https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GMF1:Kapitola7&feed=atom&action=history
02GMF1:Kapitola7 - Historie editací
2024-03-29T12:06:00Z
Historie editací této stránky
MediaWiki 1.25.2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GMF1:Kapitola7&diff=5115&oldid=prev
Kyseljar v 31. 10. 2013, 10:24
2013-10-31T10:24:33Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 31. 10. 2013, 10:24</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L129" >Řádka 129:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 129:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{defi}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{defi}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokud $\phi$ je prosté vnoření takové, že $\forall p \in M$ existuje okolí $U = U^\circ \subset N$ bodu $\phi(p)$ a souřadnice $(y^a)_{a=1}^{\dim N}$ na $U$ takové, že $\phi (M) \cap U = \{ q \in U | \, y^a (q) = 0, \, a \in \hat{k} \},</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokud $\phi$ je prosté vnoření takové, že $\forall p \in M$ existuje okolí $U = U^\circ \subset N$ bodu $\phi(p)$ a souřadnice $(y^a)_{a=1}^{\dim N}$ na $U$ takové, že $\phi (M) \cap U = \{ q \in U | \, y^a (q) = 0, \, a \in \hat{k} \}<ins class="diffchange diffchange-inline">$</ins>,</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>kde $k = \dim N - \dim M$, nazýváme zobrazení $\phi$ \textbf{vložení} (angl. embedding) a $M$ nazýváme \textbf{(vložená) podvarieta} variety $N$ kodimenze $k$.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>kde $k = \dim N - \dim M$, nazýváme zobrazení $\phi$ \textbf{vložení} (angl. embedding) a $M$ nazýváme \textbf{(vložená) podvarieta} variety $N$ kodimenze $k$.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{defi}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{defi}</div></td></tr>
</table>
Kyseljar
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GMF1:Kapitola7&diff=5114&oldid=prev
Kyseljar v 31. 10. 2013, 10:23
2013-10-31T10:23:21Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 31. 10. 2013, 10:23</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L129" >Řádka 129:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 129:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{defi}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{defi}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokud $\phi$ je prosté vnoření takové, že $\forall p \in M$ existuje okolí $U = U^\circ \subset N$ bodu $\phi(p)$ a souřadnice $(y^a)_{a=1}^{\dim N}$ na $U$ takové, že $\phi (M) \cap U = \{ q \in U | \, y^a (q) = 0, \, a <del class="diffchange diffchange-inline">= 1, </del>\<del class="diffchange diffchange-inline">ldots</del>, \dim N - \dim M<del class="diffchange diffchange-inline">\}</del>$, nazýváme zobrazení $\phi$ \textbf{vložení} (angl. embedding) a $M$ nazýváme \textbf{(vložená) podvarieta} variety $N$ kodimenze $k$.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokud $\phi$ je prosté vnoření takové, že $\forall p \in M$ existuje okolí $U = U^\circ \subset N$ bodu $\phi(p)$ a souřadnice $(y^a)_{a=1}^{\dim N}$ na $U$ takové, že $\phi (M) \cap U = \{ q \in U | \, y^a (q) = 0, \, a \<ins class="diffchange diffchange-inline">in \hat{k} \}</ins>,</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">kde $k = </ins>\dim N - \dim M$, nazýváme zobrazení $\phi$ \textbf{vložení} (angl. embedding) a $M$ nazýváme \textbf{(vložená) podvarieta} variety $N$ kodimenze $k$.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{defi}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{defi}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
</table>
Kyseljar
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GMF1:Kapitola7&diff=5113&oldid=prev
Kyseljar: oprava u rozšíření tečného zobrazení na celé vektorové pole
2013-10-31T10:20:29Z
