02GR:Kapitola4

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 6. 1. 2019, 13:45, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02GR

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02GRMaresj23 23. 12. 201221:49
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:51
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 26. 12. 201516:53 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaNguyebin 26. 12. 201516:55 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatGrupyKubuondr 5. 1. 201910:03 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatPodgrupyKubuondr 25. 12. 201814:30 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatFaktor grupyKubuondr 7. 1. 201922:00 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPřímý a polopřímý součin grupKubuondr 6. 1. 201913:45 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentaceKubuondr 6. 1. 201917:50 kapitola5.tex
KapitolaA editovatLiteraturaMaresj23 21. 12. 201216:45 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:02GR_trojuhelnik.jpg‎ trojuhelnik.jpg
Soubor:02GR_usporadani.jpg‎ usporadani.jpg
Soubor:02GR_mrizka.PNG mrizka.PNG
Soubor:02GR_vlakna.PNG‎ vlakna.PNG
Soubor:02GR_nasobeni_reprezentanti.PNG‎ nasobeni_reprezentanti.PNG

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02GR}
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             KAPITOLA: Přímý a polopřímý součin grup
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Přímý a polopřímý součin grup}
 
Jedná se o způsob konstrukce větších grup z menších.
 
\begin{define} Přímý součin definujeme pro konečné a spočetně nekonečné množiny grup (rozdíl definice je jen formální).
  \begin{enumerate}
  \item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots \times G_n$ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots \ast_n$ po řadě, je množina $n$-tic $(g_1, g_2, \ldots, g_n)$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy:
    \begin{equation}
  	(g_1, g_2, \ldots, g_n)\ast(h_1, h_2, \ldots, h_n) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots, g_n \ast_n h_n).
  	\end{equation}
  \item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots $ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots $, po řadě, je množina posloupností $(g_1, g_2, \ldots )$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy:
    \begin{equation}
  	(g_1, g_2, \ldots)\ast(h_1, h_2, \ldots) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots).
  	\end{equation}
  \end{enumerate}
\end{define}
 
Je zřejmé, že výsledkem přímého součinu grup je opět grupa a to řádu $|G| = |G_1||G_2|\ldots|G_n|$ nebo nekonečného.
 
 
 
 
\section{Klasifikace Abelovských grup}
 
\begin{define} 
  \begin{enumerate}
  \item Grupa $G$ je \textbf{konečně generovaná}, pokud existuje konečná množina $A\subset G$ taková, že $G=\cycl A$.
  \item Pro každé $r\in \mathbb{Z}$, $r \geq 0$, buď $\mathbb{Z}^r=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}$ direktní součet $r$ kopií grupy $\mathbb{Z}$, kde $\mathbb{Z}^0=e$. Grupa $\mathbb{Z}^r$ se nazývá \textbf{volná Abelovská grupa řádu $r$}.
  \end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{theorem}
	[základní věta Abelovských grup] Buď $G$ konečně generovaná Abelovská grupa. Pak:
	\begin{enumerate}
  	\item $G \cong \mathbb{Z}^r \times Z_{n_1}\times Z_{n_2} \times \ldots \times Z_{n_s}$ pro nějaká celá čísla splňující následující podmínky:
  		\begin{enumerate}
  			\item $r \geq 0$ a $n_j \geq 2$ pro všechna $j$,
  			\item $n_{i+1}|n_i$ pro $1\leq i \leq s-1$,
  		\end{enumerate}
  	\item a rozklad je jednoznačný.
  	\end{enumerate}
  \begin{proof}
Bez důkazu.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Každý prvočíselný dělitel $|G|$ musí dělit $n_1$.
\end{remark}
 
