02GMF1:Kapitola6

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 21. 3. 2013, 20:24, kterou vytvořil Kyseljar (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02GMF1} %\chapter{Operace s diferenciálními formami} \begin{defi} Na vektorovém prostoru $\LambP{\bullet}$ zavádíme binární operaci zvanou \textbf...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02GMF1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02GMF1Kyseljar 21. 3. 201321:31
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:50
Header editovatHlavičkový souborKyseljar 21. 3. 201321:12 header.tex
Kapitola1 editovatDiferencovatelné varietyKyseljar 10. 11. 201312:32 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatTečné vektory k varietěKyseljar 27. 10. 201316:12 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTečný bundle, vektorová pole, integrální křivkyKyseljar 27. 10. 201317:38 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAbstraktnější pohled na vektorová poleKyseljar 21. 3. 201321:17 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDiferenciální formyKyseljar 27. 10. 201319:30 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatOperace s diferenciálními formamiKyseljar 30. 10. 201300:05 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobrazení indukovaná zobrazením variet, podvarietyKyseljar 31. 10. 201311:24 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatLieova derivaceKyseljar 10. 11. 201314:44 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatGeometrická formulace Hamiltonovy mechanikyKyseljar 10. 11. 201316:26 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatIntegrace foremKyseljar 10. 11. 201317:15 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatIntegrace na varietách s hranicí, Stokesova větaKyseljar 10. 11. 201320:00 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatVariety s dodatečnou strukturouKyseljar 21. 3. 201321:19 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatLiteratura a poznámka na konecKyseljar 30. 3. 201300:08 literatura.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02GMF1}
 
%\chapter{Operace s diferenciálními formami}
 
\begin{defi}
Na vektorovém prostoru $\LambP{\bullet}$ zavádíme binární operaci 
 
zvanou \textbf{vnější součin} následujícím způsobem ($\tau \in \LambP
 
{k}, \ \omega \in \LambP{l}, \ X_1, \ldots, X_{k+l} \in \tecn$):
\[  \tau \wedge \omega \left( X_1, \ldots, X_{k + l} \right) = \sum_
 
{\substack{\overrightharpoon{I}, \overrightharpoon{J} \\ |I| = k, |J| = 
 
l}} \delta_{(1, \ldots, k+l)}^{\overrightharpoon{I} \, 
 
\overrightharpoon{J}} \ \tau \left( X_{i_1} , \ldots , X_{i_k} \right) 
 
\ \omega \left( X_{j_1}, \ldots, X_{j_l} \right).
\]
\end{defi}
 
Z této definice je zřejmé, že $\tau \wedge \omega \in \LambP{k+l}$ 
 
(multilinearita roznásobením pravé strany, antisymetrie využitím $\sgn 
 
\pi_1 \circ \pi_2 = \sgn \pi_1 \cdot \sgn \pi_2$)
 
\begin{priklad}
Nechť $\omega = \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k}$ a $\tau = 
 
\dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_l}$. Pak $\omega \wedge \tau = 
 
\dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \wedge \dx^{j_1} \wedge \ldots 
 
\wedge \dx^{j_l}$.
\end{priklad}
 
\subsubsection*{Vlastnosti vnějšího součinu}
\begin{enumerate}
\item bilinearita, tj. $(\forall \omega, \tau_1, \tau_2 \in \LambP
 
{\bullet})(\forall a \in \R)$\\
 $((a \tau_1 +\tau_2) \wedge \omega = a \tau_1 \wedge \omega + \tau_2 
 
\wedge \omega$ \text{ a současně } $\tau \wedge (a \omega_1 + \omega_2) 
 
= a \tau \wedge \omega_1 + \tau \wedge \omega_2)$
\item $(\forall \omega \in \LambP{k})(\forall \tau \in \LambP{l})$ 
 
\fbox{$\tau \wedge \omega = (-1)^{k \cdot l} \ \omega \wedge \tau$}
\item asociativita, tj. $(\forall \sigma, \tau, \omega \in \LambP
 
{\bullet})((\sigma \wedge \tau) \wedge \omega = \sigma \wedge (\tau 
 
\wedge \omega))$
 
\end{enumerate}
 
\begin{pozn}
Důkaz vlastnosti ve druhém bodu. Nechť $\omega \in \LambP{k}$, $\tau 
 
\in \LambP{l}$. Pak:
\begin{align*}
\tau \wedge \omega \, (X_1,  \ldots, X_{k+l}) & = \omega \wedge \tau \, 
 
(X_{l+1}, \ldots, X_{k+l}, X_1, \ldots, X_l)
\\& = \sgn \binom{1, \ \ \ldots \ \ , k, \ k+1, \ldots, k+l}{l+1, 
 