<p>oprava u rozšíření tečného zobrazení na celé vektorové pole</p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 31. 10. 2013, 10:20</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L58" >Řádka 58:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 58:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Naopak $\phi_\star: \cX \rightarrow \cXA{N}$ obecně definovat nelze. Důvody:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Naopak $\phi_\star: \cX \rightarrow \cXA{N}$ obecně definovat nelze. Důvody:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{itemize}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{itemize}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item $(\phi_\star X)(p) \equiv \phi_\star (\restr{X}{p})$ není definován na celém $N$, ale jen na $\phi(M)$,</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item $(\phi_\star X)<ins class="diffchange diffchange-inline">(\phi</ins>(p<ins class="diffchange diffchange-inline">)</ins>) \equiv \phi_\star (\restr{X}{p})$ není definován na celém $N$, ale jen na $\phi(M)$,</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item nemusí být korektní: pokud $(\exists p, \tilde{p} \in M)(\phi (p) = \phi (\tilde{p})$ a současně $\phi_\star (X_p) \neq \phi_\star (X_{\tilde{p}}) \in T_{\phi (p)} N)$.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item nemusí být korektní: pokud $(\exists p, \tilde{p} \in M)(\phi (p) = \phi (\tilde{p})$ a současně $\phi_\star (X_p) \neq \phi_\star (X_{\tilde{p}}) \in T_{\phi (p)} N)$.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{itemize}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{itemize}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokud je $\phi$ difeomorfizmus, pak $\phi_\star: \cX \rightarrow \cXA{N}$ existuje a je definováno předpisem</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokud je $\phi$ difeomorfizmus, pak $\phi_\star: \cX \rightarrow \cXA{N}$ existuje a je definováno předpisem</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\[ (\phi_\star X)(p) = \phi_\star (\restr{X}{p}).</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\[ (\phi_\star X)<ins class="diffchange diffchange-inline">(\phi</ins>(p<ins class="diffchange diffchange-inline">)</ins>) = \phi_\star (\restr{X}{p}).</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\]</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
</table>
Kyseljar
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GMF1:Kapitola7&diff=5112&oldid=prev
Kyseljar: oprava v poznámce o prostém fi z fi(N) na fi(M)
2013-10-31T10:15:43Z
<p>oprava v poznámce o prostém fi z fi(N) na fi(M)</p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 31. 10. 2013, 10:15</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L66" >Řádka 66:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 66:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\]</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokud je $\phi$ prosté, je $\phi_\star (X)$ definováno jako prvek $\cXA{\phi (<del class="diffchange diffchange-inline">N</del>)}$, kde $\phi (<del class="diffchange diffchange-inline">N</del>)$ není nutně otevřená množina. Podobně, pokud pro dané $\phi$ a $X$ nevzniká problém s nejednoznačností, můžeme použít pro výsledek konstrukce bod po bodu označení $\phi_\star (X)$.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokud je $\phi$ prosté, je $\phi_\star (X)$ definováno jako prvek $\cXA{\phi (<ins class="diffchange diffchange-inline">M</ins>)}$, kde $\phi (<ins class="diffchange diffchange-inline">M</ins>)$ není nutně otevřená množina. Podobně, pokud pro dané $\phi$ a $X$ nevzniká problém s nejednoznačností, můžeme použít pro výsledek konstrukce bod po bodu označení $\phi_\star (X)$.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{pozn}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{pozn}</div></td></tr>
</table>
Kyseljar
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GMF1:Kapitola7&diff=5111&oldid=prev
Kyseljar: oprava v poznámce o kotečném zobrazením působícím na funkci
2013-10-31T10:08:03Z
<p>oprava v poznámce o kotečném zobrazením působícím na funkci</p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 31. 10. 2013, 10:08</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L44" >Řádka 44:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 44:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{pozn}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{pozn}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Mějme $\phi: \OmA{\circ}{N} \rightarrow \Om{\circ}$, tj. $\phi: \CnekA{N} \rightarrow \Cnek$. Pro $f \in \CnekA{N}$ definujeme $\phi^\star f = f \circ \phi$, z čehož plyne vztah $(\phi_\star X) f = X (\phi^\star f)$.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">%</ins>Mějme $\phi: \OmA{\circ}{N} \rightarrow \Om{\circ}$, tj. $\phi: \CnekA{N} \rightarrow \Cnek$.  </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pro $f \in \CnekA{N}$ definujeme $\phi^\star f = f \circ \phi$, z čehož plyne vztah $(\phi_\star X) f = X (\phi^\star f)$.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{pozn}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{pozn}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