 
\begin{theorem}
	Buď $G$ grupa řádu $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}$. Potom
	\begin{enumerate}
  	\item $G \cong A_1 \times A_2\times \ldots \times A_k$, kde $|A_i|=p_i^{\alpha_i}$,
  	\item pro každé $A\in {A_1, A_2, \ldots, A_k}$, kde $|A|=p^\alpha$ je $A \cong Z_{p^{\beta_1}} \times Z_{p^{\beta_2}} \times \ldots \times Z_{p^{\beta_t}}$, kde $\beta_1 \geq \beta_2 \geq \ldots \geq \beta_t \geq 1$ a $\beta_1 + \beta_2 + \ldots + \beta_t = \alpha$ ($t$ a $\beta_j$ závisí na $i$)
  	\item  a rozklad v 1) a 2) je jednoznačný až na pořadí $A_i$.
  	\end{enumerate}
  \begin{proof}
Bez důkazu.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
	Nechť $m,n \in \Z^+$, pak $\Z_m \times \Z_n \cong \Z_{mn} \lra \gcd{(m,n)}=1$ (tj. $m$ a $n$ jsou nesoudělná).
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}
			\item[$\ra$)] Nechť $\Z_m = \cycl x$, $\Z_n = \cycl y$ a $l = \lcm{(m,n)}$ (nejmenší společný násobek). Všimneme si, že $l = mn$, právě když $\gcd{(m,n)} = 1$. Dále nechť $x^a y^b \in \Z_m \times \Z_n$ libovolné, pak
		\begin{align*}
			(x^a y^b)^l = x^{la} y^{lb} = e^a e^b = e,
			\end{align*}
			protože $m \mid l$ a taky $n \mid l$. Pokud $\gcd{(m,n)} \neq 1$, každý element $\Z_m \times \Z_n$ je řádu nanejvýš $l$, tedy ostře menšího než $mn$, tedy $\Z_m \times \Z_n $ nemůže být isomorfní $\Z_{mn}$.
		\item[$\la$)] Naopak, pokud $\gcd{(m,n)}  = 1$, pak $|xy| = \lcm{(|x|,|y|)} = mn$. Tudíž $\Z_m \times \Z_n = \cycl{xy}$.		
			\end{enumerate}
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
\begin{theorem}
	Nechť $H,K \le G$. Počet různých způsobů, jak napsat libovolný element z $HK$ ve tvaru $hk$ pro nějaké $h \in H$ a $k \in K$, je $|H \cap K|$. Speciálně když $H \cap K = e$, pak pro každý element existuje pouze jeden způsob.
	\begin{proof}
		Nechť $x \in HK$ a $y \in H \cap K$ libovolné, pak $x = yy^{-1}x = yz$, kde $z = y^{-1}x$ je element $H$ nebo $K$. Takže existuje alespoň $|H \cap K|$ možností, jak zvolit $y$. Kdyby existovalo $x \in HK$, které lze zapsat více různými způsoby než $H \cap K$, pak celkový počet způsobů, jak zapsat všechny prvky, by byl větší než 
		\begin{align*}
			|HK||H \cap K| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}|H \cap K| = |H||K|,
		\end{align*}
	což je spor s růzností zápisu.
	\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}\label{soucin je G}
	Nechť $H, K \npg G$ a $H \cap K = e$, pak $HK \cong H \times K$.
	\begin{proof}
		Protože $H,K \npg G$, je $HK \le G$. Nechť $h \in H$, $k \in K$. Protože $H \npg G$, platí $k^{-1}hk \in H$, tedy taky $h^{-1}(k^{-1}hk) \in H$. Analogicky, $(h^{-1}k^{-1}h)k \in K$. Dále díky tomu, že $H \cap K = e$, máme $h^{-1}k^{-1}hk = e$, tedy $hk=kh$, takže prvky $H$ komutují s prvky $K$. Podle předcházející věty lze každý prvek $HK$ zapsat právě jedním způsobem ve tvaru $hk$, kde $h \in H$ a $k \in K$. Zobrazení
		\begin{align*}
			\varphi : HK \rightarrow H \times K : hk \rightarrow (h,k)
			\end{align*}
		je proto dobře definované. Pro důkaz toho, že $\varphi$ je homomorfismus, vezměme $h_1, h_2 \in H$ a $k_1, k_2 \in K$. Pak díky tomu, že prvky $H$ a $K$ spolu komutují, platí
		\begin{align*}
			(h_1k_1)(h_2k_2) = (h_1h_2)(k_1k_2)
			\end{align*}
		a	 tento tvar je jednoznačně zapsán ve tvaru $hk$, kde $h \in H$, $k \in K$. Takže
		\begin{align*}
			\varphi(h_1k_1h_2k_2) = \varphi(H_1h_2k_1k_2) = (h_1h_2, k_1k_2) = (h_1,k_1)(h_2,k_2) = \varphi(h_1k_1)\varphi(h_2k_2),
			\end{align*}
		tedy $\varphi$ je homomorfismus. Zároveň je to ale bijekce, proto $\varphi$ je isomorfizmus.	
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
\section{Polopřímý součin}
 
 
\begin{remark}
Polopřímý součin je další způsob, jak z menších grup vyrobit grupu větší. Ve výsledku dostaneme z grup $H$ a $K$ grupu $G$, ve které bude platit $H \npg G$, ale $K \le G$ nemusí být normální. Jako motivaci předpokládejme, že už takovou $G$ máme a platí $H \cap K = e$. Platí, že $HK \le G$ a existuje bijekce mezi prvky $HK$ a dvojicemi $(h,k)$, kde $h \in H$ a $k \in K$. Chceme-li součin dvou prvků z $HK$ opět napsat ve tvaru $hk$, postupujeme takto:
 
 
\begin{align}
(h_1 k_1)(h_2 k_2) = h_1 k_1 h_2 (k_1^{-1} k_1) k_2 =  h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1}) k_1 k_2 = h_1 h_3 k_3 = h_4 k_3,  \nonumber
\end{align}
 
kde jsme využili toho, že $H$ je normální podgrupa. Cílem polopřímého součinu je zavést grupu s obdobným násobením bez \uv{zastřešující} grupy, která nám umožňuje násobit mezi sebou prvky z $K$ a $H$.
\end{remark}
 
