Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Přímý a polopřímý součin grup
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Přímý a polopřímý součin grup}
Jedná se o způsob konstrukce větších grup z menších.
\begin{define} Přímý součin definujeme pro konečné a spočetně nekonečné množiny grup (rozdíl definice je jen formální).
\begin{enumerate}
\item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots \times G_n$ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots \ast_n$ po řadě, je množina $n$-tic $(g_1, g_2, \ldots, g_n)$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy:
\begin{equation}
(g_1, g_2, \ldots, g_n)\ast(h_1, h_2, \ldots, h_n) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots, g_n \ast_n h_n).
\end{equation}
\item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots $ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots $, po řadě, je množina posloupností $(g_1, g_2, \ldots )$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy:
\begin{equation}
(g_1, g_2, \ldots)\ast(h_1, h_2, \ldots) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots).
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{define}
Je zřejmé, že výsledkem přímého součinu grup je opět grupa a to řádu $|G| = |G_1||G_2|\ldots|G_n|$ nebo nekonečného.
\section{Klasifikace Abelovských grup}
\begin{define}
\begin{enumerate}
\item Grupa $G$ je \textbf{konečně generovaná}, pokud existuje konečná množina $A\subset G$ taková, že $G=\cycl A$.
\item Pro každé $r\in \mathbb{Z}$, $r \geq 0$, buď $\mathbb{Z}^r=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}$ direktní součet $r$ kopií grupy $\mathbb{Z}$, kde $\mathbb{Z}^0=e$. Grupa $\mathbb{Z}^r$ se nazývá \textbf{volná Abelovská grupa řádu $r$}.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{theorem}
[základní věta Abelovských grup] Buď $G$ konečně generovaná Abelovská grupa. Pak:
\begin{enumerate}
\item $G \cong \mathbb{Z}^r \times Z_{n_1}\times Z_{n_2} \times \ldots \times Z_{n_s}$ pro nějaká celá čísla splňující následující podmínky:
\begin{enumerate}
\item $r \geq 0$ a $n_j \geq 2$ pro všechna $j$,
\item $n_{i+1}|n_i$ pro $1\leq i \leq s-1$,
\end{enumerate}
\item a rozklad je jednoznačný.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Bez důkazu.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Každý prvočíselný dělitel $|G|$ musí dělit $n_1$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $G$ grupa řádu $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}$. Potom
\begin{enumerate}
\item $G \cong A_1 \times A_2\times \ldots \times A_k$, kde $|A_i|=p_i^{\alpha_i}$,
\item pro každé $A\in {A_1, A_2, \ldots, A_k}$, kde $|A|=p^\alpha$ je $A \cong Z_{p^{\beta_1}} \times Z_{p^{\beta_2}} \times \ldots \times Z_{p^{\beta_t}}$, kde $\beta_1 \geq \beta_2 \geq \ldots \geq \beta_t \geq 1$ a $\beta_1 + \beta_2 + \ldots + \beta_t = \alpha$ ($t$ a $\beta_j$ závisí na $i$)
\item a rozklad v 1) a 2) je jednoznačný až na pořadí $A_i$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Bez důkazu.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $m,n \in \Z^+$, pak $\Z_m \times \Z_n \cong \Z_{mn} \lra \gcd{(m,n)}=1$ (tj. $m$ a $n$ jsou nesoudělná).
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item[$\ra$)] Nechť $\Z_m = \cycl x$, $\Z_n = \cycl y$ a $l = \lcm{(m,n)}$ (nejmenší společný násobek). Všimneme si, že $l = mn$, právě když $\gcd{(m,n)} = 1$. Dále nechť $x^a y^b \in \Z_m \times \Z_n$ libovolné, pak
\begin{align*}
(x^a y^b)^l = x^{la} y^{lb} = e^a e^b = e,
\end{align*}
protože $m \mid l$ a taky $n \mid l$. Pokud $\gcd{(m,n)} \neq 1$, každý element $\Z_m \times \Z_n$ je řádu nanejvýš $l$, tedy ostře menšího než $mn$, tedy $\Z_m \times \Z_n $ nemůže být isomorfní $\Z_{mn}$.