</table>
Kyseljar
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GMF1:Kapitola7&diff=5110&oldid=prev
Kyseljar v 31. 10. 2013, 09:49
2013-10-31T09:49:46Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 31. 10. 2013, 09:49</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L27" >Řádka 27:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 27:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{defi}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{defi}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>V souřadnicích $(x^i)$ na $U = U^\circ$, kde $p \in U$, $(y^a)$ na $V = V^\circ$, kde $\phi (p) \in V$, máme pro $\phi^\star$ výrazy $\phi^\star (\omega) = (\phi^\star (\omega))_i \, \restr{\dx^i}{p}$, $\omega = \omega_a \restr{\de{y}^a}{\phi(p)}$, \mbox{$\phi_\star \left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right) = \pderA{\varphi^a}{x^i} \restr{\pder{y^a}}{\phi (p)}$} (viz výše), z čehož plyne vztah $(\phi^\star \omega)_i = \omega \left( \phi_\star \left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right) \right) = \omega_a \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p}$ a tedy</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>V souřadnicích $(x^i)$ na $U = U^\circ$, kde $p \in U$, $(y^a)$ na $V = V^\circ$, kde $\phi (p) \in V$, máme pro $\phi^\star$ výrazy $\phi^\star (\omega) = (\phi^\star (\omega))_i \, \restr{\dx^i}{p}$, $\omega = \omega_a \restr{\de{y}^a}{\phi(p)}$, \mbox{$\phi_\star \left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right) = \pderA{\varphi^a}{x^i} \restr{\pder{y^a}}{\phi (p)}$} (viz výše), z čehož plyne vztah $(\phi^\star <ins class="diffchange diffchange-inline">(</ins>\omega<ins class="diffchange diffchange-inline">)</ins>)_i = \omega \left( \phi_\star \left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right) \right) = \omega_a \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p}$ a tedy</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\[ \fbox{$\phi^\star (\omega) = \omega_a \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p} \restr{\dx^i}{p}$}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\[ \fbox{$\phi^\star (\omega) = \omega_a \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p} \restr{\dx^i}{p}$}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\]</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\]</div></td></tr>
</table>
Kyseljar
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GMF1:Kapitola7&diff=4893&oldid=prev
Kyseljar v 21. 3. 2013, 20:18
2013-03-21T20:18:17Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 21. 3. 2013, 20:18</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L1" >Řádka 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 1:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>%\wikiskriptum{02GMF1}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>%\wikiskriptum{02GMF1}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">%</del>\chapter{Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\chapter{Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\section*{Tečné a kotečné zobrazení}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\section*{Tečné a kotečné zobrazení}</div></td></tr>
</table>
Kyseljar
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GMF1:Kapitola7&diff=4865&oldid=prev
Kyseljar: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02GMF1} %\chapter{Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety} \section*{Tečné a kotečné zobrazení} Uvažujme dvě variety $M$ a $N$ a hlad...
2013-03-21T19:26:49Z
<p>Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02GMF1} %\chapter{Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety} \section*{Tečné a kotečné zobrazení} Uvažujme dvě variety $M$ a $N$ a hlad...</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>%\wikiskriptum{02GMF1}<br />
<br />
%\chapter{Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety}<br />
<br />
\section*{Tečné a kotečné zobrazení}<br />
<br />