 
 
\begin{theorem}
Buďte $H$ a $K$ grupy a $\varphi:K\rightarrow\Aut H$ je homomorfismus (každému prvku $k \in K$ přiřadí nějakou permutaci $H$). Dále buď $\cdot$ akce grupy $K$ na $H$ daná  vztahem $\varphi(k)h=k\cdot h$. Buď $G$ množina dvojic $(h,k)$, $h \in H$ a $k \in K$ a definuje násobení těchto dvojic jako: 
\begin{align}
(h_1,k_1)(h_2,k_2) = (h_1 k_1 \cdot h_2,k_1 k_2).  \nonumber
\end{align} 
	\begin{enumerate}
  	\item $G$ s takto definovanou operací je grupa řádu $|G| = |K||H|$.
  	\item Množiny $\{(h,1) |h \in H\}$ a $\{(1,k) |k \in K\}$ jsou podgrupy $G$ isomorfní grupám $H$ a $K$. (Dále mezi nimi nerozlišujeme.)
  	\item $H \npg G$.
  	\item $H \cap K = e$.
        \item $(\all h \in H, k \in K)(khk^{-1} = k \cdot h)$.  
  	\end{enumerate}
  \begin{proof}
 	\begin{enumerate}
		\item Asociativita platí, protože pro libovolné $(a,x), (b,y), (c,z) \in G$ platí
			\begin{align*}
				((a,x)(b,y))(c,z) &= (a x \cdot b, x y)(c, z) \nonumber \\
				&= (a x \cdot b (xy) \cdot c, x y z) \nonumber \\
				&= (a x \cdot b x \cdot (y \cdot c), x y z) \nonumber \\
				&= (a x \cdot (b y \cdot c), x y z) \nonumber \\
				&= (a, x)(b y \cdot c, y z) \nonumber \\
				&= (a, x)((b, y)(c, z)). \nonumber
				\end{align*}
Platnost rovnosti mezi řádky 3 a 4 odpovídá axiomu homomorfismu $\varphi(b)\varphi(y\cdot c)=\varphi(b(y\cdot c))$.
				Dále je z definice vidět, že $(1,1)$ je jednotkový prvek, $(h,k)^{-1} = (k^{-1} \cdot h^{-1}, k^{-1})$ je inverzní prvek pro libovolné $(h,k) \in G$ a $|G| = |H||K|$.
			\item Nechť $\tilde{H} = \{ (h, 1) | h \in H \}$ a $\tilde{K} = \{ (1, k) | k \in K \}$. Máme
				\begin{align*}
					(a, 1)(b, 1) = (a 1 \cdot b, 1) = (ab, 1), \qquad \all a,b \in H.
					\end{align*}
				Analogicky,	
				\begin{align*}
					(1, x)(1, y) = (1, xy), \qquad \all x,y \in K,
					\end{align*}		
					takže $\tilde{H},\tilde{K} \le G$ isomorfní $H,K$.
			\item[4.] Je jasné, že $\tilde{H} \cap \tilde{K} =e$.
			\item[5.] Dále platí
				\begin{align*}
					(1, k)(h, 1)(1, k)^{-1} &= ((1, k)(h, 1))(1, k^{-1}) \\
					&= (k \cdot h, k)(1, k^{-1}) \\
					&= (k \cdot h k \cdot 1, k k^{-1}) \\
					&= (k \cdot h, 1),
					\end{align*}		
					tedy přiřazením $h \leftrightarrow (h, 1)$ a $k \leftrightarrow (1,k)$ z bodu (2.) dostáváme $khk^{-1} = k \cdot h$.
				\item[3.] Nakonec, protože $K \le N_G(H)$, platí $G = HK$ a zároveň $H \leq N_G(H)$, dostáváme $N_G(H) = G$, tedy $H \npg G$.	
		\end{enumerate}
  \end{proof}
\end{theorem}
 
 
\begin{define} 
  Grupu $G$ z předchozí věty nazýváme \textbf{polopřímý součin} grup $H$ a $K$ a značíme $H \rtimes_\varphi K$.
\end{define}