
Z~teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr} singularitu,
je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\to\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako
\begin{equation}
\phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}.
\ll{rozphi}
\end{equation}
Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě \rf{rozphi}.
Zvolíme tedy ansatz
\begin{equation}
\phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi)
\ll{hoansatz}
\end{equation}
a budeme se zajímat o~řešení rovnice
\begin{equation}
u'' = 2\xi u' + (1-\lambda)u
\ll{hermrce}
\end{equation}
která v~nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.
Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce} do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi$, $u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní
funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady
\begin{equation}
u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\Z_+
\ll{radau}
\end{equation}
Jejím dosazením do \rf{hermrce} a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$
\[
s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0
\]
\begin{equation}
a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m
\ll{rran}
\end{equation}
Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran} je nenulový pro všechna $m$, pak se řada \rf{radau} pro $\xi\rightarrow\infty$ chová jako $\exp(\xi^2)$ a řešení
\rc e \rf{hobezr} není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule \rf{rran} pro dosti velká $m$ se stejným vztahem
pro koeficienty řady $\exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrabilní řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada \rf{radau} je konečná, tj.~existuje $N$
takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy a jen tehdy, když
\be a_1=0, \quad 2(N+s)+1-\lambda=0 , \quad N \text{ sudé nezáporné}. \ll{kvantlam} \ee
V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce \rf{hoansatz} je kvadraticky integrabilní.
Z~podmínky \rf{kvantlam} plyne, že \rc e \rf{hermrce} má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1}
má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}.
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$
\be H_n(\xi) = \sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol} \ee
jež řeší rovnici \rf{hermrce} jsou pak určeny rekurentním vztahem
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol} \ee
přičemž pro sudá či lichá $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$.
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace \rf{rrherpol} je
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-1)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,\lfloor n/2\rfloor, \ll{hercoef}\ee
\end{proof}
\end{tvr}
\bc
Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.
\ec
\bc
Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
\be H_n(z):=(-1)^ne^{z^2}\frac{\d^n}{\dz^n}e^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee
Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2} splňuje rovnici \rf{hermrce}.
\ec
\bc
\ll{cvvytvfce}
Ukažte, že
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\{ x^2-(x-\xi)^2 \} \]
\ec
Důsledkem tvrzení \ref{slho} je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s~potenciálem
$V(x)=\frac{1}{2}M\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)~|~n\in \Z_+\}$.
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen
$\half\hbar\omega$, představující tzv.~\uv{nulové kmity}. Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě
s~tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie.
\bc
Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky $1 \, \mathrm{m}$ a hmotnosti $1 \, \mathrm{kg}$.
\ec
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}. Z~rozkladu \rf{rozkladH} je zřejmé, že funkce
\begin{equation} \psi_{n_1,n_2,n_3}(x_1,x_2,x_3) \equiv \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci} \end{equation}
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}, jsou vlastními \fc emi \oper u \rf{lho3} s~vlastními čísly
$$
E_N=E_{n_1}+E_{n_2}+E_{n_3}=\left(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2}\right)\hbar \omega = \left(N +\frac{3}{2}\right)\hbar \omega,\ N = n_1+n_2+n_3 .
$$
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např.~\cite[4.3.4, 4.3.5]{beh:lokf}).
\bt
\ll{tr38}
Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}
\begin{equation}
\psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}x^2}H_n\left( \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x\right) , \quad K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
\ll{nvlfcelho}
\end{equation}
je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline.
\et
\bt
\ll{tr39}
Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}, kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho} je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky
integrovatelných funkcí \qintspace.
\et
%Pro \fc e \rf{nvlfcelho} a \rf{rozkladvlfci} se často používá ketové značení $\psi_n\equiv \ket{n}$,
%$\psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3} \equiv \ket{n_1n_2n_3}$.
Z~tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1} a \rf{lho3} jsou čistě bodová (\cite[7.3.9]{beh:lokf}).
Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1} --- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru --- se
liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $\half\hbar\omega$. Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na
multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním číslem $E_{N=2}=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí
\rf{rozkladvlfci}, kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto
podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním
číslem $E_N=(N+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $\frac{(N+1)(N+2)}{2}$.
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.
\bc
Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?
\ec
\bc
Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\dx=2^n n!\sqrt\pi\delta_{nm}. \]
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í \rf{nvlfcelho}.
\ec
\section{Složky momentu hybnosti kvantové částice}
\ll{Slmomhyb}
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l = -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\pd}{\pd x_l}. \ll{momhyb} \ee
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\varphi)$
\be x=r\sin \theta \cos\varphi, \quad y=r\sin \theta \sin\varphi, \quad z=r\cos \theta \ll{sfersource} \ee
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\varphi) \ll{fcevess} \ee
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec
Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar
\begin{eqnarray}
\hat L_x &=& i\hbar \left( \cos\varphi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\varphi}+\sin\varphi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{lx} \\
\hat L_y &=& i\hbar \left( \sin\varphi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\varphi}-\cos\varphi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{ly} \\
\hat L_z &=& -i\hbar \frac{\pd}{\pd\varphi}. \ll{lz}
\end{eqnarray}
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $\hat L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší
však je hledat spektrum operátoru $\hat L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici
\be -ih \frac{\pd}{\pd\varphi}\Psi(r,\theta,\varphi) = \mu\Psi(r,\theta,\varphi). \ee
Její řešení je
\be
\Psi(r,\theta,\varphi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\mu\varphi},
\ee
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\mu$ je libovolné komplexní číslo. Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen spojitými funkcemi
v~$\R^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\varphi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. Musí tedy platit
\[ \Psi(r,\theta,\varphi=0) = \Psi(r,\theta,\varphi=2\pi). \]
Z~této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot}
\be \mu = m\hbar, \qquad \mathrm{kde} \ m\in\Z. \ee
\bc
\uv{Kvantové tuhé těleso} (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
\ec