\item[$\la$)] Naopak, pokud $\gcd{(m,n)} = 1$, pak $|xy| = \lcm{(|x|,|y|)} = mn$. Tudíž $\Z_m \times \Z_n = \cycl{xy}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $H,K \le G$. Počet různých způsobů, jak napsat libovolný element z $HK$ ve tvaru $hk$ pro nějaké $h \in H$ a $k \in K$, je $|H \cap K|$. Speciálně když $H \cap K = e$, pak pro každý element existuje pouze jeden způsob.
\begin{proof}
Nechť $x \in HK$ a $y \in H \cap K$ libovolné, pak $x = yy^{-1}x = yz$, kde $z = y^{-1}x$ je element $H$ nebo $K$. Takže existuje alespoň $|H \cap K|$ možností, jak zvolit $y$. Kdyby existovalo $x \in HK$, které lze zapsat více různými způsoby než $H \cap K$, pak celkový počet způsobů, jak zapsat všechny prvky, by byl větší než
\begin{align*}
|HK||H \cap K| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}|H \cap K| = |H||K|,
\end{align*}
což je spor s růzností zápisu.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}\label{soucin je G}
Nechť $H, K \npg G$ a $H \cap K = e$, pak $HK \cong H \times K$.
\begin{proof}
Protože $H,K \npg G$, je $HK \le G$. Nechť $h \in H$, $k \in K$. Protože $H \npg G$, platí $k^{-1}hk \in H$, tedy taky $h^{-1}(k^{-1}hk) \in H$. Analogicky, $(h^{-1}k^{-1}h)k \in K$. Dále díky tomu, že $H \cap K = e$, máme $h^{-1}k^{-1}hk = e$, tedy $hk=kh$, takže prvky $H$ komutují s prvky $K$. Podle předcházející věty lze každý prvek $HK$ zapsat právě jedním způsobem ve tvaru $hk$, kde $h \in H$ a $k \in K$. Zobrazení
\begin{align*}
\varphi : HK \rightarrow H \times K : hk \rightarrow (h,k)
\end{align*}
je proto dobře definované. Pro důkaz toho, že $\varphi$ je homomorfismus, vezměme $h_1, h_2 \in H$ a $k_1, k_2 \in K$. Pak díky tomu, že prvky $H$ a $K$ spolu komutují, platí
\begin{align*}
(h_1k_1)(h_2k_2) = (h_1h_2)(k_1k_2)
\end{align*}
a tento tvar je jednoznačně zapsán ve tvaru $hk$, kde $h \in H$, $k \in K$. Takže
\begin{align*}
\varphi(h_1k_1h_2k_2) = \varphi(H_1h_2k_1k_2) = (h_1h_2, k_1k_2) = (h_1,k_1)(h_2,k_2) = \varphi(h_1k_1)\varphi(h_2k_2),
\end{align*}
tedy $\varphi$ je homomorfismus. Zároveň je to ale bijekce, proto $\varphi$ je isomorfizmus.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Polopřímý součin}
\begin{remark}
Polopřímý součin je další způsob, jak z menších grup vyrobit grupu větší. Ve výsledku dostaneme z grup $H$ a $K$ grupu $G$, ve které bude platit $H \npg G$, ale $K \le G$ nemusí být normální. Jako motivaci předpokládejme, že už takovou $G$ máme a platí $H \cap K = e$. Platí, že $HK \le G$ a existuje bijekce mezi prvky $HK$ a dvojicemi $(h,k)$, kde $h \in H$ a $k \in K$. Chceme-li součin dvou prvků z $HK$ opět napsat ve tvaru $hk$, postupujeme takto:
\begin{align}
(h_1 k_1)(h_2 k_2) = h_1 k_1 h_2 (k_1^{-1} k_1) k_2 = h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1}) k_1 k_2 = h_1 h_3 k_3 = h_4 k_3, \nonumber
\end{align}
kde jsme využili toho, že $H$ je normální podgrupa. Cílem polopřímého součinu je zavést grupu s obdobným násobením bez \uv{zastřešující} grupy, která nám umožňuje násobit mezi sebou prvky z $K$ a $H$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buďte $H$ a $K$ grupy a $\varphi:K\rightarrow\Aut H$ je homomorfismus (každému prvku $k \in K$ přiřadí nějakou permutaci $H$). Dále buď $\cdot$ akce grupy $K$ na $H$ daná vztahem $\varphi(k)h=k\cdot h$. Buď $G$ množina dvojic $(h,k)$, $h \in H$ a $k \in K$ a definuje násobení těchto dvojic jako:
\begin{align}
(h_1,k_1)(h_2,k_2) = (h_1 k_1 \cdot h_2,k_1 k_2). \nonumber
\end{align}
\begin{enumerate}
\item $G$ s takto definovanou operací je grupa řádu $|G| = |K||H|$.
