Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\chapter{Stavy a pozorovatelné v \qv é mechanice}
\ll{Popisstavu}
\sv a \rc e má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic,
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a
\qv é mechanice.
\section{Stavový prostor}
\ll{stavprost}
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice v $\R^3$ je určen komplexní funkcí tří
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{vlnová funkce částice}.
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e klade na vlnové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d^3 x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné nenulové komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
\bc
Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+\dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí
\be g(x,y,z)=Ae^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}}, \ll{zsv} \ee
kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.
\ll{ex:pstvodat}
\ec
Díky Minkowského nerovnosti
\[
\left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2}
\leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},
\]
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$,
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná nenulová komplexní čísla.}
\bc
Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?
\ll{ex:hilbspvb}
\ec
\bc
Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?
\ec
Na lineárním vektorovém prostoru vlnových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův,
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
\section{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené).
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
{\small
\bd
\textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení
$F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
\[
F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),
\]
\[
F(\alpha f,g)=\alpha^*F(f,g),\ F(f,\alpha g)=\alpha F(f,g),
\]
kde $\alpha\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička značí komplexní sdružení.
\ed
\noindent \bp
Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
\be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee
\ep
\bd
Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
\be F(g,f)=[F(f,g)]^*\overset{ozn.}{=}F^*(f,g) \ll{ss2} \ee
\ed
\bc
Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.
\ll{symfor}
\ec
\bd
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
\be F(f,f) \geq 0. \ee
Pokud navíc
\be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee
pak tuto formu nazveme \textbf{pozitivně definitní}, resp. striktně pozitivní.
\ed
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep
\bt
Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}
\be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee
Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že
\be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee
\begin{proof}
Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
\be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního
čísla plyne $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak
dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti
\[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost
platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.
\end{proof}
\et
} %konec prostředí \small
\bd
Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární
vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.
\ed
\bp
Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
\be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
\ep
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$
\bd
Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.
\ed
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep
{\small
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).
}%small
\bp
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$, tj. $L^2((a,b),\dx)\overset{ozn.}{=}L^2(a,b)$ se skalárním součinem
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)\dx \]
je Hilbertův.
\ep
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry
nula. Můžeme tedy shrnout, že \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice v $\R^3$ tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor $\mathcal{H} = L^2(\R^3,\d^3x)$}.
\bt [Rieszovo lemma]
Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\Hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\Hil$ takový, že pro všechna $f\in\Hil$ platí
\[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
\et
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán, a se kterým se podrobněji seznámíme v kapitole \ref{kets}.
\vskip 1cm
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze.
{\small
\bd
Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme
\textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme
ji \textbf{ortonormální}.
\ed
\bd
Vektor $x\in \Hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \Hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.
\ed
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.
\bt
Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že
$x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).
\et
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.
}%small
\bd
\textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.
\ed
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.
\bp
Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.
\ep
\bd
Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme
skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.
\ed
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), jsou {\bf separabilní} - mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^\infty$. V~takovýchto prostorech platí pro každé $f\in\Hil$
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
\bc
Najděte ortonormální bázi v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]
\ec
Obecně můžeme shrnout popis možných stavů kvantové částice do následujícího postulátu:
\begin{post}
Stavový prostor kvantové částice je separabilní Hilbertův prostor $\mathcal{H}$. Stav kvantové částice je popsán nenulovým vektorem $\psi\in\mathcal{H}$.