Uvažujme dvě variety $M$ a $N$ a hladké zobrazení $\phi : M \rightarrow N$.<br />
\begin{defi} <br />
\textbf{Tečné zobrazení} $\phi_\star$ v bodě $p \in M$ indukované zobrazením $\phi$ je takové zobrazení $\phi_\star: \tecn \rightarrow T_{\phi(p)} N$, pro něž platí <br />
\[ (\forall X \in \tecn)(\forall f \in \CnekA{N})((\phi_\star (X)) f = X (f \circ \phi)).<br />
\]<br />
\end{defi}<br />
<br />
V souřadnicích $(x^i)$ na $U = U^\circ$, kde $p \in U$, $(y^a)$ na $V = V^\circ$, kde $\phi (p) \in V$, máme $\phi_\star$ vyjádřené předpisem $\phi_\star (X) = (\phi_\star (X))^a \restr{\pder{y^a}}{\phi (p)}$ a tedy<br />
\[ \fbox{$\phi_\star (X) = X^i \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p} \restr{\pder{y^a}}{\phi (p)}$}<br />
\]<br />
jak vyplývá ze vztahu $(\phi_\star (X))^a = (\phi_\star (X)) y^a = X (\varphi^a (x^i))$, kde $\varphi^a = y^a \circ \phi$, $X = X^i \restr{\pder{x^i}}{p}$.<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Zobrazení $\phi_\star$ je lineární.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{defi}<br />
\textbf{Kotečné zobrazení} $\phi^\star$ v bodě $\phi(p) \in N$ indukované zobrazením $\phi$ je takové zobrazení $\phi^\star: T_{\phi (p)}^\ast N \rightarrow \kotecn$, pro něž platí<br />
\[ (\forall X \in \tecn)(\forall \, \omega \in T_{\phi (p)}^\ast N)((\phi^\star (\omega)) X = \omega (\phi_\star (X))).<br />
\]<br />
\end{defi}<br />
<br />
V souřadnicích $(x^i)$ na $U = U^\circ$, kde $p \in U$, $(y^a)$ na $V = V^\circ$, kde $\phi (p) \in V$, máme pro $\phi^\star$ výrazy $\phi^\star (\omega) = (\phi^\star (\omega))_i \, \restr{\dx^i}{p}$, $\omega = \omega_a \restr{\de{y}^a}{\phi(p)}$, \mbox{$\phi_\star \left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right) = \pderA{\varphi^a}{x^i} \restr{\pder{y^a}}{\phi (p)}$} (viz výše), z čehož plyne vztah $(\phi^\star \omega)_i = \omega \left( \phi_\star \left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right) \right) = \omega_a \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p}$ a tedy<br />
\[ \fbox{$\phi^\star (\omega) = \omega_a \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p} \restr{\dx^i}{p}$}<br />
\]<br />
<br />
Kotečné zobrazení $\phi^\star$ můžeme dále přirozeně rozšířit na $\phi^\star: \Lambda_{\phi (p)}^k N \rightarrow \LambP{k}$ následujícím způsobem:<br />
\[ (\forall X_1, \ldots, X_k \in \tecn)(\forall \, \omega \in \Lambda_{\phi (p)}^k N)((\phi^\star (\omega)) (X_1, \ldots, X_k) = \omega (\phi_\star (X_1), \ldots, \phi_\star (X_k))).<br />
\]<br />
Máme definována zobrazení $\phi_\star$ v bodě $p$, $\phi^\star$ v bodě $\phi(p)$. Lze je rozšířit na zobrazení celého $\cX$, resp. $\Om{\bullet}$? V případě kotečného zobrazení ano. Pro libovolnou $k$-formu $\omega \in \Omega^k (N)$ definujeme $\phi^\star (\omega) \in \Om{k}$ předpisem<br />
\[ (\forall X_1, \ldots, X_k \in \cX)((\phi^\star (\omega))(p) (X_1, \ldots, X_k) = \omega(\phi (p)) (\phi_\star (\restr{X_1}{p}), \ldots, \phi_\star (\restr{X_k}{p}))),<br />
\]<br />
(linearita, antisymetrie, závislost pouze na $X_i (p)$ je zřejmá, hladkost je vidět v lokálních souřadnicích).<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Dále budeme obvykle místo $\phi_\star (X)$, resp. $\phi^\star (\omega)$, psát $\phi_\star X$, resp. $\phi^\star \omega$.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Mějme $\phi: \OmA{\circ}{N} \rightarrow \Om{\circ}$, tj. $\phi: \CnekA{N} \rightarrow \Cnek$. Pro $f \in \CnekA{N}$ definujeme $\phi^\star f = f \circ \phi$, z čehož plyne vztah $(\phi_\star X) f = X (\phi^\star f)$.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Pro $\gamma: \R [t] \rightarrow M$ máme $\gamma_\star \restr{\left( \pder{t} \right)}{t=0} = [\gamma]$. Obecněji: $\gamma_\star \restr{\left( \pder{t} \right)}{t} = \dot{\gamma} (t)$.<br />
\end{priklad}<br />
<br />
\begin{defi}<br />
Výše zavedené zobrazení $\phi^\star: \Omega^\bullet (N) \rightarrow \Om{\bullet}$ nazýváme \textbf{pullback} při zobrazení $\phi$. <br />
\end{defi}<br />
<br />
Naopak $\phi_\star: \cX \rightarrow \cXA{N}$ obecně definovat nelze. Důvody:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $(\phi_\star X)(p) \equiv \phi_\star (\restr{X}{p})$ není definován na celém $N$, ale jen na $\phi(M)$,<br />