\item Množiny $\{(h,1) |h \in H\}$ a $\{(1,k) |k \in K\}$ jsou podgrupy $G$ isomorfní grupám $H$ a $K$. (Dále mezi nimi nerozlišujeme.)
\item $H \npg G$.
\item $H \cap K = e$.
\item $(\all h \in H, k \in K)(khk^{-1} = k \cdot h)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Asociativita platí, protože pro libovolné $(a,x), (b,y), (c,z) \in G$ platí
\begin{align*}
((a,x)(b,y))(c,z) &= (a x \cdot b, x y)(c, z) \nonumber \\
&= (a x \cdot b (xy) \cdot c, x y z) \nonumber \\
&= (a x \cdot b x \cdot (y \cdot c), x y z) \nonumber \\
&= (a x \cdot (b y \cdot c), x y z) \nonumber \\
&= (a, x)(b y \cdot c, y z) \nonumber \\
&= (a, x)((b, y)(c, z)). \nonumber
\end{align*}
Platnost rovnosti mezi řádky 3 a 4 odpovídá axiomu homomorfismu $\varphi(b)\varphi(y\cdot c)=\varphi(b(y\cdot c))$.
Dále je z definice vidět, že $(1,1)$ je jednotkový prvek, $(h,k)^{-1} = (k^{-1} \cdot h^{-1}, k^{-1})$ je inverzní prvek pro libovolné $(h,k) \in G$ a $|G| = |H||K|$.
\item Nechť $\tilde{H} = \{ (h, 1) | h \in H \}$ a $\tilde{K} = \{ (1, k) | k \in K \}$. Máme
\begin{align*}
(a, 1)(b, 1) = (a 1 \cdot b, 1) = (ab, 1), \qquad \all a,b \in H.
\end{align*}
Analogicky,
\begin{align*}
(1, x)(1, y) = (1, xy), \qquad \all x,y \in K,
\end{align*}
takže $\tilde{H},\tilde{K} \le G$ isomorfní $H,K$.
\item[4.] Je jasné, že $\tilde{H} \cap \tilde{K} =e$.
\item[5.] Dále platí
\begin{align*}
(1, k)(h, 1)(1, k)^{-1} &= ((1, k)(h, 1))(1, k^{-1}) \\
&= (k \cdot h, k)(1, k^{-1}) \\
&= (k \cdot h k \cdot 1, k k^{-1}) \\
&= (k \cdot h, 1),
\end{align*}
tedy přiřazením $h \leftrightarrow (h, 1)$ a $k \leftrightarrow (1,k)$ z bodu (2.) dostáváme $khk^{-1} = k \cdot h$.
\item[3.] Nakonec, protože $K \le N_G(H)$, platí $G = HK$ a zároveň $H \leq N_G(H)$, dostáváme $N_G(H) = G$, tedy $H \npg G$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Grupu $G$ z předchozí věty nazýváme \textbf{polopřímý součin} grup $H$ a $K$ a značíme $H \rtimes_\varphi K$.
\end{define}