\ldots, k+l, 1, \ \ \ldots \ \ , l} \ \omega \wedge \tau \, (X_1, 
 
\ldots, X_{k+l}). \quad \blacksquare
\end{align*}
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
Důkaz asociativity. Nechť $\omega \in \LambP{k}$, $\tau \in \LambP{l}$, 
 
$\sigma \in \LambP{m}$. Pak $( X_{\overrightharpoon{I}} \equiv (X_
 
{i_1}, \dots, X_{i_k}))$:
\begin{align*}
\omega \wedge (\tau \wedge \sigma) (X_1, \ldots, X_{k+l+m}) & = \sum_
 
{\substack{\overrightharpoon{I}, \overrightharpoon{M} \\ |I| = k, |M| = 
 
l+m}} \delta_{(1, \ldots, k+l+m)}^{\overrightharpoon{I} \, 
 
\overrightharpoon{M}} \ \omega \left( X_{\overrightharpoon{I}} \right) 
 
\ (\tau \wedge \sigma) \left( X_{\overrightharpoon{M}} \right)
\\& = \sum_{\substack{\overrightharpoon{I}, \overrightharpoon{M} \\ |I| 
 
= k, |M| = l+m}}%
\sum_{\substack{\overrightharpoon{J}, \overrightharpoon{K} \\ |J| = l, 
 
|K| = m}} \delta_{(1, \ldots, k+l+m)}^{\overrightharpoon{I} \, 
 
\overrightharpoon{M}} \ %
\delta_{\overrightharpoon{M}}^{\overrightharpoon{J} \, 
 
\overrightharpoon{K}} \ %
\omega \left( X_{\overrightharpoon{I}} \right) \ \tau \left( X_
 
{\overrightharpoon{J}} \right) \ \sigma \left( X_{\overrightharpoon{K}} 
 
\right)
\\& = \sum_{\substack{\overrightharpoon{I}, \overrightharpoon{J}, 
 
\overrightharpoon{K} \\ |I| = k, |J| = l, |K| = m}} \delta_{(1, \ldots, 
 
k+l+m)}^{\overrightharpoon{I} \, \overrightharpoon{J} \, 
 
\overrightharpoon{K}} \ %
\omega \left( X_{\overrightharpoon{I}} \right) \ \tau \left( X_
 
{\overrightharpoon{J}} \right) \ \sigma \left( X_{\overrightharpoon{K}} 
 
\right).
\end{align*}
 
Pro $(\omega \wedge \tau) \wedge \sigma$ bychom dostali tentýž 
 
výsledek. (V poslední rovnosti jsme využili skutečnost, že $\delta_O^
 
{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{M}} \ \delta_
 
{\overrightharpoon{M}}^{\overrightharpoon{J} \overrightharpoon{K}} = 
 
\delta_O^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J} \overrightharpoon
 
{K}} = \delta_O^{\overrightharpoon{N} \overrightharpoon{K}} \delta_
 
{\overrightharpoon{N}}^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J}}$.) 
 
$\quad \blacksquare$
\end{pozn}
 
Pro obecné prvky $\tau, \, \omega \in \LambP{\bullet}$ vnější součin 
 
definujeme distributivně:
\[ \tau = \tau^{(0)} + \tau^{(1)} + \ldots + \tau^{(n)}, \ \omega = 
 
\omega^{(0)} + \omega^{(1)} + \ldots + \omega^{(n)} \Rightarrow \tau 
 
\wedge \omega = \sum_{a,b = 0}^n \tau^{(a)} \wedge \omega^{(b)}.
\]
 
V lokálních souřadnicích $(x^i)$ máme $\tau = \tau_{\overrightharpoon
 
{I}} \, \dx^{\overrightharpoon{I}}, \ |I| = k, \ \omega = \omega_
 
{\overrightharpoon{J}} \, \dx^{\overrightharpoon{J}}, \ |J|=l$, a tedy:
\begin{gather*}
\tau \wedge \omega = \tau_{\overrightharpoon{I}} \cdot \omega_
 
{\overrightharpoon{J}} \ \dx^{\overrightharpoon{I}} \! \wedge \dx^
 
{\overrightharpoon{J}} = (\tau \wedge \omega)_{\overrightharpoon{K}} \, 
 
\dx^{\overrightharpoon{K}},\ \text{kde} \\
(\tau \wedge \omega)_{\overrightharpoon{K}} = (\tau \wedge \omega) (X_
 
{\overrightharpoon{K}}) = \delta_{\overrightharpoon{K}}^
 
{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J}} \ \tau_{\overrightharpoon
 
{I}} \ \omega_{\overrightharpoon{J}}, \quad
\dx^{\overrightharpoon{I}} \wedge \dx^{\overrightharpoon{J}} = \delta_
 