\end{post}
{Striktně vzato stavu kvantové částice odpovídá paprsek, tj. jednorozměrný podprostor v $\mathcal{H}$ (viz. postulát q1-b v \cite{beh:lokf}). Každý paprsek je ale jednoznačně určen nějakým nenulovým vektorem $\psi$. Vzhledem k pravděpodobnostní intrepretaci stavu v kvantové mechanice budeme (až na vyjímky, kde to explicitně zmíníme) uvažovat normalizované vektory, tj. $\|\psi\|=1$.}
Volba Hilbertova prostoru závisí na konkretním problému. Budeme ji provádět "intuitivně", např. pro částici v prostoru je přirozené zvolit $\mathcal{H} = L^2(\R^3,d^3x)$, protože pak můžeme přímo interpretovat vlnové funkce $\psi(\vec{x})\in\mathcal{H}$ jako amplitudy pravděpodobnosti nalezení částice v daném bodě prostoru. Analogicky, pro částici na přímce (např. lineární harmonický oscilátor) volíme $\mathcal{H} = L^2(\R,dx)$. V některých případech bude mít Hilbertův prostor konečnou dimenzi, např. pro spin $\frac{1}{2}$, který má dva jednoznačně rozlišitelné stavy (spin nahoru/dolů do pevně zvoleného směru), je $\mathcal{H} = \C^2$.
\section{Pozorovatelné a jejich spektra}
\ll{pozorovatelne}
V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie,
momentu hybnosti,...). Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím bodu fázového prostoru. Možné hodnoty, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit, jsou dány oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie
stavu $(\vec p,\vec q)$ je
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
a její obor hodnot je $\Rp$.
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických
pojmů v~kvantové mechanice.
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
experimentálním ověřováním teorie.
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice v $\R^3$ je
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vex):=-i\hbar\dfrac{\pd\psi}{\pd x_j}(\vex)$} \ll{poper} \ee
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence},
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
\[ E(\hat Q_j,\hat P_j) = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]
kde $\lapl=\sum\limits_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů,
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) diferencovatelné a jejich derivace musí být kvadraticky integrabilní). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot,
které lze pro danou veličinu naměřit}.
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.
\bc
\ll{nekpoja}
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě},
tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
\ec
\bc
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu
$V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.
\ec
\section{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány.
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$,
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
\bd
Lineární operátor $\hat B:\df\hat B\to\Hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in\df\hat B$ platí
\[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]
\ed
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.
\bp
Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce
je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}
\[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]
je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
\ep
\bd
Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna
$f,g\in\Hil$
\[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]
\ed
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí
\be
(a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger .
\ll{algop}
\ee
\bc
Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá
operátoru $\hat{M}^\dagger$?
\ec
\bd
Operátor $\hat{B}$ na $\Hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.
\ed
\bp
Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný
\[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]
je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)
\ep
\bt
Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje
$\hat{E}^2 = \hat{E}$.
\et
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich
definice vychází z~následujícího faktu:
\bt
Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že
pro všechna $g\in\df\hat T$ platí
\be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee
\et
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
\bd
Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina
všech $f\in\Hil$, pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$
\ed
\bd
Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.
\ed
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
\bd
Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $,
tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.
\ed
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.
\noindent \bp
Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$
je samosdružený.
\ep
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\Hil\times\Hil; x\in D_T\} \]
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\Hil\times\Hil$.
%\ed
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
%celá komplexní rovina.
\bd
\textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného
operátoru $\hat{T}$} je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\unit)$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.
\ed
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu vlastních čísel
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \textbf{bodovým spektrem} a značíme $\sigma_p(\hat{T})$. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří tzv.~\textbf{spojité spektrum} $\sigma_c(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ je hustý v $\mathcal{H}$) a \textbf{reziduální spektrum} $\sigma_r(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ není hustý v $\mathcal{H}$). Pro samosdružené operátory je reziduální spektrum prázdné.
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí:
\bt
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.
\et
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.
}
Popis pozorovatelných v kvantové mechanice můžeme shrnout do následující postulátu:
\begin{post}
\label{post:poz}
Pozorovatelným veličinám v kvantové mechanice odpovídají samosdružené operátory na stavovém prostoru $\mathcal{H}$. Možné výsledky měření pozorovatelné tvoří spektrum příslušného operátoru.
\end{post}
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že
ani pro \qv ou částici
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
%hybnosti částice.
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.