\item nemusí být korektní: pokud $(\exists p, \tilde{p} \in M)(\phi (p) = \phi (\tilde{p})$ a současně $\phi_\star (X_p) \neq \phi_\star (X_{\tilde{p}}) \in T_{\phi (p)} N)$.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Pokud je $\phi$ difeomorfizmus, pak $\phi_\star: \cX \rightarrow \cXA{N}$ existuje a je definováno předpisem<br />
\[ (\phi_\star X)(p) = \phi_\star (\restr{X}{p}).<br />
\]<br />
<br />
Pokud je $\phi$ prosté, je $\phi_\star (X)$ definováno jako prvek $\cXA{\phi (N)}$, kde $\phi (N)$ není nutně otevřená množina. Podobně, pokud pro dané $\phi$ a $X$ nevzniká problém s nejednoznačností, můžeme použít pro výsledek konstrukce bod po bodu označení $\phi_\star (X)$.<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Máme-li difeomorfizmus $\phi: M \rightarrow N$, můžeme definovat též $\phi^\star : \cXA{N} \rightarrow \cX$ jako<br />
\[ (\phi^\star X) f = X (f \circ \phi^{-1}), \text{ kde } f \in \Cnek, \text{ tj. } \phi^\star X = (\phi^{-1})_\star X, \text{ neboli } \phi^\star \circ \phi_\star = \restr{id}{\cX}. \label{difeoKotecn}<br />
\]<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Změna souřadnic na $U = U^\circ$ je speciálním případem difeomorfizmu $\varphi (U) \subset \R^n$ na $\tilde{U} \subset \R^n$ a dříve zavedené změny složek vektoru, resp. formy, při změně souřadnic je možné odvodit z obecných vztahů pro tečné, resp. kotečné, zobrazení.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
Při skládání zobrazení $\phi: M \rightarrow N, \ \psi: N \rightarrow O$ dostáváme pro tečné a kotečné zobrazení identity<br />
\[ (\psi \circ \phi)_\star = \psi_\star \circ \phi_\star, \quad (\psi \circ \phi)^\star = \phi^\star \circ \psi^\star.<br />
\]<br />
<br />
Dosazením do definice vnějšího součinu a z definice $\phi^\star$ dále obdržíme vztah<br />
\[ \fbox{$\phi^\star (\omega_1 \wedge \omega_2) = \phi^\star \omega_1 \wedge \phi^\star \omega_2$}<br />
\]<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Platí $(\forall \omega \in \OmA{\bullet}{N})(\de{\phi^\star \omega} = \phi^\star \de{\omega})$, tj. (odvození je stejné jako při důkazu nezávislosti $\de{\omega}$ na výběru souřadnic):<br />
\[ \fbox{$\de{}_M \circ \phi^\star = \phi^\star \circ \de{}_N$}<br />
\] \label{kotecVnej}<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
Buď $\phi: M \rightarrow N$, $p \in M, \ X \in \tecn, \ \omega \in \Lambda_{\phi (p)}^k N$. Pak platí<br />
\[ \phi^\star (i_{\phi_\star (X)} \omega) = i_X (\phi^\star \omega).<br />
\]<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{dukaz}<br />
Dosazením.<br />
\end{dukaz}<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Na $X \in \cX, \ \omega \in \OmA{\bullet}{N}$ lze tvrzení věty aplikovat, pokud je $\phi$ difeomorfizmus. <br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
Pro difeomorfizmus $\phi: M \rightarrow N$ platí $(X, Y \in \cX)$:<br />
\[ \phi_\star [X,Y] = [\phi_\star (X), \phi_\star (Y)].<br />
\]<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{dukaz}<br />
$\forall p \in M, \ \forall f \in \CnekA{N}, \ \phi$ difeomorfizmus, tj. $\phi(M) = N$ a<br />
\begin{align*}<br />
(\phi_\star [X,Y])(\phi (p)) f & = X(Y(f \circ \phi))(p) - Y(X(f \circ \phi))(p)<br />
\\& = X(\phi_\star Y (f) \circ \phi)(p) - Y(\phi_\star X (f) \circ \phi)(p)<br />
\\& = (\phi_\star X (\phi_\star Y (f)) \circ \phi)(p) - (\phi_\star Y (\phi_\star X (f)) \circ \phi)(p)<br />
\\& = ([\phi_\star X, \phi_\star Y] f)(\phi (p))<br />
\end{align*}<br />
\end{dukaz}<br />
<br />
\section*{Podvariety}<br />
<br />
\begin{defi}<br />
Mějme $\phi: M \rightarrow N$ hladké zobrazení. $\phi$ nazýváme \textbf{vnoření} (angl. immersion) $M$ do $N$, pokud $\phi_ \star$ je prosté v každém bodě $p \in M$. $M$ pak nazýváme \textbf{vnořená podvarieta} variety $N$.<br />
\end{defi}<br />
<br />
\begin{defi}<br />
Pokud $\phi$ je prosté vnoření takové, že $\forall p \in M$ existuje okolí $U = U^\circ \subset N$ bodu $\phi(p)$ a souřadnice $(y^a)_{a=1}^{\dim N}$ na $U$ takové, že $\phi (M) \cap U = \{ q \in U | \, y^a (q) = 0, \, a = 1, \ldots, \dim N - \dim M\}$, nazýváme zobrazení $\phi$ \textbf{vložení} (angl. embedding) a $M$ nazýváme \textbf{(vložená) podvarieta} variety $N$ kodimenze $k$.<br />
\end{defi}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\textbf{Whitneyho věta o vnoření}: Každá diferencovatelná varieta dimenze $n$ je difeomorfní nějaké vložené $C^\omega$-podvarietě Euklidovského prostoru $\R^{2n}.$ (\textit{Bez důkazu}.)<br />
\end{veta}</div>
Kyseljar