{\overrightharpoon{K}}^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J}} 
 
\dx^{\overrightharpoon{K}}, \ |K| = k+ l.
\end{gather*}
 
Takto konstruovanou $2^n$-rozměrnou asociativní nekomutativní algebru 
 
$\LambP{\bullet}$ s operací vnější součin nazýváme \textbf{vnější 
 
algebra} v bodě $p \in M$. Vnější součin zavádíme i na $\Om{\bullet}$ 
 
způsobem:
\[ (\tau \wedge \omega)(p) = \tau(p) \wedge \omega (p), \ \tau, \omega 
 
\in \Om{\bullet}, \forall p \in M.
\]
 
Tím se $\Om{\bullet}$ stává algebrou. Je však současně též tzv. $\Cnek
 
$-modulem, neboť máme násobení $\omega \in \Om{\bullet}$ libovolnou 
 
funkcí $f \in \Cnek: (f \omega)(p) = f(p) \omega(p)$ a platí $f
 
(\omega_1 + \omega_2) = (f \omega_1) + (f \omega_2)$, $(f g) \omega = f 
 
(g \omega)$. Struktura $\Cnek$-modulu a algebry na $\Om{\bullet}$ jsou 
 
kompatibilní ve smyslu:
\[ (f \tau) \wedge \omega = \tau \wedge (f \omega) = f (\tau \wedge 
 
\omega), \ f \in \Cnek, \ \tau, \omega \in \Om{\bullet}.
\]
 
\begin{defi}
Na prostoru forem $\Om{\bullet}$ dále zavádíme \textbf{vnější 
 
derivaci}, což je lineární zobrazení $\de{}: \Om{k} \rightarrow \Om{k
 
+1}$ vyhovující následujícím podmínkám:
\begin{enumerate}
\item $(\forall k \in \hat{n} \cup \{ 0\})(\forall \tau \in \Om{k})
 
(\forall \omega \in \Om{\bullet})(\de{(\tau \wedge \omega)} = \de{\tau} 
 
\wedge \omega + (-1)^k \tau \wedge \de{\omega})$
\item $(\forall f \in \Cnek = \Om{0})(\forall X \in \cX)(\de{f} (X) = X 
 
f)$
\item $(\forall \omega \in \Om{\bullet})(\de{}^2 \omega= 0)$
\end{enumerate}
\end{defi}
 
Druhá podmínka v lokálních souřadnicích $(x^i)$ znamená, že $\de{f} = 
 
\pderA{f}{x^i} \ \dx^i$, tj. vnější derivace funkce je prostě její 
 
derivací (totálním diferenciálem). Současně je zřejmý význam označení 
 
bazických $1$-forem $\dx^i$. Jsou to skutečně diferenciály 
 
souřadnicových funkcí $x^i$. 
 
\begin{pozn}
Existenci a jednoznačnost operátoru $\de{}$ ukážeme v souřadnicích. Pak 
 
ukážeme, že nezávisí na výběru souřadnic. V souřadnicích $(x^i)$ na 
 
okolí $p \in M$ budeme zkoumat $\de{\omega} (p)$, nejprve pro $f \in 
 
\Cnek$:
\[ \de{f} = (\de{f})_i \ \dx^i \Rightarrow \ (\forall X^i \in \R)(\de
 
{f} (X) = (\de{f})_i \, X^i \ \text{a současně } \de{f} (X) = X f = X^i 
 
\pderA{f}{x^i}).
\]
Tedy $(\de{f})_i \, (p) = \pderA{f}{x^i} (p)$ a $\de{f} (p) = \pderA
 
{f}{x^i} (p) \, \dx^i$. Pro formu $\omega = \omega_{\overrightharpoon
 
{J}} \dx^{\overrightharpoon{J}}$ definujeme $\de{\omega} = \de{\omega_
 
{\overrightharpoon{J}}} \wedge \dx^{\overrightharpoon{J}} = \pderA
 
{\omega_{\overrightharpoon{J}}}{x^i} \ \dx^i \wedge \dx^
 
{\overrightharpoon{J}}$. Ověříme vlastnosti $\de{}^2 = 0, \ \de
 
{(\omega_1 \wedge \omega_2)}$ pro formy ve tvaru $\omega_a = f_a \  
 
\dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k}$ (dále linearitou):
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
\de{\omega} & = &\de{f} \wedge \dx^{j_1} \! \wedge\dx^{j_k} = \pderA
 
{f}{x^i} \ \dx^i \wedge \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge\dx^{j_k} \\
\de{\omega}^2 & = & \underbrace{\frac{\partial^2 f}{\partial x^i 
 
\partial x^j}}_\text{sym. v $i, j$} \underbrace{\dx^j \wedge \dx^i}_
 
\text{antisym. v $i, j$} \wedge \ \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge\dx^
 
{j_k} = 0
\end{IEEEeqnarray*}
%
\begin{align*}
\de{(\omega_1 \wedge \omega_2)} & =  \de{(f_1  f_2)} \, \dx^{j_1} 
 
\wedge \ldots \wedge \dx^{j_k} \wedge \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge 
 
\dx^{i_l}
\\& =  (f_2 \, \de{f_1} + f_1 \, \de{f_2}) \wedge \dx^{j_1} \wedge 
 
\ldots \wedge \dx^{j_k} \wedge \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_l}
\\& = (\de{f_1} \wedge \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k}) \wedge 
 
(f_2 \, \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_l})
\\& \quad + (-1)^k (f_1 \, \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k}) 
 
\wedge (\de{f_2} \wedge \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_l})
\\& = \de{\omega_1} \wedge \omega_2 + (-1)^k \omega_1 \wedge \de
 
{\omega_2}.
\end{align*}
 
Při změně souřadnic máme $\omega = f \, \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge 
 
\dx^{i_k} = f \, \pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} \ldots \pderA{x^
 
{i_k}}{\tilde{x}^{j_k}} \, \de{\tilde{x}^{j_1}} \wedge \ldots \wedge 
 
\de{\tilde{x}^{j_k}}$ a tedy
\begin{align*}
\de{\omega} & = \de{} \left( f \, \pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} 
 
\ldots \pderA{x^{i_k}}{\tilde{x}^{j_k}} \right) \wedge \de{\tilde{x}^
 
{j_1}} \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}^{j_k}}
\\& = \de{f} \wedge \left( \pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} \ldots 
 
\pderA{x^{i_k}}{\tilde{x}^{j_k}} \right) \de{\tilde{x}^{j_1}} \wedge 
 
\ldots \wedge \de{\tilde{x}^{j_k}}
\\& \quad + f \ \Bigg( \bigg( \underbrace{\frac{\partial^2 x^{i_1}}
 
{\partial \tilde{x}^{j_1} \partial \tilde{x}^j} }_\text{sym v $j_1, j$} 
 
\ldots \bigg) \underbrace{\de{\tilde{x}^{j}} \wedge \de{\tilde{x}^
 
{j_1}}}_\text{antisym v $j_1, j$} \wedge \, \ldots \  + \, \bigg( 
 
\pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} \underbrace{\frac{\partial^2 x^{i_2}}
 
{\partial \tilde{x}^{j_2} \partial \tilde{x}^j}}_\text{sym. v $j_2, j$} 
 
\ldots \bigg) \underbrace{\de{\tilde{x}^{j_1}} \wedge \  \ldots}_\text
 
{antisym. v $j_2, j$} + \ \ldots \Bigg)
\\& = \de{f} \wedge  \left( \pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} \ldots 
 
\pderA{x^{i_k}}{\tilde{x}^{j_k}} \right) \de{\tilde{x}^{j_1}} \wedge 
 
\ldots \wedge \de{\tilde{x}^{j_k}}
\\& = \de{f} \wedge \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k}
\end{align*}
 
tj. definice $\de{}$ nezávisí na výběru lokálních souřadnic. $\quad 
 
\blacksquare$
\end{pozn}
 
\subsubsection*{Speciální třídy k-forem}
\begin{itemize}
\item forma $\omega \in \Om{\bullet}$ je \textbf{uzavřená} $
 
\Leftrightarrow \de{\omega} = 0$
\item forma $\omega \in \Om{\bullet}$ je \textbf{exaktní} $
 
\Leftrightarrow (\exists \tau \in \Om{\bullet})(\omega = \de{\tau})$
\end{itemize}
 
\begin{pozn}
Exaktní forma je uzavřená.
\end{pozn}
 
Ukazuje se, že pro libovolnou uzavřenou formu $\omega \in \Om{\bullet}, 
 
\ \omega \notin \Om{0}$ a bod $p \in M$ existuje okolí $U = U^0$, $p 
 
\in U$ a $\tau \in \Omega^\bullet (U)$ takové, že $\restr{\omega}{U} = 
 
\de{\tau}$.
 
\begin{defi}
Buď $\omega \in  \LambP{k}, \ X \in \tecn$. $(k - 1)$-formu definovanou 
 
předpisem
\[ i_X \omega (X_1, \ldots, X_{k-1}) = \omega (X, X_1, \ldots, X_{k-
 
1}).
\]
nazýváme \textbf{vnitřní součin} či \textbf{zúžení} $X$ a $\omega$ a 
 
značíme jako $ i_X \omega \equiv X_\invbackneg \omega$.
 
Pro $\omega \in \Om{k}$, $X \in \cX$ je vnitřní součin definován 
 
bodově. Speciálně pro $\omega \in \Om{1}$ se zavádí značení: $i_X 
 
\omega = \omega (X) \equiv \langle \omega, X \rangle \equiv \langle X, 
 
\omega \rangle$, kde $\langle \cdot, \cdot \rangle $ je párování $
 
\tecn$ a $\kotecn$.
\end{defi}